Lo opuesto de una derivada es una

La integral indefinida de una función

se denota co

ant

mo

iderivada

y está definida por la propied

o integral indef

d

d

a

ini a

f x

f x

df x dx f x

d

d

x

x

Si una función es diferenciable, su derivada es única

Una función tiene un número infinito de integrales,

que difieren por una constante aditiva

df x dx f x

dx

La integral indefinida de una función cuya derivada

es identicamente cero es una constante,

es decir,

0

donde es una constante arbitraria.

La integral indefinida de una función identicamente

cero es

dx c

c

una constante.

Función constante:

: donde a es una constante

La integral indefinida de la función constante es

donde es una constante arbitraria

f R R f x a

adx ax c

c

2

Función identidad

: :

La integral indefinida de la función identidad es

2donde es una constante arbitraria

I I R R I x x

xxdx c

c

1

: entero, 1

La integral indefinida de la función es

1donde es una constante arbitraria

n

n

nn

f R R f x x n n

x

xx dx c

nc

1 : 0

Dado que

1ln

se tiene que

ln

donde es una constante arbitraria

f R R f xx

dx

dx x

dxx c

xc

sincos

cossin

d xx

dx

d xx

dx

De:

sin cos

cos sin

xdx x

xdx x

es claro que:

exp exp

exp exp

dx x

dx

x dx x c

c

Tenemos que

así que

donde es una constante arbitraria

Para cada una de las identidades de la derivada

corresponde una identidad para las integrales

- La integral indefinida de una combina

indefini

ción li

das:

neal

af x bg x dx a f x dx b g x dx

1

1

Para cada una de las identidades de la derivada

corresponde una identidad para las integrales

indefinid

- De la regla de la cadena t

a

enemos

así que

c

s:

1

a a

aa

df x a f x f x

dx

f xf x f x dx c

a

on 1a

Para cada una de las identidades de la derivada

corresponde una identidad para las integrales

indef

- De la derivada del logar

1ln para 0

ini

itmo

ln

tenemos

ln

das:

f xdf x

d

dx f x

f xdx f x c

f x

x xdx x

De la regla de la cadena se tiene

donde

f d f g x g x dx

g x

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2Ejemplo 1: cosx x dx

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2

Ejemplo 1: cos

Escogemos

x x dx

x

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2

Ejemplo 1: cos

Escogemos

Por tanto, se tiene

2

x x dx

x

d xdx

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2

2 2

Ejemplo 1: cos

Escogemos y tenemos 2

Así que

1cos 2 cos

2

x x dx

x d xdx

x x dx x x dx

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2

2 2

Ejemplo 1: cos

Escogemos y tenemos 2

Así que

1 1cos 2 cos cos

2 2

x x dx

x d xdx

x x dx x x dx d

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2

2 2

Ejemplo 1: cos

Escogemos y tenemos 2

Así que

1 1cos 2 cos cos

2 21

sin2

x x dx

x d xdx

x x dx x x dx d

c

2

2

2 2

2

Ejemplo 1: cos

Escogemos y tenemos 2

Así que

1 1cos 2 cos cos

2 21 1

sin sin2 2

x x dx

x d xdx

x x dx x x dx d

c x c

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

2

2 2

Ejemplo 1: cos

1cos sin

2

Es fácil evaluar la derivada, con la regla

de la cadena, para comprobar la exactitud

del resultado

x x dx

x x dx x c

De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x

De la regla para obtener la derivada de un producto

se tiene

df x dg xdf x g

df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx

dx dx dx

x g x f xdx dx dx

pe

De

ro por la definición misma de la integral indefinida

la regla para obtener la derivada de un producto

se tiene

df x dg xdf x g x g x f x

dx dx dx

df x dg xdf x g x d

df x g x dx f x

x g x dx f x dxdx dx dx

g xdx

De la expresión

tenemos entonces

df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx

dx dx d

df x dg xf x g x g x dx f x dx

dx

x

dx

De la expresión

tenemos

Despejando

que es la formula de integración por pa

entonc

rtes

es

df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx

dx dx dx

df x dg xf x g x g x dx f x dx

dx dx

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

Ejemplo 1: xxe dx

Ejemplo 1:

Identificamos

y

x

x

xe dx

df xe g x x

dx

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

Ejemplo 1:

y

Entonces

x

x

x x x

xe dx

df xe g x x

dx

dxxe dx xe e dx

dx

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

Ejemplo 1:

y

De donde

x

x

x x x

x x x

xe dx

df xe g x x

dxdx

xe dx xe e dxdx

xe dx xe e dx

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

Ejemplo 1:

y

Finalmente

1

x

x

x x x x x

x x x x

xe dx

df xe g x x

dxdx

xe dx xe e dx xe e dxdx

xe dx xe e x e

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx

Es muy fácil verificar que el resultado

es correcto haciendo la deriva

1

da

x xxe dx x e

df x dg xg x dx f x g x f x dx

dx dx