BÀI GIẢNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2

PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Ch¬ng1:¸nhx¹tuyÕntÝnh Bµi1:§ÞnhnghÜa¸nhx¹tuyÕn

tÝnh¸nhx¹. Cho hai tËp hîp X, Y tuú ý cho tr íc.

Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui t¾c cho t ¬ng øng mçi phÇn tö x cña X víi mét phÇn tö duy nhÊt, ký hiÖu f(x) cña Y. Ta viÕt

 

X ® îc gäi lµ tËp nguån hay tËp x¸c ®Þnh, Y ® îc gäi lµ tËp ®Ých. Víi mçi x X, f(x) Y ® îc gäi lµ ¶nh cña x bëi f hay gi¸ trÞ cña f t¹i x. x ® îc gäi lµ t¹o ¶nh cña f(x).

: hay : , ( )

( )

f X Yf X Y x f x

x f x

VÝdô. a) Cho X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c, d, e}. T ¬ng øng

Cho ta ¸nh x¹ f: X Y. Trong khi ®ã:T ¬ng øng kh«ng cho ta

¸nh x¹ v× phÇn tö 4 kh«ng cã t ¬ng øng.T ¬ng øng

kh«ng cho ta ¸nh x¹ v× phÇn tö 3 t ¬ng øng víi 2 phÇn tö c, d ( kh«ng duy nhÊt).

b) T ¬ng øng víi mçi x R mét phÇn tö x2 R cho ta ¸nh x¹ f: R R.

Víi tËp hîp X tuú ý, t ¬ng øng mçi phÇn tö x X víi chÝnh phÇn tö x lµ ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt, ký hiÖu idX : X X

1 , 2 , 3 , 4a a c d

1 , 2 , 3a b c

1 , 2 , 3a b c

1 , 2 , 3 , 3 , 4a b c d e

§¬n¸nh,toµn¸nh,song¸nhCho ¸nh x¹ f: X Y.• f ® îc gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäi phÇn tö x,

x’ X, xx’f(x) f(x’). Nãi c¸ch kh¸c: f(x) = f(x’) x =x’• f ® îc gäi lµ toµn ¸nh nÕu mäi phÇn tö yY

®Òu cã t¹o ¶nh (cã phÇn tö x X sao cho y=f(x)). Nãi c¸ch kh¸c: Víi mäi yY, ph ¬ng tr×nh f(x)=y cã nghiÖm thuéc X.

• f ® îc gäi lµ song ¸nh nÕu f võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh.

Trong vÝ dô a) ë trªn ¸nh x¹ f kh«ng lµ ®¬n ¸nh còng kh«ng lµ toµn ¸nh.

VÝdô.¸nhx¹ f ®¬n ¸nh, thËt vËy víi mäi phÇn tö x, x’ R, f(x)=f(x’) x3 =x’3 x=x’

f toµn ¸nh, thËt vËy víi mäi phÇn tö y R, xÐt ph ¬ng tr×nh f(x)=y x3=y

Do ®ã f song ¸nh.• Ánh xạ ngược. NÕu,

lµ song ¸nh, ta cã ¸nh x¹ vµ gäi

lµ ¸nh x¹ ng îc cña f.

3x y

3: ,f R R x x

: X , ( )f Y x y f x

1 : Y , , ( ( ))f X y x y f x

1.§ÞnhnghÜa.Cho V vµ W lµ c¸c kh«ng gian vect¬ trªn cïng mét tr êng K. ¸nh x¹

: V W ® îc gäi lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh (hay ®ång cÊu tuyÕn tÝnh) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau víi mäi x, yV, kK:

i) (x+y) = (x) + (y),ii) (kx) = k(x).

Chóý. ¸nh x¹ : V W lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi (kx+ly) = k(x) + l(y), víi mäi x, y V, k, l K.

HÖqu¶. NÕu : V W lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh th×:(i) (0) = 0,(ii) (- x) = - (x), víi mäi x V,

víi mäi x1 , . . . , xn V,

k1 , . . . , kn K.

VÝdô.a) ¸nh x¹ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, gäi lµ

¸nh x¹ kh«ng.b) ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt.Tæng qu¸t, cho k K, ¸nh x¹ lµ

¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

1 1

) ( ) ( )n n

i i i ii i

iii k x k x

0 : , 0V W x

: ,Vid V V x x

. : ,k V V x kx

c) Cho a, b R, ¸nh x¹: lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

d) ¸nh x¹ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh (CM)

e) Cho V=C[a;b] lµ kh«ng gian vect¬ c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a;b], c¸c ¸nh x¹ ®¹o hµm vµ tÝch ph©n sau lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh:

f) C¸c ¸nh x¹

kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh (CM).

2: , ( , )f R R x y ax by

2 3: , ( , ) ( , , )R R x y x x y x y

[ ; ] [ ; ], ' [ ; ] , ( )b

a

C a b C a b f f C a b R f f x dx

2 3

2 3 2 3

: , ( , ) ( 1, , )

: , ( , ) ( , , 2); h : , ( , ) ( , , )

R R x y x x y x y

R R x y x x y R R x y x x y xy

d) ¸nh x¹ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh:

2 3: , ( , ) ( , , )R R x y x x y x y

2( , ), ( ', ') , k :

(( , ) ( ', ')) (( ', '))

( ', ' ', ' ')

( , , ) ( ', ' ', ' ')

((

x y x y R R

x y x y x x y y

x x x x y y x x y y

x x y x y x x y x y

x

, )) (( ', '))

( ( , )) (( , )) ( , , )

=k( , , ) (( , ))

y x y

k x y kx ky kx kx ky kx ky

x x y x y k x y

f) C¸c ¸nh x¹

kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.CM.LÊy (1,2) vµ (3,-4) R2,((1,2) + (3,-4) ) = (4,-2) = (5,2,6)(1,2)=(2,3,-1)(3,-4)=(4,-1,7)(1,2)+ (3,-4)=(6,2,6)≠ ((1,2) + (3,-4) )

2 3

2 3

: , ( , ) ( 1, , )

: , ( , ) ( , , 2)

R R x y x x y x y

R R x y x x y

2. Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính

a) Tích của các ánh xạ tuyến tính:

Cho V, V’, V” là các K-không gian vectơ và các axtt:

f : V V’, g: V’ V”. Ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là tích của các ánh xạ f và g.

Ký hiệu h = gf.

b) Qua axtt, ảnh của một hệ vectơ pttt là pttt.

Tương đương: Nếu ảnh của một hệ vectơ là đltt thì hệ vectơ đó đltt.

CM: Cho hệ vectơ {u1 , u2 , . . . , um} trong V.

h: V V", x g(f(x))

CM: Cho hệ vectơ {u1 , u2 , . . . , um} trong V sao cho {f(u1) , f(u2) , . . . , f(um)} đltt

Xét k1 u1+ k2 u2+…+ km um=0

f(k1 u1+ k2 u2+…+ km um)=0

k1f(u1)+ k2f(u2)+…+ kmf(um)=0

k1=k2=…=km=0 {u1 , u2 , . . . , um} đltt.

c) Axtt không làm tăng hạng của một hệ vectơ.

3. Định lý cơ bản về xác địnhaxttĐịnh lý. ChoE = {e1 , e2 , . . . , en} lµ mét c¬ së

cña K-kh«ng gian vect¬ V vµ {a1 , a2 , . . . , an} lµ hÖ n vect¬ tuú ý cña K-kh«ng gian vect¬ W. Cã mét vµ chØ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

: V W sao cho (ei) = ai víi mäi i=1,2, . . ., n.

Nãi v¾n t¾t: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh hoµn toµn ® îc x¸c ®Þnh bëi ¶nh cña mét c¬ së.

Chøng minh. Tånt¹i. Víi vect¬ tïy ý x = x1e1+x2e2+…

+xnenV, ta ®Æt (x) = x1 a1 +x2 a2 +…+xnan W. Khi ®ã ta cã ¸nh x¹ : V W. DÔ kiÓm tra lµ axtt.

DuynhÊt. Gi¶ sö cã axtt : V W sao cho (ei) = ai víi mäi i=1,2, . . ., n. Khi ®ã: Víi

vect¬ tïy ý x = x1e1+x2e2+…+xnenV,

(x) = (x1e1+x2e2+…+xnen)

= x1 (e1) +x2 (e2) +…+xn (en)

= x1 a1 +x2 a2 +…+xnan = (x)

= .

Bài2:Ảnhvành©ncña¸nhx¹tuyÕntÝnh

1. ¶nhvµ¶nhngîccñamétkh«nggiancon

Cho¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W, X lµ kgvt con cña V, Y lµ kgvt con cña W.

(X) = {f(x) | xX} ® îc gäi lµ ¶nh cña kgvt con X.

-1(Y)= {u V | f(u) Y} ® îc gäi lµ ¶nh ng îc cña kgvt con Y.

§Þnhlý.(X) lµ kgvt con cña W vµ -1(Y) lµ kgvt con cña V.

CM (BT)

2.Nh©nvµ¶nhCho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W.TËp hîp Ker = {xV (x)=0}V ® îc gäi lµ

nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh .TËp hîp Im = {(x) xV} W ® îc gäi lµ

¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh .• dim Im ® îc gäi lµ h¹ng cña axtt Ký hiÖu: rank()• dim Ker ® îc gäi lµ sè khuyÕt cña axtt Ký hiÖu: def().Chó ý. 0rank()dimW, 0def()dimV.

2.§¬ncÊu,toµncÊu,®¼ngcÊuCho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ® îc gäi lµ ®¬n cÊu

(toµn cÊu, ®¼ng cÊu) nÕu ¸nh x¹ lµ ®¬n ¸nh (toµn ¸nh, song ¸nh).

TÝnhchÊt. i) TÝch cña hai ®¬n cÊu (toµn cÊu, ®¼ng cÊu) lµ ®¬n cÊu (toµn cÊu, ®¼ng cÊu).

ii) NÕu lµ ®¼ng cÊu th× ¸nh x¹ ng îc -1 : W V còng lµ ®¼ng cÊu và -1

=idV -1

=idW

§Þnhlý1.Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t ¬ng ® ¬ng:)i lµ ®¬n cÊu;ii) Ker = 0;)iii biÕn mét hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V thµnh mét hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong W;)iv gi÷ nguyªn h¹ng cña mäi hÖ h÷u h¹n vect¬;)v gi÷ nguyªn sè chiÒu cña mäi kh«ng gian

con h÷u h¹n chiÒu X cña V;Vµ nÕu V lµ kgvt h÷u h¹n chiÒu th× c¸c mÖnh

®Ò trªn t ¬ng ® ¬ng víivi) rank = dimV.

Chøng minh. S¬ ®å CM: i)ii) iii) iv) v) i). Trong tr êng hîp V h÷u h¹n chiÒu: v) vi) i).

i)ii). x Ker, (x)=0= (0) x=0 Ker=0.ii) iii). GØa sö {u1 , u2 , . . . , um} lµ hÖ

vect¬ ®ltt trong V. Chok1(u1)+k2(u2)+…+km(um)=0

(k1u1+k2u2+…+kmum)=0

k1u1+k2u2+…+kmum=0

k1=k2=…=km=0 {(u1), (u2), . . . , (um)} lµ hÖ vect¬ ®ltt trong W.

iii) iv). XÐt hÖ vect¬ {u1 , u2 , . . . , um} trong V.

Theo bµi tr íc: rank{(u1), (u2), . . . , (um)} rank{u1 , u2 , . . . , um}.

Ta cÇn CM: rank{u1 , u2 , . . . , um} rank{(u1), (u2), . . . , (um)}.

Gi¶ sö lµ hÖ vect¬ ®ltt tèi ®¹i cña {u1 , u2 , . . . , um}, theo (iii)

®ltt trong W.

Nh vËy, rank{u1 , u2 , . . . , um} rank{(u1), (u2), . . . , (um)}.

1 2 ki i i{u , u , . . . , u }

1 2 ki i i{ (u ) , (u ) , . . . , (u )}

iv) v). Gäi U lµ c¬ së cña X, khi ®ã X=<U>. Suy ra

(X)=< (U)>. Ta cã dimX=rank(U)=rank((U))=dim(X).v) i) LÊy hai vect¬ tïy ý u, vV tháa (u)=(v). Ta

cÇn chøng minh u=v. ThËt vËy, ta cã thÓ gi¶ thiÕt u0 (v× nÕu u=v=0 th× râ) (u) 0. Ta cã rank{u,v}=rank{(u), (v)}=1v=ku

Þ (u)=(ku) (u-ku)=0 ((1-k)u)=0 (1-k)(u)=0 1-k=0 k=1 u=v.Tr êng hîp V lµ kgvt h÷u h¹n chiÒu:v) vi). rank=dimIm=dim(V)=dimV.vi) i). BT.

§Þnhlý2.Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t ¬ng ® ¬ng:)i lµ toµn cÊu;ii) Im = W;iii) rank=dimW (dimW<);)iv biÕn hÖ sinh cña V thµnh hÖ sinh cña W;

CM (BT).Hệquả.Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W,

dimV=dimW=n. Khi đã c¸c mÖnh ®Ò sau t ¬ng ® ¬ng:

i) lµ ®¬n cÊu; ii) lµ toµn cÊu; iii) lµ ®¼ng cÊu.

3.Sù®¼ngcÊucñac¸ckh«nggianvect¬h÷uh¹nchiÒu

Hai K-kgvt U vµ V ® îc gäi lµ ®½ng cÊu víi nhau nÕu cã mét ®¼ng cÊu f : UV.

§Þnh lý 3. Hai K-kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu ®½ng cÊu víi nhau khi vµ chØ khi chóng cã cïng sè chiÒu.

CM (BT)

Bµi3:MatrËncña¸nhx¹tuyÕntÝnh

1.MatrËncña¸nhx¹tuyÕntÝnhChoc¬ së E = {e1 , e2 , . . . , en} cña K-

kh«ng gian vect¬ V vµ c¬ së B = {u1 , u2 , . . . , um} cña K-kh«ng gian vect¬ W. Theo §Þnh lý x¸c ®Þnh axtt, mçi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V W hoµn toµn ® îc x¸c ®Þnh bëi n vect¬ ai = (ei) (i=1, 2, …, n).

Gi¶ sö1 1 11 1 21 2 1

2 2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

( ) ...

( ) ...

...................................................

( ) ...

m m

m m

n n n n mn m

a e a u a u a u

a e a u a u a u

a e a u a u a u

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

gäi lµ ma trËn cña ®èi víi c¸c c¬ së E vµ B.

Chóý. a) Khi V=W, ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh : V V

® îc gäi lµ tù ®ång cÊu (hay phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh) cña V. §Ó biÓu diÔn tù ®ång cÊu ®ã ta chØ cÇn dïng mét c¬ së E = {e1 , e2 , . . . , en} cña V, khi ®ã ma trËn A cña tù ®ång cÊu lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n vµ ® îc gäi lµ ma trËn cña tù ®ång cÊu ®èi víi c¬ së E.

Ký hiÖu End V lµ tËp tÊt c¶ c¸c tù ®ång cÊu cña V, th× ¸nh x¹ End V Mat(n; K) lµ mét song ¸nh.

b) Cho ma trËn A=[aij ] cì mn trong K, lu«n cã thÓ xem nã lµ ma trËn cña ®ång cÊu

Kn Km trong c¸c c¬ së chÝnh t¾c cña c¸c kh«ng gian vect¬ nµy. Mäi ma trËn vu«ng cÊp n trong K lu«n cã thÓ coi lµ ma trËn cña tù ®ång cÊu cña Kn trong c¬ së chÝnh t¾c cña nã.

VÝdô. T×m ma trËn ®èi víi c¸c c¬ së chÝnh t¾c (ma trËn chÝnh t¾c) cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

: R3 R4 x¸c ®Þnh bëi: ((x1 , x2 , x3))=(x1 + x2 , x1 - x2 , x3 , x1).

Ta cã (e1) = ((1,0,0))=(1,1,0,1)= e’1 + e’2+

+ e’4

(e2) = ((0,1,0))=(1,-1,0,0)= e’1 - e’2

(e3) = ((0,0,1))=(0,0,1,0)= e’3

(e1) = ((1,0,0))=(1,1,0,1)= e’1 + e’2+ + e’4

(e2) = ((0,1,0))=(1,-1,0,)= e’1 - e’2

(e3) = ((0,0,1))=(0,0,1,0)= e’3

Khi ®ã 1 1 0

1 1 0

0 0 1

1 0 0

A

2. BiÓu thøc täa ®éCho axtt : VW, E lµ c¬ së cña V vµ B lµ

c¬ së cña W, A lµ ma trËn cña ®èi víi c¸c c¬ së E, B. LÊy vect¬ xV, khi ®ã ta cã:

NÕu cã thªm E’ lµ mét c¬ së kh¸c cña V vµ B’ lµ c¬ së kh¸c cña W. C lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang E’, D lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së B sang B’. Gäi A’ lµ ma trËn cña ®èi víi c¸c c¬ së E’, B’, ta cã:

A’ = D-1AC.

( )E B

A x x

BàitậpI. Trong c¸c ¸nh x¹ sau, ¸nh x¹ nµo lµ ¸nh x¹

tuyÕn tÝnh?

3 21 2 3 1 2 2 3

3 31 2 3 1 2 2 3 3 1

3 31 2 3 1 2 2 3 1

3 31 2 3 1 2 2 3

n n

n n

) f: R R ,( , , ) (2 , )

) g: R R ,( , , ) ( , , )

) h: R R ,( , , ) ( , 2, )

) : R R ,( , , ) ( , ,1)

) :R [ ] R [ ], ( ) '( )

) :R [ ] R [ ]

a x x x x x x x

b x x x x x x x x x

c x x x x x x x x

d k x x x x x x x

e x x p x p x

f x x

1

0

n n+1

, ( ) ( ) 2 ( )

) :R [ ] R [ ], ( ) ( )

) : ( , ) ( , ),

(A, B ( , ) cho truoc)

p x p x dx p x

g x x p x xp x

h M n K M n K N ANB

M n K

II. Tìm ma trận của các ánh xạ tuyến tinh đối với các cơ sở chính tắc trong các câu sau ở BT I:

I a,b,e,f,g

Gợi ý Rn[x]: không gian vectơ các đa thức có bậc

n, cơ sở chính tắc:

{1, x, x2, …, xn} (dim Rn[x]=n+1)

III. Cho ánh xạ tuyến tính f: R2 R2 xác định bởi:

f(1,2)= (0,1), f(1,1)=(1,0).

a) Hãy xác định f(x1, x2).

b) Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc?

Bµi4:TrÞriªng–Vect¬riªng

1. TrÞriªng–Vect¬riªngcñamatrËn§ÞnhnghÜa1.Cho A lµ ma trËn vu«ng

cÊp n trªn tr êng K. K ® îc gäi lµ trÞ riªng cña A nÕu cã vect¬ x ≠ 0 thuéc Kn sao cho A[x] = [x]. Khi ®ã x ® îc gäi lµ vect¬ riªng øng víi trÞ riªng .

ë ®©y

1

21 2( , ,..., ) xn

n

x

xx x x x

x

2. Cách tìm trị riêng, vectơ riêng của ma trận

Từ định nghĩa: A[x] = [x] (A - I)[x] =O,

Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Chú ý. là trị riêng của A là nghiệm của phương trình:

det(A- I)=0

(phương trình đặc trưng của A).

Đa thức tương ứng PA()=det(A- I) được gọi là đa thức đặc trưng của A.

Cách tìm trị riêng, vectơ riêng:

Bước 1. Giải phương trình đặc trưng

det(A- I)=0 Trị riêng 1 , 2 , …

Bước 2. Tìm vecto riêng ứng với trị riêng tìm được

• Ứng với 1 : Giải hệ pttt:

(A - 1I)[x] =O

• Ứng với 1 : Giải hệ pttt:

(A - 1I)[x] =O

Nghiệm ≠ 0 của hệ pt là vecto riêng.Không gian riêng. Gọi E() là tập hợp tất cả

các vecto riêng ứng với trị riêng và thêm vecto 0. Khi đó E () là không gian vecto (và là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: (A - I)[x] =O).

E() gọi là không gian riêng ứng với trị riêng . Một cơ sở của E() là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Định lý. Nếu x1 , x2 , …, xn là các vecto riêng ứng với các trị riêng phân biệt 1 , 2 , …, n thì hệ {x1 , x2 , …, xn } độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận

Giải.

2 1 0

0 1 1

0 2 4

A

2 1 0

det( ) 0 0 1 1 0

0 2 4

A I

• Với 1 = 2: Giải hệ pt: (A - 2I)[x] =O

Vecto riêng ứng với trị riêng 1 = 2 là

2

1 2

2 1 0

det( ) 0 0 1 1 0

0 2 4

(2 )( 5 6) 0

2, 3

A I

2 11

2 2 3 2

3 32 3

00 1 0

0 1 1 0 0

0 2 2 02 2 0

x x a Rx

x O x x x

x xx x

• Với 1 = 2: Giải hệ pt:

Vecto riêng ứng với trị riêng 1 = 2 là:

(a, 0, 0) = a(1, 0, 0) với aR, a≠0.

