70
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Петропавловский В. М. Физические основы волоконной оптики Учебно-методическое пособие Самара - 2015 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

  • Upload
    -

  • View
    216

  • Download
    6

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Петропавловский В. М.

Физические основы волоконной оптики

Учебно-методическое пособие

Самара - 2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 2: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

2

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Поволжский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Кафедра физики

В. М. Петропавловский

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ВОЛОКОННОЙ ОПТИКИ

Учебно-методическое пособие

Самара

2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 3: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

3

УДК 535.7

П

Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,

протокол № 24 от 22 апреля 2015 г

Петропавловский В. М.

П Физические основы волоконной оптики:

Учебно-методическое пособие / В. М. Петропавловский.- Самара: ПГУТИ, 2015. – 111 с.

В учебном пособии рассмотрены основные принципы распространения света в пло-

ских и цилиндрических волокнах. Изложены основные причины уширения импульсов при

распространении в световоде и способы увеличения их ширины полосы пропускания. Разра-

ботано в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки бакалавров 200700 Фото-

ника и оптоинформатика. Предназначено для студентов 3 курса ФБТО для самостоятельной

подготовки и практических занятий.

ISBN

©, Петропавловский В. М., 2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 4: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

4

Содержание.

Введение 5

Глава 1. Электромагнитные волны. Падение плоской волны на

границу раздела двух сред. Одномерные волноводы. 6

1.1. Электромагнитные волны. 6

1.2. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками. Формулы Френеля.

Полное внутреннее отражение. 9

1.3. Металлический световод 14

1.3.1. Оптическое приближение 14

1.3.2. Электромагнитное приближение 18

1.3.3. Моды распространения 20

1.3.4. Затухающая волна 23

1. 4. Диэлектрический световод 24

1.4.1. Уравнение дисперсии и условие согласования фаз. 27

1.4.2. Решение задачи распространения, моды 28

1.4.3. Решение задачи распространения, моды 30

1.4.4. Дисперсия 32

1.4.5. Одномодовый и многомодовый режимы

распространения волн 34

1.4.6. Расширение волнового пакета 34

Глава 2. Распространение света в оптических волокнах.

Причины уширения импульса 36

2.1. Распространение света в оптических волокнах на основе

лучевой модели 36

2.1.1. Общие сведения. 36

2.1.2. Ступенчатое волокно: числовая апертура и

межмодовая дисперсия 37

2.1.3. Распространение света и межмодовая дисперсия

в градиентных волокнах 45

2.2. Материальная дисперсия 49

2.2.1. Показатель преломления объемной среды: теория 49

2.2.2. Временная дисперсия в объемной среде 56

2.3. Совместное влияние дисперсии материала и межмодовой

дисперсии 62

Глава 3. Потери в оптических волокнах 67

3.1. Механизм потерь. Общие сведения 67

3.2. Поглощение 67

3.3. Рассеяние 72

Глава 4. Распространение света в многомодовых оптических

волокнах. 76

4.1. Обозначения 77

4.2. Начальные условия 80

4.3. Условия на границе двух сред. 81

4.4. Оптические волокна со скачкообразным изменением

показателя преломления. 85

4.5. Волокна с градиентом показателя преломления 87

4.6. Траектория световых лучей. 91

4.6.1. Волокна со скачкообразным изменением показателя

преломления 91

4.6.2. Волокна с градиентом показателя преломления. 92

4.7. Моды распространения света. Уравнение дисперсии. 95

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 5: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

5

4.8. Формулы для полей. 99

4.8.1. Решение волнового уравнения для волокна со скачком показателя преломления.

100

4.8.2. Решение для градиентного волокна 103

Задачи для самостоятельного решения 105

Литература. 111

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 6: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

6

Введение

Освоение диапазона оптических частот в технике связи открывает качественно новые возможности в ско-

рости, надежности и направленности передачи информации. Для их реализации необходимо осваивать новую

элементную базу, что зачастую требует специальных знаний в областях, с которыми техника традиционной

связи не имела дела. Для работы в оптической связи требуется не только общетехническая, но и физическая

подготовка в области современной оптики. Это неизбежно, поскольку переход в оптический диапазон не только

дает новые эффекты, но и требует качественно нового уровня подготовки специалистов.

В программе этой подготовки необходим курс, в котором подробно рассмотрены основные физические

принципы работы источников и приемников когерентного оптического излучения, диэлектрических многоком-

понентныхсветоводов, модулирующих и согласующих устройств. Такой курс - «Физические основы волокон-

ной оптики» - был подготовлен на кафедре «Физики» ПГУТИ. В данном пособии излагаются основные сведе-

ния по первой части курса – распространению излучения в волокнах.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 7: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

7

Глава 1. Электромагнитные волны.

Падение плоской волны на границу раздела двух сред. Одномерные волноводы.

1.1. Электромагнитные волны.

Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Ddiv

0Bdiv

t

DJHrot

t

BErot

(1.1)

Предположим, что волна распространяется в среде, где нет свободных зарядов 0J,0

. С учетом мате-

риальных уравнений среды ( HBED 00

,где μ0 - магнитная постоянная (4 10

-7Гн/м), ε0 - диэлектриче-

ская постоянная (8,85 10-12

Ф/м), μ - магнитная проницаемость, ε - диэлектрическая проницаемость среды) сис-

тема примет вид:

0Ediv

0Hdiv

t

EHrot

t

HErot

0

0

(1.2)

Подействуем оператором rot на первое уравнение:

)t

H(rot)Erot(rot 0

Воспользуемся математическим преобразованием

EE)Ediv(grad)Erot(rot 22

2

2

2

2

2

22

zyx - оператор Лапласа.

В правой части можно поменять местами производные по времени и по координатам. Тогда получим:

2

2

o2

2

t

E

t

D)Hrot(

t

Мы получили волновое уравнение:

2

2

002

t

EE

(1.3)

Введем обозначение

00

1

Уравнение сведется к виду:

2

2

2

2

t

E1E

, - скорость света в среде

Его решение: )rkt(CosEE 0m

Где kk

- волновое число.

2

T

2k

=T - длина волны.

Длина волны это путь, проходимый волной за период колебаний (или это расстояние между точками, где

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 8: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

8

колебания происходят в одинаковой фазе).

В вакууме ε=μ=1. Поэтому скорость света в вакууме:

c

м103

1c 8

00 .

Введем обозначение n - показатель преломления.

Получим скорость света в среде:n

cv .

Аналогично можно получить для H

.

)rkt(CosHH

t

H1H

0m

2

2

2

2

Решение для E и H можно представить и виде комплексной экспоненты:

0

0

00

00

im

)rkt(i

im

)rkt(i

eHH,eHH

eEE,eEE

(1.4)

0E

и 0H

- комплексные амплитуды волны.

Подставим E

и H

в уравнения Максвелла.

0Ediv

0Hdiv

t

EHrot

t

HErot

0

0

Воспользуемся математическим преобразованием

)rkt(i)rkt(eAki)eA(rot

00 , получим

)rkt(i00

)rkt(i0

)rkt(i00

)rkt(i0

eEieHki

eHieEki

(1.5)

m0m

m0m

EHk

HEk

Воспользуемся математическим преобразованием

)rkt(i0

)rkt(i0 eAki)eA(div

, получим

0Ek

0Hk

m

m

Следовательно, электромагнитные волны – поперечные волны и mm EH

.

Рис. 1.1.

Поперечность электромагнитных волн.

Используя (1.5), можно показать, что:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 9: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

9

00

0mm

0

0m ZZ,

Z

EEH

Z –волновое сопротивление среды, Z0 –волновое сопротивление вакуума.Z0 ≈ 377 Ом. В случае немагнитной

среды (μ=1) - Z=Z0/n

mmm

m0m BE,E

HB

Получили однозначную связь между напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля.

1.2. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками. Формулы Френеля.

Полное внутреннее отражение.

Поведение волны на границе полностью определяется граничными условиями для векторов поля волны

(векторов индукции электрического поля D, магнитного поля B, векторов напряженности электрического поля

E и магнитного поля H), которые при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:

D1n = D2n; B1n = B2n; E1τ = E2τ; H1τ = H2τ,

где индексы n и τ обозначают соответственно нормальную и тангенциальную составляющие вектора.

Напряженности электрического поля падающей (i), отраженной (r) и пре-

ломленной (t) (см. рис.1.2) плоских волн выражаются формулами:

)rkt(iexpEE iii0i

,

)rkt(iexpEE rrr0r

,

)rkt(iexpEE ttt0t

.

Частота электромагнитной волны при отражении и преломлении не изменя-

ется, то есть

ωi = ωr = ωt = ω. (1.6)

Волновые числа связаны со скоростью распространения в первой и второй

средах соотношениями

ki = ω/v1, kr = ω/v1, kt = ω/v2 (1.7)

где v1 - скорость распространения волн в первой среде, v2 - скорость распространения волн во второй среде.

Волновые векторы падающей ik

, отраженной rk

и преломленной волн tk

лежат в одной плоскости.

Показатели преломления сред определяются выражениями

n1 = c/v1, n2 = c/v2, (1.8)

где n1- показатель преломления первой среды, n2- показатель преломления второй среды, c - скорость света в

вакууме (c=2,99 108м/с). Относительный показатель преломления второй среды относительно первой определя-

ется выражением

n21 = n2/ n1

Угол падения равен углу отражения.

Соотношение между углами падения ψ, и преломления φ записываются в виде

sin(φ)/sin(ψ) = n21 = n2/ n1 (1.9)

Уравнение (1.9) называется законом преломления света (закон Снеллиуса).

Любую волну можно представить в виде суперпозиции двух волн – ТЕ (поперечная электрическая, в кото-

рой вектор Е колеблется перпендикулярно плоскости падения и ТМ (поперечной магнитной, в которой вектор

Е колеблется в плоскости падения).

Коэффициентом отражения по амплитуде называется отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде

падающей

r = Er/Ei

Рис. 1.2.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 10: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

10

Коэффициентом пропускания по амплитуде называется отношение амплитуды прошедшей волны к ампли-

туде падающей

t = Et/Ei

Формулы Френеля для коэффициентов отражения и пропускания по амплитуде дляТЕ и ТМ волн записыва-

ются в виде:

cosncos

cosncosr

21

21TE

)sin(

)sin(

cosncos

cos2t

21TE

)sin(

sincos2,

cosncos

cosncosr

21

21TM

)(tg

)(tg,

coscosn

cos2t

21TM

)cos()sin(

sincos2 (1.10)

Для нормального падения (φ=0) формулы Френеля при имеют вид:

21

1TMTE

21

21TMTE

nn

n2tt;

nn

nnrr , (1.11)

Из (1.10) видно, что приφ = φБ=arctg(n21) rTM= 0, т.е. если падал неполяризованный свет, то отразится полно-

стью поляризованный.

Такой угол φб называется углом Брюстера.

Все приборы и человеческий глаз регистрируют не амплитуду, а интенсивность световой волны, которая ха-

рактеризует среднее значение энергии, переносимой через единичную площадку в единицу времени. Интенсив-

ность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.

I = <|[EH]|> = Z2

E2m (1.12)

Коэффициентом отражения по интенсивности называется отношение интенсивности отраженной волны к

интенсивности падающей

R = Ir/Ii

Коэффициентом пропускания по интенсивности называется отношение интенсивности прошедшей волны к

интенсивности падающей

T = It/Ii

Формулы Френеля для коэффициентов отражения и пропускания по интенсивности дляТЕ и ТМ волн запи-

сываются в виде: 2

21

212TETE

cosncos

cosncosrR

TM212

TMTM

TE212

TETE

R1cos

cosn|t|T

R1cos

cosn|t|T

(1.13)

Если свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную (n21<1), то существует такой угол

φс, что при всех φ >φс, коэффициент отражения r становится комплексным (r = e- jΦ

), т.е. волна отражается пол-

ностью (R = 1) и приобретает фазовый сдвиг

2

21

212TMTM

cosncos

cosncos|r|R

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 11: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

11

Φ = -arg(r) = -arctg)rRe(

)rIm(. (1.14)

При полном внутреннем отражении

1n

sinisin

n

n1cos

2

12

2

2

1 . (1.15)

Поэтому для отражения волны выполяются следующие соотношения для коэффициентов отражения:

221

2221

221

2221

TM

nsinicosn

nsinicosnr ,

221

2

221

2

TE

nsinicos

nsinicosr . (1.16)

Поэтому сдвиг фазы при полном внутреннем отражении можно записать в виде

cosn

nsin

2tg

221

221

2TM ;

cos

nsin

2tg

221

2TE . (1.17)

Зависимость разности сдвига фаз от угла падения определяется выражением:

2

212

2TETM

sin

nsincos

2tg . (1.18)

Интенсивность прошедшего света находится по формуле:

cos)EE(Z2

cnI 2

t2t

0

2t

TETM.

Интенсивность отражения:

cos)EE(Z2

cnI 2

r2r

0

1r

TETM.

Угол наклона плоскости колебания вектора E и плоскости падения в прошедшей и отраженной волнах опре-

деляется выражением соответственно:

TM

TE

t

tt

E

Etg ,

TM

TE

r

rr

E

Etg . (1.19)

Степень поляризации определяется выражением

TMTE

TMTE

II

IIh , (1.20)

1.3. Металлический световод

Прежде чем обратиться к изучению световодов, рассмотрим одномерные системы. Предположим, что вол-

на распространяется в направлении Oz между двумя бесконечно длинными плоскостями, параллельными друг

другу и оси Oz. Разумеется, при таком выборе плоских световодов ограничивается общность наших выводов,

поскольку реальныесветоводы имеют прямоугольное или круглое сечение. Но зато мы сможем легко понять

основные явления.

Металлический световод представлен на рис. 1.3. Он образован двумя бесконечными идеально проводящими

плоскостями, уравнения которых таковы: x= a. Заполняющая его среда ( при –а<x<+a) – вакуум. Очевидно,

что плоскость чертежа xz является плоскостью симметрии. Также волны TE (Ey, Hx, Hz) и TM (Hy, Ex, Ez)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 12: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

12

z

x

a

-a

0

0

E

k

y

можно рассматривать раздельно. Мы (произвольно) выберем волны TE. Для волн TM можно провести такой же

анализ или воспользоваться принципом дуальности.

1.3.1. Оптическое приближение

В световоде будет распространяться волна, форма которой соответствует его форме. Покажем, что эту волну

можно рассматривать как линейную комбинацию плоских волн.

Исходя из этого, исследуем плоскую монохроматическую волну с длиной волны , распространяющуюся в

вакууме между двумя проводящими плоскостями. Волновой спектр волны лежит в плоскости xOz и образует

угол с осью Oz (0< < /2 ). Такую волну называют «восходящей». Вектор напряженности электрического поля

будем считать параллельным оси Oy:

)sinkxcoskzt(ie0EyE , k=

2 .

Рис. 1.3. Металлический одномерный световод.

В результате отражения от верхней плоскости появляется «нисходящая» волна (- /2< <0) с комплексной

амплитудой rEy . Коэффициент r определяется из граничного условия Ey=0 (при всех z) на плоскости x = ±a:

0sinikaresinikae ,

откуда

r = – esinika2

.

В результате интерференции этих двух волн во всех точках пространства между плоскостями образуется

полное поле, определяемое выражением

Eполн= )sin)a2x(ik

esinikxe()coskzt(i

e0E . (1.21)

Очевидно, что граничные условия при х=а выполняются. При x= -а должно выполняться условие

esinika

esinika3

= 0,

откуда

2kasinθ = nπ, (1.22)

где n – положительное целое число (тривиальный случай θ = 0 не удовлетворяет условиям задачи).

Тогда выражение для полного поля запишется следующим образом:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 13: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

13

z

kвосходящ.

kнисходящ.

n=1 n=2 n=3 n=4 ….

Еполн= E0ei zcoskt x

a2n

ie

n1

xa2

ni

e .

Предположим, что n – четное число, т. е. n = 2p. Тогда поле (нечетное) примет вид

Еполн= – 2iE0ei zcoskt

sin xa

p; (1.23)

Если же n – нечетное число, т. е. n = 2p+1 , то поле (четное) будет

Еполн= 2E0ei zcoskt

cosa

xp

2.

Таким образом, вдоль оси Oz мы имеем бегущую волну с постоянной распространения в световоде

β = kcosθ (1.24)

Вдоль оси Ox (рис 3.6) мы имеем режим стоячих волн ( струна, закрепленная в точках x= a ).

Условие (1.22) можно рассматривать по-разному.

Во-первых, как условие согласования фаз: если рассматривать однократное прохождение волны между

плоскостями туда и обратно вдоль оси Ox, то полный фазовый сдвиг должен быть кратным 2π. В противном

случае будет интерферировать со всеми последующими отраженными волнами и из-за гасящей интерференции

быстро затухать. Под «полным» фазовым сдвигом следует понимать сумму фазового сдвига за счет распро-

странения и сдвига фаз при отражениях. В металлическом световоде рассчитать полный фазовый сдвиг легко,

так как мы видели, что отражение от идеального проводника сопровождается фазовым сдвигом на π для напря-

женности электрического поля Ey( но не изменяет фазу напряженности магнитного поля Hz). В результате усло-

вие согласования фаз для металлического световода запишется в виде

(-1)sinika4e2

= 1

что и выражается соотношением (1.22)

Рис. 1.4. Структура мод в одномерном металлическом световоде.

Во-вторых соотношение (1.22) можно рассматривать как уравнение дисперсии: оно позволяет определить

постоянную распространения в световоде β в зависимости от частоты и геометрических параметров системы.

Из (1.22) и (1.23) следует, что

2a4

22n2k2. (1.25)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 14: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

14

Таким образом, в рассматриваемом световоде распространяются две плоские волны, удовлетворяющие

соотношениям (1.22) и (1.23). Но встает вопрос: не образует ли вторая волна при отражении от плоскости x = -

a третью волну, которая при отражении от плоскости x= +a в сою очередь порождает четвертую и т. д. и т. д.?

Естественно, что это не так. Здесь образуется как бы интерферометр Фабри – Перо. Также многократное отра-

жение просто улучшает угловое разделение при углах θ, определяемых соотношением (1.22). Следовательно,

наша модель двух волн вполне корректна. Нужно только учитывать, что каждая из этих волн есть сумма всех

отраженных волн, четных или нечетных.

1.3.2. Электромагнитное приближение

Вернемся к электромагнетизму. Можно решать нашу задачу и таким образом: искать напряженность

электрического поля Ey в виде

Ey = E0f(x) ezti

,

где β и f(x) – неизвестные. Решив уравнение распространения :

02

2

00t

EE , получим

2

22

c)x(f

)x(f. (1.26)

Поскольку оба члена в правой части здесь константы, запишем это равенство в виде

2

)x(f

)x(f. (1.27)

Решение данного уравнения таково:

xcosBxsinA)x(f .

Из граничных условий f( a) = 0 следует равенство

0acosBasinA .

Иначе говоря,

если ,

ap,0asin

,0B

то xa

psinA)x(f - нечетное решение;

если ,p

2a

1,0acos

,0A

то a

xp

2cosB)x(f - четное решение.

С другой стороны , из (1.26) и (1.27) следует соотношение

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 15: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

15

2

2

22

c,

т. е. уравнение дисперсии (1.25), в котором γ – величина, определенная выше.

Таким путем можно вновь получить оптическое приближение, о котором говорилось ранее. Достаточно

учесть, что величина β должна быть действительной. Следовательно, должно выполняться условие

22k ;

положив

ksin , (1.28)

получаем соотношение (1.22), в котором

a2

n , (1.29)

откуда и вытекает интерпретация «плоских волн».

1.3.3. Моды распространения

Как же на практике формулируется задача о распространении волн в таком световоде? Имеется генератор,

способный вводить в волновод волну заданной частоты f = ω/2π. Нужно определить, под какими углами θ вол-

ны будут распространяться в волноводе.

Положим

a2

cc , (1.10)

тогда (1.22) запишется

cnsin . (1.31)

Рис. 1.5. Определение числа

возможных мод N на частоте f

= ω/2π.

Постороение состоит в том,

чтобы разбить мнимую ось

тригонометрической

окружнос-ти на интервалы,

равные ωс / ω.

Отсюда следует, что при ω<ωс распространение волн невозможно. Частота ωсназываетсякритической час-

тотой. При ω>ωс решения получаются простым геометрическим построением, показанным а рис. 1.5. Из ри-

сунка явствует, что при cc 1NN ( где N – целое положительное число) мы имеем N решений:

cn narcsin , где n= 1, 2, ……, (1.32)

R

e

c

1

Im

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 16: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

16

Рис. 1.6. Металлический световод.Зависимость угла падения плоских волн от частоты для различных мод.

Каждое такое решение называется модой распространения. Зависимости углов θ от частоты приведены на

рис. 1.6.

При всех частотах, кратных ωс, появляется дополнительная мода. На частотах, кратных 2πωс, имеем θ=π/2, т.

е. волна поперечная и распространения нет. Но с увеличением частоты наклон волн уменьшается. В пределе,

когда частота ω очень велика (или когда длина волны λ очень мала), получается квазиосевая волна.

Это, впрочем, и понятно, так как, поскольку отражающие стенки волновода находятся

очень далеко друг от друга (расстояние между ними нужно измерять в длинах волн), их

влиянием можно практически пренебречь. Следовательно, аксиальная квазиплоская волна

может распространяться. Фазовая скорость волн находится в прямой зависимости от их угла наклона, чем определятся величина β.

Точнее,

coskф .

или с учетом (1.31)

2

221 c

ф

n

c.

Рис. 1.7. Металлический световод. Кривые дисперсии.

Вычислим соответствующую групповую скорость :

ω

θ

2

c 2 c 3 c 4 c

0

с

υ

υφ

υд

c c2

c3

ω

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 17: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

17

2

2c2

g n1cd

d. (1.33)

Зависимость скоростей ф и g от частоты показана на рис. 1.7. Здесь мы видим, что фазовая скорость

больше скорости света с!

(1.25) можно записать в виде:

2c

2

2z

2

n11 (1.34)

где

n

a4

n

c - критическая длина волны, (1.35)

2z - кажущаяся длина волны вдоль оси Oz. (1.36)

Для моды порядка n величина n/c равна расстоянию между двумя узлами вдоль оси Ox.

Вернемся к вопросу, поставленному раньше. Какая мода будет распространяться в световоде при заданной

частоте? Мы показали, что на каждой частоте может распространяться определенное число мод. Общее реше-

ние будет линейной комбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими в основном от условий на концах

световода (излучатель и приемник).

При cc 2 мы имеем одномодовый режим распространения. При более высоких частотах распро-

страняется одновременно несколько мод. Каждая мода является дисперсной, и, что особенно важно, у каждой

моды своя собственная дисперсия. На основании формулы lt

1 g получаем для каждой моды

2/3g

c l

1

c

1

n

1. (1.37)

Данной формулой выражается влияние дисперсии моды.

Как нетрудно видеть, теоретически выгодно работать как можно ближе к одномодовому режиму на сравни-

тельно низких частотах, поскольку произведение g есть возрастающая функция частоты.

1.3.4. Затухающая волна

Что же происходит на частотах, меньших критической частоты? Поскольку при этом sinθ получается боль-

ше 1, величина θ оказывается мнимой, так же как и λz. Если световод бесконечно длинный вдоль оси Oz, то

имеем затухающую волну, так как

1n

in

1cos2c

22

2c

22

, (1.38)

и выражение (1.23) принимает вид

,a

xpcos

,a

xpsin

/neeEE ckzti

2

12220полн

откуда глубина проникновения волны в световод

1n

c

1n

22

2c

2

2c

22.

Таким образом, глубина проникновения тем меньше, чем дальше частота ω от критической частоты.

Теперь от металлических световодов перейдем к диэлектрическим.

1. 4. Диэлектрический световод

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 18: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

18

2

a y

Ey

z

x

Среда

2

Среда 2

Среда

1

12

12

12

1

ψ

φ

a

β

θ

k1

β

- iγ k2

Рассмотрим (рис. 1.8) диэлектрический световод в виде диэлектрической полосы толщиной 2а с

диэлектрической проницаемостью ε1 (показатель преломления n1) между двумя диэлектрическими полупро-

странствами с диэлектрической проницаемостью ε2 (показатель преломления n2).

Предположим, что ε2< ε1, т. е. n2<n1 . Это условие, очевидно, необходимо для того, чтобы в рассмативаемом

волноводе распространялись волны. Известно, что свет отклоняется в сторону более высокого показателя

преломления, а потому показатель преломления должен быть больше показателя преломления внешней среды.

Мы будем рассматривать случай симметричного диэлектрического световода ( обе внешние среды одинаковы ),

что облегчает нашу задачу.

Здесь можно повторить все сказанное относительно симметрии системы в случае металлического световода,

и мы будем, так же как и там, рассматривать моды TE.

Попробуем, как ираньше, ввести плоскую волну внутрь световода. Ее волновой вектор будет определяться

соотношением

1k, оси по

, оси по

Ox

Oz11 knk .

Рис. 1.8. Одномерный диэлектрический световод.

Волна преломится на границе сред, и в среде 2 ее волновой вектор будет таким:

2ki ,Ox

,Oz

оси по

оси по22 knk .

Разумеется, проекции этих векторов на ось Oz одинаковы (равны β), поскольку вдоль всей плоскости разде-

ла сред сохраняется равенство фаз.

Но нам необходимо полное внутреннее отражение, так как только в этом случае волна будет отражаться

вверх и вниз на границах раздела и в результате оставаться внутри световода. Допустим, что угол падения вол-

ны удовлетворяет условию

φ>φc ,

причем

211

2c n

n

nsin ,

или, что эквивалентно, условию

θ <θс ,

причем

21c ncos .

В этом случае коэффициент отражения r становится мнимым и применима формула

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 19: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

19

11

2

21

2

2

1

n

sinjsin

n

ncos . (1.39)

Выберем знак « – ». Тогда составляющая вектора k2 , параллельная оси Ox, запишется в виде

icoskn 2 ,

где

1n

coskn

221

2

2 , (1.40)

а напряженность электрического поля в среде 2 будет равна

xzti0

2y eeEE ,

где

cosknrsinkn 12 . (1.41)

Мы получили неоднородную волну, свойства которой нам хорошо известны. Ее амплитуда экспоненциально

уменьшается при удалении в поперечном направлении от границ световода. Наш выбор знака в выражении

(1.39) в действительности соответствует отражению от плоскости ax . Для отражения от плоскости x=-a

нужно было бы взять другой знак, чтобы получить величину e+ x

, удовлетворяющую условию

.elimx

x0

Итак, по обе стороны свтовода имеются две экспоненциально затухающие во внешних средах волны. А что

же внутри? Внутри световода, по крайней мере формально, все происходит так же, как и в металлическом све-

товоде. Суперпозиция падающей и отраженной волн даст нам бегущую волну вдоль оси Oz и стоячую волну

вдоль оси Ox(рис. 1.9). При этом

axsin

axcosztje0E1

yEволна. нечетная""

волна, четная"" (1.42)

-

Рис. 1.9. Поперечные изменения составляющих E(y).

Пример четной и нечетной волн {формулы (1.41) и (1.42)}

Можно сформулировать задачу следующим образом: известны характеристики световодаa, n1, n2 и частота

волны ω (или, что эквивалентно, вектор k). Нужно найти θ, α, β и γ.

1.4.1. Уравнение дисперсии и условие согласования фаз.

На основании определения векторов k1 и k2 можно сразу написать

z y

x

Четная

волна

Нечетная

волна

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 20: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

20

2221

221 nkk , (1.43)

2222

222 nkk .

Отсюда, исключив β, получаем

22

21

222 nnk . (1.44)

Напишем теперь условие согласования фаз. Пусть Ф – фазовый сдвиг, возникающий при отражении от каж-

дой границы раздела сред как снизу, так и сверху. Приравняем полный сдвиг фазы при прохождении волны от

нижней стенки до верхней и обратно целому кратному числа 2π :

n22sinkn4 1 . (1.45)

Чему же равен фазовый сдвиг Ф? Запишем выражение :

cos

cosniarctg2

Z

Zjarctg2 21

2

1 ,

и с учетом выражений (1.39), (1.40) и определения

sinkn1 (1.46)

найдем

arctg2 . (1.47)

Можно показать, что в действительности все происходит так, как если бы отражение происходило от метал-

лической поверхности, расположенной на некотором расстоянии x0 далее границы раздела двух сред. Таким

образом, световые пучки смещаются при отражении от границы раздела двух сред (эффект Гоосса-Хенхена).

1.4.2. Решение задачи распространения, моды

Вернемся к уравнению дисперсии (1.45). Подставим в него выражения (1.46) и (1.47). Получаем два случая:

если n = 2p , то αtgαa = γ ,

(1.48)

если n = 2p+1 , то –αсtgαa = γ.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 21: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

21

Рис. 1.10. Изменение мод в зависимости от приведенной частоты V.

Графическое построение зависимостей γ и α от частоты.

Итак, в общем случае нахождение зависимости α, β, γ и θ от частоты не простая задача, ибо мы приходим к

трансцендентным уравнениям. Далее будем рассматривать случай n = 2p, учитывая, что при n = 2p+1 рассужде-

ния будут аналогичными. Построим зависимость γa от αa (рис. 3.12). В результате приходим к следующему

графическому решению: поскольку α и γ должны одновременно удовлетворять уравнениям (н.24) и (н.28), при

каждом значении частоты они определяются точкой пересечения построенной кривой с дугой окружности, ко-

торая описывается уравнением (1.44) (естественно, мы ищем положительные решения для α и γ при этом также

увеличиваются.

Диаграмма, представленная на рис. 1.10, ясно показывает, как появляются разные моды распространения.

Так же как и в случае металлического световода, значения n = 2p соответствует нечетным модам, а значе-

ния n = 2p+1 – четным модам. Для удобства часто вводят приведенную частоту

22

21 nnkaV (1.49)

Окончательно характеристические уравнения мод записываются в виде

aatga ,

aactga ,

или

2222 Va .

1.4.3. Поведение мод при изменении частоты,

критические частоты

Поведение каждой моды при изменении частоты можно исследовать следующим образом. Критические

частоты удовлетворяют условиям

2

na ,

0 ,

αa

γa

0

V

2

π

2

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 22: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

22

откуда получаем

22

21

c

nna2

c, (1.50)

22

21c nna4 . (1.51)

Новые моды появляются при всех частотах ω = nωc (n=0, 1, 2, … ). Здесь наблюдается существенное отличие

от металлическогосветовода, а именно существование нулевой моды с n=0. Для диэлектрического световода

нет частотного порога. В самом деле, можно получить нулевой суммарный фазовый сдвиг в (1.45) за один

проход от нижней стенки до верхней и обратно, так как, в отличии от металлического световода, в диэлектри-

ческом световоде сдвиг фазы при распространении может быть скомпенсирован изменением фазы Ф при отра-

жении.

Когда возникает некая мода распростанения, мы имеем γ = 0, откуда в силу формулы (1.40) cosθс = n21, т.е.

угол θ – предельный. В этом случае распространение волны возможно, иак как мы находимся на пределе

преломления. Но условие γ = 0 означает, что волна полностью распространяется вне волновода, т. е. в среде 2.

Поэтому фазовая скорость равна величине vф2, т.е. фазовой скорости во внешней среде. При увичении частоты

величины α и γ возрастают, а угол θ убывает. Поле не так глубоко проникает во внешнюю среду и волна

конуентрируется внутри световода. В пределе, когда частота ω стремится к бесконечности, величина γ также

устремляется к бесконечности,

θ = 0 и волна полностью удерживается в среде 1. При этом ее фазовая скорость равнаvф1. Такое изменение

структуры моды распространения с увеличением частоты схематично показано на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Изменение стуктуры мод в зависимости от частоты ω.1

В частном случае нулевой моды n = 0 показывается, что

V~a при 0 ,

и мы снова получаем c при 0 .

Но, согласно (1.46), на критической частоте выполняются соотношения:

c

1c n

a4

n

2a2

n

knsin ,

где 1c an2/c , т. е. c - это критическая частота металлического световода, заполненного

диэлектрической средой с по-казателем преломления n1. Предельный угол падения φс такой же, как и в метал-

лическомсветоводе для той же частоты. На критической частоте поле внутри диэлектрическогосветовода

точно такое же, как в соответствующем металлическом световоде.

1.4.4. Дисперсия

Как говорилось выше, при увеличении частоты ω от критической до бесконечности фазовая скорость волны

изменяется от vф2 доvф1. Следовательно, диаграмма дисперсии ω(β) будет иметь такой вид, как на рис 1.12 .

Для данной моды на заданной частоте (точка M) фазовая скорость определяется наклоном прямой OM, а

групповая скорость – наклоном касательной в точке M.

2 2

2

1 φc

ω=nωc

φ>φc

2

2

1

2

1

ω>nωc ω=

θ=0

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 23: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

23

0 ωс 2ωс 3ωс ω

Vф1

vф2

Легко показать, что первый слева участок этой диаграммы соответствует всем углам θ>θс , т. е. континууму

излучаемых мод. Поскольку такие моды распространяются в среде 2, они нас не интересуют. Всегда стараются

либо их уменьшить, либо исключить совсем, чтобы можно было работать только с модами

,распространяющимися в волноводе, которые образуют дискретный набор.

Диаграмма рис. 1.12 позволяет легко определить зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты ω.

Действительно, vф = ω/β – коэффициент наклона прямой OM, а vg = dω/dβ -коэффициент наклона касательной в

точке M.

В результате получаем дисперсионные характеристики (рис. 1.13) диэлектрическогосветовода.

Рис 1.12. Диэлектрическийсветовод (кривые дисперсии).

Рис. 1.13. Диэлектрическийсветовод (зависимость фазовой и группо-

вой скорости от частоты). Частота ωс соответствует точке перегиба

кривой для основной моды.

1.4.5. Одномодовый и многомодовый режимы распространения волн

Речь идет об одном важном различии. Казалось бы., что с точки зрения дисперсии желателен, как и в случае

металлического световода, одномодовый режим. Для этого, очевидно, необходимо обеспечить условие ω>ωс .

Максимальный размер одномодовогосветовода в соответствии с (.31) определяется выражением

.

Таким образом, можно получить одномодовый световод с поперечными разрезами во много длин с одной

волн, если достаточно мала разность показателей преломления 21 nnn . То же самое будет показано в

случае цилиндрических оптических волокон.

ω

0 ωc 2ωc 3ωc 4ωc 5ωc 6ωc

ω = βvф1

ω = βvф2

M β

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 24: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

24

Как нетрудно видеть рис. 1.13, кривая зависимости групповой скорости каждой моды от частоты проходит

через минимум в точке, соответсвующий точке перегиба кривой ω(β). Поэтому не исключено, что кажется

невозможным свести к минимуму групповую скорость для основной моды в одномодовом режиме. По этой

причине или по какой-либо другой причине практического характера может оказаться необходимым работать в

многомодовом режиме и учитывать одновременно дисперсии каждой моды и многомодовые эффекты.

Конечно, все это сложно. Тем более что в отличии от металлического волновода здесь нет точных формул.

Очень часто приходится пользоваться приближенными выражениями. Так, например, можно рассмотреть

случай n = 0 при сравнительно низких частотах. В этом случае доказывается, что

2V~a при 0 .

Исходя из этого, непосредственно выводится приближенное выражение для β(ω). Далее решение задачи не

встречает затруднений.

1.4.6. Расширение волнового пакета

Введѐм коэффициент второго порядка

gv

и получим выражение для уширения спектра импульса на расстоянии l:

lt

gv1.^

В действительности было бы интересно сохранить в разложении показателя экспоненты i(ωt – βz)в интегра-

ле Фурье:

de)(E)t,z(E )z)(kt(i~

члены до второго порядка по 22 d/d , чтобы получить точную форму распространяющегося фолнового

пакета, так как деформация волнового пакета обусловлена членом второго порядка. Правда, в общем случае

получающиеся выражения слишком сложны. Но вычисления возможны в частном случае гуссова волнового

пакета. Например, гауссов волновой пакет длительностью T имеет вид 2

t

t

e)t(g .

Для моды ТЕ0 в пределе низких частот ( 0 ) ширина импульса Т увеличивается в 2 раз на

характеристическом расстоянии

L=22

221

22

23

6 nn

n

a

Tc.

Мы видим, что

а) длительность импульса входит в это выражение в квадрате;

б) частота входит в первой степени;

в) поскольку разность показателей преломления играет здесь очень важную роль, с точки зрения дисперсии

выгодно использовать среды с очень близкими показателями преломления.

Не будем углубляться в этот вопрос. На практике нужно учитывать и другие факторы (световоды не

обязательно симметричны, оптические волокна цилиндрические и т.д.), а потому изучение распространения

даже малого числа мод – сложная задача.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 25: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

25

Глава 2. Распространение света в оптических волокнах.

Причины уширения импульса

2.1. Распространение света в оптических волокнах на основе лучевой модели

2.1.1. Общие сведения.

Далее будут рассмотрены все характеристики оптического волокна как среды для передачи оптических сиг-

налов, причем особое внимание будет уделено тем его свойствам, которые могут ограничить информационную

пропускную способность волоконно-онтической системы связи. Распространение света в волокне будет тракто-

ваться как распространение световых лучей, подчиняющихся законам геометрической оптики. Влияние мате-

риала волокна на распространение света будет учтено интегрально с помощью показателя преломления мате-

риала n, причем сначала будем полагать, что n не зависит от длины волны. Поскольку свет представляет собой

электромагнитные колебания, здесь сжато изложены основные положения теории распространения электромаг-

нитных волн в объеме, занимаемом диэлектриком. Это полезно как для понимания наблюдаемого в волокнах

явления, когда показатель преломления материала волокна зависит от длины волны света, так и для объяснения

основных причин оптических потерь в волокне. После элементарного рассмотрения общей дисперсии в волокне

и введения понятия среднеквадратической ширины импульса, дается подробный анализ вопроса о потерях в

волокне. После этого будут описаны некоторые методы изготовления оптических волокон и кабелей из них.

Лучевое приближение представляет собой предельный случай, когда длина волны света стремится к нулю

по сравнению с размерами среды распространения. При этом предполагают, что локально электромагнитное

поле остается таким же, как и в плоской волне, а траектория луча становится перпендикулярной поверхностям

равных фаз волны, т. е. поверхности ее волнового фронта. Как будет показано далее, оптические волокна могут

иметь диаметры сердцевины вплоть до 1 мм или до нескольких микрометров. В некоторых наиболее распро-

страненных типах волокон диаметр сердцевины составляет около 50 мкм. Можно считать, что при таких разме-

рах волокон лучевое приближение достигает предела своей применимости.

2.1.2. Ступенчатое волокно:

числовая апертура и межмодовая дисперсия

Эффект волноводного распространения света в прозрачной диэлектрической среде, показатель преломления

которой больше показателя преломления окружающей среды, был продемонстрирован Тиндаллом на примере

водяной струи в 1870 г. во время чтения лекции в Королевском институте.

Рис. 2.1. Отражение и полное внутреннее отражение на границе ди-

электриков: а – луч АА` преломляется; б – луч ВВ` - критический луч;

в- луч СС` - претерпевает полное внутреннее отражение на границе

диэлектриков.

Рисунок 2.1, а иллюстрирует явление преломления света на границе раздела двух сред с разными

показателями преломления, которое подчиняется закону Снелля, сформулированному в 1621 г. На рисунке

изображен луч света, который проходит сквозь среду с более высоким показателем преломления п1, и попадает

в среду с меньшим показателем преломления п2. Если выполняются условия 0 си 0 ' /2, то справедливо

следующее соотношение:

п1 sin = п2 sin ', (2.1),

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 26: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

26

где и ' - соответственно углы падения и преломления. При называемом критическом угле, т.е. при таком угле

падения, при котором угол преломления ' = /2 (рис. 2.1,б), т.е. при = с

п1sin с = п2. (2.2)

Если угол падения > c (рис. 2.1, в), имеет место явление полного внутреннего отражения, не сопровож-

дающееся какими-либо потерями на границе раздела, т. е. r,. = 'r.

Рис. 2.2. Распространение света в оптическом волокне:

АA' — осевой луч, ВВ' — луч, распространяющийся под критиче-

ским углом для поверхности n1n2; луч СС ‘ входит в волокно под уг-

лом больше критического и поэтому не отражается, а вводится в обо-

лочку.

Рассмотрим теперь цилиндрическое стеклянное волокно, состоящее из внутренней сердцевины с показате-

лем преломления n1 и окружающей ее оболочки с показателем преломления n2, причем здесь также выполняет-

ся условие n1>п2. Торец волокна срезан под прямым углом к его оптической оси. На рис . 2.2 изображен луч,

входящий в волокно с торца из окружающего волокно воздуха (с показателем преломления na). Этот луч будет

распространяться вдоль волокна путем многократных отражений от границы сердцевина - оболочка и не будет

ослабляться при условии, что угол падения луча на границу раздела будет больше критического угла с. Для

выполнения этого условия необходимо, чтобы угол наклона луча к оптической оси волокна = /2 - , был

меньше m = /2 - c, а угол падения m луча на торец волокна был менее определенной величины m. Для оп-

ределения величины углов m и m, воспользуемся законом преломления света, приняв na =1,

sin = n1 sin = n1cos . (2.3).

Все лучи, падающие на торец волокна под углом, меньшим αm, будут распространяться в сердцевине волок-

на. Очевидно, что лучи, распространяющиеся в сердцевине, в зависимости от их угла падения будут проходить

различные расстояния, причем эти расстояния будут изменяться от l для осевого луча до l/cos m для самого на-

клонного (критический луч ВВ'), где l— расстояние по оси волокна

При угле падения, равном критическому,

sin m = n1sin m = n1cos c. (2.4)

Воспользуемся выражением (2.1.2) и выразим sin m через показатели преломления сердцевины и оболочки

n1sin с= n2 , cos с = (n12 – n2

2 )

1/2/n1 (2.5)

sin m= (n12 – n2

2 )

1/2 (2.6)

Введем обозначения

n = n1 – n2 (2.7.),

и

n = (n1 + n2 )/2 (2.8)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 27: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

27

В результате получим

sin m= (2n n)1/2

(2.9)

Чем больше угол m, тем большая часть падающего на торец волокна света может быть введена в волокно и

будет в нем распространяться за счет полного внутреннего отражения. По аналогии с термином, используемым

в оптике для определения способности микрообъективов собирать свет, величину nasin m называют числовой

апертурой (NA) волокна. Таким образом, подставив na = 1, находим числовую апертуру волокна

(NA)=sinam=(2n n)1/2

(2.10)

Только часть света (пропорциональная (NA)2), излучаемая малоразмерным диффузным источником, поме-

щенным на оптической оси волокна вблизи его торца, может быть введена в волокно и, следовательно, будет в

нем распространяться. Рассмотрим малоразмерный диффузный источник света, например изотропный (ламбер-

товский) излучатель, изображенный на рис. 2.3. В этом случае мощность, излучаемая в единицу телесного угла

в направлении под углом к нормали к его поверхности, определяется выражением:

I( ) = I0cos . (2.11)

Рис 2.3. Диффузный источник света.

Полная мощность Ф0, излучаемая таким источником, находится интегрированием I ( ) по всем направлени-

ям:

Ф0=2

0I0 ∙cosθ ∙2π∙sinθdθ = πI0 (2.12)

Однако мощность Ф, введенная в волокно, диаметр сердцевины которого больше диаметра источника, опре-

деляется следующим интегралом:

Ф0=m

0I0 ∙cosθ ∙2π∙sinθdθ = πI0sin

2(αm) = Ф0 ∙(NA)

2 (2.13)

Отсюда ясно, что для того, чтобы ввести в волокно как можно больше света, необходимо обеспечить боль-

шие значения величин п и n. На рис. 2.2 изображены два крайних луча, образующих конус входных лучей. В

данном случае показатель преломления среды можно рассматривать как меру скорости распространения света v

в этой среде, т. е.

v = с/п. (2.14)

Мощность, излучаемая в малый телесный угол в направлении угла по перпендикуляру к излучающей

поверхности, равна I ( ) = I0 cos . Элементарное угловое кольцо, радиус которого стягивает угол , шири-

на стягивает , само кольцо стягивает телесный угол = sin . Следовательно, осевой луч будет прохо-

дить расстояние вдоль волокна за время п1l/c, в то время как наиболее наклонный луч, который еще может рас-

пространяться в волокне, то же самое расстояние пройдет за время, определяемое соотношением

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 28: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

28

2

21

c

1

m

1nc

ln

sinθc

ln

cosc

ln (2.15)

Таким образом, если оба эти луча введены в волокно одновременно,

то на выходе волокна они окажутся разделенными во времени на интервал , определяемый формулой

n1 /n2 (l/ c) n (2.16)

В результате световой импульс, содержащий лучи под всеми возможными углами, окажется размытым во

времени в процессе своего распространения по волокну на величину, определяемую выражением

/l n1 /n2 ( n / c) (2.17)

Это уширение светового импульса при его распространении по волокну известно как межмодовая (многолу-

чевая) временная дисперсия волокна. Для стеклянного волокна без оболочки формула (2.17) дает следующее

значение этой дисперсии (п1=1,5; п2=1; с=3 108 м/с); /l 2,5 10

-9= 2,5 нс/м - 2,5 мкс/км.

В данном случае в волокне будет распространяться свет, падающий на торец волокна под всеми углами.

Покрытие сердцевины волокна стеклянной оболочкой, имеющей немного меньший показатель преломле-

ния, приводит к возникновению трех эффектов:

1) если покрытие имеет высокое качество и толщину, достаточную для удержания затухающей волны, то

оно существенно уменьшает потери;

2) уменьшению временной дисперсии;

3) уменьшению вводимой в волокно мощности света.

Если п п, то выражение (2.17) для временной дисперсии волокна можно преобразовать к виду

T/l n/c (2.18)

Рис.2.4. Ступенчатое волокно.

На рис. 2.4 изображено волокно со скачком показателя преломления. Оптические кабели из таких волокон

широко распространены. Если принять значения п= 1,5 и п = 0,01, то на основе полученных формул находим

основные характеристики волокна: числовая апертура (NA) = 0,173, угол ввода света в волокно am = 10, доля

вводимой в волокно мощности от диффузного источника света (NA)2 = 0,03 = 3 %. И, наконец, временная дис-

персия волокна будет равна

T/l = 3,4 10-10

= 34 нс/км.

Диаметры сердцевины 2a и оболочки 2b стремятся к стандартным размерам, равным соответстветственно 50

и 25 мкм. Изготавливают волокна и с другими размерами сердцевины и оболочки. В некоторых применениях

требуются большие размеры. Так, диаметр сердцевины может стремиться от 100 до 300 мкм, а диаметр оболоч-

ки от 200 до 500 мкм. Однако такие волокна довольно жесткие.

Приведем приближенные соотношения между ними, которые, однако, вполне пригодны для большинства

применений

В 2 f 1/ Т, (2.19)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 29: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

29

откуда

( f)l c/ 2 n (2.20)

Следовательно, можно сказать, что в рассматриваемом примере произведение полосы пропускания на рас-

стояние для волокна равно приблизительно 16 МГц км.

До сих пор рассматривали только такие лучи, которые проходят через ось волокна. Это так называемые ме-

ридиональные лучи. Обычно имеются также лучи, которые распространяются в волокне и не удовлетворяют

этому условию: они называются косыми лучами. Некоторые из косых лучей сохраняются в сердцевине волокна,

даже если они распространяются под очень большими углами к его оси. На практике такие лучи быстро рассеи-

ваются на изгибах и неоднородностях и покидают сердцевину, не внося, таким образом, заметного вклада во

временную дисперсию. Однако строгий анализ этого явления сложен. Определяемое формулой (2.20) произве-

дение полосы пропускания на расстояние на практике оказывается существенно ниже реального. Из-за рассея-

ния в волокне большинство наклонных лучей испытывают большое затухание и при прохождении большого

расстояния имеет место усреднение наклона траекторий, более близких к оси лучей.

Однако строгий анализ этого явления сложен. Определяемое формулой (2.20) произведение полосы пропус-

кания на расстояние на практике оказывается существенно ниже реального. Из-за рассеяния в волокне боль-

шинство наклонных лучей испытывают большое затухание и при прохождении большого расстояния имеет ме-

сто усреднение наклона траекторий, более близких к оси лучей.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 30: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

30

Рис. 2.5. Типы оптических волокон: а – волокно без оболочки; б – волоконный жгут; в – ступенчатое волок-

но; г – градиентное волокно; д – одномодовое волокно; е – волокно с W-образным профилем.

Происходящие при этом эффекты приводят к уменьшению дисперсии и в результате в волокнах большой

длины она увеличиваетсяпропорционально корню квадратному из длины. Тем не менее, дисперсия накладывает

строгие ограничения на использование ступенчатых волокон, допуская их применение лишь в сравнительно

коротких линиях связи со сравнительно неширокой полосой пропускания. Существует два типа волокон, в ко-

торых преодолен этот недостаток (рис. 2.5). Первое из них, так называемое градиентное волокно (рис. 2.5, г),

было очень распространено на ранней стадии развития волоконной оптики. Изображенное на рис. 2.5, д одно-

модовое волокно, вероятно, станет основным типом в будущем.

2.1.3. Распространение света и межмодовая дисперсия в градиентных волокнах

Распространение света в градиентном волокне легко рассмотреть, однако строгое рассмотрение приводит к

значительным математическим трудностям. Как видно из рис. 2.6, на котором изображено градиентное волок-

но, осевые лучи проходят через волокно кратчайшим путем, но они преодолевают участок с наибольшим зна-

чением показателя преломления, и, следовательно, распространяются с наименьшей скоростью. Наклонные лу-

чи, наоборот, проходят по более длинным траекториям, однако большая часть их пути находится в среде с бо-

лее низким показателем преломления, в силу чего они распространяются быстрее. Таким образом, можно пред-

ставить себе, что при надлежащем выборе профиля показателя преломления все лучи, сходящиеся в одну точку,

могут быть сфокусированы вновь, образовав периодическую последовательность точек фокуса вдоль волокна.

Из принципа Ферма следует, что в таком случае аксиальные скорости лучей будут одинаковыми и, следова-

тельно, временная дисперсия будет равна нулю.

Можно показать, что траектория луча, распространяющегося в неоднородной среде (с изменяющимся по-

казателем преломления), описывается выражением:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 31: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

31

)(ngradds

drn

ds

d (2.21)

где r — вектор положения точки на пути луча, а ds - элементарное расстояние, измеряемое вдоль траекто-

рии.

Применим (2.21) к частному случаю цилиндрического волокна, в котором показатель преломления радиаль-

но симметричен. Ограничимся рассмотрением меридиональных лучей, и, кроме того, лишь тех из них, которые

всегда остаются почти параллельными оптической оси волокна. Это так называемое параксиальное лучевое

приближение, которое позволяет нам аппроксимировать ds расстоянием вдоль оси dz. Тогда (2.1.21) принимает

вид

d2r/dz

2=(1/n) (dn/dr), (2.22)

где теперь r — расстояние луча от оптической оси, а z — расстояние, измеряемое вдоль оси. Легко показать,

что параболический профиль показателя преломления обеспечивает синусоидальный закон изменения r от z.

Рис 2.6. Градиентное волокно.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 32: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

32

Пусть, например,

n0 (1- Δ(r/a)2 ) , приr<a

n(r) = (2.23)

n0 (1-Δ)=n(a), приr≥a

где n0 — показатель преломления на оси; а — радиус сердцевины волокна, а =(n0–n(a))/n0 - полное относи-

тельное измерение показателя преломления сердцевины. Дифференцирование приводит к выражению

dn/dr=-(2n0r/a2)

Ограничившись в дальнейшем рассмотрением только лучей, расположенных близко к оси, можно предпо-

ложить, что n0/n1~ 1. Тогда уравнение (2.1.22) принимает вид

d2r/dz

2-(2r/a

2) (2.24)

Если теперь рассмотреть лучи, которые вводятся в волокно таким образом, что r= r0, a dr/dz =r0 в точке z =

0, то интегрирование уравнения (2.24) даст следующее уравнение траектории луча:

a

zar

a

zrr 2sin

2

`02cos0

На рис. 2.7 приведены траектории двух групп таких лучей при r0 =0 и r0'=0. Все они не имеют дисперсии (не

диспергируют).

Если попытаться ослабить условия параксиального приближения, то это приведет к значительному услож-

нению уравнений. Можно, однако, показать (см. [2.2]), что все меридиональные лучи не испытывают диспер-

сии, если профиль показателя преломления имеет вид

...rα24

5rα1nr)sch(αnn(r) 4422

00 (2.25)

Приведенное выше разложение профиля показателя преломления в ряд показывает, что параболический за-

кон является первым приближением к требуемому, если принять ' = ( а)2/2. В случае косых лучей не сущест-

вует такого закона изменения профиля показателя преломления, который бы устранил их взаимную дисперсию

(независимо от места и угла ввода), а также дисперсию по отношению к меридиональным лучам.

Рис. 2.7. Траектории меридиональных лучей в волокне с параболическим профилем показателя преломле-

ния.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 33: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

33

Покажем, что при идеальном профиле показателя преломления межмодовая дисперсия может быть сделана

менее 0,1 нс/км. На практике не представляет труда получать хорошие градиентные волокна с величиной меж-

модовой дисперсии менее 1 нс/км. Однако при этом может оказаться полезной даже грубое изменение профиля

показателя преломления. Например, временная дисперсия волокна со скачком показателя преломления, может

быть уменьшена с 34 по 10 нс/км и менее путем простого сглаживания изменения показателя преломления на

границе сердцевины и оболочки.

Прежде чем приступить к анализу дисперсии, необходимо принять во внимание еще один источник

временной дисперсии в оптических волокнах. Дело в том, что на самом деле показатель преломления зависит

от длины волны. Этот вид дисперсии было бы хорошо назвать хроматической дисперсией, однако ее обычно

называют материальной дисперсией.

2.2. МАТЕРИАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ

2.2.1. Показатель преломления объемной среды: теория

На распространение электромагнитных волн в прозрачных материалах оказывает влияние их

взаимодействие с молекулами среды. Поскольку такое взаимодействие зависит от частоты, то и скорость рас-

пространения электромагнитных волн также зависит от частоты: говорят, что материал обладает дисперсией.

Одним из проявлений такой дисперсии является уширение коротких световых импульсов при их

распространении в диспергирующей среде. Величина уширения пропорциональна ширине спектра импульса и

является другим важным фактором, который ограничивает полосу пропускания оптических волокон.

В оптике обычно имеют дело с показателем преломления среды п. Он показывает, во сколько раз уменьша-

ется фазовая скорость vp волны, распространяющейся в данной среде, по сравнению с фазовой скоростью с в

вакууме

vp= c/n (2.26)

Другая особенность оптики состоит в том, что, начиная с момента зарождения оптики как науки в XVI веке,

при описании источников оптического излучения используют не частоту f, а длину волны излучаемых коле-

баний. Это приводит к понятию длины волны в свободном пространстве = c/f. При распространении колеба-

ний в преломляющей среде длина волны уменьшается до m, причем

m = /n (2.27)

и

vp= mf (2.28)

Будем описывать электромагнитную волну частотой f, распространяющуюся через преломляющую среду

вдоль оси z, в виде проекции амплитуды электрической составляющей поля на ось х, как действительной части

Ex, т.е.

Ex(z,t) = E0exp (-i( t - kz)) (2.29)

где E0— постоянная поля; k = 2 / m — коэффициент распространения в среде; =2 f — угловая частота

волны, а i2= 1.

Выражение (2.29) описывает плоскую волну, распространяющуюся в объемном материале. Будем полагать,

что волна линейно поляризована и вектор электрического поля совмещен с плоскостью х — z. Фазовая скорость

такой волны равна vp== , и, следовательно,

vp= k/β=λm• f = c/n (2.30)

откуда

n = ck (2.31)

Если при прохождении через среду волна ослабляется, то это можно учесть введением коэффициента по-

глощения а, так что

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 34: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

34

Ex(z,t) = E0exp (-az) exp (-j ( t - kz)) = - E0 exp (-j( t – (k + ja)z) (2.32)

Можно учесть затухание волны путем введения комплексного показателя преломления среды

n* = n +in

’ = c/ (k + ia) (2.33)

Таким образом, действительная часть показателя преломления все еще определяется выражением (2.31), в то

время как мнимая часть становится равной

n'= ca/ (2.34)

Ниже будет показано, что те же самые процессы, которые приводят к зависимости показателя преломления

среды от частоты, вызывают также и затухание в среде электромагнитных волн. Таким образом, показатель

преломления дисперсионной среды является комплексным и зависит от частоты. Указанные физические про-

цессы легко рассмотреть на примере диэлектриков, однако количественный теоретический анализ для любой,

даже простейшей среды становится неимоверно сложным.

Электрическая составляющая поля распространяющейся в диэлектрике оптической электромагнитной вол-

ны поляризует его молекулы, в результате чего они или их электронные структуры начинают колебаться с час-

тотой волны. Колеблющиеся заряды излучают новые волны той же частоты, которые интерферируют с поро-

дившей их волной таким образом, что результирующая волна получает суммарный фазовый сдвиг относитель-

но исходной волны. Поскольку эти эффекты происходят непрерывно во времени, общий фазовый сдвиг оказы-

вается пропорциональным пройденному волной расстоянию. Это приводит к тому, что волна распространяется

в среде с меньшей фазовой скоростью.

Взаимодействие волны с молекулами среды происходит в виде последовательности затухающих гармониче-

ских резонансов. На частоте выше резонансной колебание отдельного атомного или электронного заряда боль-

ше не соответствует колебаниям электрического поля. Среда уже не поляризуется описанным образом, в ре-

зультате чего на частотах выше резонансной показатель преломления уменьшается по сравнению со своим зна-

чением при резонансе.

Влияние электрического поля на поляризуемость диэлектрического материала обычно выражают с помо-

щью относительной диэлектрической постоянной или диэлектрической проницаемости среды. Показатель пре-

ломления, обусловленный поляризацией материала на высоких частотах, может быть легко связан с диэлектри-

ческой проницаемостью материала на этих частотах. Как известно из теории электромагнитных волн, фазовая

скорость электромагнитных волн, распространяющихся в среде, имеющей относительную магнитную прони-

цаемость относительную диэлектрическую проницаемость , определяется выражением

εμ

c

μμεε

1v

00

ф (2.35)

где 0 и 0 — соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства. Сле-

довательно, n , а поскольку магнитные эффекты в диэлектриках обычно ничтожно малы, то можно

принять = 1 и в результате получить следующую практическую формулу

n (2.36)

При анализе этого вопроса сначала вводят понятие поляризуемости отдельной молекулы материала, обозна-

чаемой . Это означает, что электрический дипольный момент рх, возникающий в направлении оси х под дейст-

вием локального электрического поля Ex будет равен

рх= Ex (2.37)

В газе, содержащем N молекул в единице объема, объемная поляризация среды Px определяется выражени-

ем:

рх= Nрх = N Ex (2.38)

Теперь относительную диэлектрическую проницаемость можно определить следующим образом:

r=( e0Ex+ Px)/ 0Ex = 1+(Px/ 0 Ex). (2.39)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 35: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

35

Таким образом, окончательно получаем

r = 1 + (N / 0). (2.40)

В случае твердого диэлектрика необходимо учитывать влияние, оказываемое на степень поляризации каж-

дой отдельной молекулы окружающими ее молекулами. При использовании простейшего приближения, кото-

рое оказывается точным для идеальной кубической решетки, полагают, что каждая поляризуемая молекула

представляет собой сферическую замкнутую полость в однородном диэлектрике. При этом под действием

среднего поля Еxлокальное поле увеличится в (1 + Px/3 0Ex) раз. Следовательно, поляризация диэлектрика будет

равна

Px = N Ex (1+Px)/3 0Ex = (N Ex +N Px)/ 3 0 =

=N Ex/ (1 (N / 3 0) (2.41)

Результирующую относительную диэлектрическую проницаемость при этом получаем путем подстановки

(2.2.16) в (2.2.14):

0

0

N

α

1

N/ε1ε (2.42)

Этот результат иногда выражают в иной форме, предложенной Моссотти,

( r 1) / ( r+ 2) =N / 3 0 (2.43)

На рис. 2.8 приведена зависимость средней молекулярной поляризуемости (а следовательно, и средней

степени поляризации в единице объема Рх) от частоты возбуждающего электрического поля. Энергетические

переходы, соответствующие частотам радиодиапазона, обусловлены быстро затухающими эффектами переори-

ентации молекул и не играют заметной роли в интересующей нас области спектра. Другие переходы являются

результатом описанных ранее резонансных явлений. При этом высокочастотные эффекты возникают вследст-

вие отклика электронной структуры молекул на поле, частота которого лежит в оптическом диапазоне спектра.

На практике наблюдается ряд таких резонансов в ультрафиолетовой части спектра. Выделяемый низ-

кочастотный переход обусловлен движением молекулы в ответ на воздействие оптического поля. Это колеба-

ния решетки, возбуждаемые электрическим полем с частотой, соответствующей инфракрасному участку спек-

тра. В рассматриваемых резонансных явлениях смещаемый в процессе взаимодействия с электрическим полем

и приводящий к появлению поляризации заряд подвергается воздействию восстанавливающей силы, величина

которой пропорциональна смещению заряда. В таком случае движущийся заряд представляет собой гармони-

ческий осциллятор. Электрическое поле в направлении оси х, создаваемое электромагнитной волной в данной

точке материала, определяется путем подстановки в (2.32) значения z= const и может быть выражено в виде ре-

альной части Ex== E1ехр ( j t), где E1 — постоянная поля.

В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее смещение х, заряд е и массу т электрона, нахо-

дящегося под воздействием электрического поля, имеет вид

x`` + kx

` + 0kx = e/m E1exp (- j t) (2.44)

где 0k/2 — резонансная частота данного взаимодействия, а k — коэффициент затухания, учитывающий

диссипативные эффекты, связанные с этим взаимодействием и являющиеся результатом излучательных потерь

и соударений.

Решение этого уравнения для случая вынужденных затухающих колебаний имеет вид

x=ωjγωω

)tj (- exp/m)(eE

k

22

0k

1 (2.45)

Теперь видно, что поляризуемость молекулы становится комплексной функцией частоты. Обозначим ее `,

причем

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 36: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

36

α = px/Ex = x∙e/Ex = ωjγωω

/me

k

22

0k

2

(2.46)

Аналогично этому и относительная диэлектрическая проницаемость ( ) будет комплексной функцией час-

тоты. Она может быть найдена подстановкой выражения (2.46), описывающего поляризуемость атома, в (2.42)

0

2

k22

0k

02

3mε

Ne-ωjγωω

/(mεNe1)ε(

) (2.47)

Если учесть все возможные резонансы и представить силу (напряженность поля) каждого из них коэффици-

ентом gk (который появляется при квантово-механическом подходе к данной проблеме), тогда как функция

частоты будет равна

k k22k1

k

02

2

2

fjff

g

mε4

Ne1)f( (2.48),

где 0

220k2

21

3mε

Neω

4

1kf

Рис. 2.8. Схематическое изображение зависимостей от частоты действительной и мнимой частей показателя

преломления диэлектрического материала, иллюстрирующих атомные и электронные резонансы.

Ясно, что теперь и показатель преломления тоже становится комплексным

n*= n + jn', (2.49)

и мы получаем

(n*)2= n

2 (n')

2 2jn'n = * (2.50)

В интересующих нас материалах затухание должно быть очень малым, поэтому рассмотрим только частоты,

далеко отстоящие от резонансных, где справедливо предположение n' п. В таком случае

n2

Re( *r) (2.51)

а 2n'n = Im( *r) (2.52)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 37: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

37

На рис. 2.8 приведены зависимости действительной и мнимой частей п* от частоты для случая идеального

диэлектрика.

Как видно из рисунка, в оптических участках спектра, достаточно удаленных от резонансов, следует пред-

полагать, что n будет медленно увеличиваться с ростом частоты электрического поля и, следовательно, п будет

медленно уменьшаться с увеличением его длины волны. Таким образом, в интересующих нас областях спектра

производная dn/d будет малой по величине и отрицательной по знаку. Из рис. 2.8 также видно, что имеет ме-

сто тесная связь между дисперсией (областями, где п изменяется при изменении частоты поля) и поглощением

(областями, где п' становится значительным по величине).

Эта связь носит фундаментальный характер. В любой линейной стационарной физически реализуемой сис-

теме, в которой ограниченное по величине входное воздействие порождает также ограниченный по величине

отклик, мнимая часть передаточной функции может быть всегда однозначно определена по известной реальной

части передаточной функции, и наоборот. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса—

Кронига.

2.2.2. Временная дисперсия в объемной среде

В оптике слово «дисперсия» обычно связывают с величиной dn/d , а в оптических системах связи с явлени-

ем уширения световых импульсов после их прохождения через дисперсионную среду. Ниже будет показано,

что за это уширение ответственна не величина dn/d , а величина d2n/d

2, именно эта последняя будет пони-

маться в данной книге под термином «дисперсия материала».

Любая помеха или сигнал, налагаемые на световую волну, распространяются не с фазовой скоростью волны,

равной

vp= k, (2.53)

а с групповой скоростью vg, определяемой соотношением

vg =d /dk= 1/( dk/d ). (2.54)

В недисперсионной среде фазовая скорость не зависит от частоты волны, вследствие чего групповая и, фа-

зовая скорости - становятся одинаковыми:

k=ω/vp, vg = 1/(dk/d ) = vp

Однако в дисперсионной среде.где по определению фазовая скорость зависит от частоты, vg, и vp будут раз-

личными:

d

dv

v1

v

d

dk

1v

p

p

p

g (2.55)

Это обстоятельство важно, поскольку групповая скорость является скоростью распространения сигнала, с

которой постоянно имеют дело в технике связи. Например, световой импульс проходит через дисперсионную

среду со скоростью vg. Рассмотрение вопросараспространения светового импульса усложняется тем обстоя-

тельством, что из-за дисперсии он обязательно ослабляется и в некоторой степени искажается в процессе рас-

пространения. Тем не менее можно ввести понятие группового показателя преломления

N=c/vg (2.56)

который в дисперсионной среде будет отличаться от обычного или фазового показателя преломления п.

Будет очевидно, что в 2.1.2 был использован самый простой подход для выражения межмодовой временной

дисперсии с помощью формулы (2.42). При использовании лучевой модели, изображенной на рис. 2.2, скорость

распространения световых импульсов равна с/N1. Следовательно, разница времен распространения импульсов

вдоль осевого и наиболее наклонного лучей должна быть равна

l=(N1/n2)( n/c), (2.57)

где N1 — групповой показатель преломления сердцевины. Однако формула (2.17) остается хорошим при-

ближением для обычных ступенчатых волокон.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 38: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

38

Как было показано, дисперсионные свойства оптических материалов традиционно характеризуются зависи-

мостью показателя преломления от длины волны в свободном пространстве, т. е. п( ). Поэтому необходимо

выразить величины vg и N через п и . Отметим сначала, что

N = c/vg = c(dk/d ) = c(d( n/c) /d )= d( n)/ d =n + ( dn/d ) (2.58)

Далее

dn/d = (dn/d )( d /d ),

а если учесть, что

=2 с/ , то d /d = (2 с/2).

Подставляя полученные выражения в (2.58), находим:

d

dnn

c2d

dnc2nN

2

(2.59)

Таким образом,

vg = с/N = c / n dn/d . (2.60)

Тогда время прохождения t световым импульсом расстояния l будет равно

c

l

d

dnn

c

Nl

v

lt

g

(2.61)

Если свет имеет ширину спектра относительно , и если среда дисперсионная, то световой импульс рас-

ширяется в процессе распространения и поступает на выход на протяжении интервала времени , определяемо-

го соотношением

2

2

2

2

d

nd

c

l

d

nd

d

dn

d

dn

c

l

d

dN

c

l

d

dt (2.62)

Обычно ширину спектра источника излучения определяют как диапазон длин волн, в пределах которого

излучаемая им мощность превышает 50 % максимального значения. Часто удобно использовать относительную

ширину спектра излучения , равную

= . (2.63)

Таким образом, после прохождения световым импульсом расстояния l в дисперсионной среде импульс

расширяется, причем его длительность на уровне половинной мощности определяется выражением:

2

22

d

nd

c

l (2.64)

Ее можно написать в таком виде:

/l=( /c) Ym , (2.65)

где Ym=2(d

2n/d

2) (2.66)

представляет собой коэффициент дисперсии материала. Если аппроксимировать ширину полосы частот, за-

нимаемую сигналом в волокне, величиной f 1 /4 , то получим

( f) l =c/4 Ym . (2.67)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 39: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

39

При определении и был введен знак модуля, поскольку обычно интересует абсолютная величина разбро-

са длин волн , или длительность импульса , а не то, какая волна прибудет первой — более короткая или бо-

лее длинная.

На рис. 2.9 представлены зависимости величин Ym и ( c)(d2n/d

2) от длины волны для объемных образцов

из чистого и легированного кварца. Необходимо подчеркнуть, что эти данные не могут быть непосредственно

перенесены на материал аналогичного состава, использованный для вытягивания волокна. Из приведенных

кривых следует, что на длине волны 0,85 мкм (типичное значение для источников излучения из арсенида гал-

лия) легирование кварца германием приводит к увеличению как показателя преломления, так и дисперсии ма-

териала, легирование бором уменьшает показатель преломления и дисперсию, а легирование фосфорным ан-

гидридом (Р2О5) увеличивает п, но оказывает малое влияние на дисперсию.

Рис. 2.9. Зависимости дисперсионного параметра Ym (а) и матери-

альной дисперсии ( c)(d2n/d

2) (б) от длины волны. Буквы А—D ука-

зывают на состав стекол.

Для чистого кварца на длине волны 0,85 мкм Ym = 0,021. Следовательно, / l = 7,2 1011

с/м, а ( f) l =

(3,5 109)/ м/с. Типичное значение ширины спектра излучения светодиодов из GaAs составляет 30 нм при сред-

ней длине волны излучения 850 нм. Таким образом, = 0,035, и скорость, с которой будет происходить расши-

рение светового импульса при распространении в чистом кварце, равна

/ l = ( / с) Ym = (0,035 0,021)/(3-108) = 2,5 10

12 = 2,5 нс/км,

а произведение ширины полосы пропускания на расстояние составит ( f) l = 100 МГц км. Лазерные источники

излучают в пределах очень узкой спектральной полосы порядка 3 нм, следовательно, для них = 0,0035. Для ла-

зерного излучения, распространяющегося в кварце, / l = 0,25 нс/км и ( f) l = 1 ГГц км. Эти значения следует

сравнить со значениями приведенной ранее величины , характеризующей межмодовую дисперсию, а имен-

но: /l 2 /l = 34 нс/км для волокна со скачком показателя преломления и 2500 нс/км для волокна без оболоч-

ки, которые, будучи выраженными через полосу пропускания, становятся соответственно равными 15 и 0,2

МГц км.

Как видно из рис. 2.9, кривая d2n/d

2 для чистого кварца изменяет знак на длине волны = 0 = 1,276 мкм.

Это значение соответствует точке перегиба кривой п ( ). В литературе часто указывают на него, как на «длину

волны нулевой дисперсии материала». С практической точки зрения такое определение вводит в заблуждение,

поскольку реальный световой импульс содержит в себе спектр длин волн, которые распространяются с группо-

выми скоростями, лежащими в некотором интервале, даже если самая короткая и самая длинная волны распро-

страняются с одинаковыми скоростями. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.9, а. Лежит ли кривая

d2n/d

2 выше или ниже нуля, не имеет никакого значения для вопроса о расширении импульса.

Дисперсия материала минимальна для источников, которые излучают на длинах волн, близких к 0. Такие

источники обеспечили бы максимальную пропускную способность волокна, используемого в настоящее время.

Несомненно, важно знать, что этот предел существует и является причиной, по которой мы будем использовать

точные выражения для временной дисперсии в области минимума дисперсии материала.

Спектральная кривая источника, излучающего в диапазоне длин волн относительно центральной длины

волны m, содержит 0 т. е.

λ0 –Δλ/2 <λm< λ0 +Δλ/2 (2.68)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 40: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

40

и можно определить уширение импульса путем разложения времени распространения импульса t в ряд Тейлора

в окрестности 0.

Имеют место два случая:

1. ( 0 — 0,5 ) m 0, тогда

2202

20

0

md

nd

l

c (2.69)

2. 0 m ( 0 — 0,5 ), тогда

0m2

20

2d

nd

2l

c

0

(2.70)

Неучтенные члены разложения более высокого порядка становятся значительными, если ширина спектра

источника излучения приближается к 100 нм.

При m= 0 дисперсия в объеме материала становится минимальной и равной

00

3

330

22

3

30

d

nd

2c8d

nd

2l (2.71)

Для чистого кварца на длине волны = 0 = m= 1,276 мкм. Следовательно, / l = 2 1011 2

с/м.

Рассмотрим имеющиеся светодиоды, излучение которых центрировано относительно 0. Они имеют =

0,04. Это подразумевает разброс длин волн порядка 51 нм относительно 1,276 мкм, а также / l = 3,2 1014

= 32

нс/км и ( f) l = 8 ГГц км. При использовании лазерного источника излучения значения приведенных величин

были бы на два порядка лучше. В любом случае дисперсионный параметр становится очень малым, и это вы-

нуждает разрабатывать источники излучения и фотоприемники для работы в данной области спектра.

По поводу рис. 2.9 можно также сделать два следующих замечания. Первое — величина Ym остается весьма

малой на длинах волн в окрестности 0.Например, для чистого кварца на длине волны = 1,55 мкм, лежащей в

области минимума потерь, Ym = 0,01, обеспечивая / l = 3,4 1011

. В таком случае при использовании источ-

ника излучения с = 0,04 получаем / l = 1,3 нс/км и ( f) l = 200 МГц км, тогда как = 0,004 будем иметь / l =

0,13 нс/км и ( f) l = 2 ГГц. Второе замечание состоит в том, что величину 0 можно изменять, вводя различные

примеси. Как видно из рис. 2.13, введение бора может сделать ее менее 1,22 мкм, а легирование германием по-

зволяет поднять ее до 1,37 мкм.

2.3. СОВМЕСТНОЕ ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИИ

МАТЕРИАЛА И МЕЖМОДОВОЙ ДИСПЕРСИИ До сих пор рассматривалось два независимых эффекта, которые обусловливают временную дисперсию в оптиче-

ских волокнах: межмодовая дисперсия и дисперсия материала. Следует ожидать, что при нормальных условиях оба

эффекта присутствуют одновременно, и возникает вопрос, каким образом следует их объединять при определении

общей дисперсии оптического волокна. Если рассматривать только разницу времен прохождения волокна самой бы-

строй и самой медленной волнами, то следовало бы просто сложить эти два эффекта надлежащим образом. Первая

из них должна была бы иметь наибольшую групповую скорость и распространяться по кратчайшему оптическому

пути, а вторая, наоборот, с наименьшей групповой скоростью проходит самый длинный оптический путь. Однако

для практических целей такой подход слишком прост и дает завышенные значения дисперсии.

