Examens math

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

àA

�J«A� : PAm.

�'B@

�èYÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@�èXAîD

�� ÉJ

JË

2010 ñJKñK

�èPðX

�éJK. Q

ªÖÏ @

�éºÊÒÖÏ @

�éJ

J£ñË@

�éJK.

Q��Ë @

�èP@ Pð

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

Èð B@ áKQÒ

�JË @-

( à0,5) 3x + 7 = 0 :

�éËXAªÖÏ @ Ég (

@ ¶

( à1) 3x + 7 6 −1

2x :

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ég (H.

( à1,5) :

�éÒ

¢

JË @ Ég (

@ ·{

x + y = 287x = 2 y + 2

( à1) .

�éJ�

�Q

®Ë @

�é

ªÊËAK. ú

�¯AJ. Ë @ð

�éJK. QªË@

�é

ªÊËAK. AîD

�ªK. , H. A

�J» 287 áÓ

�éK @ Q

k

àñº

�J�K (H.

á�K. A�JºK.

�éJ�

�Q

®Ë @

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@ XY«

ª

� úÎ« YK

QK�éJK. QªË@

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@ XY«

à

@

�IÒÊ« @

X @

.�é

ªË É¿ áÓ

�éK @ Q

mÌ'@ I.

�J» XY« I. �kA

¯

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

( à0,5) P (−4; 2)

�é¢

�®

JË @ áÓ ú

GAJJ. ÖÏ @ AêÊJ

�JÖ

�ß QÖß ú

�æË @ f

�éJ¢

mÌ'@

�éË @YË @ XYg (

@ ¶

( à1) g(−1) = 4 ð g(0) = 7 �

IJm�'

. g�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ XYg (H.

g(x) = 3x + 7 ð f(x) = −1

2x : ú

ÎK AÖß.

á��JQªÖÏ @ g ð f á�

�JË @YË @ Q�.

�Jª

K ·

( à0,5) g(−2) ð f(2) I. �k. @ (

@

( à0,5) ? f

�éË @YËAK. −2 ù

ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ ñë AÓ (H.

( à1) (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ ú

¯ g

�éË @YË@ ð f

�éË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ úæ

�� @ ¸

( à1) 3 x + 7 = −1

2x :


@ ¹

( à0,5) g ð f á�

�JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P i.

�JJ��@ (H.

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

:�

HA«Q�.�JË @ ½Ê

�JË A

®

��» ú

ÍA

�JË @ ÈðYm.

Ì'@ ÐY�®Kð ,

�éK

Q�

g�é��

ñÓ

�èY

KA

®Ë

�éKXAÓ

©ËAJ. Öß. ÐA�

�¯

B@ Yg

@

YJÓC

�K ¨Q�.

�K

50 40 30 20 10 (ÑëPYËAK.)

©ÊJ. ÖÏ @

1 3 9 n 5 á�«Q�.

�JÖÏ @

YJÓC

�JË @ XY«

26 Õ» @Q��ÖÏ @ �J�mÌ'@

( à1) . 30 á�«

Q�.�JÖÏ @

YJÓC

�JÊË ú

ÍAÔg

.B@ �J�mÌ'@

à

@ð , n = 12

à @

á�K. ¶

( à0,5) .

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @ I. �k@ ·

4

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2010 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,5) .

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË

�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @ XYg ¸

©K. @QË @ áKQÒ�JË @-

I úÍ@ B�é¢

�®

JË @ Èñm�

�' ú

�æË @

�ék@ PB@ T ù

Ò�

� . [BC]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ I ð ,

�IÊ

�JÓ ABC

( à0,5) D

�é¢

�®

JË @ úæ

�� @ . T

�ék@ PBAK. A

�é¢

�®

JË @

�èPñ� D ù

Ò�

� (

@ ¶

( à0,5) ? T

�ék@ PBAK. I

�é¢

�®

JË @

�èPñ� ù

ë AÓ ( H.

( à0,5) T

�ék@ PBAK. (AB) Õæ

�®�J�ÖÏ @

�èPñ� XYg (

@ ·

( à0,5) ? T

�ék@ PBAK. [ABI]

�éKð@ QË @

�èPñ� ù

ë AÓ ( H.

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @-

Q(−2, 3) ð P (−3, 0) ¡�®

JË @ Q�.

�Jª

K , (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ úÍ@ H. ñ�

�ÖÏ @ øñ

�J�ÖÏ @ ú

¯

. y = 3x + 9�éËXAªÖÏ @ @

X Õæ

�®�J�ÖÏ @ (∆) ù

Ò�

�ð , S(0,−1) ð R(1, 2) ð

( à0,5) . (O, I, J) ÕÎªÖÏ @ ú

¯ S ð R ð Q ð P ¡

�®

JË @ É

�JÓ (

@ ¶

( à0,25) . [PR]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ M

�é¢

�®

JË @ ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P Yg. ð

@ (H.

( à1) . (∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

àAJÒ

�J��K Q ð P á�

�J¢

�®

JË @

à

@

�I�.

�K @ (

@ ·

( à0,5) y = −1

3x− 1 ù

ë (PS) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ

à

@

��

�®m�

�' ( H.

( à0,25) .

à@YÓAª

�JÓ (PS) ð (PQ) á�ÒJ

�®�J�ÖÏ @

à

@

á�K. ( @ ¸

( à0,25) . (∆) Õæ

�®

�J�ÒÊË ø

P@ñÖÏ @ð S

�é¢

�®

JË @ áÓ PAÖÏ @ Õæ

�®�J�ÖÏ @

�éËXAªÓ Yg. ð

@ (H.

( à0,5)

−→QR ð

−→PS á�

�Jêj.

�JÖÏ @ áÓ É¿ ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P XYg (

@ ¹

( à0,5) . QR ð PQ á�

�J¯A�ÖÏ @ I. �k@ ( H.

( à0,5) . ©K. QÓ PQRS ú

«AK. QË @

à

@ i.

�JJ��@ ( h.

�XA�Ë@ áKQÒ�JË @-

, (BC) ð (AB) áÓ É¿ úÎ« ø

XñÔ« (SB) à

@

�Q�

�®

K , ABCD ÉJ¢

��ÖÏ @ é

�KY«A

�¯ ÐQë SABCD

SB = 6 cm ð BC = 9 cm ð AB = 3 cm à

@ð

( à0,5) SC

�é

¯A�ÖÏ @ I. �k@ (

@ ¶

( à0,75) . SABCD ÐQêË @ Ñm.

k V I. �k@ Õç�' , ABCD ÉJ¢

��ÖÏ @

�ékA�Ó I. �k@ ( H.

éÒm.k SA′B′C ′D′

ÐQë úÎ« É�jJ¯ é

�KY«A

�¯ ø

P@ñK øñ

�J�Öß. SABCD ÐQêË @ ©¢

�®

K ·

. SABCD ÐQêÊË Q�ª�

�� ñë SA′B′C ′D′

ÐQêË @à

@ Q�.

�Jª

K V ′ = 16cm3

( à0,75) .

2

3ùë Q�

ª�

�JË @

�éJ.�

�

à

@

á�K. Õç�'V ′

VI. �k@ (

@

5

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2010 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,5) . A′B′C ′D′

ÉJ¢��ÖÏ @

�ékA�Ó I. �k@ ( H.

( à0,5) . SB′ �

é¯A�ÖÏ @ I. �k@ (h.

6

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2010 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

(192; 95) h. ð QË @ ñë�éÒ

¢

JË @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð

:�éË

A�ÖÏ @ Ém�

' (H.

�éJK. QªË@

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@XY« ñë x ©

�

�

�éJ�

�Q

®Ë @

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@ XY« ñë y ð

x + y = 287 éJÓð

YKQK

�éJK. QªË@

�é

ªÊË @ I.

�J» XY« A

JKYËð

�éJ�

�Q

®Ë @

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@XY«

ª

� úÎ«

á�K. A�JºK.

2y + 2 = x : éJÓð

:�éÒ

¢

JË @ Ég ñë

�éË

A�ÖÏ @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð{

x + y = 287x = 2 y + 2

: (192; 95) AJKYË (

@ È@

ñ�Ë@ I. �k

úÍA

�JËAK. ð

�éÒ

¢

JË @ Ég ñë

�éJK. QªË@

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@ XY« ñë 192

�éJ�

�Q

®Ë @

�é

ªÊËAK. I.

�JºË@ XY« ñë 95 ð

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

f(x) = ax : ú

æªK

�éJ¢

k

�éË @X f (

@¶

a XYm�'

úÍ@ ùÒ�J��K P (−4; 2)

à @ ÕÎª

K

f�éË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @

f(−4) = 2 : ú

æªK

a =f(−4)

−4: ú

æªK a =

f(x)

xà

@ AÖß.

a =2

−4=−1

2

f(x) =−1

2x : ú

ÍA

�JËAK. ð

�IJk g

�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ XYm�

' (H.

g(−1) = 4 ð g(0) = 7

g(x) = a x + b É¾�

� úÎ« I.�Jº

�K g

a XYm�'

a =g(x1)− g(x2)

x1 − x2

a =g(0)− g(−1)

0− (−1)

Èð B@ áKQÒ

�JË @ Ég-

3x + 7 = 0 :�éËXAªÖÏ @ Ém�

' (

@ ¶

3x + 7 = 0 : AJKYË

3x = 0− 7 : ú

æªK

3x = −7 : ú

æªK

x =−7

3: é

JÓð

−7

3XYªË@ ñë

�éËXAªÖÏ @ Ég

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ém�

' ( H.

