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Profesor: José Luis Guzmán B.

LÓGICA PROPOSICIONAL

• Llamada también lógica matemática, es una parte de la lógica que tiene por objeto el estudio de las proposiciones y las relaciones entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectores lógicos

CONCEPTOS BÁSICOS

• ENUNCIADO.- Es toda oración o frase que expone alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc, las cuales pueden ser expresadas en forma verbal, escrita, simbólica, gestual.

• ENUNCIADO ABIERTO.- Es aquel que contiene variables o letras, pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso.

• PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez.

• Se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, … a las que le llamamos variables proposicionales. Ejemplo:

p: Miguel Grau nació en Lima q: 5 es un número primo. r: 3 + 5 = 10

Nº EXPRESIÓN OENUNCIADO

PROPOSICIÓN Nº

EXPRESIÓN OENUNCIADO

PROPOSICIÓN

SI NO SI NO

1 11 no es primo 6 ½ es número racional

2 2x + 3 = 5 7 x2 = 9 es de 2do. Grado

3 El agua es incolora

8 ¡Arriba Alianza!

4 ¿Cómo estás? 9 19 es divisible por 2

5 Haz tus ejercicios

10

2x – 5 <4; si x = 4

Ejemplo: Marca con un aspa, según corresponda, en cada expresión o enunciado:

• VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota como V(p) y escribimos:

* V(p) = V, si el valor de p es verdadero. * V(p) = F, si el valor de verdad es falso.Ejemplo:p: 7 es impar V(p) = Vq: El pentágono tiene 6 lados V(q) = F

• PROPOSICIÓN SIMPLE. Llamada también atómica es aquella que consta de un solo sujeto y un predicado. Ejemplo:

p: Lima es capital de Perúq: Piura es ciudad de la Costa.r: Ica es provincia de Perú.s: Algunos hombres son mortales.

• PROPOSICIÓN COMPUESTA. Llamada también molecular, es aquella formada por dos o más proposiciones simples las cuales están relacionadas por medio de los conectivos lógicos. Ejemplo:

* Lima y Piura son ciudades de la Costa.* Piura o Ica son ciudades del Perú•Si Lima es la capital de Perú entonces Ica o Piura no son ciudades de la Costa.* Si hoy es jueves entonces mañana será martes.

• OPERADORES LÓGICOSLlamados también conectores lógicos, son signos que representan palabras y que son usados para relacionar proposiciones. Y son los siguientes:

OPERADOR SÍMBOLO SE LEE

CONJUNCIÓN q Y, pero, sin embargo, no obstante, a pesar de

DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA p

O, o p o q o ambos

DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA p q

O p o q

CONDICIONAL p q Si p entonces q, q si p, p solo si q

BICONDICIONAL p q P si y solo si q

NEGACIÓN p No p: no es cierto que…., no es verdad que …

• Ejercicios: 1. Dadas las siguientes proposiciones: p: Las estrellas emiten luz q: Los planetas reflejan la luz r:Los planetas giran alrededor de las estrellas

De acuerdo a estas proposiciones, lea:a) pq b) q r c) p d) p q

e) q r f) (p V q ) Λ r g) ~( p Λ q)→ ~ r

h) → ( q Λ r) i) q ↔(p Λ r)

2.- Simboliza las siguientes proposiciones: a. No vi la película, pero leí la novela.b. Ni vi la película ni leí la novela.c. No es cierto que viese la película y leyese la novela.d. Vi la película aunque no leí la novelae. No me gusta trasnochar ni madrugar. f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído. g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí.h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento. i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles:

TABLAS DE VERDADCONJUNCION

p q p qV V VV F FF V FF F F

DISYUNCIÓN DEBILp q p V qV V VV F VF V VF F F

DISYUNCIÓN FUERTEp q p qV V FV F VF V VF F F

CONDICIONALp q p qV V VV F FF V VF F V

BICONDICIONALp q p qV V VV F FF V FF F V

NEGACIÓNp pV FF V

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1. Determine el valor de verdad de cada proposición siguiente:

a) [=0,5=-3](+=)b) [(=-5)(-=](-7=)c) (49=)=)(+)=d) O Alan García fue presidente del Perú o

presidente del Congreso.

2.- Sabiendo que las proposiciones p, q, r, s son respectivamente V; V; F; F ; indicar el valor de verdad de cada proposición siguiente:

• a) (pq) v (r v s) b) (p v (

c) [(p) v (rs) ](q)

d) [(p v q)s) ]

3. Si la proposición ( p V ~q) V ~(s Λ ~r)es falsa, determine el valor de verdad de cada proposición simple.4. Si la proposición ~ (~p Λ q) v ( r V s) ; es falsa; deducir el valor de verdad de cada proposición simple.5.- Si la proposición ~[(~p V q) V (r → q] Λ [(~p V q) → (q Λ ~p)] es verdadera; Hallar el valor de verdad de p; q y r.

FÓRMULA LÓGICA• Es una combinación de variables

proposiciones y operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.

• El número de valores de verdad (filas) de estos esquemas moleculares se determina por , donde «n» es el número de proposiciones simples diferentes que existan en la fórmula lógica.

• Si al evaluar una fórmula lógica los valores de verdad de la columna que corresponde al conector principal:

• Todos son verdaderos, entonces es una TAUTOLOGÍA.

• Todos son falsos, entonces es una CONTRADICCIÓN.

• Si es una combinación de verdaderos y falsos, es una CONTINGENCIA.

• Ejercicio: Construya la tabla de valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes e indique si es tautología, contingencia o contradicción:a) ~[~p → ~( ~q Λ ~p )] V ~( ~p V ~q) b) ~( p → q) ↔ ~( ~q → ~p)c) [( p V ~q ) Λ ~p] Λ ~( ~q → p) d) [ p → (q → r) ] ↔ [( p Λ ~r) → ~q ]e) ~{(~p Δ ~r)→[~(p Λ q)Ѵ ~r]} f) {[(p Λ v) Ѵ (p Λ ~v)] Λ (p Ѵ q)} ↔ p