При оценке полосы пропускания оптической системы связи или, что то же самое, максимальной скорости пере-

дачи данных необходимо учитывать форму принимаемых импульсов. Форма принятого им пульса, уширенного из-за

влияния дисперсии материала волокна, будет характеризовать распределение мощности по длинам волн, образую-

щих этот импульс. Большинство оптических источников излучения обычно имеют приблизительно гауссово распре-

деление мощности по длинам волн. В таком случае следует ожидать, что форма принятого импульса будет также га-

уссовой относительно среднего времени прихода импульса t0, как это показано на рис. 2.10, а. Хотя еще нет теорети-

ческой основы для предсказания распределения мощности по различным траекториям лучей, распространяющихся в

волокне, однако интуитивно разумно предположить, что наибольшая часть мощности будет переноситься теми лу-

чами, которые проходят по среднему оптическому пути, а не по кратчайшему или самому длинному. А если это так,

то и межмодовая дисперсия также будет вызывать уширение импульса приблизительно по гауссовому закону.

Предположим теперь, что уширение импульса происходит под влиянием как межмодовой, так и материальной

дисперсии, что оба механизма независимы друг от друга и что каждый из них приводит к появлению гауссова им-

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 41: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

41

пульса длительностью 1, и 2, соответственно измеренной на уровне 0,5. Тогда в результате их совместного влияния

образуется импульс, который будет оставаться приближенно гауссовым по форме, а его длительность на уровне 0,5

будет определяться выражением

= ( 12 + 2

2)

1/2 (2.72)

Если передаваемый импульс не бесконечно короткий, а также приблизительно гауссовый с длительностью

на уровне 0,5, равной 0, приведенные рассуждения можно распространить и на него, как это и показано на рис.

2.15, б, и считать, что длительность принятого импульса на уровне 0,5 будет равна

= ( 01 + 1

2 + 2

2)

1/2 (2.73)

где 0 — первоначальная длительность импульса; 1— уширение импульса, обусловленное влиянием только

одной межмодовой дисперсии (для любого волокна его величина должна быть значительно меньше общей дли-

тельности импульса , приведенной в § 2.1, приблизительно в 2 раза); 2— уширение импульса за счет влия-

ния одной материальной дисперсии, определяемое формулами (2.55) и (2.61).

В § 2.1 было показано, что ступенчатое волокно увеличивает общую длительность импульса в соответствии

с /l = 34 нс/км, что обусловлено межмодовой временной дисперсией. Это может быть эквивалентно прибли-

зительно 15 нс/км на уровне половинной мощности. В градиентных волокнах эта цифра может быть уменьшена

до 0,5 нс/км. В § 2.2.3 были приведены значения материальной дисперсии в волокнах из кварца, которую мож-

но ожидать при использовании светодиодов и полупроводниковых лазеров, работающих на различных длинах

волн.

В табл. 2.1 показано, как можно объединить полученные результаты. Воспользовавшись выражением (2.3.2),

можно написать

= (( 02/l

2) + ( 1/l)

2 + ( 2/l)

2)

1/2l (2.74)

Здесь, как и ранее, 0 обозначает ширину передаваемого импульса на уровне половинной мощности, а вели-

чины ( 1/l) и ( 2/l) учитывают влияние межмодовой и материальной дисперсий соответственно.В табл. 2.1 при-

няты следующие значения величин: 0 = 0, = 0,9 мкм, = 30 нм для светодиода и = 3 нм для лазера. На

более длинных волнах использованы = 0,04 и = 0,004.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 42: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

42

Рис. 2.10. Совместное влияние дисперсионных эффектов:

а — гауссов импульс Ф(t) = Ф0exp - (t-t0)2

/ 22

, имеющий ширину

на полувысоте = 2,365 ;

б — реальные импульсы, принимающие нулевые значения за конеч-

ное время. Эффекты, на практике вызывающие уширение импульса,

рассматривают независимо, при этом результирующая ширина импуль-

са равна ( 0 + 1 + 2)1/2

Как видно из таблицы, межмодовая дисперсия преобладает во всех случаях при использовании ступенчатого

волокна. В случае градиентного волокна типичное значение межмодовой дисперсии составляет 0,5 нс/км, и при

лазерном источнике будет преобладать материальная дисперсия. Если же применяются светодиоды, то преоб-

ладает также материальная дисперсия за исключением длин волн в окрестности 1,3 мкм.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 43: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

43

Таблица 2.1. Совместное влияние межмодовой и материальной дисперсий в ступенчатых и градиентных

кварцевых оптических волокнах на различных длинах волн

Длина

волны,

мкм

Источник

излучения

Материальная

дисперсия

( 2/l),нс/км

Общая дисперсия

ступенчатого во-

локна ( /l),нс/км

[межмодовая дис-

персия 1/l=1,5

нс/км

Общая дисперсия

градиентного во-

локна ( /l),нс/км

межмодовая дис-

персия 1/l=0,5

нс/км]

0,9 СД 2,1 15 2,2

1,3

Лазер 0,2 15 0,5

СД 0,1 15 0,5

1,5

Лазер 0,01 15 0,5

СД 1,2 15 1,3

Лазер 0,1 15 0,5

Таким образом, становится очевидным, что для достижения всех выгод, обеспечиваемых малой материаль-

ной дисперсией в окрестности 1,3 мкм, будет необходимо уменьшить межмодовую дисперсию до значений,

меньших 0,5 нс/км. Это может быть достигнуто двумя путями. Первый состоит в уменьшении диаметра сердце-

вины до тех пор, пока не будет достигнут одномодовый режим работы. В данном случае необходимо использо-

вать лазерные источники излучения и при этом полностью исключается межмодовая дисперсия. Можно поду-

мать, что теперь возможна только одна траектория луча, однако в таких условиях лучевая модель становится

совершенно неприемлемой. При этом общая дисперсия действительно может стать очень малой и, возможно, ее

значение составит только 10 пс/км. Одномодовыесветоводы рассматриваются в гл.5. Второй путь состоит в

очень тщательном профилировании показателя преломления в градиентных волокнах. Достижимые при этом

теоретические значения общей дисперсии обсуждаются в гл. 6. На практике лучшие градиентные волокна име-

ют межмодовую дисперсию 0,2 ... 0,3 нс/км, обеспечивая полосу пропускания порядка 1 ГГц км.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 44: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

44

Глава 3.

ПОТЕРИ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ

3.1. МЕХАНИЗМ ПОТЕРЬ. Общие сведения

Материал, пригодный для изготовления оптического волокна, должен иметь высокую прозрачность для

электромагнитного излучения в области 1 мкм. Поэтому ниже будут рассмотрены некоторые физические эф-

фекты, которые вызывают потери света в диапазоне длин волн 0,5 ... 2,0 мкм.

В своем первоначальном предложении в 1966 г. Као и Хокэм полагали, что для практического использова-

ния оптических волокон в линиях связи на большие расстояния необходимо, чтобы общие потери в волокне

были порядка 20 дБ/км. К 1980 г. достигнуты рекордно низкие потери порядка 0,2 дБ/км, полученные в лабора-

торных условиях на волокне без сростков. Это достижение стало возможным благодаря пониманию основных

причин, вызывающих потери света в волокне, и их устранению, а также высококачественному контролю ис-

ходных материалов, используемых для изготовления оптических волокон.

В основном, потери света в волокне обусловлены двумя причинами:

1. поглощением, которое определяется свойствами материала и рабочей длиной волны. Оно имеет место при

возбуждении в материале электронных переходов и резонансов с последующими неизлучательными релакса-

ционными процессами, которые были описаны в ранее. В результате того увеличивается тепловая энергия, на-

капливаемая в материале;

2. рассеянием, которое частично может обусловливаться свойствами материала, но в основном определяется

нарушениями геометрической формы оптического волокна. Оно происходит тогда, когда мода распространения

света изменяется таким образом, что часть оптической энергии покидает волокно. При этом не наблюдается

никаких преобразований энергии излучения в другие виды энергии.

В настоящее время почти все оптические волокна изготавливают из высококачественных кварцевых стекол,

легированных различными окислами, например бора, титана, германия или пятиокисью фосфора. На этих мате-

риалах и будет сосредоточено внимание при рассмотрении основных причин поглощения и рассеяния света в

волокне. Необходимо, однако, отметить, что было предложено много других материалов для изготовления оп-

тических волокон и целый ряд из них прошел экспериментальную проверку. Например, до того, как было уста-

новлено, что оптические волокна можно делать из многокомпонентных стекол, успешно изготавливались во-

локна, имеющие жидкую сердцевину, окруженную стеклянной оболочкой (в качестве жидкости использовался

тетрахлорэтилен, разумеется, не содержащий пузырьков воздуха). Ряд исследователей экспериментировал с во-

локнами из натриевых и кальциевых силикатных стекол, имеющих очень низкие точки плавления (около 1100°

С) и очень легко обрабатываемых. Другие использовали свинцовые силикатные стекла, которые обеспечивали

получение больших значений разности показателей преломления. Некоторые теоретические предположения за-

ставляли использовать стекла на основе сульфидов, селенидов и оксидов и даже монокристаллических мате-

риалов для оптических волокон, работающих на более длинных волнах. Однако маловероятно, что когда-либо

монокристаллы будут обладать механическими свойствами, необходимыми для практических оптических во-

локон, а все другие материалы далеки от практического использования в световодах. Группа прозрачных мате-

риалов, которая представляет интерес — это полимеры.

Потери в волокне зависят не только от качества материала сердцевины. Значительную роль играет также и

материал оболочки. При полном внутреннем отражении электромагнитные волны проникают через раздел

сердцевина — оболочка и распространяются в оболочке. Таким образом, небольшая доля всей оптической

мощности распространяется в оболочке. И если оболочка имеет плохое качество или большое поглощение, то

она будет вносить заметный вклад в общие потери в волокне. Поэтому при изготовлении оптических волокон с

минимальными потерями для оболочки используют такие же высококачественные и тщательно очищенные ма-

териалы, как и для сердцевины. При этом необходимо обеспечить, чтобы рассеянный оболочкой свет не рас-

пространялся в волокне и не доходил до фотодетектора, поскольку это может увеличить разницу в скоростях

распространения различных мод и тем самым увеличить дисперсию волокна. Избежать этого можно двумя спо-

собами: сделать наружные слои оболочки поглощающими, чтобы рассеянные лучи ими ослаблялись, а распро-

страняющийся в сердцевине свет не испытывал никакого влияния со стороны оболочки; окружить саму обо-

лочку защитным слоем полимера с более высоким показателем преломления, в котором рассеянные лучи света

будут поглощаться в процессе распространения.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 45: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

45

3.2. Поглощение

Как было уже показано ранее, ответственные за дисперсионные свойства диэлектрического материала элек-

тронные и атомные резонансы вызывают также поглощение в окрестности резонансных частот. Для интере-

сующих материалов это резонансы в ультрафиолетовой области спектра, связанные с электронными структу-

рами атомов кристаллической решетки, и резонансы в инфракрасной области, обусловленные колебаниями са-

мих атомов в решетке. Хотя эти резонансы и лежат весьма далеко от тех оптических частот, которые ис-

пользуются, однако они вызывают столь сильное поглощение, что хвосты их полос поглощения захватывают

эту область при очень малом уровне потерь. На рис. 3.1 приведена оценка потерь, создаваемых краями полос

поглощения в кварцевом волокне, легированном германием.

Окно между краями ультрафиолетовой и инфракрасной полос поглощения должно составлять 1,5 мкм, од-

нако оно уменьшается до 0,3 мкм, поскольку над ультрафиолетовым поглощением начинает преобладать дру-

гой фундаментальный механизм потерь, а именно —рэлеевское рассеяние, которое будет рассмотрено в сле-

дующем параграфе.

Рис. 3.1. Фундаментальные

потери в стеклах с высоким

содержанием кварца

Влияние края инфракрасной полосы поглощения становится значительным на длинах волн свыше 1,5 мкм.

Создаваемые им потери обусловлены наличием характерных периодов колебаний в межатомных связях оки-

слов, соответствующих следующим фундаментальным частотам: Si = О 9,0 мкм, Ge О 11,0 мкм, Р О 8,0 мкм.

В О 7,3 мкм. С этой точки зрения германий должен быть самой благоприятной примесью из-за более длинной

длины волны, соответствующей периоду колебаний связи Ge О. Это подтверждается результатами измерений,

пред-ставленными на рис. 3.2. Приведенные на нем кривые показывают, что край инфракрасной полосы по-

глощения действительно сдвигается в сторону более коротких волн при использовании в качестве легирующих

примесей P2O5 и В2О3. Хотя этот сдвиг оказывает малое влияние на уровень потерь на длине волны 0,85 мкм,

однако, он исключает использование этих примесей при разработке оптических волокон, предназначенных для

работы на более длинных волнах. Здесь можно также отметить, что коэффициент поглощения на резонансной

длине волны для Si О равен 10 дБ/мкм!

Рис. 3.2. Влияние легиру-

ющих примесей на край

инфракрасной полосы

поглощения и потери,

обусловленные рэлеев-

ским рассеянием. (Пики

поглощения в области

1,4 и 1,25 мкм обуслов-

лены остаточными пара-

ми воды.)

Край полосы поглощения играет важную роль в материалах, используемых для изготовления оптических

волокон. Однако эти материалы могут также содержать атомы и молекулы примесей, которые способны вы-

звать поглощение на интересующих нас длинах волн. На практике установлено, что самыми вредными приме-

сями являются пары воды и переходные металлы первой группы (ванадий, хром, магний, железо, кобальт и ни-

кель). В стекле металлы присутствуют в виде ионов, которые благодаря своей электронной структуре вызывают

широкополосное поглощение на длинах волн, значения которых могут зависеть от степени окисления иона.

Чтобы на длинах волн в области 1 мкм увеличение поглощения, обусловленное наличием указанных выше

примесей, не превышало 1 дБ/км, концентрация примесей по самым скромным оценкам должна быть ниже 109.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 46: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

46

Поглощение, вызываемое наличием паров воды, обусловлено основным периодом колебаний межатомной

связи О Н. Фундаментальная частота колебаний f0 соответствует 2,73 мкм, однако она вызывает появление

гармоник и комбинационных частот с изгибным резонансом связи Si О на длине волны 12,5 мкм (частота fs). В

табл. 3.1 приведены некоторые из этих полос поглощения. Большинство из них можно видеть на кривых по-

глощения, приведенных на рис. 3.22, 3.3 и 3.5. Имеет место значительная негармоничность, которая означает,

что гармоники не точно кратны фундаментальной частоте. Пики поглощения могут быть довольно широкими и

слегка асимметричными относительно длины волны, дающей относительно большие величины поглощения на

более коротких волнах.

Рис. 3.3. Характеристики

волокна с предельно низ-

кими потерями. [Данные

взяты из статьи Т. Miyaet-

al.Ets. Lett.15, 106— 108

(Feb. 1979).]

Кривые характеризуют

экспериментально измерен-

ные потери в одномодовом

кварцевом волокне длиной

2,2 км, легированном герма-

нием и имеющим = 0.0019.

Они определяют также

вклад различных источников

потерь

Имеются также экспериментальные данные, которые указывают на то, что в боросиликатных стеклах эти

пики поглощения шире, чем в других. Если присутствует примесь P2O5, то полосы поглощения усложняются за

счет появления резонанса Р ОН на длине волны 3,05 мкм, являющейся первой гармоникой между 1,5 и 1,6 мкм.

Концентрацию водяных паров от 1 106 до 1 10

7 можно считать достаточно малой и, следовательно, пре-

небречь ее влиянием для оптических волокон, предназначенных для диапазона длин волн 0,8 ... 0,9 мкм. Однако

для волокон, разрабатываемых для окон в окрестности 1,2; 1,3 или 1,6 мкм, необходимо уменьшить концентра-

цию этой примеси до 1 108 и менее. Достичь этого чрезвычайно трудно. На рис. 3.3. воспроизведена экспери-

ментальная кривая полного поглощения для одного из самых малопоглощающих волокон, производимых до

1980 г. На нем также показан вклад в потери, вносимый различными процессами поглощения и рассеяния.

Только когда примесное поглощение уменьшено до приведенных здесь уровней, только тогда другие источни-

ки потерь могут быть идентифицированы с достаточной степенью достоверности.

Таблица 3.1. Полосы поглощения гидроксила ОН

Резонансная длина вол-

ны, мкм

1,39 1,24 1,13 0,95 0,88 0,72

Частоты 2f0 2f0+fs 2 f0+2fs З f0 3 f0+fs 4 f0

Поглощение, обуслов-

ленное присутствием

ОН- с концентрацией 10-

6, Дб/км

65,0 2,30 0,10 1,00 0,10 0,05

3.3. Рассеяние

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 47: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

47

По своей природе стекло является неупорядоченной структурой, в которой имеются микроскопические от-

клонения от средней плотности материала, а также локальные микроскопические изменения в составе. Каждое

из указанных изменений приводит к флуктуациям показателя преломления, величина которых мала по сравне-

нию с длиной волны оптического диапазона. Сказанное справедливо для любого стеклообразного материала,

однако и при качественном изготовлении в нем наблюдается рассеяние света, известное как рэлеевское, приво-

дящее к потерям света в волокне. В самом деле, если видимый лазерный свет ввести в свернутое в спираль

длинное волокно, без защитной оболочки, то из-за рассеяния света эта спираль будет хорошо видна в темной

комнате, причем интенсивность свечения будет уменьшаться с увеличением длины волокна.

Потери, обусловленные рэлеевским рассеянием, могут быть минимизированы путем возможно более тща-

тельного контроля процесса охлаждения расплава, из которого затем будет вытягиваться волокно. Вероятно,

эти потери будут больше в многокомпонентных стеклах из-за изменений в их составе. Характерная особен-

ность данного явления состоит в том, что рассеиваемая мощность, а, следовательно, и потери обратно пропор-

циональны длине волны в четвертой степени. Из рис. 3.1 видно, что именно рэлеевское рассеяние, а не край по-

лосы ультрафиолетового поглощения является основной причиной потерь в кварцевых оптических волокнах на

длинах волн короче 1,5 мкм. Типичное значение потерь, обусловленных этим механизмом потерь, составляет 1

дБ/км на длине волны 1 мкм для стекол с высоким содержанием кварца, причем легирование германием и бо-

ром несколько увеличивает это значение, а легирование пятиокисью фосфора — немного уменьшает. Этот эф-

фект хорошо виден на рис. 3.2. Для натриевых боросиликатных стекол типичное значение этих потерь лежит в

области 2 дБ/км для длины волны 1 мкм.

