RESISTENCIA DE MATERIALES: Métodos de energía

Libro guía:

Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.

Notas de clase realizadas por:

J. Walt Oler Texas Tech University

Traducidas y modificadas por:

M. Ing. Jónatan Pozo PalaciosUniversidad Politécnica Salesiana

Métodos de energía

Métodos de energía

11 - 2

- Energía de deformación.

- Densidad de energía de deformación.

- Energía elástica de deformación para esfuerzos normales.

- Carga de impacto.

- Diseño para carga de impacto.

- Trabajo y energía bajo una carga única.

- Deflexión bajo una carga única por el método de trabajo energía.

- Trabajo y energía bajo varias cargas.

- Teorema de Castigliano.

- Deflexión por el teorema de Castigliano.

Ejemplos de aplicación de métodos de energía

11 - 3

Atenuador de impactos para un formula SAE


11 - 4

Atenuador de impactos para un formula SAE


11 - 5

Impacto frontal de un vehículo contra un poste

Energía de deformación

11 - 6

• Una barra uniforme es sometida a una carga que incrementa lentamente.

• El trabajo elemental realizado por la carga P mientras la barra se estira una pequeña distancia dx es:

el cual es igual al área de ancho dx bajo el diagrama esfuerzo deformación.

elementaldxPdU trabajo

• El trabajo total hecho por una carga para una

deformación x1,

1

0

x

dxPU

11212

121

0

1

xPkxdxkxUx

• En el caso de una deformación elástica,

trabajo total = energía de

deformación

Densidad de energía de deformación

11 - 7

• Para eliminar los efectos del tamaño, evaluar la energía de deformación por unidad de volumen,

ndeformació deenergía de densidaddu

L

dx

A

P

V

U

x

x

1

1

0

0

• Cuando se deja de aplicar la carga en el material el esfuerzo regresa a cero, pero existe una deformación permanente. Sólo se recupera la energía de deformación representada por el área triangular.

• El resto de la energía se disipa en el material en forma de calor.

• La densidad de la energía de deformación, es igual al área bajo la curva hasta el punto

Densidad de energía de deformación

11 - 8

• La energía de deformación resultado de seleccionar R es el módulo de tenacidad.

• La energía por unidad de volumen requerida para causar la ruptura de un material es relacionada con su ductilidad y su resistencia última.

• Si el esfuerzo se mantiene dentro del limite proporcional,

E

EdEu x 22

21

21

01

1

• La densidad de la energía de deformación que resulta de hacer Y es el módulo de resiliencia.

aresilienci de moduloE

u YY

2

2

Ejercicios

11 - 9

Determine el módulo de resiliencia para cada uno de los siguientes metales:

Energía de deformación elástica para esfuerzos normales

11 - 10

• En un elemento con una distribución de esfuerzos no uniforme,

ndeformacio de totalenergia lim0

dVuU

dV

dU

V

Uu

V

• Para valores de u < uY , i.e., debajo del limite proporcional,

ndeformació de elástica energía 2

2

dVE

U x

• Bajo carga axial, dxAdVAPx

L

dxAE

PU

0

2

2

AE

LPU

2

2

• Para una barra de sección transversal uniforme,

Ejercicio

11 - 11

Ejercicio

11 - 12

Ejercicio

11 - 13

En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos son del mismo material y tienen la sección transversal indicada. Determine la energía de deformación de la armadura cuando se aplica la carga P.

Energía de deformación elástica para esfuerzos normales

11 - 14

I

yMx

• Para una viga sometida a una carga de flexión,

dVEI

yMdV

EU x

2

222

22

• Haciendo dV = dAdx,

dxEI

M

dxdAyEI

MdxdA

EI

yMU

L

L

A

L

A

0

2

0

22

2

02

22

2

22

• Para una viga en voladizo con una carga en el extremo,

EI

LPdx

EI

xPU

PxM

L

62

32

0

22

Problema de muestra 11.2

11 - 15

a) Tomando en cuenta únicamente esfuerzos normales debidos a flexión, determine la energía de deformación de la viga para la carga mostrada.

b) Evalué la energía de deformación conociendo que la viga es de un perfil W10x45, P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft, y E = 29x106 psi.

SOLUCIÓN:

• Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa.

• Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación.

• Aplicar las condiciones particulares para evaluar la energía de deformación.

• Desarrolle un diagrama de la distribución momento flector.


11 - 16

SOLUCIÓN:

• Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa.

L

PaR

L

PbR BA

• Desarrollar un diagrama de distribución del momento flexionante.

vL

PaMx

L

PbM 21


11 - 17

vL

PaM

xL

PbM

2

1

BD, Tramo

AD, Tramo

43 in 248ksi1029

in. 108in. 36a

in. 144kips45

IE

b

LP

• Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación.

baEIL

baPbaab

L

P

EI

dxxL

Pa

EIdxx

L

Pb

EI

dvEI

Mdx

EI

MU

ba

ba

2

2223232

2

2

0

2

0

2

0

22

0

21

6332

1

2

1

2

1

22

EIL

baPU

6

222

in 144in 248ksi 10296

in 108in 36kips4043

222

U

kipsin 89.3 U

Carga de impacto

11 - 18

• Considerar una barra que es golpeada en su extremo con un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v0.

• La barra se deforma por la carga de impacto. Los esfuerzos llegan a un valor máximo m y luego desaparecen.

