• RANGO• DESVIACIÓN MEDIA Y ESTÁNDAR• DESVIACIONES TÍPICAS• VARIANZA• COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Fernanda G Bravo C

Medidas De Dispersión

Los estudios estadísticos permiten hacer inferencias de una característica de una población a partir de la información contenida en una muestra.

Los métodos numéricos que describen a los conjuntos de observaciones tienen como objetivo dar una imagen mental de la distribución de frecuencias.

Una vez localizado el centro de la distribución de un conjunto de datos, lo que procede es buscar una medida de dispersión de los datos.

La dispersión o variación es una característica importante de un conjunto de datos porque intenta dar una idea de cuán esparcidos se encuentran éstos.

Existen diversas medidas de dispersión, algunas de ellas se explican a continuación:

RANGO• Datos no agrupados

El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor detodos ellos.

Hay 2 maneras de expresar ésta medida:

1) La diferencia entre los valores mayor y menor2) Los valores mayor y menor del grupo

• Datos agrupados

Hay dos formas para determinar el rango para datos agrupados:

1) Rango = punto medio de la clase más alta – punto medio de la más baja2) Rango = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la más baja

Rango= Xmax-Xmin

Ventajas

• Es relativamente sencilla su obtención

• El significado de ésta medida es fácil de comprender

Limitaciones

• Considera sólo los valores extremos de un conjunto, y no proporciona

mayor información respecto a los demás valores del mismo

• Tiene una limitada utilidad para los distintos tipos de análisis estadísticos

Desviación media Desviación estándar

La desviación media o desviación promedio es abreviada por MD. Mide la desviación promedio de valores con respecto a la media del grupo, sin tomar en cuenta el signo de la desviación.

Datos no agrupados: x̅ es la media aritmética de los números y |xj-x̅| es el valor absoluto de la desviación de xj respecto de x̅ .

Datos agrupados: Si x1, x2, …, xk ocurren con frecuencias f1, f2, …fk, respectivamente, la desviación media es: Xj= los puntos medios de las clasesFj= correspondientes frecuencias de clase

Desviaciones

• La desviación estándar se denota por s.

Datos no agrupados: Se define como:

Datos agrupados: Si x1, x2, …, xk ocurren con frecuencias f1, f2, …, fk, respectivamente, la desviación típica se expresa como:

Donde:

Varianza y desviación típicaSe define como el cuadrado de la desviación estándar y se representa como S2

Datos no agrupados:

Datos agrupados:

En razón de su definición, la varianza se expresa en el cuadrado de las unidades en que se mide la variable, por ello aprovechando que su raíz cuadrada existe siempre por ser un numero positivo, se define la desviación típica; S, como la raíz cuadrada de la varianza, obteniéndose así una medida que se expresa en las mismas unidades que la variable por consiguiente la desviación típica será:

Y

Ejemplo: utilizando las calificaciones de 8 alumnos, tendremos los siguientes cálculos:

Por consiguiente, la varianza S2 será igual a 12/8=1,5 y la desviación típica S=1.22

Si estos mismos datos apareciesen tabulados, las operaciones serian:

Igual que antes, la varianza sera 12/8= 1,5 y la desviación típica 1.22

Calculo de varianza:Ejemplo: el cuadro siguiente de la distribución de las calificaciones de 40 alumnos y las operaciones necesarias para el calculo de la varianza.

Varianza(Propiedades)

1. La varianza siempre es un valor mayor o igual que cero, siendo únicamente nula cuando la variable toma un solo valor.

2. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les sumamos una constante a cualquiera (cambio de origen en la variable), la varianza de la variable transformada no varía respecto de la correspondiente a la variable primitiva.

3. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma los multiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero, (cambio de escala en la variable), la varianza de la variable transformada será igual a dicha constante elevada al cuadrado por la varianza de la primitiva.

4. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les multiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero, y a su resultado, les sumamos una constante a cualquiera, la varianza de la variable transformada será igual a la primera constante elevada al cuadrado por la varianza de la variable primitiva.

5. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a las frecuencias de todos los valores de la misma les multiplicamos por una constante k cualquiera, distinta de cero, la varianza de la variable transformada no variará respecto de la varianza de la variable primitiva.

6. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X referida a una población, que se puede dividir en dos o subpoblaciones disjuntas entre si, la varianza de la variable se puede definir a partir de las varianzas y medias de esa variable para cada una de las subpoblaciones.

Coeficiente De Variación

Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.

Propiedades

A menor CVx ⇒ mayor representatividad de la media X y menor dispersión Si 0 < CVx < 0,25, la media es muy representativa y existe poca dispersión Si 0,25 < CVx< 0,5, la media es moderadamente representativa y existe un grado medio

de dispersión Si CVX > 0,5, la media es poco representativa y existe mucha dispersión Sea Y = X + b ⇒ CVy 6= CVx

Sea Y = a X ⇒ CVy = CVx