Upload
ogie-saputra
View
124
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
PENELITIA IOERASIONAL TAMBANG
Disampaikan Oleh :Admizal Nazki
Teknik Pertambangan Jurusan Pertambangan
Universitas Negeri Padang2016
PROGRAM LINEARProgram linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program Linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Konsep dasar program linier telah ada pada jenjang pendidikan dasar, yang dimulai pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar benda di sekitar siswa, kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta membandingkan banyaknya benda. Di Sekolah Menengah Pertama (SMP) konsep diperluas melalui pembelajaran materi Sistem Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV), kemudian ditingkatkan melalui materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), di Sekolah Menengah Atas (SMA) telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier dan materi khusus program linier yang menyajikan persoalan sehari-hari, kemudian menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika, menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji titiksudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program linier yang membahas metode penyelesaian program linier yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi.
A. PROGRAM LINIERPemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam
mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
a. Formulasi PermasalahanUrutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan
mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
LANJUTAN
b. Pembentukan model matematikTahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan
optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
lannjutanBagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan
sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan
LANJUTANDi sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua
karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :Fungsi tujuan :Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
LANJUTANSimbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel
keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas
B. METODE SIMPLEKS
Pada bagian terdahulu masalah program linear dengan dua peubah keputusan masih dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada kenyataannya masalah program linear yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua peubah keputusan dengan berbagai macam batasan, sehngga dipandang tidak efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari penyelesaian optimumnya.
Menghadapi masalah program linear yang memiliki peubah keputusan lebih dari dua, metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah penyelesaian yang layak dalam bantuan tabel. Penggunaan dalam bentuk tabel ini membuat metode simpleks lebih siap untuk digunakan dengan bantuan komputer.
lanjutana. Bentuk-Bentuk Masalah Program Linear
Kendala utama masalah program linear dapat berbentuk ≤ atau = , I = 1,2,3,4,… m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang berbentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut:
(i) Bentuk kendala xj ≤ bi. dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan st pada ruas kiri sedimikian hingga + st = bt dengan st ≥ 0. Dalam hal ini, st = 0, bila = bi dan sj > 0 bila <>I
(ii) <>i, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c1 pada ruas kanan sedemikian sehingga = + ti atau i, dengan bi ≥ 0Sesuai dengan fungsinya, s1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan t1 disebut peubah kelebihan (surplus variabel).
LANJUTANBerdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi susunan persamaan linear.
= bi, i = 1, …, mialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan xj dimulai dari j = k + 1 samapi j = n. supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tidak negativeXj ≥ 0, j = 1, …, n
Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang mempunyai peyelesaian tidak terhingga banyaknya. Di antara peyelesaian (1) dicari yang juga memenuhi kendala tidak negative (2), dan inipun pada umumnya masih tidak terhingga banyaknya. Kemudian, diantara penyelesaian layak yang tidak terhingga banyaknya ini, kita mencari yang mengoptimumkan fungsi tujuan, utnuk memperoleh penyelesaian yang optimum
lanjutan
Untuk menyesuaikan dengan bentuyk kendala yang baru, fungsi tujuan yang semula berbentuk
Z = dilengkapi menjadiZ = dengan ck+1 = ck+2 = ck+3 …= cn = 0
Oleh karena itu, masalah program linear dapat digambarkan dalam berbagai bentuk seperti maksimasi atau minimasi dan dengan kendala dapat pula berbentuk lebih kecil atau sama dengan, sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan (≤, =, ≥), maka diperlukan suatu bentuk baku yang dapat memenuhi prosedur penyelesaian yang optimum. Bentuk baku yang sudah umum digunakan untuk meyelesaikan model program linear dapat dikemukakan sebagai berikut
LANJUTAN
1. bentuk bakubentuk baku dari masalah program linear dengan m kendala dan n
peubah, merupakan bentuk umum program linear. Keutamaan dari bentuk baku ini adalah: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua kendala utama digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah keputusan tidak negative, dan (d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative . dalam bentuk baku maslah program linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut :
mencari xj, j = 1, …, nyang memenuhi = bi I = 1, …, matau memaksimumkan atau meminimumkan Z = Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola maksimum , dan bila fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.
