ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Funciones periódicas,

función Delta de Dirac,

series de Fourier.

Objetivos

Calcular la transformada de Laplace de funciones

periódicas.

Definir la función delta de Dirac y resolver

ecuaciones diferenciales.

Definir e interpretar una función par e impar.

Calcular la serie de Fourier de una función 𝒇 𝒙 .

Analizar la convergencia puntual de una serie de

Fourier.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real.

Función periódica

Una función 𝒇 es periódica con periodo 𝑻 si:

𝒇 𝒕 + 𝑻 = 𝒇 𝒕 ∀ 𝒕 en el dominio de 𝒇

Ejemplo 1

La función cuya gráfica se muestra en la figura

adjunta, tiene periodo 2.

y se puede escribir :

𝑓 t = 1; 0 < 𝑡 < 1−1; 1 < 𝑡 < 2

𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

Transformada de una función periódica

Teorema:

Sea 𝒇 continua por partes para 𝒕 ≥ 𝟎 y de orden

exponencial. Si 𝒇 es periódica con periodo 𝑻 ,

entonces:

𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 =𝟏

𝟏 − 𝒆−𝒔𝑻 𝒆−𝒔𝒕

𝑻

𝟎

𝒇 𝒕 𝒅𝒕

Ejemplo 1

Halle la transformada de Laplace de la función

periódica, cuya gráfica se muestra en la figura

adjunta:

𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

Ejemplo 1

Solución :

𝑻 = 𝟐, la función 𝒇 la podemos escribir así:

𝒇 𝐭 = 𝟏; 𝟎 < 𝒕 < 𝟏−𝟏; 𝟏 < 𝒕 < 𝟐

entonces 𝒇 𝒕 = 𝟏 − 𝟐𝒖 𝒕 − 𝟏 , aplicamos

trasformada de Laplace

𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝓛 𝟏 (𝒔) − 𝟐𝓛 𝒖 𝒕 − 𝟏 (𝒔)

𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 =𝟏

𝒔− 𝟐

𝒆−𝒔

𝒔

Ejercicios

1) Halle la transformada de Laplace de la siguiente

función periódica:

Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

Ejercicios

2) Halle la transformada de Laplace de la siguiente

función periódica:

Solución

𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎

Ejercicios

3) Halle la transformada de Laplace de la siguiente

función periódica:

Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

Ejercicios

4) Halle la transformada de Laplace de la siguiente

función periódica:

Solución

𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎

Introducción

En muchos sistemas mecánicos, circuitos

eléctricos, doblamiento de vigas y otras

aplicaciones; aparecen fuerzas externas muy

grandes que actúan en intervalos de tiempo muy

pequeños, por ejemplo:

El golpe de un martillo.

Un relámpago.

Un gran peso concentrado en un punto de

viga suspendida.

La forma de representar esta fuerza exterior, los

físicos y los ingenieros usan la función delta de

Dirac, introducido por Paul A.M. Dirac.

Definición

Sea la función impulso unitario:

donde 𝒂 y 𝒕𝟎 son constantes positivas y 𝒕𝟎 ≥ 𝒂.

𝛿𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 1

2𝑎; 𝑠𝑖 𝑡0 − 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 + 𝑎

0; 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑡0 − 𝑎 ∨ 𝑡 > 𝑡0 + 𝑎

𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:

𝜹𝒂 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏+∞

−∞

Definición función delta de Dirac

La función delta de Dirac es

la “función” definida por:

δ 𝑡 − 𝑡0 = lim𝑎→0

𝛿𝑎 𝑡 − 𝑡0

Equivalentemente

:

δ 𝑡 − 𝑡0 = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 𝑡0+∞ 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑡0

𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:

𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏+∞

−∞

Transformada de Laplace de la función delta

de Dirac

ℒ 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑠 = 𝑒−𝑡0𝑠

Para 𝒕𝟎 ≥ 𝟎, se tiene:

Observación:

1) Si 𝒕𝟎 = 𝟎, se tiene 𝓛 𝜹 𝒕 𝒔 = 𝟏

2) La transformada inversa de Laplace de 1, es:

𝓛−𝟏 𝟏 𝒕 = 𝜹(𝒕)

Ejercicios

1) Resuelva las siguientes ecuaciones

diferenciales, siendo 𝜹 la función delta de

Dirac.

a) 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝜹 𝒕 − 𝟐 , 𝒚 𝟎 = 𝟎

𝐛) 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒆𝒕 + 𝜹 𝒕 − 𝟐 + 𝜹 𝒕 − 𝟒

𝒚 𝟎 = 𝒚′ 𝟎 = 𝟎

Solución

Ejercicios

Una viga uniforme de longitud 𝑳 soporta una

carga concentrada 𝒘𝟎 en 𝒙 =𝑳

𝟐. La viga está

empotrada en su extremo izquierdo y libre en su

extremo derecho. Use la transformada de Laplace

para determinar la deflexión 𝒚(𝒙) de:

𝑬𝑰𝒅𝟒𝒚

𝒅𝒙𝟒= 𝒘𝟎𝜹(𝒙 −

𝑳

𝟐)

donde: 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 𝑦′′ 𝐿 = 𝑦′′′ 𝐿 = 0

Solución

Introducción

Al analizar el flujo de calor y las cuerdas

vibrantes, tenemos que expresar una

función en una serie trigonométrica, es por

ello que el análisis de Fourier es una

herramienta matemática que se utiliza para

analizar funciones periódicas a través de

descomponer una función en la suma de

funciones senoidales mucho más simple.

