ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Десятичная система счисления

2. 954 003 057 000 000 (девятьсот пятьдесят четыре триллиона три миллиарда пятьдесят семь миллионов);

831 000 820 000 (восемьсот тридцать один миллиард восемьсот двадцать тысяч);

63 900 000 000 000 (шестьдесят три триллиона девятьсот миллиардов).3. а) 545; б) 1786; в) 3004; г) 689.4. а) 2822; б) 1143; в) 471; г) 379.6. а) Единицы тысяч; единицы; б) десятки тысяч; единицы тысяч; в) сотни тысяч; первая 7 стоит в разряде сотни тысяч, а вторая 7 —

в разряде сотен; н) сотни миллиардов; первая 7 стоит в разряде десятки миллионов,

вторая 7 — в разряде единицы миллионов; третья 7 — в разряде единицы тысяч.

7. а) Единицы тысяч; б) десятки и единицы; в) нет отсутствующих разрядов; г) единицы миллионов; десятки тысяч; сотни; единицы.8. Десятки триллионов. а) 0; б) 1; в) 2; г) 8.9. М. 5 � 8 � 40; К. 5 � 5 � 25; Е. 8 � 7 � 56; Ф. 5 � 7 � 35; Т. 4 � 9 � 36; Р. 8 � 8 � 64; А. 9 � 3 � 27; И. 3 � 8 � 24.

27 64 24 35 40 56 36 24 25 27

А Р И Ф М Е Т И К А

10. а) 100 000 (сто тысяч); б) 10 000 (десять тысяч); в) 1 000 000 000 (один миллиард); г) 100 000 000 000 (сто миллиардов).11. а) 99 999 (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); б) 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто

девять); в) 99 999 999 (девяносто девять миллионов девятьсот девяносто

девять тысяч девятьсот девяносто девять); г) 99 999 999 999 (девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто

девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

12. а) 107; б) 333 000; в) 990; г) 4000.13. а) 102 230 071; б) 580 000 240 500; в) 48 044 876 000 000; г) 34 515 500.14. а) Сто девять миллионов сто тридцать пять тысяч пятьдесят четыре; б) восемьдесят пять миллиардов два миллиона пятьсот пятьдесят

одна тысяча семьдесят семь; в) девятьсот десять триллионов сорок два миллиарда двадцать

миллионов триста восемь тысяч сто пятьдесят;

337��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) семьдесят девять миллионов четыреста две тысячи семьсот двадцать.

15. а) 53 801 � 50 000 + 3000 + 800 + 1; 53 801 � 5 � 10 000 + 3 � 1000 + 8 � 100 + 1; б) 6275 � 6000 + 200 + 70 + 5; 6275 � 6 � 1000 + 2 � 100 + 7 � 10 + 5; в) 189 032 � 100 000 + 80 000 + 9000 + 30 + 2; 189 032 � 1 � 100 000 + 8 � 10 000 + 9 � 1000 + 3 � 10 + 2; г) 201 734 � 200 000 + 1000 + 700 + 30 + 4; 201 734 � 2 � 100 000 + 1 � 1000 + 7 � 100 + 3 � 10 + 4.16. 125 378 567 > 99 987 398; 125 378 567 < 125 378 568; 125 378 567 > 125 367 569.17. а) 356; 357; 258; 359; 360; 361; б) 10 998; 10 999; 11 000; в) 951 399; 951 400; г) нет таких натуральных чисел.18. а) 55��� < 56���; б) ��32�� > 9748; в) 95��� > �4��� г) �6�� > 14��; д) ��� < ����; е) 93� < 15���; ж) �4��� < 96���; з) 35�� и �3��. (В примере з) первое число больше второго, если первую звездочку

второго числа заменить цифрами 1; 2; 3, а если заменить цифрами 4; 5; 6; 7; 8; 9, то второе число больше первого.)

19. а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 9; д) 50 303; 50 313; е) 60 783 < 60 791; ж) 71 209 < 71 218; или 70 219; 70 229; 70 239; 70 249; 70 259; 70 269;

70 279; 70 289; 70 299; з) 49 310 > 49 305.20. 456 — четыреста пятьдесят шесть; 4560 — четыре тысячи пятьсот шестьдесят; 45 600 — сорок пять тысяч шестьсот. Если цифры числа сдвигаются на один разряд влево, то в записи

числа справа дописывается нуль; значимость этой цифры увеличивается на разряд; величина числа увеличивается в 10 раз.

21. 32 500 000 — тридцать два миллиона пятьсот тысяч; 3 250 000 — три миллиона двести пятьдесят тысяч; 325 000 — триста двадцать пять тысяч. Если две цифры числа сдвигаются на один разряд вправо, то в записи

числа справа отбрасывается один нуль; значимость цифры при сдвиге ее на один разряд вправо уменьшается на один разряд, а величина числа при этом уменьшается в 10 раз.

Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 100 и т.д., надо справа к этому числу приписать столько нулей, сколько их содержится в 10, 100 и т.д.

Например, 25 � 10 � 250; 36 � 100 � 3600; 104 � 1000 � 104 000. Чтобы разделить натуральное число, заканчивающиеся нулями,

на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этом числе справа отбросить столько нулей, сколько их содержится в 10, 100, 1000 и т.д.

Например, 1900 : 100 � 19; 7 680 000 : 1000 � 7680; 37 000 000 : 1 000 000 � 37.

22. а) 124 � 100 � 12 400; б) 915 000 : 100 � 9150; в) 750 � 1000 � 750 000; г) 3590 � 10 � 35 900; д) 247 � 1000 � 247 000; е) 4 753 000 : 100 � 47 530; ж) 900 � 100 � 90 000; з) 84 600 : 10 � 8460.23. а) 67 � 10 : 2 � 335; б) 5 � 116 � 116 : 1 � 10 � 58 � 10 � 580; в) 444 � 4 � 444 : 2 � 10 � 2220; г) 2350 � 5 � 2350 : 2 � 10 � 11 750.24. а) 58 � 5 � 58 : 2 � 10 � 290; б) 5 � 280 � 280 : 2 � 10 � 1400; в) 588 � 5 � 588 : 2 � 10 � 294 � 10 � 2940; г) 5 � 3700���3700 : 2 � 10 � 1850 � 10 � 18 500.25. а) 35 � 5 � 35 � 10 : 2 � 350 : 2 � 175; б) 264 � 5 � 264 : 2 � 10 � 132 � 10 � 1320; в) 331 � 5 � 331 � 10 : 2 � 3310 : 2 � 1655; г) 4300 � 5 � 4300 : 2 � 10 � 2150 � 10 � 21 500.26. а) 59 � 5���59 � 10 : 2 � 590 : 2 � 295; б) 181 � 5 � 181 � 10 : 2 � 1810 : 2 � 905; в) 679 � 5 � 679 � 10 : 2 � 6790 : 2 � 3395; г) 2830 � 5���2830 : 2 � 10 � 1415 � 10 � 14 150.27. а) 6800; б) 701 020; в) 530 000; г) 28 640.28. Г. 15 � 2 + 14 � 30 + 14 � 44; К. 9 + 39 : 3 � 9 + 13 � 22; И. 51 + 12 � 4 � 51 + 48 � 99; Ц. 8 + 8 � 10 � 8 + 80 � 88; М. 17 � 3 – 18 � 51 – 16 � 33; Й. 11 � 9 – 44 � 99 – 44 � 55; Н. 3 + 9 � 7 � 3 + 63 � 66; И. 36 : 4 + 2 � 9 + 2 � 11; А. 17 + 4 � 5 � 17 + 20 � 37.

33 37 44 66 11 88 22 99 55

М А Г Н И Ц К И Й

29. 15 325 000; 100 250.30. а) 1 392 000; б) 149 600 00; в) 40 426 000 000 000; г) 5 894 240 000.31. 3 + 380 + 320 + 40 + 120 � 863 (га).

§ 2. Числовые и буквенные выражения

32. 1) 15 – 5 � 10; 2) 15 : 5 � 3; 3) 15 + 5 � 20; 4) 2 � 15 � 30; 5) 3 � 5 � 15; 6) 2 � 15 + 3 � 5 � 30 + 15 � 45; 7) 2 � 15 – 3 � 5 � 30 – 15 � 15; 8) (2 � 15) : (3 � 5) � 30 : 15 � 2.33. 1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y).

338 ����������2002–2011 гг.*

* Решения и ответы приводятся к учебникам указанных годов.

339��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

34. Заменим в № 32 стоимость плитки шоколада буквой х, а стоимость батона хлеба — буквой у. Тогда получим такие же выражения, что и в № 33.

1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y).35. 1) Числовые выражения: 17 + 5 � 48; 86 : 2 + 43 � 15; буквенные выражения: 23 � 5 – 3x; 2x – m. 2) Числовые выражения: 21 + 56 � 7; 12 + 71 + 5 � 28; буквенные выражения: 2d – 54; x + y + z; 5t.36. а) 100 � (8 + 7) � 15 � 100 � 1500; б) (57 – 42) � 1000 � 15 � 1000 � 15 000; в) (32 + 24) : 7 � 56 : 7 � 8; г) 81 : (77 – 68) – 81 : 9 � 9;37. а) 15 � 2 + 42 : 6 � 30 + 7 � 37; б) 270 : 3 – 25 � 3 � 90 – 73 � 15; в) 17 � 3 + 4 � 13 � 51 + 52 � 103; г) 45 : 3 – 64 : 32 � 15 – 2 � 13.38. а) 3 � (a – b); б) 25 : (x + y); в) 3 � a + b; г) 72 – 2 � c.39. 1) 2 + 6 � 8 (км); 2) (2 + 6) : 2 � 4 (км); 3) 2 � (2 + 6) � 16 (км); 4) 2 � 2 � 4 (км); 5) 2 � 6 � 12 (км); 6) 2 � 6 – 2 � 2 � 12 – 4 � 8 (км); 7) (2 � 6) : (2 � 2) � 12 : 4 � 3 (раза).40. 1) (x + y) км; 2) (x + y) : 2 км; 3) 2(x + y) км; 4) 2x км; 5) 2y км; 6) 2(x – y) км; 7) 2x : 2y (раз).41. Л. (6 + 18) : 8 � 24 : 8 � 3; Г. 124 : (20 + 11) � 124 : 31 � 4; Р. 9 � (106 – 103) � 9 � 3 � 27; Е. 8 + (58 – 36) � 8 + 22 � 30; Б. 50 : (430 – 405) � 50 : 25 � 2; А. 33 : 3 � 11.

11 3 4 30 2 27 11

А Л Г Е Б Р А

42. а) 6 + 4 � 10; е) 86 – 54 � 32; б) 36 + 4 � 40; ж) 510 не делится нацело на 7; в) 32 : 8 � 4; з) 20 + 28 � 48; г) 6 � 30 � 180; и) 56 – 40 � 16. д) 9 – 4 � 5;43. а) 15 + 5 � 20; г) 25 � 3 � 75; ж) 30 – 17 � 13; б) 63 – 12 � 51; д) 27 : 9 � 3; з) 540 – 500 � 40; в) 35 : 5 � 7; е) 36 : 4 � 9; и) 640 + 360 � 1000.44. 1) 720; 1440; 2880; 5760; 2) 1286; 1504; 1784; 2896.45. 1) 47; 2) 27; 3) 21.46. а) 103; б) 177; в) 11; г) 23.47. а) 41; б) 14; в) 27; г) 185.

340 ����������2002–2011 гг.

48. а 1 4 7 12 20

a + 6 7 10 23 18 26

6а 6 24 42 72 120

49. а) b; б) а; в) b; г) а.50. а) m; б) m; в) n; г) n.51. а) m � 8 + n; б) a � 4b; в) c � d – 3; г) e � g : 6.52. I — 500 кг II — 2200 кг III — ? на 250 кг >,

⎫⎬⎭?

1) 500 + 250 � 750 (кг); 2) 500 + 2200 + 750 � 3450 (кг). Ответ: трем магазинам продано 3450 кг кондитерских изделий.

53. −1 450 000

500 000

950 000 (ð.)

Ответ: чистый доход, полученный фабрикой за год равен 950 000 р.54. 35 000 – 5000 � 30 000 (р.). Ответ: чистый доход предприятия увеличился на 30 000 р.

Контрольные задания

1. Числовые выражения: 328 – 18 � 3; 81 : 9 + 72. Буквенные выражения: 3a – 178; x – 5y.2. 5 � 4 + 17 � 20 + 17 � 37.3. а) (3m) р.; б) (2t) р.; в) (3m + 2t) р.

§ 3. Язык геометрических рисунков

55. М. 20; О. 29; Т. 36; Г. 22; Р. 12; Я. 16; И. 7; Е. 24.

22 24 29 20 24 36 12 7 16

Г Е О М Е Т Р И Я

57. 1. а) АВ; б) пересекаются прямые CD и АВ; EF и АВ; прямые CD и EF

не пересекаются. 2. Точки М и N принадлежат прямой а, а точки С и D ей не

принадлежат. 3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая а пересекает отрезок MN в точке K.

341��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

58.

59. Угол СВА (или АВС); треугольник ORT; четырехугольник DKEF (трапеция); прямоугольный треугольник NTV.

60. 1) 52 – 13 � 39 (км/ч); 2) 52 : 13 � 4 (раза); 3) 260 : 13 � 20 (ч); 4) 260 : 52 � 5 (ч); 5) 260 : 13 – 260 : 52 � 20 – 5 � 15 (ч); 6) (260 : 13) : (260 : 52) � 20 : 5 � 4 (раза); 8) 260 : (13 + 52) � 260 : 65 � 4 (ч).61. 1) (y – x) км/ч; 2) (y : x) (раз); 3) (260 : х) (ч); 4) (260 : у) (ч); 5) (260 : х – 260 : у) (ч); 6) (260 : x) � (260 : y) (раз); 7) (260 : (x + y)) (ч).62. х 24 36 42 180 240

x – 6 18 30 36 174 234

х : 6 4 6 7 30 40

63. а) 89 367 288; 89 788; б) 89 367 288; 36 288.64. 1) 17; 4) 21; 7) 37; 10) 44; 2) 19; 5) 13; 8) 54; 11) 51; 3) 19; 6) 24; 9) 20; 12) 34.65. 1) 850; 5) 700; 9) 5200; 13) 2400; 2) 2150; 6) 900; 10) 9100; 14) 14 000; 3) 2650; 7) 1300; 11) 11 200; 15) 37 000; 4) 6100; 8) 2100; 12) 14 000; 16) 43 000.66. Если первое слагаемое увеличится на 16, а второе — на 4, то сумма

увеличится на 20; — если первое слагаемое увеличится на 30, а второе уменьшится на 5,

то сумма увеличится на 25; — если первое слагаемое увеличится на 18, а второе уменьшится на 4,

то сумма увеличится на 14; — если первое слагаемое увеличится на 3, а второе уменьшится на 8,

то сумма уменьшится на 5; — если первое слагаемое уменьшится на 5, а второе увеличится на 15,

то сумма увеличится на 10; — если первое слагаемое уменьшится на 12, а второе — на 5, то сумма

уменьшится на 17.

342 ����������2002–2011 гг.

67. Клубничное варенье — 850 г Вишневое варенье — ? в 2 раза >, Сливовое варенье — ? на 300 г >,

⎫⎬⎭?

Решение. 1) 850 � 2 � 1700 (г); 2) 850 + 300 � 1150 (г); 3) 850 + 1700 + 1150 � 3700 (г). Ответ: Наташа привезла в подарок 3700 г варенья.68. 1) 14 – 12 � 2 (июля); 2) 19 ч 30 мин – 10 ч 20 мин � 9 ч 10 мин. Ответ: теплоход отплыл из Уфы 2 июля в 9 ч 10 мин.69. 6 ч 20 мин 15 с + 10 мин 40 с � 6 ч 30 мин 55 с. Ответ: правильное время 6 ч 30 мин 55 с.

Контрольные задания

1. Прямая АВ, отрезок MN, треугольник CDE.2.

§ 4. Прямая. Отрезок. Луч

70. 1)

2) один отрезок соединяет точки А и В. 3) через точки С и D проходит только одна прямая.

4) Прямые MN и CK не могут иметь других точек пересечения, кроме точки А.

Любые две пересекающиеся прямые могут иметь только одну точку пересечения.

71. Лучи KL и АВ пересекаются. Лучи KL и MN, лучи АВ и MN не пересекаются.72.

343��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

73. 2) Отрезок — все точки прямой, расположенные между какими-либо двумя точками этой прямой, и сами эти две точки.

Луч — все точки прямой, расположенные по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и сама эта точка.

74. 1) Каждое число нижней строки на 10 больше соответствующего числа верхней строки.

а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под числом 100 — число 110;

б) п + 10. 2) Каждое число нижней строки в 2 раза больше соответствующего

числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под число 100 — число

200; б) 2п. 3) Каждое число нижней строки получается умножением на само

себя соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 100; а под числом 100 —

число 10 000; б) п � п. 4) Каждое число нижней строки в 3 раза больше соответствующего

числа нижней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 30; а под числом 100 —

число 300; б) 3 � п. 5) Каждое число нижней строки на 1 меньше соответствующего

числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 9; а под числом 100 — число

99; б) п – 1. 6) Каждое число нижней строки получается умножением на себя

3 раза соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 10 � 10 � 10 � 1000; а под

числом 100 — число 100 � 100 � 100 � 1 000 000; б) п � п � п.75. 1) 12 � 50 м; 2) 200 м; 3) (5 � 12) : (200 – 50) мин.76. а) (y – x) м/мин; б) 10: (y – x) мин.77. 1) Скорость волка — 3х м/мин; 2) скорость сближения волка и зайца — (30 – х) м/мин; 3) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца — 10 : (3х – х) мин.

78. а 5 6 7 8 9

b 10 5 2 1 0

2a + 3b2 � 5 + + 3 � 10 � 40

2 � 6 + + 3 � 5 � 27

2 � 7 + + 3 � 2 � 20

2 � 8 + + 3 � 1 � 19

2 � 9 + + 3 � 0 � 18

4a – 2b4 � 5 – – 2 � 10 � 20

4 � 6 – – 2 � 5 � 14

4 � 7 – – 2 � 2 � 24

4 � 8 – – 2 � 1 � 30

4 � 9 – – 2 � 0 � 36

344 ����������2002–2011 гг.

79. а) 100 – 28 � 72; в) 100 – 63 � 37; д) 25 – 15 � 10; б) 100 – 31 � 69; г) 100 – 79���21; е) 75 – 45 � 30.80. а) 50 – 25 � 25; в) 50 – 18 � 32; д) 25 – 8 � 17; б) 50 – 32 � 18; г) 50 – 29 � 21; е) 75 – 34 � 41.81. 1) 15 + 2 � 17 (км/ч); 2) 15 – 2 � 13 (км/ч); 3) 3 � (15 + 2) � 51 (км); 4) 3 � (15 – 2) � 3 � 13 � 39 (км); 5) 68 : (15 + 2) � 68 : 17 � 4 (ч); 6) 78 : (15 – 2) � 78 : 13 � 6 (ч); 7) (15 + 2) – (15 – 2) � 17 – 13 � 4 (ч).82. 2) (х + 2) км/ч; (х – 2) км/ч; (х + 2) – (х – 2) км/ч; t — определенное время, тогда: t � (x + 2) км; t � (x – 2) км; А — путь при движении по течению реки, тогда: А : (х + 2) ч —

необходимое время для преодоления этого пути; В — путь при движении против течения реки, тогда В : (х – 2) ч —

необходимое время для преодоления этого пути. 3) 8 � (х + 2) — расстояние, которое пройдет катер за 8 ч по течению

реки; 10 � (х – 2) — расстояние, которое пройдет катер за 10 ч против

течения реки.83. Задача. Лера нашла 49 грибов; Юля — ? в 2 раза меньше, чем Саша — ? на 20 грибов меньше, чем

} Решение. 1) 48 : 2 � 24 (гриба); 2) 48 + 24 � 72 (гриба); 3) 72 – 20 � 52 (гриба); 4) 52 – 48 � 4 (гриба); 5) 52 – 24 � 28 (грибов). Ответ: больше всех грибов набрал Саша, что на 4 гриба больше, чем

Лера и на 28 грибов больше, чем Юля. Саша набрал 52 гриба.85. а) 100 20 39 13 305 19 3 17: : ;⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯+ +

б) 8 56 30 90 457 26 3 45⋅ − ⋅ −⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ; в) 15 45 55 11 403 10 5 29⋅ + +⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯: ; г) 48 8 50 25 126 42 2 13: : .⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯+ −

Контрольные вопросы

1. Один.2. Только одну.3. Изображение отрезка ограничено 2 точками: началом и концом

отрезка.

345��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

§ 5. Сравнение отрезков. Длина отрезка

88. AB � AD; BC � DC.89. CM � AM; BM � DM; BC � CD � AD � AB.

А

В

С

DM

90. MO � OK � LO � ON; ML � NK; MN � LK.91. а) 1) 15 + 19 � 34 (см); 2) 50 – 34 � 16 (см). Ответ: 16 см.

б) 1) 38 + 26 � 64 (см); 2) 64 – 50 � 14 (см). Ответ: 14 см. в) Рисунок аналогичный рисунку в задании а). 1) 23 + 21 � 44 (см); 2) 50 – 44 � 6 (см). Ответ: MN � 6 см. г) Рисунок аналогичный рисунку в задании б). 1) 42 + 34 � 76 (см); 2) 76 – 50 � 26 (см). Ответ: MN � 26 см.92. а) MN � 3 � AB � 3 � a (см); б) KL � AB + 25 � a + 25 (см); в) CD � AB : 4 � a : 4 (см); г) EF � AB – 8 � a – 8 (см).93. а) BC � AC – AB � 10 – 7; б) BC � AC – AB � 10 – x; в) BC � AB + AC � x + 2; г) BC � AD – (AB + CD) � a – (x + c).94. а) AB � 2x � 2 � 5 � 10 (см);

б) ED � 3x � 3 � 5 � 15 (см);

в) FK � x : 2 � 5 см : 2 � 2 см 5 мм;

г) РО � х : 4 � 5 см : 4 � 1 см 15 мм.

346 ����������2002–2011 гг.

95. Уменьшаемое Вычитаемое Разность

+6 +4 6 – 4 � 2, т.е. +2

+2 –5 +7

+18 –6 +24

+45 –10 +55

–17 +7 –24

–9 +5 –14

96. а) m � 4n; n � m : 4; m : n � 4; б) a � b : 4; b � a – 4; a – b � 4; в) c � d : 4; d � 4c; d : c � 4; г) e � g – 4; g � e + 4; g – e � 4.101. 1 способ 1) 115 – 90 � 25 (км/ч); 2) 3 � 25 � 75 (км). 2 способ 1) 3 � 115 � 345 (км) — путь легкового автомобиля; 2) 3 � 90 � 270 (км) — путь грузовика; 3) 345 – 270 � 75 (км). Ответ: грузовик отстанет от легкового автомобиля на 75 км. Для того, чтобы эта задача решалась в одно действие, можно изме-

нить вопрос задачи. Например, какое расстояние будет между грузовиком и легковым

автомобилем через 1 час после начала движения? Тогда решение имеет вид: 115 – 90 � 25 (км).

Контрольные задания

1. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.2. AB � CD; BC � AD; AO � OC; BO � OD.3. MN � NK � LK � ML; KO � ON � MO � OK.

§ 6. Ломаная

102. 1) Замкнутые ломаные: CDEFGHIJAB, MNKLP; незамкнутые ломаные: ABCDE; MNKL. 2) MNKLP; NKLPM; KLPMN; LPMNK; PMNKL; MPLKN;

NMPLK; KNMPL; LKNMP; PLKNM. Таким образом, замкнутую ломаную MNKLP можно назвать 10 спо-

собами.103. ABCD.

347��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

104. 12 незамкнутых ломаных:

105. 3 замкнутые ломаные:

106. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, из которых она со-стоит.

1) MNKEP — незамкнутая ломаная. Ее длина: MN + NK + KE + EP � 2 см +

+ 3 см + 1 см + 4 см � 10 см. 2) AB + BC + CD � 1 см 8 мм + 2 см 5 мм +

+ 1 см 9 мм � 6 см 2 мм.107. a + b + c.

348 ����������2002–2011 гг.

108. а) AB � x см ВС — в 2 раза >, чем CD — на 6 см <, чем

⎫⎬⎭?

Решение. (x + 2x + (x – 6)) см. б) AB � y см; ВС — в 3 раза <, чем CD — на 8 см >, чем

⎫⎬⎭?

Решение. (y + y : 3 + (y : 3 + 8)) см.109. Длина ломаной MNKL (незамкнутой): MN + NK + KL. а) MN � a NK — в 3 раза >, чем KL — на 12 см >, чем

⎫⎬⎭?

Решение. (a + 3a + (a + 12)) см. б) MN � b NK — на 7 см >, чем KL — в 4 раза >, чем

⎫⎬⎭?

Решение. (b + (b + 7) + 4(b + 7)) см.

110. Множитель Множитель Результат

� 2 � 2 � 4� 2 � 10 � 20

: 2 : 10 : 20

: 10 � 10 не изменится

: 10 : 10 : 100

: 100 : 10 : 100

111. а) 100 – 17 � 83; в) 50 – 24 � 26; д) 100 – 6 � 94; б) 100 – 64 � 36; г) 50 – 36 � 14; е) 100 – 73 � 27.112. а) 100 – 82 � 18; в) 50 – 39 � 11; д) 75 – 50 � 25; б) 100 – 8 � 92; г) 50 – 14 � 36; е) 50 – 22 � 28.113. а) Стоимость трех книг — 3х; б) 2у — стоимость двух альбомов; в) (у – х) — на сколько альбом дороже книги; г) (5х + 4у) — стоимость 5 книг и 4 альбомов.114. а) (a + b) км/ч — скорость, с которой пассажирский и товарный по-

езда удаляются друг от друга; б) (1750 : а) ч — время, необходимое пассажирскому поезду для

преодоления 1750 км; в) (1750 : b) ч — время, необходимое товарному поезду для преодо-

ления 1750 км; г) 1750 : (a + b) ч — время сближения поездов, если они выйдут

одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1750 км.

349��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

115. Задача. I окунь — 400 г II окунь — ? на 60 г >, чем III окунь — ? в 2 раза <, чем

}

⎫⎬⎭?

Решение. 1) 400 + 60 � 460 (г); 2) 400 + 460 � 860 (г); 3) 860 : 2 � 430 (г); 4) 860 + 430 � 1290 (г). Ответ: масса всех трех окуней равна 1290 г или 1 кг 290 г.116. Возможные варианты кодового номера магнитной карты Антона: 9697; 9688; 9679; 6997; 6988; 6979; 7897; 7888; 7879; 8788; 8779. Нельзя утверждать, что Антон сможет воспользоваться картой,

если ошибется 4 раза, так как всего 12 вариантов кодового номера его карты.

Контрольные задания

1. Ломаная ABCDE — незамкнутая, состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE.

2. Ломаная MNKLT — замкнутая, состоит из 5 звеньев: MN, NK, KL, LT, ТM.

§ 7. Координатный луч

118. 7; 9; 13; 17; 20; 21.119. C, F, I, N, U.120. а)

б)

121.

122. а) A(6); B(12); C(15); D(21); F(30); G(42); H(63); б) A(10); B(20); C(25); K(30); D(35); F(50); G(70); H(105);

350 ����������2002–2011 гг.

в) A(15); B(45); C(60); D(90); F(135); G(195); H(300); г) A(4); B(20); C(24); D(44); F(52); G(64); H(80).123. а) 4;

б) 10;

в) 30;

г) 25;

124. 31 + 7 � 38; 48 – 25 � 23.125. 1) а) 40 + 8 + 15 � 63; б) 32 – 16 – 14 � 2; 2) а) 40 + 23 � 63; б) 32 – 30 � 2.126. 1) 6 � (4 + 3) � 6 � 7 � 42 (м2); 2) 28 : (4 + 3) � 28 : 7 � 4 (ч).127. 1) 360 : 6 � 60 (деталей) — изготавливает мастер за 1 день; 2) 360 : 12 � 30 (деталей) — изготавливает ученик за 1 день; 3) 60 + 30 � 90 (деталей) — изготавливают ученик и мастер за

1 день, работая одновременно; 4) 360 : 90 � 4 (дня). Ответ: за 4 дня, работая одновременно, мастер и ученик изготовят

360 деталей.128. 1) 1800 : 90 � 20 (м) — за 1 день ремонтирует I бригада; 2) 1800 : 45 � 40 (м) — за 1 день ремонтирует II бригада; 3) 20 + 40 � 60 (м) — за 1 день ремонтируют I и II бригады вместе; 4) 1800 : 60 � 30 (дней). Ответ: за 30 дней будет закончен ремонт дороги, если обе бригады

будут работать совместно.

Контрольные вопросы

2.

3. M(3); N(9); K(17).

§ 8. Округление натуральных чисел

132. а) 2578 � 2600; 86 039 � 86 000; б) 448 731 � 449 000; 2 180 960 � 2 181 000; в) 7 734 106 � 8 000 000; 6 381 710 � 6 000 000; г) 12 803 326 � 12 800 000; 257 902 581 � 257 900 000.133. а) 8 999 996 � 9 000 000; б) 8 999 996 � 9 000 000; в) 8 999 996 � 9 000 000; г) 8 999 996 � 9 000 000.

351��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

134. а) до тысяч; б) до десятков тысяч; в) до сотен; г) до сотен тысяч.135. 99 999 995.136. 15 : 5 � 3 (ч). Ответ: Аладдин потратит на возвращение примерно 3 часа.137. 1) 17 � 6 � 102 (км), 102 � 100; 2) 16 – 6 � 10 (ч). Ответ: машине понадобится примерно 6 ч для очистки пути; начать работу ей нужно примерно в 10 ч, чтобы закончить очистку

в 16 ч.139. 1) 24 : 4 � 6 (га) — орошает I машина за 1 час; 2) 24 : 3 � 8 (га) — орошает II машина за 1 час; 3) 6 + 8 � 14 (га) — поливают обе машины за 1 день, работая одно-

временно; 4) 14 � 8 � 112 (га). Ответ: машины за 8 ч совместной работы оросят 112 га.140. а) 100 – 15 � 85; б) 80 + 15 � 95; в) 50 + 13 � 63; г) 70 – 10 � 60.141. а) +61; б) –20; в) +20; г) –8; д) –20; е) +6.142. 40 рублей.143. Иа-Иа записал число 181 (1 + 8 + 1 � 10; 1 + 0 � 1). Пятачок записал число 929 (9 + 2 + 9 � 20; 2 + 0 � 2).144. 1) 48 : 3 � 16 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 16 – 2 � 14 (км/ч). Ответ: собственная скорость катера равна 14 км/ч.145. 1) 60 : 4 � 15 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 16 – 15 � 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч.146. 1) 88 : 8 � 11 (км/ч) — скорость лодки против речения реки; 2) 88 : 22 � 4 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 11 + 4 � 15 (км/ч). Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.147. 1) 48 : 3 � 16 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 48 : 24 � 2 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 16 – 2 � 14 (км/ч). Ответ: при движении по озеру скорость теплохода равна 14 км/ч.148. 1) 12 � 19 � 228 (м) — преодолел автобус за 12 с; 2) 228 – 180 � 48 (м) — преодолел прохожий за 12 с; 3) 48 : 12 � 4 (м/с). Ответ: прохожему пришлось бежать со скоростью 4 м/с.149. а) � 6; б) : 5; в) : 5; г) : 6; д) � 3; е) � 3.

Контрольные задания

1. 68 823 � 69 000; 238 480 � 238 000; 2 560 511 � 2 561 000.2. а) До десятков тысяч; б) до сотен.

352 ����������2002–2011 гг.

§ 9. Прикидка результата действия

152. а) Десятки тысяч; цифра 1; б) если второе число уменьшить в два раза, то старший разряд сум-

мы не изменится; если второе число увеличить в 2 раза, то не изменится; если увеличить в 10 раз, то не изменится; если уве-личить в 100 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд суммы изменится, а если его увели-чить в 2 раза, то тоже изменится;

в) десятки тысяч; цифра 1; г) если второе число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разно-

сти не изменится; а если увеличить в 2 раза, то не изменится, но если увеличить в 10 раз, то изменится.

Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд раз-ности изменится, а если увеличить в 2 раза, то изменится цифра старшего разряда разности.

153. Пусть х г — масса одного огурца. На рисунке видно 10 огурцов. Со-ставим уравнение, учитывая, что 1 кг � 1000 г:

10x + 500 + 100 � 1000 + 1000; 10x + 600 � 2000; 10x � 2000 – 600; 10x � 1400; x � 1400 : 10; x � 140. Значит, 140 г весит один огурец. Ответ: масса одного огурца равна 140 г.154. 1) 31 691 � 30 000; 490 � 500; 31 691 490 � 30 000 � 500 � 15 000 000. Поэтому, Пончик стал миллионером. б) 30 000 � 250 � 7 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 2 раза

ниже. 3000 � 50 � 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 10 раз

ниже. в) 30 000 : 2 � 15 000; 15 000 � 500 � 7 5000 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли

в 2 раза меньше. 30 000 : 10 � 3000; 3000 � 500 � 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли

в 10 раз меньше. г) 150 000 000 : 500 � 300 000 (г). Пончику нужно продать больше 300 000 г соли, чтобы купить

виллу.155. а) 20 км � 2 000 000 см; 24 см � 20 см; 2 000 000 : 20 � 100 000.165. а) (24 + 12) � 2 � 72; б) (150 – 60) : 3 � 30; в) 72 : (36 – 24) � 10 � 60; г) 150 – (2 � 24 + 12) : 6 � 140.

353��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

166. а)

б)

в)

г)

Контрольные вопросы

1. Десятки тысяч.2. Сотни.3. Тысячи.4. Сотни.

§ 10. Вычисления с многозначными числами

167. 1) +

2 741 439

45 361

2 786 800

2) +

6 478 497

5 954 502

12 432 999

3) −

922 564

723 154

199 410

4) −

564 589

57 175

507 414168. а)

+48 489

72 655

121144

б) +

4 728 088

252 245

4 980 333

в) −

5 388 226

2 881 622

2 506 604

г) −1 925 908

71 414

1 854 494169. а)

+485 992

68 622

554 614

б) −

329 527

177 028

152 499

в) +

442 774

652 887

1 094 887

г) −131 357

81 592

49 765

170. а) Река Амазонка Висла Ганг Дунай Муррей Нил Ориноко Сена

Длина, км

6400 1047 2700 2850 2570 6671 2730 776

1) +2850

3821

6671

2) −6671

271

6400

3) −6400

5353

1047

4) +1047

1653

2700

5) −

2700

130

2570

6) +

2570

160

2730

7) −

2730

1954

776

б) Из перечисленных рек самая длинная — Нил (6671 км), а сама короткая — Сена (776 км).

Ориноко короче Амазонки на 3670 км −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

6400

2730

3670

;

354 ����������2002–2011 гг.

Нил длиннее Ганга на 3971 км −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

6671

2700

3971

.

171. Пельсианы — ? Рангаты — ? Кабриосы — ?

}1250 юке

1084 юке

⎫⎬⎪

⎭⎪1780 юке.

Решение. 1)

−1780

1084

696

(юке) — рангаты;

2) −1250

696

554

(юке) — пельсианы;

3) −1084

554

530

(юке) — кабриосы. Ответ: рангаты стоят 696 юке, пельсианы — 554 юке, кабриосы —

530 юке.172 Первый и третий примеры вычислены неправильно.173. а) 5000 � 100 � 500 000; б) 4000 � 700 � 2 800 000;

×5243

128

41944

10486

5243

671104

×4359

700

3051300

в) 7000 � 500 � 3 500 000; г) 5000 � 4000 � 20 000 000;

×7051

503

21153

35255

3546653

×4506

4110

4506

4506

18024

18519660

д) 5000 � 400 � 20 000 000; е) 500 � 500 � 2 500 000;

×4503

356

27018

22515

13509

1603068

×5006

474

20024

35042

20024

2372844

355��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

174. а) 20 000 � 3000 � 60 000 000; б) 70 000 � 200 � 14 000 000;

×20134

3005

100670

60402

60502670

×70342

201

70342

140684

14138742 в) 13 000 � 800 � 10 400 000; г) 400 � 90 000 � 36 000 000;

×13150

752

26306575

9205

9888800

×90012

456

540072450060

360048

41045472

д) 7000 � 8000 � 56 000 000; е) 6000 � 700 � 4 200 000;

×6520

8000

52160000

×5604

705

28020

39228

3950820

175. а) 50 000 � 2000 � 100 000 000; б) 3000 � 8000 � 24 000 000;

×2307

46200

4614138429228

106593400

×3465

8012

69303465

27720

27761580

в) 8000 � 400 � 3 200 000; г) 7000 � 3000 � 21 000 000;

×8230

400

3292000

×3249

7006

19494

22743

22762494 д) 1000 � 100 � 100 000; е) 50 � 9000 � 450 000;

×1035

96

6210

9315

99360

×9008

54

36032

45040

486432

356 ����������2002–2011 гг.