Không gian riêng E(2) có một cơ sở {(1, 0, 0)}.

Với 2 = 3: Giải hệ pt:

2 11

2 2 3 2

3 32 3

00 1 0

0 1 1 0 0

0 2 2 02 2 0

x x a Rx

x O x x x

x xx x

• Với 2 = 3: Giải hệ pt: (A - 3I)[x] =O

Vecto riêng ứng với trị riêng 1 = 3 là

(b, b, -2b) = b(1, 1, -2) với bR, b≠0.

Không gian riêng E(3) có một cơ sở {(1, 1, -2)}.

1 21

2 2 3

3 2 3

1 2

3

01 1 0

0 2 1 2 0

0 2 1 2 0

2

x xx

x O x x

x x x

x x b R

x b

§ÞnhnghÜa2.Hai ma trËn vu«ng A vµ B cÊp n ® îc gäi lµ ®ång d¹ng víi nhau nÕu cã ma trËn vu«ng P cÊp n kh«ng suy biÕn sao cho

A=P-1BPKý hiÖu AB.Chó ý. a) AB det(A) = det(B),

rank(A)=rank(B).ThËt vËy: det(A)=det(P-1BP)=det(P-1) det(B)

det(P)=det(B).rank(A)=rank(P-1BP) rank(BP) rank(B), t ¬ng

tù:rank(B) rank(A) rank(A)=rank(B).b) AB PA() = PB().

2.TrÞriªng–Vect¬riªngcñaaxtt§ÞnhnghÜa2.Cho K-kh«ng gian

vect¬ V vµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh f : V V.

K ® îc gäi lµ trÞ riªng cña f nÕu cã vect¬ x ≠0 thuéc V sao cho f(x) = x. Khi ®ã x ® îc gäi lµ vect¬ riªng øng víi trÞ riªng .

Chóý. vµ x lµ trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh f : V V khi vµ chi khi vµ x lµ trÞ riªng vµ vect¬ riªng øng víi mét ma tr©n A cña f ®èi víi mét c¬ së nµo ®ã.

Bài 4: Chéo hóa ma trận vuông

1. Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n. Ma trận vuông P cấp n không suy biến thỏa mãn:

P-1AP = D là ma trận chéo được gọi là ma trận làm

chéo A. Khi đó A được gọi là ma trận chéo hóa được.

2. Điều kiện chéo hóa được

Định lý. Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n vecto riêng độc lập tuyến tính. Khi đó các phần tử nằm trên đường chéo chính của D là các trị riêng của A và các cột ma trận của P là các vecto riêng tương ứng.

Hệ quả. Nếu ma trận vuông A cấp n có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.

Ví dụ. Chéo hóa ma trận sau (nếu được):

Giải.

1 3 3

3 5 3

3 3 1

A

2

1 3 3

det( ) 0 3 5 3 0

3 3 1

( 1)( 2) 0 1 hay 2

A I

• Với =1:

Không gian riêng E(1) có một cơ sở {(1, -1,1)}.

2 31

2 1 2 3

3 1 2

1

1 2 3 2

3

00 3 3

3 6 3 2 0

3 3 0 0

( , - , ) (1, -1,1), 0

x xx

x O x x x

x x x

x a R

x x x x a

x a

VTR a a a a a

• Với =-2:

(a và b không đồng thời =0)

Không gian riêng E(-2) có một cơ sở

{(1, 0,-1), (0, 1, -1)}.

1

2 1 2 3

3

1

2

3

2 2

3 3 3

3 3 3 0

3 3 3

( , , ), 0

x

x O x x x

x

x a R

x b R

x a b

VTR a b a b a b

Dễ dàng kiểm tra hệ vectơ sau độc lập tuyến tính:

{(1, -1,1), (1, 0,-1), (0, 1, -1)} (Định thức ≠0).

Dạng chéo của A:

Ma trận làm chéo A tương ứng:

1 0 0

0 2 0

0 0 2

D

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

Dạng chéo của A: Ma trận làm chéo A tương ứng: 1 0 0

0 2 0

0 0 2

D

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

2 0 0

0 2 0

0 0 1

D

0 1 1

1 0 1

1 1 1

P

2 0 0

0 1 0

0 0 2

D

1 1 0

0 1 1

1 1 1

P

Chương 2: DẠNG TOÀN PHƯƠNGBài 1: Dạng song tuyến tính và Dạng toàn phương

1. Các khái niệm

Định nghĩa 1. Cho V là K-không gian vectơ. Ánh xạ

: VV K được gọi là dạng song tuyến tính trên V nếu thỏa các điều kiện sau:

x, x1, x2, y, y1, y2 V, k K

)i (x1+ x2, y) = (x1, y) + (x2, y);

)ii (kx,y) = k(x,y);

iii) (x, y1+y2 ) = (x, y1) + (x, y2)

)iv (x, ky) = k(x,y).

Dạng song tuyến tính được gọi là đối xứng nếu:

(x,y) = (y,x) với x, y V.

Nhận xét.

Định nghĩa 2. Cho V là K-không gian vectơ. Ánh xạ

q: V K được gọi là dạng toàn phương trên V nếu có một dạng song tuyến tính đối xứng trên V sao cho:

q(x) = (x,x), xV.

,

1 1 1, 1

( , ) ( , )m nm n

i i j j i j i ji j i j

k x l y k l x y

Ta nói dạng toàn phương q được xác định bởi dạng song tuyến tính và là dạng cực của dạng toàn phương q.

Chú ý.

a) Cho trước dạng toàn phương q, thì dạng song tuyến tính cực của nó là duy nhất.

CM. q(x+y)= (x+y,x+y) = (x,x)+2(x,y)+(y,y)

= q(x)+ 2(x,y)+q(y)

b) Với xV, kK, q(kx)= k2q(x).

Ta nói q có tính thuần nhất bậc hai.

1( , ) ( ( ) ( ) ( ))

2x y q x y q x q y

C) Cho V=Rn, khi đó dạng toàn phương q được xác định bởi:

với x=(x1, x2,…, xn)Rn.

Ví dụ 1. V=R3, ánh xạ:

là dạng song tuyến tính trên R3. Dạng toàn phương tương ứng là

1 2, 1

( ) ( , ,..., )n

n ij i ji j

q x q x x x a x x

3 31 1 2 2 2 3 3 2

31 2 3 1 2 3

: , ( , ) 2 2

( , , ), ( , , )

R R R x y x y x y x y x y

x x x x y y y y R

1 2

3 2 21 2 3 2 3: , ( ) ( , , ) 4q R R q x q x x x x x x x

Ví dụ 2. V=C[a,b] không gian các hàm số thực liên tục trên [a,b]. Biểu thức

xác định một dạng song tuyến tính trên C[a,b].

