1. 1. Ferdinancl P. Beer . f;. Russell fohnston, |r" . Wlliarn E. C[ausen MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS s,F& 8ST&KXXnC[
2. 2. Contenido xtx XX CIN EMATICA PARTICULAS 11.1 lntroduccin a la dinmica 602 Movimiento rectilneo de partculas 603 11.2 Posicin, velocidad y aceleracin 603 11.3 Determinacin del movimiento de una partcula 607 11.4 Movimento rectilneo uniforme 616 1 1.5 Movimento rectilneo uniformemente acelerado 617 ll.6 Movimiento de varias partculas 618 .11.7 Solucin grfjca de problemas de movimiento rectlneo .1 1.8 Otros mtodos grficos 631 Movimiento curvilneo de partculas 641 '1 1 .9 Vecior de posicin, velocdad y aceleracin 641 '1 1.10 Derivadas de funcones vectoriales 643 11,11 Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracn 645 1 1.12 lilovmiento relatvo a un sistema de referencia en traslacin 646 11.13 Componentes tangencial y normal 663 11,14 Componentes radial y transversal 666 Repaso y resumen del captulo 11 680 Problemas de repaso 684 Problemas de computadora 687 12 crurcn DE pARTcuLASi decur.on LEy DE NEWToN 691 12.1 lntroduccin 692 12-2 Segunda ley de movimiento de Newton 693 12.3 Cantdad de movimiento lineal de una partcula. Razn de cambio de la cantidad de movimiento ineal Prefacio xiv Agradecimientos Lista de smbolos 11 DE 601
3. 3. x :.rien do 12.4 Sistemas de unidades 695 12.5 Ecuaciones de movimiento 697 '12.6 Equilibrio dinmco 699 12.7 Cantidad de movimiento angular de una partcula. Razn de cambo de la cantdad de movimiento angular 718 12.A Ecuaciones de movimiento en trminos de las componentes radial y transversal 719 12,9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservacin de la cantidad de movimiento angular 72O 12.10 Ley de gravitacin de Newton 721 *12.11 fayectoria de una partcula bajo la accin de una fuerza central 731 .f2.12 Aplicacin en mecnica celeste 732 *12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetaro 735 Flepaso y resumen del captulo 12 744 Problemas de repaso 748 Problemas de computadora 751 13 CINTICA DE PABTCULAS: METODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 755 13.1 lntroduccin 756 13.2 Trabajo de una fuerza 756 13.3 Energa cintica de una partcula. Principio del trabajo y la energa 760 '13-4 Aplicaciones del principio del fabajo y la energa 762 '13.5 Potenca y eficiencia 763 13.6 Energa potencial 781 .'13.7 Fuerzas conservativas 783 13"8 Conservacin de la energa 784 13.9 lvlovimiento bajo una fuerza central conservativa. Aplicacin a la mecnica celeste 7a6 13.10 Principio del mpulso y la cantidad de movimento 805 N,4ovimientoimpulsivo 808 lmpacto 820 lmpacto central directo 820 lmpacto central oblicuo 823 Problemas en los que interviene Ia energa y la cantidad de movimiento 826 Repaso y resumen del captulo 13 842 Problemas de repaso 848 Problemas de computadora 851 srsrEMAS olt*r"r,-o, 855 '14.'l lntroduccin 856 14,2 Aplicacin de las ieyes de Newton al movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas efectivas 856 14.3 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partculas 859 14.! '14.! 14.t '14.', '14,r Rel Prc Prc 14.1 -14. - 14. '14. .13.11 13.12 13.13 '13.14 13.15 t 5. 15. 15. t5. -15. 15, 115. -15, .15, Re Pr( Pft 16 'f6 e:_*_
