UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERA

Sistema de ecuaciones lineales

UNIDAD III

Victoria Dominguez 24400354

España, Mayo del 2016

Resumen sobre la Unidad III

Existen varios métodos ,entre ellos:

ELIMINACION GAUSSIANA :

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras.

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Método de Gauss-Jordan:El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Resumen sobre la Unidad III

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Resumen sobre la Unidad III

DESCOMPOSICIÓN LU:

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal

superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz

triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

Resumen sobre la Unidad III

Factorización de Cholesky: Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de

manera eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las condiciones de A, simétrica y definida positiva, no es necesario hacer pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente y en un número de operaciones la mitad de LU tomando la forma  , donde L (la cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de la diagonal son positivos. Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simétrica definida positiva y dada su factorización de Cholesky , primero debemos resolver Ly = b y entonces resolver  para lograr x.

Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma  , donde R es una matriz triangular superior, en algunas aplicaciones se desea ver la matriz en esa forma y no de otra.

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Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos:

Los métodos iterativos tienen la desventaja de que no se pueden aplicar, por lo menos de forma elemental, a cualquier sistema de ecuaciones Ax = B y tienen la ventaja de que son mas eficaces para sistemas cuyo orden es superior a 1000.

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Metodo de Jacobi: El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + B x (1) donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ´esta se le designa por xo

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi