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1.4. Integral de línea de un campo escalar. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las
interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la
integral de línea de un campo escalar.
1.4.1. Definición de la integral de línea de un campo escalar f sobre
una curva suave C como una suma de Riemann.
Es posible realizar una analogía entre la integral definida para una intervalo [ ],a b (o
integral de Riemann), y la integral de línea, ya que, así como en la integral de
Riemann se integra sobre un intervalo [a,b], en el caso de la integral de línea se
integra sobre una curva C.
Figura 27. Integral de línea de un campo escalar.
Sea la curva suave C, en el plano xy, definida por las ecuaciones paramétricas
( )x x t= e ( )y y t= con a t b≤ ≤ , esto es equivalente a decir que la curva C esta
C
1iP−
iP
a b t
f(t)
1it − it *it *
iP
definida por la función vectorial ( ) ( ) ( )( )2: / ,g g t x t y tℜ→ℜ = , en donde las
primeras derivadas de ( )x t e ( )y t son continuas para a t b≤ ≤ . Se toma ahora una
partición del intervalo del parámetro [a,b], con n subintervalos [ ]1,i it t− de igual
longitud, de manera que ( )* *i ix x t= e ( )* *
i iy y t= , donde [ ]*1,i i it t t−∈ quedando así
dividida la curva C en n subarcos de longitudes 1 2 3, , ,..., ns s s s∆ ∆ ∆ ∆ . Se elige ahora un
punto genérico ( )* * *,i i iP x y del i-ésimo arco que se corresponde con [ ]*1,i i it t t−∈ .
Ahora bien, sea f una función cualquiera de dos variables en cuyo dominio esta
incluida la curva C, obteniendo la imagen de la función f para el punto ( )* *,i ix y , se
multiplica esta por la longitud is∆ del subarco, realizando este procedimiento para
todos los puntos sobre la curva se puede generar la siguiente suma
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *1 1 1 2 2 2 3 3 3
1, , , ... , ,
n
n n n i i ii
f x y s f x y s f x y s f x y s f x y s=
∆ + ∆ + ∆ + + ∆ = ∆∑
Siendo ésta una suma de Riemann para la función ( ),f x y s∆ . Tomando el límite de
esta suma cuando n →∞ se define la integral de línea de un campo escalar de la
siguiente manera
Definición. Sea la función 2:f ℜ →ℜ un campo escalar continuo en una región D
que contiene a la curva suave C, tal que C viene definida en forma paramétrica por
( ) ( ) ( )( ) [ ]2: / , , ,g g t x t y t t a bℜ→ℜ = ∈ , entonces la integral de línea del campo
escalar f sobre la curva C es
( ) ( )* *
1, ,
n
i i in iC
f x y ds Lim f x y s→∞
=
= ∆∑∫
Como se mencionó anteriormente, la longitud de una curva C, definida en el plano en
forma paramétrica por la ( ) ( ) ( )( ) [ ]2: / , , ,g g t x t y t t a bℜ→ℜ = ∈ , se determina a
partir de la integral definida
2 2b b
a a
dx dyL ds dtdt dt
= = + ∫ ∫
Y por tanto la evaluación de una integral de línea se puede realizar a través de la
siguiente fórmula:
( ) ( ) ( )( )2 2
, ,b
aC
dx dyf x y ds f x t y t dtdt dt
= + ∫ ∫
Es importante señalar que la integral tendrá un valor diferente si se recorre la curva C
tomando el parámetro t desde a hacia b, orientación definida como positiva, que si se
recorre desde b hacia a, por propiedad de las integrales definidas, al invertir los
límites de integración, esto es
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
, ,b a
a b
dx dy dx dyf x t y t dt f x t y t dtdt dt dt dt
+ = − + ∫ ∫
Definición. Si C es una curva en el espacio definida paramétricamente por
( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]3: / , , , ,g g t x t y t z t t a bℜ→ℜ = ∈ , y 3:f ℜ →ℜ es un campo escalar
continuo en una región D que contiene a la curva C, entonces la integral de línea del
campo escalar f sobre la curva C está dada por
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2
, , , ,b
aC
dx dy dzf x y z ds f x t y t z t dtdt dt dt
= + + ∫ ∫
A la integral de línea de la forma ( ), ,C
f x y z ds∫ , también se le llama integral de
línea de f con respecto a la longitud de arco de la curva C.
