Modelos Matemáticos para la solución de circuitos

Universidad Autonoma de Baja California

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MODELOS MATEMATICOS PARA LA SOLUCION DE CIRCUITOS

Marcos Marcos Fernandoe-mail: [email protected]

RESUMEN: En la presente practica se realiza un circuito muy simple, este fue hecho de un tipo elemento pasivo, que es la resistencia en este caso y con un elemento activo, que en este caso es una fuente de tensión o también conocida como fuente de voltaje, el circuito en cuestión fue realizado primero como un circuito puramente teórico y de acuerdo a este se obtuvieron datos, como lo son las corrientes que pasa por cada rama del circuito, los voltaje que pasan por estas ramas todo de manera teoría y bueno, de esta manera fue posible obtener modelos matemáticos, que posteriormente fueron traspasados a un software de computadora (Microsoft Office Excel) y se comprobaron los resultados con otro software diseñado para armar circuitos de manera digital, lo ultimo fue recabar los datos de cada una de las herramientas utilizadas y que concordaran.

1 INTRODUCCIÓN

El ser humano hoy en día ha ideado y creado un inmenso numero de tipos de herramientas para solucionar problemas en particular que se les presentan en la vida, las matemáticas sin duda son el lenguaje del universo y con esto se puede hallar desde la explicación mas sencilla a una explicación tan compleja de un sistema, todo esto depende del tipo de problema con el que se este tratando. En la creación de circuitos electrónicos se presentan una gran cantidad de problemas, básicamente el problema es el crearlos, al momento de crearlos existen fallas con los elementos que son utilizados y esto genera una gran cantidad de costos monetarios, perdidas de material y algo tan importante como lo es el tiempo. Pensando en esto, se ha creado un circuito electrónico, el circuito es creado de resistencias y una fuente de voltaje. El circuito creado es utilizado para realizar modelos matemáticos que calculen corrientes de ramas y los voltajes y de esta manera predecir el funcionamiento de la misma, esto aun si se realizan cambios (ojo, no de la estructura del circuito, solo cambios de valores en los elementos que la componen, es este caso resistencias y la fuente de voltaje). Los modelos matemáticos se realizaran teóricamente analizando el circuito en cuestión, los modelos obtenidos de el circuitos se pasaran a Microsoft Excel©, tomando en cuenta que se tienen que ingresar los valores de las resistencias y fuente de voltaje, y ya obtenidos los datos se comprobara con otro software diseñado para realizar circuitos electrónicos, en este caso Multisim 11.0©.

2 TEORIA

División de voltaje: La división de voltaje o de tensión se utiliza para expresar una tensión total en ya sea una resistencia o en n resistencias en serie, como por ejemplo en la figura 1.

Figura 1. Ilustración de la división de voltaje.

La forma de obtener el voltaje de R1 es aplicando la ecuación (1):

V 1=V ( R1R1+R2 )(1)

y el voltaje de R2 con la ecuación (2):

V 2=V ( R2R2+R1 )(2)

Y para obtener el voltaje en una resistencia en un circuito con n cantidad de resistencias, el valor de la Rk

(una resistencia arbitraria) se obtiene con la siguiente ecuación (3):

V k=V ( R kR1+R2+R3+…+Rn )(3)

División de corriente: La división de corriente se utiliza para expresar la corriente en una o varias resistencias en paralelo, al igual como se muestra en la figura 2:

Figura 2. Ilustración de la división de corriente.La forma de obtener la corriente que pasa por R1

es con el siguiente cálculo matemático, ecuación (4):

i1=i( R2R2+R1 )(4 )

Ahora obtener la corriente i2, ecuación (5):

i2=i( R1R1+R2 )(5)

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El cálculo para realizar la división de corriente para n cantidad de resistencias y encontrar la corriente de una Rk (una resistencia arbitraria) es de la siguiente manera, ecuación (6).

i3=i(1R k

1R1

+ 1R2

+ 1R3

+…+ 1Rn

)(6)Resistencia: La resistencias es un componente

electrónico, y este se opone al movimiento de la corriente que pasa por ella. Las resistencias mas comunes son:

- Resistencia fija:

Figura 2.1. Símbolo de una resistencia fija.- Resistencia variable:

Figura 2.2. Símbolo de una resistencia variable.

