¿Qué es Modelo Matemático?

Modelo matemático: una representación entérminos matemáticos del comportamiento dealgún sistema o fenómeno de la vida real.

¿Por qué hacemos Modelamiento Matemático?

El modelado de dispositivos y fenómenos esesencial tanto para la ingeniería como para laciencia, los ingenieros y los científicos tienenrazones muy prácticas para hacer modelosmatemáticos.

Modelamiento Matemático y el Método CientíficoMétodo científico identifica

El mundo real(El mundo externo)

El mundo conceptual (El mundo de la mente)

En el que vivimos, cuando tratamos de entender lo queestá pasando en ese mundoexterno real.

Etapas: - observación - modelado- predicción.

Aquí observamos diversos fenómenos y conductas, ya sean de origen natural o producidos por artefactos.

• En la parte de observación del método científico se mide lo que ocurre en el mundo real. Aquí nos reunimos evidencia empírica y los “hechos sobre el terreno”. Las observaciones pueden ser directos, como cuando usamos nuestros sentidos, o indirecta, en cuyo caso se toman algunas medidas para indicar a través de alguna otra lectura que un evento ha ocurrido. Por ejemplo, sabemos que a menudo una reacción química ha tenido lugar sólo midiendo el producto de esa reacción .

• La parte de modelado se ocupa de analizar las observaciones anteriores para:

• - describir el comportamiento y resultados observados; • - explicar porque el comportamiento y los resultados se produjeron

y como lo hicieron;• - predecir comportamientos o resultados futuros que son inéditas o

no medidas.

• En la parte de predicción del método científico utilizamos nuestros modelos para decir qué va a pasar en un experimento todavía no realizado o en un conjunto, que esperar de los acontecimientos en el mundo real. Estas predicciones son seguidos de observaciones que sirven ya sea para validar el modelo o para sugerir razones por las que el modelo es insuficiente.

Modelamiento Matemático y la Práctica de la Ingeniería

• Más allá de la observación de cómo funciona el mundo, los ingenieros están interesados en la creación de artefactos que aún no han construido.

• Los ingenieros deben ser capaces de describir y analizar objetos y dispositivos a fin de predecir su comportamiento para ver si ese comportamiento es el que quieren conseguir.

• En las prácticas de la ciencia y de la ingeniería de diseño, los modelos se aplican a menudo para predecir lo que sucederá en una situación futura.

ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELOS MATEMATICOS

Las leyes del universo están escritas en ellenguaje de las matemáticas. El álgebra essuficiente para resolver muchos problemasestáticos, pero la mayoría de los fenómenosnaturales más interesantes involucran cambiosdescritos por ecuaciones que relacionancantidades que cambian.

Debido a que dx/dt=f’(t) se la función f es larazón a la cual la cantidad x=f(t) está cambiandorespecto a la variable t independiente, es naturalque las ecuaciones que involucran derivadas seusen frecuentemente para describir el universocambiante.

ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELOS MATEMATICOS

• Las ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de áreas del conocimiento, no solo en las ciencias físicas, sino también en campos de índole diversa, como la economía, la medicina, la psicología, y la investigación de operaciones .

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:

1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física específica.

Mediante la identificación de las variables causantes de cambio del sistema. Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.Establecemos un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Estas hipótesis incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.

2. Encontrar exacta o aproximada solución de esa ecuación.

3. Interpretar la solución encontrada.

Proceso de modelado

11

La idea del modelo es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de lapoblación de un pais crece en forma proporcional a la población totalP(t), de este pais en cualquier momento.

Dinámica de población

Este modelo no tiene en cuenta muchos factores ( como migración ) que pueden influir en las poblaciones humanas. Sin embargo, se sigue usando esta ecuación para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo.

Concentración En La Mezcla De Fluidos

Concentración En La Mezcla De Fluidos

10L/min3Kg/L

A(t)400L

A(0)=20kg

10L/min

Supongamos que una solución salina con3kg de sal por litro se introduce en untanque que contenía originalmente 400litros de agua y 20kg de sal. Si la soluciónentra a razón de 10 litros/minuto, la mezclase mantiene uniforme revolviéndola, y lamezcla sale con la misma razón.

Hallar la cantidad de sal en el tanque despuésde 5 minutos.

