Analisis matematico problemas resueltos

1. www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net ANALISIS MATEMATICOI PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERA (1ER EDICIN) SOLUCIONARIO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PER www.solucionarios.net zm m m m

2. www.solucionarlos.net IMPRESO EN EL PER 01 -01 -2012 DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total parcialmente por ningn mtodo grfico, electrnico o mecnico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnticos o de alimentacin de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________ RUC N 20520372122 Ley del Libro N 28086 Ley de Derechos del Autor N 13714 Registro comercial , N 10716 Escritura Publica N 448 4 solucionadoanlisisMfffltftfolucionarios.net www.eduhperu.com www.solucionarlos.net PRLOGO Habindose adaptado a nivel universitario, en el curso de anlisis matemtico, el texto de Anlisis Matemtico para Estudiantes de Ciencias e Ingeniera por su acertado desarrollo terico, siendo necesario como consecuencia de la concepcin terica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la prctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Anlisis Matemtico para estudiantes de Ciencias e Ingeniera de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intencin de ser complemento terico-prctico para el estudiante universitario. Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solucin de los problemas estn detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los grficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por sealar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solucin de un problema. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual EDUARDO ESPINOZA RAMOS . . . t SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net

3. www.solucionarlos,net ,www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net INDICE 1. CAPITULO 1 1.1. SISTEMAS DE NMEROS REALES.............................................................. 1 1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCGNITA................43 1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al, 1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113 1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120 1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141 1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188 1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221 1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264 1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319 2. CAPITULO 2 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337 3. CAPITULO 3 3.1. LIMITES................................................................................................387 3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454 3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481 3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516 3.5. LIMITES TRIGONOMTRICOS................................................................520 3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554 3.7. ASNTOTAS......................................................................................... 577 3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597 4. CAPITULO 4 4.1. DEFINICIN DE DERIVADA.................................................................. 615 4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639 i

4. www.solucionarlos,net 4.3. DERIVACIN MEDIANTE TABLAS.........................................................647 4.4. DERIVACIN IMPLCITA....................................................................... 680 4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699 . CAPITULO 5 5.1. MXIMOS Y MNIMOS..........................................................................717 5.2. GRFICOS........................................................................................... 732 5.3. PROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOS..........................................757 OLUCIONARIO ANLISIS www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS SISTEMA DE NUMEROS REALES Si a y b, son nmeros reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4 (a-b) >0 => a"-2ab +b2>0 => a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab ( a+b^i (a +b) >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4 Si a, b y c son nmeros reales positivos, Demostrar que: gUSEMUM (a-b) >0 => c(a-b)' >0 (a-c)? >0 => b(a-c) >0 (b-c) >0 => a(b-c)2>0 ...0 ) ... (2) ... (3), sumando c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)' >0, efectuando los binomios a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0 a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente (ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe www.solucionarios.fiet K

5. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J b a b ) (a +b+c)9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)9 jjfl Si a, b, c y d, son nmeros reales positivos, Demostrar que: - +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16 a b c ' CAPITULO I ...O ) ... (2) ... (3) ... (4) ... (5) ... (6), sumando (a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 (a-c)' >0 => b d (a-cf >0 (a-d) >0 => bc(a-df> 0 (b - c )'>0 => ad(b-c) >0 (b-d) >0 => ac(b-d)2>0 (c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d) +ad(b-c) +ac(b-d) +ab(d-c) >0 cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) + +ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0 -2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd +bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0 abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c + +bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICISIS MATEMATICO I . www.so ucionarios.net wwv ed'Jkpeuvcpm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+ +d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun bed +acd +abd +abc abed (a +b +c +d)> 16 -l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16 a b c d J a , a 3b b2 . Si a y b dos nmeros reales positivos tal que a >b. Demostrar que: + > ^ (a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a +3ab2>3a2b+b3 Diviendiendo entre a2b se tiene: a 3b b2 . =* r + > +3 b a a 9 Va e % a* 0, demostrar que a + >6 (a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2 a4+9 s 9 >6 => a + >6 Si a,b,C'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc jQa22SC2S3HF (a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0 ~ ~ SOLUCJONARIO ANLISIS MATEMTICO I ? [ www.solucionarlos,net

6. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene: b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0 a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0 a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe 8abc ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor comn (a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc (a +bXa +cXb +c) >8abc & Si a,b,ce K4, demostrar que ab +ab30 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1) (a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab ab(a2+b2)2 a2b2 ...(2) a4+b4-ab(a2+b2) 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0 a3b +ab3^ a4+b4 a4+b42(a +b+c) -" M t.S to n s n b s . net www edukperu corr- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1) (b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2) (c I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3) a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3:2a+2b+2c transponiendo trminos se tiene: a2+b2+c2+3 2(a +b+c) Si 0 a >0 a a < 1, multiplico por a a.a < 1.a => a2 < a < => db - < - a ec

7. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ^ c, ud+e+f f c (f +e +d) 9abc (a-b)2ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac c(a-b)2^abc; a(b-c) >abe; b(a-c)2>abe , sumando c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc a3+b3+c3>0, sumando a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc a3+b3+c3 +aJ c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc >3abc a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor comn (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc Si a,b,c son nmeros positivos y no iguales entre si, demuestre que: (a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9 capitu' 11 (2) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc (b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w . i i ^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9 abe ^ Si a y b son nmeros reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 8a 32b r ? + +24 - n r+ b a b a (a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab) >0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2 8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2 a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 ab a2 16b2 8a 32b --+ 2-+24> +--- b a b a i www.solucionarlos,net

8. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITUI O I (a - b)~ >0 =>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc (b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9 Si a y b son nmeros reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 n . . 8a 32b 7T + r-+24> +--- b a b a (a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2 0 , elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)2>0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a9abc de donde: a3+b3+c3>3abc Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: >1- w 3c 4d (2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc 4d2+9c2 12dc Dividimos la expresin entre 12dc: ----------------- > 12dc 12c d 3c d 3c + >1 => >1--- 3c 4d 3c 4d r /h Si a >0, b >0, a * b, demostrar que L += >2 Vb Va j222q223I3F SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . . www.solucionarlos,net CAPITULO I ...O ) wvvw.edukperu com www.solucionarlos,net (Va-Vbj >0 => a-Va>/b +b >0 u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~ a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => = += >2 VaVb vavb Va Vb Vb Va Si a, b, c R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c) J222u222!l2f (be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2 (ca - ab)2 0 => a2c* +a2b2>2a2bc (bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c) b2c2+a2c2+a2b2abc(a +b+c) ^ || a +b =2, donde a y b son nmeros reales, Demostrar que a4+b4>2 J S (a-b)20 => a2+b2>2ab pero(a +b) =4 => a2+b2=4-2ab 4-2ab>2ab => ab2ab =s> (a2+b2)2 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2 a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2 Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS I. ^ ^ ^ S^LQIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos.

10. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (a - x)2>0 => a2+x2>2ax (b-y)2>0 => b2+y2>2by (c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz) 1 + 1 >2(ax +by +cz) 2 >2(ax +by +cz) ax +by +cz 0, b >0, Demostrar qu: + +^ b a a b a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b (a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2 (a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando a2b2 a2b a2b ab a b 1 1 ba +a2 ~ a +b o Si 0 a >0 y a < 1 Multiplicando a < 1 por a >0 entonces a.acl.a, de donde a20, b >0, a *b, demostrar Vab > a+b (Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0 i- i / v 2>/ab a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- v ' a+b i -'J www.solucionarlos,net

11. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI $ . O Multiplicando por Vab se tiene: Vab>---- a+b c- n , s i a3+b3 f a+b Si a >0, b >0, demostrar que ----- > O (a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1 - 6ab+3b* >0 Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2 Ahora sumando 2ab se tiene: 4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b) 4(a +b)(a -ab +4b" )>(a +b ) => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4 a3+b3> (a +b)' de donde a3+b( a +b demostrado. Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4- a a* Como a * 1 => (a-1) >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0 Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1) (a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0 a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1 SOLUCIOMARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS a +1 a: +a a 1 a5 a ~ > ~ =* T +~ >T + a a a a a a 3 1 o 1 a + T > a ^ + aJ a* a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b) (a +b)2 0 => a2- 2ab+b2 0 multiplicando por 3se tiene: 3a* -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2 4a2-6ab +4b2a2+b2 ahora sumamos 2ab 4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J 4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )! Si a y b son nmeros reales, demostrar que: x/(a+c)2+(b +d)2 /a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2 2ac +2bd /a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2 a2+2ac +c? +b2+2bd +d2/as+bVe2+d2+(c2+d2) (a +c)2+(b +d)^ /c2+d2j yj(a +c f +(b +d)2 0 (a-c)2>0 (b-c)2>0 a +b >2ab a c +bc >2abc a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc b2+c2>2bc ab" +ac2 2abc a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >abe Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2) (2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3) Pero a3+b^+c3>3abc ... (4) Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c ) >3abc +24abc =27abc (a +b +c)3>27abc O Si a, b, c y d son nmeros reales cualquiera. Demostrar: (ab +cd)~ 0 => a2d2+b2ca>2abcd SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO iANLISIS MATEMTICO i ., www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Sumando ambos miembros a V +c2d2 a2b2+c2d2+a2d2+b2c2a2b2+2abcd +c2d2 a2(b2+cs) +c2(b +d2)>(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g f EDUARDO ESPINOZA RAMOS (ab +cd) ^(a2+cs)(b2+d2) (a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 . Sumando a4+b4 a ambos miembros 2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2) a4+b* >^(a! +b2)* (a-b) >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene: 2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2 (a2+b2)2>-^(a +b)4 . (a+b)4 a4+b4>---- L (1) (2) Colocando (2) en (1) se tiene; Si a >0 y b >0. Demostrar que: 1 a+- v ay 8 -Y (a +b) +4 a+b wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net

13. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o | (a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4 (a-b) 0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b a2+b2> >(a +b f (2) (a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b) >4ab (a +b)4>16a2b2 => >a~V v 1 16 Multiplicando miembro a miembro (2) y (3) a2+b2 > 8 a!b2 (a +b)2 Sumando miembro a miembro (2) y (4) ...(3) ...(4) a2+b2+- +b* (a+b)s 8 2.2 ab (a +b) de donde 2 , o a a +b + 2+b2 , (a +b)2 8 +4 > --+------+4 a b (a +b) ...(5) Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro de (5) tenemos. r ir l p2b+- b >1 2 (a +b)2+4^ a +b i SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.sdukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que: 25 Utilizando el ejercicio (33) 0a+- s+b+iT ii '(a +b) +4 ' l a, l b j 2l a+b J ; Como a +b =1, lo reemplazamos =2(5)! f t2 f a+- | + k a b+i >?5 bj 2 Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd 2abxy (cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando (bz-cy)* 20 b V +c V 2 b c y z b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2> a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf c3 d3 Demostrar que: 0 > d'(c-d) 0 0 0 0 0 => (c +d) +d >0 Multiplicando por c - d >0 se tiene: (c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0 c2+cd>2dL sumando d~ c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d) (c-d )(c2+cd +d2) (c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d) i * i www.solucionarlos,netg W

20. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................ L ^ l> d (c-d) f >*(*- ^ Si 0 d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d) Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < ~ ^ 0, y>0, z >0, demostrar que: a) xyz =1 => x +y +z >3 b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) 27abc Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) 27xyz para xyz =1 (x +y +z)3 >27 sacando raz cubica x+y +z>/27=3 x +y +z 3 b) Es inmediato se deja para que se entrenen. ^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ + - 3 (sus ^ =1 ejercici 64) Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z) el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3 Combinando estos dos ejercicios se obtiene: x y z ++ y z x w v www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS Demostrar para todo a y b rec* >/ab a+1 ^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3 16^| Aplicando la media potencial M, = -i n Como M3>M2 entonces evaluamos a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 eevancj0 a| cub0 www.solucionarios.net www.edukperu con www.solucionarios.net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS O a1+b'+c3 a3+b* +c3>3 =8 8 16 2 3V3 " 3 V3 16 2 _ 2 3 V3 y3 a3+b3+c3 Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4 Como a >0, b >0 => a2b2eR de donde (a2-b2) >0 => a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b a4+2a2b2+b44 a 2b8 => (a2+b2) >4a2b2 ( 1 (a2+b2)(a2+b2) 4 a b U ! +b2 (a2+b2)>4 Demostrar que si a,b,c son nmeros reales positivos, entonces +c >Vabc 3 Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc Sacando la raz cubica se tiene: a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc a +b+c >yjabc Si V x R, tal que a >0 a b >0 y a2 x Va

