Proctor normal automatizado

Algorítimo para Representação dos resultados do Ensaio Proctor Normal

Autor: Romildo Aparecido Soares Junior

Prof.Dr. : Persio Leister de Almeida Barros

Compactação dos Solos• Compactação → procedimentos visando aumentar a compacidade de um solo pela redução de

vazios através esforços externos gerados por meios mecânicos.

• Objetivo → melhoria e estabilidade de propriedades mecânicas dos solos:• – redução da compressibilidade;• – aumento de resistência;• – redução da variação volumétrica por umedecimento e secagem;• – redução na permeabilidade

• Emprego• – construção de aterros;• – construção de camadas constitutivas de pavimentos;• – construção de barragens de terra;• – preenchimento com solo entre maciço e estruturas de arrimo;• – preenchimentos de cavas de fundações e de tubulações enterradas.

• Técnica básica• – lançamento de material de empréstimo (oriundo de jazida) ou do próprio local (reenchimentos);• – passagem de equipamentos que transmitam ao solo a energia de compactação carga móvel ⇒

(amassamento, impacto ou vibração) ou estática.

Eficiência na Compactação• A densidade com que um solo é compactado, sob uma determinada

energia de compactação, depende da umidade do solo no momento da compactação. Proctor verificou que na mistura de solo com maiores quantidades de água, quando compactada, o peso específico aparente da mistura aumentava, porque a água de certa forma, funcionava como lubrificante, aproximando as partículas, permitindo melhor entrosamento e, por fim, ocasionando a redução do volume de vazios. Num determinado ponto, atingia-se um peso específico máximo, a partir do qual, ainda que se adicionasse mais água, o volume de vazios passava a aumentar. A explicação desse fato reside em que quantidades adicionais de água, após o ponto citado, ao invés de facilitarem a aproximação dos grãos, fazem com estes se afastem, aumentando novamente o volume de vazios e causando o decréscimo do pesos específicos correspondentes.

• Para determinar estes valores para maior eficiência na compactação, foi criado o ensaio Proctor Normal.

Ensaio de Compactação Proctor Normal

• O ensaio de Proctor é normalizado pelo método de ensaio NBR 7182, sendo que as energias especificadas na norma são: normal, intermediária e modificada, variando-se com esta finalidade, as dimensões do molde e do soquete, número de camadas e golpes, conforme pode ser observado na tabela.

• Características inerentes a cada energia (compilado da NBR 7182).


• O ensaio pode ser realizado de cinco maneiras: com ou sem reuso de material, sobre amostras preparadas com secagem prévia até a umidade higroscópica ou sobre amostras preparadas a 5 % abaixo da umidade ótima presumível ou sem reuso de material, sobre amostras preparadas a 3 % acima da umidade ótima presumível. Na figura está apresentado a preparação da amostra desde a secagem ao ar livre, destorroamento até a umidificação para obtenção de diferentes pontos (5 teores de umidade).

• Amostra deformada secando ao ar livre (a); seca (umidade higroscópica) (b); colocação em caixas (c); preparação da amostra com diferentes teores de umidade (5 teores) e (d) homogeneização (e). Após a amostra ter sido homogeneizada, é realizada a compactação, utilizando-se o molde pequeno ou o grande.

Ensaio de Compactação Proctor Normal• Compactação Proctor (a) cilindro pequeno e soquete pequeno (b) cilindro grande e soquete grande. É

colocado o papel filtro ((a)) e lançada a quantidade de solo em camadas (vide esquema da figura (b), conforme energia especificada (energia, normal intermediária ou modificada), tomando-se o cuidado de escarificar a face superior da camada compactada, antes de lançar a próxima, para promover a aderência entre ambas. Na (c) está apresentada a compactação utilizando-se o cilindro grande. Após a compactação, o cilindro com o solo é pesado ( (d)) e finalmente o corpo de prova é extraído do molde ((e) e (f)).