4. 4. 14-4 Movimiento del centro de masa de un sistema contenido X de partculas 860 14.5 Cantidad de movmiento angular de un sistema de partculas alrededor de su centro de masa 862 14.6 Conservacn de Ia cantidad de movmiento para sistemas de partculas 864 '14.7 Energa cintica de un sistema de partculas 873 14.8 Principio del trabajo y la energa. Conservacin de la energa para un sistema de partculas 875 14.9 Principio del mpulso y la cantdad de movimiento de sistemas de partculas 875 *14.10 Sistemas variables de partculas 886 *14.11 Corriente estacionaria de partculas 886 *f4.12 Slstemas que ganan o perden masa 889 Repaso y resumen del captulo 14 904 Problemas de repaso 908 Problemas de computadora 91 1 15 CINEMTICA DE CUEBPOS RGIDOS 915 15.1 lntroduccin 916 15.2 Traslacin 918 15.3 Fotacin alrededor de un eje fijo 919 '15.4 Ecuaciones que definen la rotacin de un cuerpo rgdo alrededor de un eje lijo 922 15.5 lvlovmiento plano general 932 15.6 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movmiento plano 934 15,7 Centro de rotacin instantneo en el movimiento plano 945 15.8 Aceleraciones absoluta y relativa en el movimento plano 956 .15.9 Anlisis del movimiento plano en trmnos de un parmetro 958 15.10 Razn de cambio de un vector con respecto a un sstema de referenca en rotacin 971 15.11 lvlovimiento plano de una partcula relativa a un sistema de referencia en rotacn. Aceleracin de Coriolis 973 '15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 984 *15.13 Movimiento general 9A7 *15.14 Movimiento tridimensional de una particula con respecto a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de Corols 998 *15.15 Sistema de referencia en movimiento general 999 Repaso y resumen del captulo 15 1011 Problemas de repaso 1018 Problemas de computadora 1021 .16 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS: FUERZAS Y ACELERACIONES 1025 16.1 lntroduccin 1026 16-2 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido 1027 L_--
5. 5. Xi contendo 16.3 Cantidad de movmiento angular de un cuerpo rgido en movimiento plano 1028 16.4 Movimienio plano de un cuerpo rgido. Principio de d'Alembert 1029 -16"5 Observacn acerca de los axiomas de la mecnica de cuerpos rgidos 1030 16.6 Solucin de problemas que implican el movimiento de un cuerpo rgido 1031 16.7 Sistemas de cuerpos rgidos 1032 16.8 Movimiento plano restrngido o vinculado 1051 Repaso y resumen del captulo 16 1073 Problemas de repaso 1075 Problemas de computadora 1078 '17 MovtMtENTo pLANo DE cuERpos Ricroos' MTODoS DE LA ENERGAY LA cANTIDAD DE MoVIMIENTo t081 17.1 lntroduccin 1082 17.2 Principio del fabajo y la energa para un cuerpo rgido 1082 17,3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido 1083 17.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento plano 1084 17.5 Sistemas de cuerpos rgidos 1085 17.6 Conservacn de la energa 1086 17.7 Potencia 1087 17.A Prncipio del impulso y la cantdad de movimiento para el movimiento plano de un cuerpo rgido 1104 17.9 Sistemas de cuerpos rgidos 11A7 17.10 Conservacin de la cantidad de movimiento angular 11O7 17.1 1 l,4ovmiento impulsvo 1 120 17.12 lmpacto excntrico 1120 Repaso y resumen del captulo 17 '1134 Problemas de repaso 1138 Problemas de computadora 1141 18 ctNTrcA DE cuEnpos RctDos EN TRES DtMENStoNEs 1 145 .18.1 lntroduccin 1 146 -18,2 Cantdad de movmiento angular de un cuerpo rgjdo en tres dimensiones 1147 -18.3 Aplicacin del princpio del impulso y la caniidad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rgido 