Elementos pasivos: Son elemento que consumen o almacenan la energía. Por ejemplo:

- Resistencias- Capacitores o condensadores- Bobinas

Elementos activos: Son elementos que proporcionan o aportan energía eléctrica, y de esta manera para poder producir una tensión.

- Fuentes de voltaje o tensión- Fuentes de corriente

Resistencias equivalentes en serie: Cuando una cantidad n de resistencias se encuentran en serie, se puede realizar una suma de cada una ellas para obtener una resistencia equivalente, como se muestra en la figura 2.3.

Figura 2.3. Ilustración de un circuito con una fuente de voltaje y resistencia en serie.Req=R1+R2+R3+…+Rn(7)

Resistencia equivalente en paralelo: Para realizar la suma de n cantidad resistencias que se encuentran en paralelo una a la otra como lo muestra la figura 2.4, la forma de calcular una resistencia equivalente es desarrollando el siguiente calculo, ecuación 8:

Figura 2.4. Ilustración de un circuito con una fuente de voltaje y n cantidad de resistencias en paralelo.

Req=1

1R1

+ 1R2

+ 1R3

+…+ 1Rn

(8)

3 DESARROLLO

El desarrollo de la practica consiste en la creación de un circuito que conste solo de resistencia y una fuente de voltaje, de este circuito se obtendrá la caracterización matemática y se utilizaran programas para modelar el circuito y comprobar que la caracterización matemática es correcta.

Para el desarrollo de la práctica es necesario contar con el siguiente material:

- 9 Resistencias de 1009 Ω- 9 Resistencias de 1779 Ω- Fuente- Multímetro- Software Excel y Multisim- Protoboard- Un par de banana caimán

Procedimiento. Obteniendo la caracterización del circuito.

Para iniciar, se analizo el circuito ilustrado en la figura 3.1.

Figura 3.1. Ilustración de un circuito.El análisis del circuito de la figura 3.1 es

básicamente obtener la caracterización del circuito La caracterización del circuito consistió en obtener los modelos matemáticos de las corrientes que pasan por cada rama del circuito y los valores del voltaje o la

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tensión en cada una de las resistencias de todo el circuito.

Para obtener tanto corriente o voltajes fue necesario simplificar el circuito para poder aplicar los cálculos.

Lo primero consistió en reducir la cantidad de resistencias, las resistencias 12, 15, 17 y 18 (figura 3.1) fueron reducidas a una resistencia equivalente 1 (Req1)(Figura 3.2). Después las resistencias 13 y 16 (figura 3.1) son simplificadas y se obtiene una resistencia equivalente 2 (Req2) (figura 3.3).

Figura 3.2.

Figura 3.3.Se obtuvo Req1 y Req2 (Se encuentran en

paralelo), ahora estas resistencias se simplifican y se obtiene una resistencia equivalente 3 (Req3) (Figura 3.4). La Req3 se simplifica con la resistencia 14 y se obtiene una Resistencia equivalente 4(Req4) (Figura 3.5).

Figura 3.4.Lo que prosigue obtener una resistencia

equivalente 5(Req5)(3.6) de las resistencias 9 y 10 (Figura 3.5).

Figura 3.5.Ahora ya obtenidas las resistencias Req4 y Req5

se prosigue a simplificar estas aplicando el respectivo cálculo para obtener una resistencia equivalente 6 (Req6) (Figura 3.7).

Figura 3.6.Las resistencias Req6 obtenida y las resistencias 7,

8 y 11 se simplifican realizando un cálculo y obteniendo

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en si su modelo, la resistencia obtenida es Req7 (Figura 3.8).

Figura 3.7.Lo siguiente consiste en sumar la resistencia 2, 3,

4, 5 y 6 obteniendo una resistencia equivalente 26(Req26) lo obtenido simplificar con Req7(Figura 3.8), y así obtener una Resistencia equivalente 8(Req8)(Figura 3.9)

Figura 3.8.