3x + 7 6 −1

2x : A

JKYË

3x +1

2x 6 −7 : ú

æªK

6x + x

26 −7 : ú

æªK

7x

26 −7 : ú

æªK

7x 6 −14 : ú

æªK

x 6−14

7: ú

æªK

x 6 −2 : éJÓð

Qª�

B@ X@Y«

B@ ©JÔ

g.

ùë

�émk

.@Q

��ÖÏ @ ÈñÊg

−2 ø

ðA�� ð @ áÓ

�éÒ

¢

JË @ Ém�

' ·

��ñª

�JË @

�é�®KQ£ ÉÒª

�J�

�

: AJKYË{

x + y = 287 ”1”x = 2 y + 2 ”2”

2y + 2 + y = 287 : iJ.�� ”1”

�éËXAªÖÏ @

3y + 2 = 287 : ú

æªK

3y = 287− 2 : ú

æªK

y =285

3: ú

æªK

y = 95 :à

X@

”2”�éËXAªÖÏ @ ú

¯ y

�éÒJ

�¯

�ñª

K

: iJ.�� ”2”

�éËXAªÖÏ @

x = 2× 95 + 2x = 192

7

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2010 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

g ð f Èá�J

K AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @

�éËXAªÖÏ @ Ég ñë AêËñ�

¯ @ ©£A

�®�JË @

�é¢

�®

K

f(x) = g(x)

x = −2 ñë�éËXAªÖÏ @ Ég

à

@ AÖß.

f(−2) = g(−2) = 1 ñë H. ñ�KP

B@

àA

¯

©£A�®�JË @

�é¢

�®

K ù

ë C(−2; 1)

àX@

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

20�èQ�ÒÊË Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@ A

JKYË¶

26− 9 = 17 A

��

@ ø

ðA��ð 5 + n : ñë

n + 5 = 17 :à

X@

n = 17− 5 = 12 : ø

@

�J�mÌ'@ ñëá�«

Q�.�JÒÊË ú

ÍAÔg

.B@ �J�mÌ'@

26 + 3 + 1 = 30 : ø

@ .

�èQ�Ó Q

k

�B Õ» @Q

��ÖÏ @

N = 30 úÍA

�JËAK. ð

�éÊ�Ê�

��ÒÊË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @·

m =50 + 240 + 270 + 120 + 50

30m = 24, 33

M�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @¸

15 : ñë úÍAÔg

.B@ �J�mÌ'@

�

�

17 ñë 20�èQ�ÖÏ @

�éÒJ

�®Ë Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@

M = 20 ù

ë�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @

à

X@

©K. @QË @ áKQÒ�JË @ Ég-

( @¶

T�ék@ PBAK. I

�é¢

�®

JË @

�èPñ� (H.

−→BI =

−→IC :

àA

¯[BC]

�

�JJÓ I

à @ AÖß.

a =7− 4

1= 3

g(x) = 3x + b iJ.�� g ú

ÍA

�JËAK. ð

b = 7 à

X@ g(0) = 3× 0 + b = 7 A

JKYËð

g(x) = 3x + 7 úÍA

�JËAK. ð

g(x) = 3 x + 7 ð f(x) =−1

2x : A

JKYË·

g(−2) ð f(2) I. �m�' (

@

f(2) =−1

2× 2 =

−2

2= −1 : A

JKYË

g(−2) = 3× (−2) + 7 = −6 + 7 = 1 ð

f�éË @YËAK. −2 ù

ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYm�

' (H.

f(x) = −2 :�éËXAªÖÏ @ Ém�

'

−1

2x = −2 : ú

æªK

x

2= 2 : ú

æªK

−2 é�KPñ� ø

YË@ XYªË@ ñëð x = 2× 2 = 4 :

à

X@

ÕÎªÖÏ @ �®

K ú

¯ g ð f á�

�JË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ¸

3x + 7 = −1

2x :

�éËXAªÖÏ @ Ém�

'¹

3x +1

2x = −7 A

JKYË

6

2x +

1

2x = −7 : ú

æªK

7

2x = −7 : ú

æªK

7x = −7× 2 : ú

æªK

x = −2 :à

X@

−2 XYªË@ ñë�éËXAªÖÏ @ Ég é

JÓð

©£A�®�K

�é¢

�®

K ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P i.

�JJ��

� (H.

8

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2010 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË A

��@ ù

Ò�J��K Q é

JÓð

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ y = mx + p ©

�

� (H.

(PS) Õæ

�®�J�ÒÊË

m XYm�'

m =yP − ySxP − xS

m =0− (−1)

−3− 0

m =1

−3

m = −1

3

y = −1

3x + p iJ.�

��

�éËXAªÖÏ @

p XYm�'

:àA

¯ (PS) úÍ@ ù

Ò�J��K P

à @ AÖß.

yP = −1

3xP + p

0 = −1

3× (−3) + p

0 = 1 + pp = −1

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ ù

ë y = −1

3x− 1 : ú

ÍA

�JËAK. ð

(PS) Õæ

�®�J�ÒÊË

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

àAJÒ

�J��K Q ð P

à @ AÖß. (

@¸

(PQ) = (∆) àA

¯

m = 3 ÉJÓ ñë (PQ) ÉJÓ

m′ = −1

3ñë (PS) ÉJÓð

m×m′ = 3×−1

3= −1

à @ AÖß.ð

à@YÓAª

�JÓ (PS) ð (PQ)

àA¯

S áÓ PAÖÏ @ Õæ

�®�J�ÖÏ @

�éËXAªÓ Yj.

JË ( H.

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË ø

P@ñÖÏ @ð

(∆) ÉJÓ �®

K éË

à

@ ú

æªK

y = 3x + p′ éJÓð

p′ XYjJË

yS = 3xS + p′ à

@ AÒÊ«

−1 = 3× 0 + p′ : ú

æªK

C ùë I

�é¢

�®

JË @

�èPñ�

àX@

T�ék@ PBAK. (AB) Õæ

�®�J�ÖÏ @

�èPñ� (

@·

D ùë T

�ék@ PBAK. A

�èPñ� A

JKYË

I ùë T

�ék@ PBAK. B

�èPñ�ð

(DI) Õæ

�®

�J�ÖÏ @ ù

ë T

�ék@ PBAK. (AB)

�èPñ�

àX@

C ùë T

�ék@ PBAK. I

�èPñ�

à

@ ÕÎª

Kð ( H.

DIC ù

ë T�ék@ PBAK. ABI

�èPñ�

à@ ú

æªK

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @ Ég-

(O; I; J) ÕÎªÖÏ @ ú

¯ ¡

�®

JË @ ÉJ

�JÖ

�ß (

@¶

[PR]

��JJÓ M ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P YKYm�

�' ( H.

M

(xP + xR

2;yP + yR

2

)M

(−3 + 1

2;0 + 2

2

): é

JÓð

M

(−2

2;2

2

): é

JÓð

M (−1; 1) :à

X@

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

àAJÒ

�J��K Q ð P

à @

�IJ.

��K (

@·

y = 3x + 9 ùë (∆)

�éËXAªÓ A

JKYË

3xP + 9 = 3× (−3) + 9 = −9 + 9 = 0 ð

3xP + 9 = 0 = yP : ú

æªK

(∆)�éËXAªÖÏ Ég (−3; 0) h. ð QË @ ø

@

(∆) Õæ

�®

�J�ÒÊË ù

Ò

�J��K P

àX@

3yQ + 9 = 3× (−2) + 9 = −6 + 9 = 3 AJKYËð

3xQ + 9 = 3 = yQ : ú

æªK

9

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2010 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

áÓ É¿ úÎ« ø

XñÔ« (SB) à

@ AÖß.

(BC) ð (AB)

B ú

¯

�éKð@ QË @ Õç

'A

�¯ SBC �

IÊ�JÖÏ @

àA

¯

:àA

¯ �Pñ

«A

�JJ

¯

�éJëQ�.Ó I. �k

SC2 = SB2 + BC2

SC2 = 62 + 92: ú

æªK

SC2 = 36 + 81 : ú

æªK

SC2 = 117 : ú

æªK

SC =√

117 :à

X@

ABCD ÉJ¢��ÖÏ @

�ékA�Ó I. �m�

' (H.

SABCD ÐQêË @ Ñm.k Õç

�'

SABCD = L× lSABCD = BC × AB

SABCD = 9× 3SABCD = 27cm2

SABCD ÐQêË @ Ñm.k Õç

�'

VSABCD =1

3B × h

VSABCD =1

3SABCD × SB

VSABCD =1

3× 27× 6

VSABCD =162

3VSABCD = 54cm3

16cm2ñë SA′B′C ′D′

ÐQêË @ Ñm.k(

@·

SABCD ÐQêÊË Q�ª�

�� ñë SA′B′C ′D′

V ′

V=

16

54: A

JKYË

V ′

V=

8

27:

à

X@

V ′

V= k3

à @ ÕÎª

K

Q�ª�

�JË @

�éJ.�

� k �

IJk

k3 =23

33: ú

æªK

Q�ª�

�JË @

�éJ.�

� ù

ë k =

2

3:

à

X@

A′B′C ′D′ÉJ¢

��ÖÏ @


' (H.

SA′B′C′D′

SABCD

= k2 à

@ ÕÎª

K

p′ = −1 : ú

æªK

y = 3x− 1 :à

X@

−→QR(xR − xQ; yR − yQ) (

@ ¹

−→QR(1− (−2); 2− 3) : ú

æªK

−→QR(3;−1) :

à

X@

−→PS(xS − xP ; yS − yP ) : A

JKYËð

−→PS(0− (−3);−1− 0) : ú

æªK

−→PS(3;−1) :

à

X@

QR ð PQ á��J¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (H.