EJEMPLO 19. Evalúe la siguiente integral de línea C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z x y z= + +
donde la curva C está definida por ( ) ( ) [ ]3: / , cos , , 0, 2g g t sent t t t πℜ→ℜ = ∈ .
Solución. Para calcular esta integral utilizamos la definición de la integral de línea
con respecto a la longitud de arco de tal manera que la integral, en forma general se
puede escribir en función del parámetro t de la siguiente manera
( ) ( ) ( )( )2 2 2
, ,b
a
dx dy dzf x t y t z t dtdt dt dt
+ + ∫
Así pues,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
02
022
02
cos cos 1
cos 2
cos2
2
C Cf ds x y z ds
sent t t t sent dt
sent t t dt
tt sent
π
π
π
π
= + +
= + + + − +
= + +
= − + +
=
∫ ∫
∫∫
EJEMPLO 20. Evalúe la siguiente integral de línea C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z x y z= + +
donde la curva C está dada paramétricamente por [ ] ( ) ( )3: 1,3 / ,3 , 2g g t t t t→ℜ = .
Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la longitud de arco. Así pues,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 2
13
13
2
1
3 2 1 3 2
6 14
3 14
24 14
C Cf ds x y z ds
t t t dt
t dt
t
= + +
= + + + +
=
=
=
∫ ∫
∫∫
EJEMPLO 21. Demuestre que la integral de ( ),f x y a lo largo de una curva
definida en coordenadas polares por ( )r r θ= , con 1 2θ θ θ≤ ≤ , es igual a
( )2
1
22cos , s drf r r en r d
dθ
θθ θ θ
θ + ∫ .
Solución. Como la trayectoria r, está dada en coordenadas polares se puede sustituir
esta parametrización en la función ( ),f x y como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2, cos , s ,x y r r enθ θ θ θ θ θ θ= ≤ ≤ , para obtener el diferencial de
longitud 2 2dy dyds d
d dθ
θ θ = +
, se calcula
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' cos
cos '
dx r sen rddy r r send
θ θ θ θθ
θ θ θ θθ
= − + = +
Al sustituir estas expresiones en al formula del diferencial de longitud se obtiene
( )( )2
2 drds r dd
θ θθ
= +
, y con esto queda demostrado que la integral de línea
para esta trayectoria dada en coordenadas polares, es igual a
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2
1
22
cos , drf r r sen r dd
θ
θθ θ θ θ θ θ
θ + ∫
La integral de línea también puede evaluarse, no solo con respecto a la longitud de la
curva, sino con respecto a las variables x e y. Así pues, sea ( ),f x y un campo escalar,
y sea C una curva dada paramétricamente por ( ) ( ) ( )( )2: / ,g g t x t y tℜ→ℜ = ,
entonces la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x,
( ),C
f x y dx∫ , y la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a y,
( ),C
f x y dy∫ , se plantearían en términos del parámetro t de la curva C,
respectivamente, de la siguiente manera
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,b
aC
df x y dx f x t y t x t dtdt
=∫ ∫
y
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,b
aC
df x y dy f x t y t y t dtdt
=∫ ∫
De manera análoga, si ( ), ,f x y z es un campo escalar, y sea C una curva dada
paramétricamente por ( ) ( ) ( ) ( )( )3: / , ,g g t x t y t z tℜ→ℜ = , entonces la integral de
línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x, ( ), ,C
f x y z dx∫ , la integral de línea
de f a lo largo de la curva C con respecto a y, ( ), ,C
f x y z dy∫ , y la integral de línea de
f a lo largo de la curva C con respecto a z, ( ), ,C
f x y z dz∫ se plantearían en términos
del parámetro t de la curva C, respectivamente, de la siguiente manera
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,b
aC
df x y z dx f x t y t z t x t dtdt
=∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,b
aC
df x y z dy f x t y t z t y t dtdt
=∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,b
aC
df x y z dy f x t y t z t z t dtdt
=∫ ∫
EJEMPLO 22. Sea ( ) 3,f x y x y= + , y la curva C dada paramétricamente por
[ ] ( ) ( )2 3: 0,1 / 3 ,h h t t t→ℜ = , calcule las integrales de línea C
f dx∫ y C
f dy∫