Dạng toàn phương tương ứng q được xác định bởi:

( ( ), ( )) ( ) ( )b

a

x t y t x t y t dt

2( ( )) ( )b

a

q x t x t dt

Bài 2: Ma trận của dạng song tuyến tính và dạng toàn phương – Công thức đổi cơ sở

1. Ma trận của Dạng STT và Dạng TP.

Cho K-không gian vectơ V, E = {e1 , e2 , . . . , en} là một cơ sở. Với x, yV,

(x)E=(x1, x2,…,xn) và (y)E=(y1, y2,…,yn).

• Cho dạng STT : VV K. Ta có:

Đặt và ma trận được gọi là ma trận của dạng STT trong cơ sở E.

1 1 , 1

( , ) ( , ) ( , )n n n

i i j j i j i ji j i j

x y x e y e x y e e

( , )ij i ja e e ij n

A a

Khi đó

Và được gọi là biểu thức tọa độ của trong cơ sở E.

Nhận xét. đối xứng A là ma trận đối xứng.• Cho dạng toàn phương q: V K với dạng STT đối

xứng : VV K là dạng cực của q. Gọi A là ma trận của trong cơ sở E (A đối xứng). Khi đó ta cũng gọi A là ma trận của dạng toàn phương q trong cơ sở E. Hạng của A được gọi là hạng của (và q).

Ký hiệu: rank(), rank(q).

(và q) được gọi là suy biến hay không suy biến tùy theo ma trận A suy biến hay không suy biến.

, 1

( , )n

ij i j E Ei j

x y a x y x A y

Ta có biểu thức tọa độ của q trong cơ sở E:

Ngược lai: ánh xạ q: V K, cho bởi đa thức đẳng cấp bậc hai:

là dạng toàn phương trên V với ma trận trong cơ

sở E là A=[aij]n trong đó:

, 1

2 2 211 1 22 2

1

( ) ( , )

... 2

n

ij i jE Ei j

nn n ij i ji j n

q x x x x A x a x x

a x a x a x a x x

2 2 211 1 22 2

1

( ) ... nn n ij i ji j n

q x b x b x b x b x x

ij, (1 )2ii ii ij ji

ba b a a i j n

Chú ý. Khi V = Kn, dạng toàn phương q: KnK còn được gọi là dạng toàn phương n biến trên K.

Ví dụ. Ánh xạ

Xác định một dạng toàn phương 3 biến thực

Ở đây ma trận của q đối với cơ sở chính tắc là:

2 1 3

11 3

21

3 12

A

3

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

q: R R

q(x)=q(x ,x ,x )=2 3 2 6x x x x x x x x x

2. Công thức đổi cơ sở

Cho K-không gian vectơ V, E = {e1 , e2 , . . . , en} và E’ = {e’1 , e’2 , . . . , e’n} là hai cơ sở.

: VV K là dạng STT và q: V K là dạng toàn phương được xác định bởi .

Gọi A ma trận của (và q) đối với cơ sở E.

A’ ma trận của (và q) đối với cơ sở E’.

C là ma trận chuyển cơ sở từ E qua E’.

Với mọi vectơ x, y V, ta có:

[x]E=C[x]E’ [y]E=C[y]E’

(x)E= (x)E’Ct.

(x,y) = (x)EA[y]E = (x)E’CtAC[y]E’ và

q(x) = (x)EA[x]E = (x)E’CtAC[x]E’

A’ = CtAC

Bài 3: Dạng chính tắc của DTP

1. Dạng chính tắc

Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ n chiều và dạng toàn phương q: V K. Nếu biểu thức tọa độ của q trong cơ sở E có dạng:

(có thể có những số hạng bằng 0)

ta nói q có dạng chính tắc và E được gọi là cơ sở chính tắc đối với q hay q-chính tắc.

2 2 21 1 2 2( ) ... n nq x a x a x a x

Khi đó ma trận của q đối với cơ sở E có dạng chéo:

1

2

0 0

0 0

0 0 n

a

aA

a

Định lý. Cho V là không gian vectơ n chiều và dạng toàn phương q: V K. Luôn tồn tại cơ sở q-chính tắc.

Chứng minh

Qui nạp theo số chiều n của V.

n=1: Hiển nhiên.

Giả sử đúng với n-1, ta chứng minh đúng với n.

Gọi E là cơ sở của V và biểu thức tọa độ của q trong cơ sở E có dạng:

Xét 2 trường hợp:

2 2 21 1 1 2 2

1

( ) ( ,..., ) ... 2n n n ij i ji j n

q x q x x a x a x a x a x x

• Trường hợp 1: Tồn tại ai0, giả sử a10.

Đặt

Gọi B ={b1, b2,…,bn} là cơ sở của V sao cho

121 1 1 2

1 1

1 21 1 1 2

1 1

( ) ( 2 ) '( ,..., )

( ) ( ,..., )

jj n

j

jj n

j

aq x a x x x q x x

a

aa x x q x x

a

1

1 11 1

2 2 ,...,

jj

j

n n

ay x x

a

y x y x

1 2( , ,..., )nBx y y y

Đặt V1=<b2,…,bn>, dim V1 = n-1, khi đó

là dạng toàn phương trên V1, theo qui nạp, tồn tại cơ sở của V1 sao cho q1 có dạng chính tắc:

Cơ sở q-chính tắc là:

1 2( ,..., )nq y y2{v ,..., }nv

2 21 2 2 2( ,..., ) ...n n nq y y b z b z

2 2 21 1 2 2 1 1( ) ... ,n nq x a z b z b z y z

1 2U={b ,v ,..., }nv

• Trường hợp 2: a1= a2=…=0, tồn tại

Đặt

và đưa về trường hợp 1.

,

i i j

j i j

k k

x y y

x y y

x y k i j

0ija

Ví dụ 1. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

Dùng phép biến đổi tọa độ:

3 21 2 3 1 1 2 2 3: , ( ) ( , , ) 2 4 2q R R q x q x x x x x x x x

3 3

3

2 2 21 1 2 2 2 2 3

2 22 2 3

1 2 2 2

22 23

1 2 2

q(x) 2( 2 ) 2 2

2( ) 2( 2 . )2 4 2

2( ) 2( )2 2

x x x x x x x

x xxx x x x

xxx x x

1 1 2

32 2

3 3

y2

y x x

xx

y x

Ta có dạng chính tắc:

Xác định cơ sở q-chính tắc:

Cơ sở ban đầu:

31 1 2

1 1 2

3 32 2 2 2

3 3 3 3

y 2

y y2 2

yx yy x x

x yx x

y x x y

1 3

2 2 21 2 3 2

1q(x) ( , , ) 2 2

2q y y y y y y

1 2 3 1 2 3, , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)e e e e e e

Cơ sở mới (q-chính tắc):

Ma trận C chuyển cơ sở từ qua U là:1

1 121

0 12

0 0 1

C

1 2 3

1 1(1,0,0), (1,1,0), ( , ,1)

2 2u u u

1 2 3, ,U u u u

Ví dụ 2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

Dùng phép biến đổi tọa độ:

31 2 3 1 2 2 3: , ( ) ( , , ) 2 4q R R q x q x x x x x x x

1 1 2

2 1 2

3 3

2 21 2 1 2 3

2 21 2 1 3 2 3

2 2 2 21 1 3 3 2 3 2 3

q(x) 2( ) 4( )