LANJUTAN2. bentuk kanonik
bentuk kanonik mempunyai karakteristik sebagai berikut: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimasi atau minimasi, (b) semua kendala utama berbentuk lebih kecil atau sama dengan (≤) untuk fungsi tujuan maksimum atau semua kendala utama berbentuk lebih besar atau sama dengan (≥) untuk fungsi tujuan minimum, (c)semua peubah keputusan tidak negative. Dalam bentuk kanonik masalah program linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut:mencari xj, j = 1,2 …nyang memenuhi , I = 1, … , mx1 ≥ 0untuk maksimumkan Z = hubungan dalam semua kendala utama berbentuk disebut berbentuk kanonik maksimum mencari xj, j = 1,2 …nyang memenuhi , i = 1, … , mx1 ≥ 0untuk maksimumkan Z = hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ≥ disebut berbentuk kanonik minimum
Contoh SOALTulis bentuk baku dari soal yang berbunyi:Mencari x,y yang memenuhi
5x + 4y ≤ 2003x + 6y = 1808x + 5y ≥ 160x, y ≥ 0 kendala tidak negative
untuk meminimumkan Z = 4x + 5y
penyelesaian:sisipkan peubah s pada kendala pertama dan peubah t pada kendala ketiga sehingga soal menjadi:mencari x, y, s, t yang memenuhi
5x + 4y + s = 2003x + 6y = 1808x + 5y - t = 160x, y, s, t ≥ 0 kendala tidak negative
untuk meminimumkan Z = 4x + 5y + 0s + 0tsoal ini sudah berbentuk baku dengan x,y peubah asli, s peubah kekurangan dan t peubah kelebihan
b. Tahapan-Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks
1. Tahap pra analisis
i. mengenali masalah PL yang diajukan:beberapa keterangan yang perlu diajukan pada tahap ini, yaitu apakah fungsi tujuan· meminimumkan atau memaksimumkan?· Terdapat berapa banyak peubah asli?· Terdapat berapa banyakkendala utama?
ii. Konversi semua kendala kedalam bentuk baku (system persamaan)· Masukkan peubah kekurangan (slack) atau,· Masukkan peubah kelebihan (surplus) atau,· Masukkan peubah semu (artifisial)
2. Tahap analisis
i Tentukan pemecahan layak dasar (basis) awalii Sajikan data masalah PL ke dalam tabel simpleks awaliii Tentuka kolom peubah yang akan masuk dalam dasar, kolom ini disebut kolom kunci. Apabila masalah PL berpola maksimum keuntungan, maka penentuan kolom kunci ini ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang memepunyai nilai negative terbesar (zj – cj ¸0). Dan apabila berpola minimum biaya, maka kolom kunci ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang mempunyai nilai positif terbesar (zj – cj > 0)iv Tentukan peubah yang akan keluar dasar (disebut baris kunci) dengan Ri yang terkecil.v Cari unsur baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua unsur yang terdapat pada baris kunci dengan unsur kunci. Unsur kunci adalah unsur yang terdapat pada persilangan pada baris kunci dengan kolom kunci.vi Mencari unsure baru pada baris yang laindengan aturan unsure pada baris baru = unsur pada baris lama dikurangi dengan hasil kali unsure pada kolom kunci dengan unsur baru baris kunci.vii Apabila penyelesaian optimum belum trcapai pada tabel yang bersangkutan, maka ulangi kembali langkah (iii) sampai dengan ditemukannya penyelsaian optimum. Penyelesaian optimum tercapai bila zj – cj ≤ 0 untuk semua j pada pola minimum.
lanjutan
Maks/Min Ci
CB XB X1 X2 …. xn bn R1
CB1
CB2
.
.
.
CBM
XB1
XB2
.
.
.
XBM
a11
a21
.
.
.
am1
a12
a22
.
.
.
am2
….
….
….
….
….
….
a1n
a2n
.
.
.
amn
b1
b2
.
.
.
bm
R1
R2
.
.
.
Rm
zj Z1 Z2 …. zmn z
zj - cj Z1-c1 Z2-c2 … Zn-cn
Untuk mengoperasikan data-data soal dan menerapkan tahapan-tahapan di atas disusun tabel yang kemudian disebut tabel simpleks sebagai berikutTabel simpleks
Keterangan tabel :
CJ : koefisien ongkos dari fungsi tujuan dan koefisien peubah kekurangan/ kelebihan/ semu
CB : Koefisien ongkos untuk peubah dasar XB
XB : Peubah yang menjadi dasar dalam tabel yang ditinjau
Xj : Peubah-peubah lengkap (asli/kekurangan/kelebihan/semu)
aij : koefisien teknis
bi : suku tetap (tidak negatif) atau nilai ruas kanan setiap kendala
zj : (hasil kali dari CB dengan kolom aij )
z : (hasil kali dari CB dengan bi
zj - cj : selisih zj dengan cj
Apabila tabel bersangkutan belum optimal dan Xb terpilih sebagai dasar baru maka dibuat kolom Ri yang diperoleh dengan Ri = , hanya untuk aek > 0.