QR =√

32 + (−1)2 : AJKYË

QR =√

9 + 1 : ú

æªK

QR =√

10 : ú

æªK

PQ =√

(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 : AJKYËð

PQ =√

(−2− (−3))2 + (3− 0)2 : ú

æªK

PQ =√

(−2 + 3)2 + 32 : ú

æªK

PQ =√

12 + 32 : ú

æªK

PQ =√

1 + 9 : ú

æªK

PQ =√

10 :à

X@

h. A�JJ��@ (h.

−→PS =

−→QR :

à

@ AÖß.

¨C

� B@ ø

P@ñ

�JÓ PQRS :

à

@ ú

æªK

PQ = RQ : AJKYËð

á�ªÓ PQRS :à

@ ú

æªK

:à

X@

à@YÓAª

�JÓ (PS) ð (PQ) : A

��

@ A

JKYËð

©K. QÓ PQRS

�XA�Ë@ áKQÒ�JË @ Ég-

ABCD ÉJ¢��ÖÏ @ é

�KY«A

�¯ ÐQë SABCD

áÓ É¿ úÎ« ø

XñÔ« (SB) à

@

�Q�

�®

K

(BC) ð (AB)

SB = 6 cm ð BC = 9 cm ð AB = 3 cm à

@ð

SC�é¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (

@ ¶

10

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2010 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

SA′B′C′D′ = k2 × SABCD : ú

æªK

SA′B′C′D′ =

(2

3

)2

× 27 : ú

æªK

SA′B′C′D′ = 12cm2:

à

X@

SB′ �é¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (h.

SB′

SB= k : A

JKYË

SB′ = k × SB : ú

æªK

SB′ =2

3× 6 : ú

æªK

SB′ = 4cm :à

X@

11

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

àA

�J«A� : PAm.

�'B@

�èYÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

ø


�� ÉJ

JË

2011 ñJKñK

�èPðX

�éJK. Q

ªÖÏ @

�éºÊÒÖÏ @

�éJ

J£ñË@

�éJK.

Q��Ë @

�èP@ Pð

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

Èð B@ áKQÒ

�JË @-

( à0,75) 5x + 2 = 3− x:

�éJËA

�JË @

�éËXAªÖÏ @ Ég , ù

�®J

�®k XY« x (

@ ¶

( à0,75) 5x2 + 2 = 3− x2

: R ú

¯

�éJËA

�JË @

�éËXAªÖÏ @ ÈñÊg i.

�JJ��@ (H.

5x + 2 < 3− x : h. PYÓ Õæ

�®�J�Ó úÎ« AêËñÊg É

�JÓð

�éJËA

�JË @

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ég , ù

�®J

�®k XY« x ·

( à1,5)

{x + y = 35

2x + y = 50:

�éJËA

�JË @

�éÒ

¢

JË @ Ég

àAJ

�®J

�®k

à@XY« y ð x ¸

( à1) ú

ÍAÔg

.B@ Èñ

kYÖÏ @

àA¿ð , �

m�

�� 350

�éÊ�Ë@

�èQ»

�HAKPAJ.Ó øYg@ ú

¯

á�g. Q®

�JÖÏ @ XY«

©ÊK. ¹

PAª�ÊË Èñ

kYË@ áÖ

�ßð AÒëPX 20 ñë PAJ.ºÊË Èñ

kYË@

�èQ»

Y

�K áÖ

�ß

à

@

�IÒÊ« @

X @ , ÑëPX 5000 ñë

.�è @PAJ. ÖÏ @ é

�KAë ÈC

g PA

ª�Ë@

á�g. Q®�JÖÏ @ XY«ð PAJ.ºË@

á�g. Q®�JÖÏ @ XY« XYg , Ñë@PX 10 ñë

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

f(x) = 2 x + 4 : úÎK AÖß.

�éQªÖÏ @

�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ Q�.

�Jª

K ¶

( à0,5) f(0) ð f(2) I. �k@ (

@

( à0,5) f

�éË @YËAK. 2 ù

ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYg ( H.

A(−1; 2)�é¢

�®

JË @ áÓ ú

GAJJ. ÖÏ @ AêÊJ

�JÖ

�ß QÖß ú

�æË @

�éJ¢

mÌ'@

�éË @YË @ g áº

�JË ·

( à0,75) g(1) I. �k@ Õç

�' g(x) Q�J.ª

�K XYg (

@

( à0,25) g


ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYg (H.

( à1) (O, I, J) Ñ

¢

JÒÖÏ @ YÓAª

�JÖÏ @ ÕÎªÖÏ @ �

®

K ú

¯ g

�éË @YË@ ð f

�éË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ úæ

�� @ (

@ ¸

( à0,5) ÉJ�A

¯

B@ Pñm× ©Ó f

�éË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K Èñ�

¯ @ XYg ( H.

( à0,5) g ð f á�

�JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K Èñ�

¯ @ XYg (h.

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

: ÐñK 30�èYÖÏ ú

æ.£

��KQ

¯

¬Q£ áÓ

�è Qj.

JÖÏ @

�éJk@Qm.

Ì'@�

HAJÊÒªË@ XY« úÍA

�JË @ ÈðYm.

Ì'@ ÐY�®K

5 4 3 2 1 0�éJk@Qm.

Ì'@�

HAJÊÒªË@ XY«

0 1 8 10 6 5 (�J�mÌ'@) ÐAK

B@ XY«

( à0,5) ?

�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

Yë È@ñ

JÓ ñë AÓ ¶

( à0,5)

�éJk@Qk.

�HAJÊÔ

« �HC

�JË

��

¯@ñÖÏ @ Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@ XYg ·

12

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2011 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,5) .

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @ I. �k@ ¸

( à0,5) .

�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË

�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @ XYg ¹


C úÍ@ A�é¢

�®

JË @ Èñm�

�' ú

�æË @

�ék@ PB@ T áº

�JËð . [AB]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ E ð ,

�IÊ

�JÓ ABC

T�ék@ PBAK. E

�é¢

�®

JË @

�èPñ� N ð T

�ék@ PBAK. C

�é¢

�®

JË @

�èPñ� M ù

Ò�

�

( à0,5) N ð M á�

�J¢

�®

JË @ úæ

�� @ ¶

( à0,5) T

�ék@ PBAK. (CE) Õæ

�®�J�ÖÏ @

�èPñ� XYg ·

( à0,5) T

�ék@ PBAK. [BAC]

�éKð@ QË @

�èPñ� XYg ¸

( à0,5)

�éJÒJ

�®�J�Ó B ð N ð M ¡

�®

JË @

à

@

á�K. ¹

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @-

B(−5, 3) ð A(−1, 1) ¡�®

JË @ Q�.

�Jª

K , (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª


�ÖÏ @ øñ

�J�ÖÏ @ ú

¯

. y =−1

2x + 3

�éËXAªÖÏ @ @

X Õæ

�®�J�ÖÏ @ (∆) ù

Ò�

�ð , M(0, 3) ð C(1, 5) ð

( à1) . (O, I, J) ÕÎªÖÏ @ ú

¯ M ð C ð B ð A ¡

�®

JË @ É

�JÓ ¶

( à0,5) . [AC]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ ù

ë M

�é¢

�®

JË @

à

@ Y»

A�K ·

( à0,5) y = 2x + 3 ù

ë (AC) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ

à

@

��

�®m�

�' ¸

( à0,5) . (AC) Õæ


P@ñÖÏ @ð B

�é¢

�®

JË @ áÓ PAÖÏ @ (D) Õæ

�®�J�ÖÏ @

�éËXAªÓ Yg. ð

@ ¹

( à0,5) . [AC]

�éª¢

�®Ë@ ¡�@ð ñë (∆) Õæ

�®�J�ÖÏ @

à

@

á�K. º

( à0,5) .

á��¯A�Ë@ ø

ðA�

��Ó ABC �

IÊ�JÖÏ @

à

@

á�K. »

( à0,5) . S ú

¯


'A

�¯ BSM �

IÊ�JÖÏ @

à

@

á�K. , S(−4; 5)�é¢

�®

JË @ Q�.

�Jª

K ¼


EF = EH = 6 cm ð AE = 9 cm �IJm

�'. , Õç

'A

�¯

�HCJ¢

��Ó ø

P@ñ

�JÓ ABCDEFGH

M�é¢

�®

JË @ áÓ QÖßð é

�KY«A

�¯ ø

P@ñK øñ

�J�Öß. AEFH ÐQêË @ ©¢

�®

K. [AE]

�éª¢

�®Ë@ áÓ

�é¢

�®

K M ð

V2 =27

4cm3

éÒm.k AMPR ÐQë úÎ« É�j

J¯

( à0,5) AH

�é¯A�ÖÏ @ I. �k@ ¶

( à0,75) . V1 = 54cm3

ñë AEFH ÐQêË @ Ñm.k

à @

á�K. ·

AEFH ÐQêÊË Q�ª�

�� ñë AMPR ÐQêË @

à

@ Q�.

�Jª

K ¸

( à0,75) k =

1

2: ù

ë Q�

ª�

�JË @

�éJ.�

�

à

@

á�K. ( @

13

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2011 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,5) . S2 = 4, 5 cm2

: ùë MPR �

IÊ�JÖÏ @

�ékA�Ó

à

@

��

�®m�

�' ( H.

( à0,5) . [AE]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ ù

ë M

à @

á�K. (h.

14

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2011 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

x = 15 :à

X@


¯ x

�éÒJ

�¯

�ñª

K

: iJ.�� ”1”

�éËXAªÖÏ @

y = 35− 15y = 20

(15; 20) h. ð QË @ ñë�éÒ

¢

JË @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð

:�éË

A�ÖÏ @ Ém�

' (H.

PAJ.ºË@á�g. Q

®�JÖÏ @ XY« ñë x ©

�

�

PAª�Ë@

á�g. Q®

�JÖÏ @ XY« ñë y ð

x + y = 350 éJÓð

5000 úÍAÔg

.B@ Èñ

kYÖÏ @ A

JKYËð

PAª�ÊË X 10 ð X 20 PAJ.ºÊË

�èQ»

Y

�JË @ áÖ

�ß

20x + 10y = 5000 : éJÓð

:�éÒ

¢

JË @ Ég ñë

�éË

A�ÖÏ @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð{

x + y = 3502x + 1y = 500

: (15; 20) AJKYË 3 È@

ñ�Ë@ I. �k

úÍA

�JËAK. ð

�éÒ

¢

JË @ Ég ñë

PAJ.ºË@á�g. Q

®

�JÖÏ @ XY« ñë 150

PAª�Ë@

á�g. Q®�JÖÏ @ XY« ñë 200 ð

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

f(x) = 2x + 4 : AJKYË

f(2) = 2× 2 + 4 ( @¶

f(2) = 4 + 4 = 8

f(0) = 2× 0 + 4 = 4

f�éË @YËAK. 2 ù

ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYm�

' (H.

f(x) = 2 :�éËXAªÖÏ @ Ém�

'

2x + 4 = 2 : ú

æªK

x =−2

2= −1 :

à

X@2x = 2− 4 : ú

æªK

−1 ñë f�éË @YËAK. 2 é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ ú

ÍA

�JËAK. ð

g(x) Q�J.ª�K XYm�

' (

@

A(−1; 2)�é¢

�®

JË @ Q�.« ú

GAJJ. ÖÏ @ AêÊJ

�JÖ

�ß QÖß g

g(−1) = 2 :à

@ ú

æªK

Èð B@ áKQÒ

�JË @ Ég-

5x + 2 = 3− x :�éËXAªÖÏ @ Ém�

' (

@ ¶

5x + 2 = 3− x : AJKYË

5x + x = 3− 2 : ú

æªK

6x = 1 : ú

æªK

x =1

6: é

JÓð

1

6XYªË@ ñë


5x2 + 2 = 3− x2ÈñÊg h. A

�JJ��@ (H.

x2H. x

��ñª�JK. ð )

@( È@

ñ�Ë@ I. �k

x2 =1

6: Ym.

�'

x = −√

1

6ð

@ x =

√1

6: ú

æªK

: AÒë�éËXAªÖÏ @ ú

Îg ú

ÍA

�JËAK. ð

−√

1

6ð

@

√1

6h. PYÓ Õæ

�®�J�Ó úÎ« ÈñÊmÌ'@ É

�JÖ

ß ð

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ém�

'·

5x + 2 < 3− x : AJKYË

5x + x < 3− 2 : ú

æªK

6x < 1 : ú

æªK

x <1

6: é

JÓð

Aª¢�¯ Q

ª�

B@ X@Y«

B@ ©JÔ

g.

ùë

�émk

.@Q


1

6áÓ

h. PYÓ Õæ

�®�J�Ó úÎ« ÉJ

�JÒ

�JË @

��ñª

�JË @

�é�®KQ£ ÈAÒª

�J�AK.

�éÒ

¢

JË @ Ém�

' ¸{

y = 35− x ”1”2x + y = 50 ”2”

: AJKYË

2x + 35− x = 50 : iJ.�� ”2”

�éËXAªÖÏ @

x + 35 = 50 : ú

æªK

x = 50− 35 : ú

æªK

15

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2011 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

g ð f Èá�J

K AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @

�éËXAªÖÏ @ Ég ñë AêËñ�

¯ @ ©£A

�®�JË @

�é¢

�®

K

f(x) = g(x)

2x + 4 = −2x : ú

æªK

2x + 2x = −4 : ú

æªK

4x = −4 : ú

æªK

x =−4

4= −1 :

à

X@

−1 ñë ©£A�®�JË @

�é¢

�®

K Èñ�

¯@ ú

ÍA

�JËAK. ð

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

:ñë�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ È@ñ

JÓ¶

10 ñëð �J�k Q�.» @ AêË ú

�æË @

�èQ�ÖÏ @

�éÒJ

�¯

2 ñë È@ñJÖÏ @

à

X@

�éJk@Qk.

�HAJÊÔ

« �HC

�JË Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@·

5 + 6 + 10 + 8 = 29

: ø

@ .

�èQ�Ó Q

kB Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@¸

N = 30 úÍA

�JËAK. ð 29 + 1 = 30

�éÊ�Ê�

��ÒÊË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @

m =0 + 6 + 20 + 24 + 4 + 0

30m = 1, 8

M�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @¹

15 : ñë úÍAÔg

.B@ �J�mÌ'@

�

�

21 ñë 2�èQ�ÖÏ @

�éÒJ

�®Ë Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@

M = 2 ùë

�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @

à

X@


( @¶

a =g(−1)

−1: A

JKYË

a =2

−1: ú

æªK

g�éJ¢

mÌ'@

�éË @YË @ ÉÓAªÓ a = −2 :

à

X@

g(x) = −2x : úÍA

�JËAK. ð

g(1) I. �m�'

g(1) = −2× 1 = −2

g�éË @YËAK. 4 é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYm�

' (H.

g(x) = 4�éËXAªÖÏ @ Ém�

'

−2x = 4 : ú

æªK

x =4

−2: ú

æªK

x = −2 :à

X@

−2 ñë XYªË@ @Yë

ÕÎªÖÏ @ �®

K ú

¯ g ð f á�

�JË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ (

@ ¸

©£A�®

�K

�é¢

�®

K YKYj

�JË f(x) = 0 :

�éËXAªÖÏ @ Ém�

' ( H.

ÉJ�A¯

B@ Pñm×ð f È ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @

2x + 4 = 0 : ú

æªK

2x = −4 : ú

æªK

x = −4

2: ú

æªK

x = −2 :à

X@

−2 XYªË@ ñë ©£A�®

�JË @

�é¢

�®

K Èñ�

¯@ é

JÓð

©£A�®�K

�é¢

�®

K Èñ�

¯ @ XYm�

' (h.

16

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2011 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

y = 2x + 3�éËXAªÖÏ @

àA

�®

�®m�

�' C ð A

à @

�IJ.

��K¸

2xA + 3 = 2× (−1) + 3 = −2 + 3 = 1

2xA + 3 = 1 = yA : ú

æªK

y = 2x + 3�éËXAªÒÊË Ég (−1; 1) h. ð QË @ ø

@

2xC + 3 = 2× 1 + 3 = 2 + 3 = 5 AJKYËð

2xC + 3 = 5 = yC : ú

æªK

y = 2x + 3�éËXAªÒÊË Ég (1; 5) h. ð QË @ ø

@

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ y = 2x + 3 : é

JÓð

(AC) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�Jm×


�

�¹

(D) Õæ

�®�J�ÒÊË

m XYm�'

à

@ ú

æªK

àAK

P@ñ�JÓ (AC) ð (D)

à @ AÖß.

m = 2 : ÉJÖÏ @ �®

K AÒêË

y = 2x + p iJ.��

�éËXAªÖÏ @

p XYm�'

:àA

¯ (D) úÍ@ ù

Ò�J��K B

à @ AÖß.

yB = 2xB + p3 = 2× (−5) + p3 = −10 + pp = 3 + 10 = 13

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ ù

ë y = 2x + 13 : ú

ÍA

�JËAK. ð

(D) Õæ

�®�J�ÒÊË

[AC] ¡�@ð (∆) à

@

á�J.Kº

−1

2ñë (∆) ÉJÓ

à

@ AÖß.

2 ñë (AC) ÉJÓð

−1

2× 2 = −1 á�ÊJÖÏ @ Z @

Yg. ð

(AC) úÎ« ø

XñÔ« (∆) à

X@

−1

2xM + 3 =

−1

20 + 3 = 3

à @ AÖß.ð

(M) áÓ QÖß (∆) à

X@−1

2xM + 3 = yM

[AC]�éª¢

�®Ë@ ¡�@ð (∆) ú

ÍA

�JËAK. ð

T�ék@ PBAK. (CE) Õæ

�®

�J�ÖÏ @

�èPñ�·

N ùë T

�ék@ PBAK. E

�èPñ� A

JKYË

M ùë T

�ék@ PBAK. C

�é¢

�®

JË @

�èPñ�ð

(MN) ùë T

�ék@ PBAK. (CE) Õæ

�®�J�ÖÏ @

�èPñ�

à

X@

N ùë T

�ék@ PBAK. E

�èPñ� A

JKYË¸

C ùë T

�ék@ PBAK. A

�èPñ�ð

M ùë T

�ék@ PBAK. C

�é¢

�®

JË @

�èPñ�ð

NCM ùë T

�ék@ PBAK. EAC

�èPñ�

à@ ú

æªK

BAC = EAC :à

@ ÕÎª

K

NCM ùë T

�ék@ PBAK. BAC

�èPñ�

à

X@

(MN) ø

P@ñK (CE) AJKYË¹

[AB]

��JJÓ E ð [AM ]

�

�JJÓ C ð

�IÊ

�JÓ ù

ªÊ

� ù

®�

�JJÓ

�éJ�A

g I. �k ú

æªK

(MB) ø

P@ñK (CE) :à

@

àA

�®J.¢

JÓ (MB) ð (MN)

à @ i.