176. 1) ×

2105

125

10525

4210

2105

263125 (p.)

2) ×4731

50

236550 (p.)

3) +2105

4731

6836

(чел.)

4) −15936

6836

9100

5) ×

9100

35

455

273

318500 (p.)

6) +

236550

263125

318500

818175 (p.)

Ответ: выручка от продажи билетов на футбольный матч состави-ла 818 175 р.

177. 1) ×

35

12

70

35

420

(вагонов);

2) ×

420

46000

252

168

19320000

(кг);

19 320 000 кг � 19 320 т. Ответ: на комбинат перевезут 19 320 т зерна.

178. 1) ×

4537

5

22685

(л) — выкачали большие насосы за 1 час;

2) ×

2120

3

6360

(л) — выкачали малые насосы за 1 час;

3) +

22685

6360

29045

(л) — выкачали насосы вместе за 1 час;

4) ×

29045

6

174270

(л).

Ответ: в подвале скопилось во время наводнения 174 270 л воды.

357��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

179. 1 способ

1) ×

257

17

1799

257

4369

2) +

257

17

274

3) −4369

274

4095

2 способ

1) 17 – 1 � 16; 2) ×

257

16

1542

257

4112

3) −

4112

17

4095

Ответ: разница между требуемым и полученным числом составля-

ет 4095.

180. Правильно выполнены вычисления 1) и 3).

В вычислении 2) правильный ответ 501.

181. а) 3000 : 20 � 150; б) 12 000 : 300 � 40;

−

−

−

2898

23

23

126

59

46

138

138

0

−

−

11040

1035

345

32

690

690

0

в) 70 000: 100 � 700; г) 40 000 : 70 � 600;

−69000

690

138

500

0

−

−

−

37872

360

72

526

187

144

432

432

0

358 ����������2002–2011 гг.

д) 550 000: 90 � 6000; е) 12 000 : 60 � 200;

−

−

546455

546

91

6005

4

45

455

455

0

−

−

11774

116

58

203

17

174

174

0

182. а) 200 000 : 50 � 4000; б) 60 000 : 100 � 600;

−

−

−

162648

162

54

3012

6

64

54

108

108

0

−

−

−

60625

500

125

485

1062

1000

625

625

0

в) 170 000 : 30 � 6000; г) 20 000 : 500 � 40;

−

−

−

166496

160

32

5203

64

64

9

96

96

0

−

−

17898

1413

471

38

3768

3768

0

д) 400 000 : 100 � 4000; е) 30 000 : 50 � 600;

−

−

380665

380

95

4007

6

66

665

665

0

−

−

34349

343

49

701

4

49

49

0

359��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

1 4 2 5 3183. а) 308 � 37 – 29 � 101 + 253 � 9 � 10 744;

1) ×

+

308

37

2156

924

11396

2) ×

+

101

29

909

202

2929

3) ×253

9

2277

4) −11396

2929

8467

5) +8467

2277

10744

1 2 б) (3107 + 287) � 43 � 145 942;

1) +

3107

287

3394

2) ×

3394

43

10182

13576

145942

1 3 4 2 в) 38 027 � 24 + 24 508 – 2408 � 356 � 79 908;

1) ×

38027

24

152108

76054

912648

2) ×

2408

356

14448

12040

7224

857248

3) +

912648

24508

937156

4) −

937156

857248

79908

1 4 2 3 г) (10 000 – 7875) � (10 � 201 – 1785) � 478 125;

1) −10000

7875

2125

2) 201 � 10 � 2010; 3) −

2010

1785

225

4) ×2125

225

10625

4250

4250

478125

184. 1) 78 т 625 кг � 78 625 000 г;

2) 18 кг 500 г � 18 500 г;

3) 78 625 000 : 18 500 � 4250 (мон.);

360 ����������2002–2011 гг.

−

−

−

786250

740

185

4150

462

370

925

925

0

Ответ: в трейлер погрузили 4250 мониторов.

185. −

−

1025550

95400

11925

86

71550

71550

0

Ответ: на одного человека приходится в среднем 86 л воды в день.186. 1)

−93600

72000

21600 ( )ð.

2) −

−

21600

21

30

720

6

6

0

( .)ð

Ответ: оптовая цена куртки меньше розничной на 720 р.187.

+78

43

35

156 ( )ð.

Ответ: цена 1 кг получившейся смеси — 156 р. 1) Если взятьпо 2 кг печенья каждого сорта, то стоимость смеси уве-

личится в 2 раза. Но цена смеси не изменится. А если взять по пол килограмма, то стоимость смеси уменьшится в 2 раза, но цена сме-си при этом не изменится.

2) Если к смеси добавить 1 кг печенья третьего сорта, то ее цена уве-личится на 35 р., а если первого сорта, то увеличится на 78 р.

188. 1) 2 р. 20 к. � 220 к.; 2) 20 � 220 � 4400 (к.) � 44 (р.) — стоимость 20 л воды; 3) 44 + 88 � 132 (р.) — стоимость напитка; 4) 20 + 2 � 22 (р.) — количество напитка; 5) 132 : 22 � 6 (р.) — цена напитка. Ответ: стоимость напитка — 132 р., а его цена — 6 р. 1 2 3 7 4 5 6 а) (320 : 8 – 30) : 2 + (578 : 17 + 87) : 11 � 16; 1) 320 : 8 � 40; 2) 40 – 30 � 10; 3) 10 : 2 � 5;

361��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

4) −

−

578

51

17

34

68

68

0

5) +

34

87

121

6) −

−

121

11

11

11

11

11

0

7) 5 + 11 � 16;

1 2 3 5 4 б) (395 � 52 – 603) � 25 – 960 : 24 � 498 385;

1) ×

395

52

790

1975

20540

2) −

20540

603

19937

3) ×

19937

25

99685

39874

498425

4) −

960

96

24

40

0

5) −

498425

40

498385

1 4 2 5 3 в) 395 � 52 – 603 � 25 – 960 : 24 � 5425; 1)

×395

52

790

1975

20540

2) ×

603

25

3015

1206

15075

3) −

960

96

24

40

0

4) −

20540

15075

5465

5) −

5465

40

5425

1 3 2 г) 256 � 407 – 33 078 : 298 � 104 081; 1)

×256

407

1792

1024

104192

2) −

−

−

33078

298

298

111

327

298

298

298

0

3) −104192

111

104081

190. Между 30 липами, по условию, есть 29 мест для высадки камелий. 1) 29 � 2 � 58 (к.) — камелий по одну сторону аллеи; 2) 58 � 2 � 116 (к.). Ответ: посадили 116 кустов камелий.191. а) (s – 4) — длина грунтовой дороги; 3v — скорость автомобиля по шоссе;

362 ����������2002–2011 гг.

(s : 3v) — время, за которое автомобиль по шоссе доедет из посел-ка Левино до поселка Новопокровское;

(s – 4) : v — время, за которое автомобиль по грунтовой дороге преодолеет пусть от поселка Левино до поселка Новопокровское.

б) Равенство s : 3v � (s – 4) : v означает, что автомобиль преодолевает путь по грунтовой дороге и по шоссе за одинаковое время.

192. а)

б)

193. а)

б)

Контрольные задания

а) +4 570 852

64 208

4 635 060

б) −

6 353 054

738 536

5 614 518

в) ×

24042

307

168294

72126

7380894

г) −

−

2835

27

27

105

13

135

135

0

§ 11. Прямоугольник

194. а)

Р � 10 + 6 + 5 + 3 + 5 + 3 � 20 + 12 � 32; S � S1 + S2 � 3 � 5 + 3 � 10 � 15 + 30 � 45;

363��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

P � 6 + 10 + 2 � 5 + 2 � 3 � 16 + 16 � 32; S � S1 + S2 � 6 � 5 + 3 � 5 � 30 + 15 � 45;

P � 2 � (6 + 10) � 2 � 16 � 32; S � S2 – S1 � 6 � 10 – 3 � 5 � 60 – 15 � 45. Далее будем рассматривать один из указанных способов решения: б)

Р � 2(a + b); S � ab – (a – d) � (b – c); в)

P � 2 � (a + b); S � ab – cd; г)

P � 2 � (a + b); S � ab – d � (a – c).195. Площадь каждой из закрашенных фигур равна 1 см2, так как со-

ставляет 4 полных клетки.196. 1) — равные прямоугольники: 1) и 7); 2) и 6); 4) и 5); — прямоугольники, имеющие одинаковую площадь: 2), 4), 5), 6);

3), 1) и 7); — прямоугольники, имеющие одинаковый периметр: 1), 4), 7),

5); 2) и 6); 2) — нет; — нет; — нет; — нет; — нет.197. 1) Площади всех фигур, изображенных на рисунке 27 равны. Рав-

ных фигур среди изображений нет.

364 ����������2002–2011 гг.

2) — истинно; — ложно; — ложно; — истинно.198. а) 5 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 12 см (так как S � 12 � 12 � 144 (см2)).199. 100 � 10 � 10 � 2 � 50 � 5 � 20 � 4 � 25 Поэтому периметр прямоугольника может быть равным: 2 � (10 + 10) � 40 (см); 2 � (2 + 50) � 104 (см); 2 � (5 + 20) � 50 (см); 2 � (4 � 25) � 58 (см). Наименьший периметр у прямоугольника со сторонами 10 см

и 10 см, т.е. у квадрата со стороной 10 см.200. а) 24 + 15 � 39; 24 – 15 � 9. Значит, от числа 24 на 15 единичных отрезков удалены точки с

координатами 9 и 39; б) 78 + 159 � 237. От числа 78 на 159 единичных отрезков удалена точка 237.201. а)

б)

в)

г)

202. а)

б)

в)

2 1 3203. а) (6568 – (8007 – 6999)) � 1001 � 5 565 560;

1) −

8007

6999

1008

2) −

6568

1008

5560

3) ×

5560

1001

556

556

5565560

365��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

3 4 1 2 5 б) (801 � 601 + (10 000 – 9876) � 99) � 40 � 19 747 080; 1)

−10000

9876

124

2) ×124

99

1116

1116

12276

3) ×

801

601

801

4806

481401

4) +

481401

12276

493677

5) ×

493677

40

19747080

2 1 в) 157 464 : (14 904 : 23) � 243; 1) −

−

−

14904

138

23

648

110

92

184

184

0

2) −

−

−

157464

1296

648

243

2786

2592

1944

1944

0

1 3 2 г) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388) � 165;

1) +97548

69432

166980

2) −16400

15388

1012

3) −

−

−

166980

1012

1012

165

6578

6072

5060

5060

0204. а) 1) 1000 : 10 � 100 (л); 2) 8500 : 100 � 85 (р.) — стоит 10 л бензина; 3) 210 : 10 � 21 (л);

×85

21

85

170

1785

(р.). Ответ: 210 л бензина стоят 1785 р. б) 1) 52 ч 30 мин � 52 � 60 мин + 30 мин � 3120 мин + 30 мин �

��3150 мин;

366 ����������2002–2011 гг.

2) 3150 : 10 � 315 (мин) — затрачивает рабочий на изготовление 1 детали;

3) 43 ч 45 мин � 43 � 60 мин + 45 мин � 2580 мин + 45 мин � ��2625 мин;

4) −

−

2625

25

25

105

12

125

125

0

(мин) — затрачивает станок-автомат на

изготовление 1 детали;

5) 315 : 105 � 3 (раза). Ответ: автомат работал быстрее рабочего в 3 раза.

Контрольные задания

1. АВ � 18 мм; ВС � 44 мм. Р � 2 � (АВ + ВС) � 2 � (18 + 44) � 2 � 62 � 124 (мм); SABCD � AB � BC � 18 � 44 � 792 (мм2). ×

18

44

72

72

7922. Фигуры являются равными, если при наложении их друга на друга

они совпадают.

§ 12. Формулы

206. а) S � a � b � 25 � 24 � 600 (см2); б) S � a � b � 48 � 125 � 6000 (см2);

×

+

25

24

100

50

600

×

+

125

48

1000

500

6000

в) S � a � b � 61 � 57 � 3477 (м2); г) S � a � b � 218 � 105 � 22 890 (м2);

×

+

57

61

57

342

3477

×

+

218

105

1090

218

22890

367��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

207. а) Р � 2 � (a + b) � 2 � (12 + 15) � 2 � 27 � 54 (м); б) P � 2 � (a + b) � 2 � (34 + 25) � 2 � 59 � 118 (м); в) P � 2 � (a + b) � 2 � (78 + 22) � 2 � 100 � 200 (см); г) P � 2 � (a + b) � 2 � (154 + 146) � 2 � 300 � 600 (см).208. s � v � t а) s � 15 � 4 � 60 (км); б) s � 70 � 2 � 140 (км); в) s � 90 � 3 � 270 (км); г) s � 26 � 7 � 182 (км).

209. а)

+2 540

380

2 702

5 622

ò êã

êã

ò êã

ò êã

б)

+13 90 5

14 00 15

5 30 00

33 20 20

ì ñì ìì

ì ñì ìì

ì ñì ìì

ì ñì ìì

в)

+7 17

65

12 53

12 35

ãà à

à

ãà à

ãà à

г)

+94 25

75 47

60

170 32

2

2

2

2

à ì

à ì

ì

à ì

210. 1) +

5460

5450

10910

— второе слагаемое;

2) +10910

4600

15510

— третье слагаемое;

3)

+15510

10910

5460

31880

— четвертое слагаемое;

4) ×

31880

2

63760

Ответ: сумма всех четырех слагаемых равна 63 760.211. I — 99; II — (999 – 99); III — 100; IV — ? 1) 999 – 99 � 900; 2) 900 + 100 + 99 � 1099; 3) 2645 – 1099 � 1546.

−2654

1099

1546 Ответ: четвертое слагаемое равно 1546.

Контрольные задания

1. Формула — это равенство, которое представляет собой запись правила вычисления значения какой-либо величины.

2. а) S � a � b; P � 2 � (a + b); б) s � v � t.3. P � a + b + c, где a, b, c — длины сторон треугольника.

368 ����������2002–2011 гг.

§ 13. Законы арифметических действий

211. а) 48 + 56 + 52 � 48 + 52 + 56 � 100 + 56 � 156; б) 34 + 17 + 83 � 34 + (17 + 83) � 34 + 100 � 134; в) 56 + 24 + 38 + 62 � (56 + 24) + (38 + 62) � 80 + 100 � 180; г) 88 + 19 + 21 + 12 � (88 + 12) + (19 + 21) � 100 + 40 � 140; д) 25 + 65 + 75 � 25 + 75 + 65 � 100 + 75 � 165; е) 35 + 17 + 65 + 33 � (35 + 65) + (17 + 33) � 100 + 50 � 150; ж) 27 + 123 + 16 + 234 � (27 + 123) + (16 + 234) � 150 + 250 � 400; е) 156 + 79 + 21 + 44 � (156 + 44) + (79 + 21) � 200 + 100 � 300.215. 1) S � 6 � 8 + 3 � 6 � 48 + 16 � 66; 2) S � 6 � (8 + 3) � 6 � 11 � 66.221. S � ab – ac или S � a � (b – c).

224. а) 560 � 188 – 880 � 56 � 560 � 188 – 88 � 560 � 560 � (188 – 88) � ��560 � 100 � 56 000;

б) 84 � 670 – 640 � 67 � 84 � 670 – 64 � 670 � 670 � (84 – 64) � 670 � 20 � ��13 400;

в) 490 � 730 – 73 � 900 � 490 � 730 – 730 � 90 � 730 � (490 – 90) � ��730 � 400 � 292 000;

г) 36 � 3400 – 360 � 140 � 360 � 340 – 360 � 140 � 360 � (340 – 149) � ��360 � 200 � 72 000.

226. а) 258 � (764 + 548) > 258 � (764 + 545); б) 751 � (339 + 564) < 751 � (340 + 564); в) 532 � (618 – 436) � 532 � (618 – 436); г) 496 � (862 – 715) > 496 � (860 – 715).

227. c 30 38 43 59 72

d 15 22 26 41 53

3(c – d) 45 48 51 54 57

3c – 3d 45 48 51 54 57

3 � (30 – 15) � 3 � 15 � 45; 3 � (38 – 22) � 3 � 16 � 48; 3 � (43 – 26) � 3 � 17 � 51; 3 � (59 – 41) � 3 � 18 � 54; 3 � (72 – 53) � 3 � 19 � 57; 3(c – d) � 3c – 3d.228. (16 + 2) � 32 � 16 � 32 + 2 � 32 � 16 � 32 + 64; значит, произведение 16 � 32 увеличится на 64; 16 � (32 – 3) � 16 � 32 – 16 � 3 � 16 � 32 – 48; значит, произведение 16 � 32 уменьшится на 48; (81 + 2) � 42 � 81 � 42 + 2 � 42 � 81 � 42 + 84; значит, произведение 81 � 42 увеличится на 84;

a S — ?

b

c

a S — ?

b

c

369��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

81 � (42 – 1) � 81 � 42 – 81 � 1 � 81 � 42 – 81; значит, произведение 81 � 42 уменьшится на 81.229. а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) 2896; 2897; 2899; 2899; 2900; в) 129; 130; 131; г) 488; 489; 490; 491; 492.230. а) 40 + 15 + 17 � 72; в) 40 – 15 – 17 � 8; б) 40 – 15 + 17 � 42; г) 120 – 60 – 60 � 0.231. Белые носки — ? Голубые носки — ? на 20 пар >, чем }84

пары

Решение. 1) 84 – 20 � 64 (пары); 2) 64 : 2 � 32 (пары) — белых носков; 3) 32 + 20 � 52 (пары) — голубых носков. Ответ: 32 пары белых носков, 52 пары голубых.232. 1) 44 + 18 + 29 � 91 (кг); 2) 580 – 91 � 489 (кг); 3) 489 : 3 � 163 (кг); 4) 163 + 44 � 207 (кг) — гречка; 5) 163 + 18 � 181 (кг) — перловка; 6) 163 + 29 � 192 (кг) — рис. Ответ: в магазине имеется 207 кг гречки, 181 кг перловки, 192 кг

риса.

§ 14. Уравнение

233. а) х � 0; б) у � 0; в) х � 4; г) а � 0.234. а) у � 1; б) п � 1; в) m � 43; г) х � 1.236. а) S � a � b � 7 � 12 � 84 (см2); б) b � S : a � 48 : 12 � 4 (см); в) a � S : b � 144 : 12 � 12 (см); г) b � S : a � 120 : 8 � 15 (см); Р � 2 � (a + b) � 2 � (8 + 15) � 2 � 23 � 46 (см).237. а) 56 � 7 � t; t � 56 : 7; t � 8; б) 204 � v � 12; v � 204 : 12; v � 17;

−

−

204

12

12

17

84

84

0

в) S : 34 � 306; S � 306 � 34; S � 10 404; ×

+

306

34

1224

918

10404 г) 125 : t � 25; t � 125 : 25; t � 5.

370 ����������2002–2011 гг.

238. а) 4 � 12 : 2 � 24; в) 60 : 5 – 4 � 3 � 0; б) 25 � 4 – 18 � 2 � 64; г) 45 : 15 + 17 � 3 � 54.239. а) 60 – 675 : 45 � 45; в) 320 + 48 – 48 � 320; б) 98 – 65 – 33 � 0; г) 0 � 97 � 5 � 0.240. 1) 3 � 30 � 90 (б.); 2) 90 : 2 � 45 (б.) — одного сорта батоны; 3) 45 � 3 � 135 (б.). Ответ: в булочную было завезено 135 батонов.241. Картофель — ? в 5 раз >, чем Капуста — ? }204 à

Решение. Все поле разделено на 6 равных частей, 5 из них занимает карто-

фель, 1 — капуста. 1)

−

−

204

18

6

34

24

24

0

(а) — занято под капусту;

2) 34 � 5 � 170 (а) — занято картофелем. Ответ: 34 а занято капустой, 170 а — картофелем.

§ 15. Упрощение выражений

242. а) 23 � 15 + 15 � 77 � 15 � (23 + 77) � 15 � 100 � 1500; б) 67 � 58 + 33 � 58 � 58 � (67 + 33) � 58 � 100 � 5800; в) 340 � 7 + 16 � 70 � 34 � 70 + 16 � 70 � 70 � (34 + 16) � 70 � 50 � 3500; г) 250 � 61 – 25 � 390 � 260 � 61 – 250 � 39 � 250 � (61 – 39) � 250 � 22 �

��5500; д) 79 � 21 – 69 � 21 � 21 � (79 – 69) � 21 � 10 � 210; е) 55 � 682 – 45 � 682 � 682 � (55 – 45) � 682 � 10 � 6820; ж) 7300 � 3 + 730 � 70 � 730 � 30 + 730 � 70 � 730 � (30 + 70) � 730 � 100 �

��73 000; з) 500 � 38 – 50 � 80 � 50 � 380 – 50 � 80 � 50 � (380 – 80) � 50 � 300 �

��15 000.244. а) 17m + 5m � m � (17 + 5) � 22m; б) 24b + 7a – 5a � 24b – (7 – 5) � a � 24b – 2a; в) 6a – a � 6 � a – 1 � a � (6 – 1) � a � 5a; г) y – 8 невозможно упростить; д) 9с + 4с – 6с � (9 + 4 – 6) � с � 7с; е) 5 + 12n – 2n � 5 + (12 – 2) � n � 5 + 10n.245. 1) Сочетательный закон умножения; 2) переместительный и сочетательный законы умножения.246. а) 15a � 4 � 15 � 4 � a � 60a; б) 3b � 12 � 3 � 12 � b � 36b; в) 17a � 5b � 17 � 5 � a � b � 85ab; г) 11a � 7b � 11 � 7 � a � b � 77ab;

371��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

д) c � 18 � d � 3 � 18 � 3 � c � d � 54cd; е) x � 9 � 4 � y � 9 � 4 � c � y � 36xy.247. а) 5x + 8x � (5 + 8) � x � 13x; при x � 13 13x � 13 � 13 � 169; б) 12y – 6y � (12 – 6) � y � 6y; при y � 6 6y � 6 � 6 � 36; в) 9a + 7a � (9 + 7) � a � 16a; при a � 16 16a � 16 � 16 � 256; г) 18b – 7b � (18 – 7) � b � 11b; при b � 11 11b � 11 � 11 � 121.248. а) 39x – 5x – 4x + 28 � (39 – 5 – 4) � x + 28 � 30x + 28; при x � 3 30x + 28 � 30 � 3 + 28 � 90 + 28 � 118; при x � 5 30x + 28 � 30 � 5 + 28 � 150 + 28 � 178; б) 28y – 18y + 6y � (28 – 18 + 6) � y � 16y; при y � 1 16y � 16 � 1 � 16; при y � 2 16y � 16 � 2 � 32; в) 12 + 15a + 24a + 5a � 12 + (15 + 24 + 5) � a � 12 + 44a; при a � 0 12 + 44a � 12 + 44 � 0 � 12 + 0 � 12; при a � 3 12 + 44a � 12 + 44 � 3 � 12 + 132 � 144; г) 26 + 14b – 4b � 26 + (14 – 4) � b � 26 + 10b; при b � 4 26 + 10b � 26 + 10 � 4 � 26 + 40 � 66; при b � 10 26 + 10b � 26 + 10 � 10 � 26 + 100 � 126.249. а) 15x – 8x � 21; б) 2x + 4x � 30; (15 – 8)x � 21; (2 + 4)x � 30; 7x � 21; 6x � 30; x � 21 : 7; x � 30 : 6; x � 3; x � 5; в) 4y + 2y – y � 20; г) 7y + y – 2y � 24; (4 + 2 – 1)y � 20; (7 + 1 – 2)y � 24; 5y � 20; 6y � 24; y � 20 : 5; y � 24 : 6; y � 4; y � 4; д) 3x – x � 12; е) x + 8x � 72; (3 – 1)x � 12; (1 + 8)x � 72; 2x � 12; 9x � 72; x � 12 : 2; x � 72 : 9; x � 6; x � 8. ж) 9x + x – 9x � 5; з) 4x + 3x – 7x � 6; (9 + 1 – 9)x � 5; (4 + 3 – 7)x � 6; x � 5; 0 � 6 � 6 — ложное; х � 5; не имеет решения.251. а) 5a + 10b � 5 � a + 5 � 2 � b � 5 � (a + 2b); б) 8x – 16y � 8 � x + 8 � 2 � y � 8 � (x + 2y); в) 27p + 9q � 9 � 3 � p + 9 � q � 9 � (3p + q); г) 26m – 15n; здесь нельзя вынести общий множитель за скобки.252. а) 22l – 33f + 44 � 11 � 2 � l – 11 � 3 � f � 11 � 4 � 11 � (2l – 3f + 4); б) 7c + 21d + 7 � 7 � c + 7 � 3 � d + 7 � 1 � 7 � (c + 3d + 1); в) 12m + 24n + 18 � 6 � 2 � m + 6 � 4 � n + 6 � 3 � 6 � (2m + 4n + 3); г) 45m + 15n – 30 � 15 � 3 � m + 15 � n – 15 � 2 � 15 � (3m + n – 2).253. 1) 24 : 2 � 12 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 24 : 3 � 8 (км/ч) — скорость катера; 3) 12 – 8 � 4 (км/ч) — скорость течения реки. Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.

372 ����������2002–2011 гг.

254. vпо течению � vтеплохода + vреки; vпротив течения � vтеплохода – vреки; тогда vтеплохода � vпротив течения + vреки; vпо течению � vпротив течения + vреки + vреки � vпротив течения + 2 � vреки. 1) 119 : 7 � 17 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 17 + 2 � 1 � 19 (км/ч) — скорость теплохода по течению реки; 3) 19 � 7 � 133 (км) — путь по течению реки. Ответ: по течению реки теплоход пройдет 133 км.255. 1) 5 � 2 � 10 (кг); 2) 1 + 1 + 1 � 3 (кг); 3) 10 – 3 � 7 (кг). Ответ: масса тыквы равна 7 кг.256. а) 1) 16 – 14 � 2 (км/ч); 2) 2 : 2 � 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. б) Скорость моторной лодки по течению реки 15 км/ч, а против

течения — скорость 14 км/ч; тогда скорость течения реки будет равна 500 м/ч.

257. 1) 720 : 36 � 20 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 720 : 45 � 16 (км/ч) — скорость теплохода против течения; 3) (20 – 16) : 2 � 2 (км/ч) — скорость течения; 4) 16 + 2 � 18 (км/ч) — скорость теплохода. Ответ: собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.258. а) 36 + 15 � 3 – 1 � 80; в) 10 � 6 + 10 � 9 � 150; в) 36 : 0 � 20 � 80; г) 8 � 0 � 25 � 0.259. а) 523 � (747 + 956) � 523 � (762 + 958); б) 359 � (764 – 547) � 359 � (766 – 549); в) 756 � (459 – 327) � 756 � (449 – 317); г) 312 � (245 + 768) � 312 � (235 + 778).

Контрольные задания

1. а) 4m + 5m + 8 � (4 + 5) � m + 8 � 9m + 8; б) 3 � 7x � 21x.2. 13y – 7y + 2 � (13 – 7) � y + 2 � 6y + 2; при y � 4 6y + 2 � 6 � 4 + 2 � 24 + 2 � 26.3. 6x + 3x � 27; (6 + 3) � x � 27; 9x � 27; x � 27 : 9; x � 3.

§ 16. Математический язык

264. а) а + 30; б) 5а; в) 3 � (а + 30); г) 5а + 3 � (а + 30).265. а) х – 7; б) 2х; в) 6(х – 7); г) 2х + 6(х – 7).266. а) 5a + 3(a + 30) � 250; б) 3(a + 30) – 5a � 50; в) 7a > 300; г) 7(a + 30) > 300.

373��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

267. а) 2x + 6(x – 7) � 54; б) 6(x – 7) – 2x � 6; в) 2x > 20; г) 6(x – 7) < 40.268. а) 3(n + 5n) � 360; 3 � 6n � 360; 18n � 360; б) 6 � 5n – 3n � 540; 30n – 3n � 540; (30 – 3)n � 540; 27n � 540; в) 3 � 5n < 350; 15n < 350; г) 3n > 50.269. а) 2v + 4(v : 3) � 260; б) 2v � 60 + 4(v : 3) или 2v – 4(v : 3) � 60 или 2v – 60 � 4(v : 3); в) 2v > 120; г) 4(v : 3) < 150.270. а) 240 : 8 – 30 : 2 + 561 : 17 + 66 : 11 � 54; 1) 240 : 8 � 30; 2) 30 : 2 � 15; 3)

−

−

561

55

17

33

51

51

0

4) 66 : 11 � 6;

5) 30 – 15 � 15; 6) 15 + 33 � 48; 7) 48 + 6 � 54; б) 47 027 � 24 + 31 352 – 2408 � 356 � 302 752; 1) ×

+

47027

24

188108

94054

1128648

2) +

1128648

31352

1160000

3) ×

+

2408

356

14448

12040

7224

857248

4) −1160000

857248

302752

в) (240 : 8 – 30) : 2 + (561 : 17 + 66) : 11 � 9; 1) 240 : 8 � 30; 2) 30 – 30 � 0; 3) 0 : 2 � 0; 4) 561 : 17 � 33; 5) 33 + 66 � 99; 6) 99 : 11 � 9; 7) 0 + 9 � 9; г) 140 013 – 25 � 3571 – 119 � 309 � 13 967; 1)

×

+

3571

25

17855

7142

89275

2) ×

+

119

309

1071

357

36771

3) −140013

89275

50738

4) −

50738

36771

13967

374 ����������2002–2011 гг.

271. 1) −

48 3005 700

42 600

êã ãêã ãêã ã

— масса масла в одном бочонке;

2) ×

42 6004

170 400

êã ã

êã ã Ответ: в четырех бочонках содержится 170 кг 400 г масла.

272. Наибольший общий делитель чисел 48 и 36: 48 = 6 ��8 = 3 � 2 � 2 � 2 � 2, 36 = 4 � 9 = 2 � 2 � 3 ��3 НОД (48,36) = 12. 48 относится к 36 как 4 к 3. 60 : 4 = 15, 15 � 3 = 45. Ответ: 45 а

Контрольные задания

1. а) х – 3; б) х + х – 3 � 2х – 3; в) 2х – 3 � 28.2. а) Произведение числа 3 и суммы чисел х и у; б) произведение разности чисел х и у и числа 10; в) частное чисел 30 и х; г) частное чисел у и 12; д) сумма произведений чисел 2 и х и чисел 3 и у.

§ 17. Математическая модель

275. В стаде а овец и b коров, тогда: 1) a + b � 30 — всего в стаде 30 голов скота; 2) a � 3b — овец в 3 раза больше, чем коров; 3) a � b + 15 — овец на 15 больше, чем коров; 4) a – b � 17 — овец на 17 больше, чем коров; 5) a : 5 � b — коров в 5 раз меньше, чем овец. Турист а км прошел пешком и b км проплыл на плоту, тогда: 1) a + b � 30 — турист всего преодолел 30 км; 2) a � 3b — турист прошел пешком в 3 раза больше, чем проплыл на

плоту; 3) a � b + 15 — турист прошел пешком на 15 км больше, чем

проплыл на плоту; 4) a – b � 17 — турист прошел пешком на 17 км больше, чем

проплыл на плоту; 5) a : 5 � b — турист проплыл на плоту путь в 5 раз меньший, чем

прошел пешком. За конфеты заплатили а рублей, а за печенье — b рублей, тогда: 1) a + b � 30 — всего за покупку заплатили 30 рублей; 2) a � 3b — конфеты стоят в 3 раза больше, чем печенье; 3) a � b + 15 — конфеты дороже печенья на 15 рублей; 4) a – b � 17 — печенье дешевле конфет на 17 рублей; 5) a : 5 � b — печенье в 5 раз дешевле конфет. В классе а девочек и b мальчиков, тогда 1) a + b � 30 — всего в классе 30 учеников; 2) a � 3b — девочек в 3 раза больше, чем мальчиков в классе;

375��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

3) a � b + 15 — девочек в классе на 15 больше, чем мальчиков; 4) a – b � 17 — мальчиков в классе на 17 меньше, чем девочек; 5) a : 5 � b — мальчиков в классе в 5 раз меньше, чем девочек.276. а) Ручка стоит 94 рубля, а карандаш — 17 рублей. Тогда стоимость

2 ручек и 1 карандаша равна 2 � 9 + 17; б) Расстояние 18 км велосипедист преодолевает за 6 часов, а пеше-

ход за 9 часов. Через какое время они смогут встретиться, если выйдут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между кото-рым 25 км?

277. а) (42 � 124 + 2430) : 38 � 202 – (3008 : 94 + 527 � 8) : 72 � 40 543;

1) ×

+

124

42

248

496

5208

2) +

5208

2430

7638

3) −

−

7638

76

38

201

3

38

38

0

4) ×

+

201

202

402

402

40602

5) −

−

3008

282

94

32

188

188

0

6) ×527

8

4216

7) +

4216

32

4248

8) −

−

4248

360

72

59

648

648

0

9) −

40602

59

40543

б) (64 � 125 + 128 � 75) : 800 � 5000 – (300 � 400 + 5107 � 800) : 70 � ��49 920;

1) ×

+

125

64

500

750

8000

2) ×

+

128

75

640

896

9600

3) +9600

8000

17600

4) −

−

17600

16

800

22

16

16

0

5) ×

22

5000

110000

6) 300 � 400 � 120 000;

376 ����������2002–2011 гг.

7) ×

5107

800

4085600

8) +

4085600

120000

4205600

9) −

−

4205600

42

70

60080

5

56

56

0 10) −

110000

60080

49920

278. а) 1) 8 � 4 � 32 (раза) — во столько раз увеличится запас корма; 2) 32 � 14 � 448 (дней). Ответ: на 448 дней хватит корма другому заводчику. б) 1) 22 � 8 � 176 (лука) — на столько больше посадили бы лука; 2) 1024 – 176 � 848 (лука) — высажено на 8 грядках; 3) 848 : 8 � 106 (лук.). Ответ: на каждую грядку посадили 106 луковок.

Контрольные задания

1) В столовой стульев в 4 раза больше, чем столов;2) в столовой стульев на 30 больше, чем столов.

ГЛАВА II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

§ 18. Деление с остатком

282. 29 : 6 � 4 (5 ост.). Проверка: 6 � 4 + 5 � 29. Ответ: Аня живет на 5 этаже.283. а) a : b � 5 (3 ост.); а — делимое, b — делитель; 5 — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a � b � 5 + 3. б) a : b � n (3 ост.); а — делимое; b — делитель; п — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a � b � n + 3. в) a : b � n (r ост.); a — делимое; b — делитель; n — неполное частное; r — остаток. Проверка: a – b � n + r.

377��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

284. 1) −75

72

9

8

3

75 : 9 � 8 (3 ост.), 75 � 9 � 8 + 3;

2) −

48

34

17

2

14

48 : 17 � 2 (14 ост.), 48 � 17 � 2 + 14;

3) 412 : 400 � 1 (12 ост.), 412 � 400 � 1 + 12;

4) −

370

370

185

2

0

370 : 185 � 2 (0 ост.), 370 � 185 � 2 + 0.