2 2 4 4

2( 2 ) 2 2 4

x y y

x y y

x y

y y y y y

y y y y y y

y y y y y y y y

2 2 2

1 3 2 2 3 3

2 21 3 2 3

1 1 3 1 1 3

2 2 3 2 2 3

3 3 3 3

1 1 2 3

2 1 2

3 3

2 21 2 3 1 2

( ) 2( ) 2( 2 )

2( ) 2( )

z z

z z

z 2

z

z

q(x) q( , z , )=2 2

q x y y y y y y

y y y y

z y y y z z

y y y z

y y

x z z

x z

x

z z z z

Xác định cơ sở q-chính tắc:

Cơ sở ban đầu:

Cơ sở mới (q-chính tắc):

Ma trận C chuyển cơ sở từ qua U là:

1 1 2

1 1 0

0 0 1

C

1 2 3 1 2 3, , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)e e e e e e

1 2 3(1,1,0), ( 1,1,0), ( 2,0,1)u u u

Bài tập. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và xác định cơ sở q-chính tắc tương ứng:

3 21 2 3 1 1 3 2 3

31 2 3 1 2 2 3

a) : , ( ) ( , , ) 2 4 4

b) : , ( ) ( , , ) 4 2

q R R q x q x x x x x x x x

q R R q x q x x x x x x x

2. Dạng chuẩn tắc

Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ n chiều và dạng toàn phương q: V K. Nếu biểu thức tọa độ của q trong cơ sở E có dạng:

ta nói q có dạng chuẩn tắc và E được gọi là cơ sở chuẩn tắc đối với q hay q-chuẩn tắc.

Định lý. Cho V là không gian vectơ thực n chiều và q: V R là dạng toàn phương thực. Luôn tồn tại cơ sở q-chuẩn tắc.

2 2 2 2 21 2 1( ) ... ...

(0 )s s rq x x x x x x

s r n

Bài 3: Chỉ số quán tính Dạng toàn phương xác định dấu

1. Chỉ số quán tính

Định lý quán tính. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của dạng toàn phương q là những đại lượng bất biến.

Ký hiệu:

s là số các hệ số dương, gọi là chỉ số quán tính dương của dạng toàn phương q.

t là số các hệ số âm, gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương q.

Cặp (s,t) gọi là chỉ số quán tính của dạng toàn phương q.

2. Tính xác định dấu của dạng toàn phương

Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R. Dạng toàn phương q: V R được gọi là:

- Xác định dương nếu- Nửa xác định dương (không âm) nếu

- Xác định âm nếu- Nửa xác định âm (không dương) nếu

- Không xác định dấu nếu nó nhận cả gía trị âm và dương.

q(x) > 0 x , x 0;n R

q(x) < 0 x , x 0;n R

q(x) 0 x n R

q(x) 0 x n R

Ví dụ. Xác định dấu của dạng toàn phương:

xác định dương

nửa xác định dương

xác định âm

nửa xác định âm

không xác định dấu

2 2 21 2 3) ( ) 2 3a q x x x x

3:q R R

2 21 2) ( ) 2b q x x x

2 2 21 2 3) ( ) 2 3c q x x x x

2 21 3) ( ) 2 3d q x x x

2 2 21 2 3) ( ) 2 3e q x x x x

Định lý 1. Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R và dạng toàn phương q: V R.

(i) q là xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc đều dương.

(ii) q là xác định âm khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc đều âm.

Cho dạng toàn phương q: V R có ma trận trong cơ sở E

Đặt:

D1, D2, …, Dn được gọi là các định thức con chính

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

11 121 11 2

21 22

, , ..., det( )n

a aD a D D A

a a

Định lý 2. (Sylvester) Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R và dạng toàn phương

q: V R.

(i) q là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận của q trong một cơ sở nào đó đều dương.

(ii) q là xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp chẵn đều dương, các định thức con chính cấp lẻ đều âm.

(Tức là ( 1) 0, 1,2,..., ))kkD k n

Ví dụ. Xác định dấu của dạng toàn phương

Ta có:

q(x) xác định dương.

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 3 3 6 4 2q x x x x x x x x x x

4 3 2

3 3 1

2 1 3

A

1 2 3

4 3 24 3

4, 3, 3 3 1 53 3

2 1 3

D D D

3:q R R

Ví dụ. Xác định dấu của dạng toàn phương

Ta có:

q(x) xác định âm.

2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3( ) 5 14 2 16 4q x x x x x x x x x x

1 1 2

1 5 8

2 8 14

A

1 2 3

1 1 21 1

1, 4, 1 5 8 41 5

2 8 14

D D D

3:q R R

Chương 3: Không gian Vectơ EuclideBài 1: Khái niệm Không gian Vectơ Euclide

1. Tích vô hướng và không gian Vectơ Euclide

Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. Tích vô hướng trong V là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương

Tức là thỏa các điều kiện:< , >: V V R, (x,y) <x,y>

x, x1, x2, y, y1, y2 V, k R

i) <x1+ x2, y> = <x1, y>+ <x2, y>;

<kx,y> = k<x,y>;

ii) <x, y1+y2 >= <x, y1> + <x, y2> ;

<x, ky> = k<x,y>;

iii) <x,y> = <y,x>;

iv) <x,x> 0 và

<x,x> = 0 x =0.

Không gian vectơ thực V trong đó xác định một tích vô hướng được gọi là không gian vectơ Euclide.

Ta thường dùng chữ E để ký hiệu không gian vectơ Euclide.

Chú ý.

Ví dụ.

a) Không gian vectơ Rn với tích vô hướng xác định bởi:

là không gian vectơ Euclide.

,

1 1 1, 1

0, ,0 0

, ,n mn m

i i j j i j i ji j i j

x x

a x b y a b x y

1 2 1 2

1 1 2 2

( , ,..., ), ( , ,..., )

, ...

nn n

n n

x x x x y y y y R

x y x y x y x y

b) Không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] với tích vô hướng:

là không gian vectơ Euclide.

b

a

( ), ( ) [a,b],

<x(t),y(t)>= x(t).y(t)

x t y t C

dt

2. Độ dài của vectơ

Cho E là kgvt Euclide với tích vô hướng < , >. Độ dài (hay là chuẩn) của vectơ xE, ký hiệu ||x||, được xác định bởi:

Vectơ có độ dài 1 được gọi là vectơ đơn vị.

Chú ý.

a) ||x|| 0 và ||x|| = 0 x = 0.

b) ||kx|| = |k|.||x||

c) Với vectơ x0, ta có vectơ đơn vị:

|| || ,x x x

1

|| ||xe xx

d) Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski (Schawarz):

|<x,y>| ||x||.||y||

dấu bằng xảy ra x và y phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh.• Với x=0: Rõ.• Với x0: ta có với tR,

<tx+y, tx+y> 0 <x,x> t2 + 2<x,y> t + <y,y> 0Û ||x||2 t2 + 2<x,y> t + ||y||2 0 <x,y>2 - ||x||2||y||2 0 |<x,y>| ||x||.||y||

Dấu “=“ xảy ra tx+y =0 x, y phụ thuộc tuyến tính.