22. www.solucionarlos,net i r a r e n a M i n r a < x 2 a < x 2 a x 2 x 2 - a > 0 a - V b < x < V b ( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b ( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b ) Por la propiedad distributiva de la intersecccion jjx/a a x->/a) v (xn J 2 y S M it Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I x, +x +... +X. n X + X + + X 1--2 - >1 de donde x,+x2+... +xn>n n $ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2 (a-b) >0 => a2+b22ab, multiplicando por (a-t-b)2 H SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO L.NLISIS MATEMATICO L . t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a2+b2)(a +b) ^2ab(a +b)" => (a2+bL)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1) Pero a2+b2>2ab ...(2) De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b .*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + +- | ++^a b c j a b c tfm H is w tC T 'b Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe) a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2 2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2 a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. y ................ (ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2 Divididiendo entre a2b2c2se tiene: (ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2 a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e 1 1 1 - + + - c b a) ^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_ * c ! +b! +a2 1 1 8 Si a,beR*( demostrar que: -T + >------ a (a +b)' n s n ww-w.9dukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net

23. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b) >8ab Dividiendo entre a2b2(a +b)2 (a2+b2)(a +b) 8aV . . a2+b2 8 ------ ------->--------- r, simplificando ----- >---- a2b2(a +b) a2b2(a +b) a V (a +b) a2 b2 (a +b) Sean a, b, c nmeros reales positivos tal que: a a ac< bc a b + b ab + ac < ab + be a 2b a(b + c) < b(a + c) a ----< 1 b +c a b b 1 => ----- < ------ a ----- < - a +c b +c b +c 2 a b 1 0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+ - 1 x x x > 1 => 10 CAPITUI O I / 38 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com ---- www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x2"'1-1 x2""1-1 2 a ac j2BES2I3II3r Como a i a c b c b2 b+c b2 0 -> 1 => +- + >3 => --- + >3 1>1ac a a ac ^ 5 - 1 + >3 i a ac a ac b +c-a b2 * --------------------+ >2 a ac C- n 1 2 3 .1 6 3 Si 0 2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c) abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c) SOLUCIONARIO www.solucionarios.net www.solucionarios.net f EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I ' ---------------------------------- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA I. Resolver las siguientes inecuaciones O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __ 5x-2 +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx 3a 6b 24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- --- => xe(-o,- 24ab 5a +12ab-4b5a +12ab-4b o 6-3x 2x+---- 1+-, c>b>a >0 a b c _____ X X X +>1+, MCM =abc bcx + xac >1+abx a b c x(bc +ac - ab) >abe => x >--- --- => x e /--- ---.oo be +ac - ab be +ac - ab ' O 2x-6< 2 l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 (3x-l)(x +1) 2(7-x)-3 (x-5 ) 3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15 15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA 2x2- 6x +3 x2+ +-< 0 , completando cuadrados 4 4 9Y 81 9 . (9V 63 x+- +x+- +0, Vx e R 8 J 64 La solucin es 4x2-4x +7 >0 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I 4x2-4x +7 >0 => x2- x +>0, completando cuadrados 4 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS f 1 1 7 f 1V 3 2 +>0 => x+ +>0 como se conoce V x e R , x >0 4 4 l 2 ) 2 Entonces la solucin es R. x4-2x2-8 0, completando cuadrados ( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene: - , - " SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net 1 27. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91 ( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0 V 7 3 -7 5 S 3 + J5 /. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^ 3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l ) 3 x 2 - 8 x + 11 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 Simplificando se tiene: x 2 - 4 x + 5 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0 (x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ? 