PA U L A A N G É L I C A M A RT Í N E Z R A M O SFA C U LTA D D E A R Q U I T E C T U R A D E L A U A S

G E O M E T R Í A A N A L Í T I C AP R O F E S O R . M A U R I C I O Z ATA R A I N

S E M E S T R E 3 G R U P O 1

PARÁBOLA

INTRODUCCIÓN

• Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente, las Matemáticas, han estado presentes en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde refugiarse, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o montando tiendas, y siente además la necesidad de construir lugares especiales para enterrar y venerar a los muertos o adorar a los dioses, como los dólmenes, los túmulos o los monumentos megalíticos. Presencia que a lo largo de la historia nos ha dejado obras de gran belleza y utilidad.

• Parece evidente para cualquiera que siendo la forma y la estructura de las construcciones tan importantes en el diseño de las obras arquitectónicas, la Geometría y las Matemáticas sean una parte fundamental de la Arquitectura, como queda puesto de manifestó cuando se echa un vistazo a los temarios de algunas de las asignaturas de Arquitectura o Ingeniería.

• Podemos separar las aportaciones de estas en dos tipos:• i) Como herramienta de cálculo, por ejemplo para determinar la estructura y forma de la

obra arquitectónica, a la hora de estudiar el equilibrio, resistencia o estabilidad de un edificio, puente u otra construcción, para determinar las condiciones de luminosidad, temperatura, acústica y un largo etcétera.

• ii) Como fuente de inspiración y en el desarrollo de la creatividad, imaginación inventiva del arquitecto.

• En este caso se hablará de la parábola, se definirá, se hablara de sus aplicaciones en la vida diaria, y en un nivel mayor de importancia en el tema de la arquitectura.

PARÁBOLA

• Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia en una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo en el plano y que no pertenece a la recta.

• El punto fijo se llama Foco y la recta fija se llama Directriz de la parábola.

• La parábola aparece en muchas de las ramas de las ciencias aplicadas debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas.

• En la figura F: Foco y l: directriz. La recta que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola.

• Sea A el punto de intersección del eje y la directriz.

• El punto V, punto medio del segmento a AF, se llama vértice.

• El segmento de la recta como BB’ une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.

• Una cuerda que pasa por el foco tal como CC’ se llama cuerda focal.

• La cuerda focal LL’ se llama Lado Recto.

• Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une al Foco con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.

ECUACIÓN

• La distancia que existe de cualquier punto P( y,x ) que pertenezca a la parábola al foco es:

• Por su parte, la distancia que existe de cualquier punto P( y,x ) que pertenezca a la parábola a la directriz es:

• Ahora por definición: sustituyendo queda: • Ahora, elevando al cuadrado se tiene: • Desarrollando: • Eliminando los términos queda: • O bien: • Lo que es igual a ecuación conocida como ecuación

ordinaria o canónica de la parábola con vértice en el origen.

ECUACIÓN

• Similarmente, si el eje de la parábola también es el eje x , pero se abre para la izquierda entonces el • foco se ubica en F (0,− p) y

la directriz tiene ecuación x = p , gráficamente esto es:• Haciendo un análisis similar al

anterior se obtiene que su ecuación canónica es:

LADO RECTO

• Sustituyendo p en la ecuación se tiene: • Por lo tanto, cada ordenada tiene un

longitud de 2p , eso significa que el lado recto se calcula como:

DIRECCIÓN DE LA PARÁBOLA

• Si se abre hacia abajo con foco en F (0,− p) y directriz en y = p. Figura inferior izquierda

• Su ecuación ordinaria es:

• Por otra parte, si el eje de la parábola es el eje y , se tienen dos casos:

• Si se abre hacia arriba se tiene que el foco se ubica en F (0 p, ) y su directriz es: y = − p , tal y como se muestra en la figura superior a la derecha.

• Su ecuación ordinaria es:

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

• Si el vértice de la parábola con EP en x se ubica en V(k,h) y si se abre a la derecha, entonces se ha desplazado h unidades con respecto al eje x y k unidades con respecto al eje y . Esto se muestra en la siguiente figura:

• La parábola sobre los ejes y y tendría como ecuación: pero de la figura se aprecia que: y Por lo tanto si se sustituye en la ecuación con los ejes trasladados se tiene:

• El vértice en este caso está en: V( k,h )

• El foco se ubica en: F(h, k+p )• La ecuación de la directriz es: x =

h−p

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

• Similarmente, si el vértice de la parábola se ubica en ( k,h ) con EP : eje x pero si se abre a la izquierda, se tiene ahora la siguiente ecuación: • El vértice está en: V( k,h )• El foco se ubica en: F (h, k-p ) • La ecuación de la directriz es: x

= h+p

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

Si abre hacia arriba

• En este caso la ecuación de la parábola es:

• El vértice está en: V( k,h )• El foco se ubica en: F ( k, h+p) • La ecuación de la directriz es: y = k − p

Si abre hacia abajo

• La ecuación de la parábola es: • El vértice está en: V( k,h )• El foco se ubica en: F ( k, h−p)• La ecuación de la directriz es: y =

k+p

Cuando el eje de la parábola es el eje y, también se tienen dos casos en traslación:

CONSTRUCCIÓN DE LAS PARÁBOLAS

Por Doblado de Papel

La parábola se puede trazar con el doblado de papel:

• Trazar un segmento de recta LL’. (Preferiblemente a la izquierda de la hoja).