Solución. Para calcular la primera integral utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la variable x de tal manera que la integral, se puede escribir de la
siguiente manera:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,b
aC
df x y dx f x t y t x t dtdt
=∫ ∫
Así pues,
( )( )( )
3
1 3 3
0
1 3
01
4
0
3 3
30
152
152
C Cf dx x y dx
t t dt
t dt
t
= +
= +
=
=
=
∫ ∫∫
∫
De manera similar la integral de línea de f con respecto a y, lo podemos escribir de la
siguiente manera
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,b
aC
df x y dy f x t y t y t dtdt
=∫ ∫
Así que,
( )( )( )
3
1 3 3 2
0
1 5
01
6
0
3 3
64
323
323
C Cf dy x y dy
t t t dt
t dt
t
= +
= +
=
=
=
∫ ∫∫
∫
EJEMPLO 23. Evalúe la siguiente integral de línea C
f dx∫ , si ( ), ,f x y z xyz=
sabiendo que la curva C viene dada paramétricamente por la función
( ) ( ) [ ]3 2: / , , , 1,3t t tg g t e e e t−ℜ→ℜ = ∈
Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la variable x. Así pues,
( )
( )
( )
1 2
01 3
01
3
0
3
13
1 13
C C
t t t t
t
t
f dx xyz dx
e e e e dt
e dt
e
e
−
=
=
=
=
= −
∫ ∫∫∫
EJEMPLO 24. Evalúe integral C
ydx zdy xdz+ +∫ , siendo C la curva dada
paramétricamente por ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2: 0, / , 2 ,2
g g t sen t sen t sen tπ →ℜ = .
Solución. Para calcular el valor de esta integral podemos reescribir la integral de
línea de la siguiente manera
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
b
C a
b
a
d d dydx zdy xdz y t x t dt z t y t dt x t z t dtdt dt dt
d d dy t x t z t y t x t z t dtdt dt dt
+ + = + +
= + +
∫ ∫
∫
De tal manera que,
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
220
220
22 3
0
2 cos 2cos 2 cos
2 cos 4 cos
43
73
Cydx zdy xdz sen t t sen t t sen t sen t t dt
sen t t sen t t dt
sen t sen t
π
π
π
+ + = + +
= +
= +
=
∫ ∫
∫
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.1.
1) Determine el valor de la siguiente integral de línea C
f ds∫ , si ( ) 2,f x y y= donde
la curva C está dada paramétricamente por
[ ] ( ) ( )( ) ( )( )( )2: 0, 2 / , 1 cosg g t a t sen t a tπ →ℜ = − − .
2) Evalúe la siguiente integral de línea C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z z= donde la curva C
está dada paramétricamente por [ ] ( ) ( ) ( )( )3: 0, / cos , ,g k g t t t tsen t t→ℜ = .
3) Evalúe la siguiente integral de línea C
f ds∫ , si ( ) 2, 3f x y y= donde la curva C es
el la porción de la curva 2y x= que va desde el punto ( )2, 4 hasta el punto ( )0,0 .
1.4.2. Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar f. A continuación se presentaran dos aplicaciones relacionadas con la integral de línea
de un campo escalar, como lo son el cálculo del área de una cerca o una valla de
altura variable y la masa de un alambre de densidad lineal variable.
1.4.2.1. Área de una cerca de altura variable.
Si se recuerda la interpretación geométrica de la integral definida ( )b
a
f x dx∫ , como el
límite de la suma de los rectángulos de base x∆ y altura ( )f x para un intervalo de
[ ],x a b∈ , análogamente se puede decir que la integral de línea ( ),C
f x y ds∫ se
corresponde al límite de la suma de los rectángulos de base s∆ y altura ( ),z f x y=
para una curva C cuyo recorrido esté sobre el plano xy. Esta interpretación
comparativa se puede observar en la Figura 28.
(a) (b)
Figura 28. (a) Interpretación geométrica de ( )b
a
f x dx∫ y
(b) Interpretación geométrica de ( ),C
f x y ds∫
( )y f x=
Por supuesto, que si ( ) [ ]0, ,f x x a b≥ ∀ ∈ , entonces ( )b
a
f x dx∫ representa
geométricamente el área bajo la curva ( )y f x= en el intervalo de integración [ ],a b , así
mismo si ( ) ( ), 0, ,f x y x y C≥ ∀ ∈ , entonces ( ),C
f x y ds∫ representa el área de la
superficie (de una de las caras) de la región que es generada por los segmentos
verticales desde los puntos pertenecientes a la curva C en plano xy hasta la gráfica de
la función ( ),z f x y= .
Se observará con un ejemplo como a través de la integral de línea es posible la
determinación el valor del área de una pared, valla o cerca, cuya altura sea variable.
EJEMPLO 25. Una agencia de publicidad ofrece a sus clientes una valla cuya altura
es variable y viene dada por la función ( ), 13yf x y = + , si la base de la valla coincide
con la trayectoria ( ) ( )3 3 3: / 3cos ,3 ,0 ,0g g t t sen t t πℜ→ℜ = ≤ ≤ , tal como se ilustra
en la Figura 29. Determine cuanto debe cobrar mensualmente la agencia de
publicidad, si se sabe que la valla va a estar ubicada de tal manera que puede ser
observada por ambos lados, y el alquiler mensual de la vaya publicitaria es de 40
Bs/m2.
Figura 29. Valla de altura variable.
Solución. Aprovechando la simetría de la curva calculemos la superficie de la valla a
lo largo de la longitud ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano, luego
multiplicamos este por dos debido a que la valla se observa por ambos lados, y luego
este valor resultante lo multiplicamos por dos para obtener la superficie total visible
de la valla.
Determinemos la superficie con la integral de línea definida con respecto a la longitud
de arco:
( ) ( )
( )
3 2 22 220
420
2 5 2
0
13
31 9cos 9 cos3
9 cos
2 5
1 1 6392 5 10
C C
yf ds ds
sen t tsent sen t t dt
sent sen t t dt
sen t sen t
π
π
π
= +
= + − +
= +
= +
= + =
∫ ∫
∫
∫
Multiplicamos el valor obtenido, 6310
m2, por dos, obtendríamos el área de ambos
lados de la valla, 635
m2, y luego por dos nuevamente para obtener 1265
m2 que es el
valor de la superficie visible total de la valla. Por lo que el costo de arrendamiento del
espacio publicitario seria de 1.008 Bs.
EJEMPLO 26. Determine el área de una cerca cuya altura es variable y viene dada
por la función ( ),g x y xy= , si la base de la cerca viene dada por la trayectoria
descrita por la circunferencia 2 2 9x y+ = , en el primer cuadrante.
Solución. El área de la cerca se determina mediante la integral de línea ( ),C
g x y ds∫ ,
donde la curva C se puede parametrizar como
( ) ( )2: / cos , , 0,2
f f t t sent t π ℜ→ℜ = ∈
Figura 30. Cerca de altura variable del Ejemplo 26.
Determinemos la superficie de ésta cerca con la integral de línea definida con
respecto a la longitud de arco:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 220
20
2 2
0
cos cos
cos
2
12
C Cf ds xyds
t sen t sent t dt
sen t t dt
sen t
π
π
π
=
= − +
=
=
=
∫ ∫
∫
∫
1.4.2.2. Masa de un alambre.
La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea ( ),C
f x y ds∫
dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función ( ),x yρ
representa la densidad lineal de un punto ( ),x y de un alambre muy delgado en forma
de la curva C y si se divide la curva C en n subarcos de longitudes
1 2 3, , ,..., ns s s s∆ ∆ ∆ ∆ , con 1i i is P P−∆ ≈ , entonces la masa del alambre que va desde
1iP− hasta iP se puede aproximar mediante la siguiente expresión ( )* *,i i ix y sρ ∆ ; por
tanto la masa del alambre completo vendría dado por ( )* *
1,
n
i i ii
x y sρ=
∆∑ . Para tener una
aproximación más cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede
incrementar el número de subarcos n en el que se dividió inicialmente la curva C. Al
estudiar el límite de estas aproximaciones cuando n →∞ , se obtiene el valor exacto
de la masa del alambre:
( ) ( )* *
1, ,
n
i i in i C
m Lim x y s x y dsρ ρ→∞
=
= ∆ =∑ ∫
Para elementos como espirales, muelles o alambres cuya densidad lineal pueda ser
variable, la integral de línea permite el cálculo de la masa de estos elementos
apoyados en la definición de la misma con respecto a la longitud de arco, como se
observará en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 27. Hallar la masa de un alambre formado por la intersección de la
superficie esférica 2 2 2 1x y z+ + = y el plano 0x y z+ + = si la densidad en ( ), ,x y z
está dada por ( ) 2, ,x y z xρ = gramos por unidad de longitud del alambre.
Solución. El alambre vendría dado por la intersección de la superficie esférica y el
plano, la cual genera la curva que se observa en la Figura 31, es conveniente aquí
parametrizar la curva de la siguiente manera
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 2 2 2: 0,2 / , cos , cos6 2 6 2 6
g g sen sen senπ θ θ θ θ θ θ →ℜ = − − −
Figura 31. Representación del alambre del Ejemplo 27.
La masa del alambre se calcula mediante la siguiente integral de línea
( ) 2, ,C C C
f ds x y z ds x dsρ= =∫ ∫ ∫ , en donde el diferencial de longitud de la curva C,
definida en forma paramétrica viene dado por la expresión
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
4 2 2 2 2cos cos cos6 2 6 2 6
dS sen sen dθ θ θ θ θ θ = + − + − −
Y al sustituir ( )46
x sen θ= y dS y simplificar en la integral de línea se obtiene
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
0
2 2
0
2
0
, ,
16 43
323
16 16cos3 3
323
C C
C
f ds x y z ds
x ds
sen d
sen d
sen
π
π
π
ρ
θ θ
θ θ
θ θ θ
π
=
=
=
=
= − +
=
∫ ∫∫
∫
∫
0z x y+ + =
2 2 2 4x y z+ + =
La masa total del alambre es igual a 323π unidades.
EJEMPLO 28. Determinar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice
circular dada por la curva ( ) ( ) ( )( ) [ ]3: / , cos , , 0, 2g g t ksen t k t mt t πℜ→ℜ = − ∈ con
0k > y 0m > si la densidad en el punto ( ), ,x y z está dada por
( ) 2 2 2, ,x y z x y zρ = + + gramos por unidad de longitud del alambre.
Solución. Conocida la función densidad del alambre y la curva paramétrica cuya
trayectoria describe la forma del alambre observada en la Figura 32 se plantea la
integral de línea de línea correspondiente.
Figura 32. Representación del alambre del Ejemplo 28.
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 22 2
0
2 2 2 2 2 20
22 2 2 2 20
22 2 2 2 3
0
823
, ,
cos cos
13
C C
C
k m k m
f ds x y z ds
x y z ds
ksent k t mt k t ksent m dt
k m t k m dt
k m k m t dt
k m k t m t
π
π
π
π
π π
ρ
= + +
=
= + +
= − + + − + − +
= + +
= + +
= + +
∫ ∫∫
∫
∫∫
EJEMPLO 29. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de elipse dada por
la curva [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )3: 0, 2 / cos , , cosh h t a t asen t a tπ →ℜ = con 0a > si la
densidad en el punto ( ), ,x y z está dada por ( ), , 4x y zρ = gramos por unidad de
longitud del alambre.
Solución. La densidad del alambre en este caso es constante, la integral de línea de la
densidad con respecto a la longitud de arco de la curva C, cuyo recorrido describe la
forma del alambre y que se muestra en la Figura 33, se plantea la integral de línea que
permite calcular el valor de la masa total del alambre.
Figura 33. Representación del alambre del Ejemplo 29.
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 22 2
0
2 2 2 2 2 20
22 2 2 2 20
22 2 2 2 3
0
823
, ,
cos cos
13
C C
C
k m k m
f ds x y z ds
x y z ds
ksent k t mt k t ksent m dt
k m t k m dt
k m k m t dt
k m k t m t
π
π
π
π
π π
ρ
= + +
=
= + +
= − + + − + − +
= + +
= + +
= + +
∫ ∫∫
∫
∫∫
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.2
1) Calcular la masa de un alambre que tiene la forma del circulo 2 2 2x y a+ = , con
0a > , si la densidad en el punto ( ),x y está dada por ( ),x y x yρ = + gramos por
unidad de longitud del alambre.
2) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ( ),x y xρ = , y
tiene la forma de 2y x= con 0 3x≤ ≤ .
3) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ( ),x y yρ = , y
tiene la forma de 24x y= − con 0 2y≤ ≤ .
4) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ) 2 2,z f x y x y= = + , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va
desde el punto ( )2,0,0 has ta el punto ( )0, 2,0 .
5) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ), 4z f x y x= = − , y cuya base coincide con la elipse 2 24 4x x+ = .
6) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ) 2 2, 4z f x y x y= = − − , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va
desde el punto ( )2,0,0 has ta el punto ( )2,0,0− .