(a) Colocação de papel filtro no molde; (b) esquema de compactação (soquete leve e soquete pesado); (c) compactação cilindro grande; (d) pesagem do corpo de prova após a compactação; (e) e (f) extração do corpo de prova.


• Compactado o corpo de prova, determina-se:

• Com os 5 ou 6 pares de valores γd e w obtidos constrói-se por ajuste manual aos pontos a curva de compactação e desta estima-se os valores de γdmáx e wót.


• No ponto de inflexão da curva determinamos o teor de umidade ótimo (hot) que representa que se um solo for compactado com a energia do ensaio, nesse teor de umidade ele apresentará a massa específica aparente seca máxima. O ramo ascendente da curva de compactação é denominado ramo seco e o ramo descendente, de ramo úmido. No ramo ascendente, a água lubrifica as partículas e facilita o arranjo destas, ocorrendo por essa razão, o acréscimo da massa específica aparente seca. Já no ramo descendente, a água amortiza a compactação e começa a ter mais água do que sólidos, sendo por essa razão que a massa específica aparente seca decresce.

Algorítimo para Ajuste da Curva

• Um algorítimo para ajuste da curva de compactação proporcionaria resultados mais precisos e aceleraria o ensaio, pois somente seria necessário inserir os pontos em um software e este traçaria a curva do solo, e mostraria os seus valores ótimos mais rapidamente.

Métodos para ajuste de curva• Curvas de Bézier : são as curvas mais fundamentais, usadas geralmente em computação gráfica

e processamento de imagens. Essas curvas são utilizados principalmente na interpolação, aproximação, ajuste de curva, e representação do objeto. Elas foram nomeadas por Pierre Bézier, um matemático francês e engenheiro que desenvolveu este método de desenho de computador no final dos anos 1960, enquanto trabalhava para a fabricante de automóveis Renault.

Métodos para ajuste de curva• A spline é uma ferramenta de curva muito importante quando queremos criar geometrias de

superfícies, ele possibilita grandes variações e muita liberdade para desenharmos uma geometria. A spline passa diretamente pelos pontos de controle.

Métodos para ajuste de curva• A Regressão Não Linear é utilizada quando conhece-se uma tabela de pontos (xi; yi), onde cada

yi é obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f(x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos.

Seleção do Método de Ajuste

• A curva de Bézier passa muito longe dos pontos de controle intermediários, podendo gerar desvios no resultado final.

• A Spline poderia ser uma boa escolha se todos os ensaios oferecessem resultados com baixa oscilação, pois ela passa diretamente pelos pontos, por causa disso, ela poderia causar desvios.

• A Regressão Não-Linear parece ser a melhor escolha pois utilizando o método dos mínimos quadrados, apartir da derivada primeira, pode-se chegar a uma curva média que passa próxima aos pontos de controle. Este será o método apresentado a seguir.

Regressão Não-Linear• Estamos interessados em minimizar a distância de cada ponto (xi; yi) da tabela à

cada ponto (xi; a0 + a1xi + a2xi2) da curva

Regressão Não-Linear

• A distância entre esses pontos é e a soma dos quadrados dessas distâncias é:

• Os candidatos a ponto de mínimo da função q são aqueles para os quais são nulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus parâmetros, isto é: (m é o grau da equação p(x) )


• Derivando então, a função q em relação a cada termo temos :

• Estas são chamadas de equações normais. ( Todos os somatórios vão de I = 1 até n, n = número de pontos )


• Com as equações normais, monta-se um sistema linear :

• Resolvendo este sistema, encontramos as incógnitas a0, a1 e a2, que são os coeficientes da equação de segundo grau que melhor se ajusta ao conjunto de pontos (xi, yi)

Regressão Não-Linear - Exemplo

• Foram obtidos os seguintes dados apartir do ensaio de compactação Proctor Normal, traçar a curva de compactação : ( Fonte : Exemplo 5.1 do livro Fundamentos de Engenharia Geotécnica, Braja M. Das )


• Substituindo estes valores no sistema linear de equações normais :

Obtendo o seguinte sistema :


• Resolvendo para a0, a1, a2 o sistema :


• Estes coeficientes formam a equação que melhor se ajusta aos pontos :

• Derivando e igualando a 0 temos o valor da umidade ótima :


Comparação de resultados• Gráfico manual do exemplo :

• Houve um desvio de 0.325 lb/ft^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.394 % para a Umidade Ótima.