• Doblar la hoja, de forma tal que coincidan los extremos del segmento.

• Trazar una línea “S” sobre el dobles, esta línea es perpendicular al segmento inicial.

• Marcar un punto F sobre la línea “S”. (no tomar el punto muy lejos de LL’).

• Marcar un punto de LL’ y doblar el papel de forma que este punto coincida con el punto F.

• Repetir el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de LL’. (entre más puntos de LL’ se tome, mejor se apreciará la figura)

• Observe la figura que se forma.

Utilizando Regla y Compás.

• Tracemos un segmento de recta LL’. (preferiblemente a la izquierda de la hoja).

• Trace una perpendicular “S” a LL’.(el punto de corte de las perpendiculares llámelo O)

• Marque un punto F sobre “S”.• Tome el compás y haga una abertura igual a la

mitad de la distancia OF, y situando el pivote del compás sobre “o” marque sobre la recta “S” la distancia obtenida.

• Abrimos el compás con una abertura mayor a la anterior, colocamos el pivote en “O” y marcamos en donde corta LL’. (no mueva la abertura del compás)

• Colocamos ahora el pivote del compás en los puntos marcados en LL’ y trazamos un arco de circunferencia.(Todavía no cambie la abertura del compás)

• Trasladamos el pivote a “F” y trazamos un arco de circunferencia que intercepta a los que se hicieron anteriormente. Resalte estos puntos.

• Repita el procedimiento 5,6,7, hasta que se obtenga una gran cantidad de puntos.(6-10)

• Una los puntos que resalto y observe la figura que se forma.

PARÁBOLAS EN LA VIDA COTIDIANALa parábola tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.

• Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Fotografía estroboscópica de una pelota de tenis que se desplaza hacia la derecha, botando contra el suelo. Podemos distinguir dos arcos parabólicos. También vemos como el tamaño del arco se va haciendo más pequeño, la pelota cada vez bota a menor altura, debido a la pérdida de energía que experimenta en cada colisión.

ANTENA PARABÓLICA

• La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie es en realidad un paraboloide de revolución. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full duplex, llamadas así cuando pueden trasmitir y recibir simultáneamente. Suelen ser utilizadas a frecuencias altas y tienen una ganancia elevada.

• En las antenas parabólicas transmisoras, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en dicha superficie, produciendo ondas más coherentes que otro tipo de antenas.

• En las antenas receptoras el reflector parabólico se encarga de concentrar en su foco, donde se encuentra un detector, los rayos paralelos de las ondas incidentes.

ANTENA PARABÓLICA

Antena parabólica de foco primario Antena parabólica Offset

Antena parabólica Cassegrain

ILUMINACIÓN

• También obtenemos formas parabólicas cuando un haz luminoso de forma cónica se proyecta sobre una pared blanca de manera que la pared sea paralela a la generatriz del cono.

FUENTES Y AGUA

• El desplazamiento bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos arcos parabólicos. Como el caso de los chorros y las gotas de agua que salen de los caños de las numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades.

DEPORTES

OTROS

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.

Un radiotelescopio capta ondas de radio emitidas por fuentes de radio, generalmente a través de una gran antena parabólica (plato), o un conjunto de ellas, a diferencia de un telescopio ordinario, que produce imágenes en luz visible.

OTROS

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información.

PARÁBOLA EN LA ARQUITECTURA

GEOMETRÍA DE LA PARÁBOLA SEGÚN EL NÚMERO DE ORO

Todas las parábolas son similares: aunque el tamaño varíe, las constantes de su configuración son las mismas para todas ellas. En consecuencia, al quedar demostrado que la parábola se encuentra en la sección oval configurada por F, se establece las proporciones relativas de las principales dimensiones de toda parábola: parámetro, flecha y cuerda, con las implicaciones consiguientes. Así mismo la coherencia armónica del conjunto que asocia la figura oval con la parábola permite confirmar la ubicación del foco de ésta.