1 1S1 .18,4 Energa cintica de un cuerpo rgdo en fes dimensiones 1152 .18-5 Movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1.165 -18.6 Ecuacones de movimento de Euler. Extensin del principio de d'Alembert al movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1 166 .18.7 l.4ovmiento de un cuerpo rgido alrededor de un punto fijo 1167 .18.8 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 1168 '18.9 lvlovimiento de un giroscopio. ngutos de Euler 1183 '1 -1 I t t : '1 -1 -1 'i I f I -}-- _
6. 6. *18.10 Precesin estable de un groscopio 1185 contenido Xiii*18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza 1186 Repaso y resumen del captulo 18 1199 Problemas de repaso 1204 Problemas de computadora 1208 19 VIBRACIONES MECNICAS 1213 19.1 lntroduccin 1214 Vibracionessinamortguamento 1214 19.2 Vibraciones libres de partculas. Movimiento armnico simple 1214 19.3 Pndulo smple (solucin aproximada) 1Z1B .19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 1219 '19.5 Vibraciones libres de cuerpos rgdos 12zB '19.6 Aplicacn del principio de la conservacin de la energa 1240 19-7 Vbracones forzadas 1251 Vibracionesamortguadas 126'l .19.8 Vibraciones lbres amortiguadas 1261 .19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas 1264 .19.10 Analogas elctrcas '1265 Repaso y re$umen del captulo 19 1277 Problemas de repaso 1282 Problemas de computadora 1285 Apndice A Ai- U Ftl,:! $FF r'l C;ilt"i cs y F nf.r x gen er; rlrnsi trEL dxLEE?,4'{/CTHIAL 1289 Apndice B MSMETSS E INFREIA tri: i4.{SA$ 1295 Apndice C FLIFBA4IISNTOS FAR4 LA CE"rIFCACiI{ glr l$leeNgna H3 E$TAD*S Li,r:]$ 1333 Crditos de fotografas 1335 ndice analtico 1 337 Respuestas a problemas 1345
7. 7. aLt /, ap /::, at. A. B, C,... 4.8,C,... A b a.a C r, e,, eo E .f fr t, F G It Y.t H,, Lista de smbolos Aceleracin Constanter rudior distancia, eje semimayor de I:r elipse Aceleracin del centro de msa Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en traslacin con A Aceleracin de P relava al sistema de referencia en ,oi""i; S Aceleracin de Coriolis Reacciones en sopodes ) concxiones Puntos reo Archo; distancia; eje semimenor de la elipse Constante; coe{iciente de amortiguamienio viscoso Centroide; centro instantneo dJrotacin; capacitancia Distancia Veclores unjlarios a lo largo de la normal y la lanente Veclores unlaos en las direcciones radii v traniversal Coeficiente de restitucin; base de los log"iit-os naturales Energl rnecnica totaj; volLaie Funcin escalar Frecuencia de vibracin forzada Frecuencia nahal Fuerza; fuerza de fr.iccin Aceleracin de la sravedad Cenlro de gr^ued"?, cenlro de masa: conslante de grafacjn Momento angular por mast unifaria Momento angular alrededor del punto O Razn de cambio de la cantidad e rnovimiento angular H6 con respecto a un sistema de referencia de orientacin ffja Razn de cambio de l cantidad de mmiento nngular H; con respecto a un sisternl de re[el.encia en rotacin Cxy Vectores unitarios a lo largo de los eps de coordenadas Corriente Momentos de inercia Momento centroidal de inercia Productos de inercia Momento polar de inercia Constante de esote Radio de giro Radio de giro centroidal Longitud Cantidad de movimiento lineal Longitud; inductancia (Hc;)r;'u. i,j.k 1,1,... I 1.,t,... lfr ^.1. ^' ^o l L L Masa ,,_''- Masa pur unidad de longitud M Pur rnomento V,, Mornento aJrededor del punto O M] Momento resultante alrebedo. del punto O )l Magnitud de par o momenlo; masa cle la Tierra ./,, Momento alrededor del eje OL r Direccin normd -*_ xxt