Comparação de resultados 2• Pontos obtidos por ensaio Proctor Normal :

• Peso Específico Seco Máximo foi de 2.020 g/cm^3 e 8.9 % para a Umidade Ótima.

Comparação de resultados 2• Curva obtida pela regressão não linear : Peso Específico Seco Máximo foi de 2.011 g/cm^3 e

9.467 % para a Umidade Ótima.

• Houve um desvio de 0.009 g/cm^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.567 % para a Umidade Ótima.

Comparação de resultados 3• Pontos obtidos por ensaio Proctor Normal :

• Peso Específico Seco Máximo foi de 1.975 g/cm^3 e 9 % para a Umidade Ótima.

Comparação de resultados 3• Curva obtida pela regressão não linear : Peso Específico Seco Máximo foi de 1.975 g/cm^3 e

8.34 % para a Umidade Ótima.

• Houve um desvio de 0.000 g/cm^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.64 % para a Umidade Ótima.

Algorítimo• O código apresentado está em javascript, uma linguagem derivada do java, mas

voltado para aplicações de internet.

Algorítimo• Primeiro, colhemos as variáveis dos respectivos formulários. Depois calculamos cada somatório devido a

Regressão Não-Linear. Quando o usuário pressiona o botão “Minimos Quadrados” os somatórios são então repassados para o sistema linear.

Algorítimo• Depois, o usuário clica no botão solve, para obter os coeficientes da curva e também os valores da

umidade ótima e do peso específico seco máximo. Eles são calculados apartir da derivada da equação de segundo grau. A Equação é então enviada para o input de função.

Conclusões

• Considerando os valores feitos manualmente temos uma diferença de resultados da ordem de 2% com a curva ajustada. Verificando o erro aproximado dos testes rápidos para umidade do solo, vemos que seu erro também é por volta de 2%, que é o caso do teste Speedy. Assim sendo, vemos que a diferença de resultados não é muito grande, portanto a Regressão Não-Linear é um método que pode ser utilizado na prática, afim de aumentar a produtividade em grandes laboratórios de análise de solos.

Referências :• JEAN GALLIER : CURVES AND SURFACES IN GEOMETRIC MODELING: THEORY AND

ALGORITHMS, DEPARTMENT OF COMPUTER AND INFORMATION SCIENCE UNIVERSITY OF PENNSYLVANIA

• GUEDES S. B. : ESTUDO DA VIABILIDADE TÉCNICA DO CONE DE PENETRAÇÃO DINÂMICA (CPD), DO CONE DE PENETRAÇÃO ESTÁTICA (CPE) E DO PENETRÔMETRO PANDA NO DIMENSIONAMENTO DE PAVIMENTOS URBANOS, CAMPINA GRANDE – PARAÍBA, MAIO DE 2008

• ADRIAN COLOMITCH : INTRODUCTION TO CUBIC AND QUADRATIC BEZIER CURVES, SEP. 2004

• JOSEPH P. PREVITE : 3 X 3 EQUATION SOLVER, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, PENN STATE ERIE, THE BEHREND COLLEGE

• MARCONE JAMILSON FREITAS SOUZA : AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS

• CEZAR BASTOS : MECÂNICA DOS SOLOS - COMPACTAÇÃO DOS SOLOS, DMC/FURG

• RITA MOURA FORTES : COMPACTAÇÃO DOS SOLOS

Engineering

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