c. Pemecahan awal yang layakPenyelesaian masalh program linear dengan metode simpleks,
menghendaki adanya pemecahan awal yang layak pada awal perhitungan.tanpa adanya pemecahan awal yang layak (dasar awal yang layak), maka tabel simpleks tidak dapat dibentuk. Hal demikian tentu saja tidak dapat ditemui pad setiap permasalahn program linear. Untuk dapat menyelesaikan permasalahn program linear sehingga didapat pemecahan awal yang layak. Pendekatan dasar yangdapat ditempuh adalah dengan penambahan peubah semu (artificial variabel).
Contoh Tentukan x1 dan x2 tidak negative dan maksimumkan X = 4x1+5x2 yang
memenuhi
5x1 + 4x2 ≤ 2003x1 + 6x2 = 1808x1 + 5x2 ≥ 160X1, x2 ≥ 0
Soal diatas diuba ke bentuk baku dengan menyisipkan peubah kekurangan ke dalam kendala ke-1 dan peubah kelebihan ke dalam kendala ke-3, sedang kendala ke-2 tidak memerlukan karena sudah berbentuk persamaan, jadi aoal sekarang adalah
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative danMaksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4
5x1+ 4x2 + x3 = 2003x1 + 6x2 = 1808x1 + 5x2 - x4 = 160 danx1, x2, x3, x4 ≥ 0
LANJUTANsekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah
dasar yang layak?
· Kendala ke-1 : memiliki peubah dasar yang layak yaitu x3
· Kendala ke-2 : belum memiliki peubah dasar· Kendala ke-3 : memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat
nilai negative untuk -x4
Oleh karena itu, tabel awal simpleks belum dapat dibuat. Untuk mendapatkan pemecahan awal yang layak, maka kendala ke-2 dan ke-3 perlu ditambahkan peubah semu yang bertindak sebagi peubah dasar yang layak.
Sebagai akibat, timbul syarat perlu supaya soal asli mempunyai penyelesaian optimum ialah bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol.
lanjutanDengan demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena koefisien ongkosnya negative besar, sehingga soal menjadi :
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan
Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 – Mx6
5x1+ 4x2 + x3 = 200
3x1 + 6x2 -x5 = 180
8x1 + 5x2 - x4 -x6 = 160 dan
x1, x2, x3, x4 , x5, x6 ≥ 0
sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal
C. ANALISIS PRIMAL - DUAL
Setiap persoalan program linier selalu mempunyai dua macam analisis, yaitu : analisis primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.
Model Umum Persoalan Primal – Dual
Bentuk Primal :
Maksimumkan : syarat ikatan : ≤ bi untuk i= 1, 2, 3, ...,m.dan Xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , nKalau akan dinyatakan menjadi Bentuk Dual :Minimumkan : F = syarat ikatan : ≥ Cj , untuk j= 1, 2, 3, ...,n.Yi ≥ 0, I = 1,2,… mDimana: Zopt = adalah sama dengan Fopt =
Aturan umum dalam perumusan persoalan Program Linier menyangkut Bentuk Primal dan Dual adalah :
Bentuk Primal Bentuk Dual
Memaksimumkan fungsi tujuan Meminimumkan fungsi tujuan, dan sebaliknya.
Koefisien fungsi tujuan (Cj ) Nilai Sebelah Kanan (NSK) fungsi kendala
NSK fungsi kendala primal-primal (bi ) Koefisien fungsi tujuan
Koefisien peubah ke-j Koefisien kendala ke-j
Koefisien kendala ke-i Koefisien peubah ke-i
Peubah ke-j yang positif (≥ 0)Kendala ke-j dengan tanda ketidaksamaan “lebih
besar daripada atau sama dengan “ (≥).
Peubah ke-j tandanya tidak dibatasi Kendala ke-j yang bertanda sama dengan
Kendala ke-i yang bertanda sama dengan Peubah ke-i tandanya tidak dibatasi
Kendala ke-i yang bertanda ketidaksamaan (≤) Peubah ke-i yang positif (≥)
D. METODE TRANSPORTASIMetode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk
mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan
bawah Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang
efisien. 2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil
dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC. Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:1. Stepping Stone (batu loncatan) 2. Modified Distribution Method (MODI) Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana
penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).