До настоящего момента предполагалось, что волокно имеет правильную геометрическую форму и вытянуто

в прямую линию. Разумеется, на практике это не имеет места и встречающиеся изгибы и дефекты волокна при-

водят к тому, что распространяющиеся в сердцевине лучи рассеиваются и выходят за пределы раздела сердце-

вина — оболочка. Основные нарушения геометрии этой поверхности (выступы, построение включения) и

большие дефекты в сердцевине волокна (пузыри, примеси) приводят к значительным локальным потерям. Та-

кие дефекты легко обнаруживаются в виде локально ярких областей на экспериментальной установке, которая

демонстрирует рэлеевское рассеяние. Это дает возможность просто идентифицировать дефектные участки во-

локна, чтобы удалить их.

Аналогичным образом резкие изгибы волокна приводят к тому, что часть света не будет отражаться от обо-

лочки, а будет в ней распространяться и таким образом теряться. Теоретически рассеиваемая при этом мощ-

ность экспоненциально зависит от радиуса изгибаR. Таким образом, потери на изгиб будут пропорциональ-

ны exp(—R/Rc), где критический радиус изгиба Rc a/(NA)2 = а/2 п п, а а — радиус сердцевины. Потери, обу-

словленные наличием изгибов радиуса Rc, были бы весьма значительными, из-за экспоненциального вида

функции эти потери быстро уменьшаются при увеличении радиуса изгиба.

На практике, однако, минимально допустимый радиус изгиба определяется, исходя из механических свойств

волокна, а не потерь на изгиб. Если волокно изогнуто столь сильно, что поверхностные напряжения превысят

0,2 %, то весьма вероятно, что в процессе эксплуатации в нем возникнут значительные трещины. Чтобы пре-

дотвратить это, оптическое волокно помещают в достаточно жесткий кабель. Рассмотрим волокно с радиусом

сердцевины а= 30 мкм, диаметром оболочки 2b= 125 мкм, которое имеет следующие параметры: п = 1,5; n =

0,01 и NA = 0,17. Пусть это волокно намотано на барабан радиусом (R —b) так, что нейтральная ось волокна

изогнута по окружности радиусаR, как это и показано на рис. 3.4. Тогда напряжение сжатия внутренней по-

верхности волокна и напряжение растяжения его наружной поверхности будут определяться величиной b/R.

Чтобы эти напряжения не превысили 0,2%, радиусR должен быть больше b/0,002 = 500b. В данном примере это

требование выполняется приR> 31 мм. С другой стороны, критический радиус изгиба для рассматриваемого во-

локна будет равен Rc= а/(2п п)= а/0,03 = 2 мм. Отсюда очевидно, что приемлемый с механической точки зре-

ния радиус изгиба вызывает пренебрежимо малые потери на изгиб.

Рис. 3.4. Поверхностные напряжения,

возникающие из-за изгиба волокна. На-

пряжение на наружной поверхности (рас-

тяжение)равно напряжению на внутренней

поверхности (сжатие).

( R + b) R R = b/R

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 48: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

48

Хотя потери, создаваемые большими радиусами изгиба, оказываются незначительными, однако наличие не-

прерывной последовательности и очень малых изгибов может вызвать весьма значительное увеличение потерь

в волокне. Этот эффект, известный как потери на микроизгибы, проявляется особенно заметно при наматыва-

нии с натяжением на барабан волокна без оболочки. Микроизгибы возникают из-за деформаций, возникающих

в волокне при наматывании на барабан с дефектами поверхности. Аналогичный эффект легко наблюдается в

результате давления, оказываемого на волокно соседними волокнами внутри кабеля. Легко возникающие в

процессе изготовления волокна малые по величине непрерывные и плавные изменения диаметра сердцевины

также могут приводить к аналогичному механизму рассеяния, вызывая так называемые волноводные потери.

Рис. 3.5. Оценка оста-

точных потерь рассея-

ния (Эти потери прак-

тически не зависят от

длины волны и со-

ставляют 0,4 дБ/км.)

Потери на изгибы и микроизгибы, а также волноводные потери были предметом серьезного теоретического

анализа. Этот анализ слишком сложен и громоздок для того, чтобы привести его здесь, однако он будет рас-

смотрен в гл. 5. Достаточно сказать, что при хорошем контроле процессов изготовления волокна и хорошей

конструкции кабеля, обеспечивающей защиту волокна, смягчая внешние механические воздействия и предот-

вращая резкие изгибы, эти потери можно сделать менее 1 дБ/км. Они, в основном, не зависят от длины волны и

для волокон с очень малыми потерями могут быть оценены по зависимости затухания в волокне от -4

(рис.

3.5).

Отметим, что, если сжатие короткого отрезка волокна на нерегулярной поверхности достаточно для

получения существенного увеличения света, локально рассеиваемого вне волокна, то его можно собрать и

продетектировать, реализовав таким образом простой способ подключения для подслушивания.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 49: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

49

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА

В МНОГОМОДОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ

ВОЛОКНАХ.

Многомодовые оптические волокна, диаметр которых составляет несколько десятков микрометров, а разни-

ца показателей преломления — порядка 10-2

, отвечают условиям, необходимым для использования геометриче-

ской оптики (гл. 2). Поэтому при изучении явления распространения света оказывается возможным локально

заменить волновую поверхность ее касательной плоскостью и рассматривать траектории, ортогональные волно-

вым поверхностям, т. е. световые лучи.

Мы будем исследовать уравнение лучей

)()( rngraddl

drn

dl

d

в определенной среде, которой является оптическое волокно, и будем также привлекать уравнение

gradSdl

drn

,

которое означает, что вектор, касательный по отношению к световому лучу, коллинеарен градиенту эйконала

S(г). Напомним, что равенство S (г) = const есть уравнение поверхности определенной волны.

В дальнейшем мы будем пренебрегать потерями, обусловленными поглощением в материале, которые,

строго говоря, следовало бы учитывать (гл. 3); пока нас занимают только явления, связанные с механизмом

распространения света в волокне.

Мы покажем, что поведение луча зависит от двух параметров β и v, роль которых будет пояснена анализом

мод. Во многих случаях геометрическая интерпретация, связанная с параметрами β и v, упрощает исследование

траекторий лучей и граничных условий.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 50: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

50

4.1. Обозначения

Мы будем рассматривать цилиндрические волокна с круговой симметрией относительно оси Оz. Показатель

преломления зависит только от расстояния до оси. Он максимален на оси [n(0)=n1], а в оболочке, т. е. при

ar (где «а» — радиус сердцевины волокна), принимает постоянное значение n2. Если особо не оговаривает-

ся, то будем считать, что n2 = n(а). Исходя из геометрии волокна, мы выбираем цилиндрическую систему коор-

динат r, ψ, z. Радиус-вектор r есть сумма осевой составляющей zuz, где uz — единичный вектор по оси Оz, и по-

перечной составляющей ρ, которую мы можем записать в виде rur, обозначив через u, единичный вектор ради-

ального направления. Единичным вектором uΨ полярного угла ψ завершается ортонормальный трехгранник ur,

uΨ, uz:

zrz zrz uuuρr (4.1)

Поскольку показатель преломления п(r) зависит только от радиального расстояния r, вектор grad(n) имеет

ненулевую составляющую только на uг. В проекции на трехгранник ur, uΨ, uz получаем три скалярных диффе-

ренциальных уравнения, два из которых решаются весьма просто;

на uz

0kdl

dz)r(n (4.2)

на uΨ

0

2

k

v

dl

dr)r(n (4.3)

где через k0 обозначена величина 2π/λ0 . Мы выбрали постоянные интегрирования в виде ß/k0 и v/k0 , поскольку

так проще получить произведение k0n(r), которое представляет собой модуль волнового вектора, возникающего

в текущей точке М. Константы β и v определяются начальными условиями падения рассматриваемого луча.

Если обозначить через θ угол, образуемый вектором, касательным лучу, с осью Оz , то уравнение (4.2) при-

мет вид:

constrnrn 00 cos)(cos)( (4.4)

При заданном угле Θ0 вне волокна угол θ0 может также зависеть от r0 , т. е. от расстояния от оси до точки

падения на входную плоскость. Равенство (4.4) попросту выражает первый закон преломления, а равенство

(4.3)—второй закон: преломленный луч остается в той же плоскости, что и падающий. На основании решения

(4.2) можно параметризовать луч в переменной z, и тогда в проекции на плоскость прямого сечения получим:

)r(ngradk

dz

d 2

2

20

2

2

2 (4.5)

Полученное уравнение (4.5) в механике описывает движение частицы в поле центральных сил. Равенство

(4.3) после перехода к переменной z принимает вид

v

dz

dr

2

Мы узнаем здесь закон площадей. Такая аналогия позволяет давать механическое тол-

кование получаемых результатов.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 51: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

51

Рис. 4.1. Обозначения, используемые в тексте.

Волновой вектор k, модуль которого равен k0n(r), коллинеарен вектору Т = dr/dl, т. е. единичному вектору,

касательному к лучу. Используя (4.2) и (4.3), его можно записать следующим образом (рис. 4.1):

k = k0n(r)T = f (r)ur+ (v/r) uΨ + βuz (4.6)

причем мы ввели обозначение

f2(r)=k0n(r) – β

2 – (v

2/ r

2) (4.7)

В дальнейшем мы всюду опускаем индекс «0», которым отмечаются значения величин k и λ в вакууме.

Распространение луча характеризуется главным образом функцией f(r). Это означает, что, зная n (r), с одной

стороны, и β иv— с другой, можно вычислить k в любой точке волокна и, в частности, на его границах. Из (4.7)

следует также, что величина f2(r) может быть равной нулю и отрицательной. Второе означает, что соответст-

вующий луч становится комплексным, т. е. мы имеем затухающую волну.

Используя по-прежнему (2.20), находим проекцию вектора k на направление ur: величина f(r) пропорцио-

нальна производной dr/dl. С учетом формулы (8.2) окончательно получаем

dz

dr)r(f

(4.8)

Для удобства выразим параметры β и v через геометрические величины, которые позволят нам следить за

распространением луча и описывать явления, связанные с распространением света. Обозначив через φ угол ме-

жду проекцией вектора k на плоскость прямого сечения и ur (рис. 4.1), получаем

β = kn(r)cos θ,

v = kn(r) sin θ r sin φ , (4.9)

f(r) = kn(r) sin θ cosφ .

Заметим , что замена θ → —θке меняет величины β, а замена v→ — v приводит к точке, симметричной от-

носительно плоскости ur, uz. Мы ограничимся случаями θ≥0 , v≥0 , учитывая, что имеются четыре луча, которые

ведут себя одинаково, если не считать изменения направления и различий в пределах симметрии.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 52: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

52

4.2. Начальные условия

Ими определяются значения различных переменных на входном торце волокна. Предположим, что показа-

тель преломления среды, в которой распространяется падающая волна, равен единице. Плоскую падающую

волну будем характеризовать вектором ее нормали N, указывающим направление лучей. Рассмотрим луч, па-

дающий в точку I, расположенную на расстоянии r0 от оси (рис. 4.2). Обозначим через Θ в угол между векто-

рами , внешний по отношению к волокну. Плоскость падения в точке I проходит через векторы, эквивалентные

векторам uz и N. Угол преломления луча в точке I следующим образом выражается через локальный показатель

преломления n(rQ)

00 sin)(sin rn (4.10)

Тогда константы β и v, соответствующие лучу, падающему в точке I, принимают вид

2

0

2 sin)(rnk (4.11)

v = k sin θ r0 sin φ0 (4.12)

Выражения (4.11) и (4.12) позволяют сделать следующие выводы (рис. 4.2).

1. В волокне со скачкообразным изменением показателя преломления n(r0) = n1плоскоя волна создает во

всех точках входного торца лучи с одной и той же постоянной распространения β, определяемой формулой

(4.11). Семейство прямых, касательных к одной и той же окружности радиусом r1 дает совокупность точек с

одним и тем же параметром v, определяемым формулой

v = kr1sinΘ (4.13)

где r1 = r0 sin φ0 . При заданном угле θв можно из любой точки, удовлетворяющей условию r1>r0, провести

две такие прямые, которые представляют собой следы плоскостей падения на входном торце. Следовательно,

одной точке па входе волокна соответствуют четыре луча с заданными параметрами р и v.

Рис. 4.2. Начальные условия.

Все точки прямой

Dудовлетворяют уравне-

нию rsinφ =const. Следова-

тельно, при заданном зна-

чении внешнего угла θ

всем точкам этой прямой

соответствует один и тог

же параметр v, a точки,

соответствующие одной и

той же постоянной рас-

пространения β, лежат на

окружности г - г0.

2. В волокне с градиентом показателя преломления точки, в которых одинаковый показатель преломления,

лежат в одной окружности. Следовательно, плоская волна создает в волокне такого типа лучи с разными

постоянными распространения β, соответствующими окружностям r = r0, и интерпретаций

параметра v остается неизменной.

Мы еще вернемся к начальным условиям, когда речь пойдет об условиях на границах волокна, которым луч

должен удовлетворять при распространении в волокне. Из всех вводимых в волокно лучей только небольшое

их число будет удовлетворять условию распространения, поскольку большая часть лучей будет преломляться

при первом падении на границе r = а.

4.3. Условия на границе двух сред.

Согласно тому что, волна, введенная в сердцевину волокна, будет удерживаться в ней за счет полного внут-

реннего отражения при некоторых условиях падения и определенной разности показателя преломления :

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 53: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

53

а) существует «предельный» угол паденияθС на границе поверхностей сердцевина — оболочка;

б) имеется поток лучистой энергии вдоль оси Oz и поток

реактивной энергии в радиальном направлении, причем амплитуда поля убывает по экспоненте.

Когда показатель преломления меняется непрерывно, полное внутреннее отражение приводит к явлению

«миража»: световой луч искривляется в направлении увеличения показателя преломления с плавным изменени-

ем угла распространения. Однако волновые процессы, связанные с полным внутренним отражением, не меня-

ются: появляется затухающая волна. Если она проходит сквозь диоптр, за которым снова становится активной,

то некоторая часть энергии, первоначально распространяющейся в сердцевине, может передаваться в эту новую

среду. Это будет наблюдаться в случае лучей утечки. Мы можем проследить за движением луча, рассматривая

его радиальную компоненту f(r), поскольку β и v — действительные величины:

1) если радиальная составляющая f(r) — величина действительная (f2(r)≥0), то луч тоже действителен;

2) если же величина f2(r) отрицательна, то радиальная составляющая становится мнимой величиной и со-

ответствующий луч будет комплексным (затухающая волна).

Значения r, при которых f2(r) обращается в нуль, представляют собой критические точки, в которых наблю-

дается явление полного внутреннего отражения. Если величина f2(r) остается положительной между двумя зна-

чениями r1 и r2 , то это значит, что луч колеблется между двумя цилиндрами, удовлетворяющими уравнениям к

= r1 и к = r2 . Здесь можно видеть аналогию с собственными колебаниями в объемном резонаторе и явлением

стоячей волны: мы снова сталкиваемся с принципом квантования, который приводит к появлению мод.

Таким образом, нам нужно подробнее исследовать соотношение (8.7), которое описывает зависимость f2(r)

от r и позволяет найти области, где луч, соответствующий константам β и v, заданным начальными условиями,

оказывается действительным.

Если единственной областью, где луч действителен, является сердцевина, то луч считается распространяю-

щимся в волокне. Если же луч оказывается действительным в некоторой части оболочки, то он распространяет-

ся с потерями (с утечкой). И наконец, в том случае, когда луч действителен во всем объеме оболочки, мы имеем

дело с преломлением лучей (а не распространением). Одно простое замечание поможет понять данное явление.

Величина f2(r) равна разности двух функций, каждая из которых зависит только от одного параметра: fβ(r) = k

2n

2

- β2 и fv(r) = v

2/r

2. Когда постоянная β меняет значение, кривые fβ(r) смещаются по вертикали (рис. 4.2), а в обо-

лочке функция fβ(r) сохраняет постоянное значение, равное fβ(а) = k2n

22-β

2 .

Функция fv(r) — монотонно убывающая и положительная (рис. 4.3). Относительное положение обеих функ-

ций при r = а дает следующие характеристики явления в оболочке:

1) если fβ(a)≤0, то fβ(r)<fv(r) , какой бы не была величина r≥а, это случай распространения лучей, нет лучей

потерь (утечки);

Рис. 4.3. Характер изменения функций fβ(r) и fv(r) для волокна со скачкообразным изменением показателя

преломления (слева) и градиентного волокна (справа). В заштрихованной области разность fβ - fv положитель-

на, и луч, который в ней распространяется, действительный.

2) если fβ(a)>0, то следует различать два случая:

а) если fv(a) < fβ(a), то такая ситуация сохраняется при r ≥ a , т.е. луч преломляется;

б) если fv(a) > fβ(a), то существует такое значение r = r3 , что fβ>fv, при r ≥ r3

Таким образом, характерным параметром является постоянная распространения β. Согласно формуле (8.9),

величина β меньше произведения kn1 (постоянной распространения плоской волны в среде с показателем пре-

ломления n1). Для обеспечения режима распространения должно выполняться также условие fβ(a) ≤ 0, так что

постоянная распространения β должна лежать в пределах

βс= kn2 ≤ β ≤ kn1 (4.14)

Зона, в которой луч действителен, ограничивается цилиндрическими поверхностями r = r1 и r = r2 (заштри-

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 54: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

54

хована на рис. 4.4). Если β меньше величины kn2 , называемой критической, то величина fβ(а) будет положи-

тельной: в зависимости от параметра v величина fv(a) будет либо меньше fβ(а) и соответствующий луч прело-

мится при первом падении на границу r = a, либо больше fβ(а), и тогда существует такое значение r3, что луч

снова становится действительным при r >r3. В слое r2 ≤ r ≤ r3 луч будет комплексным (рис. 4.4).

С энергетической точки зрения здесь можно видеть аналогию с туннельным эффектом: энергия из сердце-

вины может проникать в оболочку сквозь зону r2<r<r3. Такие лучи называются лучами утечки, поскольку при

распространении они постоянно создают потери энергии. На очень больших расстояниях вся энергия, имею-

щаяся в световоде, переносится лучами распространения, но на малых расстояниях, непревышающих несколь-

ких сотен метров, может быть существенной энергия, которую несут лучи утечки. На практике расстояние, на

котором существенна роль лучей утечки, уменьшается из-за дефектов границы раздела и оптической оболочки

(и из-за того, что ее толщина не бесконечна).

Рассмотрим отдельно волокна со скачком показателя преломления и градиентные волокна.

Рис. 4.4. Случай θ >θс , или β < βС.

4.4. Оптические волокна со скачкообразным изменением показателя преломления.