GEOMETRÍA DE LOS ARCOS APUNTADO Y PARABÓLICO

• Con el conocimiento o percepción de la armonía en las proporciones e inspirada en la forma del huevo, la arquitectura que prefirió los arcos apuntado y parabólico utilizó adobes y mortero de barro en muy antiguas culturas de diferentes lugares, hasta llegar a la música en piedra de la arquitectura gótica, para construir obras bellas y además durables. La preferencia por tales arcos se debió a que la regularidad armónica de éstos reúne óptimas condiciones estructurales para transmitir las cargas al suelo más directamente, con un mínimo de esfuerzos laterales.

ARCO PARABÓLICO

• De las diversas formas de arcos usadas en construcción, una tiene la forma de un arco parabólico. Tal forma, llamada arco parabólico La longitud AC en la base se llama claro o luz; la altura máxima OB sobre la base se llama altura del arco. Si el arco parabólico se coloca de tal manera que su vértice este en el origen y su eje coincida con el eje Y, y si la longitud del claro es 2s y la altura es h, entonces podemos demostrar fácilmente que la ecuación de la parábola toma la forma

PUENTES

Cualquier puente sólo puede mantenerse si puede soportar su propio peso (llamado el peso muerto) y el peso de todo el tráfico que le atraviesa (llamada carga viva). La carga crea dos fuerzas principales que actúan sobre las partes de un puente. Las dos fuerzas son de compresión y tensión:• Compresión - La fuerza de compresión empuja

hacia abajo en la cubierta del puente de suspensión. Pero al ser un puente suspendido, los cables transfieren la compresión a las torres, que disipan la compresión directamente en la tierra donde están firmemente arraigadas.

• Tensión - Los cables de soporte, que corren entre dos anclajes, son los afortunados destinatarios de las fuerzas de tensión. Los cables son extendidos desde el peso del puente y su tráfico a medida que corren de anclaje a anclaje. Los anclajes están también bajo tensión, pero ya que al igual que las torres, se mantienen firmes en la tierra, la tensión que experimentan se disipa.

PUENTES

• La forma parabólica del puente colgante es también interesante. A primera vista, la curva puede ser descrita como una catenaria. Una catenaria es una curva creada por la gravedad,  Sin embargo, debido a que la curva en un puente de suspensión no se crea solamente por gravedad (las fuerzas de compresión y tensión actúan en él) no puede ser considerado una catenaria, sino más bien una parábola. La forma parabólica permite a las fuerzas de compresión que deben transferirse a las torres, que sostiene el peso del tráfico. La forma parabólica también se puede demostrar matemáticamente, usando comparaciones fórmula.

PUENTES

PUENTES

CONCHA ACÚSTICA

Una parábola refleja un sonido producido en su foco según líneas paralelas. Una aplicación corriente de estas particularidades es la de los anfiteatros al aire libre en los que la concha atrás del escenario se diseña para reflejar los sonidos hacia al auditorio. 

La Concha Acústica de Schubert de Carpenter

CUBIERTAS DE BÓVEDAS PARABÓLICAS

• En la actualidad las bóvedas parabólicas ofrecen a los arquitectos los más variados tipos de cubrición.

CINCO BÓVEDAS PARABÓLICAS BODEGA PROTOS

• Se instalaron los arcos de madera laminada que conforman la estructura que más llama la atención de las nuevas bodegas: las cinco bóvedas parabólicas interconectadas, soportadas por grandes arcos de madera laminada, y que se revisten con piezas de terracota de gran formato para crear una estructura ligera y articulada. Las cinco bóvedas, de 18 metros de anchura cada una, están conectadas entre sí mediante piezas de acero a la estructura base de hormigón. Sobre estas piezas de madera que se colocan sobre apoyos en forma de ‘V’ en acero, reposan las vigas de madera y tensores que separan los arcos de las bóvedas parabólicas. La cubierta está compuesta de vigas secundarias y terciarias y un acabado de paneles multicapa y material aislante. 

CONSTRUCCIONES

• Arco ParabólicoEl arco parabólico es un monumento ubicado en el Centro Cívico de la ciudad de Tacna. Su altura es de 18m y construido en piedra de cantería.

• Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia, Brasil.

• Los arcos no se encuentran en el mismo plano y los cables de suspensión forman una superficie parabólica

CONSTRUCCIONES

"Cilindro parabólico" en el ático - Zaragoza

Paraboloide en la arquitectura popular(Nevero de Fuendetodos - Zaragoza)

Parabolide espacialCité de L´Espace – Toulouse

Puente sobre el Guadiana (Santiago Calatrava. 1992) L' Oceanographic. Valencia. Ciudad de las Artes y las Ciencias.

Valencia.

CONSTRUCCIONES

Barrio de La Dèfense. Paris. Ciudad de las Artes y las Ciencias. Valencia.

Casa Milá (Antonio Gaudí). Barcelona.

Colegio Teresiano (Antonio Gaudí). Barcelona.

Parábolas bajo el puente (La Manga del Mar Menor) Palacio Güell. Antonio Gaudí