Đặc biệt:• Trong Rn :

• Trong C[a,b]:

e) Bất đẳng thức tam giác:

||x+y|| ||x|| + ||y|| (BT)

Suy ra: ||x|| - ||y|| ||xy|| ||x|| + ||y||

f) Đẳng thức hình bình hành:

||x+y||2 + ||x-y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2| ... | ... ...n n n nx y x y x y x x x y y y

1 12 22 2( ). ( ) ( ( ) ) .( ( ) )

b b b

a a a

x t y t dt x t dt y t dt

3. Góc của hai vectơ

Cho E là kgvt Euclide với tích vô hướng < , >. Góc của hai vectơ x,yE (x0, y0), ký hiệu

Được xác định bởi

Nhận xét.

( , )x y

,os( , )

|| || . || ||

0 ( , )

x yc x y

x y

x y

( , ), 0( , )

( , ), 0

x y abax by

x y ab

Bài 2: Các vectơ trực giao

1. Khái niệm vectơ trực giao

Cho E là kgvt Euclide với tích vô hướng < , > và

x, yE. x được gọi là trực giao với y nếu <x,y>=0.

Ký hiệu x y.

Tính chất.

i. 0 x, x x x =0;

ii. x y ||x+y||2 = ||x||2 + ||y||2 (Pythagore);

iii. x y (x,y) = 2

2. Hệ vectơ trực giao và trực chuẩn

Cho E là kgvt Euclide với tích vô hướng < , >.

Một hệ vectơ của E được gọi là hệ trực giao nếu hai vectơ bất kỳ của hệ đều vuông góc.

Hệ vectơ trực giao được gọi là trực chuẩn nếu mọi vectơ của hệ đều có độ dài bằng 1.

Chú ý. Cho {x1, x2, … , xm }E là hệ trực giao trong đó tất cả các vectơ đều khác 0. Khi đó ta có hệ trực chuẩn:

1 1 2 21 2

1 1 1, ,...,

|| || || || || ||m mm

e x e x e xx x x

Chú ý. Hệ trực giao không chứa vectơ 0 là độc lập tuyến tính.

CM. Cho {x1, x2, … , xm }E là hệ trực giao. Giả sử

1 1 2 2 m m

1 1 2 2 m m i

i i i i i i i

k x +k x +...+k x =0

<k x +k x +...+k x ,x >=0 1,...,

<k x ,x >=0 k <x ,x >=0 k 0 1,...,

i m

i m

3. Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Cho {u1, u2, … , un} là hệ vectơ độc lập tuyến tính

của không gian vectơ E. • Thuật toán trực giao hóa

i) Đặt v1 = u1

ii) Đặt

iii) Với n>1, đặt:

Ta thu được hệ trực giao

2 12 2 1 2 1

1 1

,

,

u vv u v v v

v v

1 2 11 2 1

1 1 2 2 1 1

, , ,...

, , ,n n n n

n n nn n

u v u v u vv u v v v

v v v v v v

1 2 1, ,...,n n n nv v v v v v

1 2, ,..., nv v v

• Thuật toán trực chuẩn hóa

i) Đặt

ii) Đặt

iii) Với n>1, đặt:

Ta được hệ trực chuẩn

2 2 2 1 1 2 22

1, w w w

|| ||v u u v

v

1 1 2 2 1 1

n

, w w , w w ... , w w

1w

|| ||

n n n n n n n

nn

v u u u u

vv

1 2w , w ,..., w n

1 1 1 11

1w .

|| ||v u v

v

Ví dụ. R3 với tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hóa hệ vectơ

{u1=(1,1,1), u2=(0,1,1), u3=(0,0,1)}

Giải. Kiểm tra hệ đltt.

1 1 1 11

1 1 1 1 1v =u (1,1,1) w (1,1,1) ( , , )

|| || 3 3 3 3v

v

2 2 2 1 1

2 22

2 1 1 1 2 1 1, w w (0,1,1) ( , , ) ( , , )

3 3 33 3 3 3

1 3 2 1 1 2 1 1w ( , , ) ( , , )

|| || 3 3 3 32 6 6

v u u

vv

3 3 3 1 1 3 2 2

3 33

, w w , w w

1 1 1 1 1 2 1 1(0,0,1) ( , , ) ( , , )

33 3 3 3 6 6 61 1 1 1 1 1 1 1

(0,0,1) ( , , ) ( , , ) (0, , )3 3 3 3 6 6 2 2

1 1 1 1 1w 2(0, , ) (0, , )

|| || 2 2 2 2

v u u u

vv

1 2 3, ,w w wTa có hệ trực chuẩn

BT (tương tự) R3 với tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hóa hệ vectơ

{u1=(1,1,0), u2=(1,1,1), u3=(1,0,0)}

Ví dụ. Trong không gian vectơ Euclide các đa thức bậc 2 trên trường số thực R2[x] với tích vô hướng:

Hãy trực chuẩn hóa hệ vectơ {1, x, x2}?

Giải.

1

1

, ( ) ( )f g f x g x dx

1 1 1

1

1 1 1v =1 w 1

||1|| 2dx

1

2

1

12

1

2 2 12 2

1

1, .1

2 2

2 2

1 1 3w

|| || 2

xv x x x dx

xx x

v x xv

x dx

3 3 3 1 1 3 2 2

2 2 2

1 12 2 3

1 1

2

, w w , w w

1 1 3 3, ,

2 22 2

1 1 3 3. .

2 22 2

1

3

v u u u

x x x x x

x x dx x dx x

x

23 3 1

3 2 2

1

2 2

1 1 1w ( )

|| || 31( ) .

3

1 1 45 1( ) ( )

3 8 3845

v xv

x dx

x x

Bài 3: Cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn

1. Khái niệm cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa. Cho không gian vectơ Euclide E n chiều.

Cơ sở B={e1, e2, …, en} của E được gọi là cơ sở trực giao (trực chuẩn) nếu B là hệ trực giao (trực chuẩn).

Tính chất.

i) Với một cơ sở đã cho, theo phương pháp trực giao (trực chuẩn) hóa Gram – Schmidt, ta đều có thể đưa về cơ sở trực giao (trực chuẩn).

ii) Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) đều có thể bổ sung thành cơ sở trực giao (trực chuẩn).

iii) Cho B={e1, e2, …, en} là cơ sở trực chuẩn của E, x, y E, (x)B=(x1, x2,…,xn), (y)B=(y1, y2,…,yn). Ta có:

a) <x, ei> = xi (i=1,2,…,n)

b) <x, y> = x1 y1 + x2 y2 + … + xnyn

2 21

1 1

2 2 2 21 1

) || || ...

x ...) os(x,y)=

... ...

n

n n

n n

c x x x

y x yd C

x x y y

2. Ma trận trực giao

Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu

A.At = I (tức là At =A-1).

Chú ý. Ma trận chuyển từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là ma trận trực giao (BT).