На основании формулы (4.14) можно найти максимальное значение углаθС из соотношения, за пределами

которого постоянная распространения β меньше критического значения βс = kn2 и распространение света в све-

товоде становится невозможным,

βc = kn2cosθc = kn2 (4.15)

Этому углу соответствует угол падения, внешний по отношению к волокну Θс , определяемый равенством

(4.10)

22

211 nnsinnsin cc (4.16)

Величина sinΘc, называется числовой, апертурой волокна. В случае оптического волокна со скачкообразным

изменением показателя преломления числовой апертурой определяется максимальный угол ввода в волокно

луча, распространяющегося без потерь. Ее часто обозначают буквами ЧА.

При значении β, удовлетворяющем условию (4.14), т. е. для распространяющегося луча, максимальное зна-

чение, которое может принять величина v при г=а, таково (рис. 4.5):

vm = kn1asinθ = kasinθ (4.17)

Минимальное (по абсолютной величине) значение — это v = 0, что соответствует меридиональным лучам.

При заданном значении v расстояние до оси луча проходит через минимум r1 при φ = π/2, причем в точке r=r1 ,

производная dr/dz меняет знак (экстремум величины r). Таким образом, на поверхности r=r1 происходит как бы

полное внутреннее отражение, и эта.поверхность общая для всех лучей с одинаковыми параметрами β b v.

Можно говорить о каустике пучка или конгруэнтности лучей.

Если постоянная распространения β меньше cc (случай θ > θc на рис. 4.5), то меридиональные лучи переста-

Если β<βc, то функция fβ (r) при r=а положительна. Следовательно, можно

найти такие значения v, при которых соответствующий луч будет действи-

тельным при r1« r« r2« r1 и r>r3 (заштрихованные области).

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 55: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

55

ют распространятьея. Распространяются только лучи утечки, соответствующие значениям v, превышающим

,VM(рис. 8.10), а при 0 <v<vm лучи преломляются. В плоскости падения происходит разделение лучей по ок-

ружности радиусом rm , который определяется двумя равенствами

v2 = a

2 (k

2 n

22 – β

2 ) = rm

2 k

2 n

21 sin

2 θ

Отсюда находим

2

2

1sin

sinar c

m (4.18)

а) θ <θс

б) θ >θс

Рис. 4.5. Случай а) θ <θс (или б) θ >θс) для волокна со скачкообразным изменением показателя преломления.

При θ < θc всем значениям v, удовлетворяющим неравенству 0 ≤│v│≤vm, соответствует действительный луч.

При θ > θc значениям v, удовлетворяющим неравенству 0 ≤│v│≤vm соответствует преломленный луч, а значе-

ниям v в интервале vm ≤│v│≤vm – луч потерь.

Мы можем ввести луч утечки в некоторой точке входного торца только в том случае, если произ-

ведение r0sinφ0 больше rm (при заданном θ). При заданном θ этим условием ограничивается полезный

конус ввода лучей, поскольку угол должен превышать значение (рис. 4.6)

)r

rarcsin( m

m0

(4.19)

Рис. 4.11. Зависимость угла

наклона луча φ в плоскости

падения от угла θ. При θ>θМ ,где θМ — угол, опре-

деляющийся выражением все

лучи будут преломленными.

220

0

1 a/r

)r(sinsin a

M

При Θa< Θ < ΘM и φ> φ М будем

иметь луч потерь (двойная

штриховка). Простая штриховка

— лучи распространения.

4.5. Волокна с градиентом показателя преломления

Мы знаем, что при одном и том же угле наклона θ лучей на входе волокна постоянная распростра-

нения β будет зависеть от расстояния от точки падения до оси r0 [формулы (4.9), (4.11), (4.12)]. Луч

будет распространяться в волокне, если величина fβ(r) отрицательна или равна нулю при r = а. С уче-

том формулы (8.11) мы можем представить это условие в виде

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 56: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

56

)r(n

)a(n)r(nsin

02

2

022 1 (4.20)

По аналогии со случаем волокон со скачкообразным изменением показателя преломления примем

)r(n

)a(n)r(cos a

00 (4.21)

Синус угла Θa будем называть локальной числовой апертурой волокна в точке с радиусом r0; эта

величина дается выражением

220

2000 n)r(n)r(sin)r(n)r(sin aa (4.22)

Такое определение вполне совместимо с определением (4.16), и любой луч, падающий в точку r=r0 и попа-

дающий внутрь апертурного конуса Θа(r0)> распространяется после ввода в волокно. Величина Θа(r0) называет-

ся углом ввода излучения в волокно в точке r=r0 , а числовой апертурой волокна при этом называется макси-

мальное значение локальной числовой апертуры, т. е.

caЧА sin)0(sin

Посмотрим теперь, что происходит при r=r0, когда угол Θ больше угла ввода излучения в волокно

Θa(r0). Тогда при r = a функцию fβ(r) можно записать в виде )sin(sink a222 , а чтобы луч , соот-

ветствующий значению v0параметра v, распространялся с утечкой, значение v0 должно быть больше

минимального критического значения vm, задаваемого равенством fβ(a) = fv(a),т. е. (рис. 4.7)

Сравним этот результат с формулой (4.18). Примем по аналогии

20

2

1sin

)r(sinar a

m (4.24)

что позволяет интерпретировать (4.23) геометрически. Если произведение r0sinφ0меньше rm, т. е. след

плоскости падения пересекает окружность радиусом rm, то соответствующий световой луч преломля-

ется (рис. 4.8, D1 — след плоскости падения), а в противном случае он становится лучом утечки. Угол

ввода φ0 должен быть больше угла φm=arcsin(rm/r0) ; таким образом, формула имеет тот же вид, что

и для волокон со скачкообразным изменением показателя преломления. Обобщим результаты, касающиеся светового луча, падающего в точку с r = r0

1. Если угол падения Θ меньше угла ввода излучения в волокно Θa(r0), то луч распространяется в волокне

при любом значении параметра v .

2. Если угол падения больше угла ввода излучения в волокно, то при значениях v, лежащих между 0 и vm,

лучи преломляются; при значениях, больших vm, они распространяются с потерями. Заметим, что этот послед-

ний случай будет невозможен, если кривая fv(r) не пересекает fβ(r) иначе, как в точке с r = а.

При заданном Θ параметр φ0 характеризует наклон плоскости падения относительно начального

радиус-вектора. Потребовать, чтобы параметр v был больше vm, равнозначно требованию r0sinφ0>rm.

Ясно, что при rm>r0 это условие не выполняется: при этом значении v не существует луча утечки,

исходящего из r = r0 .

Теперь мы сможем различать среди световых лучей, падающих на входной торец, лучи, распро-

страняющиеся без потерь, лучи, распространяющиеся с потерями, и преломляемые лучи, Таким обра-

зом, мы можем просто рассчитать полезную мощность, вводимую в оптическое волокно неким ис-

точником света.

При заданном Θ [Θ> Θa (r0 )] любая точка внутри окружности радиусом rm дает только прелом-

ленные лучи . Точка сердцевины , лежавшая вне окружности дает луч утечки, если прямая D , каса-

тельная к лучу в точке его возникновения, не пересекается с этой окружностью. Возьмем простой случай ламбертова источника с яркостью в точке r=r0 , равной B0cosΘ. В этой точке мощ-

ность, вводимая в волокно и распространяющаяся без потерь, равна

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 57: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

57

)r(

aG

n

)r(sinBdsincosB)r(P0

0

02

000 2

Она пропорциональна квадрату локальной числовой апертуры.

Вводимая мощность, которая приходится на лучи, распространяющиеся с утечкой, равна

M

a mr

F ddBrP)(

2/

00

0

sincos4)(

(угол ΘМ показан на рис. 4.6)

Мощность преломленных лучей равна Рполн – РG – РF .

Рис. 4.8. Пре-

дельная ок-

ружность, раз-

деляющая точ-

ки входного

торца волок-

на.

Рис. 4.7. Для лу-

чей, распро-

страняющихся с

потерями, па-

раметр v лежит

между vm и vM.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 58: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

58

4.6. Траектория световых лучей.

Выше мы говорили о лучах, вводимых в оптическое волокно. Теперь скажем несколько слов о самих траек-

ториях .

4.6.1. Волокна со скачкообразным изменением показателя преломления

Показатель преломления сердцевины есть постоянная величина, равная n1 . Из (4.9) следует, что угол рас-

пространения θ сохраняет свое абсолютное значение и что произведение rsinφ постоянно и, согласно (4.13),

равно r1. Таким образом, между двумя последовательными полными внутренними траектория луча прямоли-

нейная (рис. 4.9).

Траектория состоит из равных отрезков, получаемых один из другого путем смещения на Pz /2 и

поворота на Pψ /2 вокруг оси Оz. В проекции все они касаются одной и той же окружности радиусом

r1. Величины Pz и Pψ можно вычислить следующим образом :

2

222

12

221

2

2

222

12

224

1 1r

vnk

nk

a

r

vnk

drdzP

a

r

a

r

z (4.25)

221

224

1nka

varccosdP

a

r

(4.25а)

В случае меридиональных лучей (v = 0) окружность радиусом r1 сжимается в точку r = 0, траекто-

рия становится периодической с периодом Pz = 2actgθ, а период вращения равен PΨ =2π .

Рис. 4.9. Траектория распространения светового луча, в волокне со скачкобразным изменением

показателя преломления. :

4.6.2. Волокна с градиентом показателя преломления.

Возьмем для примера случай, когда показатель преломления волокна изменяется по степенному

закону:

a

rn)r(n 211 (4.26)

где ∆ — относительная разница показателей преломления сердцевины и оболочки (в первом при-

ближении), n1 — показатель преломления сердцевины на оси волокна, а α — параметр, который мо-

жет быть равен любому числу от 1 до бесконечности. При α =2 имеем закон псевдопараболического

градиента. Согласно формуле (8.22), числовая апертура волокна, описываемого формулой (8.26),

максимальна на оси и равна

21nsin c (4.27)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 59: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

59

Подставив (8.26) в (8.5), получим

22

21

2

2

2 2

a

nk

dz

d (4.28)

Конец вектора ρ, удовлетворяющего уравнению (4.28), описывает эллипс, который в декартовых

координатах, совпадающих с его осями, записывается с учетом начальных условий (r0 ,θ0 ,φ0) в виде

zsinsinAY

zcoscosAX

2

2

0

0

(4.29)

где 2

1 2 Vkn, V – приведенная частота,

20

220

tgrA ,

A

rcos 0

, A

tgsin 0

Чтобы соответствующий луч распространялся в волокне, большая ось эллипса не должна превы-

шать размера сердцевины α. Это условие можно выразить через β и v :

2

2

2

222

12

a

V

a

vnk (4.30)

Неравенство (4.30) можно переписать в другом виде, допускающем простую геометрическую интерпрета-

цию:

0

200

0 1 rsina

sinrsin a (4.30а)

Поскольку корень квадратный здесь не превышает единицы, то имеется возможность, вводить лу-

чи с превышением предельного угла Θа(r0), которые будут распространяться с утечкой или пре-

ломляться. Найдем в данном частном случае изменения показателя преломления максимальный

внешний угол ввода, при котором луч не будет преломляться. Он соответствует значению φ0 = π/2, и

тогда (8.30) принимает следующий вид

cмаксмакс sinnsinrnsin 21000

Это выражение показывает, что любой луч с углом падения Θ, превышающимΘС, преломляется, а лучи,

падающие под углами от Θа(r0) до Θcбудут либо лучами утечки, либо преломляться в зависимости от величины

v(т. е. от положения следа плоскости падения относительно окружности радиусом rm). Равенство, предельного

угла Θc и максимального угла ввода лучей утечки (рис. 4.10) объясняется тем, что в случае псевдопараболиче-

ского.закона, изменения показателя преломления крутизна кривых 22r/vM и 222

)r(nk одинакова при r= а.

В случае когда закон изменения показателя преломления имеет вид (4ю26) с показателем степени α , лежащим

в пределах от единицы до бесконечности, максимальный угол ввода лучей утечки зависит от значения α; при а

= ∞ ,как мы знаем , он равен π/2.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 60: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

60

Рис. 4.10. Определение макси-

мального значения параметра

v.

При v=vM кривые fβ(r) и fv

(r) касаются друг друга (в

точке r1 = r2); r0 — то значе-

ние радиуса r, при котором fβ

(r)=0.

В частном случае α = 2, рассмотренном выше, имеется ряд других интересных особенностей:

а) траектория луча в проекции представляет собой замкнутую кривую (эллипс), а период вращения равен 2π.

б) период изменения вдоль оси Oz составляет 2π/Ω = 2πа2β/V. Заметим, что он зависит только от β(r0) (рис.

8.16) и не зависит от v. Отметим также, что оптическая длина пути луча в одном периоде не зависит от v.

Рис. 4.11. Траектория распространения луча в градиентном волокне. Расстояние от луча до оси волокна перио-

дически изменяется от r1 до r2.

При а ≠ 2 и тем более при других законах изменения показателя преломления проекция траектории луча, во-

обще говоря, не дает замкнутую кривую, но все же можно определить псевдопериодыPZ и Pψ. По соответст-

вующим отрезкам кривой в этом случае можно построить всю траекторию луча, смещая их вдоль оси Oz и по-

ворачивая вокруг нее (рис. 4.11).

4.7. Моды распространения света. Уравнение дисперсии.

В случае световых лучей, распространяющихся в идеальном оптическом волокне, которое мы рассматрива-

ли, потери отсутствуют. И мы установили условия ввода, нашли постоянные распространения, траектории, т. е.

геометрическая оптика вроде бы позволяет находить параметры, необходимые для исследования. Вспомним,

что наряду с волной, распространяющейся в сердцевине, существует волна в оболочке, имеющая ту же фазу, т.

е. оболочка участвует в распространении света, и если меняются условия распространения в оболочке, то также

изменяется распространение света в сердцевине. Например, если у двух сред разный коэффициент поглощения

(а так обычно и бывает), то в одной из них волна будет затухать быстрее и распространение будет нарушено!

Даже при одинаковом поглощении чисто геометрическая оптика не позволяет оценивать потери, обуслов-

ленные лучами утечки; для этого нужно знать выражение для поля при r≥a.. Таким образом, в некоторых случа-

ях необходимо рассчитывать электромагнитное поле. Обычно стараются найти некий базис, пригодный для

разложения в ряд любого поля. Такой базис нам дает теория мод.

Расчет числа мод.

Чтобы распространяющиеся в волокне лучи дали моду распространения, они должны так накладываться

друг на друга, чтобы на прямом сечении волокна была сформирована стоячая полна как в радиальном направ-

лении, так и по окружности.

Необходимая периодичность возникает в том случае, если для составляющей uψ волнового вектора k на ок-

ружности радиусом r укладывается целое число периодов, т. е. если v — целое число. В самом деле, согласно

(8.6), имеем

2

0

2

0

22 mvrdr

vkrdu (4.31)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 61: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

61

Аналогичным образом и для радиальной составляющей на расстоянии между точками обращения r1 и r2

должно укладываться целое число полупериодов, к которым следует добавить изменение фазы при полном

внутреннем отражении на каустиках:

2

1

21

22

r

r

rrdr)r(f (4.32)

Это уравнение представляет собой характеристическое уравнение мод распространения в волокне. Мы по-

лучаем в двумерном пространстве ситуацию: моды распространения получены путем квантования введенных

констант, связанных с условиями на границах изучаемого светодиода. Для мод высокого порядка можно пре-

небречь фазовыми изменениями на каустике и несколько упростить уравнение. Иную, тоже интересную форму

уравнения (4.32а) можно получить, если ввести приведенную частоту V и приведенную фазу B, определяемую

выражением

22

21

22

2

nn

n)k/(B

В частности, в случае профилей показателя преломления вида )a/r(gn)r(n 211 ,где g(x) есть

функция переменной x, мы получаем:

2

1

21

2

222 1

1r

r

/

drr

avB)

a

r(gV

a (4.32б)

При p=pcпостоянная распространения β равна kn2 параметр B обращается в нуль и (4.326) прини-

мает упрощенный вид

2

1

21

2

222 1

1r

r

/

c drr

av)

a

r(gV

ap (4.32в)

В случае волокон со скачком показателя преломления [n(r)=n1] и градиентных волокон с псевдо-

параболическим законом изменения показателя преломления [g(r/a) = r2/a

2] эти уравнения интегри-

руются без трудностей. В случае профиля g(r/a) = (r/a)α с произвольным значением показателя степе-

ни α найдено приближенное решение уравнения (4.32), которое остается довольно точным, пока по-

казатель степени α не слишком велик; оно имеет вид

2212

221

2

2

24

2

22Vpvnk c

Попытаемся теперь найти число мод, которые передает многомодовое волокно. На основании

приближенной зависимости, вытекающей из (8.32) и (8.7), а именно:

2

1

21

2

22221

r

r

/

drr

vnkp (4.33)

мы можем сопоставить некоторым значениям v и β некоторое значение величины р; в действительно-

сти существуют 4р моды, если учитывать поляризацию и круговую симметрию (ν| — ν) . Отметим,

что при одном и том же значении величины ν модам, для которых величина β больше, чем следует из

уравнения (8.33), будет также соответствовать меньшее значение р. Таким образом, мы можем сопос-

тавить величине β число мод N(β), имеющих большую, чем β, постоянную распространения, сложив

все числа p при изменении ν от 0 до νm . При этом максимальное значение νm получается, когда оба

корня r1 и r2 одинаковы (рис. 4.10). Поскольку величина ν весьма быстро возрастает, мы рассматри-

ваем ее как непрерывную переменную. Отсюда следует, что

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 62: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

62

2

1

21

2

2222

0

4r

r

/

drr

vnkdvN

M

(4.34)

Изменяя порядок интегрирования, получаем

0

0

222r

rdr)r(nkN

Как нетрудно видеть, величина N(β) стремится к нулю, когда β приближается к своему макси-

мальному значению. Общее число мод получается при β=kn2:

a

t rdrnknkN

0

22

222 (4.35)

Итак, имеем:

а) для волокна со скачкообразным изменением показателя преломления

n(r)=n122

2222

21

2 VannkN t

б) для градиентного волокна с псевдопараболическим профилем

42/VNt

в) для градиентного волокна с произвольным показателем степени α

2

22V

)a(N t

4.8. Формулы для полей.

Если предположить, что среда изотропна и в ней нет ни токов, ни зарядов, то из уравнений Максвелла выте-

кает следующее уравнение распространения электромагнитной волны:

02

2

t

где вектор ψ может быть как электрическойЕ, так и магнитной Н составляющей поля. Учитывая геометрию во-

локон, мы будем пользоваться цилиндрической системой координат, и из уравнения Максвелла можно вывести

систему шести скалярных уравнений. Поперечные составляющие можно выразить только через продольные со-

ставляющие Ez и Hz, которые в общем случае обе не пулевые (в таком случае мы имеем гибридные моды, ни

ТЕ, ни ТМ). Будем искать решение в виде гармонических функций переменных t и z:

)zwt(iexp)()r(z 21 (4.36)

где β — составляющая вектора распространения по оси Оz.

Запишем поперечные составляющие, полученные путем проекции в цилиндрических координатах r, φ, z .

Разделение переменных r и φ дает зависимость ψ2(φ) вида exp(ivφ), а радиальная зависимость ψ1(r) должна

удовлетворять уравнению

01

12

22221

21

2

r

vnk

dr

d

rdr

d (4.37)

причем составляющие Er, Eφ, Hr, Hφ записываются следующим образом:

d

H

rdr

E

x

iE zz

r 2 ,

dr

HE

rx

iE zz

2 (4.38a)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 63: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

63

d

E

rdr

H

x

iH zz

r 2,

dr

EH

rx

iH zz

2(4.38б)

где /k 2 , 2222nkx .

4.8.1. Решение волнового уравнения для волокна со скачком показателя преломления.

Поскольку показатель преломления n представляет собой одну константу в сердцевине и другую — в обо-

лочке, уравнение (8.7) оказывается дифференциальным уравнением Бесселя. Его решения для разных областей

волокна записываются следующим образом:

при r<a

ivvz e

a

ruAJE

(4.39а)

ivvz e

a

ruBJH

где 2221

22anku

при r>a

ivvz e

a

rCKE

(4.39б)

ivvz e

a

rDKH

где 222

222ank

Функции K — это модифицированные функции Бесселя. Выражения (4.39) сходны для случая плоского

световода. Можно заметить, что величина 222

uV есть характеристическая постоянная световода( по-

скольку в нее входят только радиус сердцевины a и показатели преломления сердцевины n1 и оболочки n2).

Постоянные А, В, С и D нельзя определить из уравнений Максвелла. Для того чтобы полученные решения

представляли собой моды волокна, поля должны отвечать условиям непрерывности при r = a . Эти условия

дают четыре однородных уравнения, которые имеют решения только тогда, когда главный определитель обра-

щается в нуль, что приводит к уравнению дисперсии:

22

2222

221

2 11

uv

)(J

)(Knk

)u(uJ

)u(Jnk

)(K

)(K

)u(uJ

)u(J

v

'v

v

'v

v

'v

v

'v (4.40)

Решения уравнения (4.40) дают совокупность дискретных значений, и при v = 0 уравнение распадается на

две части: происходит полное разделение поперечных электрических (ТЕ) и магнитных (ТМ) мод, поскольку

либо поле Ez, либо поле Нzоказывается равным нулю.

Если наблюдать за поведением полей в среде 2, можно убедиться, что проникновение волны в среду тем

больше, чем меньше w. В пределе при ω→0 распространение света в волокне не происходит. Следовательно,

при ω=0 мы имеем 2knc и Vuc , т.е. в среде 2 решение имеет вид плоской полны .

Теперь можно найти предельную форму уравнения (4.39а) на граничной частоте при ω→0. Получаются

разные типы решений, которые можно, обозначив гибридные моды (когда ни Ezни Hz не являются нулевыми)

через ЕН и НЕ, следующим образом классифицировать согласно уравнению, которому удовлетворяет гранич-

ная частота:

Обозначение моды Граничная частота

НЕ11 0

TE0m или TM0m m–й корень уравнения 00 )u(J

HE1mилиEHvm m–й корень уравнения 0)u(Jv

HEvm (υ≠1) m–й корень уравнения

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 64: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

64

)u(Jv

u)u(J

n

nvv

11 12

2

21

Итак, существует мода НЕ11 , граничная частота которой равна нулю. Следовательно, можно так подобрать

параметры световода, что будет распространяться только одна эта мода; это происходит при условии

40522 2

221 ,nnV (4.41)

Если принять, что разность показателей преломления n1 и n2 мала, то полученные результаты в значитель-

ной мере упрощаются.

Введем обозначения

),(K)u(JJ vv 1

),(K)u(JJ vv 1

),(K)u(uJK vv 1

).(K)u(uJK vv 1 (4.42)

Тогда можно показать, что уравнение на собственные значения записывается следующим образом:

.KJKJn

nKJKJ

n

n0

22

21

22

21 (4.43)

При n1 ≈ n2 ≈ n оно принимает вид

,KJKJ 0

откуда получаем общее уравнение для мод НЕvm и ЕНvm:

,)(K

)(K

)u(uJ

)u(J

v

v

v

v 11 (4.44)

где верхний знак относится к модам НЕ, а нижний — к модам ЕН. На основании рекуррентных соотноше-

ний для функций Бесселя можно показать, что имеется вырождение между модами ЕНv-2,m и НЕv,m , так как со-

ответствующее уравнение дисперсии одно и то же; взяв их линейную комбинацию, мы получим «псевдомо-

ды»), поляризованные линейно, поля которых (на этот раз в декартовых координатах) могут быть записаны в

виде

при

vsin

vcos

a

ruJAnH;H

vsin

vcos

a

ruAJE;E

ar

vxy

vyx

0

0

(4.45а)

при

vsin

vcos

a

rwK

)u(K

)u(JAnH;H

vsin

vcos

a

rwK

)w(K

)u(JAE;E

ar

vv

vxy

vv

vyx

0

0

(4.45б)

Если оценить порядок величин различных составляющих, то можно видеть, что эти поля почти поперечные,

поскольку составляющие Ez и Hz выраженные через kau / , оказываются бесконечно малыми величинами

первого порядка по сравнению с поперечными составляющими.

4.8.2. Решение для градиентного волокна.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 65: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

65

Векторное уравнение разделяется на скалярные уравнения, и мы будем искать решение для электрического

поля (например, для составляющей Ey) в форме, подсказываемой полученными ранее результатами:

,ziexpvsin

vcos)r(E y 1 (4.46)

где, как и ранее, v — целое число. Мы снова приходим к уравнению (4.37) для функции ψ1(r) , в котором те-

перь n2 уже не константа, а функция переменной r.

В случае волокна с псевдопараболическим профилем показателя преломления, не усеченным при r=a,

решение дифференциального уравнения имеет вид

,r

expr

Lr

)r(vq 2

2

2

2

12

2 (4.47)

где Lvq — обобщенный полином Лагерра порядка v и степени q,a,ω - параметр, связанный со световодом:

2

2

1

2

kn

a (4.48)

В приближении малой разности показателей преломления геометрическое и электромагнитное исследование

показало, что угол распространения остается небольшим. Это значит, что распространяющаяся волна почти

поперечная, локально плоская : соответствующие моды поляризованы почти линейно и представляют собой

моды

LPvp, где 1qp , причем q число узлов функции Ψ1(r) на длине радиуса в соответствии с формулой

(8.47). С другой стороны, соответствующая постоянная распространения дается выражением:

21

11 224

21

/

vqakn

kn

которое, если учесть, что на практике величина Δ мала, с хорошим приближением записывается в виде

avqkn

2121 (4.49)

Таким образом, постоянные распространения образуют арифметическую прогрессию с разностью a/2 ,

поскольку .при переходе от одной моды к другой индекс v или q на единицу увеличивается.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 66: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

66

Задачи для самостоятельного решения.

1. На поверхность из стекла (n=1,6) под углом 250 из воздуха падает линейно поляризованная волна, электри-

ческий вектор которой колеблется в плоскости падения. Определить коэффициенты отражения R и про-

пускания T.

2. На поверхность из стекла (n=1,65) под углом 350 из воздуха падает линейно поляризованная волна, элек-

трический вектор которой колеблется в плоскости, образующей угол 300 с плоскостью падения. Найти ко-

эффициенты отражения R и пропускания T.

3. Естественный свет падает из стекла с n1=1,65 под углом 400

на границу с некоторым раствором, показатель

преломления n2 которого зависит от концентрации растворенного вещества и может изменяться в широком

пределе. При каком показателе преломления n2 отраженный свет линейно поляризован, и каков при этом

коэффициент отражения?

4. Из стекла (n=1,55) на границу раздела с воздухом под углом 600 падает световая волна. Найти критический

угол и сдвиг фаз колебаний напряженности электрического поля .

5. Из стекла (n=1,55) на границу раздела с воздухом под углом 600 падает световая волна. Найти критический

угол и сдвиг фаз колебаний напряженности электрического поля ||.

6. Найти область углов падения линейно поляризованной волны из воздуха на поверхность воды (n=1,33), при

которой коэффициент отражения R больше 0,5. Плоскость колебаний электрического вектора волны пер-

пендикулярна плоскости падения.

7. Естественный свет падает под углом Брюстера на стеклянную пластинку (n=1,65). Найти коэффициент от-

ражения R.

8. Вывести формулу для связи сдвига фаз колебаний перпендикулярной и лежащей в плоскости падения ком-

понент электрического поля волны при полном отражении.

9. Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на поверхность стекла с показателем преломле-

ния n=1,5. Найти интенсивность отраженного света, приняв за единицу интенсивность падающего света.

10. Линейно поляризованная волна интенсивностью I0=1 мВт/см2 падает из воздуха (n1=1) на стекло с показа-

телем преломления n2=1,4 под углом =450. Плоскость падения вектора Е составляет угол =30

0 с плоско-

стью падения. Определить интенсивность прошедшего и отраженного света.

11. Линейно поляризованная волна интенсивностью I0=5 мВт/см2 падает из воздуха с n1=1 на стекло (n2=1,5)

под углом 450. Плоскость колебаний вектора Е составляет угол 45

0 с плоскостью падения. Определить угол

наклона вектора Е к плоскости падения в прошедшей и отраженной волнах.

12. Неполяризованный монохроматичный свет ( =514,5нм) падает на границу раздела воздух/стекло (n2=1,5)

определить показатель преломления и толщину пленки, которую необходимо напылить на стекло чтобы

свет не отражался

13. Когерентный свет ( =514,5нм) падает на прозрачную пленку толщиной d=1мкм с показателем преломле-

ния n=1,4. Плоскость колебаний электрического вектора волны перпендикулярна плоскости падения. При

каком угле падения коэффициент отражения R будет максимальным? Найти коэффициент отражения R.

14. Получить элементы A,B,C,D матрицы для линзы с фокусным расстоянием f.

15. Получить элементы A,B,C,D матрицы для плоского зеркала.

16. Получить элементы A,B,C,D матрицы для сферической границы радиуса R раздела диэлектриков с показа-

телями преломления n1 и n2.

17. Получить элементы A,B,C,D матрицы для плоской границы раздела диэлектриков с показателями прелом-

ления n1 и n2.

18. Получить элементы A,B,C,D матрицы для сферического зеркала радиуса R.

19. Получить элементы A,B,C,D матрицы для среды с квадратичным распределением показателя преломления.

20. Получить элементы A,B,C,D матрицы для толстой линзы, образованной сферическими поверхностями с ра-

диусами кривизны R1 и R2, расстояния между центрами которых d и изготовленной из стекла с показателем

преломления n.

21. Получить элементы A,B,C,D матрицы для клина с углом α и изготовленной из стекла с показателем пре-

ломления n.

22. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и грани-

цу раздела диэлектриков. Показатели преломления сред n1 и n2 соответственно.

23. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сфери-

ческую границу раздела диэлектриков. Радиус сферической границы R, показатели преломления сред n1 и

n2.

24. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сфери-

ческого зеркала с радиусом кривизны R.

25. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d среду с

квадратичным распределением показателя преломления длиной l.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 67: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

67

26. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из

двух линз с фокусными расстояниями f1 и f2, расстояние между которыми равно d.

27. Покажите, что матрица ABCD для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из двух линз с

фокусными расстояниями f1 и f2, расположенными друг от друга на расстоянии d, есть матрица унитарная,

то есть AD-BC=1.

28. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через два полупрозрачных зеркала с радиу-

сами кривизны R1 и R2, расположенными на расстоянии d. Рассмотреть случай, когда луч проходит через

систему без отражения от зеркал.

29. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через шар радиусом R показателем прелом-

ления n.

30. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через трубу Галилея.

31. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через телескоп-рефрактор.

32. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через телескоп-рефлектор

33. Определить интенсивность света на оси гауссова пучка мощностью Р=10мВт и характерным размером

w=10мкм.

34. В перетяжку гауссового пучка радиусом w=10 мкм помещают цилиндрическое волокно радиусом 5 мкм.

Какая часть мощности излучения может быть введена в волокно?

35. На каком расстоянии от перетяжки гауссового пучка имеет место максимальная кривизна волнового фрон-

та?

36. Вывести формулу расходимости гауссового пучка с перетяжкой w0.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 68: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

68

37. Вычислите, во сколько раз увеличивается расходимость гауссового пучка, если на расстоянии z= w02/ по-

местить вогнуто-плоскую линзу с радиусом кривизны, равным радиусу кривизны волнового фронта пучка

и изготовленную из стекла с показателем преломления n.

38. Оцените, во сколько раз можно увеличить интенсивность излучения гауссового пучка с размером перетяж-

ки 100 мкм ( =514,5 нм), фокусируя его на объект линзой. (Указание: предположить предельную фокуси-

ровку пучка).

39. Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, ради-

ус которой w1. Найти новое положение плоскости перетяжки (указание: решение следует искать с помощью

комплексного параметра q). Длина волны .

40. Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, раз-

мером w1. Найти радиус выходного пучка в этой плоскости (указание: решение следует искать с помощью

комплексного параметра q). Длина волны .

41. Дана тонкая линза, помещенная в перетяжку гауссова пучка радиуса w1=2 10-4

м, перетяжка нового пучка

находится от линзы на расстоянии l=18 см. Найти фокусное расстояние линзы. Длина волны =0,5 мкм.

(Указание. Решение следует искать с помощью комплексного параметра q).

42. На линзу с фокусным расстоянием f=1см падает гауссов пучок. Размер пучка на линзе – w=3мм, радиус

кривизны волнового фронта – R=10см.Определить положение и размер перетяжки пучка после линзы.

Длина волны =0,5 мкм.

43. На расстоянии 10см от перетяжки гауссового пучка с размером перетяжки w0=100мкм помещена линза с

фокусным расстоянием f=0,5см.Определить положение и размер перетяжки пучка после линзы. Длина вол-

ны =0,5 мкм.

44. Гауссов пучок с размером перетяжки w0=100мкм нужно сфокусировать в волокно диаметром 20 мкм, нахо-

дящееся на расстоянии 1 см от перетяжки. Определить положение и фокусное расстояние линзы. Длина

волны =0,5 мкм.

45. Оценить длину перетяжки пучка в резонаторе в случае предельно малой перетяжки гауссова пучка, созда-

ваемого короткофокусной линзой. (Указание: предположить, что тонкая линза расположена на месте вы-

ходного зеркала резонатора).

46. Определить элементы A,B,C,D матрицы для толстой линзы, изготовленной из стекла с показателем

преломленияn. Радиусы кривизны поверхностей - R1, R2, расстояние между главными плоскостями – d.

47. Определить элементы A,B,C,D матрицы для двух конфокальных собирающих линз с фокусными расстоя-

ниями F1, F2.

48. Определить элементы A,B,C,D матрицы для двух конфокальных собирающей и рассеивающей линз с фо-

кусными расстояниями F1, F2.

49. По диэлектрическому световоду с размерами сердцевины 2а=20мкм, показателем преломления n1 = 1,5 у

сердцевины и n2 =1 ,501 у оболочки распространяется эл. магнитная волна длиной =0 ,63 мкм. Рассчитать:

а) число мод, распространяющихся в волноводе, б) максимальный размер волновода, который на данной

длине волны будет работать в одномодовом режиме, в) предельную длительность импульсов, которые

можно передавать по такому световоду длиной 10 км? Вычислить значения числовой апертуры (N/A)2 уг-

лов m и m, а также дисперсионных параметров ( T/l) и (B/l) для следующих ступенчатых волокон: а)

n1=1,47, n2=1,455, na=1,б) n1=1,46, n2=1,4, na=1, в) n1=1,46, n2= na=1 (волокно без оболочки).]

54. Показать, что для параксиальных лучей в случае цилиндрического световода формулу nds

drn

ds

d

можно аппроксимировать выражением drdnndz

rd//1

2

2

. s – координата вдоль луча, r – координата,

перпендикулярная оптической оси, z – координата вдоль оси.

55. Показатель преломления сердцевины волокна изменяется по радиусу в соответствии с

arприn

arприa

rn

rn

____`1

____`1)(

0

2

0 a=30мкм, `=0,01.

Показать, что параксиальные лучи источника, расположенного на оптической оси, будут фокусироваться

на оси с пространственным периодом 0,67мм.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 69: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

69

56. Изготовители предлагают два сорта оптического волокна. Одно предназначено для работы на

длине волны а) =0,85 мкм (Ym=0,025, потери – 8 дБ/км) ( б) =1,3 мкм (Ym=0,001, потери 0,6 –

1,2 дБ/км), и межмодовую дисперсию, не превышающую 10 мкс/км. Другое на той же длине вол-

ны имеет потери не выше 4дБ/км и дисперсию 1нс/км. В качестве источника света предполагается

использовать светодиоды способные вводить в волокно мощность 150мкВт и имеющие ширину

спектральной линии 35нм. Предельная чувствительность фотоприемника – 1нВт. Определить, ка-

кая может быть получена максимальная дальность передачи на скоростях 2, 20 и 100 Мбит/с.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Page 70: физические основы волоконной оптики учебно методическое пособие

70

Литература.

1. Бутиков Е.И. Оптика. М. Высшая школа. 1986. 512с.

2. Гауэр Дж. Оптические системы связи. М.: Мир. 1989. 501с.

3. Гильярди. Оптическая связь. М.: Связь; 1978.426с.

4. Гурдзагян Г.Г. Нелинейно-оптические кристаллы. М. Радио и связь 1991. 158с.

5. Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. М. Высшая школа. 1999. 718с.

6. Звелто О. Принципы лазеров /перевод с англ. М.:Мир,1984. 395с.

7. Иванов А.Б. Волоконная оптика. 1999.671с. М. Сайрус систем.

8. Калитевский Н.И. Волновая оптика М.: Высшая школа, 1995.

9. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М. Наука. 1988. 336с.

10. Козанне А. и др. Оптика и связь М.: Мир. 1984. 504с.

11. Ландсберг Г.С. Оптика М.: Мир, 1976. 926с.

12. Матвеев А.Н. Оптика. М. Высшая школа. 1985 351с.

13. Нацуяма Т. ИК волоконныесветоводы. М. Мир.1999.272с.

14. Оптические системы передачи. М. Радио и связь. 1994. 224с.

15. Такаори О. Оптоэлектроника и оптическая связь. М.Мир. 1988. 95с.

16. Семенов А.С. Интегральная оптика для систем передачи и обработки информации. М. Радио и связь. 1990

224с.

17. Ярив А. Квантовая электроника. М. Сов. Радио. 1980. 488с.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»