�JJ��

�

��J.� AÜØ

�éJÒJ

�®�J�Ó B ð N ð M ¡

�®

JË @ ú

ÍA

�JËAK. ð

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @ Ég-


¯ ¡

�®

JË @ ÉJ

�JÖ

�ß (

@¶

[AC]

��JJÓ M

à @ Y»

A�JK·

M

(xA + xC

2;yA + yC

2

)M

(−1 + 1

2;1 + 5

2

): é

JÓð

M (0; 3) :à

X@M

(0

2;6

2

): é

JÓð

17

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2011 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

EF = EH = 6 cm ð AE = 9 cm

ÐQêË @ ©¢�®

K [AE]

�éª¢

�®Ë@ áÓ

�é¢

�®

K M ð

é�KY«A

�¯ ø

P@ñK øñ

�J�Öß. AEFH

M�é¢

�®

JË @ áÓ QÖßð

V2 =27

4cm3

éÒm.k AMPR ÐQë úÎ« É�j

J¯

AH�é

¯A�ÖÏ @ I. �m�

' ¶

E ú

¯


'A

�¯ AEH �

IÊ�JÖÏ @

:àA

¯ �Pñ

«A

�JJ

¯


AH2 = AE2 + HE2

AH2 = 92 + 62: ú

æªK

AH2 = 81 + 36 : ú

æªK

AH2 = 117 : ú

æªK

AH =√

117 :à

X@

AEFH ÐQêË @ Ñm.k I. �m�

'·

SEFH =B × h

2

SEFH = 18cm2 SEFH =6× 6

2

VAEFH =1

3B × h

VAEFH =1

3SEFH × AE

VAEFH =1

3× 18× 9

V1 = 54cm3éJÓð VAEFH =

162

3AEFH ÐQêÊË Q�

ª�

�� ñë AMPR¸

V2

V1

=

27

454

: AJKYË (

@

V2

V1

=1

8:

à

X@

V2

V1

= k3 à

@ ÕÎª

K

Q�ª�

�JË @

�éJ.�

� k �

IJk

k3 =13

23: ú

æªK

Q�ª�

�JË @

�éJ.�

� ù

ë k =

1

2:

à

X@

MPR �IÊ

�JÖÏ @


' (H.

SMPR

SEFH

= k2 à

@ ÕÎª

K


ðA�

��Ó ABC �

IÊ�JÖÏ @

à

@

á�J.K»

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 I. �m�'

AB =√

(−5− (−1))2 + (3− 1)2 : ú

æªK

AB =√

(−4)2 + 22 : ú

æªK

AB =√

16 + 4 : ú

æªK

AB =√

20 : ú

æªK

AB = 2√

5 :à

X @

AC =√

(xC − xA)2 + (yC − yA)2 I. �m�'ð

AC =√

(1− (−1))2 + (5− 1)2 : ú

æªK

AC =√

22 + 42 : ú

æªK

AC =√

4 + 16 : ú

æªK

AC =√

20 : ú

æªK

AC = 2√

5 :à

X @


ðA�

��Ó ABC �

IÊ�JÖÏ @ ú

ÍA

�JËAK. ð

S ú

¯


'A

�¯ BSM �

IÊ�JÖÏ @

à

@

á�J.K¼

(BS) Õæ

�®

�J�ÖÏ @ ÉJÓ XYm�

'

m =yS − yBxS − xB

m =5− 3

−4− (−5)

m =2

1m = 2

(MS) Õæ

�®�J�ÖÏ @ ÉJÓ XYm�

'

m′ =yS − yMxS − xM

m′ =5− 3

−4− 0

m′ =2

−4

m′ =−1

2m×m′ = −1

à @ AÖß.

à@YÓAª

�JÓ (BS) ð (MS) :

à

@ ú

æªK

S ú

¯


'A

�¯ BSM

àX@


�IJm

�'. , Õç

'A

�¯

�HCJ¢

��Ó ø

P@ñ

�JÓ ABCDEFGH

18

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2011 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

SMPR = k2 × SEFH : ú

æªK

S2 =

(1

2

)2

× 18 : ú

æªK

S2 = 4, 5cm3:

à

X@

AM�é¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (h.

AM

AE= k : A

JKYË

AM = k × AE : ú

æªK

AM =1

2× 9 : ú

æªK

AM = 4.5cm :à

X@

[AE]

��JJÓ M : ú

ÍA

�JËAK. ð

-

19

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

àA

�J«A� : PAm.

�'B@

�èYÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

ø


�� ÉJ

JË

2012 ñJKñK

�èPðX

�éJK. Q

ªÖÏ @

�éºÊÒÖÏ @

�éJ

J£ñË@

�éJK.

Q��Ë @

�èP@ Pð

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

Èð B@ áKQÒ

�JË @-

( à1) 8x− 2 = 3− 2x :

�éËXAªÖÏ @ Ég ¶

( à1) 4x− 1 6 2(x− 2) :

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ég ·

( à1,5) :

�éÒ

¢

JË @ Ég ¸{

3x− y = 82x− 3y = 17

( à1) ,

�IK

QË @ áÓ Q��Ë 20 ð Qº�Ë@ áÓ Ð@Q

«ñÊJ» 30 ÉK. A

�®Ó AÒëPX 460

©ÊJ.Ó Qk. A�K øX

@ ¹

,á�ÒëPYK. Qº�Ë@ áÓ

á�Ó@Q«ñÊJ»

áÖ�ß

��ñ

®K

�IK

QË @ áÓ Yg@ñË@ Q��ÊË @ áÖ

�ß

à

@ AÒÊ«

.Qº�Ë@ áÓ Yg@ð Ð@Q«ñÊJ»

áÖ�ßð

�IK

QË @ áÓ Yg@ð Q��Ë áÖ

�ß I. �k@

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

( à1) g(3) = 1 ð g(0) = 3 �

IJm�'

. g�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ XYg ¶

g(x) =−2

3x + 3 ð f(x) =

1

3x : ú

ÎK AÖß.


�JË @YË @ Q�.

�Jª

K ·

( à0,5) g(6) ð f(6) I. �k. @ (

@

( à0,5) ? g


ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ ñë AÓ (H.

( à0,5) I. �

�K @P

B@ Pñm× ©Ó g

�éË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P XYg (h.

( à0,5) g ð f á�

�JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K ù

ë A(3, 1)

�é¢

�®

JË @

à

@

��

�®m�

�' (X

( à1,5) (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ ú

¯ g ð f á�

�JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ úæ

�� @ ¸

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

:�éJËA

�JË @

�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ Q�.

�Jª

K

30 25 20 15 10 5�èQ�ÖÏ @

1 2 5 2 4 4 �J�mÌ'@

Õ» @Q��ÖÏ @ �J�mÌ'@

( à0,75)

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

Yë ÈðYg. ÕÖ

�ß @ ¶

( à0,5)

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË

�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @ XYg ·

( à0,75) .

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @ I. �k@ ¸

20

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2012 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.


. [DC]�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ M ð

−−→DC = 2

−→AB :

�IJm

�'.

¬Qj

JÓ éJ.

�� ABCD áºJË

M úÍ@ D�é¢

�®

JË @ Èñm�

�' ú

�æË @

�ék@ PB@ T ù

Ò�

�

( à0,5) . T

�ék@ PBAK. B

�é¢

�®

JË @

�èPñ� E úæ

�� @ Õç

�' , AJ.�A

JÓ C¾

�� úæ

�� @ (

@ ¶

( à0,5) ? T

�ék@ PBAK. M

�èPñ� ð A

�èPñ� XYg ( H.

( à0,5) ? T

�ék@ PBAK. [DB]

�éª¢

�®Ë@

�èPñ� ù

ë AÓ (

@ ·

( à0,5) ¨C

�

B@ ø

P@ñ

�JÓ AECD ú

«AK. QË @

à

@

á�K. ( H.

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @-

C(4, 2) ð B(3, 4) ð A(−1, 2) ¡�®

JË @ Q�.

�Jª

K , (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª


�ÖÏ @ øñ

�J�ÖÏ @ ú

¯

( à0,75) . (O, I, J) ÕÎªÖÏ @ ú

¯ C ð B ð A ¡

�®

JË @ É

�JÓ ¶

( à0,75) . M

�é¢

�®

JË @ ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P XYg . [AB]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ M áº

�JË ·

( à0,5) y =

1

2x +

5

2: ù

ë (AB) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÖÏ @

à

@

��

�®m�

�' ¸

( à1) (AB) Õæ


P@ñÖÏ @ð C áÓ PAÖÏ @ (∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÖÏ @ Yg. ð

@ ¹

( à0,5) AB ð OC á�

�J¯A�ÖÏ @ I. �k@ (

@ º

( à0,5) ¨C

�

B@ ø

P@ñ

�JÓ OABC ú

«AK. QË @

à

@

á�K. (H.


AE = 4cm ð EF = EH = 3cm �IJm

�'.

�HCJ¢

��ÖÏ @ ø

P@ñ

�JÓ ABCDEFGH éJ.