Figura 3.9.Ya obtenidas las resistencias Req26 y Req7

(Figura 3.9) se simplifican aplicando el calculo debido para obtener la resistencia equivalente 8(Req8)(Figura 3.10) y la resistencia obtenida se simplifica con la resistencia 1, obteniendo la resistencia equivalente total (Rt) (Figura 3.11).

Figura 3.10.

Figura 3.11.Después de simplificar el circuito, lo que prosiguió

fue obtener el modelo de la corriente total (it) del circuito.

Figura 3.12. Circuito con una fuente de voltaje y una resistencia.

Después de haber obtenido el modelo la corriente total it del circuito, lo que sigue es obtener las corrientes que se dividen de esta en todo el circuito, para esto se aplica división de corriente, aplicando esto se obtiene el modelo de la corriente i1 e i2 (Figura 3.13).

Figura 3.13.Después de haber obtenido los modelos de la

corriente i1 e i2, el mismo procedimiento anterior se utilizar para calcular las divisiones de corriente de i2, así de esta manera obtener las corrientes i3, i4 e i5 (Figura 3.14).

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Figura 3.14.Al haber calculado los modelos matemáticos de las

corrientes i4 e i5 (Figura 3.14) se puede obtener el valor de la corriente i6 (Figura 3.15), tomando en cuenta en este caso que las corrientes i4 e i5 entran al nodo inferior derecho y de ahí sale la corriente i6.

Figura 3.15.Al obtener todos los modelos de las corrientes que

circulan por el circuito, lo que prosigue es obtener los modelos de los voltajes de cada resistencia del mismo circuito, el voltaje de cada componente es el producto de la corriente y la resistencia, para esto, la corriente es la que pasa por la resistencia.

Ya obtenidos todos los modelos matemáticos, estos se traspasaran a Microsoft Excel, pero claro, las resistencias tendrán valores, los valores serán asignados arbitrariamente por el practicante, en este caso las resistencias impares tendrán valores de 1004 Ω y las resistencias pares serán de 1779Ω y la fuente de voltaje proporcionara al circuito 5V, quedando el circuito como lo muestra la figura 3.16.

Figura 3.16. Ilustración de un circuito con resistencias y sus valores correspondiente.

Los modelos traspasados a Excel son la caracterización del circuito (Figura 3.17), pero primeramente se realizaron los cálculos (Las resistencias y la fuente de voltaje con sus valores) para saber cuales serian los resultados y así comprobarlos con Excel. Después de haber hecho lo anterior, el circuito será modelado en el Software Multisim 11.0 (Figura 4.1.1), y se compararan los datos obtenidos en los dos programas.

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Figura 3.17. Modelos matemáticos que caracterizan el circuito (Figura 3.16) y que fueron

ingresados a Excel.

La última parte consiste en modelar el circuito de manera real, esto quiere decir que el circuito será armado en un Protoboard, con resistencias del mismo valor.

Figura 3.18. Circuito armado en Protoboard.

Después de haber realizado el circuito en el Protoboard, lo que sigue es realizar las mediciones de corrientes que pasa por cada rama y los voltajes de cada componente utilizando el Multímetro.

Figura 3.19. Medición de corriente total del circuito con un Multímetro.

Figura 3.20. Medición de corriente en una rama determinada del circuito.

Figura 3.21. Medición de corriente en alguna rama del circuito.

Terminadas las mediciones de corriente y voltaje y claro, anotados los resultado, se comprueba que los resultados obtenidos de Excel y del modelo del circuito en Multisim concuerden.

4 DATOS EXPERIMENTALES Y DATOS CALCULADOS

4.1 Datos obtenidos de los modelos realizados en nuestra libreta.

Tabla 1.Req Valor Ω

Req1 5566Req2 2783Req3 1855,333Req4 3634,333Req5 2783Req6 1576,098

6


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Req7 5363,098Req8 3099,7522

Rt 4103,75Req(26) 7345

Tabla 2.Corrientes Valor (A)

it 0,0012184i1 0,0005141

9i2 0,0007042

1i3 0,0003988

1i4 0,0002035

9i5 0,0001018i6 0,0003053

9

Tabla 3.

