Линейные и Линейные и квадратные уравнения квадратные уравнения

с параметрамис параметрами

Задачам с параметрами должно уделяться Задачам с параметрами должно уделяться большое внимание по следующим причинам:большое внимание по следующим причинам:

1) При решении задач с параметрами происходит 1) При решении задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое повторение и, как следствие, более глубокое прочное условие программных вопросов.прочное условие программных вопросов.

2) Решение задач с параметром расширяет 2) Решение задач с параметром расширяет математический кругозор, дает новые подходы к математический кругозор, дает новые подходы к решению задач.решению задач.

3) Задачи с параметром – эффективные 3) Задачи с параметром – эффективные упражнения для тренировки мышц интеллекта, при упражнения для тренировки мышц интеллекта, при этом происходит развитие математического, этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать.сравнивать, обобщать.

4) Приобретаются навыки исследовательской 4) Приобретаются навыки исследовательской работы.работы.

5) Помощь при подготовке к экзаменам.5) Помощь при подготовке к экзаменам. 6) Происходит формирование таких качеств 6) Происходит формирование таких качеств

личности, как трудолюбие, целеустремленность, личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность. усидчивость, сила воли, точность.

Понятие параметра мы рассматривали в Понятие параметра мы рассматривали в смысле математической величины, смысле математической величины, входящей в формулы и выражения, входящей в формулы и выражения, значения которой является постоянным в значения которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. пределах рассматриваемой задачи. Параметр, будучи фиксированным, но Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу, Во-первых, двойственную природу, Во-первых, предполагаемая известность позволяет предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.ограничивается его неизвестностью.

Параметры, входящие в условие, Параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа.технический ход решения и форму ответа.

КнигиКниги и учебные пособия.и учебные пособия.

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Янир Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Янир М.С. М.С. Задачи с параметрами. – Киев, 1992;Задачи с параметрами. – Киев, 1992;

Макарычев Ю.Н., Макарычев Н.Г., Макарычев Ю.Н., Макарычев Н.Г., Миндюк Н.Г., Коротнова Л.М. Миндюк Н.Г., Коротнова Л.М. Дидактические материалы по алгебре Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – М., Просвещение, 1992;для 9 класса. – М., Просвещение, 1992;

Попов В.А. Задачи с параметрами. - Попов В.А. Задачи с параметрами. - Сыктывкар, 1997;Сыктывкар, 1997;

Ястребинецкий Г.А. Задачи с Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.параметрами. – М., Просвещение, 1986.

Тест состоит из 10 заданий, из которых

последние три были более сложные. Для каждого задания предлагается три

ответа, один из которых правильный, а другие – неверные.

Критерии оценок: оценка «5» - за 9-10 верных ответов; оценка «4» - за 7-8 верных ответов; оценка «3» - за 5-7 верных ответов; оценка «2» - за 0-4 верных ответов.

На тестирование отводится два урока, затем осуществляется обработка результатов. Итоги тестирования заносятся в специальную таблицу, в которой рядом в каждой фамилией ученика знаком «+» отмечаются верные ответы, знаком «-» - неверные, указывается количество верных ответов и оценка. По каждому заданию подсчитано количество верных ответов.

Задание для подготовки к тестированиюЗадание для подготовки к тестированию

1. Решите уравнение относительно .1. Решите уравнение относительно .

22. Решите уравнения относительно. Решите уравнения относительно ::

3. Решите уравнения относительно 3. Решите уравнения относительно ::

4. а) При каких значениях уравнение4. а) При каких значениях уравнение

имеет отрицательные решения?имеет отрицательные решения?

б) При каких значениях уравнениеб) При каких значениях уравнение

имеет положительное решение?имеет положительное решение?

5. При каких значениях уравнение5. При каких значениях уравнение

имеет два равных положительных корня?имеет два равных положительных корня?

18 cx

);1(52)2(3) xkkxa1)3(3)2() xxkб

x

x;2)2(5) aaxaaa 2

.82)16)( aaxaб

.

а

х

а

а

.

2 2

xxax 5127

xaxx 2173

09)7( xaax2

6. При каких значениях в уравнении6. При каких значениях в уравнении парабола касается оси ?парабола касается оси ?7. Найдите наибольшее целое значение , при 7. Найдите наибольшее целое значение , при котором уравнение не имеет котором уравнение не имеет действительных корней.действительных корней.8. Найдите наименьшее целое значение , при 8. Найдите наименьшее целое значение , при котором уравнение имеет два котором уравнение имеет два различных корня.различных корня.9. При каких значениях уравнение9. При каких значениях уравнение

имеет два различных корня?имеет два различных корня?10. При каком значении произведения корней 10. При каком значении произведения корней уравнения уравнения равно нулю? равно нулю?

x

a154 xaxy

k075 kxx

k075 kxx

a

a

04 axax

03832 aaxx

2

2

2

2

2 2

11.При каких значениях уравнение имеет 11.При каких значениях уравнение имеет единственное решение:единственное решение:

12. При каком значении параметра сумма 12. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравненияквадратов корней уравнения

принимает наименьшее значение?принимает наименьшее значение?