Ejemplo:

Ro =10L

min

A(t)

400

kg

L

Ro =A(t)

40

kg

min

Ri = 10L

min3kg

L

Ri = 30kg

min

40

)(30

)(

min40

)(

min30

)(

tA

dt

tdA

kgtAkg

dt

tdA

20)0( A

CI

Ct

tA

Ct

tA

dt

tA

tdA

dt

tA

tdA

tA

dt

tdA

tA

dt

tdA

40))(1200ln(

40))(1200ln(

40)(1200

)(

40)(1200

)(

40

)(1200)(

40

)(30

)(

40

40

40

40

11801200)(

)(1200

)(1200

)(1200

t

t

C

t

Ct

etA

KetA

eetA

etA

• En un gran tanque con 1000 lt de agua pura secomienza a verter una solución salina a unarazón constante de 6 lt/min. La solucióndentro del tanque se mantiene resuelta y saledel tanque a razón 5 lt/min. Si laconcentración de sal en la solución que entraal tanque es de 0,1 kg/lt, determinar elmomento en que la concentración de sal en eltanque llegará a 0.05 kg/lt.

Concentración En La Mezcla De Fluidos

Modelos no lineales

Modelos no linealesTanque cilíndrico con fugas. Un tanque cilíndrico al tope de su

capacidad está goteando agua por un orificio circular localizado en su parte inferior. Cuando se ignoran la fricción y la contracción del agua en el orificio, la altura h de agua en el tanque está descrita por

donde Aw y Ah son las áreas representativas del agua y del orificio, respectivamente.

Cuando se toman en cuenta la fricción y la contracción del agua en el orificio, el modelo se convierte en

donde 0 < c < 1

Resulta interesante observar que las ecuaciones siguen siendo válidas incluso cuando Aw no es constante. En este caso, debemos expresar el área de la superficie superior del agua como una función h, es decir, Aw= A(h).

Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura, radio de 2 pies, y que el agujero circular tiene radio de ½ pulgada. Si en un inicio el tanque está lleno, a). ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse? ( Use g = 32 ft/s2, desprecie la fricción )

b). ¿Cuánto tardará en vaciarse el tanque del problema si c = 0.6?

Tanque cónico con fuga

Un tanque en forma de cono cilíndrico recto y lleno al tope, con el vértice haciaabajo, está goteando agua por un orificio circular localizado en la parte inferior.

a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y radio de 8 pies, y el orificiocircular tiene radio de 2 pulgadas demostrar que la ecuación diferencialrepresentativa de la altura h del agua que gotea de un tanque es

En este modelo, la fricción y la contracción del agua en elorificio se tomaron en cuenta con c = 0.6 y g es igual a 32 ft/s2.Vea la figura. Si el tanque está lleno al principio, ¿cuántotardará en vaciarse?

b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de 60° en el vértice, y el orificio circular tiene radio de 2 pulgadas. Determine la ecuación general que representa la altura del agua. Use c = 0.6 y g = 32 ft/s2. Si la altura del agua es inicialmente de 9 pies, ¿cuánto le llevará al tanque vaciarse?

• Una cerveza fría 35°F se calienta hasta 40°F en 3 minutos estando en un cuarto con temperatura de 70°F.Que tan caliente estará la cerveza si se sirve en 20 minutos.

FT

t

35

min0

0FT

t

40

min3

0

Ley de enfriamiento de Newton

La razón de cambio de la temperatura T(t) con respecto a tiempo de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura del medio M

Ley de enfriamiento de Newton

•La temperatura ambiente T, en la ecuación podría ser una función del tiempot. Suponga que en un medio ambiente controlado, Tm(t) es periódica con unperíodo de 24 horas, como se muestra en la figura. Diseñe un modelomatemático para la temperatura T(t) de un cuerpo dentro de este medioambiente.

f(x)=Posición media en el eje y amplitud Cos Ex

12

24

2

1

2

30

80110

)(

E

E

PeriodoTiempoen

fP

Periodo

A

A

ñalAmplitudSe

TTkdt

dTm

)))12

(3080((

)12

(3080)(

tCosTkdt

dT

tCostTm

Ejercicio.

Se dispara un cohete directamente hacia arriba. Durante las etapas iniciales del vuelo, tiene una aceleración 7t m/s2. El motor se corta en t=10 s. ¿ Hasta que altura llegará el cohete?

•Supongamos que un cuerpo de masa m se deja caer libremente desdeuna altura h, en la Grafica se presenta el diagrama de cuerpo libre, dondehay dos fuerzas presentes la F que es de rozamiento con el aire y esproporcional a la velocidad, k es una constante, y W que es el peso de lapartícula, entonces aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos:

Caída Libre de Un Cuerpo.

F = maåF +W = ma

a =dv

dt

-kv +mg = mdv

dt

mdv

dt+ kv -mg = 0

Un objeto de masa 3 kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con g=10 m/s2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad k=3 N s/m. Determinar el momento en que el objeto golpearía el suelo.