8. 8. r XXii Lrsta de smboloso ,P i Componente normal de la reaccin Origen de coordenadas Fuerza; vector Razn de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia de orientacin fij Razn de flujo de masa; carga elctrica Fuerza; vector Razn de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia de orientacin ffja Razn de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia. Oxgz Vector de posicin Vector de posicin de B relavo a A Radio; distancia; coordenada polar Fuerza resultante; vector resultante; reaccin Radio de la Tierra; resistencia Vector de posicin Longitud de arco Tiempo; espesor; reccin tangencial Fuerza Tensin; energa cinca Velocidad Variable Trabajo Velocidad Rapidez Velocidad del centro de masa Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslacin con A Velocidad de ? relativa al sistema de referencia en rotacin g Producto vectorial Volumen; energa potencial Carga por unidad de longitud Peso; carga Peso especfico Elongacin Excentricidad de seccin cnica o de rbita -ector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada -angular; ngulo euleriano; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin Densidad; radio de curvatura Feriodo Pe:iodo de bracin libre "i.lo de friccin; ngulo euleriano; ngulo de fase; ngulo fld'rncia de fase lgrit euleriano Go1rl .angular Ery< cicular de vibracin forzada circula natural q a (Q),,,r" r rB// L) t,t vr / ..j v V 7t) w, l,t/ r.l/,: Coordenadasrectangulares;distancias t. ,i. : Derivadas temporales de las coordenadas r. 4. z ', t . Coordenadas rectangulares del centroide. centro de gravedad o centro de masa (!. a Aceleracin angular ' 3 y Angulos R s s t T T u u U L ) r l I i ) i I I J gular del sistema de eferencia
9. 9. ----- CINEIV1TICA DE PABTCULAS r 1.1 lntroduccn a Ia dinmica lovimiento rectlneo de partculas '1? posicin. velocdad y aceleracion .J Ljeterminacidn del movmento de una partcula ".4 l4ovimientorectilneouniforme 1 1.5 I,4ovimiento rectilineo uniformemente acelerado ]l I Movimiento de varias partrcufas t ,.t botucron grfica de probtemas de movimiento rectlineo 1 1,8 Oiros mtodos grfcos Movimento curvilneo de partculas 1 1.9 Vector de posicin, vefocidad y aceleracin 1 1.10 Derivadas de funciones vectorales 11 .11 Componentes rectangulares de la velocdad y Ia aceleracin 11.12 lilovimiento relatvo a un sistema de rferencia en traslacn 1 1 . 13 Componentes tangencial y normal 1 1.14 Componentes radial y transversal 1 1.1. TNTRODUCCTN A LA Otttfc,A Los captrrlos 1 r l0 se declicaot,Lla astrf:a, e^to es, rl nlisis cle los(uclri,s Frr repov, lrorj, r- inir i;r cl eslu,lj,, d- lr,i,,",,,;,1). n.,-,_ "i,rnot ini(.r,luc se rli.r. lrnriljsi.,l. 1,,r, ,,:r;,,";.;',;;;;,;';,"1;; tn rr,r,,,ru,., I,.slr,1j,,,1. la n,,ir,rr.,' ; ; ;i "i ;;i:,,1, U",,.lil,6,,ts{riog,,i Ia p.m.,r,,ntril,r, i" , i "" n, ,,t.,, iri,,,,r,"l,-, ,, ., .,lizri (ll;1",' (t564 t642). L,,s r,,.,";;;;,;';;;.i*,' u,#,lli^Ti:'i::;' ff .,1 5?;l ;.ll;,,1T,':li,lcyes de movimierto f undamentiles. I-a dirn.iica itcft ryc: l. La r:inentctca. la r:r*rl c.o5p1,ucle .rl estrdir, de l,r gt,,ure- tra del rncvirnicnto. Sr utilji.r p"r" .a"|"_.r:a',ipt""n_ rnielto, la veloci