Voltajes de Valor (V)Vt 5V1 1,223V2 0,91320144V3 0,51624V4 0,91320144V5 0,51624V6 0,91320144V7 0,707022V8 1,252782V9 0,4004

V10 0,709489V11 0,707022V12 0,181097V13 0,2044V14 0,543293V15 0,102204V16 0,363974V17 0,102204V18 0,181097

Los calculados realizados de los cuales se obtuvieron los resultados de la tabla 1,2 y 3 están ubicados en el apéndice.

4.2 Datos obtenidos de los modelos en Microsoft Excel.

Figura 4.1.1. Ilustración de circuito con la cual se elaboro la practica

Los valores asignados a cada resistencia se encuentran en la tabla 4.

Tabla 4.Resistencia Valor Ω

R1 1004R2 1779R3 1004R4 1779R5 1004R6 1779R7 1004R8 1779R9 1004

R10 1779R11 1004R12 1779R13 1004R14 1779R15 1004R16 1779R17 1004R18 1779

Las resistencias equivalente obtenidas en la simplificación del circuito se encuentran en la tabla 5.

Tabla 5.Req Valor Ω

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Req1 5566Req2 2783Req3 1855,33333

3Req4 3634,33333

3Req5 2783Req6 1576,09853

5Req7 5363,09853

5Req8 3099,75238

5Rt 4103,75238

5Req26 7345

Las corrientes calculadas con los modelos matemáticos en Excel están en la tabla 6.


it 0,001218397

i1 0,000514191

i2 0,000704207

i3 0,000398814

i4 0,000203595

i5 0,000101798

i6 0,000305393

Después de haber obtenidos las corrientes, se calcularon los voltajes de cada resistencia, resultados contenidos en la tabla 7.

Tabla 7.

Voltaje Valor (V)Vt 5V1 1,223270687V2 0,914744921V3 0,516247274V4 0,914744921V5 0,516247274

V6 0,914744921V7 0,707023413V8 1,252783517V9 0,400409114

V10 0,709489855V11 0,707023413V12 0,181097887V13 0,204409532V14 0,543293662V15 0,102204766V16 0,362195775V17 0,102204766V18 0,181097887

4.3 Datos obtenidos del modelo del circuito en Multisim.

Las mediciones de corriente obtenidas del modelo del circuito en Multisim.

Figura 4.2.1. Medición de corrientes en ramas de un circuito modelado en Multisim.

4.4 Datos obtenidos del circuito montado en Protoboard.

Realizando la medición de la resistencia total del circuito.

Figura 4.3.1. Midiendo la resistencia equivalente total (Rt) del circuito.

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Mediciones de corriente de diferentes ramas del circuito.

Figura 4.3.2. Medición de la corriente total (it) del circuito.

Figura 4.3.3. Medición de corriente i1 del circuito (véase Figura 4.1.1).




Mediciones de corrientes en tabla 5.


it 0,0012i1 0,00052i2 0,00071i3 0,0004i4 0,00021i5 0,00011i6 0,00031

Mediciones de voltaje en tabla 6.

Voltaje Valor (V)Vt 5V1 1,23V2 0,92V3 0,52V4 0,92V5 0,52

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V6 0,92V7 0,71V8 1,26V9 0,41

V10 0,72V11 0,71V12 0,19V13 0,21V14 0,55V15 0,11V16 0,37V17 0,11V18 0,19

5 ANALISIS DE RESULTADOS

5.1 Discusión de la precisión y exactitud de las mediciones.

La realización de la práctica consistía en realizar un experimento de tres maneras distintas, la primera era realizar modelos matemáticos de un circuito e ingresar estos modelos a una programa para que calculara los valores de los modelos al insertar valores a las variable (Resistencias y voltaje), lo segundo consistía en realizar el modelo del mismo circuito en una software diseñado para realizar circuito electrónicos y obtener la caracterización del circuito (Datos), y lo tercero consistía en modelar físicamente el mismo circuito en un Protoboard y realizar mediciones para obtener los mismos tipos de datos. Los datos obtenidos de estas tres maneras tenían que ser comparadas y verificar se obtuvieran datos muy parecidos a los reales, y bueno es lo que sucedió, los datos obtenidos en cada experimento (Excepto los datos obtenidos de Excel y Multisim) fueron distintos al compararlos, existen márgenes de error, debido a que las resistencias en si no tienen valor exacto por la tolerancia que tienen las resistencia y por otros factores, lo cual dio como resultado valores o datos semejante, mas no iguales.