• Para determinar el esfuerzo máximo m

- Asumir que la energía cinética se transfiere completamente a la estructura, 2

021 mvUm

- Asumir que el diagrama esfuerzo deformación obtenido de un ensayo quasi - estático también es válido para una carga de impacto.

dVE

U mm 2

2

• El valor máximo de la energía de deformación,

• Para el caso de una barra uniforme,

V

Emv

V

EUmm

202

Ejemplo 11.06

11 - 19

Un cuerpo de masa m y velocidad v0 golpea el extremo de la barra no uniforme BCD. Sabiendo que el diámetro de la porción BC es dos veces el diámetro de la porción CD, Determine el valor máximo del esfuerzo normal en la barra.

SOLUCIÓN:

• Debido al cambio en diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme.

• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto.

• Evaluar el máximo esfuerzo resultante de la carga estática Pm.

Ejemplo 11.06

11 - 20

SOLUCIÓN:

• Debido al cambio de diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme.

E

VdV

E

mvU

mm

m

22

22

202

1


L

AEUP

AE

LP

AE

LP

AE

LPU

mm

mmmm

5

16

16

5

8

2

2

2 222

• Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm

AL

Emv

AL

EU

A

P

m

mm

20

5

8

5

16

Ejemplo 11.07

11 - 21

Un bloque de peso W se deja caer de una altura h en el extremo libre de una viga en voladizo. Determinar el valor máximo del esfuerzo en la viga.

SOLUCIÓN:

• El esfuerzo normal varía linealmente a lo largo de la viga, también varía linealmente a lo largo de la sección transversal.



Ejemplo 11.07

11 - 22

SOLUCIÓN:

• Los esfuerzos normales varían linealmente a lo largo de la viga, también varían a lo largo de la sección transversal.

E

VdV

E

WhU

mm

m

22

22

• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma enegía de deformación que la carga de impacto. Para una viga en voladizo,

3

32

6

6

L

EIUP

EI

LPU

mm

mm


2266

cIL

WhE

cIL

EU

I

LcP

I

cM

m

mmm

Ejercicio

11 - 23

Diseño para cargas de impacto

11 - 24

• Para el caso de una barra uniforme,

V

EUmm

2

V

EU

VLcccLcIL

cIL

EU

mm

mm

24

//

6

412

4124

412

2

• Para el caso de una viga en voladizo,

El esfuerzo máximo se reduce por:

• uniformidad de esfuerzos• bajo módulo de elasticidad con

alta resistencia a la cedencia.• gran volumen

• Para el caso de una barra no uniforme,

V

EU

ALLALAV

AL

EU

mm

mm

8

2/52/2/4

5

16

Trabajo y energía para una carga única

11 - 25

• Previamente se encontró la energía de deformación al integrar la densidad de energía sobre el volumen. Para una barra uniforme,

AE

LPdxA

E

AP

dVE

dVuU

L

22

2

21

0

21

2

• La energía de deformación puede ser determinada por el trabajo de una carga P1,

1

0

x

dxPU

• Para una deformación elástica,

11212

121

00

11

xPxkdxkxdxPUxx

• Conociendo la relación entre fuerza y desplazamiento,

AE

LP

AE

LPPU

AE

LPx

2

211

121

11

Trabajo y energía para una carga única

11 - 26

• La energía de deformación puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de cargas individuales,

EI

LP

EI

LPP

yPdyPUy

63

321

31

121

1121

0

1

• Carga transversal en una viga

EI

LM

EI

LMM

MdMU

2

211

121

1121

0

1

• Momento flexionante

Ejercicio

11 - 27

El collar D es liberado de la posición de reposo con la ubicación mostrada en la figura y es detenido por una pequeña placa colocada en la barra ABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual los esfuerzos máximos en la porción BC son de 125MPa.

Trabajo y energía bajo varias cargas

11 - 28

• La deflexión de una viga elástica sometida a dos cargas concentradas,

22212122212

21211112111

PPxxx

PPxxx

• Aplicando las cargas en diferente orden se tiene 2

11112212

22221 2 PPPPU

• Las expresiones de la energía de deformación deben ser equivalentes. Se tiene que (Teorema reciproco de Maxwell).

22222112

21112

1 2 PPPPU

• Calcular la energía de deformación en la viga al evaluar el trabajo realizado al aplicar lentamente la carga P1 y a continuación la carga P2,

Teorema de Castigliano

11 - 29

22222112

21112

1 2 PPPPU

• La energía de deformación para una estructura elástica sometida a dos cargas concentradas,

• Derivando con respecto a las cargas,

22221122

12121111

xPPP

U

xPPP

U

• Teorema de Castigliano: Para una estructura elástica sometida a n cargas, la deflexión xj del punto de aplicación de Pj puede ser expresado como

and j

jj

j M

U

P

Ux

Deflexión por el teorema de Castigliano

11 - 30

• La aplicación del teorema de Castigliano se simplifica si la diferenciación con respecto a la carga Pj se realiza antes de la integración para obtener la energía de deformación U.

• En el caso de una viga,

L

jjj

L

dxP

M

EI

M

P

Uxdx

EI

MU

00

2

2

Ejercicio

11 - 31

Engineering

RESISTENCIA DE MATERIALES: Métodos de energía