XXV Olimpiada Thales

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D. Anacleto Enseñalotodo, profesor de la escuela de Todolandia, tiene una curiosa forma de elegir a cuáles de sus 25 alumnos les va a preguntar. Cuando llega por la mañana lanza dos dados y suma las puntuaciones conseguidas en cada uno de ellos. Del resultado de esta suma calcula los divisores y los múltiplos menores o iguales que 25 y aquellos alumnos que su número de clase coincida con algunos de los números que ha obtenido son a los que les pregunta las lecciones y actividades del día.

Todos sus alumnos están muy preocupados porque no saben cuáles son sus posibilidades de ser ellos los preguntados. Ayuda a estos intranquilos alumnos informándoles de: ¿Cuál o cuáles son los que tienen posibilidades de que les pregunten todos los días?¿Existe algún alumno al que no preguntaría nunca? ¿Cuál o cuáles serían?¿Quién tendría menos posibilidades que le preguntase, el alumno número 4, el número 10 ó el número 20? Razona todas las respuestas.

Curiosa forma de preguntar:

Solución

Solución:

En primer lugar necesitamos conocer las posibilidades al lanzar los dados y sumar los resultados:

Dado 1

Dad

o 2

+ 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

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Solución:

Vemos que las posibilidades al lanzar los dados son:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

A continuación calculamos los divisores de estos números:

Div (2): 2, 1 Div (3): 3, 1 Div (4): 4, 2, 1

Div (5): 5, 1 Div (6): 6, 3, 2, 1 Div (7): 7, 1

Div (8): 8, 4, 2, 1 Div (9): 9, 3, 1 Div (10): 10, 5, 2, 1

Div (11): 11, 1 Div (12): 12, 6, 4, 3, 2, 1

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Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24

Solución:

Ahora nos toca calcular los múltiplos de estos números menores o iguales que 25:

Múltiplos de 10: 10, 20

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8,10, 12,14, 16, 18, 20, 22, 24

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12,15, 18, 21, 24

Múltiplos de 5: 5,10, 15, 20 Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24

Múltiplos de 7: 7,14, 21 Múltiplos de 8: 8, 16, 24

Múltiplos de 9: 9, 18

Múltiplos de 11: 11, 22 Múltiplos de 12: 12, 24

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Solución:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Nos toca ver a qué alumnos no preguntaría ningún día:

• No le preguntaría nunca a los números:

Ya tenemos los posibles resultados:

13, 17, 19 y 23

Son números primos y además no se pueden formar con la suma de los resultados de los lanzamientos de los dados.

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Solución:

• Las posibilidades del alumno número 4 son:

• Le preguntaría siempre al número 1, ya que salga lo que salga en los dados ,el número 1 es divisor de él.

10 de un total de 36:

Porque 4 es múltiplo de 2 y 4, y es divisor de 4, 8 y12

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Las posibilidades del alumno número 10 son:

Porque 10 es múltiplo de 2, 5 y 10 y es divisor de 10

Solución:

8 de un total de 36

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Las posibilidades del alumno número 20 son:

Porque 20 es múltiplo de 2, 4, 5 y 10

Solución:

11 de un total de 36

Enunciado Menú

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Solución:

• No le preguntaría nunca a los números: 13, 17, 19 y 23

• Le preguntaría siempre al número 1, ya que salga lo que salga en los dados ,el número 1 es divisor de él.

• Las posibilidades del alumno número 10 son: 8 de un total de 36

• Las posibilidades del alumno número 20 son: 11 de un total de 36

Enunciado

• Las posibilidades del alumno número 4 son: 10 de un total de 36

• El alumno con menos posibilidades de ser preguntado es el número 10