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0 x e 1,33 x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )? M S x (3 x + 2 ) < ( x + 2 ) => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0 -1 O O (-1,2) 4x2-8x +18 +- 4 4 , K 2 33 1 y/33 1 V3 ( X - - ) > -- => X --- > ----- V X < ------- 2 2 1+V33 1-733 x> ----- V x 0 2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6 2 3 - 1 1 - 6 4 14 6 2 7 3 0 2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3) =(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces (x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0 1 2 x e - 3' - i [2,+oc > O x3-3x2-I3x +15>0 www r?d'jKDei on SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net 30. www solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15 CAPI7',,n i O 1 -3 -3 15 1 -2 -15 1 1 -2 -15 0 x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15) =(x - IXx - 5Xx +3) entonces (x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0 Y . -3 1 5 x e(-3,l)u(5,oo) x4-4x3-x2+I6x-12 >0 O L W m U l'M * x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 2 2 1 -1 -6 0 x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6) =(x-1Xx-2Xx-3Xx +2) (x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0 - 2 1 2 3 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net wwv,.3dukperu.com . www solucionarlos,net CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Tnrrrgr.i^r x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12 1 3 -5 -15 4 12 -1 -2 7 8 -12 -1 1 2 -7 -8 12 0 1 3 -4 -12 1 1 3 -4 -12 0 2 10 12 2 1 5 6 0 x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +) =(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2) ~ ^ ^ A r ~ i r r -/ ~ A A T - -3 - 2 - 1 1 2 (x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0 => (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0 xe u< 1,1>u2,oo> ^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 0 =>(x -1 - >/)(x-1 +V)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0 1-22 1- V6 1-V5 1+S 1+46 1+22 x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1VHÛÎ +>/6û(l +2>/2,+co^ x5-2x4-15x3>0 x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0 + > 1 > + > 1 -3 0 5 x eu (x3-5x2+7x-3X2-x) >0 Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3 1 - 5 7 - 3 3 - 6 3 3 1 - 2 1 0 (x-3 )(x-l)2(x-2) l > + > 1 www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 32. www.solucionarlos,net x e [2,3] ^ {1} (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a0 (x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando => [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0 => [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0 =>[x +3- V](x +3+VXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0 ~ v : v + v v + v - a ~ -3- VIO -5 -2 -3 +/To 2 2 x e (-x,-3-V)u(-5,-V2)u(-3+>/,V2)w ^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)70 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0 x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0 -i x4-2x2-3x-2 >0 0 1 /. x e ( 0 , l)u (3 ,o o ) x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1) (x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces. (x-lXx-2) > 0 x2+x +6 =0 => (x- lXx - 2) >0 www.edukperu.com i . S O I 1C www.solucionarlos,net 33. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS $ -i o x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o > x4-3x3+5x2- 27x-36 ^-2x4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R x2(x-2) . x (x-2) 1 > --------------- = 0 => r --- > 0 x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2) : ~ V 0 2 /. x e < 2 ,0 0 > x-2 > x x+4 x-2 = z 2 . _ _ a 0 x+4 x-2 x+4 x-2 (x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x ----- ----------- > 0 => -----------------------> U (x +4Xx-2) (x +4Xx-2) ~8x+4 o =. u ,2> x -4 ; x -2 x2+2 x2+1 x3-4 x3-2 < (x3-4)(x2+1)0 => x2(x +2)>0 x =0; x =-2, puntos crticos v : -2 0 x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o > x-1 < 2x x x x +1 x-1 M K S B M M x-1 2x x x-1 2x x ^ . ---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0 X X +1 X-1 X x +1 x-1 (x8l) ( x 1)2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1) x(x +1)(x 1) x x x+12x +2x +x +x . 2x -x +1 . => ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 => -----T7------ < 0 x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 ) Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos ^ SOLUQONARIO ANLISIS MATEMTICO Il www.solucionarlos,net 39. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I 1 - o ^ ------1 so x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l) x =-1; x =1; x =0, puntos crticos A / V : i 0 1 X G < -00,-1 > U < 0,1 > x2+2 x~+1 y4+1 y4+1 ___ MmxmAwm ll simplificando x4+l se tiene: x4+1 x4+1 x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R /. La solucin es V x e R x2-2x 0, V x e R => V 4 t * www.solucionarios.net www eduKperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1 3x+l ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0 x+4. 5 x+4 55(x+4) 5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6 => ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- x(x + 3 ) puesto que x2+2>0, V x e R Puntos crticos: x = 3; x =72 ; x =-5; x =0 V v : v -5 72 0 72 / www.solucionarios.net wwv.'.dukperu.com www.solucionarios.net O x e ^ (x +6)2(2x +3)7 > puesto que x +1 >O, V x e R - O V V -6 3 1 5 '2 "2 3 x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o ( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9 ( x + 1)2 (2 x + 5 )'7 ISMUlHT (4x +2) (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q ( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1) (2 x + 5 )'3 puesto que x +2>0, V x e R 1 5 PuntOS crticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1 2 2 edukperucom . . SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 42. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j W (x-5) (x +3) cAPrrui o i (x +4) (x-2) (x-5) (x +3)x-5 x+3 (x +4)(x +3)-(x-2)(x-5) (x-5)(x +3) x2+7x +12-(x2-7x +10) /3)(x +1+>/3) >0; x*l x =2; x*l; x=-l>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1 -1 -n/3 v/3-1 -V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co} 4x4-20x2+8 x4-5x2+4 4x4-20x2+8 /3)vj(2f-Hx) ( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_ (x4+])(x-2) m i f M l i i ' T (x-1) (x-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x-l)(x-l)(x^ )%n (x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2) Simplificamos los trminos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos x2- lf i ^____L >o => --- 0 => x >2 de donde x e x-2 * x-2 (x2+5x +6)(x4-16)(x24x 12) ^ (1-3x)3(x-1)(x! +l) ( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^ (1-3x)3 (x -1)(x! +1) Factorizacin por diferencia de cuadrados y aspa simple: SOLUCIONAR! www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net CAPTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS (x +3)(x +2)(xJ -4)(x 4)(x-6)(x +2) (l -3x)3(x -1)(x2+1) (x2+4) y (x2-rl) son positivos V x R, entonces simplificamos (x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2) (x-2)(x-6) (3x I)3(x 1) (3x l)(x 1) -3 -2 3. 1 3 xe(-oo,-3)u^-2,-û(l,2)u(6,+oo) O 4 x-2 4 < 4-x 5 x 4 x2 4 4 x2 4 < => ------- ----- --- :--- --- >0, factonzando 5x(x-4) 1 -6 48 -80 2 .8 80 2 1 -4 40 0 _ * SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net K 48. www.solucionarlos,net CAPJT-w'l EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................... (x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi - (x - 4 ) >0 ~ S F * ) . (x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos 5x(x-4) x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos crticos 5x(x-4) v - t a z : 3xg+7x +5 x2+3x+2 0 2 4 xe(0,2)u(4,oo) 3x2+7x +5 0 x 4(x-l) 4x +12 4(x 1) 4(x-3) x 13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3) 4x(x-l)(x +3) 13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3) -----------7----77---- r-------- 0, simplificando 4x(x l)(x +3) 14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q 4x(x l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~ Como x2+7x +18>0, simplificamos 7---- ----- >0 x(x-l)(x +3) Los puntos crticos: x =0; x =1; x =-3 -3 0 11 www.solucionarios.net 51. www.solucionarios.net --------------- ---------------------- V CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Conjunto solucin: xe(- (!,+0 =>x >11 X I I i x e 3 X - 1 X +1 x Q + >- 3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx l ) ^ Q ____ >_ S ---- ------- K / o x1 x+1 X xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos x(x2- l) 1____ >0. Los puntos crticos: x =0; x =1 x(x; - l) -i ri www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS Conjunto solucin: x e (-l,0)U(l,o) X 1 0 M a & m zbvm / >0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos (x-V5)(x +%/5) (x-2)(x +1) >0. Los puntos crticos: x =1; x =2; x =>/5 + V = V + V 1 V ~ -S -1 2 sfS Conjunto solucin: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^ 3x- > , -6 m m m m x2x6 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 52. www.solucionarlos,net _______________________________________ CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS ........................................................... 3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando -- >1=>----- 7-1> => v 2 _ * _ f c x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x-x-6 -x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I 1 _< 0 x2- x - T * (x-3)(x+) (x-3)(x+2) (x-2->/t)(x-2h->/To) n ^ puntoscrticos: x=-2; x=3-, ^ 2 J W (x-3)(x +2) T ^ / ~ ~ r - y ~/ ------- -2 2 - M 3 Conjunto solucin: x e (-2,2 - 7 ) (3,2 +7) A x i~3x+2 y*-3xf : 2X^ +8 0 ;x * 1 ^ 7 1 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3 Los puntos crticos: x =3; x =4; x * l -1 5 Conjunto solucin: xe (->,3)vj(4, 2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3 2x-25 2x+1l 1 '+;---- r > 2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3 2x-25 2x+11 1 . _w 0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1 2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3 (2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1) 2(x +3)(x -1)(x +1) 2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2 2(x +3)(x l)(x +l) >0, efectuando las operaciones >0, simplificando 2x2-6x +10 x2-3x +5_ >0 =>---- --- --- - >0 2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1) como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos 1 (x +3)(x-1)(x +1) >0. Los puntos crticos: x =-3; x * 1 -3 -1 Conjunto solucin: x e (-3,-l) U (l, ) x W 4 a() x - 4 x -5 4 i i i a0 => J r f >o x 4x5 (x 5)(x +1) www.edKperurcfTi SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 97 53. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Los puntos crticos: x =1; x =5 -1 5 Conjunto solucin: x e (-oo, -l) U (5,ce) 2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ---- * % x2+6x +5 2x**+7x+'5 x +6x+5 > 0 2x______________ ___________ _ >0 => -- : (2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1 1 2x +5 x+5 > 0 Q x 2x +10-2x-5 (2x +5)(x +5) > 0 5x (x +l)(2x +5)(x +5) > 0 -5 x e (-qo,-5 ) +co) x2+10x+16 x-1 >16 x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n x-1 X ' 1 www.solucionarlos,netCAI i irm w ARin ANLISIS MATEMTICO I w w * ediikperu con*t www.solucionarlos,net CAPITULO I (---1~--- ------------------------- .............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS x2+26 x - 1 > ' como x +26>0, V x R, entonces simplificamos >0 x-1 X < 1 ,+ o c > x2-3x +2 ~ r------->0 x* +3x +2 4 4 xi | > o => l - Mx - 2 ) > 0 x +3 +2 (x +l)(x +2) -2 -1 i 2 x e u < D -^ +4 > x +10 x-2 +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 = M l > >0 x x-2 X^ g X+l 2 > 0 - ^ ^ > 0= Z 3 < 0 x-2 . x-2 2 3 . X 6 3x2- 4 ------< x +6 x -6 WWW *dti(..jie.r .--irn - ' ---- - ~ l~T" L ' * ~ I |- > ~ l i l WWW.SOlucinnarin. 60. www.solucionarlos,net 3xg- 4-0, V x R entonces simplificando se tiene: _ u CD 1+-r-rSs0x +4x +3 6 x e 1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x x2+4x+3 x2+4x+3 2 x24x +4 2)â ---1 ^ < 0 r> V oW ~T- x2+4x +3 (x +3)(x +1) V Z Z Z ^ Z Z Z ^ - -3 -1 2 x e u {2} 112 www.solucionarlos,net www.edjk.per'j.ct'm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS INECUACIONES EXPONENCIALES IV. Resolver las siguientes inecuacines 4x-3 3x^2 J 0,5 2 >0,0625 5 4x-3 3x-2 4x-3 3x-2 0,5 2 >0,0625 5 3x-S 1 Y"5 v16 T 2> 4x-3 4I - => ---- 20x-151 => x > => x e (,oo 4 4 27 V ) -4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4 9~ 9 .3 => 32(-')S>93-x.x-33-I 32(x-I) > 3 ^ , . 2 2(x-1) >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H V x e R ^ 2"2"' .(2) .(2*) -2)* > *J 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx- 12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640 105n/4513 37x2-105X +44 274x _ _ _ _ _ 729xz.243x 243x6.275x-* 36x.35x 35(64).- => (4! y->4-> ^ ^ ^ - ^ > 0 10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l) 7Puntos crticos: x =-1, x = 1; x =- -i i z 3 0 [(0.3)(",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? * [(0.3)[(0.09),'-,>J '' => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' H T 7 * 1 s o lu c io n a r io a n lis is m atem tico I w m m m p m m www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS (0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9) 2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0 (x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0 (x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0* x-2)(x-3)>0. Puntos crticos: x =2, x =3 ^ / = / ^ 2 3 x g (-oo,2)u (3,oo) $ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f? WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 119 64. www.solucionarios.net ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I x+1 (x +3)(x +2) < 0 -3 -2 -1 x e u 0.0256^ Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1- 16-2x 25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0 25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0 D , r v. -27-5^27 5^7-27 Puntos Crticos: x =----- - ; x = ----- A T ~ ~ V 27 - S27 5/27-27 -27-5>/27 /5n/27-27 ' x e ( -00,----:----)u ( ------ ,+00 ( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x *-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3 x-1 ^ 1 / 1U 25 v25, 3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _ -----------< 0 x - 8x+l5 x- 2 xl (x-3)(x-5) (x 2)(x 1) x- 2 x- 1 < 0 (x - 2)(x - l) =0. Los puntos crticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5 v 1 v * v : 1 2 3 5 x e u [3,5] www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net

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