K Ag. É¾

��Ë@ ú

¯

( à1) AG I. �k@ Õç

�' AF = 5cm

à @

��

�®m�

�' ¶

( à0,75) . AEFGH ÐQêË @ Ñm.

k V1 I. �k@ ·

( à0,75) V2 = 6cm3

ñë AFGH ÐQêË @ Ñm.k

à @

á�K. ¸

( à0,5) èQ�

ª�

�JK. A

JÔ

�¯ @

X @ AFGH ÐQêË @ Ñm.

k iJ.�� Õ» ¹

? K =1

3Aî

�DÒJ

�¯

�éJ.�

�K.

21

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2012 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

22

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2012 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

:�éË

A�ÖÏ @ Ém�

'¹

�IK

QË @ áÓ Yg@ð Q��Ë áÖ

�ß ñë x ©

�

�

Qº�Ë@ áÓ Yg@ð Ð@Q«ñÊJ»

áÖ�ß ñë y ð

20x + 30y = 460 éJÓð

��ñ

®K

�IK

QË @ áÓ Yg@ñË@ Q��ÊË @ áÖ

�ß A

JKYËð

á�ÒëPYK. Qº�Ë@ áÓá�Ó@Q

«ñÊJ»

áÖ�ß

x− 2y = 2 : éJÓð

:�éÒ

¢

JË @ Ég ñë

�éË

A�ÖÏ @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð{

20x + 30y = 460 ”1”x− 2y = 2 ”2”

x = 2y + 2 : AJKYË ”2”

�éËXAªÖÏ @ áÓ

2(2y + 2) + 3y = 46 : iJ.�� ”1”

�éËXAªÖÏ @

4y + 4 + 3y = 46 : ú

æªK

7y = 46− 4 : ú

æªK

y = 6 :à

X@ y =

42

7: ú

æªK


¯ y

�éÒJ

�¯

�ñª

K

: iJ.�� ”2”

�éËXAªÖÏ @

x = 2× 6 + 2x = 14

(14; 6) h. ð QË @ ñë�éÒ

¢

JË @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð

ÑëPX 14 ñë�

IKQË @ áÓ Q�

�Ë áÖ�ß

Ñë@PX 6 ñë Qº�Ë@ áÓ Ð@Q«ñÊJ»

áÖ�ß

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

�IJk g

�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ XYm�

'¶

g(3) = 1 ð g(0) = 3

g(x) = a x + b É¾�

� úÎ« I.�Jº

�K g

a XYm�'

a =g(0)− g(3)

0− 3a =

g(x1)− g(x2)

x1 − x2

a =3− 1

−3= −2

3

g(x) = −2

3x + b iJ.�

�� g ú

ÍA

�JËAK. ð

b XYm�'

Èð B@ áKQÒ

�JË @ Ég-

8x− 2 = 3− 2x :�éËXAªÖÏ @ Ém�

' (

@ ¶

8x− 2 = 3− 2x : AJKYË

8x + 2x = 3 + 2 : ú

æªK

10x = 5 : ú

æªK

x =5

10: é

JÓð

1

2XYªË@ ñë


�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ém�

' ·

4x− 1 6 2(x− 2) : AJKYË

4x− 1 6 2x− 4 : ú

æªK

4x− 2x 6 −4 + 1 : ú

æªK

2x 6 −3 : ú

æªK

x 6−3

2: ú

æªK

Qª�

B@ X@Y«

B@ ©JÔ

g.

ù

ë�émk

.@Q


−3

2ø

ðA�� ð @ áÓ

�éÒ

¢

JË @ Ém�

' ¸

��ñª

�JË @

�é�®KQ£ ÉÒª

�J�

�

: AJKYË{

y = 3x− 8 ”1”2x− 3y = 17 ”2”

2x− 3(3x− 8) = 17 : iJ.�� ”2”

�éËXAªÖÏ @

2x− 9x + 24 = 17 : ú

æªK

−7x = 17− 24 : ú

æªK

x = 1 :à

X@ x =

−7

−7: ú

æªK


¯ x

�éÒJ

�¯

�ñª

K

: iJ.�� ”1”

�éËXAªÖÏ @

y = 3− 8y = −5

(1;−5) h. ð QË @ ñë�éÒ

¢

JË @ Ég ú

ÍA

�JËAK. ð

23

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2012 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

ÈðYm.Ì'@ ÕÔ

�JK¶

30 25 20 15 10 5�èQ�ÖÏ @

1 2 5 2 4 4 �J�mÌ'@

18 17 15 10 8 4 Ð �J�mÌ'@

18 :ñë úÍAÔg

.B@ �J�mÌ'@ A

JKYË·

9 ñë é®�

�ð

10 ñë 15�èQ�ÒÊË Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@

15 ùë

�éJ¢�ñË@

�éÒJ

�®Ë @ é

JÓð

�éÊ�Ê�

��ÒÊË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @¸

m =20 + 40 + 30 + 100 + 50 + 30

18m = 15


( @¶

T�ék@ PBAK. A

�é¢

�®

JË @

�èPñ� (H.

−→AB =

−−→DM : A

JKYË

B ùë T

�ék@ PBAK. A

�é¢

�®

JË @

�èPñ�

àA

¯

[DC]

��JJÓ M

à @ AÖß.

C ùë T

�ék@ PBAK. M

�é¢

�®

JË @

�èPñ�

àA

¯

T�ék@ PBAK. [DB]

�éª¢

�®Ë@

�èPñ� XYm�

' (

@·

M�é¢

�®

JË @ ù

ë T

�ék@ PBAK. D

�èPñ� A

JKYË

E�é¢

�®

JË @ ù

ë T

�ék@ PBAK. B

�èPñ� ð

[ME] ùë T

�ék@ PBAK. [DB]

�éª¢

�®Ë@

�èPñ�

à

X@

¨C

� B@ ø

P@ñ

�JÓ AECD ú

«AK. QË @

à

@

á�J.K (H.

E�é¢

�®

JË @ ù

ë T

�ék@ PBAK. B

�èPñ�

−−→BE =

−−→DM : é

JÓð

−→AB =

−−→DM :

à

@ AÖß.ð

−−→BE =

−→AB : ú

æªK

g(0) =−2

3× 0 + b = 3 : A

JKYË

b = 3 : éJÓð

g(x) = −2

3x + 3 : ú

ÍA

�JËAK. ð

g(x) = −2

3x + 3 ð f(x) =

1

3x : A

JKYË·

g(6) ð f(6) I. �m�' (

@

f(6) =1

3× 6 : A

JKYË

=6

3= 2

g(6) = −2

3× 6 + 3 ð

= −4 + 3 = −1

g�éË @YËAK. 0 ù

ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ XYm�

' (H.

g(x) = 0 :�éËXAªÖÏ @ Ém�

'

−2

3x + 3 = 0 : ú

æªK

−2

3x = −3 : ú

æªK

x = −3× −3

2=

9

2= 4, 5 :

à

X@

ú

G AJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K XYm�

' (h.

I. ��K @P

B@ Pñm× ©Ó g

�éË @YÊË

g(0) =−2

3× 0 + 3 = 3 I. �m�

' ú

æªK

E(0; 3) ùë ©£A

�®�JË @

�é¢

�®

K ú

ÍA

�JËAK. ð

g(3) = −2

3× 3 + 3 = −2 + 3 = 1 A

JKYË(X

f(3) =1

3× 3 = 1 ð

f(3) = g(3) : ú

æªK

A(3; 1) : ùë ©£A

�®�JË @

�é¢

�®

K ú

ÍA

�JËAK. ð

ÕÎªÖÏ @ �®

K ú

¯ g ð f á�

�JË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @¸

24

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2012 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

�èQå�

�Jm×


�

�¹

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

m XYm�'

àAK

P@ñ�JÓ (AB) ð (∆)

à @ AÖß.

m =1

2: ø

@ ÉJÖÏ @ �

®

K AÒêË

à

@ ú

æªK

y =1

2x + p iJ.�

��

�éËXAªÖÏ @

p XYm�'

:àA

¯ (∆) úÍ@ ù

Ò�J��K C

à @ AÖß.

yC =1

2xC + p

2 =1

2× 4 + p

2 = 2 + pp = 2− 2 + 0

�èQå�

�Jm×

�éËXAªÓ ù

ë y =

1

2x : ú

ÍA

�JËAK. ð

(∆) Õæ

�®�J�ÒÊË

AB ð OC á��J¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (

@º

OC =√

(xC − xO)2 + (yC − yO)2 : AJKYË

OC =√

(4− 0)2 + (2− 0)2 : ú

æªK

OC =√

42 + 22 : ú

æªK

OC =√

16 + 4 : ú

æªK

OC =√

20 : ú

æªK

OC = 2√

5 :à

X@

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 : AJKYËð

AB =√

(3− (−1))2 + (4− 2)2 : ú

æªK

AB =√

42 + 22 : ú

æªK

AB =√

16 + 4 : ú

æªK

AB =√

20 : ú

æªK

AB = 2√

5 :à

X@

(AB) ø

P@ñK (∆)�

�J.� AÓ I. �k

àA

�®J.¢

JÓ (∆) = (OC)

à@ ÕÎªKð

(AB) ø

P@ñK (OC) : ú

æªK

OC = AB @ È@

ñ�Ë@ I. �k

−→AE = 2

−→AB : ú

æªK

−−→DC = 2

−→AB :

à

@ ÕÎª

Kð

−→AE =

−−→DC : ú

æªK

¨C

� B@ ø

P@ñ

�JÓ AECD : ú

ÍA

�JËAK. ð

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @ Ég-


¯ ¡

�®

JË @ ÉJ

�JÖ

�ß¶

[AB]

��JJÓ M ú

�æJ

�K @Yg@ h. ð P YKYm�

�'·

M

(xA + xB

2;yA + yB

2

)M

(−1 + 3

2;2 + 4

2

): é

JÓð

M

(2

2;6

2

): é

JÓð

M (1; 3) :à

X@

�éËXAªÖÏ @

àA

�®

�®m�

�' B ð A ú

�æJ

�K @Yg

@

�IJ.