3. Không gian con trực giao, phần bù trực giao

Cho Không gian vectơ Euclide E, X và Y là các không gian vectơ con của E.

Định nghĩa.

Vectơ u E được gọi là trực giao với X nếu ux, xX. Ký hiệu uX

X được gọi là trực giao với Y nếu xX, yY ta có x y. Ký hiệu X Y.

Định lý – Định nghĩa. Cho Không gian vectơ Euclide E, và L là không gian vectơ con của E. Khi đó mọi vectơ x E đều có thể viết duy nhất dưới dạng: x = x’ + y, trong đó x’ L, y L.

Vectơ x’ được gọi là hình chiếu trực giao của x trên L và y được gọi là đường trực giao hạ từ x tới L.

Chứng minh.• L={0}: x = 0 + x (x’=0, y = x).• L {0}: Ta cần tìm x’ L thỏa mãn định lý. Gọi

{e1, e2, …, em} là một cơ sở trực chuẩn của L. khi đó

x’= x1 e1 + x2 e2 + … + xmem . Ta cần xác định

x1 , …, xm

Vì y=x – x’ L, nên <x - x’,ei> =0, i=1,2,…,m.

Suy ra <x,ei> = <x’, ei>

<x,ei> = <x1 e1 + x2 e2 + … + xmem ,ei> .

Þ <x,ei> = xi

Vậy tồn tại duy nhất x’ và y = x-x’ thỏa định lý.

Định nghĩa. Cho Không gian vectơ Euclide E, L là không gian vectơ con của E. Tập hợp tất cả các vectơ của E trực giao với L được gọi là phần bù trực giao của L. Ký hiệu L.

Chú ý. Dễ thấy L là một không gian con của E.

Tính chất. Cho L, L1, L2 là các không gian con của E. Ta có:

i) E = L L, suy ra dim E = din L+ dim L.

ii) (L) = L.

iii) L1 L2 L2 L1

.

iv) (L1 + L2 ) = L1 L2

.

(L1 L2 ) = L1 + L2

.

4. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

Định nghĩa. Cho A là ma trận đối xứng thực cấp n. Nếu tồn tại ma trận trực giao P cấp n sao cho PtAP = In thì ta gọi A là ma trận chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao A.

Chú ý.

a) Mọi ma trận đối xứng thực đều có thể chéo hóa trực giao được.

b) Nếu A là ma trận đối xứng thực, thì các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau vuông góc với nhau.

• Thuật toán chéo hóa trực giao:

• Thuật toán chéo hóa trực giao:

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng

det(A - I) =0 Các trị riêng 1 , 2 , …

Bước 2: Xét tại các trị riêng:

= 1 : Giải hệ (A - 1 I)X = O, …..

suy ra hệ nghiệm cơ bản, dùng phương pháp trực chuẩn hóa gram-schmidt để được hệ trực chuẩn.

Bước 3: Lập ma trận P bằng cách lấy các cột là các vectơ của hệ trực chuẩn và suy ra dạng chéo của A tương ứng (trên đường chéo là các trị riêng, thứ tự sắp xếp tương ứng với thứ tự các vectơ).

Ví dụ. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng:

Giải

Bước 1:

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

2

2 1 1

1 2 1 0 ( 1) (4 ) 0

1 1 2

1, 4

• Với =1: Giải hệ pttt

Ta có một hệ nghiệm cơ bản:

Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt thu được hệ trực chuẩn:

1 1

2 1 2 3 2

3 3

1 1 1

( ) 1 1 1 0

1 1 1

x x a b

A I X O x O x x x x a

x x b

1 2

1 1

1 , 0

0 1

u u

1 2

11

621 1

w , w2 6

0 2

6

• Với =4: Giải hệ pttt

Hệ nghiệm cơ bản gồm 1 vectơ:

1

2

3

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

2 1 1

( 4 ) 1 2 1

1 1 2

2 0

2 0

2 0

x

A I X O x O

x

x x x x c

x x x x c

x x x x c

3

1

1

1

u

Chuẩn hóa u3 ta được:

Bước 3: Ma trận làm chéo trực giao và dạng chéo hóa

3

1

31

w3

1

3

1 1 1

2 6 31 1 1

2 6 32 1

06 3

P

1 0 0

0 1 0

0 0 4

tP AP

Ví dụ. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng:

Giải (BT)

Bước 1:

6 2 1

2 6 1

1 1 5

A

6 2 1

1 6 1 0 (3 )( 8)( 6) 0

1 1 5

3, 8, 6

5. Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng

a) Phép biến đổi trực giao

Định nghĩa. Cho kgvt Euclide E. Phép biến đổi tuyến tính f: E E được gọi là phép biến đổi trực giao của E nếu với mọi x, y E ta có:

<f(x),f(y)> = <x,y>.

Định lý. Cho phép biến đổi tuyến tính f: E E. Các mệnh đề sau tương đương:

Định lý. Cho phép biến đổi tuyến tính f: E E. Các mệnh đề sau tương đương:

i) f là phép biến đổi trực giao;

ii) f bảo toàn độ dài của một vectơ, tức là xE, ||f(x)|| = ||x||;

iii) f biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn;

iv) Ma trận của f trong một cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao.

Chứng minh.

i) ii). xE,

ii) i). x,yE, ||f(x)|| = <f(x),f(x)>= <x,x> =||x||;

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1<f(x),f(y)> = (|| ( ) ( ) || || ( ) || || ( ) || )

21

= (|| ( ) || || ( ) || || ( ) || )21

= (|| || || || || || ) ,2

f x f y f x f y

f x y f x f y

x y x y x y

)i iii). Giả sử {e1, e2,…, en} là một cơ sở trực chuẩn của E. Ta có:

Þ {f(e1), f(e2),…, f(en)} cũng là một cơ sở trực chuẩn của E.

iii) iv). Giả sử {e1, e2,…, en} là một cơ sở trực chuẩn của E. Khi đó {f(e1), f(e2),…, f(en)} cũng là một cơ sở trực chuẩn của E.

Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en}. Dễ thấyA là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en} sang cơ sở trực chuẩn {f(e1), f(e2),…, f(en)}, do đó A là ma trận trực giao.

1, i=j( ), ( ) ,

0, i ji j i jf e f e e e

iv) i). Giả sử {e1, e2,…, en} là một cơ sở trực chuẩn của E. A là ma trận của f đối với cơ sở {e1, e2,…, en}, theo giả thiết A là ma trận trực giao. Lấy x, y E, giả sử

1 1

2 2x , yE E

n n

x y

x y

x y

1 1 2 2, ... x yt

n n E Ex y x y x y x y

f(x) x f(y) y E E E E

A A

f(x),f(y>= f(x) f(y) x y

= x y = x y =<x,y>.

t t t

E E E E

t t

E E E E

A A

I

b) Phép biến đổi đối xứng

Định nghĩa. Cho kgvt Euclide E. Phép biến đổi tuyến tính f: E E được gọi là phép biến đổi đối xứng của E nếu với mọi x, y E ta có:

<f(x),y> = <x,f(y)>.

Định lý. Cho phép biến đổi tuyến tính f: E E. Khi đó f là phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng.