具有理論模型基礎的貝氏最大亂度法進行大氣化學研究

（一）單點測站時間序列的推估

在這一章中我們試圖介紹如何貝氏最大亂度法以及一個合適的大氣化學模型，對於單一測站在不同物理化學條件下的各空污物質反應速率進行同時具有模型基礎亦有統計效度的推估。原始資料的相關處理說明

由於大氣化學模型的時間精度可能很高，原始資料可能需要先行平滑化以達到同樣的時間精度，底下提到原始資料時，假設此一步驟業已完成，不再贅述。但須說明平滑化後的函數資料（functional data）至少須滿足二階倒數連續的條件，最佳做法便是將原始資料先運用原始的時間精度數值積分後，進行 S 曲線（S Spline）平滑。為了讓平滑後的資料有兩階連續性，至少需要使用 S-3 曲線。選用的大氣化學模型

選用的大氣化學模型必須滿足下開條件：1. 在給定且適當的初始條件下，它必須充分滿足各空污物質反應速率長期平均

以及每年平均下的單日變化趨勢。2. 在給定且能充分反映原始資料的一組初始條件設定下，它必須呈現出原始資

料各空污物質所具有的首項主要成分（primary principle component）。3. 如果可能，它必須儘可能滿足所有原始資料中能呈現出來的各空污物質間的

定性／定量關係。根據文獻，初步選用的化學模型將涉及光化和氧化分解反應。所需化學參數為臭氧、NO、NO2、NMHC 的濃度即反應常數，所需物理參數為溫度、太陽輻射與邊界層厚度。

下為屆時會使用的微分方程。ddt [O3 ]=−k1 [O3 ]+k2 [NO2 ]− [O3 ] (k3 [NO ]+k4 [NO2 ])

+PBL+O(Chem)+O (Phy )

ddt

[NO ]=E2 ( t )−k5 [NO ]+k2 [N O2 ]−k3 [O3 ] [NO ]

+PBL+O(Chem)+O (Phy )

ddt [NO2 ]=E3 ( t )−(k2+k6) [N O2 ]+[O3 ](k3 [NO ]−k4 [NO2 ])

+PBL+O(Chem)+O (Phy )

說明： 首項 E(t)係指該汙染物的排放率。此將代入適當的函數，以符合前述的第一項條件。中間數項皆為化學反應項，其反應常數將參考前人所得知結果。其中較需注意的是光化反應（k 2）的常數，需考慮紫外線輻射大小、不同波長吸收效果等等問題。PBL 則是行星邊界層高度變化的效應，公式為：

dCdt |

PBL=−C d [ ln(h)]

dt

O(Chem)代表其他可能忽略的化學反應（例如臭氧可能和 NMHC 作用）、O(Phy)代表沒有考慮的物理機制（平流、擴散等效應），上述兩項將會是為誤差主要來源，將會做調整以符合前述的第二項條件。貝氏最大亂度法推估

假設所關注的 M 個物理化學特性組成向量{ X }，在某個所關注的時段總共有 n筆資料，散落在 M維空間上。我們可以將向量代入上述模型中，得到的反應速率{Y }值視為該點的理論期望值。事實上，理論期望值為全域的資訊（Global Information）。接著，我們將各點的反應速率原始資料和理論值進行比對，得出誤差在 M維空間上共 n 個點的分布。假設各點的誤差期望值為比對的誤差的平均值，但各鄰近點之間的誤差有相關性。此時可針對整個 M維空間的其他任 1點進行貝氏最大亂度法，推估出該點的誤差。其步驟如下：

首先，計算出γi , j=

12 [err {Y }i−err {Y } j ]

2

¿ 12(( Y i−E [ Y i ] )

2−2( Y i−E [ Y i ] ) (Y j−E [ Y j ] )+( Y j−E [ Y j ] )

2)

並且將所得結果畫在以d ( X i , X j)為水平軸的圖上。注意此 d 函數並不一定能為直觀的距離，也有可能需要做適當的線性轉換才能得到較好的結果。之後再對γ i , j(d )做適當的平滑化，此時對任意 1點X k我們便可以求出其理論的γi ,k。此時我們所擁有的限制式為 n*(n+1)/2 個γ i , j，以及系統理論平均誤差為零。而所求即為在這些限制下最大化亂度的機率分布函數。此即

M ax {S¿ }= ∫Ω

(n+1)

(−ln ( f Y ( X k , { X }1 :n )) ) f Y ( X k , { X }1:n )d yk d { y }1 :n

−∑i=1

n ,k

∑j=1

j<i

λij ∫Ω

(n+1)

γi , j f Y ( X k , { X }1 :n )d yk d { y }1:n

−λ1 ∫Ω

(n+1) ∑i=1

n .k

y i

n+1f Y ( X k , { X }1:n )d yk d { y }1 :n

−λ0 ∫Ω

(n+1 )

f Y ( Xk , { X }1 : n) d yk d { y }1:n

滿足最大的條件為∂S¿

∂ [ f ( X k , { X }1 :n ) ]=0∀ f Y ( X k , { X }1 :n)∈Ω

於是有f Y ( Xk , { X }1:n )= 1Z e

−(1+ λ0 )−λ1∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j< i

λij γi, j=1Z¿ e

− λ1∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n ,k

∑j=1

j< i

λ ijγ i , j

Z= ∫Ω

(n+1)

e−(1+ λ0 )−λ1

∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j< i

λij γi , jd ykd { y }1:n

Z¿= ∫Ω

(n+1 )

e−λ1

∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j <i

λij γi , jd yk d { y }1:n

並且觀察

E [γ i , j ]=γ i , j=∫Ω

(n+1 )

γ i , je− λ1

∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j< i

λ ijγ i, jd yk d { y }1:n

∫Ω

(N+ 1)

e− λ1

∑i=1

n. k

yi

n+1−∑

i=1

n ,k

∑j=1

j< i

λ ijγ i, jd yk d { y }1:n

∫Ω

(n+1)

(γi , j− γi , j )e− λ1

∑i=1

n. k

yi

n+1−∑

i=1

n , k

∑j=1

j< i

λ ijγ i, jd yk d { y }1:n→0

E [∑i=1n .k

y i

n+1 ]=E [err ]=∫Ω

(n+1) ∑i=1

n .k

y i

n+1e

− λ1∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j< i

λ ijγ i, jd y kd { y }1 :n

∫Ω

(n+1 )

e− λ1

∑i=1

n.k

yi

n+1 −∑i=1

n ,k

∑j=1

j<i

λij γ i, jd yk d { y }1 :n

∫Ω

(n+1) (∑i=1n . k

y i

n+1−E [err ])e− λ1

∑i=1

n. k

yi

n+1 −∑i=1

n ,k

∑j=1

j< i

λ ijγ i, jd yk d { y }1:n→0

可以看出，求出係數{ λ }的方法為多變數的勘根法。此時求出的機率分布，利用最大概率法（Maximum Likelihood Estimation）可以推估最有可能出現的Y k

∂ [ ln ( f Y ( Xk , { X }1 :n )) ]∂Y k

= 1f Y ( Xk , { X }1:n )

∂ [f Y ( X k , { X }1:n )]∂ Y k

¿ 1

e−λ1

∑i=1

n.k

y i

n+1−∑

i=1

n ,k

∑j=1

j<i

λij γi , j

∂ [e−λ1∑i=1

n .k

y i

n+1−∑

i=1

n,k

∑j=1

j< i

λij γi, j]∂ Y k

¿ e−λ1

∑i=1

n.k

y i

n+1 −∑i=1

n ,k

∑j=1

j<i

λij γi , j

e−λ1

∑i=1

n.k

y i

n+1−∑

i=1

n ,k

∑j=1

j<i

λij γi , j

(− λ1∂

∂ Y k[∑i=1n .k

y i

n+1 ]−∑i=1

n , k

∑j=1

j<i

λij∂ γ i , j∂Y k

)=0

λ1∂

∂Y k[∑i=1n. k

y i

n+1 ]+∑i=1

n , k

∑j=1

j<i

λij∂ γ i , j∂ Y k

=0→λ1n+1

+∑i=1

n

2 λik (Y k−Y i )=0

→Y k=∑i=1

n

λik Y i

∑i=1

n

λik

−λ1

2(n+1)∑i=1

n

λik

（二）多點測站時空序列推估

延伸單一測站的推估方式，我們接著介紹如何利用特定空間 Ω內多個測站的時序資料和相對應的大氣化學－動力學模型來進行最大亂度推估。原始資料的相關處理說明

和前章相同本章所有原始資料除非特殊註明，均指涉已經過平滑化處理的資料。相關假設

首先我們必須說明相關假設。這些包括：1. 每一時刻，各測站測到的各空污物濃度，其系統理論平均值將以該時刻各測

站原始資料的平均值做推斷。2. 每一時刻，空間中任一點各空污濃度的局部理論平均值從大氣化學－動力學

模型中推斷，而其個觀測點之測值和局部理論平均值之差異，可推估出共變量（variogram）對距離的函數，再利用最大亂度法進行整個空間的推估。

3. 每一時刻空間中任一點各空污濃度反應速率和從大氣化學－動力學模型中推出的理論值之差異，可由類似 2.的作法中求出。惟須先利用前一章作法，將各觀測點在同一特定物質濃度下的濃度變化率求出，再做整個空間推估。

使用之大氣化學－動力學模型說明

在多點的推估中，模型的大氣化學部分和單一測站將大同小異。然而仍有一些不同處需要注意：1. 由於需要溫度和氣壓做反應常數以及空氣密度的推估，因此需先將兩物理參

數的觀測資料利用最大亂度法推估，方法皆與前所述無異；各處平均風場亦

將做同樣方式處理2. 對於排放率函數 E(t)，利用環保署的空氣污染排放量查詢系統，可得出空間

精度 1000*1000 平方公尺的 NOx 排放量資料，在系統平均排放率已知的條件，可用最大亂度法推估適當空間精度下，各處 NOx 的排放率（此時必須假設，各處排放率的比率固定，和總排放量的比例相同）

接下來說明這個大氣化學－動力學模型的計算步驟： 1. 求出下一個時刻的溫度分布和密度分布2. 由於邊界層的高度給定，各處密度又已知，可以由連續方程式：

ρ1 A1h1=ρ2 A2h2

C2=C1A1h1A2h2

=C1

ρ2ρ1

以及平均風場的推估結果，得到新的時刻空間上部分地區的濃度值（亦即對於單一氣柱的軌跡追蹤）建構出新的時刻的理論濃度分佈

3. 利用前步驟推估出來的濃度值和原始觀測資料比較，可得出新的時刻最後的推估。注意進行最後的推估時，必須考慮原始觀測資料在該時刻的平均值，其和透過前一時刻風場推估而來的理論濃度值的平均誤差，將假設為整個特定空間的理論平均誤差，視為最大亂度推估的一個條件。

4. 推估各點的物質濃度變化率。首先根據觀測點的時序資料，求出各觀測點在某一點所具有之化學物質濃度條件下的濃度變化率，再據以進行空間推估。

5. 重新回到步驟 1，求出再下一個時刻的時空推估資料。若針對對於已有的時空序列資料進行上述工作，主要在於分析空氣汙染物的時空場分布情況；若要將上述模型作為預報用途，則省略 3.，將 2.的結果作為該時刻濃度空間分布的最終推估值再進行濃度變化率推估。至於溫度場和氣壓場，或者通過氣象預報取得未來資料，或者運用往年統計資料做出預報模式。