��K¸

y =1

2x +

5

21

2xA +

5

2=

1

2× (−1) +

5

2AJKYË

=−1

2+

5

2=

4

2= 2 = yA

(AB)�éËXAªÖÏ Ég (−1; 2) h. ð QË @ ø

@

1

2xB +

5

2=

1

2× 3 +

5

2= 4 A

JKYËð

1

2xA +

5

2= yB : ú

æªK

(AB)�éËXAªÖÏ Ég (3; 4) h. ð QË @ ø

@

ùë (AB) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÖÏ @ ú

ÍA

�JËAK. ð

y =1

2x +

5

2

25

ø

X@Y«@ ø

ñKA

�K

�é�JËA

�JË @

á��AK�

� P@QÓ:XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@ Ég

2012 ñJKñK

�HAJ

�AKQË @

�èXAÓ

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

VAFGH =1

3B × h

VAFGH =1

3SFGH × AE

VAFGH =1

3

SEFGH

2× 4

VAFGH =36

6V2 = 6cm3

éJÓð

AFGH ÐQêÊË Q�ª�

�� ñë A′F ′G′H ′ Q�.

�Jª

K¹

VA′F ′G′H′

VAFGH

=

(1

3

)3

: AJKYË

VA′F ′G′H′

VAFGH

=1

27: ú

æªK

VA′F ′G′H′ =1

27× VAFGH : ú

æªK

VA′F ′G′H′ =1

27× 6 = 0, 22cm3

:à

X@

¨C

� B@ ø

P@ñ

�JÓ OABC ú

ÍA

�JËAK. ð


ABCDEFGH éJ.K Ag. É¾

��Ë@ ú

¯

EF = EH = 3cm �IJm

�'.

�HCJ¢

��ÖÏ @ ø

P@ñ

�JÓ

AE = 4cm ð

AG I. �m�' Õç

�' AF = 5cm

à @

��

�®j

�JK ¶

E ú

¯


'A

�¯ AFE �

IÊ�JÖÏ @

:àA

¯ �Pñ

«A

�JJ

¯


AF 2 = AE2 + EF 2

AF 2 = 42 + 32: ú

æªK

AF 2 = 16 + 9 : ú

æªK

AF 2 = 25 : ú

æªK

AF =√

25 = 5 :à

X@

(AF ) úÎ« ø

XñÔ« (FG) AJKYËð

(ABFE) øñ�J�ÖÏ @ úÎ« ø

XñÔ« (FG)

àB

éJÖÞ

� (AF ) Õæ

�®�J�ÖÏ @ð

F ú

¯


'A

�¯ AGF �

IÊ�JÖÏ @

à

X@

àA

¯

�èQå

��AJÖÏ @ �Pñ

«A

�JJ

¯


AG2 = AF 2 + GF 2

AG2 = 52 + 32: ú

æªK

AG2 = 25 + 9 : ú

æªK

AG2 = 34 : ú

æªK

AG =√

34 :à

X@

AEFGH ÐQêË @ Ñm.k I. �m�

'·

VAEFGH =1

3B × h

VAEFGH =1

3SEFGH × AE

VAEFGH =1

3× 9× 4

VAEFGH =36

3V1 = 12cm3

6cm3ñë AFGH ÐQêË @ Ñm.

k à

@

á�J.K¸

26

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

àA

�J«A� : PAm.

�'B@

�èYÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

ø


�� ÉJ

JË

2009 ñJKñK

�èPðX

�éJK. Q

ªÖÏ @

�éºÊÒÖÏ @

�éJ

J£ñË@

�éJK.

Q��Ë @

�èP@ Pð

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

Èð B@ áKQÒ

�JË @-

( à1) :

�éÒ

¢

JË @ Ég (

@ ¶{

2x + 5y = 130x + y = 35

( à1,25) á�ÒëPX

�é J¯ áÓ Q

kB@

�ªJ. Ë @ð. Ñë@PX �Ô

g �

é J¯ áÓ AîD

�ªK.

�éKY

�®

K

�éª¢

�¯ 35 YÒm× I. Jk. ú

¯ (H.

. AÒëPX 130 ñë YÒm× I. Jk. ú

¯ ø

YË@

©ÊJ. ÖÏ @

à

@ AÒÊ« ,

�é J¯ É¿ áÓ

�éKY

�®

JË @ ©¢

�®Ë@ XY« XYg

( à1,25)

2

3x + 4 6 2x:

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ég·

h. PYÓ Õæ


�JÓ

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

( à0,5) I(1; 2)

�é¢

�®

JË @ áÓ ú

GAJJ. ÖÏ @ AêÊJ

�JÖ

�ß QÖß ú

�æË @ f

�éJ¢

mÌ'@

�éË @YË @ XYg (

@ ¶

( à1) g(−6) = 0 ð g(0) = 4 �

IJm�'

. g�éJ

®Ë

�A�JË @

�éË @YË @ XYg (H.

g(x) =2

3x + 4 ð f(x) = 2x : ú

ÎK AÖß.


�JË @YË @ Q�.

�Jª

K ·

( à0,5) g(3) ð f(2) I. �k@ (

@

( à1) ? g


ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@ ñë AÓ

2

3x + 4 = 5 :

�éËXAªÖÏ @ Ég (H.

( à1) (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ ú

¯ g

�éË @YË@ ð f

�éË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ úæ

�� @ (

@ ¸

( à0,5) ÉJ�A

¯

B@ Pñm× ©Ó g

�éË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K Èñ�

¯ @ XYg ( H.

( à1)

2

3x + 4 = 2x :


@ ¹

( à0,5) g ð f á�

�JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K ù

ë AÓ (H.

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @-

: éJ.K Ag. h. @PYÖÏ @ ú

¯

�éÊ

�JÒÖÏ @

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ Q�.

�Jª

K¶

( à0,5) éÒÖ

�ß @ Õç

�' ½

�J�Pð ú

¯ ú

ÍA

�JË @ ÈðYm.

Ì'@ É�®

K @ (

@

[80, 100[ [60, 80[ [40, 60[ [20, 40[ [0, 20[

J�Ë@

16 10 4 �J�mÌ'@

27

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2009 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,5) .

�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

Yë È@ñ

JÓ ñë AÓ ( H.

( à0,5) [40; 60[

J�ÊË Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@ XYg (h.

( à0,5)

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @ I. �k@·


. [BC]�éª¢

�®Ë@ áÓ

�é¢

�®

K I ð , A

�é¢

�®

JË @ ú

¯


'A

�¯

�IÊ

�JÓ ABC

I úÍ@ A�é¢

�®

JË @ Èñm�

�' ú

�æË @

�ék@ PB@ T ù

Ò�

�

( à1) T

�ék@ PBAK. C ð B á�

�J¢

�®

JË @ ú

�GPñ� C ′

ð B′ úæ�� @ ¶

( à0,5) ? T

�ék@ PBAK. ABC �

IÊ�JÖÏ @

�èPñ� ù

ë AÓ (

@·

( à0,5) [B′IC ′]

�éKð@ QË @ �AJ

�¯ i.

�JJ��@ ( H.

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @-

B(1, 7) ð A(3, 1) ¡�®

JË @ Q�.

�Jª

K , (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª


�ÖÏ @ øñ

�J�ÖÏ @ ú

¯

, M(2, 4) ð C(−1, 3) ð

( à1) . (O, I, J) ÕÎªÖÏ @ ú


�®

JË @ É

�JÓ (

@ ¶

( à0,5) . [AB]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ M

�é¢

�®

JË @

à

@

��

�®m�

�' (H.

( à0,5) . AM ð OA á�

�J¯A�ÖÏ @ I. �k@ (

@·

( à0,5)

−−→CM ð

−→OA á�

�Jêj.


�æJ

�K @Yg@ h. ð P XYg (H.

( à0,5) y =

1

3x ù

ë (OA) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÓ

à

@

á�K. ( @¸

( à0,5) y = −3x + 10 ù

ë (AB) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÓ

à

@

á�K. ( H.

( à0,5) .

à@YÓAª

�JÓ (AB) ð (OA) á�ÒJ

�®�J�ÖÏ @

à

@

á�K. ( h.


A®�

�JJÓ J ð I ð , 6cm é

Qk I. ªºÓ ABCDA′B′C ′D′

éÊ®�

@ 1 É¾

��Ë@ ú

¯

[BC] ð [AB] á��Jª¢

�®Ë@

B�é¢

�®

JÊË

�éJ.�

�ËAK. B

′ �é¢

�®

JË @

�éÊ

�KAÜØ ù

ë S

àñº�K

�IJm

�'. SA

′B′C ′ÐQêË @ áºJË

( à0,5) SB′ = 12cm

à @

��

�®m�

�' (

@ ¶

( à0,5) SA′

I. �k@ ( H.

( à0,5) [SA′]

�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ ù

ë I

à @

á�K. (h.