Definiciones básicas

Función periódica Una función 𝐟 es periódica con período 𝐓 si:

𝑓 𝑡 + 𝑇 = 𝑓 𝑡 ∀ 𝑡 en el dominio de 𝑓

Función par e impar

𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇

(𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀) 𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇

(𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀)

Teorema para funciones simétricas

1. Si 𝒇 es una función par y continua por partes en

−𝒂; 𝒂 , entonces:

𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎

𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)𝑎

0

𝑑𝑥

2. Si 𝒇 es una función impar y continua por partes en

−𝒂; 𝒂 , entonces:

𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎

𝑑𝑥 = 0

3) El producto de dos funciones pares es par.

Teorema para funciones simétricas

4) El producto de dos funciones impares es par.

5) El producto de una función par y una función

impar es

impar.

Ejercicios

1) Grafique la siguientes funciones indicando el

período:

𝒂) 𝒇 𝒙 = −

𝝅

𝟒, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎

𝝅

𝟒, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅

y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)

𝒃) 𝒇 𝒙 = 𝟎, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎

𝒔𝒆𝒏𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)

𝒄) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 cuando −𝝅 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)

Solución

Funciones periódicas Seno y Coseno

En su forma más general la función seno y coseno se

expresa como

𝒇 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝒙 − 𝝋

𝒇 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒙 − 𝝋

donde A, 𝝎 y 𝝋 son números reales.

𝐏𝐞𝐫í𝐨𝐝𝐨: 𝐓 =𝟐𝛑

𝛚

Ejercicios

Determine el menor período 𝑻 de las siguientes

funciones:

a) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) b) 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙) c) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝅𝒙)

Solución

Definición

Sea 𝒇 una función continua por partes en el intervalo

−𝑻; 𝑻 . La serie de Fourier de 𝒇 es la serie

trigonométrica:

𝒇 𝒙 ~𝒂𝟎

𝟐+ 𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔

𝒏𝝅𝒙

𝑻+ 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏

𝒏𝝅𝒙

𝑻

∞

𝒏=𝟏

donde 𝒂𝒏 y 𝒃𝒏 están dadas por las fórmulas:

𝒂𝒏 =𝟏

𝑻 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔

𝒏𝝅𝒙

𝑻

𝑻

−𝑻

𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; …

𝒃𝒏 =𝟏

𝑻 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏

𝒏𝝅𝒙

𝑻

𝑻

−𝑻

𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐;…

Ejercicios

1) Determine la serie de Fourier de la siguiente

función:

𝒇 𝒙 = 𝟎, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅

Solución

Ejercicios

2) Determine la serie de Fourier de la función 𝒇 𝒙

suponiendo que tiene período 𝟐𝝅.

Solución

Ejercicios

3) Determine la serie de Fourier de la función 𝒇

suponiendo que tiene período 𝟐𝝅 y construir gráficas,

lo más exactas posibles, de 𝒇 y dé las tres primeras

sumas parciales.

𝒇 𝒙 =

−𝟏, −𝝅 < 𝒙 < −𝝅

𝟐

𝟎, −𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝟎

𝟏, 𝟎 < 𝒙 <𝝅

𝟐

𝟐, 𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝝅

Solución

Convergencia puntual de una serie de Fourier

Si 𝒇 y 𝒇′ son continuas por partes en −𝑻; 𝑻 ,

entonces para cualquier 𝒙 en −𝑻; 𝑻 ,

𝒂𝟎

𝟐+ 𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔

𝒏𝝅𝒙

𝑻+ 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏

𝒏𝝅𝒙

𝑻

∞

𝒏=𝟏

=𝟏

𝟐𝒇 𝒙+ + 𝒇(𝒙−)

donde 𝒂𝒏 y 𝒃𝒏 están dadas por las fórmulas:

𝒂𝒏 =𝟏

𝑻 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔

𝒏𝝅𝒙

𝑻

𝑻

−𝑻

𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; … 𝒃𝒏 =𝟏

𝑻 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏

𝒏𝝅𝒙

𝑻

𝑻

−𝑻

𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; …

Para 𝑥 = ±𝑇, la serie converge a:

𝟏

𝟐𝒇 −𝑻+ + 𝒇(𝑻−)

Ejercicios

1) Dada la función: 𝒇 𝒙 = 𝒙 en −𝟏 < 𝒙 < 𝟏

a) Encuentre la serie de Fourier de 𝒇. b) Use el resultado del ítem (b) y muestre:

(−𝟏)𝒏+𝟏+𝟏

𝒏𝟐

∞

𝒏=𝟏

=𝝅𝟐

𝟒

Solución

Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau

Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado- Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.