10. 10. 11.2. Posicir1, velocidad y aceteracin 603 caciones en las que el noviriento de una partcula se define rnedian_ te las componentes lectanguJares de su rielocidad y aceJeracin; en este punto se anrliza el momierto tle un proyecti) (secc1n 1l.l l). En la seccilr 11.12 se estrrdia el movimiento de una partcula en relacin con el sisterla de refer.encir en traslacin. por rltiro, se na liza el rovirniento cun'ilneo de unn pattcula en trminos de com- ponentes que no sea las rcetenguJares. Las conrpolentes tangencia) nolrrrrl d* la r,,locirLr,l lrr lcel.racirr ,lc unr p,tr1 ula.. fr"**,,_ ln en Jrr r,,ccirin ll.l:i fas (ornnonerle: l-rdinl l tron.,r.r.ol ,J" ru relotidd rr.elerrcirirr .'n ll ,.c,in ILl4. MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS 11.2. POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN Una partcula que se rnueve a 1o lar.go de una lnca rect se dice qLre se encuertra en moDilhento rectilneo. En cualquier instaDte ddo f, ln partcula ocupar-ir cierta posicin sobe ln lnea recta. pra clefinir la posicicin P_ de h rarticula se elige ur.r or-igen fijo O sobre la djrecci
11. 11. 604 cinemtica de partcutas Si se usan unidades del SI, At se erpresa en metros y Af en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, Ar se expresa en pies y A/ en segundos; la velocidad promedio se eryresar entoces en pies por segundo (fVs). La aelocidad. instantdnea o de Ia partcula en el instante , se obtie- ne de la velocidad promedio al elegir interwalos Af y desplazamientos At cada vez ms crtos: Velocidad instantnea : o: lm Af.+O Aceleracin instantnea = a - lm ^'+o iComo se ve en la seccin 11.9, l velocidad es en ealidad una catidad vectorial. Sin embargo, puesto que aqu se considera el movimiento rectillneo de una partcula, en el cual la velocidad de la nism tiene una direccin conociria y ffja, slo es necesario espe- cificar el sentido y l.r nagnitud de la velocidd esto puede llevaise a cabo de manera con venierie utilizando un cnfldad esclar con un sigro mA o renos. Lo misDro se cumple pra I celecin de una p.rltcula en momiento rectilneo. A{ Af P a>0 l_-n)' La velocidad instantnea se expresa tambin en m,/s o fVs. Observando que el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de:c con respecto a se escribe (11.1) La velocidad o se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo.l Un valor positivo de o indica que r aumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva (figura 11.3a); un valor negativo de o indica que r disminuye, es decir, que la partcula se mueve en reccin negativa (figura I1.3b). La mag- nitud de o se conoce como la rapidez de la partcu1a. Considere la velocidad o de la paftcula en el empo , y tambin su velocidad o * Au en un tiempo postedor r + Al (figura 11.4). La aceleracin promndio de Ia partcula sobre el intervalo de tiempo At se refiele como el cociente de Ao y At, Aceleracin promedio : Atr At Si se utilizan las unidades del Sl, Au se eryresa en m/s y Af en-segun- dos; la aceleracin promedio se erpresar entonces en m/s'. Si se recurre a las uniddes de uso comn en Estados Unidos, Ao se expre- sa en ftls y Af en segundosr la aceleracin promedio se expresa enton- ces en ftlsz. La aceleraci.n instant(inea a de la partcula en el instante se obtiene de la aceleracin promeo al eicoger valores de Ar y Ao cada vez ms pequeos: dx. dt b) Figura 11.3 P,. f---* (fl (i + ^tl Figura 11.4 Ao E
12. 12. La rcelelriciu se representa lnecliante un nrmero algebr.aico que puecle ser positivo o ncgativo.l Urr r alor. tositir.tl de u inclic,r q,,,i Ia velocidad (es clccir', el nriuielo alqelrrair'J r ).rnleutr. Est,, liucdc significar rre la pnrtcuJa se estli noviendo r.iris r.ripido c,r, l,r iir.e"- cin positiva (figura 11.5n) o quc se ltueve llis lltimeltc en l,r direccin negativa (figula ll.5b); eD urbos casos, Ao es positi|a. U[ r llor ncgrtir u de indic rre disminuve la veJocidrid; 1i sel.r c1,,e la Frt(ul sc r.st ltnrientlo rns leltiunente el Ja dir-eccin positivl (figura 11.5c) o que sc cst rnoviendo rns rhpido el la diiecciril rleqltr it (fiqlir I 1.rl ). La acelerrcilr instr'ltinea se expres tabin en rr/s2 o ftlst. El lini te clel cocierlte, el cual t-:s por.definicinn l deivirclu rle L corr rest)icto a /. rrirl. ll rzdn Jer',rnlio dc l.r rel,,tiLlltl. Sc,:scrib. (11.2) o. ,or lir uslilu(in d., ,le ll.f7, (r 1.3) I l-..- 1 t'l I d Figura 11.5 1) t'l t' 11.2. Posicin, velocidad y aceteracin 605 Fotografa It.l 'Cuando un tractocamin se mueve a lo largo de una trayectoria recta, su rnov ^ni1lo esta caracterizado en cJalqu er inslanrp por sL coo-delaoa de posicin ^, sL velocidad y y su aceleracin a. ;,,i;i El frntto desaceLeracitin sc utiliz., t:n algnnas ocsiones par re- frjrse r, cuirntlo liL rritlcz dc la partcula festo es, la -ngriit,r,l ,1" r ) tLislirurye; 1a pallcula e rnLlevc entonces con mnlrrr leniltud. por ejernplo LLarticrlr rle lrr ligur':L ll.-r se d..lt.elerrr *rr las ,.1-5 /, , i err (rdrd i- Jceler (es d.cir.. se nrueve nrr.rs rpido) en'las plrtcs ayd. _ Es posihJc ohtener otrit cpr-esjr para lr cele.rcin elirnilclo lr dilerencial r/f en ls rcuacir'nes 11.1) y (I 1.2). Al resoh.er (11.1) para dl, se ohtiele d : dx/q tI sustituir en (11.2), se escjbe da (r l.,1) frse l.r,,ot rl pie. pgiD.r 60.1.
13. 13. / L I Ejemplo. Considere la partcula que se rrueve en una lnea r.ecta y suponga que su posicin est deffnida por la ecuacin x:6t2 f donde f se eT)resa en segundos y r en rnetros. La velocidad de o en c[alquier tiempo t se obtiene al diferencir r con respecto a 1'1 DE E:L e: re! ne co! ci tell lll I dr'1 t. lnI l6 0 dr n : l2t - 3t2 La rceleracn se obtiene al difrenciar. otr vcz con respecto l: d a:+-12-Ot L coordenrda de la posicirin, Ia velocidad y la aceleracin se han glaficado contr' t en la figura 11.6. Ls curvrs obtenidas se cono- cen corio atrcas dt: lnoDimiento. Recurdese, sin embargo, que la par:tcula no se rnueve a Io largo de ninguna de estls cuwis; li par.- tcula se rnuevc en ulr lnea rect. Puesto que la derivnda de una funcin mide la pendiente de la curwa correspondiente, la pendiente de la curva:r-f en cualquier tiempo dado ei igual al valor- de o en ese tiempo y la peridiente de lr cun l r -t es igurrl al vrtlor de . puesto que a : 0 en t : 2 s, la pendiente de la cun'a t-f debe ser cero en f :2 s; la velocidad alcrnza un mrximo en este instante. Adens, puesto quer: : 0 en t : 0 y I : 4 s la tangentc a la cur-va r- debe se horizontal para ambos de estos valores de f. Un estudio cle ls tres cun'as cle ntoinrielto de la figura 11.6 rllrestr que el momietto de lii pnrtcr a desde :0 hrsta /: cc puede dividirse en cuatro etaps: I. La partcula inicia desde el origen, I : 0, sin velocidad pero con un aceleracin positiva. Bajo esta celerrcin, garriuna velocidad positiva y se rnue en Li