13. При каких значениях параметра отношение 13. При каких значениях параметра отношение корней уравнениякорней уравнения

равно 3?равно 3?

14. Решите уравнение 14. Решите уравнение

15. При каких значениях параметра уравнение15. При каких значениях параметра уравнение

имеет более одного корня?имеет более одного корня?

a

03)2()1)(

02)26()3)(

xaxaб

xaxaa

b

02)3( bxbx

015 bbxx

65)2(2 xxaax

02 xax

2

2

2

2

2

2

16. Сумма квадратов корней уравнения 16. Сумма квадратов корней уравнения

равна 6. Найти .равна 6. Найти .

17. При каких значениях корни квадратного 17. При каких значениях корни квадратного

уравненияуравнения

действительные и положительные?действительные и положительные?

18. При каких значениях парабола 18. При каких значениях парабола

расположена выше оси ?расположена выше оси ?

19. При каких значениях прямая проходит через 19. При каких значениях прямая проходит через точку пересечения прямых точку пересечения прямых

и ?и ?

20. При каких значениях уравнение 20. При каких значениях уравнение

имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

21. Найдите целые значения , при которых корень уравнения21. Найдите целые значения , при которых корень уравнения

является отрицательным числом.является отрицательным числом.

qp

a

Oxb

a

b

02 qxx

052)3( ppxxp

632)3( aaxxay

0523 yx 01432 yx

012 aaxx

6)2( xb

bxy 2

2

2

2

22

ТЕСТТЕСТ

ВАРИАНТ 1ВАРИАНТ 11. Решите уравнение относительно .1. Решите уравнение относительно .

А. , при . Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет; А. , при . Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет;

2) при . 2) при .2) при . 2) при .

2. Решите уравнение относительно .2. Решите уравнение относительно .

А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет;А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет;

2) при . 2) при ; 2) при .2) при . 2) при ; 2) при .

3) при , .3) при , .

3. Решите уравнение относительно .3. Решите уравнение относительно .

А. 1) При ; Б. 1) При ; В. 1) При ; А. 1) При ; Б. 1) При ; В. 1) При ;

2) при коней нет; 2) при коней нет; 2) при коней нет; 2) при коней нет; 2) при коней нет; 2) при коней нет;

3) при и 3) при и 3) при ;3) при и 3) при и 3) при ;

4) при , , ,4) при , , ,

. . .. . .

12 mx xm

x3

0m 0m 0m

0mm

x1

0mm

x3

1)1(2)4( xxk x2k 0k

2k2

14

k

kx

4

1k 0x 0k 2

14

k

xx

2k4

1k

2k

2

14

k

kx

2a Rx0a

0a 2a

65)2(2 2 aaxaa x2a Rx0a

0a 2a

2a Rx0a

3a 0x2a 0a 3a

)2(2

)2)(3(

aa

aax

a

ax

2

3

a

ax

2

3

ВАРИАНТ 2ВАРИАНТ 21. Решите уравнение относительно .1. Решите уравнение относительно .

А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В. А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В.

2) при . 2) при .2) при . 2) при .

2. Решите уравнение относительно .2. Решите уравнение относительно .

А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет;А. 1) При корней нет; Б. 1) При корней нет; В. 1) При корней нет;

2) при . 2) при ; 2) при .2) при . 2) при ; 2) при .

3) при ,3) при ,

..

3. Решите уравнение относительно .3. Решите уравнение относительно .

А. 1) При ; Б. 1) При ; В. 1) При корней нет; А. 1) При ; Б. 1) При ; В. 1) При корней нет;

2) при корней нет; 2) при ; 2) при ;2) при корней нет; 2) при ; 2) при ;

3) при , 3) при , 3) при ;3) при , 3) при , 3) при ;

4) при , ,4) при , ,

. . . . . .

x

x

x

0n 0n

0n 0n

37 nx

nx

10

nx

4

nx

4

7)1(3)1(2 xaax

187)81( 22 aaxa

2a 2a 0a

2a

2a

0a0xa

ax

2

73

a

ax

2

73

a

ax

2

73

3

12a

3

12a

9a9a

9a9a 9a

9aRx Rx

Rx Rx9a 9a

9a9a 9a

9a2a 0x

2a

9

2

a

ax

9

2

a

ax

9

2

a

ax

ВАРИАНТ 1ВАРИАНТ 1

4. При каких значениях уравнение 4. При каких значениях уравнение

имеет отрицательное решение?имеет отрицательное решение?

