Chapitre 1 : Dénombrement

I) Notions d’arrangement, de combinaisons et de permutations

Exercice introductif : une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges.

On tire 3 balles au hasard de l’urne, combien cela fait-il de possibilités si les tirages sont :

1) successifs et avec remise ?

2) successifs mais sans remise ?

3) simultanés ?

1) Tirage successif avec remise

303 = 27 000 possibilités de tirages

Dans le cas général on dit que np est un arrangement de p éléments parmi n avec répétition.

2) Tirage successif sans remise

30 x 29 x 28 = 24 360 possibilités de tirages

Dans le cas général on dit que est un arrangement de p éléments parmi n sans

répétition. On a pour tout np.

Dans l’exemple

3) Tirage simultané

=4060 tirages

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Dans le cas général on dit que ou est une combinaison de p éléments parmi n, ou

encore le nombre de façons qu’il y a de choisir p objets parmi n sans tenir compte de l’ordre.

On a pour tout np.

Dans le cas général on dit que n! est une permutation de n objets ou encore le nombre de

façons de ranger n objet dans un certain ordre. On a

Remarque : 0!=1

La plupart des calculatrices ont la fonction factorielle dans leurs menus. Par contre, si n est

trop grand, vous ne pourrez pas calculer n! et il faudra dans ce cas utiliser la formule de

Stirling :

avec

Propriétés importantes des combinaisons (à connaître par cœur)   :

4) Exercices d’application

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Exercice : démontrez la formule du triangle de Pascal. Rappel :

Exercice : combien de triangles non aplatis peut-on former à partir des 9 points suivants :

Exercice : afin de tester le sens chromatique d’une personne daltonienne, on lui présente une

série de 6 cartons dont 2 sont rouges et 4 sont verts. Les cartons d’une même couleur sont

indiscernables. Combien de séries différentes peut-on lui présenter ?

Exercice : le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de

cachets. Le médecin dispose de 4 sortes de sirops et de 5 sortes de cachets qui ont des effets

analogues. De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance, sachant toutefois

que l’un des sirops dont il dispose ne doit pas être pris en même temps que l’un des cachets

dont il dispose ?

Exercice : une boîte contient 7 vrais billets de montants tous différents et 6 faux, également de

montants tous différents. On tire au hasard, successivement et sans remise, 5 billets. Combien

de résultats amènent 4 vrais billets et 1 faux ?

Exercice : Sur une étagère se trouvent mélangées 7 paires de chaussures noires, 4 paires de

chaussures colorées et 3 paires de chaussures blanches. Chaque paire de chaussure est

différente. Il fait noir et on choisit deux chaussures au hasard.

a) Combien de choix cela représente-t-il ?

b) Combien de ces choix correspondent à deux chaussures de même couleur ?

c) Combien de ces choix correspondent à un pied droit et un pied gauche ?

d) Combien de ces choix correspondent à de vraies paires de chaussures ?

Exercice : il y a quelques années en France, les plaques d’immatriculation ne comportaient

que 4 chiffres (dont le 1er différent de 0), 2 lettres distinctes (et différentes de I et de O) puis le

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numéro du département. Combien cela représentait-il de possibilités pour chaque

département ?

Exercice : on choisit 8 cartes d’un jeu de 32.

a) Combien de mains sont possibles ? (une main représente ici un ensemble de 8 cartes non

ordonnées)

b) Combien de mains comportent une dame au moins ?

c) Combien de mains comportent au moins un cœur ou une dame ?

d) Combien de mains ne contiennent que des cartes de 2 couleurs au plus ? (aux cartes, il y a 4

couleurs : pique, carreau, cœur, trèfle)

II) Théorie des ensembles

1) Définition et propriétés des ensembles

Définition d’un ensemble : un ensemble est une collection d'éléments considérée dans sa

totalité.

Système complet d’événements : On dit qu’un système d’événements a1, a2,…an est complet

si tous ces événements sont incompatibles 2 à 2 et que leur union recouvre toutes les issues

possibles de l’expérience.

Définition d’une bijection : Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B

consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est

possible que si A et B ont, au sens intuitif, « autant d'éléments l'un que l'autre ».

Principales propriétés des ensembles :

Ø

si alors et

et

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2) Définition et propriétés des cardinaux

Définition d’un cardinal : Le cardinal d'un ensemble E représente son nombre d'éléments. On

le note card(E).

3) Propriétés des cardinaux   :

=Card(A1)xCard(A2)xCard(A3)x…xCard(An)

4) Exercices d’application

Exercice : on place 4 pions numérotés de 1 à 4 sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Chaque case

peut contenir de 0 à 4 pions.

a) Dans combien de cas est-ce qu’une case au moins sera vide ?

b) Dans combien de cas aucune case ne sera vide ?

Exercice : Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes «  », «  », «  » et à l’aide des

événements A, B, C ou A1, A2,…, An les événements suivants :

a) Au moins un des événements A, B ou C est réalisé.

b) Un et un seul des événements A ou B se réalise.

c) A et B se réalisent mais pas C.

d) Tous les événements An (avec n1) se réalisent.

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