28

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

3 : ÉÓAªÖÏ @

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2009 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

( à0,25) ABCDA′B′C ′D′

I. ªºÖÏ @ Ñm.k I. �k@ (

@ ·

( à0,5) 72cm3

ñë SA′B′C ′ÐQêË @ Ñm.

k à

@

á�K. (H.

. SA′B′C ′ÐQêÊË Q�

ª�

�� ñë SIBJ ÐQêË @

à

@ Q�.

�Jª

K¸

( à0,25) Q�

ª�

�JË @

�éJ.�

� XYg

( à0,5) SIBJ ÐQêË @ Ñm.

k i.�JJ��@

29

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

àA

�J«A� : PAm.

�'B@

�èYÓ

á��AK�

� P@QÓ :XA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

�éK. Ag. B@ Qå�A

J«

2009 ñJKñK

�èPðX

�éJK. Q

ªÖÏ @

�éºÊÒÖÏ @

�éJ

J£ñË@

�éJK.

Q��Ë @

�èP@ Pð

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

Èð B@ áKQÒ

�JË @ Ég-

: (15; 20) h. ð QË @ ñë�éÒ

¢

JË @ Ég (

@ ¶

�é J¯ É¿ áÓ

�éKY

�®

JË @ ©¢

�®Ë@ XY« XYm�

' (H.

�éª¢

�¯ 20 ñë Ñë@PX �Ô

g �

é J¯ áÓ AëXY«ð

�éª¢

�¯ 15 ñë

á�ÒëPX�é J¯ áÓ

�éKY

�®

JË @ ©¢

�®Ë@ XY«

2

3x + 4 6 2x:

�émk

.@Q

��ÖÏ @ Ém�

'·

3 ø

ðA�� ð

@ áÓ Q�.»

B@ X@Y«

B@ ù

ë

�émk

.@Q


h. PYÓ Õæ


�JÖ

ßð

ú

GA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

f(x) = 2x ( @ ¶

g(x) =2

3x + 4 (H.

g(x) =2

3x + 4 ð f(x) = 2x : ú

ÎK AÖß.


�JË @YË @ Q�.

�Jª

K ·

g(3) = 6 ð f(2) = 4 I. �m�' (

@

3

2ñë

2

3x + 4 = 5 :

�éËXAªÖÏ @ Ég (H.

3

2

�é�®K. A�Ë@

�éËXAªÖÏ @ Ég ñë g


ë é

�KPñ� ø

YË@ XYªË@

(O, I, J) Ñ

¢JÜØ YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ ú

¯ g

�éË @YË@ ð f

�éË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ úæ

��JK (

@ ¸

x = −6 ñë ÉJ�A¯

B@ Pñm× ©Ó g

�éË @YÊË ú

GAJJ. ÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ©£A

�®�K

�é¢

�®

K Èñ�

¯ @ XYg ( H.

30

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

á��AK�

� P@QÓXA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2009 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

3 XYªË@ ñë2

3x + 4 = 2x


@ ¹

g ð f á��JË @YÊË

á�JK AJJ. ÖÏ @

á�ÊJ�JÒ

�JË @ ©£A

�®

�K

�é¢

�®

K (H.

2

3x + 4 = 2x

�éËXAªÖÏ @ Ég ñë

x = 3 à

X@

�IËA

�JË @ áKQÒ

�JË @ Ég-

: h. @PYÖÏ @ ú

¯

�éÊ

�JÒÖÏ @

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ Q�.

�Jª

K¶

ÈðYm.Ì'@ ÕÔ

�JK (

@

[80, 100[ [60, 80[ [40, 60[ [20, 40[ [0, 20[

J�Ë@

2 8 16 10 4 �J�mÌ'@

. [40; 60[

J�Ë@ ñë

�éJ

KA�kB@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

Yë È@ñ

JÓ ( H.

[40; 60[

J�ÊË Õ» @Q

��ÖÏ @ �J�mÌ'@ (h.

30 ñë Õ» @Q��ÖÏ @ �J�mÌ'@

�éÊ�Ê�

��ÖÏ @ è

YêË ú

G.A�mÌ'@ ÈYªÖÏ @·

�èQ�ÒÊË Õæ

�®»

¬A

J�

B@ Q» @QÓ Q�.

�Jª

K

m = 47 à

X@


. [BC]�éª¢

�®Ë@ áÓ

�é¢

�®

K I ð , A

�é¢

�®

JË @ ú

¯


'A

�¯

�IÊ

�JÓ ABC

I úÍ@ A�é¢

�®

JË @ Èñm�

�' ú

�æË @

�ék@ PB@ T ù

Ò�

�

T�ék@ PBAK. C ð B á�

�J¢

�®

JË @ ú

�GPñ� C ′

ð B′ úæ��JK ¶

C ′IB′ �IÊ

�JÖÏ @ ñë T

�ék@ PBAK. ABC �

IÊ�JÖÏ @

�èPñ� (

@·

[B′IC ′] = 90o �éKð@ QË @ �AJ

�¯ i.

�JJ��

� ( H.

31

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

á��AK�

� P@QÓXA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2009 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

�ÓAmÌ'@ áKQÒ

�JË @ Ég-

B(1, 7) ð A(3, 1) ¡�®

JË @ Q�.

�Jª

K , (O, I, J) Ñ

¢

JÜØ YÓAª


�ÖÏ @ øñ

�J�ÖÏ @ ú

¯

, M(2, 4) ð C(−1, 3) ð

. (O, I, J) ÕÎªÖÏ @ ú


�®

JË @ É

�JÖ

ß (

@ ¶

. [AB]�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ M

�é¢

�®

JË @

à

@

��

�®j

�JK (H.

xA + xB

2= 2 = xM A

JKYË

yA + yB2

= 4 = yM ð

. AM =√

10 ð OA =√

10 á��J¯A�ÖÏ @ I. �m�

' (

@·

−−→CM(3; 1) ð

−→OA(3; 1) á�

�Jêj.


�æJ

�K @Yg@ h. ð P XYm�

' (H.

y =1

3x ù

ë (OA) Õæ

�®�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÓ

à

@

á�J.K (

@¸

a =1

3ñëð (OA) Õæ

�®

J�ÒÊË ék. ñÖÏ @ ÉÓAªÖÏ @ XYm�

'

y = −3x + 10 ùë (AB) Õæ

�®

�J�ÒÊË

�èQå�

�J

jÖÏ @

�éËXAªÓ

à

@

á�J.K ( H.

�éËXAªÒÊË Ég B ð A áÓ É¿ ú

�æJ

�K @Yg@

à

@

��

�®j

�JK

yB = −3xB + 10 ð yA = −3xA + 10 ø

@

.à@YÓAª

�JÓ (AB) ð (OA) á�ÒJ

�®�J�ÖÏ @

à

@

á�J.K ( h.

1

3× (−3) = −1 ñë AÒîDÊJÓ Z@Yg.

à@YÓAª

�JÓ

àAÒJ

�®�J�ÖÏ @

à

X@

32

�HAJ

�AKQË @ :

�èXAÓ

á��AK�

� P@QÓXA

�J�

B@

YgñÖÏ @ ø

ñêm.Ì'@

àAj

�JÓB@

2009 ñJKñK ø

X@Y«B@ ½Ê�Ë@

�èXAîD

�� ÉJ

JË

áKñº�JË @ð

�éJK.

Q��ÊË

�éKñêm.

Ì'@�éJÖßXA¿

B@

�èYJ.« -

�éËA¿X

�éêk.

�XA�Ë@ áKQÒ�JË Ég-

A®�

�JJÓ J ð I ð , 6cm é

Qk I. ªºÓ ABCDA′B′C ′D′

éÊ®�

@ 1 É¾

��Ë@ ú

¯

[BC] ð [AB] á��Jª¢

�®Ë@

B�é¢

�®

JÊË

�éJ.�

�ËAK. B

′ �é¢

�®

JË @

�éÊ

�KAÜØ ù

ë S

àñº�K

�IJm

�'. SA

′B′C ′ÐQêË @ áºJË

SB′ = 12cm ( @ ¶

[SB′]

��JJÓ B

àB

SB′ = 2BB′

SB′A′ �IÊ

�JÖÏ @ úÎ« �Pñ

«A

�JJ

¯

�éJëQ�.Ó

��JJ.¢

��K. I. �m�

'( H.

SA′ = 6√

5 à

@ Ym.

�'

[SA′]�éª¢

�®Ë@

�

�JJÓ ù

ë I

à @

á�J.K (h.

[SA′]

��JJÓ áÓ QÖß (BI) �

IÊ�JÓ ¨C

�

@

�HA

®�

�JJÓ

�éJ�A

g ÈAÒª

�J�AK.

(A′B′) Õæ

�®�ÖÏ @ ø

P@ñK é

K B

[SA′]

��JJÓ I :

à

X@

VABCDA′B′C′D′ = 216cm3I. ªºÖÏ @ Ñm.

k I. �m�' (

@ ·

72cm3ñë VSA′B′C′ ÐQêË @ Ñm.

k (H.

. SA′B′C ′ÐQêÊË Q�

ª�

�� ñë SIBJ ÐQêË @

à

@ Q�.

�Jª

K¸

Q�ª�

�JË @

�éJ.�

� XYm�

'

SB

SB′ =SI

SA′ =SJ

SC ′ =1

2: A

JKYË

1

2ùë Q�

ª�

�JË @

�éJ.�

�

àA

¯

SIBJ ÐQêË @ Ñm.k i.

�JJ��

�

VSIBJ

VSA′B′C′=

(1

2

)3

: AJKYË

VSIBJ = 9cm3 à

X@

33

Health & Medicine

Examens math