А. При . Б. При . В. При .А. При . Б. При . В. При .

5. При каких значениях парабола касается оси ? 5. При каких значениях парабола касается оси ?

А. При . Б. При и . В. При .А. При . Б. При и . В. При .

6. Найдите наименьшее целое значение , при котором 6. Найдите наименьшее целое значение , при котором уравнение уравнение

имеет два различных корня.имеет два различных корня.

А. . Б. . В. .А. . Б. . В. .

7. При каких значениях произведение корней уравнения 7. При каких значениях произведение корней уравнения

равно нулю? равно нулю?

А. При , . Б. При , . В. При , .А. При , . Б. При , . В. При , .

b

a Ox

k

a

xbxx 421

2522 xaxy

0234 22 aaxx

053 2 kxx

1b 1b 2b

25a 0a 04,0a 04,0a

12

12k 2k 3k

1a 2a 2a 4a1a 2a

ВАРИАНТ 2ВАРИАНТ 2

4. При каких значениях уравнение 4. При каких значениях уравнение

имеет отрицательное решение?имеет отрицательное решение?

А. При . Б. При . В. При .А. При . Б. При . В. При .

5. При каких значениях уравнение имеет два 5. При каких значениях уравнение имеет два равных положительных корня? равных положительных корня?

А. При . Б. При и . В. При .А. При . Б. При и . В. При .

6. Найдите наибольшее целое значение , при котором 6. Найдите наибольшее целое значение , при котором уравнение уравнение

не имеет два действительных корней?не имеет два действительных корней?

А. . Б. . В. .А. . Б. . В. .

7. При каких значениях произведение корней уравнения 7. При каких значениях произведение корней уравнения

равно 1?равно 1?

А. При , . Б. При , . В. При , .А. При , . Б. При , . В. При , .

b

k

a

k

xbxx 342

09)7(2 xkkx

042 2 kxx

06837 22 aaxx

3b 2b 3b

);49()1;( k 49k 1k 49k

1k 2k 3k

3a 5a 1a 1a3

21a

3

21a

ВАРИАНТ 1ВАРИАНТ 18. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?8. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

А. При , . Б. При . В. При , .А. При , . Б. При . В. При , .

9. Решите уравнение относительно .9. Решите уравнение относительно .

А.1) При корней нет; Б.1) При корней нет; В.1) При и корней нет;А.1) При корней нет; Б.1) При корней нет; В.1) При и корней нет;

2) при ; 2) при ; 2) при ;2) при ; 2) при ; 2) при ;

3) при 3) при 3) при ;3) при 3) при 3) при ;

4) при 4) при

, ,, ,

,,

. .. .

..

10 При каком значении сумма квадратов корней уравнения принимает 10 При каком значении сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?наименьшее значение?

А. Таких значений нет. Б. При . В. При . А. Таких значений нет. Б. При . В. При .

02)24()2( 2 xkxkk5k 2k 5k 2k 5k

03)24()2( 2 xaxa)5;2(a )5;2[a 2a )5;2(a

5a 1x 5a 1x 5a 1x2a 0x);5()2;( a );5()2;( a

);5()2;( a

2

1072 2

1

a

aaax

2

1072 2

2

a

aaax

2

1072 2

1

a

aaax

2

1072 2

2

a

aaax

2

1072 2

1

a

aaax

2

1072 2

2

a

aaax

b

b 9b 1b

03)2(2 bxbx

ВАРИАНТ 2ВАРИАНТ 28. При каких значениях уравнение имеет два различных корня?8. При каких значениях уравнение имеет два различных корня?

А. При . Б. При . В. При .А. При . Б. При . В. При .

9. Решите уравнение .9. Решите уравнение .

А.1)При корней нет; Б.1)При корней нет; В.1)При А.1)При корней нет; Б.1)При корней нет; В.1)При

корней нет;корней нет;

2)при ; 2)при ; 2)при ; 2)при ; 2)при ; 2)при ;

3)при 3)при ; 3)при ; 3)при 3)при ; 3)при ;

4)при 4)при 4)при 4)при

,,

. , ,. , ,

. .. .

10. При каком значении сумма квадратов корней уравнения 10. При каком значении сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?принимает наименьшее значение?

А. При . Б. При . В. При .А. При . Б. При . В. При .

062 axax)3;0()0;3( a )3;3(a );3()3;( a

34)12(2)1( 2 axaxa

5

4;a

5

4;a

5

4;a

5

4a

3

1x

6

11x);1(1;

5

4

a 1a

5

4a

3

1x

5

4a

3

1x

1a6

11x

;5

4a );1(1;

5

4

a

1

45121

a

aax

1

45122

a

aax

1

45121

a

aax

1

45122

a

aax

1

45121

a

aax

1

45122

a

aax

a

b 02)4(2 bxbx

11b 3b 3b