5.2 Analisis de los posibles errores de medición.

Los errores de medición siempre van a suceder, no hay mediciones perfectas, ya sea por errores humanos o errores del dispositivo que mida, en el caso de la practica si surgieron errores de medición que cambiaban todo, como por ejemplo cuando se midieron las corrientes de las ramas, surgieron problemas con la mala colocación de los pines de las resistencias al volver a colocarlos al Protoboard después de la medición y esto cambiaba radicalmente todos los valores del circuito, pero estos problemas se solucionaron. Factores por lo cuales también hayan existido errores son los

multímetros, estos dispositivos no son perfectos como nada lo es, las mediciones que realizan estos dispositivos también tiene márgenes de error, quizá sean muy pequeñas o no, pero los tienen.

5.3 Descripción de cualquier resultado anormal.

En el desarrollo de la practica surgieron problemas en algunas mediciones, los errores fueron causados generalmente a que no se midieron correctamente las resistencias (Se midieron directamente del circuito montado, cuando se deben medir de forma individual) y los cual causo grandes diferencias en los datos calculados y medidos, otro problema fue el conectar el pin de las resistencias en otras ranuras del Protoboard donde no deberían de ir, lo cual provoco que el circuito cambiara así mismo los datos.

5.4 Interpretación de los resultados

Los resultados obtenidos no fueron exactamente los que se esperaban, pero es algo normal, fueron aproximados, gracias a que se utilizaron los valores reales de las resistencias (Las resistencias fueron medidas para ingresar su valor tal cual al programa Excel y Multisim) y esto mejoro todos los resultados y los objetivos fueron cumplidos.

6 APENDICE

Modelos matemáticos aplicados en el circuito, de esta manera se ingresan valores a cada resistencia y fuente de voltaje para así obtener los valores de la corriente en las ramas del circuito así como los voltajes de cada resistencia.

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7 CONCLUSION

El desarrollo de esta practica nos dio una herramienta muy útil, a pesar de que es algo que se puede hacer de manera muy sencilla, claro si se cuentan con los conocimientos necesarios para su elaboración, bueno a pesar de ser fácil, a veces los alumnos los pasamos por alto, esta practica nos dio la visión de que contamos con los conocimientos, pero el problema es que no sabemos plasmarlos o aplicarlos a la realidad. Los resultados esperados fueron satisfactorios y bueno se esperaban tales resultados, así que los objetivos de comprobar que se obtendrían resultados semejantes, se cumplieron, aun a pesar de ser comprobado de tres maneras distintas, lo que nos da seguridad en lo que se realizo y los datos obtenidos.

8 BIBLIOGRAFIA

http://www.espaciodelconocimiento.com/05%20EB%20CAPITULO%20III.pdf

http://mtosubaferias.wikispaces.com/file/view/DIVISOR+DE++VOLTAJE+Y++CORRIENTE.MARISOLMARTIN.docx

https://p8.secure.hostingprod.com/@www.miuniverso.org/ssl/gutierrezcasas/efren/uacj/clases/circ_elect_1/clase04/clase04.doc

http://www.espaciodelconocimiento.com/05%20EB%20CAPITULO%20III.pdf

http://www.frrg.utn.edu.ar/frrg/apuntes/programacion/sist_proc_datos/fuentes_consumos.pdf (Fuentes)

http://www.uco.es/~el1bumad/docencia/oopp/tema1.pdf

http://media.utp.edu.co/facultad-ciencias-basicas/archivos/contenidos-departamento-de-fisica/exp-23.pdf

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