285. а) 9 — делитель, 4 — неполное частное; б) 3 — делитель; 7 — неполное частное; в) 8 — делитель; 5 — неполное частное; г) 9 — делитель; 3 — неполное частное.286. а) 8 � 7 + 3 � 59; б) 12 � 7 + 2 � 86.287. 1) 51 : 4 � 12 (3 ост.); 2) 12 : 5 � 2 (2 ост.). Ответ: Инна живет в 3 подъезде на 3 этаже.288. 1) 229 : 3 � 76 (1 ост.); 2) 76 : 12 � 6 (4 ост.). Ответ: Женя живет в 7 подъезде на 5 этаже.289. 1) 272 – 205 + 1 � 68 (кв.) — в этом подъезде; 2) 68 : 17 � 4 (кв.) — на одном этаже; 3) 219 – 205 + 1 � 15 (кв.) — находится между квартирами № 205

и № 219; 4) 15 : 4 � 3 (3 ост.). Ответ: Надя живет на 4 этаже.290. а) 26; 16; 36; 46; 56; 66; 76; 86; 96. Всего 9 таких чисел. б) 106; 116; 126; и т.д. Всего 30 таких чисел.291. При делении на 7 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. При делении на 9 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. При делении на 19 — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15;

16; 17; 18. Не существует числа, которое при делении на 10 дает в остатке 12,

так как 12 больше 10.292. 1) 1; 2) а � 2п — четные, так как при делении на 2 остаток 0; b � 2n + 1 — нечетное, так как при делении на 2 остаток 1.293. 1) (13 + 25) : 10 � 38 : 10 � 3 (8 ост.); 2) 233; 105; (33 + 105) : 10 � 138 : 10 � 13 (8 ост.); 3) 43; 21 235; (21 235 + 43) : 10 � 21 278 : 10 � 2127 (8 ост.); 4) остаток всегда равен 8 — сумме остатков от деления на 10 указан-

ных чисел;

378 ����������2002–2011 гг.

5) 123; 2459; остаток от деления на 10 суммы этих чисел равен: 3 + 9 � 12, то есть 2, действительно: (123 + 2459) : 10 � 2582 : 10 �

��258 (2 ост.); 6) а) (11 + 16) : 10 � 27 : 10 � 2 (7 ост.); б) 5 + 7 � 12, то есть остаток 2, действительно: (25 + 117) : 10 �

��142 : 10 � 14 (2 ост.); 6 + 4 � 10, значит, остаток 0, действительно: (216 + 5414) : 10 �

��5630 : 10 � 563 (0 ост.).294. 9 – 3 � 6 — остаток, действительно: (359 – 243) : 10 � 116 : 10 � 11 (6 ост.).195. 99; 111; 3п, где п — натуральное число.296. 73; 97; 163; 253; 3п + 1, где п — натуральное число.297. 1) 35 : 14 � 2 (7 ост.); 2) 7 — половина 14, значит 7 км велосипедист проедет за 30 мин. Ответ: велосипедист преодолеет 35 км за 2 ч 30 мин.298. 1) 56 : 16 � 3 (8 ост.); 2) 8 — половина 16, значит, за 8 р. можно купить 500 г сахара. Ответ: можно купить 3 кг 500 г.299. 10 10 : 3 � 3 (1 ост.), третья часть 60 мин — 20 мин; 20 11 : 3 � 3 (2 ост.), две третьи части 60 мин — 40 мин. Ответ: 10 м улитка преодолеет за 3 ч 20 мин, а 11 м — за 3 ч 40 мин.

Контрольные задания

1. Делимое, делитель, неполное частное, остаток.2.

−

−

287

24

24

11

47

24

23

287 : 24 � 11 (23 ост.);

11 — неполное частное, 23 — остаток.3. 29 — делимое, 8 — делитель, 3 — неполное частное, 5 — остаток.

§ 19. Обыкновенные дроби

303. а) 3 43

4: =

— числитель (три четверти);

— знаменатель

б) 1 71

7: =

— числитель (одна седьмая);

— знаменатель

в) 15 3115

31: =

— числитель (пятнадцать тридцать первых);

— знаменатель

379��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) 17 8317

83: =

— числитель (семнадцать восемьдесят третьих).

— знаменатель

305. а) 1

3691 369= : ;

85

36985 369= : ;

б) 1

4531 453= : ;

158

453158 453= : ;

в) 1

14781 1478= : ;

1067

14781067 1478= : ;

г) 1

7811 781= : ;

45

78145 781= : .

306. а) 1

5

1

7> ; б)

7

10

2

10> ; в)

5

8

5

6< ; г)

3

14

1

14> .

307. а) 8

52ì ; б)

10

14ì; в)

6

11÷; г)

2

3êì.

308. 1) 1

2ì;

2

4ì.

309. — длина отрезка АВ в 2 раза меньше длины отрезка CD; — каждый отрезок разделен на 6 равных частей;

— для отрезка АВ — 2

6ì; для отрезка CD —

2

6ì;

— смотри пункт 4;

— для отрезка АВ: длину отрезка АВ 1 м разделили на 6 равных час-

тей и взяли 2 из них, получили 2

6ì;

для отрезка CD: длину отрезка CD 2 м разделили на 6 равных час-

тей и взяли 1 из них, получили 2

6ì.

310. 1) 4

5 кг; 4000 : 5 � 800 (г);

2) 4

5 кг; 1000 : 5 � 200 (г); 200 � 4 � 800 (г);

3) 4

5 кг �

4

5 кг; 800 г � 800 г; в первом случае 4 кг разделили на 5 %

во втором — 1 кг раздели на 5 равных частей и взяли 4 таких части;

4) 1 способ: число 5 разделить на число 6; 2 способ: единицу разделить на 6 равных частей и взять 5 таких

частей. Аналогичным образом можно получить двумя способами дроби

3

14,

17

24,

7

6.

380 ����������2002–2011 гг.

311. а) Девочке досталась 1

6 часть торта; а мальчикам —

3

6 торта;

б) площадь под луком равна 2

10a; под свеклой —

3

10a;

под морковью — 4

10a; под чесноком —

1

10a.

312. а) 1

6; б)

2

6; в)

3

6; г)

3

6.

313. а) 2

6 или

1

3; б)

4

6 или

2

3; в)

3

6 или

1

2; г)

6

6 или 1.

314. а) Закрашена 5

8 части фигуры, не закрашена

3

8части;

б) 4

5;

1

5; в)

2

6;

4

6; г)

2

4;

2

4.

315. Предложим два способа из всех возможных. а) б)

в) г)

316.

317. Удобно выбрать единичный отрезок равный 12 клеткам.

318. 420 : 70 � 6 (ч). Ответ: в первый день была продана

1

6 часть капусты.

381��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

Контрольные задания

1. 7 87

8: ;= 7 — делимое, числитель; 8 — делитель, знаменатель.

2. 5

125 12= : ; 5 — делимое, числитель; 12 — делитель, знаменатель.

4. а) 2

9

5

9< ; б)

7

18

7

11< .

§ 20. Отыскание части от целого и целого по его части

320. 1) 36 : 9 � 4 (уч.). Ответ: в олимпиаде по математике приняли участие 4 ученика. 4 � 9 � 36 (уч.). Ответ: в пятом классе всего 36 учащихся. 2) — количество учащихся в классе; — в первой задаче эта величина известна, а во второй — нет; — в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй —

целое по его части; — да, в этих задачах то, что известно и что требуется найти поме-

няли местами.321. 21 : 3 � 7; 30 : 6 � 5; 42 : 7 � 6; 50 : 10 � 5.322. а) 7 � 2 � 14; б) 5 � 4 � 20; в) 2 � 5 � 10; г) 15 � 9 � 135.323. а) Нужно найти часть от целого; 900 : 15 � 60 (м2). б) Нужно найти целое по его части; 60 � 15 � 900 (м2). Ответ: площадь участка 900 м2.325. а) 1) 35 : 5 � 7; б) 1) 24 : 4 � 6; 2) 7 � 2 � 14; 2) 3 � 6 � 18; в) 1) 72 : 9 � 8; г) 1) 51 : 3 � 17; 2) 5 � 8 � 40; 2) 2 � 17 � 34.326. а) 1) 16 : 2 � 8; б) 1) 45 : 3 � 15; 2) 3 � 8 � 24; 2) 15 � 5 � 75; в) 1) 36 : 3 � 12; г) 1) 60 : 5 � 12; 2) 7 � 12 � 84; 2) 12 � 8 � 96.327. 1) 720 : 8 � 90 (кг); 2) 90 � 5 � 450 (кг). Ответ: за день было продано 450 кг картофеля.328. 1) 34 : 2 � 17 (км); 2) 17 � 5 � 85 (км). Ответ: длина маршрута равна 85 км.329. 1) 30 : 5 � 6 (чел.); 2) 3 � 6 � 18 (дев.). Ответ: в классе 18 девочек.

382 ����������2002–2011 гг.

330. 1) 15 : 3 � 5 (га); 2) 5 � 10 � 50 (га). Ответ: общая площадь пахотной земли хозяйства равна 50 га.331. 1) 30 : 6 � 5 (авт.); 2) 5 � 5 � 25 (авт.); 3) 30 – 25 � 5 (авт.). Ответ: в автосалоне было 25 легковых автомобилей и 5 грузовых.332. 1) 25 : 5 � 5 (м); 2) 5 � 2 � 10 (м); 3) 10 : 2 � 5 (м). Ответ: ширина зала равна 10 м, а его высота — 5 м.333. 1) 270 : 2 � 135 (кн.); 2) 135 � 9 � 1215 (кн.). Ответ: всего в библиотеке 1215 книг.334. 1) 16 : 8 � 2 (кл.); 2) 2 � 45 � 90 (кл.); 3) 2 � 37 � 74 (кл.); 4) 90 + 74 � 164 (кл.). Ответ: в коллекции Антона 164 клипа.335. 1) 8 – 5 � 3 (части) — осталось пройти;

2) 120 : 3 � 40 (км) — приходится на 1

8 часть всего маршрута;

3) 40 � 8 � 320 (км) — весь маршрут. Ответ: длина туристического маршрута равна 320 км.336. 1) 15 – 7 � 8 (част.) — занято картофелем;

2) 96 : 8 � 12 (а) — приходится на 1

15 часть площади огорода;

3) 12 � 15 � 180 (а) — площадь огорода. Ответ: площадь огорода равна 180 а.

337. а)

3

8

1

8 часть фигуры составляют 2 клетки;

б) 3

4

1

4 часть фигуры составляют 4 клетки;

в)

3

5

383��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

1

5 часть фигуры составляют 4 клетки.

4)

3

4

1

4 часть фигуры составляют 4 клетки и 1 половинка клетки.

338. а)

б) (48 + 34) � (25 + 31) + (39 – 25) : (18 – 11) � 4594; 1) 48 + 34 � 82; 2) 25 + 31 � 56; 3) ×

+

82

56

492

410

4592

4) 39 – 25 � 14; 5) 18 – 11 � 7; 6) 14 : 7 � 2; 7) 4592 + 2 � 4594.

339. I

II

III

⎯⎯⎯

9999

100 99 12 645( )

?

−⎫⎬⎪

⎭⎪

Решение. 1) 100 – 99 � 1; 2) 9999 + 1 � 10 000; 3) −

12645

10000

2645

Ответ: третье слагаемое равно 2645.340. 1) 540 – 80 � 460 (пар); 2)

+12650

460

13110

(пар). Ответ: за следующую неделю фабрика выпустит 13 110 пар обуви.

384 ����������2002–2011 гг.

Контрольные задания

1. а) 60 : 5 � 12; б) 1) 48 : 8 � 6; 2) 6 � 7 � 42.2. а) 16 � 4 � 64; б) 1) 60 : 3 � 20; 2) 20 � 8 � 160.3. 1) 54 : 2 � 27 (км); 2) 27 � 3 � 81 (км). Ответ: автомобиль должен был проехать 81 км.4. 1) 155 : 5 � 31 (мин); 2) 31 � 2 � 62 (мин). Ответ: чтобы выполнить домашнее задание по математике Лене

понадобилось 62 мин.

§ 21. Основное свойство дроби

341. а) Желтым закрашена 1

2 часть фигуры èëè

3

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, а оранжевым —

1

2 часть фигуры èëè

3

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

б) желтым закрашено 2

6 части фигуры èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, оранжевым —

2

6

èëè1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, зеленым —

2

6 èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

в) оранжевым закрашено 2

6 части фигуры èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, а зеленым —

4

6 èëè

2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

г) оранжевым цветом закрашена вся фигура — 1 èëè6

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

342. а) Закрашено 3

9 части фигуры èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, не закрашено —

6

9

èëè2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

б) закрашено 6

18 части фигуры èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, не закрашено —

12

18

èëè2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

в) закрашено — 6

9 èëè

2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, не закрашено —

3

9 èëè

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

г) закрашено — 9

18 èëè

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, не закрашено —

9

18 èëè

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

385��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

343.

Если числитель и знаменатель дроби равны, то эта дробь равна 1.

344.

1

3 от 12 см;

2

3 от 12 см;

1

6 от 12 см;

4

6 от 12 см;

1

12 от 12 см;

8

12 от 12 см;

16

24 от 12 см.

2

3

4

6= ;

8

12

16

24= ; также

2

3

4

6

8

12

16

24= = = .

345. 3

4 от 8 см;

6

8 от 8 см;

12

16 от 8 см;

24

32 от 8 см.

24

32

3

4= ;

24

32

6

8= ;

24

32

12

16= ; также

3

4

6

8

12

16

24

32= = = .

346. 3

12

3 3

12 3

1

4= =

:

:;

15

25

15 5

25 5

3

5= =

:

:;

8

16

8 8

16 8

1

2= =

:

:;

9

15

9 3

15 3

3

5= =

:

:.

347. а) 4

10

4 2

10 2

2

5= =

:

:; б)

2

6

2 2

6 2

1

3= =

:

:;

в) 9

15

9 3

15 3

3

5= =

:

:; г)

12

16

12 4

16 4

3

4= =

:

:.

386 ����������2002–2011 гг.

348. а) 8

12

8 4

12 4

2

3= =

:

:; б)

15

30

15 15

30 15

1

2= =

:

:;

в) 14

21

14 7

21 7

2

3= =

:

:; г)

30

35

30 5

35 5

6

7= =

:

:.

349. 6

14

6 2

14 2

3

7= =

:

:;

9

21

9 3

21 3

3

7= =

:

:;

12

28

12 4

28 4

3

7= =

:

:.

350. 6

15

6 3

15 3

2

5= =

:

:;

4

10

4 2

10 2

2

5= =

:

:;

10

25

10 5

25 5

2

5= =

:

:;

18

45

18 9

45 9

2

5= =

:

:.

351. а) 12

18

12 6

18 6

2

3= =

:

:; б)

8

24

8 8

24 8

1

3= =

:

:;

в) 30

45

30 15

45 15

2

3= =

:

:; г)

5

15

5 5

15 5

1

3= =

:

:.

352. а) 6

14

6 2

14 2

3

7= =

:

:; б)

16

28

16 4

28 4

6

7= =

:

:;

в) 25

35

25 5

35 5

5

7= =

:

:; г)

42

49

42 7

49 7

6

7= =

:

:.

353. 15

25

15 5

25 5

3

5= =

:

:;

2

10

2 2

10 2

1

5= =

:

:;

21

35

21 7

35 7

3

5= =

:

:.

354. 4

16

4 4

16 4

1

4= =

:

:;

24

32

24 8

32 8

3

4= =

:

:;

33

44

33 11

44 11

3

4= =

:

:.

355. 1

3

1 4

3 4

4

12=

⋅⋅

= ; 2

3

2 4

3 4

8

12=

⋅⋅

= ; 3

4

3 3

4 3

9

12=

⋅⋅

= ; 1

6

1 2

6 2

2

12=

⋅⋅

= .

356. а) 1

3

1 8

3 8

8

24=

⋅⋅

= ; б) 7

6

7 4

6 4

28

24=

⋅⋅

= ;

в) 15

12

15 2

12 2

30

24=

⋅⋅

= ; г) 3

8

3 3

8 3

9

24=

⋅⋅

= .

357. а) 2

5

2 6

5 6

12

30=

⋅⋅

= ; б) 1

6

1 5

6 5

5

30=

⋅⋅

= ;

в) 3

10

3 3

10 3

9

30=

⋅⋅

= ; г) 7

15

7 2

15 2

14

30=

⋅⋅

= .

358. а) 2

3

2 2

3 2

4

6=

⋅⋅

= ; 4

6

5

6< , значит,

2

3

5

6< ;

б) 2

3

2 4

4 2

8

12=

⋅⋅

= ; 8

12

4

12> , значит,

2

3

4

12> ;

в) 3

4

3 2

4 2

6

8=

⋅⋅

= ; 6

8

5

8> , значит,

3

4

5

8> ;

г) 3

4

3 8

4 8

24

32=

⋅⋅

= ; 24

32

24

32= , значит,

3

4

24

32= .

387��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

359. а) 4

5

4 2

5 2

8

10=

⋅⋅

= ; 8

10

7

10> , значит,

4

5

7

10> ;

б) 5

8

5 4

8 4

20

32=

⋅⋅

= ; 20

32

27

32< , значит,

5

8

27

32< ;

в) 3

10

3 3

10 3

9

30=

⋅⋅

= ; 7

30

9

30< , значит,

7

30

3

10< ;

г) 2

7

2 4

7 4

8

28=

⋅⋅

= ; 5

28

8

28< , значит,

5

28

2

7< .

360. а) 9

12

3

4= ; б)

6

14

3

7= ; в)

6

21

2

7= ; г)

8

10

4

5= .

361. 1 способ: 1) 10 : 5 � 3 � 6 (ш.) — забила команда России; 2) 10 : 10 � 4 � 4 (ш.) — забила команда Канады. Ответ: победителем матча стала команда России со счетом 6 : 4. 2 способ:

1) 3

5

3 2

5 2

6

10=

⋅⋅

= — забила команда России;

2) 6

10

4

10> .

Ответ: тот же.

362. 1) 3

7

3 2

7 2

6

14=

⋅⋅

= (часть) — составляет мощность «Явы» от мощности

«Харлей Дэвидсона»;

2) 6

14

11

14< .

Ответ: бîльшую мощность имеет мотоцикл «Хонда».

363. 1) 2

5

2 2

5 2

4

10=

⋅⋅

= ; 2) 4

10

7

10< .

Ответ: ближе к Солнцу расположен Меркурий, значит, ближе к Земле расположена Венера, так как она дальше, чем Меркурий от Солнца.

364. 1) 3

50

3 10

50 10

30

500=

⋅⋅

= ;

2) 11

100

11 5

100 5

55

500=

⋅⋅

= ;

3) 3

250

3 2

250 2

6

500=

⋅⋅

= .

Ответ: бîльшую массу имеет Марс.

388 ����������2002–2011 гг.

365 а)

5

9

б)

3

5

в)

2

5

г)

6

8

366. а) 12

16

3

4= ; б)

8

12

2

3= ; в)

12

20

3

5= ; г)

17

20.

367. а) 1

2

1

4> ; б)

1

100

1

10< ; в)

2

170

2

70< ; г)

15

28

15

78> .

368. а) 3

4

4

5< , так как

3

4 до 1 не хватает

1

4, а

4

5 —

1

5; но

1

5

1

4< ;

б) 5

6

4

5> , так как

1

6

1

5< ;

в) 7

8

8

9< , так как

1

9

1

8< ;

г) 9

10

8

9> , так как

1

10

1

9< .

369. а) 2

13

15

16< , так как

2

13

2 15

13 15

30

195=

⋅⋅

= , 15

16

15 2

16 2

30

32=

⋅⋅

= , 30

195

30

32< ;

б) 7

22

51

64< , так как

7

22

7 51

22 51

357

1122=

⋅⋅

= , 51

64

51 7

64 7

357

448=

⋅⋅

= ;

357

1122

357

448< ;

в) 51

100

54

100> , так как

51

100

51 18

100 18

918

1800=

⋅⋅

= ,

54

100

54 17

110 17

910

1870=

⋅⋅

= ; 918

1800

918

1870> ;

389��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) 3

4

62

125> , так как

3

4

3 62

4 62

186

248=

⋅⋅

= , 62

125

62 3

125 3

186

375=

⋅⋅

= ; 185

248

186

375> .

370. а) 11

10äì ì= ; 1 ñì =

1

100ì; 1

1

1000ìì ì= ;

б) 1010

100

1

10ñì ì ì= = ; 50

50

100

1

2ñì ì ì= = ;

1010

1000

1

10ìì ì ì= = ; 100

100

1000

1

10ìì ì ì= = ;

в) 51

2äì =

5

10ì ì= ; 25

25

100

1

4ñì ì ì= = ; 75

3

4ñì =

75

100ì ì= ;

8080

1000

8

100

2

25ìì ì ì ì= = = ;

г) 3030

100

3

10ñì ì ì= = ; 30

30

1000

3

100ìì ì ì= = ;

5555

100

11

20ñì ì ì= = ; 55

55

1000

11

200ìì ì ì= = .

371. 1

1001ì ñì= ;

1

10

100

1010ì

ñìñì= = ;

1ì =

100 ñì

4ñì

425= ;

1

5

100

520ì

ñìñì= = ;

1

2

100

250ì

ìñì= = .

372. 1

10

1

20> , значит, Наташины родители отдают меньшую часть своих

доходов за оплату жилья. Поэтому в семье Наташи доход больше.

373. 1

14

1

18> , значит, родители Юли отдают бîльшую часть своего

дохода в качестве оплаты за жилье, поэтому у семьи Юли жилищные условия лучше.

374. 1) 126 : 7 � 18 (км); 2) 18 � 3 � 54 (км). Ответ: в первый день туристы прошли 54 км.375. 1)

−

−

−

−

41516

4

4

10379

115

12

31

28

36

36

0

( .)ð

2) ×10379

9

93411 ( .)ð

Ответ: на ремонт квартиры было истрачено 93 411 р.

390 ����������2002–2011 гг.

Контрольные задания

2. а) 12

36

12 12

36 12

1

3= =

:

:; б)

9

15

9 3

15 3

3

5= =

:

:.

3. а) 3

8

3 3

8 3

9

24=

⋅⋅

= ; б) 5

6

5 4

6 4

20

24=

⋅⋅

= .

4. 1

10

1 3

10 3

3

30=

⋅⋅

= ; 1

15

1 2

15 2

2

30=

⋅⋅

= .

§ 22. Правильные и неправильные дроби.Смешанные числа

376. 2

5 — правильная дробь;

5

5 и

6

5 — неправильные дроби.

2

51< ;

5

51= ;

6

51> .

Вывод: любая правильная дробь меньше 1; любая неправильная дробь больше 1; если в неправильной дроби числитель и знамена-тель одинаковые, то дробь равна 1.

377. а) 3

7;

13

14;

19

20;

1

4;

3

16; эти дроби правильные так как их

числитель меньше знаменателя;

б) 8

3;

15

6;

17

3;

32

32;

28

28; эти дроби неправильные, так как

числитель каждой из них больше или равен знаменателю.

378. а) 7

n — неправильная при п � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

б) 17

11

− n — неправильная при п � 1, 2, 3, 4, 5, 6.

379. а) m6

— правильная при m � 1, 2, 3, 4, 5;

б) 16

4 + m — правильная при m больше 12.

380. а) 33

1= ; б) 3

9

3= ; в) 3

24

8= ; в) 3

30

10= .

381. а) 55

1= ; б) 5

25

5= ; в) 5

35

7= ; г) 5

55

11= .

391��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

385. 3

4; 2

2

5; 6

3

10; 7

7

8; 8

7

15; 8

8

16.

386. а) 15

62

3

6= ; б)

8

61

2

6= ; в)

16

62

4

6= ; г)

23

63

5

6= .

387. а) 22

92

4

9= ; б)

19

44

3

4= ; в)

14

43

2

4= ; г)

18

44

2

4= .

388. а) 13

4

1 4 3

3

7

4=

⋅ += ; б) 2

3

5

2 5 3

5

13

5=

⋅ += ;

в) 31

3

3 3 1

3

10

3=

⋅ += ; г) 4

1

2

4 2 1

2

9

2=

⋅ += ;

д) 17

8

1 8 7

8

15

8=

⋅ += ; е) 3

4

11

3 11 4

11

37

11=

⋅ += .

389. а) 13

7

1 7 3

7

10

7=

⋅ += ; б) 2

4

9

2 9 4

9

22

9=

⋅ += ;

в) 52

3

5 3 2

3

17

3=

⋅ += ; г) 6

3

5

6 5 3

5

33

5=

⋅ += ;

д) 211

15

2 15 11

15

41

15=

⋅ += ; е) 7

3

8

7 8 3

8

59

8=

⋅ += .

390. 1)

13

121

1

12= ;

7

61

1

6= ;

5

41

1

4= ;

2) 6

51

1

5= ;

7

51

2

5= ;

12

52

2

5= ;

18

53

3

5= ;

24

54

4

5= .

392. 37

301

7

30= ;

37

103

7

10= ;

37

57

2

5= ;

−

37

30

30

1

7

−

37

30

10

3

7

−

37

35

5

7

2

393. а) 583

4512

43

45= ; б)

424

3113

21

31= ;

−

−

583

45

45

12

133

90

43

−

−

424

31

31

13

114

93

21

392 ����������2002–2011 гг.

в) 321

754

21

75= ; г)

719

838

55

83= ;

−

321

300

75

4

21

−

719

664

83

8

55

394. а) 435

646

51

64= ; б)

793

3820

33

38= ;

−

435

384

64

6

51

−793

76

38

20

33

в) 389

2714

11

27= ; г)

543

559

48

55= ;

−

−

389

27

27

14

119

108

11

−543

495

55

9

48

395. а) 499

2718

13

27= ;

172

632

46

63= ;

−

−

499

27

28

18

229

216

13

−172

126

63

2

46

345

2315= ;

1537

2346

133

234= ;

−

−

345

23

23

15

115

115

0

−1537

1404

234

6

133

246

63; 6

133

234; 15; 18

13

27.

Поэтому: 172

63;

1537

234;

345

23;

499

27.

393��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

б) 345

2315= ;

75

116

9

11= ;

267

1419

1

14= ;

−

−

345

23

23

15

115

115

0

−75

66

11

6

9

−

−

267

14

14

19

127

126

1

952

3562

240

356= ;

51

412

3

4= ;

−952

712

356

2

240

−

−

51

4

4

12

11

8

3

191

14; 15; 12

3

4; 6

9

11; 2

240

356.

Поэтому: 267

14;

345

23;

51

4;

75

11;

952

356.

396. а) 3

4

3 2

4 2

6

8=

⋅⋅

= ; 3

4

3 6

4 6

18

24=

⋅⋅

= ;

3

4

3 3

4 3

9

12=

⋅⋅

= ; 3

4

3 10

4 10

30

40=

⋅⋅

= ;

3

4

3 4

4 4

12

16=

⋅⋅

= ; 3

4

3 50

4 50

150

200=

⋅⋅

= ;

б) 15

17

15 3

75 3

5

25= =

:

:; да, эту дробь можно еще упростить:

5

25

5 5

25 5

1

5= =

:

:.

397. а) 7

15

7 3

15 3

21

45=

⋅⋅

= ; 21

45

22

45< ; значит,

7

15

22

45< ;

б) 17

27

17 2

27 2

34

54=

⋅⋅

= ; 31

54

34

54< ; значит,

31

54

17

27< ;

в) 5

18

5 2

18 2

10

36=

⋅⋅

= ; 10

36

11

36< ; значит,

5

18

11

36< ;

г) 3

4

3 4

4 4

12

16=

⋅⋅

= ; 12

16

9

16> ; значит,

3

4

9

16> .

394 ����������2002–2011 гг.

398. а) x18

2

3= ;

2

3

2 6

3 6

12

18=

⋅⋅

= ; значит, х � 12;

б) 15 3

4x= ; 15 : 3 � 5; 4 � 5 � 20; значит, х � 20;

в) 1337

=x

; х � 337;

г) 33

3x

= ; х � 33 : 3; х � 11.

399. а) 1

25

100

254ì

ñìñì= = ; б)

1

50

100

502ì

ñìñì= = ;

в) 1

4

100

425ì

ñìñì= = ; г)

1

5

100

520ì

ñìñì= = .

400. а) 77

60ìèí ÷= ; 15

15

60

1

4ìèí ÷ ÷= = ;

б) 4545

3600

9

720

1

80ñ ÷ ÷ ÷= = = ; 51

51

3600

17

1200ñ ÷ ÷= = ;

в) 8080

60

8

6

4

31

1

3ìèí ÷ ÷ ÷ ÷= = = = ; 120

120

602ìèí ÷ ÷= = ;

г) 50005000

3600

25

181

7

18ñ ÷ ÷ ÷= = = ; 6600

6600

3600

11

61

5

6ñ ÷ ÷ ÷= = = .

402. 1) 72 : 4 � 18 (эксп.); 2)

×

+

18

11

18

18

198 ( .)ýêñï

Ответ: в коллекции энтомолога 198 экспонатов.403. 1) 120 : 15 � 8 (задач); 2) 8 � 2 � 16 (задач). Ответ: за первые 10 дней Света решила 16 задач.404. 1) 5 – 2 � 3 (части); 2) 36 : 3 � 12 (км); 3) 12 � 5 � 60 (км). Ответ: длина маршрута равна 60 км.

Контрольные задания

2. 25

73

4

7= .

3. 32

5

3 5 2

5

17

5=

⋅ += .

395��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

4. 15

28 — правильная дробь;

4

3 — неправильная дробь;

15

281< ;

4

31> ; значит,

15

28

4

3< .

§ 23. Окружность и круг

405. Окружность изображена на рисунке слева, а круг — на рисунке справа.

Для построения окружностей используется циркуль. — Окружности принадлежат точки A, B, C; кругу — A, B, C, O, M; — окружности не принадлежат точки O, M, N; кругу — N; — дуги между точками А и В; А и С; В и С; — центры окружности и круга обозначены точкой О; — радиусами окружности и круга являются отрезки OA, OB, OC

(r — радиус); — OM; ON; OM < r; ON > r; — бесконечно много; — d — диаметр окружности, круга; у окружности и круга бесконеч-

но много диаметров; — все диаметры одной окружности (круга) равны между собой

и равны двум радиусам; — все радиусы одной окружности (круга) равны между собой и рав-

ны половине диаметра; — d � 2 � r; — r � d : 2.406. а) r � 2 см; d � 2 � r � 2 � 2 � 4 (см).

Рисунки в дальнейших заданиях выполняются аналогично заданию а). б) r � 4 см; d � 2 � r � 2 � 4 � 8 (см); в) r � 3 см; d � 2 � r � 2 � 3 � 6 (см); г) r � 3 см 5 мм; d � 2 � r � 2 � 3 см 5 мм � 7 (см).407. а) d � 4 см; r � d : 2 � 4 : 2 � 2 (см) (смотри рисунок к заданию

№ 406(а)); б) d � 6 см; r � d : 2 � 6 :2 � 3 (см); в) d � 9 см; r � d : 2 � 9 см : 2 � 4 см 5 мм; г) d � 10 см; r � d : 2 � 4 : 2 � 5 (см).

396 ����������2002–2011 гг.

408. а) Участок ограничивает круг радиуса 4 м.

Пострадает от козы заштрихованная красным цветом часть огорода. б)

По сравнению с предыдущей задачей площадь участка увеличит-ся более, чем еще на одну такую же площадь.

О1 О26 м

409. Точки С и F принадлежат окружности, так как OC � OF � OA � r; остальные точки — B, D, E окружности не принадлежат, так как OB < r, OD > r, OE > r.

410. Радиус большей окружности равен 3 � 2 � 6 (см), а ее диаметр: 6 � 2 � 12 (см).413. а) 14x – 9x � 125; б) 15y + 25y � 120; (14 – 9) � x � 125; (15 + 25) � y � 120; 5x � 125; 40y � 120; x � 125 : 5; y � 120 : 40; x � 25; y � 3; в) 13x + 5x � 108 : 2; г) 29y – 17y � 12 � 4; (13 + 5) � x � 54; (29 – 17) � y � 48; 18x � 54; 12y � 48; x � 54 : 18; y � 48 : 12; x � 3; y � 4.

397��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

414. а) 9 � (142 – 35) + (42 � 6 + 748) : 25 � 1003; 1) 142 – 35 � 107; 2)

×107

9

963

3) ×42

6

253

4) +252

748

1000

5) 1000 : 25 � 40; 6) 963 + 40 � 1003.

б) 1872 : (105 : 3 – 11) + 493 � 571; 1)

−

−

105

9

3

35

15

15

0

2) 35 – 11 � 24;

3) −

−

1872

168

24

78

192

192

0

4) +

493

78

571

415. а) Координату точки М-18 увеличили на 12, а затем уменьшили на 6, получили точку N. Найдите координату точки N.

б) Координату точки N-73 увеличили на 12, потом уменьшили на 21, получили точку М. Найдите координату точки М.

416.

(15 + 25) � 20 – 19 096 : 62 � 492; 1) 15 + 25 � 40; 2) 40 � 20 � 800; 3)

−

−

19096

186

62

308

49496

496

0

4) −800

308

492

398 ����������2002–2011 гг.

417. (s + 7) : (y + 3) > s : y.418. a) 1)

−1728

1242

486

(р.) — разница стоимости фляг;

2) −

−

486

45

9

54

36

36

0

(р.) — цена меда;

3) −

−

1728

162

54

32

108

108

0

(кг) — во второй фляге;

4) −

−

1242

108

54

23

162

162

0

(кг) — в первой фляге.

Ответ: в первой фляге 23 кг меда, а во второй — 32 кг. б) 1)

−2436

2184

252

(р.) — разница стоимости меда;

2) −

−

252

24

6

42

12

12

0

(кг) — масса меда в первой и во второй фляге;

3) −

−

2436

210

42

58

336

336

0

(р.) — цена меда во второй фляге;

4) 58 – 6 � 52 (р.) — цена меда в первой фляге. Ответ: в каждой фляге масса меда равна 42 кг, цена меда в первой

фляге — 52 р., а во второй — 58 р.

399��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

419. 9

18

1

2= ;

5

6;

2

3;

1

2

2

3

5

6< < ;

1

2

1 3

2 3

3

6=

⋅⋅

= ; 2

3

2 2

3 2

4

6=

⋅⋅

= .

Значит, 3

6

4

6

5

6< < .

б) 10

16;

4

8

4 2

8 2

8

16=

⋅⋅

= ; 3

4

3 4

4 4

12

16=

⋅⋅

= ; 8

16

10

16

12

16< < .

Значит, 8

4

10

16

3

4< < .

Контрольные задания

1. Круг содержит и часть плоскости, ограниченную окружностью.2. а) r � OA � 4 см; d � AB;

б) d � 2r � 2 � 4 � 8 (см).

§ 24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

420. 1) а) 1

6; б)

1

6; в)

2

6

1

3= ; г)

3

6

1

2= ;

2) а) 2

6

1

3= ; б)

3

6

1

2= ; в)

2

6

1

3= ; г)

2

6

1

3= ;

3) а) 3

6

1

2= ; б)

4

6

2

3= ; в)

4

6

2

3= ; г)

5

6;

4) а) 3

6

1

2= ; б)

2

6

1

3= ; в)

2

6

1

3= ; г)

1

6.

или

3) а) 1

6

2

6

3

6+ = ; б)

1

6

3

6

4

6+ = ;

А

В

Оr

А

В

Оr

400 ����������2002–2011 гг.

в) 2

6

2

6

4

6+ = ; г)

3

6

2

6

5

6+ = ;

4) а) 6

6

3

6

3

6− = ; б)

6

6

4

6

2

6− = ;

в) 6

6

4

6

2

6− = ; г)

6

6

5

6

1

6− = .

421. 1) а) 7

16; б)

3

12; в)

7

20; г)

5

18;

2) а) 5

16; б)

5

12; в)

7

20; г)

11

18;

3) а) 12

16; б)

8

12; в)

14

20; г)

16

18;

4) а) 4

16; б)

4

12; в)

6

20; г)

2

18.

или

3) а) 7

16

5

16

12

16+ = ; б)

3

12

5

12

8

12+ = ;

в) 7

20

7

20

14

20+ = ; г)

5

18

11

18

16

18+ = ;

4) а) 16

16

12

16

4

16− = ; б)

12

12

8

12

4

12− = ;

в) 20

20

14

20

6

20− = ; г)

18

18

16

18

2

18− = .

422. а) 3

8

5

8

3 5

8

8

81+ =

+= = ; в)

1

7

3

7

2

7

1 3 2

7

6

7+ + =

+ += ;

б) 7

15

2

15

7 2

15

5

15

1

3− =

−= = ; г)

3

11

8

11

4

11

3 8 4

11

7

11+ − =

+ −= .

423. а) 2

17

7

17

2 7

17

9

17+ =

+= ; в)

2

25

9

25

2 9

25

11

25+ =

+= ;

б) 7

16

5

16

7 5

16

2

16

1

8− =

−= = ; г)

12

13

3

13

12 3

13

9

13− =

−= .

424. а) 24

33

13

33

24 13

33

11

33

1

3− =

−= = ; в)

14

27

4

27

14 4

27

18

27

2

3+ =

+= = ;

б) 5

21

2

21

5 2

21

7

21

1

3+ =

+= = ; г)

16

35

12

35

16 12

35

28

35

4

5+ =

+= = .

425. а) 72

156

34

156

72 34

156

106

156

53

78+ =

+= = ;

б) 75

341

52

341

75 52

341

23

341− =

−= ;

401��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 34

105

62

105

34 62

105

96

105

32

35+ =

+= = ;

г) 231

520

128

520

231 128

520

103

520− =

−= .

426. а) 12

5

5

5

2

5

3

5− = − = ; в) 1

4

7

7

7

4

7

3

7− = − = ;

б) 13

4

4

4

3

4

1

4− = − = ; г) 1

10

11

11

11

10

11

1

11− = − = .

427. а) 11

16

3

16

16 1 3

16

12

16

3

4− − =

− −= = ;

б) 12

25

8

25

25 2 8

25

15

25

3

5− − =

− −= = ;

в) 17

24

5

24

24 7 5

24

12

24

1

2− − =

− −= = ;

г) 117

30

11

30

30 17 11

30

2

30

1

15− − =

− −= = .

428. Примем весь путь за 1.

14

9

9

9

4

9

9 4

9

5

9− = − =

−= .

Ответ: во второй день турист прошел 5

9 пути.

429. Примем количество страниц в книге за 1.

13

7

7

7

3

7

7 3

7

4

7− = − =

−= .

Ответ: Денис прочитал во второй день 4

7 книги.

430. 1) 4

15

1

15

3

15− = — израсходовал Робинзон Крузо на втором году;

2) 4

15

3

15

7

15+ = — израсходовал Робинзон Крузо за два года вместе;

3) 17

15

15

15

7

15

8

15− = − = — осталось муки.

Ответ: Робинзон Крузо за два года израсходовал 7

15 запаса муки,

а осталось у него — 8

15 муки.

431. 1 полка — на 1

7 книг больше, чем ? часть всех книг

2 полка — ? часть всех книг

402 ����������2002–2011 гг.

Решение.

Так как знаменатель дроби 1

7 равен 7, то количество всех книг

разделили на 7 равных частей. Если на 1-ой полке на 1 такую часть

больше, то на ней 4

7 всех книг, а на 2-ой полке —

3

7 всех книг

îáùåå êíèã 1 =7

7÷èñëî ⎯⎛

⎝⎜⎞⎠⎟.

432. Примем объем книги за 1.

1) 11

9

9

9

1

9

8

9− = − = — сумма двух равных частей;

2) 8

92

4

9: = — объем книги, прочитанный за 2-ой день;

3) 4

9

1

9

5

9+ = .

Ответ: Денис в первый день прочитал 5

9 книги, а во 2-ой —

4

9 книги.

433. а) (506 � 123 + 29 376 : 72 – 61 830) : 4 � 204;

1) ×

+

123

506

738

615

62238

2) −

−

29376

288

72

408

576

576

0

3) +

62238

408

62646

4) −

62646

61830

816

5) −

−

816

8

4

204

16

16

0

б) (47 020 + 9687) : (4066 – 38 � 107) � 1)

+47020

9687

56707

2) ×

+

107

38

856

321

4066

3) 4066 – 4066 � 0; 4) 56 707 : 0. На 0 делить нельзя. Значит, нельзя вычислить значение данного числового выражения.

403��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

434. Решение.

1) ×

+

4725

15

23625

4725

70875

(р.) — вырученные деньги за I неделю;

2) −4725

300

4425

(р.) — новая цена пары лыж;

3) 15 + 12 � 27 (пар) — продали за II неделю;

4) ×

+

4425

27

30975

8850

119475

(р.) — вырученные деньги за II неделю;

5) ×

+

3700

15

185

37

55500

(р.) — закупка 15 пар;

6) −70875

55500

15375

(р.) — прибыль за I неделю;

7) ×

+

3700

27

259

74

99900

(р.) — закупка 27 пар;

8) −119475

99900

19575

(р.) — прибыль за II неделю.

Ответ: да, магазину удалось увеличить прибыль.

404 ����������2002–2011 гг.

435. Незакрашенной осталась:

17

16

16

16

7

16

9

16− = − = части квадрата.

436. 1) Закрашено: 1

4

1

8

2

8

1

8

3

8+ = + = части круга;

незакрашено: 2

4

1

8

4

8

1

8

5

8+ = + = частей круга

èëè 13

8

8

8

3

8

5

8− = − =⎛

⎝⎜⎞⎠⎟.

2) Закрашено: 1

2

1

8

4

8

1

8

5

8+ = + = частей круга;

незакрашено: 3

8 части круга

èëè 15

8

8

8

5

8

3

8− = − =⎛

⎝⎜⎞⎠⎟.

437. Незакрашенной осталось 1

16 часть квадрата,

а закрашено 15

16 квадрата.

438. а) Закрашена 1

2 часть круга, незакрашена

1

2 часть

круга.

б) Закрашено 4

6 круга или

2

3 круга, незакрашено

2

6 круга или

1

3 часть круга.

440. а) 3

8

5

16

6

16

5

16

6 5

16

11

16+ = + =

+= ;

б) 5

18

2

9

5

18

4

18

5 4

18

9

18

1

2+ = + =

+= = ;

1

81

4

1

81

4

1

8

1

2

1

8

1

2

405��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 4

7

3

14

8

14

3

14

8 3

14

11

14+ = = =

+= ;

г) 7

100

3

10

7

100

30

100

7 30

100

37

100+ = = =

+= .

441. а) 3

5

4

15

9

15

4

15

9 4

15

13

15+ = + =

+= ;

б) 2

7

5

28

8

28

5

28

8 5

28

13

28+ = + =

+= ;

в) 3

22

6

11

3

22

12

22

3 12

22

15

22+ = + =

+= ;

г) 3

4

3

20

15

20

3

20

15 3

20

19

20

9

10+ = + =

+= = .

442. а) 5

9

2

3

5

9

6

9

5 6

9

11

91

2

9+ = + =

+= = ;

б) 1

12

3

4

1

12

9

12

1 9

12

10

12

5

6+ = + =

+= = ;

в) 1

2

3

8

4

8

3

8

4 3

8

7

8+ = + =

+= ;

г) 17

1000

81

100

17

1000

810

1000

17 810

1000

827

1000+ = + =

+= .

443. а) 5

12

1

3

5

12

4

12

5 4

12

9

12

3

4+ = + =

+= = ;

б) 11

24

3

8

11

24

9

24

11 9

24

20

24

5

6+ = + =

+= = ;

в) 5

6

1

24

20

24

1

24

20 1

24

21

24

7

8+ = + =

+= = ;

г) 57

1000

9

10

57

1000

900

1000

57 900

1000

957

1000+ = + =

+= .

444. а) 11

16

3

8

11

16

6

16

11 6

16

5

16− = − =

−= ;

б) 5

6

5

12

10

12

5

12

10 5

12

5

12− = − =

−= ;

в) 4

7

8

21

12

21

8

21

12 8

21

4

21− = − =

−= ;

г) 17

30

4

15

17

30

8

30

17 8

30

9

30

3

10− = − =

−= = .

406 ����������2002–2011 гг.

445. а) 7

9

5

18

14

18

5

18

14 5

18

9

18

1

2− = − =

−= = ;

б) 14

25

1

5

14

25

5

25

14 5

25

9

25− = − =

−= ;

в) 7

10

9

100

70

100

9

100

70 9

100

61

100− = − = − = ;

г) 7

11

21

44

28

44

21

44

28 21

44

7

44− = − =

−= .

446. а) 7

12

1

4

7

12

3

12

7 3

12

4

12

1

3− = − =

−= = ;

б) 22

27

5

9

22

27

15

27

22 15

27

7

27− = − =

−= ;

в) 3

10

43

10 000

3000

10 000

43

10 000

3000 43

10 000

2957

10 000− = − =

−= ;

г) 31

100

21

1000

310

1000

21

1000

310 21

1000

289

1000− = − =

−= .

447. а) 5

8

1

2

5

8

4

8

5 4

8

1

8− = − =

−= ;

б) 7

8

11

24

21

24

11

24

21 11

24

10

24

5

12− = − =

−= = ;

в) 17

18

5

6

17

18

15

18

17 15

18

2

18

1

9− = − =

−= = ;

г) 777

1000

1

10

777

1000

100

1000

777 100

1000

677

1000− = − =

−= .

449. а) 2

3

1

4

8

12

3

12

8 3

12

11

12+ = + =

+= ;

б) 4

5

3

4

16

20

15

20

16 15

20

1

20− = − =

−= ;

в) 1

2

1

3

3

6

2

6

3 2

6

1

6− = − =

−= ;

г) 5

6

3

8

20

24

9

24

20 9

24

29

241

5

24+ = + =

+= = .

450. а) 1

2

2

5

5

10

4

10

5 4

10

9

10+ = + =

+= ;

б) 1

2

2

5

5

10

4

10

5 4

10

1

10− = − =

−= ;

в) 1

4

1

6

3

12

2

12

3 2

12

5

12+ = + =

+= ;

г) 9

10

5

6

27

30

25

30

27 25

30

2

30

1

15− = − =

−= = .

407��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

451. а) 3

4

2

3

9

12

8

12

9 8

12

17

121

5

12+ = + =

+= = ;

б) 3

5

1

3

9

15

5

15

9 5

15

4

15− = − =

−= ;

в) 3

4

2

3

9

12

8

12

9 8

12

1

12− = − =

−= ;

г) 3

4

3

14

21

28

6

28

21 6

28

27

28+ = + =

+= .

452. а) 1

4

1

6

3

12

2

12

3 2

12

1

12− = − =

−= ;

б) 3

5

1

3

9

15

5

15

9 5

15

14

15+ = + =

+= ;

в) 4

5

3

4

16

20

15

20

16 15

20

31

201

11

20+ = + =

+= = ;

г) 7

10

1

4

14

20

5

20

14 5

20

9

20− = − =

−= .

453. 1) 2

9

4

18= ;

4

18

5

18< .

Значит, за обедом съели больше хлеба.

2) 2

9

5

18

4

18

5

18

4 5

18

9

18

1

2+ = + =

+= = .

За обедом и завтраком съели 1

2 часть батона.

3) 11

2

2

2

1

2

1

2− = = = .

На ужин осталась 1

2 часть батона.

454. 1) 3

7

9

21= ;

10

21

9

21> .

Значит, для приготовления какао потребовалось молока меньше, чем для приготовления каши.

2) 10

21

3

7

10

21

9

21

10 9

21

19

21+ = + =

+= .

Было использовано 19

21 молока.

3) 119

21

21

21

19

21

2

21− = − = .

Осталось 2

21 молока.

408 ����������2002–2011 гг.

455. а) x = −11

9; x = −

9

9

1

9; x =

−9 1

9; x =

8

9;

б) x = −15

9; x = −9

9

5

9; x =

−9 5

9; x =

4

9;

в) x = −12

7; x = −

7

7

2

7; x =

−7 2

7; x =

5

7;

г) x = −14

7; x = −

7

7

4

7; x =

−7 4

7; x =

3

7.

456. а) y = −15

8; y = −

8

8

5

8; y =

−8 5

8; y =

3

8;

б) y = −17

12; y = −

12

12

7

12; y =

−12 7

12; y =

5

12;

в) y = −15

16; y = −

16

16

5

16; y =

−16 5

16; y =

11

16;

г) y = −115

24; y = −

24

24

15

24; y =

−24 15

24; y =

9

24; y =

3

8.

457. Примем объем бассейна за 1.

За 1 час одна труба заполнит 1

30 часть бассейна, а другая —

1

15 часть.

Тогда за 1 час совместной работы заполнится:

1

30

1

15

1

30

2

30

1 2

30

3

30

1

10+ = + =

+= = (часть).

Если за 1 час совместной работы обеих труб заполняется 1

10 часть

бассейна, то весь бассейн 110

10=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

заполнится обеими трубами,

работающими одновременно за 10 часов.

458. 1) 12

5

5

5

2

5

5 2

5

3

5− = − =

−= (часть) — прошел турист за второй день;

2) 45 : 5 � 3 � 27 (км). Ответ: за второй день турист прошел 27 км.

459. 1) 2

9

5

9

2 5

9

7

9+ =

+= (часть) — убрали за первые два дня вместе;

2) 17

9

9

9

7

9

9 7

9

2

9− = − =

−= (часть) — убрали в третий день;

3) 171 : 9 � 2 � 19 � 2 � 38 (га). Ответ: в третий день было убрано 38 га земли.

409��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

460. 1) 2

5

3

10

4

10

3

10

4 3

10

7

10+ = + =

+= (часть) — прочитал Максим за два дня;

2) 5

10

1

2= — половина книги;

5

10

7

10< ;

3) 17

10

10

10

7

10

10 7

10

3

10− = − =

−= (часть) — осталось прочитать;

4) 170 : 10 � 3 � 51 (стр.). Ответ: за два дня Максим прочитал больше половины книги; оста-

лось ему прочитать 51 страницу.

463.

Удобно разделить отрезок MN на 12 равных частей, KN = =8

12

2

3;

ML = =9

12

3

4.

Отрезок KL составляет 5

12 отрезка MN;

5

8 отрезка KN;

5

9 отрезка

ML; 5

41

1

4= отрезка MK;

5

31

2

3= отрезка NL.

Контрольные задания

1. а) 2

7

3

7

2 3

7

5

7+ =

+= ; б)

11

15

7

15

11 7

15

4

15− =

−= .

2. а) 1

2

1

4

2

4

1

4

2 1

4

3

4+ = + =

+= ; б)

2

3

4

9

6

9

4

9

6 4

9

2

9− = − =

−= .

§ 25. Сложение и вычитание смешанных чисел

464. 1) 22

72

2

7+ = ;

2) 23

7

2

72

3 2

72

5

72

5

7+ = +

+= + = ;

3) 23

71

2

72 1

3

7

2

73

5

73

5

7+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) ;

4) 23

7

6

72

3 6

72

9

72 1

2

73

2

7+ = +

+= + = + = ;

5) 23

71

6

72 1

3

7

6

73

9

73 1

2

74

2

7+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =( ) .

410 ����������2002–2011 гг.

465. 1) 15

91 1 1

5

90

5

9

5

9− = − + = + =( ) ;

2) 15

9

2

91

5 2

91

3

91

1

31

1

3− = +

−= + = + = ;

3) 15

9

5

91

5 5

91 0 1− = +

−= + = ;

4) 15

9

7

9

14

9

7

9

14 7

9

7

9− = − =

−= .

466. а) 33

12

5

123

3 5

123

8

123

2

3+ = +

+= = ;

б) 33

121

5

123 1

3

13

5

124

3 5

124

8

124

2

34

3

4+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ++

= + = + =( ) ;

в) 33

12

11

123

3

12

11

123

3 11

123

14

123

7

63 1

1

64

1

6+ = + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ++

= + = + = + = ;

г) 33

12111

123 1

3

12

11

124

3 11

124

14

124

7

64 1

1

6+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ++

= + = + = +( ) == 51

6.

467. а) 2

154

7

154

2

15

7

154

3

54

3

54

3

5+ = + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + = ;

б) 12

154

7

151 4

2

15

7

155

9

155

3

55

3

5+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =( ) ;

в) 14

154

7

154

14

15

7

154

21

154

7

54 1

2

55

2

5+ = + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + = + = ;

г) 114

154

7

151 4

14

15

7

155

21

155

7

55 1

2

56

2

5+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + = + =( ) .

468. а) 14

111 1 1

4

110

4

11

4

11− = − + = + =( ) ;

б) 14

11

2

111

4

11

2

111

2

111

2

11− = + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = ;

в) 14

11

4

111

4

11

4

111 0 1− = + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = ;

г) 14

11

7

11

15

11

7

11

15 7

11

8

11− = − =

−= .

469. а) 25

91 2 1

5

91

5

91

5

9− = − + = + =( ) ;

б) 25

91

2

91 2

5

9

2

91

3

91

1

31

1

3− = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =( ) ;

в) 25

91

5

92 1

5

9

5

91 0 1− = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) ;

411��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) 25

91

7

91

14

91

7

91 1

14

9

7

90

7

9

7

9− = − = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) .

470. а) 24

111 2 1

4

111

4

111

4

11− = − + = + =( ) ;

б) 24

111

2

112 1

4

11

2

111

2

111

2

11− = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) ;

в) 24

111

4

112 1

4

11

4

111 0 1− = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) ;

г) 24

111

7

111

15

111

7

111 1

15

11

7

110

8

11

8

11− = − = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + =( ) .

471. 1657

1001

81

10015

157

1001

81

10015 1

157

100

81

1001− = − = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=( ) 4476

100+ =

= =1476

10014

19

25( ).ñ

Ответ: Ваня пробежал дистанцию за 1419

25ñ.

472. 1531

10013

68

10010

21

10015 13 10

31

100

68

100

21

100+ + = + + + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

( ) ==

= + = + = + =38120

10038

6

538 1

1

539

1

5( ).ñ

Ответ: в эстафете команда имела результат 391

5ñ.

473. а) 1

4

1

3

3 4

12+ =

+; б)

1

5

1

4

4 5

20+ =

+;

в) 1

6

1

5

5 6

30+ =

+; г)

1

7

1

4

4 7

28+ =

+.

474. а) 1

8

1

5

5 8

40+ =

+; б)

1

9

1

2

2 9

18+ =

+;

в) 1

11

1

3

3 11

33+ =

+; г)

1

15

1

2

2 15

30+ =

+.

475. а) 1

12

1

6

1 2

12+ =

+;

1

3

1

4

4 3

12+ =

+;

б) 1

18

1

6

1 6

18+ =

+;

1

6

1

18

3 1

18+ =

+;

1

6

1

3

3 6

18+ =

+;

1

9

1

2

2 9

18+ =

+;

в) 1

3

1

10

10 3

30+ =

+;

1

5

1

6

6 5

30+ =

+;

1

15

1

2

2 15

30+ =

+;

1

30

1

5

1 6

30+ =

+;

г) 1

32

1

4

1 8

32+ =

+;

1

4

1

8

8 4

32+ =

+;

1

32

1

16

1 2

32+ =

+;

1

16

1

2

2 16

32+ =

+.

412 ����������2002–2011 гг.

476. а) 1

9

1

5

5 9

45+ =

+;

1

15

1

3

3 15

45+ =

+;

1

45

1

5

1 9

45+ =

+;

1

45

1

3

1 15

45+ =

+;

б) 1

40

1

5

1 8

40+ =

+;

1

20

1

2

2 20

40+ =

+;

1

40

1

10

1 4

40+ =

+;

1

5

1

8

8 5

40+ =

+;

в) 1

24

1

12

1 2

24+ =

+;

1

3

1

8

8 3

24+ =

+;

1

6

1

4

4 6

24+ =

+;

1

24

1

3

1 8

24+ =

+;

г) 1

12

1

3

3 12

36+ =

+;

1

36

1

12

1 3

36+ =

+;

1

36

1

9

1 4

36+ =

+;

1

4

1

36

9 1

36+ =

+.

477. а) 11

60ìèí ÷= ; 2

2

60

1

30ìèí ÷ ÷= = ;

1010

60

1

6ìèí ÷ ÷= = ; 20

20

60

1

3ìèí ÷ ÷= = ;

б) 51

12ìèí =

5

60÷ ÷= ; 15

15

60

1

4ìèí ÷ ÷= = ; 30

1

2ìèí =

30

60÷ ÷= ;

4545

60

3

4ìèí ÷ ÷= = ;

в) 1212

60

1

5ìèí ÷ ÷= = ; 24

24

60

2

5ìèí ÷ ÷= = ; 48

48

60

4

5ìèí ÷ ÷= = ;

г) 11

3600ñ ÷= ; 10

10

3600

1

360ñ ÷ ÷= = ; 300

300

3600

1

12ñ ÷ ÷;= =

600600

3600

1

6ñ ÷ ÷= = .

478. 1

60

60

601÷

ìèíìèí= = ;

1

20

60

203÷

ìèíìèí= = ;

1

3

60

320÷

ìèíìèí= = ;

1

2

60

230÷

ìèíìèí.= =

Контрольные задания

1. а) 15

15+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =21

151 2

5

15

1

153

6

153

2

53

2

5( ) ;

б) 37

121

3

123 1

7

12

3

122

4

122

1

32

1

3− = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =( ) ;

в) 111

152

8

151 2

11

15

8

153

19

153 1

4

154

4

15+ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = + =( ) ;

г) 37

122

11

122

19

122

11

122 2

19

12

11

120

8

12

8

12

2

3− = − = − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + = =( ) .

413��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

§ 26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число

481. а) 5

73

5 3

7

15

72

1

7⋅ =

⋅= = ; б)

2

55

2 5

5

10

52⋅ = ⋅ = = ;

в) 3

72

3 2

7

6

7⋅ =

⋅= ; г)

4

154

4 4

15

16

151

1

15⋅ =

⋅= = .

482. а) 68

13

6 8

13

48

133

9

13⋅ =

⋅= = ; б) 8

12

19

8 12

19

96

195

1

19⋅ =

⋅= = ;

в) 73

8

7 3

8

21

82

5

8⋅ =

⋅= = ; г) 9

4

5

9 4

152

6

152

2

5⋅ =

⋅= = .

483. 101

100

10 1

100

1

10⋅ =

⋅= (часть).

Ответ: за 10 ч Валера успеет изучить 1

10 часть пособия.

484. 101

10

10 1

10

10

101⋅ =

⋅= = .

Ответ: за 10 мин Сережа очистит всю дорожку.

485. 1) 201

3ìèí ÷;=

2) 3 ⋅ = ⋅ = =2

15

3 2

15

6

15

2

5 (запасов) — съели за 1 час.

Ответ: за час Вини-Пух с Пяточком съели 2

5 всех запасов Кролика,

это меньшая часть его запасов, так как осталось: 12

5

5

5

2

5

3

5− = − = —

бîльшая часть, чем 2

5.

486. 1) 101

1000

10 1

1000

1

100⋅ =

⋅= (часть) — пролетит самолет за 10 с;

2) 187 � 1000 � 187 000 (м) � 187 (км).

Ответ: за 10 с самолет пролетит 1

100 часть расстояния между

городами А и В, расстояние между городами А и В равняется 187 км.

487. а) 51

20

5 1

20

5

20

1

4⋅ =

⋅= = (часть);

б) 101

20

10 2

20

1

2⋅ =

⋅= (часть) — за 10 мин;

414 ����������2002–2011 гг.

в) 1

20 часть составляет 30 г, тогда в горшочке было: 30 � 20 � 600 (г)

меда;

г) 201

20

20 1

20

20

201⋅ =

⋅= = .

Значит, за 20 мин Винни-Пух съел все содержимое горшочка с медом.

30 мин – 20 мин � 10 мин. Поэтому, 10 мин Винни-Пух шел с пустым горшочком.

10 мин — это 1

3 часть 30 мин, тогда Винни-Пух с пустым

горшочком шел 1

3 часть пути.

488. Примем объем танка для хранения нефти за 1, тогда за 1 час один

насос заполнит 1

4 часть танка, а другой —

1

16 часть.

1) 1

4

1

16

4

16

1

16

5

16+ = + = (часть) — за 1 час заполнят оба насоса;

2) 35

16

3 5

16

15

16⋅ =

⋅= (часть).

Ответ: за 2 ч будет заполнено 15

16 части танка, если оба насоса

будут включены одновременно.

489. Примем партию деталей за 1, тогда фрезеровщик за 1 час обработает

1

3 часть партии, а его ученик —

1

6 часть.

1) 1

6

1

3

1

6

2

6

3

6

1

2+ = + = = (часть);

2) 21

2

2 1

2

2

21⋅ =

⋅= = .

Ответ: да, за 2 часа фрезеровщик и его ученик успеют обработать партию деталей, если будут работать одновременно.

491. 1) 6

72

6 2

7

3

7:

:;= = 2)

8

254

8 4

25

2

25:

:;= =

3) 15

343

15 3

34

5

34:

:;= = 4)

5

85

5 5

8

1

8:

:.= =

492. а) 5

116

5

11 6

5

66: ;=

⋅= б)

4

57

4

5 7

4

35: ;=

⋅=

в) 3

74

3

7 4

3

28: .=

⋅=

415��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

493. 1) 11

2

2

2

1

2

1

2− = − = (часть) — осталось пиццы;

2) 1

24

1

2 4

1

8: =

⋅= (часть).

Ответ: каждому из гостей досталась 1

8 часть пиццы.

494. 1) 3

83

3 3

8

1

8:

:= = (часть) — колбасы;

2) 1

43

1

4 3

1

12: =

⋅= (часть) — хлеба.

Ответ: каждому из друзей досталась 1

8 часть батона колбасы

и 1

12 часть батона хлеба.

495. а) 6

72

6 2

7

3

7:

:;= = б)

1

72

1

7 2

1

14: ;=

⋅=

в) 15

115

15 5

11

3

11:

:;= = г)

17

115

17

11 5

17

55: .=

⋅=

496. а) 24

256

24 6

25

4

25:

:;= = б)

17

313

17

31 3

17

93: ;=

⋅=

в) 16

195

16

19 5

16

95: ;=

⋅= г)

18

239

18 9

23

2

23:

:.= =

497. 1) 5

96

5

9 6

5

54: =

⋅= (м/мин);

2) 95

54

9 5

54

45

54

5

6⋅ =

⋅= = (м).

Ответ: скорость гусеницы равняется 5

54 м/мин, за 9 мин гусеница

преодолеет 5

6 м.

498. 1) 2

310

2

3 10

2

30

1

15: =

⋅= = (часть) — за 1 день;

2) 151

15

15 1

15

15

151⋅ =

⋅= = .

Ответ: за 1 день Кот Матроскин успевал заготовить 1

15 часть дров:

за 15 дней он успеет заготовить все необходимое на зиму количество дров.

416 ����������2002–2011 гг.

499. 1) 3

1021

3

10 21

3

210

1

70: =

⋅= = (часть) — за 1 с;

2) 1

7060

1 60

70

60

70

6

7⋅ =

⋅= = (часть).

Ответ: за 1 мин заполнится 6

7 бензобака.

500. 1) 1

73

2

7 3

2

21: =

⋅= (часть) — за 1 день;

2) 2

215

2 5

21

10

21⋅ =

⋅= (часть).

Ответ: за 5 дней смогут прополоть 10

21 поля.

501. 1 � 10 � 10; 1

1010

1 10

10

10

101⋅ =

⋅= = ;

1

10010

1 10

100

10

100

1

10⋅ =

⋅= = ;

1

100010

1 10

1000

10

1000

1

100⋅ =

⋅= = ;

1

10 00010

1 10

10 000

10

10 000

1

1000⋅ =

⋅= = .

502. 1 101

10: ;=

1

1010

1

10 10

1

100: ;=

⋅=

1

10010

1

100 10

1

1000: ;=

⋅=

1

100010

1

1000 10

1

10 000: ;=

⋅=

1

10 00010

1

10 000 10

1

100 000: .=

⋅=

503. а) 1

6

2

33

1

6

4

63

5

63

5 3

6

15

6

5

22

1

2+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ =⋅

= = = ;

б) 17

30

2

1513

17

30

4

3013

13

3013

13

30 13

13

390−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =⋅

= =: : :11

30;

в) 1

8

3

45

1

8

6

85

7

85

7

8 5

7

40+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =⋅

=: : : ;

г) 4

3

1

94

12

9

1

94

13

94

13 4

9

52

95

7

9+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ =⋅

= = .

504. а) 3

4

1

25

3

4

2

45

1

45

1 5

4

5

41

1

4−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ =⋅

= = ;

б) 5

7

1

212

15

21

1

212

16

212

16 2

21

8

21+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =: : ::

;

в) 7

10

1

53

7

10

2

103

5

103

5

10 3

5

30

1

6−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =⋅

= =: : : ;

г) 1

4

1

125

3

12

1

125

2

125

1

65

1 5

6

5

6−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅

= .

417��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

Контрольные задания

1) 2

36

2 6

3

12

34⋅ =

⋅= = ;

2) 8

114

8

11 4

8

44

2

11: ;=

⋅= =

3) 3

75

3

7 5

3

35: .=

⋅=

ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

§ 27. Определение угла. Развернутый угол

506.

507. �DOA, �COB.508. а) СО — общая сторона �AOC и �BOC,

�AOB — развернутый;

б) МО — общая сторона �KOM и �NOM.

510. I способ Если урожай третьего участка уменьшить на 12 ц, то с каждого из

трех участков земли картофеля собрали поровну, всего 156 – 12 � ��144 (ц). Тогда с каждого участка собрали 144 : 3 � 48 (ц) карто-феля. Но это количество картофеля, собранное с первого и второго участков. Тогда с третьего участка собрали 48 + 12 � 60 (ц) карто-феля.

Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

418 ����������2002–2011 гг.

II способ Увеличим урожай первого и второго участка на 12 ц, тогда с каждо-

го из трех участков соберут картофеля поровну, а вместе 156 + 12 � 2 � � 180 (ц). С каждого участка соберут 180 : 3 � 60 (ц). Но это количес-тво картофеля, собранное с третьего участка. Тогда с первого и вто-рого соберут по 60 – 12 � 48 (ц).

Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

III способ Обозначим количество картофеля, собранного с первого и второго

участков, х кг; тогда с третьего участка собрали (х + 12) кг, а вместе с трех участков (x + x + x + 12) кг. Но по условию задачи с трех учас-тков вместе собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение:

x + x + x + 12 � 156; 3x + 12 � 156; 3x � 156 – 12; 3x � 144; x � 144 : 3; x � 48. Итак, получили, что с первого и второго участков собрали по 48 ц

картофеля, а с третьего — 48 + 12 � 60 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля,

а с третьего — 60 ц. IV способ Обозначим количество собранного картофеля с третьего участка

земли х кг. Тогда с первого и второго участков собрали по (х – 12) ц, а с трех участков вместе — (x – 12 + x – 12 + x) ц. По условию зада-чи, с трех участков собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение:

x – 12 + x – 12 + x � 156; 3x – 12 – 12 � 156; 3x � 180; x � 60. Итак, получили, что с третьего участка собрали 60 ц картофеля,

а с первого и второго — по 60 – 12 � 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля,

а с третьего — 60 ц.511. 1) х ц; (х + 12) ц; (x + x + x + 12) ц; 2) x + x + x + 12 � 156; 3) мы найдем массу картофеля, собранного со второго (и первого)

участка: x + x + x + 12 � 156; 3x + 12 � 156; 3x � 156 – 12; 3x � 144; x � 144 : 3; x � 48; 4) со второго участка собрали 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 ��

� 60 (ц).512. 1) (х + 27) книг стоит на второй полке; 2) (x + x + 27) книг стоит на двух полках; 3) x + x + 17 � 185; 2x + 27 � 185; 2x � 185 – 27; 2x � 158; x � 158 : 2; x � 79. Значит, на первой полке стояло 79 книг, а на второй — 79 + 27 �

��106 (книг).

419��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

513. Обозначим третье слагаемое буквой х, тогда сумма трех слагае-мых — (6485 + (6485 – 4163) + х). По условию задачи, сумма трех слагаемых равна 15 731. Составим уравнение:

6485 + (6485 – 4163) + х � 15 731. 6485 + 2322 + х � 15 731; 8807 + х � 15 731; х � 15 731 – 8807; х � 6924.

−6485

4163

2322

+6485

2322

8807

−15731

8807

6924

Итак, третье слагаемое равно 6924. Ответ: 6924 — третье слагаемое. Можно было решить эту задачу по действиям: 1)

−6485

4163

2322

— второе слагаемое;

2) +

6485

2322

8807

— сумма первого и второго слагаемых;

3) −

15731

8807

6924

Ответ: 6924 — третье слагаемое.514. Пусть исходное выражение имело вид: a – b � c. Если вычитаемое уменьшить на 262, выражение примет вид: a – (b – 262) � c. а) Уменьшаемое уменьшить на 262; б) уменьшаемое уменьшить на 262 + 74 � 336; в) уменьшаемое уменьшить на 262 – 35 � 227.

Контрольные задания

1. �KAN, �KAL, �KAM, �MAL, �LAM, �MAN;

�MAN и �KAL — развернутые.

2. Дополнительные лучи.

420 ����������2002–2011 гг.

3. 1) �СОА — острый, �AOD — тупой, �COD — развернутый;

2) �COA и �DOA — прямые, �COD — развернутый.

§ 28. Сравнение углов наложением

516. а) Угол СВА меньше угла MNK, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить;

б) угол KNM меньше угла CBA, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить;

в) �CBA и �KNM равны, так как они совпадают, если их совмес-тить.

517. а) �ABC больше �A1B1C1; б) �B1A1C1, �B1C1A1; �B1A1C1 меньше �A1B1C1; �B1C1A1 меньше

�A1B1C1.518. 1 способ 1) 135 : 5 � 27 (км/ч) — общая скорость велосипедистов; 2) 27 – 13 � 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 2 способ 1) 13 � 5 � 65 (км) — проехал первый велосипедист за 5 ч; 2) 135 – 65 � 70 (км) — проехал второй велосипедист за 5 ч; 3) 70 : 5 � 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.519. Первый — ? на 32 кг тяжелее, чем Второй — ? на 14 кг легче, чем Третий — ?

⎫⎬⎪

⎭⎪280 êã

Решение. а) Отколем от первого куска 32 кг, а от третьего — 14 кг, тогда каж-

дый кусок мрамора будет одинаковой массы, а всего останется 280 – (14 + 32) � 280 – 46 � 234 (кг).

Масса каждого куска мрамора равна 234 : 3 � 78 (кг). Но это масса второго куска мрамора. Масса первого — 78 + 32 � 110 (кг), а третьего — 78 + 14 � 92 (кг). Ответ: масса первого куска мрамора равна 110 кг, второго —

78 кг, третьего — 92 кг. б) (х + 32) кг — масса первого куска; (х + 14) кг — масса третьего куска; ((x + 32) + x + (x + 14)) кг — масса трех кусков; в) (x + 32) + x + (x + 14) � 280; x + 32 + x + x + 14 � 280; 3x + 46 � 280; 3x � 280 – 46; 3x � 234; x � 234 : 3; x � 78.

421��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

Контрольные задания

�АОВ меньше �ВОС.

§ 29. Измерение углов

522. �MNK � 35�; �ABC � 35�; �DEF � 140�; �FGH � 130�.523. а) �ABC � 75� — острый; б) �MNK � 120� — тупой;

в) �DEF � 30� — острый; г) �LNP � 145� — тупой;

д) �PST � 45� — острый; е) �QEH � 130� — тупой.

524. �ABC � 21�; �DEF � 145�; �MNK � 40�; �FGH � 100�.

526. а) 11

180° ⎯ ; 3

3

180

1

60° =⎯ ; 10

10

180

1

18° =⎯ ; 50

50

180

5

18° =⎯ ;

б) 3030

180

1

6° =⎯ ; 60

60

180

1

3° =⎯ ; 90

90

180

1

2° =⎯ ;

120120

180

2

3° =⎯ ; 150

150

180

5

6° =⎯ ;

в) 4545

180

1

4° =⎯ ; 135

135

180

3

4° =⎯ ; 80

80

180

4

9° =⎯ ;

1212

180

1

15° =⎯ ;

422 ����������2002–2011 гг.

г) 1515

180

1

12° =⎯ ; 18

18

180

1

10° =⎯ ; 36

36

180

1

5° =⎯ ;

2020

180

1

9° =⎯ .

527. а) 1

2 прямого угла:

1

290 45⋅ ° = °;

б) 1

3 прямого угла:

1

390 30⋅ ° = °;

в) 2

3 прямого угла:

2

390

2 90

360⋅ ° =

⋅ °= °;

г) 1

4 развернутого угла:

1

4180 45⋅ ° = °;

д) 1

3 развернутого угла:

1

3180 60⋅ ° = °;

е) 3

4 развернутого угла:

3

4180

3 180

4135⋅ ° =

⋅ °= °.

528. а) 15� � 10 � 150�; в) 12� : 6 � 7 � 14�; б) 8� : 2 � 5 � 20�; г) 18� : 9 � 11 � 22�.529. 1) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин � 3 ч; 2) 60 � 6 � 360 (км); 3) 537 – 360 � 177 (км); 4) 177 : 3 � 59 (км/ч). Ответ: скорость второго поезда равна 59 км/ч.

423��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

530. 1) 165 – 105 � 60 (р.) — разница стоимости куска ситца и бязи; 2) 60 : 4 � 15 (м) — длина куска ситца и бязи; 3) 105 : 15 � 7 (р.) — цена 1 м ситца; 4) 7 + 4 �11 (р.) — цена 1 м бязи. Ответ: в каждом куске ситца и бязи по 15 м ткани; 1 м бязи стоит

11 р., а 1 м ситца — 7 р.

Контрольные задания

1. �MNL � �MNK – �KNL � 180� – 65� � 115�.

2. �ABC � 70� — острый; �MNK � 90� — прямой; �CDE � 130� — тупой.

§ 30. Биссектриса угла

531.

533. а) 8 углов; из них 4 развернутых угла; б) пусть при пересечении двух прямых

образовались углы 1; 2; 3; 4. �1 � �2; �3 � �4; а также еще четыре развернутых угла:

5; 6; 7; 8; �5 � �6 � �7 � �8 � 180�. Пусть �1 � 80�. �1 + �3 � 180�, �3 � 180� – �1 � 180� – 80� � 100�. Значит, �1 � �2 � 80�, �3 � �4 � 100�. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 80�,

100�, 80�, 100� и четыре развернутых угла.534. 1) 180� – 25� � 155�. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 25�,

155�, 25�, 155�.535. Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, а диагональ

прямоугольника не является биссектрисой его угла. Биссектриса делит развернутый угол на два равных прямых угла: 180� : 2 � 90�.

536. 1) Можно провести диагональ клетки в тетради.

424 ����������2002–2011 гг.

537. �AOC, �AOB, �BOC — тупые.

Четыре угла с таким условием построить нельзя, так как сумма четырех тупых углов будет больше 360�.

538. Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых (не считая развернутых) равна 360�.

360� : 4 � 90�. Поэтому, если провести 4 луча, то все образовавшиеся углы не будут острыми. Значит, нужно провести 5 лучей.

�BOC — прямой, целиком расположен внутри развернутого угла AOD, при этом �AOB и �DOC — острые, �AOB � 43�, �DOC � 45�.

540. �MON + �NOA � 75� + 105� � 180�, значит, лучи OM и OA могут быть дополнительными.

�NOA + �AOB � 105� + 75� � 180�, значит, лучи ON и ОВ могут быть дополнительными.

541. OK — биссектриса угла MOC, OP — биссектриса угла CON. �KOP � 45�, так как: �KOP � �KOC + �POC �

1

2

1

21

21

2

1

290 45

∠ + ∠ =

= ∠ + ∠ =

= ∠ = ⋅ ° = °

MOC CON

MOC CON

MON

( )

.

542. а) 425 � 17 + 3008 � 10 403;

1) ×

+

435

17

3045

435

7395

2) +

7395

3008

10403

б) 435 � (17 + 3008) � 1 315 875;

1) +

3008

17

3025

2) ×

+

3025

425

15125

9075

12100

1315875

425��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 27 � 64 + 89 � 502 � 46 406; 1)

×

+

27

64

108

162

1728

2) ×

+

502

89

4518

4016

44678

3) +

44678

1728

46406

г) 27 � (64 + 89) � 502 � 2 973 762; 1)

+67

89

153

2) ×

+

153

27

1071

306

4131

3) ×

+

4131

502

8262

20655

2073762

543. Примем всю работу за 1, тогда первая мастерская выполнит за 1 день

1

16 часть всей работы; вторая —

1

24 часть; третья —

1

48 часть.

1) 1

16

1

24

1

48

6

96

4

96

2

96

6 4 2

96

12

96

1

8+ + = + + =

+ += = (часть) —

выполнят за 1 день три мастерские, работая одновременно. 2) Значит, всю работу три мастерские, работая одновременно, вы-

полнят за 8 дней.

3) 1

168

1 8

16

8

16

1

2⋅ =

⋅= = (часть) — выполнит первая мастерская;

4) 1

24960

1 960

2480⋅ =

⋅= (книг) — переплетет первая мастерская;

5) 1

248

1 8

24

1

3⋅ =

⋅= (часть) — выполнит вторая мастерская;

6) 1

3960

1 960

3320⋅ =

⋅= (книг) — переплетет вторая мастерская;

7) 1

488

1 8

48

1

6⋅ =

⋅= (часть) — выполнит третья мастерская;

6) 1

6960

1 960

6160⋅ =

⋅= (книг) — переплетет третья мастерская.

Ответ: за 8 дней три мастерские, работая одновременно, выполнят всю работу, причем первая успеет переплести 480 книг, вторая — 320 книг, третья — 160 книг; распределить книги между мастер-скими, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок, нельзя.

544. 2) Обозначим буквой х количество зерна на втором элеваторе, тогда на первом элеваторе было 3х т зерна. Если с первого элеватора вывезти 850 т, то на нем останется: (3х – 850) т, если со второго

426 ����������2002–2011 гг.

элеватора вывезти 150 т, то на нем останется: (х – 150) т. Так как после этого на обоих элеваторах зерна осталось поровну, составим уравнение: 3x – 850 � x – 150.

1) 850 – 150 � 700 (т); 2) 700 : 2 � 350 (т) — на втором элеваторе; 3) 350 � 3 � 1050 (т) — на первом элеваторе. Ответ: на первом элеваторе было 1050 т зерна.

Контрольные задания

1 Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий данный угол на два равных угла.

2. Луч BK — биссектриса �ABC;

∠ = ∠ = ∠ = ⋅ ° = °ABK CBK ABC1

2

1

270 35 .

§ 31. Треугольник

546. 1) �ABC � 45� + 30� � 75�; 2) 120� � 90� + 30�; 105� � 60� + 45�; 15� � 45� – 30�; 3) 135� � 90� + 45�; 150� � 90� + 60�; также можно построить углы по 30�; 60�; 45�; 90�.547. 1) 8 + 12 � 20 (чел.) — размещаются в 1-ой 8-местной и в 1-ой

12-местной шлюпках одновременно; 2) 340 : 20 � 17 (шлюп.) — количество шлюпок; 3) 17 � 8 � 136 (чел.) — всего в 8-местных шлюпках; 4) 17 � 12 � 204 (чел.) — всего в 12-местных шлюпках. Ответ: в 8-местных шлюпках могут разместиться 136 человек,

а в 12-местных — 204 человека.548. 1) 240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 � 30 – 15 + 18 � 15 + 18 � 33;

−

−

566

52

32

18

256

256

0

427��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

б) ((160 240 : 8 + 7 997 000 : 100) : 1000 � 7 + 947) � 100 � 164 7000; 1)

−

−

160240

16

8

20030

024

24

0

2) 7 997 000 : 100 � 79 970;

3) +

79970

20030

100000

4) 100 000 : 1000 � 100;

5) 100 � 7 � 700; 6) +947

700

1647

7) 1647 � 100 � 164 700.

550. Обозначим массу одного апельсина х г. 7 � х + 2 � 200 � 2 � 1000 + 500; 7х + 400 � 2500.551. 3) (х + 45) м — количество ткани, которое было в куске сатина зеле-

ного цвета; 2х м — количество ткани, оставшейся в куске сатина синего цвета; (28 + 2х) м — количество ткани, которое было в куски сатина си-

него цвета. б) х + 45 � 2х + 28.552. а) AB x

B x

A x

P AB

=== −

⎫⎬⎪

⎭⎪

ñì

ñì

ñì

;

C ;

C ( ) ;

?C2

2 7Δ ⎯

P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � x + 2x + (2x – 7) � x + 2x + 2x – 7 � 5x – 7 (см); б) AB y

B y

A y

P AB

=== −

⎫⎬⎪

⎭⎪

ñì

ñì

ñì

;

C ;

C ( ) ;

?C4

4 10Δ ⎯

P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � y + 4y + (4y – 10) � y + 4y + 4y – 10 � 9y – 10 (см).553. а) 5x – 7 � 68; 5x � 68 + 7; 5x � 75; x � 75 : 5; x � 25. Значит, АВ � 15 м; ВС � 2 � 15 � 30 (м); АС � 30 – 7 � 23 (м). б) 9y – 10 � 197; 9y � 197 + 10; 9y � 207; y � 207 : 9; y � 23. Значит, АВ � 23 см; ВС � 4 � 23 � 92 (см); АС � 92 – 10 � 82 (см).554. а) MN � a см; NK � (a – 30) см; KM � 4(a – 30) см. P�MNK � MN + NK + KM; P�MNK � a + (a – 30) + 4(a – 30); б) MN � b см; NK � (b + 12) см; KM � 2b см. P�MNK � MN + NK + KM; P�MNK � b + (b + 12) + 2b � b + b + 12 + 2b � 4b + 12.

428 ����������2002–2011 гг.

555. а) a + (a – 30) + 4(a – 30) � 108; a + a – 30 + 4a – 120 � 108; a + a + 4a – (30 + 120) � 108; 6a – 150 � 108; 6a � 108 + 150; 6a � 258; a � 258 : 6; a � 43. Значит, MN � 43 см; NK � 43 – 30 � 13 (см); KM � 4 � 13 � 52 (см). Ответ: MN � 43 см; NK � 13 см; KM � 52 см. б) b + b + 12 + 2b � 164; 4b + 12 � 164; 4b � 164 – 12; 4b � 152; b � 152 : 4; b � 38. Значит, MN � 38 см; NK � 38 + 12 � 50 (см); KM � 2 � 38 � 76 (см). Ответ: MN � 38 см; NK � 50 см; KM � 76 см.559. а) ((24 � 250 + 18 � 350) : 60 � 40 + (44 � 4500 + 108 � 1500) : 20) : 40 � 655;

1) ×

+

44

4500

220

176

198000

2) ×

+

18

350

90

54

6300

3) +

6000

6300

12300

4) −

−

12300

12

60

205

030

30

0

5) ×205

40

8200

6) ×

+

44

4500

220

176

198000

7) ×

+

108

1500

540

108

162000

8) +198000

162000

360000

9) −

−

360000

2

20

18000

16

16

0

10) +18000

8200

26200

11) −

−

−

26200

24

40

655

22

20

20

20

0

429��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

б) (64 � 125 + 128 � 75) : 800 � 5000 – (300 � 400 + 5107 � 800) : 70 � ��49 920;

1) ×

+

125

64

500

750

8000

2) ×

+

128

75

640

896

9600

3) +

9600

8000

17600

4) −

−

17600

16

800

22

16

16

0

5) ×22

5000

110000

6) 300 � 400 � 120 000;

7) ×

5107

800

4085600

8) +4085600

120000

4205600

9) −

−

4205600

42

70

60080

056

56

0

10) −110000

60080

49920

560. а) 1 способ — алгебраический. Обозначим меньшее число х, тогда бîльшее число — (х + 200).

Так как сумма этих чисел равна 790, составим уравнение: x + x + 200 � 790; 2x + 200 � 790; 2x � 790 – 200; 2x � 590; x � 590 : 2; x � 295. Значит, меньшее число — 295, а большее — 295 + 200 � 495. Ответ: искомые числа 295 и 495. 2 способ — арифметический. 1) 790 – 200 � 590 — сумма двух равных чисел; 2) 590 : 2 � 295 — меньшее число; 3) 295 + 200 � 495 — бîльшее число. Ответ: искомые числа 295 и 495. б) 1 способ — алгебраический. Обозначим количество гирь по 5 кг х штук, тогда гирь по 3 кг

было (24 – х) штук. Так как на одну чашу весов поставлены гири массой по 5 кг, а на другую — по 3 кг, а весы находятся в равновесии, составим уравнение:

5x � 3(24 – x); 5x � 72 – 3x; 5x + 3x � 72; 8x � 72; x � 72 : 8; x � 9.

430 ����������2002–2011 гг.

Значит, гирь массой по 5 кг было 9 штук, а по 3 кг — 24 – 9 � ��15 (штук).

Ответ: на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг.

2 способ — арифметический. 1) 3 � 24 � 72 (кг) — масса 24 гирь по 3 кг; 2) 3 + 5 � 8 (кг) — масса 1 гири по 3 кг и 1 гири по 5 кг вместе; 3) 72 : 8 � 9 (шт.) — количество гирь по 5 кг; 4) 24 – 9 � 15 (шт.) — количество гирь по 3 кг. на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на

другой — 15 гирь массой по 3 кг.

561. а) 11

4

2

41

3

4+ = ; б) 5

1

22

1

87

5

8+ = ;

в) 38

322

20

325

7

8+ = ; г) 2

6

83

1

46+ = .

562. 2) Не существует треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 5 см, по-тому что 2 см + 3 см � 5 см, то есть вместо треугольника мы полу-чим отрезок длиной 5 см, разделенный на две части длиной 2 см и 3 см.

563. От 4 см до 14 см, не включая 4 см и 14 см, например, 4 см 2 мм, или 10 см, или 13 см 9 см и т. д.

564. — Если a � 8, b � 7, c � 12, то 12 < 8 + 7; 7 < 12 + 8. Значит, треугольник со сторонами a � 8, b � 7, c � 12 существует; — если a � 3, b � 14, c � 10, то 3 < 14 + 10; 14 > 3 + 10; 10 < 3 + 14; 14 < 3 + 10; значит, треугольник с данными сторонами не сущест-

вует; — если a � 5, b � 11, c � 9, то 5 < 11 + 9; 9 < 5 + 11; 11 < 5 + 9, значит,

треугольник с данными сторонами существует; — если a � 21, b � 6, c � 13, то 21 > 6 + 13; 6 < 21 + 13; 13 < 21 + 6; 21 > 6 + 13, значит, треугольник с данными сторонами не сущест-

вует; — если a � 11, b � 21, c � 10, то 11 < 21 + 10; 21 � 11 + 10; 10 < 21 + 11; 21 � 11 + 10, значит, треугольник с данными сторо-

нами не существует; — если a � 10, b � 22, c � 11, то 22 > 10 + 11; 10 < 22 + 11; 11 < 10 + 22; 22 > 10 + 11, значит, треугольник с данными сторо-

нами не существует.565. а) нельзя, так как 10 см + 10 см < 30 см; б) можно, так как 30 см + 40 см > 50 см, 40 см + 50 см > 30 см, 50 см + 30 см > 40 см; в) можно, так как 8 см 8 мм + 29 см 12 мм > 21 см 5 мм, 8 см 8 мм + 21 см 5 мм > 29 см 12 мм, 29 см 12 мм + 21 см 5 мм >

> 8 см 8 мм; г) нельзя, так как 238 см 7 мм + 432 см 6 мм � 691 см 3 мм, 671 см 3 мм < 781 см 4 мм.

431��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

Контрольные задания

1. Угольник с углами 90�, 60�, 30� и угольник с углами 90�, 45�, 45�.2. 75� � 45� + 30�; 135� � 90� + 45�; угол 25� при помощи угольника

построить нельзя.3. Прямоугольным называют треугольник, в котором есть прямой угол. Тупоугольным называют треугольник, в котором есть тупой угол. Остроугольным называют треугольник, в котором все углы острые.

прямоугольный тупоугольный остроугольный4. P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � 1 см 6 мм + 2 см 1 мм + 2 см 7 мм � 6 см 4 мм.

§ 32. Площадь треугольника

566. Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти половину площади прямоугольника ABCD.

567. а) SABCD � AB � AD; SABCD � 10 мм � 26 мм � 260 мм2; S�ABD � 260 : 2 � 130 (мм2); б) S�ADC � SABCD : 2 � (AD � DC) : 2 � (26 � 15) : 2 � 390 : 2 � 195 (мм2); в) S�ABD � SABCD : 2 � (AB � AD) : 2 � (13 � 34) : 2 � 442 : 2 � 221 (мм2); г) S�ABC � SABCD : 2 � (AB � BC) : 2 � (27 � 26) : 2 � 702 : 2 � 351 (мм2).568. S�ABC � S�ABD + S�BDC � (AD � BD) : 2 + (DC � BD) : 2 � (AD � BD � DC � BD) : 2 �

��(BD � (AD + BC)) : 2 � (BD � AC) : 2. Значит, S�ABC � (BD � AC) : 2.569. а) (15 � 20) : 2 � 150 (мм2); б) (22 � 19) : 2 � 418 : 2 � 209 (мм2); в) (18 � 23) : 2 � 414 : 2 � 207 (мм2); г) (21 � 22 ) : 2 � 462 : 2 � 231 (мм2).571. а) S�ADC � (16 � 27) : 2 � 216 (мм2); б) S�MNK � )19 « 20) : 2 � 190 (мм2); в) S�ABC � (16 � 25) : 2 � 200 (мм2); г) S�MNK � (18 � 21) : 2 � 189 (мм2).572. а) Третья сторона треугольника может быть меньше 23 см, но боль-

ше 9 см; б) третья сторона треугольника может быть меньше 69 см 3 мм,

но больше 25 см 9 мм; в) третья сторона треугольника может быть меньше 17 см, но боль-

ше 7 см; г) третья сторона треугольника может быть меньше 10 см 1 мм,

но больше 5 см 5 мм.573. а) 8 см (4 см нельзя взять, потому что тогда 4 + 4 � 8 (см), то есть

треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 8 см не существует). б) 13 см (так как 6 + 6 < 13); в) 37 см (так как 18 см 4 мм + 18 см 4 мм < 37 см); г) 23 см 4 мм (так как 11 см 7 мм + 11 см 7 мм � 23 см 4 мм).

432 ����������2002–2011 гг.

574. Расстояние между точками А и С может быть больше 18 см, но меньше 30 см. Тогда расстояние между точками А и D мо-

жет быть больше 12 см, но меньше 36 см.

575. а) Точка K не лежит на отрезке MN, то есть точки K, M, N — вершины �MNK, так как:

KM < MN + KN (23 см < 75 см + 57 см); MN < KM + KM (75 см < 23 см + 57 см); KN < KM + MN (57 см < 23 см + 75 см).

б) Точка М лежит на отрезке KN, так как

KM + MN � KN (49 см + 37 см � ��86 см).

576. а) Цена 1 кг Количество Стоимость

Конфеты I сорта 96 р. 40 кг (40 � 96) р. }6570 ð.Конфеты II сорта 78 р. ? кг ? р.

Решение. 1)

×96

403840

(р.) — стоят 40 кг конфет I сорта;

2) −

6570

38402730

(р.) — стоят конфеты II сорта;

3) −

−

2730

234

78

35390

3900

(кг) — купили конфет II сорта.

Ответ: было куплено 35 кг более дешевых конфет. б)

А

B

C

D

7 см

24 см

6 см

M

75 см

K

N

23 см

57 см

49 см MK N37 см

86 см

vа � 105 км/ч, tа � 2 мин + 10 мин

a m

vм � 15 км/ч

vм � 210 км/чtм � 10 мин

Sa

Sм

433��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

vа � скорость автомобиля; tа � время автомобиля; vм � скорость мотоциклиста; tм � время мотоциклиста. Решение.

1) 22

60ìèí ÷;= 10

10

60ìèí ÷= ;

2 10 1212

60

1

5ìèí ìèí ìèí ÷ ÷+ = = = ;

2) 1051

5

105 1

521⋅ =

⋅= (км) — путь автомобиля до разворота

мотоциклиста;

3) 21010

60

210 1

6

70

235⋅ =

⋅= = (км) — пусть мотоциклиста до его

разворота; 4) 105 + 15 � 120 (км/ч) — общая скорость мотоциклиста и

автомобиля при движении их навстречу друг друга; 5) 35 – 21 � 14 (км) — разница пути, пройденного мотоциклистом

за 10 мин, а автомобилем за 12 мин;

6) 14 12014

120

7

607: .= = =÷ ìèí

Ответ: через 7 мин после разворота инспектор повстречает «Оку».577. а) 395 � 52 – 603 � 25 – 960 : 24 � 5425; 1)

×

+

395

52

790

1975

20540

2) ×

+

603

25

3015

1206

15075

3) −960

96

24

40

0

4) −

20540

15075

5465

5) −

5465

40

5425

б) 256 � 407 – 33 087 : 298 � 104 081;

1) ×

+

256

407

1792

1024

104192

2) −

−

−

33078

298

298

111

327

289

298

298

0

3) −104192

111

104081

434 ����������2002–2011 гг.

578. а) 3

16

5

16

3 5

16

8

16

1

2+ =

+= = ; б)

11

15

8

15

11 8

15

3

15

1

5− =

−= = ;

в) 23

25

18

25

23 18

25

5

25

1

5− =

−= = ; г)

15

28

9

28

15 9

28

24

28

6

7+ =

+= = .

Контрольные задания

1. а) S � (15 � 32) : 2 � 240 (мм2); б) S � (15 � 38) : 2 � 285 (мм2).

§ 33. Свойства углов треугольника

580. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен а�, то второй — (90� – а�).

Тогда острые углы прямоугольного треугольника будут равны: 42� и 90� – 42� � 48�; 87� и 90� – 87� � 3�; 62� и 90� – 62� � 28�; 21� и 90� – 21� � 69�; 51� и 90� – 51� � 39�; 30� и 90� – 30� � 60�; 45� и 90� – 45� � 45�.

Поэтому бîльший острый угол прямоугольного треугольника равен: 48�, 87�, 62�, 69�, 51�, 60�, 45�.

582. �А 28�180� – (40� + + 78�) � 62�

65� 136�

�В 39� 40�180� – (65� + + 25�) � 90�

44�

�С180� – (28� + + 39�) � 113�

78� 25�180� – (136� +

+ 44�) � 0�Вид тупоугольный остроугольный прямоугольный не существует

�А180� – (128� +

+ 54�) � 2�109� 38�

180� – (43� + + 59�) � 78�

�В 128�180� – (109� +

+ 90�) � 62�76� 43�

�С 54� 90�180� – (38� + + 76�) � 66�

59�

Вид тупоугольный остроугольный прямоугольный не существует

583. �А � 70�, �С � 30�, �В � 80� �А + �В + �С � 180�, действительно 70� + 30� + 80� � 180�.

584. �Р � 140�, �K � 23�, �M � 17� �M + �P + �K � 180�, действительно, 140� + 23� + 17� � 180�.

B

CA

M

KP

435��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

585. 180� – 2 � 25� � 180� – 50� � 130�. Ответ: величина третьего угла треугольника равна 130�.586. 1) 180� – 68� � 112� — сумма двух равных углов; 2) 112� : 2 � 56�. Ответ: искомые углы равны по 56�.587. �N — ? в 2 раза <, чем 3 раза <, чем ⎫

⎬⎪

⎭⎪°180 �N — ?

�K — ? Решение. Обозначим �M � x�. тогда �N � 2x�, �K � 3x�. Известно, что �M + �N + �K � 180�. Составим уравнение: x + 2x + 3x � 180; 6x � 180; x � 30. Значит, �M � 30�, �N � 2 � 30� � 60�, �K � 3 � 30� � 90�. Ответ: �M � 30�. �N � 60�, �K � 90�.588. Первый угол — ? в 2 раза <, чем на 28� <, чем ⎫

⎬⎪

⎭⎪°180 Второй угол — ?

Третий угол — ? Решение. 1 способ — арифметический 1) 180� – 28� � 152� — сумма четырех равных углов; 2) 152� : 4 � 38� — величина первого угла — меньшего; 3) 38� � 2 � 76� — величина второго угла; 4) 38� + 28� � 66� — величина третьего угла. Ответ: первый угол равен 38�, второй — 86�, третий — 66�. 2 способ — алгебраический Обозначим первый угол х�, тогда второй — 2х�, третий — (х + 28)�.

Сумма всех углов треугольника 180�, составим уравнение: x + 2x + x + 28 � 180; 4x + 28 � 180; 4x � 180 – 28; 4x � 152; x � 38. При х � 38 2х � 2 � 38 � 76�; при х � 38 х + 28 � 38 + 28 � 66�. Ответ: первый угол равен 38�, второй — 76�, третий — 66�.589. �С � 180� – (�А + �В); �С � 180� – (45� + 70�)

� ��180� – 115� � 65�. Ответ: 65�.

590. �Р � 180� – (80� + 30�) � 180� – 110� � 70�. С данными углами можно начертить бесконечно

много треугольников (их стороны будут различ-ны).

B

CNM

A

45 ° 70 °

NM80 ° 30 °

P

436 ����������2002–2011 гг.

591. а) Если �A � �C � 60�, то �B � 180� – 2 � 60� � 180� – 120� � 60�. Значит, в �АВС все углы по 60�, и все стороны равны.

б) �D � 180� – (55� + 70�) � 55�. Значит, в �CDE углы С и D равны по 55�, и CE � DE.

592. 1) �АВС � 100�; 2) ВА � 6 см, ВС � 4 см; 3) АС; 4) АС � 7 см 8 мм, �А � 30�, �С � 50�; 5) �A + �B + �C � 180�.

593. DE � 5 см, EK � 7 см, �DEK � 70�. Вывод: чтобы построить треугольник по

двум его сторонам и углу между ними, нужно:

1) построить данный угол; 2) на его сторонах отложить отрезки, равные данным сторонам треугольника; 3) соединить полученные на сторонах угла точки отрезком.

594. �BAC + �B + �BCA � 180�; �CAD + �D + �ACD � 180�; �BAC + �DAC � �A; �BCA + �DCA � �C. Поэтому �A + �B + �C + �D � 360�.

CA60 ° 60 °

B

C

A B

EA55 ° 70 °

D

KE70 °

D

7 см

5 см

D

C

B

A

437��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

595. а) 32 � 15 � 32 � (10 + 5) � 32 � 10 + 32 � 5 � 320 + 160 � 480; 48 � 15 � 48 � (10 + 5) � 48 � 10 + 48 � 5 � 480 + 240 � 720; 86 � 15 � (80 + 6) � 15 � 80 � 15 + 6 � 15 � 1200 + 90 � 1290; б) 24 � 250 � (20 + 4) � 250 � 20 � 250 + 4 � 250 � 5000 + 1000 � 6000; 48 � 250 � (40 + 8) � 250 � 40 � 250 + 8 � 250 � 10 000 + 2000 � 12 000; 36 � 250 � (30 + 6) � 250 � 30 � 250 + 6 � 250 � 7500 + 1500 � 9000; в) 1200 : 50 � 24; 1600 : 50 � 32; 4500 : 50 � 90; г) 1600 : 25 � 16 � (100 : 24) � 16 � 4 � 64; 2400 : 25 � 24 � (100 : 25) � 24 � 4 � 96; 1700 : 25 � 17 � (100 : 25) � 17 � 4 � 68.

596. а) 4

152

4 2

15

8

15⋅ =

⋅= ;

4

152

4

15 2

4

30

2

15: ;=

⋅= =

б) 4

153

4 3

15

12

15

4

5⋅ =

⋅= = ;

4

153

4

15 3

4

45: ;=

⋅=

в) 10

217

10 7

21

70

21

10

33

1

3⋅ =

⋅= = = ;

10

217

10

21 7

10

147: .=

⋅=

597. а) 128 � 430 + 675 – 34 125 : 375 + 6795 � 62 419;

1) ×

+

128

430

384

512

55040

2) −

−

34125

3375

375

91

375

375

0

3) +55040

675

55715

4) −

55715

91

55624

5) +55624

6795

62419

б) 712 398 : 3209 – 189 + 15 631 : 203 � 110;

1) −

−

−

712398

6418

3209

222

7059

6418

6418

6418

0

2) −

−

15631

1421

203

77

1421

1421

0

3) −

222

189

33

4) +77

33

110

438 ����������2002–2011 гг.

598.

а) б)

в) г)

599.

а) б)

600. Площадь фигуры на рисунке 1) меньше площадей фигур на рисун-ках 2) и 3); а площади фигур на рисунках 2) и 3) равны.

Равные периметры имеют фигуры на рисунках 1) и 2); периметр фи-гуры на рисунке 3) меньше периметров фигура на рисунках 1) и 2).

601. 1) (60 � 2) : (90 – 60) � 120 : 30 � 4 (ч). Ответ: токарь догонит ученика через 4 ч по количеству изготов-

ленных деталей. 2) (60 � 2) : (90 – 60) � 120 : 30 � 4 (ч). Ответ: автобусу потребуется 4 ч, чтобы догнать грузовик. При решении задач получены одинаковые выражения, значит, ситу-

ации, данные в этих двух задачах, описываются одинаковыми мате-матическими моделями.

439��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

602. а) 3 � (17 – 13) � 3 � 4 � 12 (пл.). Ответ: за три часа работы первая швея обработает на 12 платьев

больше, чем вторая. б) Скорость одного мотоциклиста 17 км/ч, а второй за 1 час проезжа-

ет 13 км. На сколько километров больше преодолеет первый мото-циклист, чем второй за 3 ч?

Контрольные задания

1. �АВС — прямоугольный, �DEF — остроугольный, �MNK — тупоугольный.

2. Сумма углов треугольника равна 180�.3. �A � 180� – (�B + �C) � 180� – (45� + 34�) � 180� – 79� � 101�.

§ 34. Расстояние между двумя точками. Масштаб

604. 1) Описание маршрута Длина маршрута Расстояние

От подъезда Кости до входа в школу

9 см 9 мм � 2000 � ��19 800 см � 198 м

6 см � 2000 � 12 000 см ��� 120 м

От подъезда Насти до входа в школу

8 см 2 мм � 2000 � ��16 400 см � 164 м

5 см 5 мм � 2000 � ��11 000 см � 110 м

От подъезда Кости до подъезда Насти

7 см 5 мм � 2000 � ��15 000 см � 150 м

4 см 7 мм � 2000 � ��9400 см � 94 м

2) В каждом случае длина маршрута больше, чем расстояние.605. 1 способ — арифметический 1) 8 � 15 � 120 (мест) — дополнительные места в 8 автобусах; 2) 360 – 120 � 240 (мест) — в поданых 8 автобусах; 3) 240 : 8 � 30 (мест) — в одном автобусе. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 2 способ — алгебраический Пусть в каждом из поданых автобусов было по х мест. Тогда в каж-

дом автобусе могло быть по (х + 15) мест, а в 8 автобусах вместе — 8 � (х + 15) мест. По условию в таких автобусах могло бы разместить-ся 360 человек. Составим уравнение:

8(x + 15) � 360; x + 15 � 360 : 8; x + 15 � 45; x � 45 – 15; x � 30. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест.606. 1)

−1872

1440

432

(р.) — разница стоимости сельди в бочонках;

2) −

−

432

36

12

36

72

72

0

(р.) — цена 1 кг сельди;

440 ����������2002–2011 гг.

3) −1440

144

36

40

0

(кг) — масса сельди в одном бочонке;

4) 40 + 12 � 52 (кг) — масса сельди в другом бочонке. Ответ: в первом бочонке — 40 кг сельди, а во втором — 52 кг.607. а) 1) 12 + 6 � 18 (м) — можно было бы купить ткани; 2) 18 � 2 � 36 (р.) — стоят 6 м ткани; 3) 36 : 6 � 6 (р.) — стоит 1 м ткани. Ответ: цена 1 м ткани равняется 6 р. б) (x – 2) р. — новая цена ткани; (12х) р. или 18 � (х – 2) р. Получим уравнение: 12x � 18(x – 2). При x � 6 12x � 12 � 6 � 72 (р.); 18(x – 2) � 18 � (6 – 2) � 18 � 4 � 72 (р.); 72 � 72.

Контрольные задания

Чтобы найти расстояние между двумя точками, нужно провести отрезок прямой с концами в этих точках.

§ 35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые

609. Н. 16 � 2 – 32 � 0; К. 18 – 51 : 3 � 18 – 17 � 1; Л. 36 : 2 – 48 : 2 � 18 – 16 � 2; И. 17 � 3 – 24 � 2 � 51 – 48 � 3; Р. 35 � 2 – 7 � 9 � 70 – 63 � 7; Е. (28 + 26) : 6 � 54 : 6 � 9; Д. 14 � 3 – 111 : 3 � 42 – 37 � 5; Я. 103 � 2 – 99 � 2 � 206 – 198 � 8; П. 72 – 17 � 4 � 72 – 68 � 4; У. 16 � 4 – 116 : 2 � 64 – 58 � 6.

4 9 7 4 9 0 5 3 1 6 2 8 7

П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р

610. AD ��a; BE � a.612. AN � AB, AN � 1 см 2 мм; NK � BC, NK � 1 см 4 мм. AN и NK — расстояние от точки N

до сторон угла АВ и ВС соответственно.

B

A

K

N

C

441��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

613. а) KN � AB, KN � 2 см; KM � BC, KM � 2 см. KN — расстояние от точки K до стороны

угла АВ. KM — расстояние от точки K до стороны ВС.

б) Нужно опустить перпендикуляр из этой точки на продолжение луча.

614. 1) AK � a; 2) BD � c.

616. а) 1) 11 � 21 � 231 (р.); 2) 9 � 21 � 189 (р.); 3) 231 – 189 � 42 (р.); 4) 16 – 9 � 7 (р.); 5) 42 : 7 � 6 (кг); 6) 21 – 6 � 15 (кг). Ответ: по цене 16 р. за 1 кг нужно взять 6 кг карамели, а по цене

9 р. за 1 кг — 15 кг. б) 1) 19 � 32 � 288 (р.); 2) 11 р. 40 коп. � 32 � 364 р. 80 коп.; 3) 364 р. 80 коп. – 288 р. � 76 р. 80 коп.; 4) 11 р. 40 коп. – 5 р. � 6 р. 40 коп.; 5) 76 р. 80 коп. : 6 р. 40 коп. � 12 (мотков); 6) 32 – 12 � 20 (мотков). Ответ: было приобретено 12 мотков по цене 5 р. и 20 мотков

по цене 11 р. 40 коп.

617. а) 7

16

1

4

7

16

4

16

7 4

16

11

16+ = + =

+= ;

б) 25

36

2

9

25

36

8

36

25 8

36

17

36− = − =

−= ;

в) 5

7

11

21

15

21

11

21

15 11

21

4

21− = − =

−= ;

г) 1

6

5

18

3

18

5

18

3 5

18

8

18

4

9+ = + =

+= = .

618. 1) 17 � 3000 � 51 000 (л); 2) 51 000 + 20 000 � 71 000 (д); 3) 400 + 800 � 1200 (л); 4) 1200 � 17 � 20 400 (л);

B

A K

N

CM

A

Ka

D

сB

442 ����������2002–2011 гг.

5) 71 000 – 20 000 � 50 600 (л). Ответ: насосы успеют откачать воду из трюма, потому что через

17 мин в нем будет 50 600 л воды, а судно может затонуть, если объ-ем воды в трюме превысит 80 000 л.

Контрольные задания

1. OB � b.2. CK � a.

3. AM � m.

§ 36. Серединный перпендикуляр

619. а) AB > BC; б) AB � BC; в) AB � BC; г) AB � BC.623. 1) 2 � 11 � 22 (ноги); 2) 30 – 22 ��8 (ног); 3) 8 : 2 � 4 (порос.); 4) 11 – 4 � 7 (петух.). Ответ: по тропинке шло 7 петухов и 4 поросенка.624. 10 р. + 10 р. : 2 � 10 р. + 5 р. � 15 р. Ответ: 15 р. стоит книга.625. а) 1 способ — арифметический 1) 115 – 25 � 90 (кг); 2) 90 : 2 � 45 (кг); 3) 45 + 25 � 70 (кг). Ответ: в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. 2 способ — алгебраический Пусть в одном мешке было х кг моркови, тогда в другом

мешке — (х + 25) кг. Так как в двух мешках было 115 кг моркови, составим уравнение:

x + x + 25 � 115; 2x + 25 � 115; 2x � 115 – 25; 2x � 90; x � 90 : 2; x � 45. Пусть х � 45, х + 25 � 45 + 25 � 70 (кг). Ответ: : в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. б) 1 способ — арифметический 1) 98 – 18 � 80 (м); 2) 80 : 2 � 40 (м);

a

C

K

Mm

443��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

3) 40 + 18 � 58 (м). 2 способ — алгебраический Пусть длина части сетки — х м, тогда длина второй части — (х +

+ 18) м. Так как длина всей сетки 98 м, составим уравнение: x + x + 18 � 98; 2x � 98 – 18; 2x � 80; x � 80 : 2; x � 40. При х � 40, 40 + 18 � 58 (м). Ответ: сетку-рабицу разрезали на две части длиной 40 м и 58 м.

626. а) 1

4

3

10

5

20

6

20

5 6

20

11

20+ = + =

+= ;

б) 3

5

1

6

18

30

5

30

13

30− = − = ;

в) 7

10

2

15

21

30

4

30

17

30− = − = ;

г) 5

12

3

8

10

24

9

24

19

24+ = + = .

627. Пусть задуманное число х, тогда по условию задачи составим урав-нение:

3x + 15 � 177; 3x � 177 – 15; 3x � 162; x � 165 : 3; x � 54. Ответ: было задумано число 54.628. Обозначим задуманное число х, тогда по условию задачи составим

уравнение: 2x – 48 � 244; 2x � 244 + 48; 2x � 292; x � 292 : 2; x � 146. Ответ: задумали число 146.629. Обозначим искомое число х, тогда по условию задачи составим урав-

нение: x : 10 + 99 � 126; x : 10 � 126 – 99; x : 10 � 27; x � 27 � 10; x � 270. Ответ: искомое число — 270.630. Пусть во второй фляге было х л молока, тогда в первой — 3х л. По

условию задачи составим уравнение: 3x – 15 – (x + 15) � 0; 3x – 15 – x – 15 � 0; 3x – x – 30 � 0; 2x � 30; x � 15. При х � 15, 3х � 3 � 15 � 45 (л). Ответ: в первой фляге было 45 л молока, а во второй — 15 л.631. 15 коробок по 14 конфет и 14 коробок по 15 конфет.

§ 37. Свойство биссектрисы угла

633. а) Точка О на рис. а) равноудалена от сторон квадра-

та и расположена на биссектрисе его углов (в точке их пересечения).

б) Точка О на рис. б) равноудалена от сторон треугольника и расположена на биссектрисе его угла (т. О — точка пересечения биссект-рис углов треугольника).

O

O

444 ����������2002–2011 гг.

634. Нет.635. Маша и Саша должны стоять внутри этого

треугольника в точке пересечения биссект-рис его углов.

636. 1 способ — алгебраический Пусть гараж стоит х р., тогда стоимость автомобиля — (2х + 97 300) р.

Так как автомобиль и гараж вместе стоят 355 600 р., составим урав-нение:

x + 2x + 97 300 � 355 600; 3x � 355 600 – 97 300; 3x � 258 300; x � 258 300 : 3; x � 86 100. При х � 86 100, 355 600 – х � 355 600 – 86 100 � 269 500 (р.). Ответ: автомобиль стоит 269 500 р. 2 способ — арифметический 1) 355 600 – 97 300 � 258 300 (р.); 2) 258 300 : 3 � 86 100 (р.); 3) 355 600 – 86 100 � 269 500 (р.).637. 1 способ — арифметический 1) 22 – 14 � 8 (м) — разница отрезанных кусов ткани; 2) 8 : 2 � 4 (м) — длина одной из оставшихся частей ткани; 3) 4 + 22 � 26 (м) — первоначальная длина ткани в куске. 2 способ — алгебраический Подставим полученное в 1 способе решение в это уравнение: 26 – 14 � 3 � (26 – 22); 12 � 3 � 4; 12 � 12. Получим верное равенство. Значит, х � 26 является решением дан-

ного уравнения. Ответ: в каждом куске первоначально было 26 м ткани.638. 1 способ — арифметический 1) 112 – 10 � 102 (р.); 2) 102 : 2 � 51 (р.); 3) 51 – 14 � 37 (р.); 4) 112 – 37 � 75 (р.). 2 способ — алгебраический Пусть у старшего брата было х р., тогда у младшего — (112 – х) р.

По условию задачи составим уравнение: x – 14 – 10 � 112 – x + 14; x – 24 � 126 – x. Подставим полученное в 1 способе решение х � 75 в это уравнение: 75 – 24 � 126 – 75; 51 � 51 — верное равенство. Значит, х � 75 — ре-

шение данного уравнения. При х � 75, 112 – 75 � 37 (р.). Ответ: у младшего брата было первоначально 37 р., а у старшего —

75 р.639. 1 способ — арифметический 1) 3560 – 920 � 2640 (т); 2) 2640 : 2 � 1320 (т); 3) 1320 – 60 � 1260 (т);

445��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

4) 3560 – 1260 � 2300 (т). 2 способ — алгебраический Пусть у второго предприятия было х т удобрений, тогда у первого —

(3560 – х) т. По условию задачи составим уравнение: (3560 – x) – 60 � x + 60 + 920; 3500 – x � x + 980. Подставим в это уравнение х � 1260. 3500 – 1260 � 1260 + 980; 2240 � 2240 — верное равенство. Значит, х � 1260 является решением данного уравнения. При х � 1260, 3560 – 1260 � 2300 (т). Ответ: на первом предприятии было 2300 т удобрений первона-

чально, а на втором — 1260 т.

640. а) 24

64

3

8= ; б)

32

64

1

2= .

641. Длина встречного поезда 300 м.

Контрольные задания

1. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.2. BD � 4 см, �ABC � 60�, BD — биссектриса

�АВС. DM � AB, DK � BC. DM, DK — расстояние от точки D до

сторон угла. DM � DK � 2 см.

ГЛАВА IV. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

§ 38. Понятие десятичной дроби.Чтение и запись десятичных дробей

643. 34,6 (тридцать четыре целых шесть десятых); 30,46 (тридцать целых шесть сотых); 33, 046 (тридцать три целых сорок шесть тысячных); 0,346 (ноль целых триста сорок шесть тысячных); 0,0346 (ноль целых триста сорок шесть десятитысячных); 30,406 (тридцать целых четыреста шесть тысячных); 0,0046 (ноль целых сорок шесть десятитысячных).

B

A

K

D

C

M

446 ����������2002–2011 гг.

644. Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные

20,0002 2 0 0 0 0 2

30,7090 3 0 7 0 9 0

82,4 8 2 4

82,40 8 2 4 0

82,400 8 2 4 0 0 0

двадцать целых две десятитысячных; тридцать целых семьсот девять тысячных (или тридцать целых семь

тысяч девяносто десятитысячных); восемьдесят две целые четыре десятых; восемьдесят две целые сорок сотых; восемьдесят две целые четыреста тысячных. Последние три числа равны. Нули, которыми оканчиваются десятичные дроби, можно отбро-

сить.

547. а) обыкновенные дроби: 67

100;

4

10;

38

1000; 5

87

100;

1

3;

4

53;

десятичные дроби: 5,87; 0,5; 0,025; 0,07;

б) обыкновенные дроби: 79

100;

6

10; 78

65

1000;

8

10 000;

3

4;

7

25;

десятичные дроби: 78,056; 0,24; 0,3; 0,005.

648. а) 0 6868

100, ;= 0 03

3

100, ;= 0 206

206

1000, ;=

б) 7 5 75

10, ;= 4 05 4

5

100, ;= 3 64 3

64

100, ;=

в) 0 0077

1000, ;= 0 0021

21

10 000, ;= 0 0005

5

10 000

1

2000, ;= =

г) 45 0471 45471

10 000, ;= 302 0054 302

54

10 000302

27

5000, .= =

649. а) 4

100 4= , ;

78

1000 78= , ;

8

1000 08= , ;

253

10000 253= , ;

б) 52

10000 052= , ;

9

10000 009= , ;

798

10 0000 0798= , ;

45

10 0000 0045= , .

650. а) 68

106 8= , ; 7

49

1007 49= , ; 8

3

1008 03= , ; 52

74

100052 074= , ;

б) 245245

1000245 245= , ; 55

5

100055 005= , ; 65

8752

10 00065 8752= , ;

447��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 26

102

6

102 6= = , ;

798

1007

98

1007 98= = , ;

1547

10001

547

10001 547= = , ;

9605

10009

605

10009 605= = , ;

г) 156

1015

5

1015 6= = , ;

12 408

100124

8

100124 08= = , ;

15 001

100015

1

100015 001= = , ;

28 000

100028= .

652. а) 1

4

1 25

4 25

25

1000 25=

⋅⋅

= = , ;

б) 3

4

3 25

4 25

75

1000 75=

⋅⋅

= = , ;

в) 1

20

1 5

20 5

5

1000 05=

⋅⋅

= = , ;

г) 1

17 нельзя представить в виде десятичной дроби.

653. Пусть ватное одеяло стоит х р., тогда шерстяное — 2х р. По условию задачи составим уравнение:

36 � x + 2x � 32 � 32 000; 36x + 64x � 32 000; 100x � 32 000; x � 32 000 : 100; x � 320. При х � 320, 2х � 2 � 320 � 640 (р.). Ответ: ватное одеяло стоит 320 р., а шерстяное — 640 р.654. Пусть было приобретено х столов, тогда приобрели 4х стульев.

За х столов заплатили (2850 � х) р., а за 4х стульев — (1350 � 4х) р. Так как за всю покупку заплатили 123 750 р., составим уравнение:

1350 � 4x + 2850x � 123 750; 5400x + 2850x � 123 750; 8250x � 123 750; x � 123 750 : 8250; x � 15. При х � 15, 4х � 4 � 15 � 60 (столов). Ответ: было приобретено 15 столов и 60 стульев.655. а) (246 535 + 367 129) : 1208 � 508; 1)

+246535

367129

613664

2) −

−

613664

6040

1208

508

9664

9664

0 б) 917 180 : (4321 – 2805) � 605; 1)

−4321

2805

1516

2) −

−

917180

9096

1516

605

7580

7580

0

448 ����������2002–2011 гг.

в) 805 009 – 608 040 : 563 � 803 929;

1) −

−

608040

563

563

1080

4504

4504

0

2) −

805009

1080

803929

г) 503 440 : 248 + 48 752 � 50 782; 1)

−

−

503440

496

248

2030

744

744

0

2) +

48752

2030

50782

Контрольные задания

1. 6,43 — шесть целых сорок три сотых; сотые — младший разряд дроби; 0,0076 — ноль целых семьдесят шесть десятитысячных; десятитысячные; 35,07 — тридцать пять целых семь сотых; сотые; 0,035 — ноль целых тридцать пять тысячных; тысячные.

2. 6

100 6= , ;

9

10000 009= , .

3. 0 44

10

2

5, ;= = 0 06

6

100

3

50, .= =

§ 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

656. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 35,82 — тридцать пять целых восемьдесят две сотые; 3,582 � 10 � 35,82.657. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 358,2 — триста пятьдесят восемь целых две десятых; 5,7364 — пять целых семь тысяч триста шестьдесят четыре десяти-

тысячных; 5736,4 — пять тысяч семьсот тридцать шесть целых четыре деся-

тых; 0,1954 — ноль целых тысяча девятьсот пятьдесят четыре десятиты-

сячных;

449��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

1954 — тысяча девятьсот пятьдесят четыре. 3,582 � 100 � 358,2; 5,7364 � 1000 � 5736,4; 0,1954 � 10 000 � 1954.658. 176,2 — сто семьдесят шесть целых две десятых; 17,62 — семнадцать целых шестьдесят две сотых; 176,2 : 10 � 17,62.659. 275,2 — двести семьдесят пять целых две десятых; 2,752 — две целых семьсот пятьдесят две тысячных; 205,93 — двести пять целых девяносто три сотых; 2,0593 — две целых пятьсот девяносто три десятитысячных; 6817,3 — шесть тысяч восемьсот семнадцать целых три десятых; 6,8173 — шесть целых восемь тысяч сто семьдесят три десятитысячные. 275,2 : 100 � 2,752; 205,93 : 100 � 2,0593; 6817,3 : 1000 � 6,8173.660. 65,7 � 10 � 657 (р.) — стоимость 10 м ситца; 65,7 � 100 � 6570 (р.) — стоимость 100 м ситца.661. 388 : 10 � 38,8 (р.) — цена 1 кг печенья.662. а) 27,67 � 10 � 267,7; б) 38,6 : 100 � 0,386; в) 0,678 � 1000 � 678; г) 6,32 : 10 000 � 0,000632; д) 23,7 � 100 � 2370; е) 4,72 : 1000 � 0,00472.663. а) 43,26 : 10 � 4,326; б) 36,32 � 100 � 3632; в) 5,009 : 1000 � 0,005009; г) 0,008 � 10 000 � 80; д) 864 : 100 � 8,64; е) 0,02 � 1000 � 20.664. а) 7,42 � 100 � 742; б) 0,35 � 10 � 3,5; в) 941,3 : 1000 � 0,9423; г) 265 039,32 : 10 000 � 26,503932.665. а) 245,3 � 100 � 24530; б) 0,26 : 10 � 0,026; в) 0,427 : 1000 � 0,000427; г) 0,0068 � 10 000 � 68.666. а) x � 48,5 : 10; x � 4,85; б) x � 0,372 : 10; x � 0,0372; в) x � 0,62 : 100; x � 0,0062; г) x � 3267,39 : 1000; x � 3,26739; д) x � 33 : 10; x � 3,3;

е) x � 5 : 100; x = =5

1000 05, .

667. а) x � 26,5 : 100; x � 0,265; б) x � 8,67 : 1000; x � 0,00867; в) x � 0,0045 : 100; x � 0,000045; г) x � 0,34 : 1000; x � 0,00034; д) x � 72 : 1000; x � 0,072; е) x � 0,38 : 10; x � 0,039.668. а) x � 68,23 � 10; x � 682,3; б) x � 0,02 � 10; x � 0,2; в) x � 34,2 � 100; x � 3420; г) x � 0,0047 � 1000; x � 4,7.669. а) x � 5,43 � 100; x � 543; б) x � 0,765 � 100; x � 76,5; в) x � 3,749 � 1000; x � 3749; г) x � 3,6 � 1000; x � 3600.670. 0,059 � 10 � 0,59 (км); — пройдет Ирина за 10 мин; 0,059 � 100 � 5,9 (км) — пройдет Ирина за 100 мин.

450 ����������2002–2011 гг.

671. 0,53 : 10 � 0,053 (м/мин) — скорость движения улитки; 0,53 м � 53 см; 53 : 10 � 5,3 (м/мин).

672. 12

18

2

3= .

673. 1) 1170 : 15 � 78 (км) — проезжает велосипедист ежедневно; 2) 78 : 6 � 13 (км/ч) — скорость велосипедиста; 3) 416 : 4 � 104 (км) — должен проезжать турист за 1 день; 4) 104 : 13 � 8 (ч). Ответ: турист должен проводить в движении по 8 ч в день.674. 1) 45 : 5 � 9 (раз); 2) 337 � 9 � 3033 (дернин). Ответ: для газона необходимо 3033 дернин.

Контрольные задания

1. а) 3,65 � 10� 36.5; б) 23,2 : 100 � 0,0232; в) 7,89 � 10 000 � 78 900; г) 648,25 : 100 � 6,4825.

§ 40. Перевод величин в другие единицы измерения

675. 1) 45 см � 45 � 10 мм � 450 мм; 2,78 см � 2,78 � 10 мм � 27,8 мм; 0,24 дм � 0,24 � 100 мм � 24 мм; 0,046 м � 0,046 � 1000 мм � 46 мм; 2) 0,52 см � 0,52 � 10 мм � 5,2 мм; 85,2 дм � 85,2 � 100 мм � 8520 мм; 77,098 дм � 77,098 � 100 мм � 7709,8 мм; 32,6 м � 32,6 � 1000 мм � 32 600 мм.

676. 1) 1 км � 1000 м; 11

10äì ì= ; 1

1

100ñì ì= ; 1

1

1000ìì ì= ;

2) 3 км � 3 � 1000 м � 3000 м; 7 см � 7 : 100 м � 0,07 м; 6 дм � 6 : 10 м � 0,6 м; 8 мм � 8 : 1000 м � 0,008 м; 3) 4 км � 4 � 1000 м � 4000 м; 8 см � 8 : 100 м � 0,08 м; 6 дм � 6 : 10 � 0,6 м; 5 мм � 5 : 1000 м � 0,005 м; 4) 56 км � 56 � 1000 м � 56 000 м; 56 см � 56 : 100 м � 0,56 м; 12 дм � 12 : 10 м � 1,2 м; 89 мм � 89 : 1000 м � 0,089 м.677. а) 480 км � 480 � 1000 м � 480 000 м; 480 дм � 480 : 10 м � 48 м; 480 м � 480 : 100 м � 4,8 м; 480 мм � 480 : 1000 м � 0,48 м; б) 525 км � 525 � 1000 м � 525 000 м; 525 см � 525 : 100 м � 5,25 м; 525 дм � 525 : 10 м � 52,5 м; 525 мм � 525 : 1000 м � 0,525 м;

451��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 3 км � 3000 м; 3 см � 0,04 м; 3 дм � 0,3 м; 3 мм � 0,003 м; г) 67 км � 67 000 м; 67 см � 0,67 м; 67 дм � 6,7 м; 67 мм � 0,067 м.678. а) 4,2 мм � 0,0042 м; 9,45 м � 0,0054 м; 45,21 дм � 4,521 м; 7,2 км � 7200 м; б) 0,85 см � 0,0085 м; 88,3 дм � 8,83 м; 0,054 км � 54 м; 0,05 мм �

��0,00005 м; в) 21,3 дм � 2,13 м; 0,48 мм � 0,00048 м; 8399,5 см � 83,005 м; 8,08 км � 8080 м; г) 0,087 км � 87 м; 78,32 дм � 7,832 м; 0,2 мм � 0,0002 м; 6,6 см � 0,066 м.679. а) 1 дм 5 см � 15 см � 0,15 м; 7 дм 5 см � 75 см � 0,75 м; 8 см 4 мм � 85 мм � 0,084 м; 7 см 3 мм � 73 мм � 0,073 м; б) 32 см 4 мм � 324 мм � 0,324 м; 2 дм 5 мм � 205 мм � 0,205 м; 67 см 12 мм � 682 мм � 0,682 м; 42 дм 7 мм � 4207 мм � 4,207 м; в) 117 см 5 мм � 1175 мм � 1,175 м; 80 дм 87 мм � 8087 мм � 8,087 м; 95 см 2 мм � 952 мм � 0,952 м; 55 дм 5 мм � 5505 мм � 5,505 м; г) 230 см 7 мм � 2307 мм � 2,307 м; 39 дм 15 мм � 3915 мм � 3,915 м; 2 см 4 мм � 24 мм � 0,024 м; 41 дм 9 мм � 4109 мм � 4,109 м.

680. а) 1 га � 10 000 м2; 11

10 0002 2ñì ì= ; 1

1

1002 2äì ì= ;

11

1 000 0002 2ìì ì= ; 1 км2 � 1 000 000 м2;

б) 3 дм2 � 3 : 100 м2 � 0,03 м2; 9 см2 � 9 : 10 000 м2 � 0,0009 м2; 0,00468 км2 � 0,00468 � 1 000 000 м2 � 4680 м2; 4 мм2 � 4 : 1 000 000 м2 � 0,000004 м2; в) 2,1 а � 2,1 � 100 м2 � 210 м2; 8670 мм2 � 8670 : 1 000 000 м2 � 0,00867 м2; 0,69 дм2 � 0,69 : 100 м2 � 0,0069 м2; 4,8 см2 � 4,8 : 10 000 м2 � 0,00048 м2; г) 0,59 см2 � 0,59 : 10 000 м2 � 0,000059 м2; 0,88 дм2 � 0,88 : 100 м2 � 0,0088 м2; 4,008 га � 4,008 � 10 000 м2 � 40 080 м2; 0,034 мм2 � 0,034 : 1 000 000 м2 � 0,000000034 м2.681. а) 42 дм2 � 42 : 100 м2 � 0,42 м2; 6578 мм2 � 6578 : 1 000 000 м2 � 0,006578 м2; 0,095 км2 � 0,095 � 1 000 000 м2 � 95 000 м2; 63 см2 � 63 : 10 000 м2 � 0,0063 м2; б) 423 мм2 � 423 : 1 000 000 м2 � 0,000423 м2; 2,3 дм2 � 2,3 : 100 м2 � 0,023 м2;

452 ����������2002–2011 гг.

0,045 см2 � 0,045 : 10 000 м2 � 0,0000045 м2; 5,8 км2 � 5,8 � 1 000 000 м2 � 5 800 000 м2; в) 1,008 см2 � 1,008 : 10 000 м2 � 0,0001008 м2; 5,07 дм2 � 5,07 : 100 м2 � 0,0507 м2; 2,5 а � 2,5 � 100 м2 � 250 м2; 8,07 мм2 � 8,07 : 1 000 000 м2 � 0,00000807 м2; г) 0,005 а � 0,005 � 100 м2 � 0,5 м2; 44 га � 44 � 10 000 м2 � 440 000 м2; 0,28 мм2 � 0,28 : 1 000 000 м2 � 0,00000028 м2; 4320 см2 � 4320 : 10 000 м2 � 0,432 м2.682. Пусть карамели с черной смородиной было х кг, тогда карамели

с клубникой — 3х кг, а с малиной — 6х кг. Так как масса карамели всех сортов — 56 кг, составим уравнение:

x + 3x + 6x � 56; 10x � 56; x � 56 : 10; x � 5,6. Ответ: масса карамели с черной смородиной равна 5,6 кг.683. Пусть под овес отведено х га поля, тогда под посевы пшеницы —

4х га, а под просо — 5х га. Так как площадь поля — 365 га, соста-вим уравнение:

x + 5x + 4x � 365; 10x � 365; x � 365 : 10; x � 36,5. Ответ: под посевы овса отведено 36,5 га поля.

684. а) 3

8

1

4

3

8

2

8

5

8+ = + = ;

б) 2

3

1

6

4

6

1

6

3

6

1

2− = − = = ;

в) 7

12

1

2

7

12

6

12

1

12− = − = ;

г) 2

9

2

3

2

9

6

9

8

9+ = + = .

Контрольные задания

1. 2,3 мм � 2,3 : 1000 м � 0,0023 м; 5,04 км � 5,04 � 1000 м � 5040 м.2. 3,6 дм2 � 3,6 : 100 м2 � 0,036 м2; 0,45 га � 0,45 � 10 000 м2 � 4500 м2.

§ 41. Сравнение десятичных дробей

685. 1) 48,326 < 48,5; 2) 651,0786 < 651,098; 3) 52,6 > 52,59.686. а) 35,87 > 35,8695; б) 23,53 � 23,530; в) 60,35 < 60,5; г) 0,1200 � 0,12.687. а) 2,386 < 2,39; б) 43,7 > 43,696; в) 5,09 < 5,1; г) 0,486 < 0,5.688. 0,82; 0,8056; 0,7208; 0,7; 0,387; 0,362; 0,25998; 0,25; 0,216958;

0,00489.

453��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

689. 0,0057; 0,0964; 0,2; 0,205; 0,21; 0,5125; 0,801; 0,81.690. а) 0; 1; 2; б) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; в) 0; г) 0; 1; 2; 3; 4.691. в) 9; б) 0; 1; в) 0; г) от 0 до 9 включительно.692. а) 0,017 < 0,1 б) 0,003 < 0,01; в) 0,01 < 0,08 < 0,1; г) 0,001 < 0,007 < 0,01.693. а) 8,01 < 8,015 < 8,2; б) 10,5 < 10,503 < 10,51; в) 7,2 < 7,24 < 7,3; г) 4,87 < 4,8705 < 4,871.694. АВ � 367 см � 367 : 100 м � 3,67 м; CD � 5698 мм � 5698 : 1000 м � 5,698 м; EF � 79 дм � 79 : 10 м � 7,9 м; GH � 2,8 м. Наибольшую длину имеет отрезок EF.695. а) AK � 3,37 м; BD � 57,2 дм � 57,2 : 10 м � 5,72 м; MK � 167,24 см � 167,24 : 100 м � 1,67245 м; LG � 6318 м � 6318 : 1000 м � 6,318 м. Наименьшую длину имеет отрезок MK. б) MN � 0,0834 м; KL � 83,4 см � 83,4 : 100 м � 0,834 м; ST � 0,834 дм � 0,834 : 10 м � 0,0834 м; PQ � 834 мм � 834 : 1000 м � 0,834 м; MN � ST � 0,0834 м; KL � PQ � 0,834 м.696. а) 2 мг � 2 : 1 000 000 кг � 0,000002 кг; 2 г � 2 : 1000 кг � 0,002 кг; 2 ц � 2 : 100 кг � 200 кг; 2 т � 2 � 1000 кг � 2000 кг; б) 6 г � 6 : 1000 кг � 0,006 кг; 79 г � 79 : 1000 кг � 0,079 кг; 285 г � 285 : 1000 кг � 0,285 кг; в) 8 мг � 8 : 1 000 000 кг � 0,000008 кг; 85 мг � 85 : 1 000 000 кг � 0,000085 кг; 659 мг � 659 : 1 000 000 кг � 0,000659 кг; г) 7,8 т � 7,8 � 1000 кг � 7800 кг; 54 ц � 54 � 100 кг � 5400 кг; 12,03 т � 12,03 � 1000 кг � 12 030 кг.697. а) 2 кг 235 г � 2,235 кг; б) 3 кг 600 г � 3,600 кг � 3,6 кг; в) 20 кг 860 г � 20,860 кг г) 86 кг 44 г 61 мг � 86,044061 кг.698. а) 2,1 г � 2,1 : 1000 кг � 0,0021 кг; б) 0,3604 г � 0,3604 : 1000 кг � 0,0003604 кг; в) 8,9 мг � 8,9 : 1 000 000 кг � 0,0000089 кг; г) 0,035 мг � 0,035 : 1 000 000 кг � 0,000000035 кг.699. 0,776 � 10 � 7,76; 78,34 : 10 � 7,834; 0,00742 � 1000 � 7,42; 759,2 : 100 � 7,592; 0,0736 � 100 � 7,36; 77 : 10 � 7,7.700. а) 26,397 � 26,4; 3,039 � 3,000 � 3; 35,262 � 35,3; 8,132 � 8,1;

299,9999 � 300; б) 76,343 � 76,34; 22,038 � 22,04; 0,685 � 0,69; 0,00098 � 0; 7,008 � 7,01.

454 ����������2002–2011 гг.

701. а) До десятых; б) до сотых; в) до единиц; г) до тысячных; д) до сотых; е) до десятитысячних; ж) до сотых; з) до сотых.702. а) Гребешки — ? в 5 больше, чем } Мидии — ? Жемучижницы — ? столько же, сколько

⎫⎬⎪

⎭⎪444

моллюска

Решение. Пусть в аквариуме было х мидий, тогда гребешков в нем было 5х,

а жемчужниц — (5х + х). Так как всего в аквариуме было 444 моллюска, составим уравнение: 5x + x + 5x + x � 444; 12x � 444; x � 444 : 12; x � 37. Значит, мидий было 17, гребешков: 5 � 37 � 185; жемчужниц: 37 + 185 � 222. Ответ: в аквариуме было 185 гребешков, 37 мидий, 222 жем-

чужницы. б) Обозначим количество купюр х, тогда десятрублевых денежных

знаков было на сумуу 10х р., а пятирублевых — 5х р. Так как все-го денежных знаков было на сумму 525 р., составим уравнение:

10 x + 5x � 525; 15x � 525; x � 525 : 15; x � 35. Итак, десятирублевых денежных знаков было на сумму: 35 � 10 �

��350 (р.), а пятирублевых: 35 � 5 � 175 (р.). Ответ: десятирублевых денежных знаков дали на сумму 350 р.,

а пятирублевых — на сумму 175 р.

Контрольные задания

1. а) 8,9 > 8,53; б) 15,38 < 15,4; в) 3,250 � 3,25.2. а) 3,48 � 3,5; б) 4,319 � 4,3; в) 4,98 � 5.

§ 42. Сложение и вычитание десятичных дробей

703. 1) +24

32

56

+2 4

3 2

5 6

,

,

,

2) +

452

231

683

+4 52

2 31

6 83

,

,

,

3) +

204

378

582

+

0 204

0 378

0 582

,

,

,705. а)

+272 30

34 15

306 45

,

,

,

б) +15 000

8 009

23 009

,

,

,

в) +

0 0078

78 78

78 7878

,

,

,

г) +

42 00

3 08

45 08

,

,

,

д) +

5 934

12 800

18 734

,

,

,

е) +13 10

0 09

13 19

,

,

,

706. а) +

708 51

62 00

770 51

,

,

,

б) +

621 7

54 3

676 0

,

,

,

в) +

99 3300

0 0777

99 4077

,

,

,

455��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) +

48 548

259 452

308 000

,

,

,

д) +

47 35

2 65

50 00

,

,

,

е) +

12 70

1 38

14 08

,

,

,707. 8000,7 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 0,0078 — наименьшее число, составленное из этих же цифр.

−8000 7000

0 0078

8000 6922

,

,

,

708. 1) −1 16

0 14

1 02

,

,

,

2) −0 43

0 38

0 05

,

,

,

709. I). −15 31

6 15

9 16

,

,

,

−46 37

7 75

38 62

,

,

,

II) −65 70

52 25

13 45

,

,

,

−3 270

0 008

3 262

,

,

,

III) −

82 784

33 600

49 184

,

,

,

−

64 123

38 150

25 973

,

,

,

IV) −72 0

15 6

56 4

,

,

,

−125 00

54 09

70 91

,

,

,

710. а) −

43 57

18 40

25 17

,

,

,

б) −

56 00

12 25

43 75

,

,

,

в) −37 182

5 900

31 282

,

,

,

г) −

0 210

0 184

0 026

,

,

,

д) −

29 435

29 039

0 396

,

,

,

е) −5 00

2 49

2 51

,

,

,

ж) −72 00

3 56

68 44

,

,

,

з) −

0 0200

0 0061

0 0139

,

,

,

и) −15 003

8 740

6 263

,

,

,

711. а) −

52 12

15 30

36 82

,

,

,

б) −135 00

134 93

0 07

,

,

,

в) −

74 38

56 80

17 58

,

,

,

г) −

0 590

0 032

0 558

,

,

,

д) −

2 000

1 827

0 173

,

,

,

е) −

0 170

0 092

0 078

,

,

,

ж) −

34 000

12 084

21 916

,

,

,

з) −

0 700

0 695

0 005

,

,

,

и) −1 400

1 076

0 324

,

,

,

456 ����������2002–2011 гг.

712. а) +

52 960

12 387

65 347

,

,

,

−

52 960

5 079

47 881

,

,

, Ответ: С(47,881); В(65,347). б) АС больше СВ на 2,85; значит, АС � СВ + 2,85. АВ � 21,7 – 12,85 � 8,85;

−21 70

12 85

8 85

,

,

, АС + СВ � АВ. Дальше задачу можно решать двумя способами. I способ — арифметический. 1) 8,85 – 2,85 � 6 — сумма двух равных отрезков; 2) 6 : 2 � 3 — длина СВ; 3) 3 + 2,85 � 5,85 — длина АС. II способ — алгебраический. Пусть ВС � х, тогда АС � х + 2,85. Так как AC + CB � AB, AB � 8,85, составим уравнение: x + 2,85 + x � 8,85; 2x + 2,85 � 8,85; 2x � 8,85 – 2,85; 2x � 6; x � 6 : 2; x � 3. Итак, CB � 3; AC � 3 + 2,85 � 5,85. Ответ: AB � 8,85; AC � 5,85; CB � 3.713. Рассмотрим два случая. 1) Пусть точка С лежит правее точки В на координатном луче.

Тогда: AB � 25,9 – 17,3 � 8,6; BC � 18; AC � AB + BC � 8,6 + 18 � 26,6. Ответ: AB � 8,6; AC � 26,6; BC � 18. 2) Пусть точка С лежит левее точки В на координатном луче.

Тогда: AB � 25,9 – 17,3 � 8,6; BC � 18; AC � BC – AB � 18 – 8,6 � 9,4. Ответ: AB � 8,6; AC � 9,4; BC � 18.714. а) 0,37 � 2 – 1,63; б) 0,64 � 1 – 0,36; в) 2,05 � 5 – 2,95; г) 4,368 � 7 – 2,632.715. 8322,2 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 2,2238 — наименьшее число, составленное из данных цифр.

+8322 2000

2 2238

8324 4238

,

,

,

−

8322 2000

2 2238

8319 9762

,

,

, Если каждое из записанных чисел увеличить в 10 раз, то результа-

ты сложения и вычитания увеличатся в 10 раз, а если каждое из за-писанных чисел уменьшить в 10 раз, то эти результаты уменьшать-ся в 10 раз.

C A BO

0

CA BO

0

CA BO

018

C A BO

018

457��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

716. а) 3,8 � 10 + 3,8 � 100 + 3,8 � 1000 � 38 + 380 + 3800 � 4218;

+

3800

380

38

4218

б) 4,7 : 10 + 4,7 : 100 – 4,7 : 1000 � 0,47 + 0,047 – 0,0047 � 0,5123;

+0 470

0 047

0 517

,

,

,

−

0 5170

0 0047

0 5123

,

,

,

в) 25,22 � 10 + 186,354 � 100 – 16,7 � 10 � 252,2 + 18635,4 – 167 � 18720,6;

+18653 4

252 2

18887 6

,

,

,

+18887 6

167 0

18720 6

,

,

,

г) 79,504 : 10 + 0,2534 � 100 � 0,92038 � 10 � 7,9504 + 25,34 – 9,2038 ��� 24,0866;

+25 3400

7 2904

33 2904

,

,

,

−

33 2904

9 2038

24 0866

,

,

,

719. 45 дм � 45 : 10 м � 4,5 м; 2 � (5,5 + 4,5) � 2 � 10 � 20 (м). Ответ: периметр изгороди равен 20 м.720. 350 мм � 350 : 1000 м � 0,35 м; 2 � (1,25 + 0,35) � 2 � 1,6 � 3,2 (м). Ответ: периметр полки равен 3,2 м.721. 54 см � 54 : 100 м � 0,54 м;

1) +

2 30

0 54

1 76

,

,

, ( )ì

2) +

2 30

1 76

4 06

,

,

, ( )ì

3) +

4 06

4 06

8 12

,

,

, ( )ì Ответ: периметр ковра равен 8,12 м.722. а) 4,45 � 10 + 844 : 100 – 35,7 : 1000 + 509,432 : 10 � 44,5 + 8,44 –

– 0,0357 + 50,9432 � 103,8475;

+

44 50

8 44

52 94

,

,

,

−

52 9400

0 0357

52 9043

,

,

,

+

52 9043

50 9432

103 8475

,

,

, б) 59,9997 � 100 + 685826,1 : 1000 + 3,7672 � 100 � 5999,97 +

+ 685,8261 + 376,72 � 7062,5161;

+

5999 9700

685 8261

6685 7961

,

,

,

+

6685 7961

376 7200

7062 5161

,

,

,

458 ����������2002–2011 гг.

723. а) 2,2 м � 2,2 � 100 м � 220 см; 3 см + 15 см < 220 см; значит, треугольник с данными сторонами

не существует; б) 65,5 см � 65,5 : 100 м � 0,655 м; 21,5 м + 0,655 м < 45,15 м; значит, треугольник с данными

сторонами не существует; в) 7,01 м � 7,01 � 10 дм � 70,1 дм; 34,2 дм + 35,9 дм � 70,1 дм;

+34 2

35 9

70 1

,

,

, Значит, треугольник с данными сторонами не существует; г) 0,2 м � 0,2 � 1000 мм � 200 мм; 85 мм + 253,7 мм > 200 мм; 200 мм + 253,7 мм > 85 мм; 85 мм + 200 мм > 253,7 мм. Так как все три вышеописанные условия выполняются, то треу-

гольник с данными сторонами существует. Р � 85 мм + 200 мм + 253,7 мм � 538,7 мм.

+253 7

200 0

85 0

538 7

,

,

,

,

724. 800 г � 800 : 1000 кг � 0,8 кг.

+1 5

1 2

0 8

3 5

,

,

,

, ( )êã Ответ: вес покупки Саши равен 3,5 кг; значит, в пластиковом па-

кете, рассчитанном на 3 кг, он покупку унести не сможет.725. 1) 50 � 2 � 100 (кг); 2)

+

81 0

74 7

37 2

46 0

238 9

,

,

,

,

, ( )êã 3) 100 + 238,9 � 338,9 (кг); 4) 0,4 т � 0,4 � 1000 кг � 400 кг; 338,9 кг < 400 кг. Ответ: в багажник автомобиля можно положить 2 мешка моркови.726.

+14 10

2 25

1 40

17 75

,

,

,

, ( )ì Ответ: длина сваи 17,75 м.

459��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

727. Пусть меньшее из двух чисел — х, тогда большее — 9х. Так как сум-ма двух чисел равна 43,862; составим уравнение: x + 9x � 43,862; 10x � 43,862; x � 43,862 : 10; x � 4,3862.

Значит, меньшее число — 4,3862; а бîльшее: 43,862 – 4,3862 � ��39,4758;

−

43 8620

4 3862

39 4758

,

,

, Ответ: искомые числа равны 4,3862 и 39,4758.728. Пусть меньшее из двух данных чисел равно х, тогда бîльшее — 99х.

Так как их сумма равна 91,964, составим уравнение: x + 99x � ��91,964; 100x � 91,964; x � 91,964 : 100; x � 0,91964.

Значит, меньшее число — 0,91964; а большее: −

91 96400

0 91964

91 04436

,

,

,

Ответ: искомые числа равны 0,91964 и 91,04436.729. а) 9x; 99x; б) x + 9x; x + 99x; x + 9x � 43,862 (решение уравнения смотри в № 727); x + 99x � 91,964 (решение уравнения смотри в № 728).730. 1) 11 – 1 � 10; 2) 9,045 : 10 � 0,9045 — меньшее число; 3)

+9 0450

0 9045

9 9495

,

,

,

— большее число.

Ответ: искомые числа равны 0,9045 и 9,9495.731. 1) 101 – 1 � 100; 2) 634,28 : 100 � 6,3428 — меньшее число; 3)

+634 2800

6 3428

640 6228

,

,

,

— большее число.

Ответ: искомые числа равны 6,3428 и 640,6228.732. а) 11x; 101x; б) 11x – x; 101x – x; к № 730: 11x – x � 9,045; 10x � 9,045; x � 9,045 : 10; x � 0,9045; к № 731: 101x – x � 634,28; 100x � 634,28; x � 634,28 : 100; x � 6,3428.733. а) В этой группе уравнений находится неизвестное слагаемое. x + 5,032 � 27,2; x � 27,2 – 5,032;

−27 200

5 032

22 168

,

,

, x � 22,168;

460 ����������2002–2011 гг.

x + 29,17 � 13,4; x � 13,4 – 29,17; нельзя решить (ошибка в условии)

52 + x � 78,035; x � 78,035 – 52; x � 26,035. б) в этой группе уравнений х — неизвестное уменьшаемое. x – 93,1 � 79,01; x � 79,01 + 93,1; x � 172,11;

+79 01

93 10

172 11

,

,

, x – 42,12 � 90; x � 90 + 43,12; x � 133,12; x – 42,16 � 69,2; x � 69,2 + 42,16; x � 111,36.

+69 20

42 16

111 36

,

,

, в) в этой группе уравнений х — неизвестное вычитаемое. 48,5 – x � 37,1; x � 48,5 – 37,1; x � 11,4; 55,05 – x � 33,9; x � 55,05 – 33,9; x � 21,15;

−55 05

33 90

21 15

,

,

, 22,99 – x � 17,3; x � 22,99 – 17,3; x � 5,69.

−22 99

17 30

5 69

,

,

,

725. 1)

+50 12

10 08

35 90

96 10

,

,

,

,

(кг) — продали за три дня;

2) +160 3

96 1

256 4

,

,

, ( )êã

3) −

267 4

256 4

11 0

,

,

, ( )êã

Ответ: масса пустого контейнера равна 11 кг.

461��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

736. 1) −

61 50

10 06

51 44

,

,

,

(м) — длина крайнего пролета;

2) +

51 44

52 44

102 88

,

,

,

(м) — сумма длин крайних пролетов;

3)

+61 5

61 5

61 5

184 5

,

,

,

,

(м) — сумма длин средних пролетов;

4) +184 50

102 88

287 38

,

,

, ( )ì Ответ: длина моста равна 287,38 м.737.

+0 25

4 13

4 38

,

,

,

+

4 56

0 80

3 76

,

,

,

−7 30

3 28

4 02

,

,

,

+15 20

3 86

19 06

,

,

,

19,06 4,38 4,02 3,76

Р О М Б

Синие четырехугольники называются ромбами. У ромба все стороны равны.738. (17,03 – 12,5) + 6,3 � 10,83.

−17 03

12 50

4 53

,

,

,

+

4 53

6 30

10 83

,

,

, Ответ: искомое число равно 10,83.739. 18,6 – (33,5 – 22,68) � 7,78.

−33 50

22 68

10 82

,

,

,

−18 60

10 82

7 78

,

,

, Ответ: искомое число равно 7,78.740. (15 – 14) � (12,4 – 4,92) � 1 � 7,489 � 7,48 (км).

−12 40

4 92

7 48

,

,

, Ответ: искомое расстояние равно 7,48 км.741. (15 261,4 – 5781,35) – 5781,35 � 3698,7 (р.).

−15261 40

5881 35

9480 05

,

,

,

−

9480 05

5781 35

3698 70

,

,

, Ответ: во второй день было выручено на 3698,7 р. больше, чем

в первый.

462 ����������2002–2011 гг.

742. 2215 г � 2215 : 1000 кг � 2,215 кг; (64,85 + 32,75 + 2,1) – 2,215 � 97,485 (кг).

+64 85

32 75

2 10

99 70

,

,

,

,

−99 700

2 215

97 485

,

,

,

Ответ: масса полученной латуни равна 97,485 кг.743. 1750 кг � 1750 : 1000 т � 1,75 т; 4,25 + (4,25 – 1,75) + (4,25 + (4,25 – 1,75) – 2,39) � 11,11 (т).

−4 25

1 75

2 50

,

,

,

+

4 25

2 50

6 75

,

,

,

−

6 75

2 39

4 36

,

,

,

+

6 75

4 36

11 11

,

,

, Ответ: за три дня было израсходовано 11,11 т муки.744. 74,8 – (31,45 + 31,45 : 10 + (31,45 – 6,78)) � 15,535 (м). 1) 31,45 : 10 � 3,145; 2)

−31 45

6 78

24 67

,

,

,

3) +

31 450

3 145

24 670

59 265

,

,

,

,

4) −74 800

59 265

15 535

,

,

,

Ответ: в мотке осталось 15,535 м шпагата.745. �ACB � �ADB � 90�, то есть углы, опирающиеся

на диаметр окружности — прямые (если верши-ны этих углов лежат на окружности).

746. �ABC — острый; �ABD — прямой (AD — диаметр); �ABE — тупой.

747. Нужно сложить полученный круг дважды пополам (смотри пунктирные линии).

Тогда точка пересечения диаметров — центр круга.

748. а) Площадь уменьшится в 2 раза; б) площадь уменьшится в 4 раза; в) площадь уменьшится в 10 раз; г) площадь уменьшится в 100 раз.

C D

BAO

C D

BA

E

O

463��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

749. +

1 0500

0 0024

1 0524

,

,

,

−

79 261

68 150

11 111

,

,

,

+

15 324

28 700

44 024

,

,

,

−

1 0500

0 0024

1 0476

,

,

,

−

210 600

8 926

201 674

,

,

,

−

43 521

5 700

37 821

,

,

,

+28 163

21 840

50 003

,

,

,

+17 305

4 590

21 895

,

,

,

21

,89

5

11

,11

1

1,0

47

6

11

,11

1

44

,02

4

44

,02

4

20

1,6

74

44

,02

4

1,0

52

4

37

,82

1

1,0

47

6

11

,11

1

50

,00

3

50

,00

3

П А Р А Л Л Е Л О Г Р А М М

Контрольное задание

� �A + �B + �C � 180�; �C � 180� – (�A + �B); �C � 180� – (60,25� + + 72,87�) � 46,88�.

+

60 25

72 87

133 12

,

,

,

−180 00

133 12

46 88

,

,

,

§ 43. Умножение десятичных дробей

750. 1) 1,2 � 47 � 56,4; 2) 1,2 � 4 � 5,64; 3) 1,2 � 0,47 � 5,64; 4) 0,12 � 47 � 5,64; 5) 0,12 � 4,7 � 0,564; 6) 0,012 � 47 � 0,564.751. 13 � 4 � 52; 16 � 3 � 48; 1,3 � 4 � 5,2; 16 � 0,3 � 4,8; 0,13 � 4 � 0,52; 1,6 � 3 � 4,8; 13 � 0,4 � 5,2; 16 � 0,03 � 0,48; 13 � 0,04 � 0,52; 1,6 � 0,2 � 0,48; 1,3 � 0,04 � 0,52; 1,6 � 0,03 � 0,048; 1,3 � 0,04 � 0,052; 0,16 � 3 � 0,48; 0,13 � 0,4 � 0,052; 0,16 � 0,3 � 0,048; 0,13 � 0,04 � 0,0052; 0,16 � 0,03 � 0,0048;

15 � 6 � 90; 0,15 � 6 � 0,9; 1,5 � 0,006 � 0,0090 � 0,009; 0,015 � 0,06 � 0,0090 � 0,009; 0,015 � 6 � 0,090 � 0,9; 0,015 � 0,06 � 0,00090 � 0,0009; 0,15 � 0,006 � 0,00090 � 0,0009; 0,00015 � 6 � 0,00090 � 0,0009; 15 � 0,0006 � 0,0090 � 0,0009.

464 ����������2002–2011 гг.

752. 1) ×

+

356

34

1424

1068

12104

2) ×

+

1073

81

1073

8584

86913

3) ×

+

625

74

2500

4375

46250 3,56 � 3,4 � 12,104; 1,073 � 8,1 � 8,6913; 0,074 � 6,25 � 0,46250 �

� 0,4625.753. а)

×

+

31 54

32

6308

9462

1009 28

,

,

б) ×

+

3 245

61

3245

19470

197 945

,

,

в) ×

+

44 44

3 005

22220

13332

133 54220

,

,

,

г) ×

+

60 5

4 8

4840

2420

290 40

,

,

,

133,54200 � 133,5422; 290,40 � 290,4.754. а)

×

+

71 7

9 01

717

6453

646 017

,

,

,

б) ×

2 3456789

0 3

0 70370367

,

,

,

в) ×

+

21 004

6 5

105020

126024

136 5260

,

,

,

г) ×

+

45 34

20 01

4534

9068

907 2534

,

,

,

136,5260 � 136,526. 1 3 2 4755. а) 13,3456789 � 3 + 99,7654321 � 3 + 766,666667 � 1106; 1)

×13 3456789

3

40 0370367

,

,

2) ×

99 654321

3

299 2962963

,

, 3)

+40 0370367

299 2622963

339 3333330

,

,

,

4) +

339 333333

766 666667

1106 000000

,

,

,

1 5 2 6 3 7 4 б) 7,6 � 0,25 + 290 : 100 + 25,8 � 0,5 – 420 � 0,03 � 15,1; 1)

×

+

7 6

0 25

380

152

1 900

,

,

,

2) 290 : 100 � 2,9; 3) ×

25 8

0 5

12 90

,

,

,

4) ×420

0 03

12 60

,

,

5) +

1 9

12 9

14 8

,

,

,

6) +14 8

12 9

27 7

,

,

,

7) −

27 7

12 6

15 1

,

,

, В условии этого задания опечатка: если в 5) действии будет стоять

знак минус, то пример решить нельзя).

465��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

1 5 2 6 3 7 4 в) 5700 � 0,105 – 87 � 1,7 + 8009 : 1000 – 8009 � 0,001 � 450,6;

1) ×

+

0 105

5700

735

525

598 500

,

,

2) ×

+

87

1 7

609

87

147 9

,

,

3) 8009 : 1000 � 8,009;

4) ×

8009

0 001

8 009

,

,

5) −

598 5

147 8

450 6

,

,

,

6) +

450 600

8 009

458 609

,

,

,

7) −

458 609

8 009

450 600

,

,

,

1 5 2 6 3 7 4

г) 5867 : 100 + 78,55 � 2,08 + 51,09 � 3,4 – 586,7 � 0,1 � 337,09;

1) 5867 : 100 � 58,67; 2) ×

+

78 55

2 08

62840

15710

163 3840

,

,

,

3) ×

+

51 09

3 4

20436

15327

173 706

,

,

,

4) ×586 7

0 1

58 67

,

,

,

5) +163 384

58 670

222 054

,

,

,

6) +222 054

173 706

395 760

,

,

,

7) −395 76

58 67

337 09

,

,

,

756. а) 27,3 � 0,5 � 2 � 27,3 � 1 � 27,3;

б) 0,25 � 53,34 � 4 � (0,25 � 4) � 53,34 � 1 � 53,34 � 53,34;

в) (2,5 � 0,4) � (50 � 0,02) � 1 � 1 � 1;

г) 44,81 � (125 � 0,08) � 44,81 � 10 � 448,1.

757. а) 5 � 79,23 � 0,2 � 79,23 � (5 � 0,2) � 79,23 � 1 � 79,23;

б) 72,3 � (0,25 � 0,4) � 72,3 � 0,1 � 7,23;

в) 1,25 � 500 � 0,2 � 0,08 � (1,25 � 0,08) � (500 � 0,2) � 0,1 � 100 � 10;

г) 579 � (5 � 0,002) � 579 � 0,01 � 5,79.

758. а) 0,125 � 6,53 � 8 � (0,125 � 8) � 6,53 � 1 � 6,53 � 6,53;

б) 28,25 � (0,8 � 12,5) � 28,25 � 10 � 282,5;

в) 125 � 0,2 � 16,79 � 0,4 � 125 � (0,2 � 0,4) � 16,79 � 125 � 0,08 � 16,79 �

��10 � 16,79 � 167,9;

г) 28,81 � (0,25 � 0,4) � 28,81 � 0,1 � 2,881.

759. а) 72,58 � 0,1 � 7,258; б) 72,58 � 0,01 � 0,7258;

72,58 : 10 � 7,258; 72,58 : 100 � 0,7258;

в) 72,58 � 0,001 � 0,07258; г) 72,58 � 0,0001 � 0,007258;

72,58 : 1000 � 0,07258; 72,58 : 10 000 � 0,007258.

466 ����������2002–2011 гг.

1 3 2760. а) 0,07 � 100 � 0,23 + 0,25 � 16,5 � 7 � 0,23 + 0,25 � 16,5 � 5,735; 1)

×0 23

7

1 61

,

,

2) ×

+

16 5

0 25

825

330

4 125

,

,

,

3) +

4 125

1 610

5 735

,

,

,

1 3 2 б) 3,75 � 2,05 + 0,05 � 30,48 � 9,2115; 1) ×

+

3 75

2 05

1875

750

7 6875

,

,

,

2) ×

30 48

0 05

1 5240

,

,

,

3) +7 6875

1 5240

9 2115

,

,

,

1 3 2 в) 135,2 � 2,02 – 46,002 � 2,9 � 139,6982; 1)

×

+

135 2

2 02

2704

2704

273 104

,

,

,

2) ×

+

46 002

2 9

414018

92004

133 4058

,

,

,

3) −273 1040

133 4058

139 6982

,

,

,

1 3 2 г) 71,2 � 0,201 – 6,6 � 2,01 � 1,0452; 1) ×

+

71 2

0 201

712

1424

14 3112

,

,

,

2) ×

+

2 01

6 6

1206

1206

13 266

,

,

,

3) −14 3112

13 2660

1 0452

,

,

,

1 3 2 д) 7,5 � 0,4 + 3,2 � 0,17 � 3,544; 1)

×7 5

0 4

3 00

,

,

,

2) ×

+

3 2

0 17

224

32

0 544

,

,

,

3) +

3 000

0 544

3 544

,

,

,

1 3 2 е) 4,28 � 0,2 – 1,7 � 0,3 � 0,346; 1) ×

4 28

0 2

0 856

,

,

,

2) ×

1 7

0 3

0 51

,

,

,

3) −

0 856

0 510

0 346

,

,

,

467��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

1 3 2 ж) 0,8 � 3,15 + 0,18 � 3,6 � 3,168; 1)

×3 15

0 8

2 520

,

,

,

2) ×

+

0 18

3 6

108

54

0 648

,

,

,

3) +2 520

0 648

3 168

,

,

,

1 3 2 з) 7,1 � 1,3 – 0,19 � 5,02 � 8,2762;

1) ×

+

7 1

1 3

213

71

9 23

,

,

,

2) ×

+

5 02

0 19

4518

502

0 9538

,

,

,

3) −

9 2300

0 9538

8 2762

,

,

,

1 3 2 4761. а) (62 – 14,8) � (34 – 0,175) – 961,9196 � 634,6204; 1)

−62 0

14 8

47 2

,

,

,

2) −

34 000

0 175

33 825

,

,

,

3) ×

+

33 825

47 2

67650

236775

135300

1596 5400

,

,

,

4) −1596 5400

961 9196

634 6204

,

,

,

2 1 3 б) 32,05 � (28,03 + 11,5) – 1266,9365 � 0; 1)

+28 03

11 50

39 53

,

,

,

2) ×

+

39 53

32 05

19765

7906

11859

1266 9365

,

,

,

3) 1266,9365 – 1266,9365 � 0;

1 3 2 в) 3,324 � 052 � 100 – 8,9 � 0,32 � 3,324 � 52 – 8,9 � 0,32 � 170;

1) ×

+

3 324

52

6648

16620

172 848

,

,

2) ×

+

8 9

0 32

178

267

2 848

,

,

,

3) −172 848

2 848

170 000

,

,

,

468 ����������2002–2011 гг.

1 3 2 г) (4,99 – 0,88) � (5,131 + 4,369) � 39,045; 1)

−4 99

0 88

4 11

,

,

,

2) +

5 131

4 369

9 500

,

,

,

3) ×

+

4 11

9 5

2055

3699

39 045

,

,

,

764. 1) 0,8 � 1,25 � 1,000 � 1; 2) 2,5 � 0,4 � 1,00 � 1;

3) ×

+

6 25

0 16

3750

625

1 0000

,

,

,

4) ×

+

3 125

0 32

6250

9375

1 00000

,

,

,

1,0000 � 1; 1,00000 � 1;

5) ×

+

0 15625

6 4

62500

93750

1 000000

,

,

,

6) ×

+

0 78125

1 28

625000

156250

78125

1 0000000

,

,

,

1,000000 � 1; 1,0000000 � 1.765. 1)

−42 80

4 78

38 02

,

,

,

(р.) — цена одного метра шелка;

2) ×

+

42 8

9 75

2140

2996

3852

417 300

,

,

,

(р.) — стоит атлас;

3) ×

+

38 02

10 5

19010

3802

399 210

,

,

,

(р.) — стоит шелк;

469��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

4) +

417 30

399 21

816 51

,

,

,

(р.) — стоит вся покупка.

816,51 < 900. Ответ: хватит 900 р. на покупку тканей.

766. 1)

+27 4

25 8

13 7

66 9

,

,

,

,

(м) — длина всех коридоров;

2) ×14 6

2

29 2

,

, ( )ì

3) ×12 6

2

25 2

,

, ( )ì

4) +

29 2

25 2

54 4

,

,

,

(м) — длина дорожки;

5) −66 9

54 4

12 5

,

,

, ( )ì

Ответ: не хватит 12,5 м дорожки для коридоров.

767. 1) −

65 4

10 8

54 6

,

,

,

(км/ч) — скорость второго грузовика;

2) +

65 4

54 6

120 0

,

,

,

(км/ч) — общая скорость грузовиков;

3) ×

120

0 9

108 0

,

,

(км).

Ответ: расстояние между городами равно 108 км.

768. 1) −

0 0350

0 0285

0 0065

,

,

,

(км/ч) — разность скоростей ракет;

2) ×

0 0065

2

0 0130

,

, ( )êì

0,013 км � 0,013 � 1000 м � 13 м.

Ответ: через 2 с после старта вторая ракета отстанет от первой на 13 м.

470 ����������2002–2011 гг.

Контрольные задания

а) ×

+

8 41

16

5046

841

134 56

,

,

б) ×

2 34

0 7

1 638

,

,

,

в) 15,3 � 0,01 � 0,153; г) 0,048 � 0,001 � 0,000048.

§ 44. Степень числа

769. 2) а) 53 > 5 � 3; б) 82 > 8 � 2; в) 45 > 4 � 5; г) 17 < 1 � 7.771. а) 142 � 14 � 14 � 196; б) 272 � 27 � 27 � 729;

×

+

14

14

56

14

196

×

+

27

27

189

54

729

в) 252 � 25 � 25 � 625; г) 362 � 36 � 36 � 1296;

×

+

25

25

125

50

625

×

+

36

36

216

108

1296

772. а) 2,53 � 2,5 � 2,5 � 2,5 � 6,25 � 2,5 � 15,625;

×

+

6 25

2 5

3125

1250

15 625

,

,

, б) 0,84 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � (0,8 � 0,8) � (0,8 � 0,8) � 0,64 � 0,64 � 0,4096;

×

+

0 64

0 64

256

384

0 4096

,

,

,

471��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 3,12 � 3,1 � 3,1 � 9,61; г) 0,25 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,00032;

×

+

3 1

3 1

31

93

9 61

,

,

,

773. а) 0,14 � 0,1 � 0,1 � 0,1 � 0,1 � 0,0001; б) 0,033 � 0,03 � 0,03 � 0,03 � 0,000027; в) 0,5042 � 0,504 � 0,504 � 0,254016;

×

+

0 504

0 504

2016

2520

0 254016

,

,

,

г) 0,045 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,0000001024;

×

+

0 000064

0 0016

384

64

0 0000001024

,

,

,

1 3 2774. а) 1,152 – 0,122 � 1,15 � 1,15 – 0,12 � 0,12 � 1,3081;

1) ×

+

1 15

1 15

575

115

115

1 3225

,

,

,

2) ×

+

0 12

0 12

24

12

0 0144

,

,

,

3) −

1 3225

0 0144

1 3081

,

,

,

(1,15 – 0,12)2 � 1,0609;

1) −

1 15

0 12

1 03

,

,

,

2) 1,032 � 1,03 � 1,03 � 1,0609; ×

+

1 03

1 03

309

103

1 0609

,

,

,

(1,15 – 0,12) � (1,5 + 0,12) � 1,3081;

472 ����������2002–2011 гг.

1) −

1 15

0 12

1 03

,

,

,

2) +1 15

0 12

1 27

,

,

,

3) ×

+

1 27

1 03

381

127

1 3081

,

,

,

Значение первого и третьего выражений равны. б) (7,6 – 0,54)2 � 49,8436; 1)

−7 60

0 54

7 06

,

,

,

2) 7,062 � 7,06 � 7,06 � 49,8436; ×

+

7 06

7 06

4236

4942

49 8436

,

,

,

7,62 – 2 � 7,6 � 0,54 + 0,542 � 49,8436; 1) ×

+

7 6

7 6

456

532

57 76

,

,

,

2) ×

+

0 54

0 54

216

216

0 2916

,

,

,

3) 2 � 7,6 � 15,2;

4) ×

+

15 2

0 54

608

760

8 208

,

,

,

5) −

57 760

8 208

49 552

,

,

,

6) +

49 5520

0 2916

49 8436

,

,

,

Значения первого и второго выражений равны. (7,6 – 0,54) � (7,6 + 0,54) � 57,4684; 1)

−7 60

0 54

7 06

,

,

,

2) +7 60

0 54

8 14

,

,

,

3) ×

+

8 14

7 06

4884

5698

57 4684

,

,

,

775. а) При а � 1,4; b � 0,7 a2 + b2 � 1,42 + 0,72 � 2,45; 1)

×

+

14

14

56

14

1 96,

2) 0,72 � 0,7 � 0,7 � 0,49; 3) +

1 96

0 49

2 45

,

,

,

473��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

б) При а � 1,4; b � 0,7 (a + b)2 � (1,4 + 0,7)2 � 2,12� 4,41;

×

+

2 1

2 121

424 41

,

,

, в) При а � 1,4; b � 0,7 a2 + 2ab + b2 � 1,42 + 2 � 1,4 � 0,7 + 0,72 � 1,96 +

+ 1,4 � 1,4 + 0,49 � 1,96 + 1,96 + 0,49 � 4,41;

+1 96

1 96

0 494 41

,

,

,,

г) При а � 1,4; b � 0,7 a2 – 2ab + b2 � 1,42 – 2 � 1,4 � 0,7 + 0,72 � 1,96 – – 1,96 + 0,49 � 0,49.

Равны значения выражений б) и в).776. а) При а � 23,2: b � 4,2 a2 – b2 � 23,22 – 4,22 � 520,6; 1)

×

+

23 2

23 2

464

696

464

538 24

,

,

,

2) ×

+

4 2

4 2

84

168

17 64

,

,

,

3) −538 24

17 64

520 60

,

,

,

б) При а � 23,2: b � 4,2 (a – b)2 � (23,2 – 4,2)2 � 192 � 361; ×

+

19

19171

19361

в) При а � 23,2: b � 4,2 a2 – 2ab + b2 � 23,22 – 2 � 23,2 � 4,2 + 4,22 � ��528,24 – 46,4 � 4,2 + 17,64 � 361;

1) ×

+

46 4

4 2

928

1856

194 88

,

,

,

2) −

538 24

194 88

343 36

,

,

,

3) +

343 36

17 64

361 00

,

,

,

г) При а � 23,2: b � 4,2 a2 + 2ab + b2 � 23,22 + 2 � 23,2 � 4,2 + 4,22 � ��538,24 + 194,88 + 17,64 � 750,76;

+538 24

194 88

17 64

750 76

,

,

,

, Равны значения выражений б) и в).

474 ����������2002–2011 гг.

777. а) При а � 9,6; b � 2,4 a2 – b2 � 9,62 – 2,42 � 86,4; 1)

×

+

9 6

9 6576

86492 16

,

,

,

2) ×

+

2 4

2 496

485 76

,

,

,

3) −

92 16

5 76

86 40

,

,

,

б) При а � 9,6; b � 2,4 (a – b)2 � (9,6 – 2,4)2 � 7,22 � 51,84;

×

+

7 2

7 2144

50451 84

,

,

, в) При а � 9,6; b � 2,4 (a – b) � (a + b) � (9,6 – 2,4) � (9,6 + 2,4) �

��7,2 � 12 � 86,4;

×

+

7 2

12144

7286 4

,

,

г) При а � 9,6; b � 2,4 (a + b)2 � (9,6 + 2,4)2 � 122 � 144. Равны значения выражений а) и в).778. а) При а � 3,5; b � 0,42 a2 – b2 � 3,52 – 0,422 � 12,0736; 1)

×

+

3 5

3 5175

10512 25

,

,

,

2) ×

+

0 42

0 4284

1680 1764

,

,

,

3) −

12 2500

0 1764

12 0736

,

,

,

б) При а � 3,5; b � 0,42 (a – b)(a + b) � (3,5 – 0,42) � (3,5 + 0,42) � 12,0736; 1)

−3 50

0 42

3 08

,

,

,

2) +3 50

0 42

3 92

,

,

,

3) ×

+

3 92

3 08

3136

1176

12 0736

,

,

,

в) При а � 3,5; b � 0,42 (a + b)2 � (3,5 + 0,42)2 � 3,922 � 15,3664;

×

+

3 92

3 92

784

3528

1176

15 3664

,

,

,

475��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) При а � 3,5; b � 0,42 a2 + 2ab + b2 � 3,52 + 2 � 3,5 � 0,42 + 0,422 � ��12,25 + 7 � 0,42 + 0,1764 � 15,3664;

1) ×

0 42

7

2 94

,

,

2)

+12 2500

2 9400

0 1764

15 3664

,

,

,

,

Равны значения выражений а) и б); в) и г).782. Р � 4 � 24,16 � 96,64 (м); S � 24,162 � 24,16 � 24,16 � 583,7056 (м2).

×

24 16

4

96 64

,

,

×

+

24 16

24 16

14496

2416

9664

4832

583 7056

,

,

,

Ответ: периметр данного квадрата равен 96,64 м; а его площадь — 583,7056 м2.

783. Р � 2 � (2,51 + 0,602) � 6,224 (м); S � 2,51 � 0,602 � 1,51102 (м2).

+

0 602

2 510

3 112

,

,

,

×

3 112

2

6 224

,

,

×

+

2 51

0 602

502

1506

1 51102

,

,

,

Ответ: периметр прямоугольника равен 6,224 м; а его площадь — 1,51102 м2.

784. 4,6 � 42,8 + 5,75 � (42,8 + 25,32) � 588,57 (р.);

1) ×

+

42 8

4 6

2568

1712

196 88

,

,

,

2) +

42 80

25 32

68 12

,

,

,

3) ×

+

68 12

5 75

34060

47684

34060

391 6900

,

,

,

4) +196 88

391 69

588 57

,

,

,

Ответ: необходимо заплатить 588,57 р. за всю ткань.785. а) 0,1 м (так как 0,12 � 0,1 � 0,1 � 0,01); б) 0,2 м (так как 0,22 � 0,2 � 0,2 � 0,04); в) 0,5 м (так как 0,52 � 0,5 � 0,5 � 0,25); г) 0,3 м (так как 0,32 � 0,3 � 0,3 � 0,09).

476 ����������2002–2011 гг.

786. Sпрямоугольника � 13,2 � 9,3 � 122,76 (см2).

×

+

13 2

9 3

396

1188

122 76

,

,

, а) Sквадрата � 13,22 � 13,2 � 13,2 � 174,24 (см2).

×

+

13 2

13 2

264

396

132

174 24

,

,

,

174,24 см2 > 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника. б) Sквадрата � 9,32 � 86,49 (см2).

×

+

9 3

9 3

279

837

86 49

,

,

,

86,49 см2 < 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.787. 1)

×1 25

0 6

0 750 2

,

,

, ( )ì

2) ×

0 75

4

3 00 2

,

, ( )ì

3) ×0 8

0 4

0 32

,

,

, ( )ì2

4) ×

0 32

2

0 64

,

, ( )ì2

5) ×

0 2

0 3

0 06 2

,

,

, ( )ì

6) ×0 06

5

0 30 2

,

, ( )ì

7) 3 + 0,64 + 0,3 � 3,94 (м2); 8) ×

+

1 75

3 5

875

525

6 125 2

,

,

, ( )ì

9) −

6 125

3 940

2 185 2

,

,

, ( )ì

Ответ: площадь оставшегося пластика равна 2,185 м2.788. 1) 10 + 15,5 + 10 � 35,5 (м) — длина; 2) 10 + 4,8 + 10 � 24,8 (м) — ширина; 3) 2 � (35,5 + 24,8) � 120,5 (м);

477��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

+

35 5

24 8

60 3

,

,

,

×

60 3

2

120 6

,

, Ответ: длина забора равна 120,6 м.789. а) 3,2 � 2,5 + 6,04 � 14,04;

×

+

3 2

2 5

160

64

8 00

,

,

,

+

8 00

6 04

14 04

,

,

,

б) 16,7 – 3,5 � 1,08 � 12,92;

×

+

1 08

3 5

540

324

3 780

,

,

,

−16 70

3 78

12 92

,

,

,

в) 12,108 + 6,2 � 5,05 � 43,418;

×

+

5 05

6 2

1010

3030

31 310

,

,

,

+

12 108

31 310

43 418

,

,

,

г) 3 � (12,85 + 10,9) � 71,25;

+12 85

10 90

23 75

,

,

,

×

23 75

3

71 25

,

,790. 3,1 � (x + y) � 3,1 y + 3,1x � 3,1x + 3,1y.791. 0,9 � (m – n) � 0,9m – 0,9n.792. 0,55 � (x + y) � 0,55x + 0,55y � y � 0,55 + x � 0,55.

1010

1010

10

1010

1015,5

4,8

10 + 15,5 + 10

10

+ 4

,8 +

10

478 ����������2002–2011 гг.

794. 1) +13 233

5 680

18 913

,

,

, ; ;Τ

2) −17 80

2 51

15 29

,

,

, ; ;Ρ

3) +

4 541

2 800

7 341

,

,

, ; ;Α

4) −15 708

3 520

12 188

,

,

, ; ;Π

5) +

15 680

4 321

20 001

,

,

, ; ;Ε

6) −16 110

8 223

7 887

,

,

, ; ;Ö

7) +

1 2370

0 0034

1 2404

,

,

, ; ;È

8) −

3 1800

0 0018

3 1782

,

,

, ; .ß

1 2 3 4 5 6 7 8

Т Р А П Е Ц И Я

В трапеции две противолежащие стороны параллельны, а две дру-гие — нет.

Контрольные задания

1. а) 252 — двадцать пять в квадрате; 25 — основание степени; 2 — показатель степени; б) 35 — три в пятой степени; 3 — основание степени; 5 — показатель степени.2. 252 � 25 � 25 � 625;

3 3 3 3 3 3 81 3 2435

9 9

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =� � .

§ 45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число

797. а) −

−

−

12 4

10

5

2 48

24

20

40

40

0

,

,

б) −

−

−

13 08

12

4

3 27

10

8

28

28

0

,

,

в) −

−

−

−

526 4

4

4

131 6

12

12

6

4

24

24

0

,

,

479��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

г) −

−

12 48

12

6

2 08

48

48

0

,

,

д) −

−

−

36 47

35

7

5 21

14

147

70

,

,

е) −

−

32 56

32

8

4 07

56

56

0

,

,

798. а) −

−

15 9

15

15

1 06

90

900

,

,

б) −

−

1 271

124

31

0 041

31

310

,

,

в) −

−

7 35

49

49

0 15

245

2450

,

,

г) −

−

74 88

72

36

2 08

288

288

0

,

,

д) −

−

−

930 62

62

62

15 01

310

31062

620

,

,

е) −

−

59 348

592

74

0 802

148

148

0

,

,

799. а) −

−

−

−

303 66

28

14

21 69

23

1496

84126

1260

,

,

б) −

−

−

−

1265 04

108

36

35 14

185

18050

36144

1440

,

,

в) −

−

59 74

58

29

2 06

174

1740

,

,

г) −

−

−

−

495 12

48

12

41 26

15

12

31

24

72

72

0

,

,

д) −

−

240 72

238

34

7 08

272

272

0

,

,

е) −

−

16 04

16

8

2 005

040

40

0

,

,

480 ����������2002–2011 гг.

800. а) −

−

0 0578

34

34

0 0017

238

238

0

,

,

б) −

−

0 03948

378

42

0 00094

168

168

0

,

,

в) −

−

0 0837

81

27

0 0031

27

27

0

,

,

г) −

−

0 03478

282

94

0 00037

658

658

0

,

,

д) −

−

−

0 52974

486

81

0 00654

437

405

324

324

0

,

,

е) −

0 095

95

19

0 005

0

,

,

801. а) −

−

0 087

75

15

0 0058

120

120

0

,

,

б) −

−

0 000135

10

5

0 000027

35

35

0

,

,

в) −

−

0 1062

90

18

0 0059

162

162

0

,

,

г) −

−

0 001824

160

32

0 000057

224

224

0

,

,

д) −

−

0 152

144

16

0 0095

80

80

0

,

,

е) −

0 72

72

24

0 03

0

,

,

481��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

802.

Ответ: 2a; a + b; 2b.803.

Ответ: b > a.804. 1) (4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4) : 8 � 25 : 8 � 3,125 � 3;

−

−

−

−

25

24

8

3 125

10

820

1640

400

,

,

2) (4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4) : 8 � 28 : 8 � 3,5 � 4;

−

−

28

24

8

3 5

40

40

0

,

,

Ответ: Незнайка за первую четверть может получить тройку по математике, но если исправит все двойки на тройки, то получит четыре.

805. Пончику нужно получить пять пятерок, тогда окончательная его отметка будет:

(2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) : 9 � 36 : 9 � 4.806. 1) 3,5 мин � 3,5 � 60 с � 210 с.

−

−

−

−

−

1000

840

210

4 7619

1600

1470

1300

1260

400

210

1900

1

,

, ... ( );ì/ñ

8890

10...

4,7619… � 4,762 (м/с).

Ответ: искомая скорость равна 4,762 м/с.

a b 2a 2b0

a + b

a0 a + b

482 ����������2002–2011 гг.

2) 14,5 мин � 14,5 � 60 с � 870 с;

×

14 5

60

870 0

,

, ( )ñ

−

−

−

−

−

5000

4350

870

5 7471

6500

6090

4100

3480

6200

6090

110

,

, ... ( )ì/ñ

00

870

230...

Ответ: искомая скорость равна 5,747 м/с. 3) 34,5 – (3,5 + 14,5) � 34,5 – 18 � 16,5 (мин); 16,5 мин � 16,5 � 60 с � 990 с; 10 000 – (1000 + 5000) � 4000 (м);

×16 5

60

990 0

,

, ( )ñ

−

−

−

4000

3960

990

4 0404

4000

3960

4000

3960

40

,

, ... ( )

...

ì/ñ

4,0404… � 4,040 (м,с).

Ответ: искомая скорость равна 4,040 м/с. 4) (4,762 + 5,747 + 0,040( : 3 � 4,850 (м,с);

+4 762

5 747

4 040

14 549

,

,

,

,

−

−

−

−

−

14 549

12

3

4 8496

25

24

14

12

29

27

20

18

20

,

, ...

...

4,8496… � 4,850.

Ответ: 4,850 м/с.

483��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

5) 34,5 мин � 34,5 � 60 с � 2070 с;

×34 5

60

2070 0

,

, ( )ñ

−

≈

−

−

−

10000

8280

2070

4 8309 4 831

17200

16560

6400

6210

19

,

, ... , ( )ì/ñ

0000

18630

370...

Ответ: искомая скорость равна 4,831 м/с.

807. 1) −

22 57

12 36

10 21

,

,

,

−

−

−

10 21

10

2

5 105

2

2

10

10

0

,

,

+12 360

5 105

17 465

,

,

,

Итак, С(17,465). 2) (12,36 + 22,57) : 2 � 17,465;

+12 36

22 57

34 93

,

,

,

−

−

−

−

−

34 93

2

2

17 465

14

14

9

8

13

12

10

10

0

,

,

Результаты, полученные в 1) и 2) случае одинаковые.808.

Точка K — середина отрезка MN. Найдем координату точки K.

0

O M K N

77,36 122,64

484 ����������2002–2011 гг.

−122 64

77 36

45 28

,

,

,

−

−

−

−

45 28

4

2

22 64

5

4

12

12

8

8

0

,

,

+77 36

22 64

100 00

,

,

,

Итак, K(100). Найдем среднее арифметическое координат всех точек, то есть то-

чек M и N. (77,36 + 122,64) : 2 � 200 : 2 � 100. Вывод: среднее арифметическое координат концов отрезка есть ко-

ордината середины отрезка.809. Пусть A(a), B(b), C(c), тогда: c � (a + b) : 2.810. а) 1,53x + 0,47x � 15; (1,53 + 0,47)x � 15; 2x � 15; x � 15 : 2; x � 7,5; б) 3,28x + 4,72x � 17; (3,28 + 4,72)x � 17; 8x � 17; x � 17 : 8; x � 2,125;

−

−

−

−

17

16

8

2 125

10

8

20

16

40

40

0

,

,

в) 84,6x – 44,6x � 35; (84,6 – 44,6)x � 35; 40x � 35; x � 35 : 40;

485��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

x � 0,875;

−

−

−

35 0

320

40

0 875

300

280

200

200

0

,

,

г) 39,49x + 10,51x � 18; (39,49 + 10,51)x � 18; 50x � 18; x � 18 : 50; x � 0,36;

−

−

18 0

150

50

0 36

300

300

0

,

,

811. а) 6,5x – 2,5x � 19; (6,5 – 2,5)x � 19; 4x � 19; x � 19 : 4; x � 4,75;

−

−

−

19

16

4

4 75

30

28

20

20

0

,

,

б) 4,58x + 2,42x � 7,14; (4,58 + 2,42)x � 7,14; 7x � 7,14; x � 7,14 : 7; x � 1,02;

−

−

7 14

7

7

1 02

14

14

0

,

,

486 ����������2002–2011 гг.

в) 7,14x + 17,86x � 38; (7,14 + 17,86)x � 38; 25x � 38; x � 38 : 25; x � 1,52;

−

−

−

38

25

25

1 52

130

125

50

50

0

,

,

г) 199,29x – 119,29x � 72; (199,29 – 119,29)x � 72; 80x � 72; x � 72 : 80; x � 0,9;

−72 0

720

80

0 9

0

,

,

812. а) 1,9x + 3,34x – 2,24x � 30,66; (1,9 + 3,34 + 2,24)x � 30,66; 3x � 30,66; x � 30,66 : 3; x � 10,22;

−

−

−

30 66

3

3

10 22

6

6

6

6

0

,

,

б) 96,41x – 88,24x + 1,83x � 0,0202; (96,41 – 88,24 + 1,83)x � 0,0202; 10x � 0,0202; x � 0,0202 : 10; x � 0,00202;

−96 41

88 24

8 17

,

,

,

+

8 17

1 83

10 00

,

,

,

487��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

в) 4,25x + 56,402x – 4,652x � 58,912; (4,25 + 56,402 – 4,652)x � 58,912; 56x � 58,912; x � 58,912 : 56; x � 1,052;

+54 402

4 250

60 652

,

,

,

−

60 652

4 652

56 000

,

,

,

−

−

−

58 912

56

56

1 052

291

280

112

112

0

,

,

г) 5,45x – 4,568x – 0,882x � 0; (5,45 – 4,568 – 0,882)x � 0; 1x � 0; x � 0;

−5 450

4 568

1 882

,

,

,

−

1 882

0 882

1 000

,

,

,

813. а) 34,98x – 33,98x + 24x � 87,29; (34,98 – 33,98 + 24)x � 87,29; 25x � 87,29; x � 87,29 : 25; x � 3,4916;

−

−

−

−

−

87 29

75

25

3 4916

122

100

229

225

40

25

150

150

0

,

,

б) 56,289x + 45,07x – 100,359x � 52,15; (56,289 + 45,07 – 100,359)x � 52,15; 1x � 52,15; x � 52,15;

488 ����������2002–2011 гг.

+

56 298

45 070

101 359

,

,

,

−

101 359

100 359

1 000

,

,

,

в) 25,5x – 13,08x – 12,42x � 52,907; (25,5 – 13,08 – 12,42)x � 52,907; 0 � x � 52,907;

−

25 50

13 08

12 42

,

,

,

12,42 – 12,42 � 0.

Уравнение не имеет решения, так как если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0.

г) 186,37x – 95,327x – 52,043x � 12,48; (186,37 – 95,327 – 52,043)x � 12,48; 39x � 12,48; x � 12,48 : 39; x � 0,32;

−186 370

95 327

91 043

,

,

,

−

91 043

52 043

39 000

,

,

,

−

−

12 48

117

39

0 32

78

78

0

,

,

814. (10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 13 + 13 + 13 + + 14 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 10 + 10 + 9) : 24 � (70 + 36 +33 + 24 + + 16 + 52 + 28) : 24 � (103 + 60 + 80 + 16) : 24 � 259 : 24 � 10,791666… ��� 10,8�.

Ответ: среднесуточная температура �10,8�.815. а) 270,48 : 14 – (15,45 : 15 + 54,252 : 9) � 12,262;

1) −

−

15 45

15

15

1 03

45

45

0

,

,

2) −

−

−

54 252

54

9

6 028

25

18

72

72

0

,

,

3) +

6 028

1 030

7 058

,

,

,

489��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

4) −

−

−

−

270 48

14

14

19 32

130

126

44

42

28

28

0

,

,

5) −19 320

7 058

12 262

,

,

,

б) 270,14 : 14 – 15,45 : 15 + 54,252 : 9 � 19,32 – 1,03 + 6,028 � ��24,318;

−

19 32

1 03

18 29

,

,

,

+18 290

6 028

24 318

,

,

, в) 270,48 : 14 – 15,45 : 15 – 54,252 : 9 � 19,32 – 1,03 – 6,028 �

��12,262;

−19 32

1 03

18 29

,

,

,

−18 290

6 028

12 262

,

,

, г) 54,252 : 9 + 270,48 : 14 – 15,45 : 15 � 6,028 + 19,32 – 1,03 �

��24,318;

+6 028

19 340

25 348

,

,

,

−

25 348

1 030

24 318

,

,

,

816. а) 0,3 � (23,316 : 5,8 + 0,5175 : 0,75) – 1,413 � 0; 1) 23,316 : 5,8 � 233,16 : 58 � 4,02;

−

−

233 16

232

58

4 02

116

116

0

,

,

2) 0,5175 : 0,75 � 51,75 : 75 � 0,69;

−

−

51 75

450

75

0 69

675

675

0

,

,

490 ����������2002–2011 гг.

3) +

4 02

0 69

4 71

,

,

,

4) ×

4 71

0 3

1 413

,

,

,

5) 1,413 – 1,413 � 0;

б) 0,3 � 23,316 : 5,8 – 0,5175 : 0,75 0 1,413 � 0,3 � 4,02 + 0,69 – 1,412 ��� 0,482;

×

4 02

0 3

1 206

,

,

,

+

1 206

0 690

1 896

,

,

,

−1 896

1 413

0 483

,

,

, в) 0,3 � 23,316 : 5,8 + 0,3 � 0,5175 : 0,75 – 1,413 � 1,206 + 0,3 � 0,69 –

– 1,413 � 0;

×0 69

0 3

0 207

,

,

,

+

1 206

0 207

1 413

,

,

,

1,413 – 1,413 � 0;

г) 23,316 : 5,8 + 0,3 � 0,5175 : 0,75 – 1,413 � 4,02 + 0,207 – 1,413 � ��2,814;

+

4 020

0 207

4 227

,

,

,

−

4 227

1 413

2 814

,

,

,

817. 1) −≈

−

−

442 0

436

109

4 0550 4 1

600

545

550

545

50

,

, ... , ( )

...

ì — высота 1 этажа Чикагского

небоскреба;

2) −

≈

−

−

−

−

412 0

330

110

3 7454 3 7

820

770

500

440

600

550

500

440

60

,

, ... , ( )ì

....

— высота 1 этажа Нью-Йоркского небоскреба.

Ответ: высота одного этажа Чикагского небоскреба больше, чем у Нью-Йоркского.

491��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

818. −

−

269 1

234

117

2 3

351

351

0

,

, ( )ì

Ответ: длина окружности колеса автомобиля равна 2,3 м.819. а) (28,7 – 23,4) : 2 � 2,65 (км/ч).

−28 7

23 4

5 3

,

,

,

−

−

−

5 3

4

2

2 65

13

12

10

10

0

,

,

Ответ: скорость течения реки равна 2,65 км/ч. б) 1) (23,1 – 18,8) : 2 � 2,15 (км/ч) — скорость течения реки.

−23 1

18 8

4 3

,

,

,

−

−

−

4 3

4

2

2 15

3

2

10

10

0

,

,

2) +18 80

2 15

20 95

,

,

, ( )êì/÷

Ответ: собственная скорость теплохода равна 20,95 км/ч.820. Нужно рассмотреть случаи движения по течению реки и против те-

чения реки.821. 1)

+112 0

96 5

208 5

,

,

,

(км) — общий путь;

2) +

=

3 20

2 60

5 60 6

÷ ìèí

÷ ìèí

÷ ìèí ÷

— общее время;

492 ����������2002–2011 гг.

3) −

−

−

−

208 5

18

6

34 75

28

24

45

42

30

30

0

,

, ( )êì/÷

Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути равна 34,75 км/ч.822. 1) s : v (ч); 2) (s – 20) (км); 3) (v – 12) км/ч; 4) (s – 20) : (v – 12) (ч); 5) s : v – (s – 20) : (v – 12) (ч); 6) s : v + (s – 20) : (v – 12) (ч); 7) s + (s – 20) � 2s – 20 (км); 8) (2s – 20) : (s : v – (s – 20) : (v – 12)) (км/ч).

Контрольные задания

1. а) −

−

−

18 96

12

12

1 58

69

60

96

96

0

,

,

б) −

−

−

20 7

18

6

3 45

27

24

30

30

0

,

,

2. (54,8 + 152,07 + 80,53) : 3 � 95,8;

+152 07

54 80

80 53

287 40

,

,

,

,

−

−

−

287 4

27

3

95 8

17

15

24

24

0

,

,

493��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

§ 46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь

823. 1) 1,5 : 0,3 � 15 : 3 � 5; 4) 9 : 4,5 � 90 : 45 � 2; 2) 4,2 : 0,06 � 420 : 6 � 70; 5) 0,072 : 0,1 � 0,72 : 1 � 0,72; 3) 0,35 : 0,5 � 35 : 50 � 0,7; 6) 1,634 : 0,0001 � 16 340 : 1 � 16 340.824. а) 6 : 0,8 � 60 : 8 � 7,5; б) 160 : 0,016 � 160 000 : 16 � 10 000;

−

−

60 0

56

8

7 5

40

40

0

,

,

в) 32 : 1,28 � 3200 : 128 � 25; г) 24 : 6,25 � 2400 : 625 � 3,84;

−

−

3200

256

128

25

640

640

0

−

−

−

2400

1874

625

3 84

5250

5000

2500

2500

0

,

,

825. а) 1 : 0,5 � 10 : 5 � 2; б) 19 : 0,0608 � 190 000 : 608 � 312,5;

−

−

−

−

190000

1824

608

312 5

760

608

1520

1216

3040

3040

0

,

в) 4 : 0,025 � 4000 : 25 � 160;

−

−

4000

25

25

160

150

150

0

494 ����������2002–2011 гг.

г) 8,932 : 2,9 � 89,32 : 29 � 3,08;

−

−

89 32

87

29

3 08

232

232

0

,

,

826. а) 9 : 0,36 � 900 : 36 � 25;

−

−

900

72

36

25

180

180

0

,

б) 89 : 0,02848 � 8 900 000 : 2848 � 3125;

−

−

−

−

8900000

8544

2848

3125

3560

2848

7120

5696

14240

14240

0

в) 34 : 0,085 � 3400 : 85 � 40;

−3400

340

85

40

0

г) 225 : 0,625 � 225 000 : 625 � 360;

−

−

225000

1875

625

360

3750

3750

0

827. а) 0,75 : 0,15 � 75 : 15 � 5; б) 1,836 : 0,204 � 1836 : 204 � 9;

495��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

−1836

1836

204

9

0

в) 7,05 : 1,5 � 70,5 : 15 � 4,7;

−

−

70 5

60

15

4 7

105

105

0

,

,

г) 12,4 : 0,031 � 12 400 : 31 � 400;

−12400

124

31

400

0

828. а) 0,2091 : 4,1 � 2,091 : 41 � 0,051;

−

−

2 091

205

41

0 051

41

41

0

,

,

б) 519,536 : 15,2 � 5195,36 : 152 � 34,18;

−

−

−

−

5196 36

456

152

34 18

635

608

273

152

1216

1216

0

,

,

496 ����������2002–2011 гг.

в) 3,5 : 0,4 � 35 : 4 � 8,75;

−

−

−

35 0

32

4

8 75

30

28

20

20

0

,

,

г) 3,76 : 0,4 � 37,6 : 4 � 9,4;

−

−

37 6

36

4

9 4

16

16

0

,

,

829. а) −

−

1680

1600

400

0 42

800

800

0

,

б) −

−

−

−

7230 0

5000

5000

1 446

22300

20000

23000

20000

30000

30000

0

,

,

в) 16,92 : 4,23 � 1692 : 423 � 4;

−1692

1692

423

4

0

г) −

−

6448 0

64000

8000

0 806

48000

48000

0

,

,

497��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

830. а) −

−

−

17 5

14

14

1 25

35

28

70

70

0

,

,

б) −259

259

37

7

0

в) −

−

8610

728

246

35

1130

1130

0

г) −

−

1840 0

1472

736

2 5

3680

3680

0

,

,

836. а) −

≈

−

−

42 25

39

13

3 25 3

32

26

65

65

0

,

,

−

≈

−

−

825 6

64

32

25 8 26

185

160

256

256

0

,

,

69,02 : 3,4 � 690,2 : 34 � 20,3;

−≈

−

690 2

68

34

20 3 20

102

102

0

,

,

б) −

≈

−

−

900 0

837

93

9 76 9 7

630

558

720

651

69

,

, ... ,

...

−

≈

−

60 48

60

12

5 04 5

48

48

0

,

,

−

≈

−

−

21 45

21

3

7 15 7 2

4

3

15

15

0

,

, ,

в) −

≈

−

−

1 05

96

12

0 0875 0 09

90

84

60

60

0

,

, ,

−

≈

−

−

34 53

30

15

2 302 2 30

45

45

30

30

0

,

, ,

498 ����������2002–2011 гг.

−≈

−

−

−

106500

8580

2145

49 650 49 65

20700

1930513950

1287010800

, ... ,

110800750...

г) −

≈

−

−

−

48 156

45

15

3 2104 3 210

31

30

15

15

60

60

0

,

, ,

−

≈

−

−

−

−

1066 56

825

275

3 8784 3 878

2415

2200

2156

1925

2310

2200

1100

,

, ,

11100

0

−≈

−

−

−

61 25075

50

25

2 45003 2 450

112

100

125

125

075

75

0

,

, ,

837. а) Да; б) нет; в) да; г) да.838. 2,5 км � 2,5 � 1000 м � 2500 м;

−≈

−

25000 0

23331

3333

7 50 7 5

16690

16665

250

,

, ... , ( )

...

ñ

Ответ: взрыв будет услышан через 7,5 с.

499��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

829. 100 : 0,29 � 10 000 : 29 � 344,8 (м).

−≈

−

−

−

−

10000

87

29

344 82 344 8

130

116

140

116

240

232

80

58

22

, ... ,

... Ответ: в мотке �344,8 м нити.840. 44,46 кг � 44,46 � 1000 г � 44 460 г.

−

−

−

444600

2925

2925

152

15210

14625

5850

5850

0

(ì)

Ответ: в мотке 152 м проволоки.841.

−1200

120

24

50

0

( )ñò.

50 + 1 � 51 (ст.) (1 крайний столб).

Ответ: был установлен 51 столб.842. 1) (30 + 37,5) � 2 � 67,5 � 2 � 135,0 (м) — длина изгороди;

2) −

−

1350

125

25

54

100

100

0

( .)ñò

3) 54 + 1 � 55 (ст.). Ответ: для изгороди понадобится 55 столбов.843. 1) 2,6x � 1307,8; 2) x � 7,08 � 84,96; x � 1307,8 : 2,6; x � 84,96 : 7,08; x � 503; x � 12;

500 ����������2002–2011 гг.

−

−

13078

130

26

503

78

78

0

−

−

8496

708

708

12

1416

1416

0

3) 512x � 5,12; x � 5,12 : 512; x � 512 : 51 200; x � 0,01.

Действительно, 512 � 0,01 � 5,12.

4) x � 23,5 � 143,35; 5) 5,3x � 4,24;

x � 143,35 : 23,5; x � 4,24 : 5,3;

x � 6,1; x � 0,8;

−

−

1433 5

1410

235

6 1

235

235

0

,

,

−

42 4

424

53

0 8

0

,

,

6) 0,342x � 0,342; x � 0,342 : 0,342; x � 1.

Действительно, 0,342 � 1 � 0,342.

7) 2,31x � 0,1617; 8) x � 3 � 3,0468;

x � 0,1617 : 2,31; x � 3,0468 : 3,4;

x � 0,07; x � 1,002;

−16 17

1617

231

0 07

0

,

,

−

−

34 068

34

34

1 002

068

68

0

,

,

8) 28x � 0,028; x � 0,028 : 28; x � 0,001.

Действительно, 28 � 0,001 � 0,028.

844. б) 0,3 � (28,56 + 1,5) – 0,512 � 8,506;

1) +

28 56

1 50

30 06

,

,

,

2) ×

30 06

0 3

9 018

,

,

,

3) −

9 018

0 512

8 506

,

,

,

в) 0,3 � 28,56 + 0,3 � 1,5 – 0,512 � 8,506;

1) ×

28 56

0 3

8 568

,

,

,

2) ×

1 5

0 3

0 45

,

,

,

3) +

8 568

0 450

9 018

,

,

,

4) −

9 018

0 512

8 506

,

,

,

501��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

845. а) 0,51 + 0,8 � (5 : 4 + 38 : 1,9 + 91,2 : 15,2) � 22,31;

1) −

−

−

5 0

4

4

1 25

10

8

20

20

0

,

,

2) 380 : 19 � 20; 3) −

912

912

152

6

0

4)

+1 25

20 00

6 00

27 25

,

,

,

,

5) ×

27 25

0 8

21 800

,

,

,

6) +

21 80

0 51

22 31

,

,

,

в) 0,51 + 0,8 � 5 : 4 + 0,8 � 38 : 1,9 + 0,8 � 91,2 : 15,2 � 22,31;

1) ×1 25

0 8

1 000

,

,

,

2) ×0 8

20

16 0

,

,

3) 0,8 � 6 � 4,8; 4)

+

0 51

1 00

16 00

4 80

22 31

,

,

,

,

,

846. а) (x + 25.32) р.; 4,6х р.; 5,75 � (х + 25,32) (р.); 4,6x + 5,75 � (x + 25,32) (р.); 5,75(x + 25,32) – 4,6x (р.); б) 4,6x + 5,75(x + 25,32) � 588,57; 4,6x + 5,75x + 145,59 � 588,57; 10,35x � 588,57 – 145,59; 10,35x � 442,98; x � 442,98 : 10,35; x � 42,8; 5,75(x + 25,32) – 4,6x � 104,81; 5,75x + 145,59 – 4,6x � 194,81; 1,15x � 194,81 – 145,59; 1,15x � 49,22; x � 49,22 : 1,15; x � 42,8. Найдена цена ситца за 1 м.

502 ����������2002–2011 гг.

847. 1) −

≈

−

−

−

−

26 03103

24

3

8 67701 8 68

20

18

23

21

21

21

03

3

0

,

, ,

2) −

≈

−

−

−

8 62222

8

4

2 155 2 16

6

4

22

20

22

20

2

,

, ... ,

...

3) −≈

−

−

−

−

9 27

8

4

2 3175 2 32

12

12

7

4

30

28

20

20

0

,

, ,

4) −

≈

−

−

−

−

1103 13

105

15

73 542 73 54

53

45

81

75

63

60

30

30

0

,

, ,

848. 1) −

≈

−

−

−

428 402

416

52

8 238 8 24

124

104

200

156

442

442

26

,

, ... ,

...

2) −

≈

−

−

−

−

171 376

16

8

21 422 21 42

11

8

33

32

17

16

16

16

0

,

, ,

503��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

3) −≈

−

−

60 01

5

5

12 002 12 00

10

10

010

10

0

,

, , 4)

−≈

−

−

−

199 95

175

25

7 998 8 00

249

225

245

225

200

200

0

,

, ,

849. а) При а � 3; b � 0,1 a3 + b3 � 33 + 0,23 � 27 + 0,008 � 27,008; б) при а � 3; b � 0,2 (a + b)3 � (3 + 0,2)3 � 3,23 � 3,2 � 3,2 � 3,2 � 32,768; в) при а � 3; b � 0,2 (a + b)(a2 – ab + b2) � (3 + 0,2) � (32 – 3 � 0,2 + 0,22) �

��3,2 � 8,44 � 27,008; г) при а � 3; b � 0,2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 � 33 + 3 � 32 � 0,2 + 3 � 3 � 0,22 +

+ 0,23 � 27 + 0,36 + 0,008 � 32,768. Итак, при данных значениях переменных а и b равны значения вы-

ражений а) и в); б) и г), то есть a3 + b3 � (a + b)(a2 – ab + b2); (a + b)3 � ��a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

850. а) 1,5x + 3x + 3 � 0,83 � 4,5x + 2,49; б) 7,1 + 17 – 5x � 24,1 – 5x; в) 1,2y + 6 – 1,7 � 1,2y + 4,3; г) 3x + 2,5x – 15 � 5,5x – 15.851. а) y + 7y – 21,7 � 8y – 21,7; б) 1,1x + 2,6x _ 5,2 � 3,7x – 5,2; в) x + 4,5x + 9x + 46,8 � 14,5x + 46,8; г) 7,1x + 1,42 + 1,8 � 7,1x + 3,22.852. а) 3x (р.); (х – 0,85) р.; 4(х – 0,85) р.; 3х + 4(х – 0,85) (р.); 3х – 4(х �

��0,85) (р.); 30 – (3х – 4(х – 0,85)) (р.); б) 3x + 4(x – 0,85) � 23,9; 3x + 4x – 3,4 � 23,9; 7x � 23,9 + 3,4; 7x � 27,2; x � 27,3 : 7; x � 3,9. Найдена цена ручки — 3,9 р.853. Цена тетради — х р., а книги — (х + 7) р. Дальше задание можно выполнить также, как в № 852.

854. а) 28 4 2 5 1 34

1 089 1 5 6 3 0 28

71 1 34

0 72 22 5

69 66

23 2

, , ,

, : , , : ,

,

, ,

,

,

⋅ −+

=−+

=22

3= ;

б) 0 72 0 104 0 112 0 5

0 063 1 26 0 13

0 616 0 056

0 05 1 4

0, , , ,

, : , ,

, ,

, ,

,− − ⋅⋅

=−

⋅=

556

0 078

,;=

в) ( , , ) : ( , , )

, : ,

: ,

, ,

, :2 1 1 965 0 12 0 45

0 0325 0 13

1 0 25

0 16 6 25

0 135 0− ⋅−

⋅=

,,

,

054

0 25

4

1− =

504 ����������2002–2011 гг.

= − = − =2 5

0 254 10 4 6

,

,;

г) ( , , ) ( , , )

( , , ) : ( , , )

,

,

, ,4 3 2 8 4 3 2 8

3 6 0 63 4 61 7 27

4 488

0 12

7 1 1+ ⋅ −− +

+ =⋅ 55

2 97 11 8837 4

, : ,,+ =

= + = + =10 65

0 2537 4 42 6 37 4 80

,

,, , , .

855. 1) −

−

−

5775

35

35

165

227

210

175

175

0

(р.) — стоит 1 м ткани;

2) ×

+

20 25

165

10125

12150

2025

3341 25

,

, (ð.)

Ответ: стоимость ткани равна 3341,25 р.

856. 1) ×

+

24

2 2

48

48

52 8

,

, ( )ì

— расстояние;

2) −

−

52 8

48

16

3 3

48

48

0

,

, ( )ì

Ответ: длина окружности заднего колеса равна 3,3 м.857. а) 1)

−8 1

0 4

3 24

,

,

,

2) ×

+

4 47

2 12

894

447

894

9 4764

,

,

, — новое произведение; 3)

−9 4764

4 4700

5 0064

,

,

, Ответ: новое произведение больше первоначального на 5,0064.

505��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

858. 1) 5,1 � 2 � 10,2 (раза); 2) ×

+

28 1

10 2

562

281

286 62 2

,

,

, ( )ì Ответ: искомая площадь равна 286,62 м2.859. 1)

−

−

−

15 0

12

12

1 25

30

24

60

60

0

,

, ( )ðàç

2) ×

+

1 25

26

750

250

32 50

,

,

(р.) — стоимость карамели;

3) +

32 5

26 0

58 5

,

,

, ( .)ð Ответ: было куплено конфет на общую сумму 58,5 р.860. а)

−

−

72 0

45

45

1 6

270

270

0

,

,

Частное увеличится в 1,6 раза;

б) частное не изменится; в) частное не изменится; г) 2,5 � 0,5 � 1,25 (раза); частное уменьшится в 1,25 раза.861. 1)

−135

81

54

2)

−

−

540

45

15

36

90

90

0

— один из множителей;

3) −

−

−

81 0

72

36

2 25

90

72180

1800

,

,

— второй множитель.

Ответ: искомые числа равны 36 и 2,25.

506 ����������2002–2011 гг.

862. а) 0,25 + 0,3 � 0,55; б) 1,68 – 0,5 � 1,18; в) 0,2 + 8,09 � 8,29; г) 0,75 – 0,098 � 0,652.

−

−

1 0

8

4

0 25

20

20

0

,

,

−1 0

10

5

0 2

0

,

,

−1 0

10

2

0 5

0

,

,

−

−

3 0

28

4

0 75

20

20

0

,

,

Контрольные задания

а) −

−

288 36

288

36

8 01

36

36

0

,

,

б) −

−

39 22

370

74

0 53

222

222

0

,

,

§ 47. Понятие процента

864. 100 % — все высаженные овощи; 8 % � 3 � 24 % — занято помидорами; 100 % – (6 % + 24 %) � 68 % — занято картофелем.865. 100 % — воздух; 75,5 % – 52,4 % � 23,1 % — приходится на кислород; 100 % – (75,5 % + 23б1 %) � 1,4 % — приходится на остальные

газы.866. 100 % — все книги библиотеки; 36 % : 3 � 12 % — справочники и словари; 100 % – (36 % + 12 %) � 51 % — художественная литература.

867. Сотая часть числа 1 %

Десятая часть числа 10 %

Пятая часть числа 20 %

Четвертая часть числа100

425

%%=

Половина числа 50 %

Три четверти числа 3 � 25 % � 75 %

Треть числа100

333

%%≈

868. На остальных насекомых приходится 50 % коллекции.

507��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

869. 100 % – 10 % � 90 %. Ответ: на остальные монеты приходится 90 % коллекции.870. 100 % – 25 % � 75 %. Ответ: на отечественную литературу приходится 75 % библиотеч-

ного фонда.

Контрольные задания

1 % — это сотая часть величины.

§ 48. Задачи на проценты

874. 1) 180 : 6 � 30 (марок) — величина 1 %; 2) 30 � 100 � 3000 (марок). Ответ: в коллекции филателиста 3000 марок.875. 1) 750 : 100 � 7,5 (уч.) — величина 1 %; 2) 7,6 � 6 � 45 (уч.). Ответ: шахматный кружок посещают 45 учеников.876. 1) 18 : 3 � 6 (уч.) — величина 1 %; 2) 6 � 100 � 600 (уч.). Ответ: в школе 600 учеников.877. 1) 150 : 100 � 1,5 (дер.) — величина 1 %; 2) 1,5 � 8 � 12 (лип). Ответ: в парке 12 лип.878. 1) 131,1 : 23 � 5,7 (м) — величина 1 %; 2) 5,7 � 100 � 570 (м). Ответ: бригада должна отремонтировать 570 м дороги.879. 1) 1500 : 100 � 15 (монет) — величина 1 %; 2) 15 � 21 � 315 (монет) — старинные; 3) 15 � 2 � 30 (монет) — иностранные; 4) 15 � 5 � 75 (монет) — юбилейные. Ответ: в коллекции 315 старинных монет, 30 иностранных и 75

юбилейных.880. 1) 48 : 60 � 0,8 (тыч. р.) — величина 1 %; 2) 0,8 � 100 � 80 (тыч. р.). Ответ: для оборудования кабинета нужно 80 тысяч рублей.881. 1) 1200 : 100 � 12 (марок) — величина 1 %; 2) 12 � 5 � 60 (марок) — старинные; 3) 12 � 18 � 216 (марок) — юбилейные; 4) 12 � 6 � 72 (марки) — иностранные. Ответ: в коллекции 60 старинных марок, 216 юбилейных и 72

иностранные.882. 1) 1260 : 20 � 63 (р.) — величина 1 %; 2) 63 � 100 � 6300 (р.). Ответ: за ремонт кухни было уплачено 6300 р.883. 1) 10 000 : 100 � 100 (м2) — величина 1 %; 2) 100 � 15 � 1500 (м2) — брюссельская капуста;

508 ����������2002–2011 гг.

3) 100 � 24 � 2400 (м2) — капуста кольраби; 4) 100 � 28 � 2800 (м2) — цветная капуста. Ответ: под брюссельскую капусту отведено 1500 м2; под капусту

кольраби — 2400 м2; под цветную — 2800 м2.884. 1) 800 : 10 � 80 (пар) — величина 1 %; 2) 80 � 100 � 8000 (пар). Ответ: на оптовую базу поступило 8000 пар обуви.885. 1) 87 : 75 � 1,16 (га) — величина 1 %; 2) 1,16 � 100 � 116 (га). Ответ: бригада должна убрать урожай с 116 га.886. 1) за 100 % примем путь лыжников за три дня — это 87 км; 2) 87 : 100 � 0,87 (км) — 1 %; 3) 0,87 � 35 � 30,45 (км) — I день; 4) 0,87 � 38 � 33,06 (км) — II день; 5) 87 – (30,45 + 33б06) � 87 – 63,51 � 23,49 (км) — III день.887. 1) весь путь, он неизвестен; 2) 33 : 30 � 1,1 (км) — 1 %; 3) 1,1 � 100 � 110 (км) — весь путь за три дня; 4) 1,1 � 38 � 41,8 (км) — II день; 5) 110 – (33 + 41,8) � 110 – 74,8 � 35,2 (км) — III день.888. 1) выпущенны за месяц 2500 деталей; 2) 2500 : 100 � 2,5 (детали) — 1 %; 3) 25 � 35 � 875 (деталей) — I декада; 4) 25 � 40 � 1000 (деталей) — II декада; 5) 2500 – (875 + 1000) � 2500 – 1875 � 625 (деталей) — III декада.889. 1) выпущенные за месяц детали; неизвестна; 2) 102 : 17 � 8 (деталей) — 1 %; 3) 8 � 100 � 800 (деталей) — за месяц по плану; 4) 8 � 34 � 204 (детали) — II декада; 5) 800 – (102 + 204) � 800 – 306 � 494 (детали) — III декада.890. 1) 382 200 : 100 � 3822 (р.) — 1 %; 2) 3822 � 45 � 171 990 (р.) — материалы; 3) 171 900 � 2 � 343 980 (р.) — стоимость работ и материала; 4) 383 200 – 343,980 � 38 220 (р.) — доставка. Ответ: стоимость материала равна 171 990 р., а доставки — 38 220 р.891. 1) 60 : 15 � 4 (стр.) — 1 %; 2) 4 � 100 � 400 (стр.) — всего в книге; 3) 4 � 25 � 100 (стр.) — II день; 4) 400 – (100 + 60) � 400 – 160 � 240 (стр.) — III день. Ответ: во второй день Оля прочитала 100 страниц книги, а в тре-

тий — 240 страниц.892. 1) 35 : 100 � 0,35 (кг) — 1 %; 2) 0,35 � 14 � 4,9 (кг) — сушеные грибы; 3) 2,8 : 14 � 0,2 (кг) — 1 % для второго случая; 4) 0,1 � 100 � 20 (кг) — свежие грибы. Ответ: из 35 кг свежих грибов можно получить 4,9 кг сушеных;

а чтобы получить 2,8 кг сушеных грибов, нужно взять 20 кг свежих грибов.

509��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������

893. 1) 100 % – 35 % � 65 % — остается вареного мяса; 2) 1 : 65 � 0,01538… � 0,015 (кг) — 1 % для первого случая; 3) 0,015 � 100 � 1,5 (кг) — свежее мясо; 4) 2 : 100 � 0,02 (кг) — 1 % для второго случая; 5) 0,02 � 65 � 1,3 (кг) — вареное мясо. Ответ: нужно взять �1,5 кг свежего мяса, чтобы получить 1 кг ва-

реного; а из 2 кг свежего мяса получится 1,3 кг вареного.

Контрольные задания

1. 5,96 : 100 � 0,0596 — 1%.2. 0,079 � 100 � 7,9 — 100 %.3. 186 : 100 � 34 � 1,86 � 34 – 63,24.4. 53,94 : 62 � 100 � 0,87 � 100 � 87.

§ 49. Микрокалькулятор

894. а) +

215 710

34 527

250 237

,

,

,

б) −

7549 25

6343 77

1205 48

,

,

,

в) ×

+

15 78

30 05

7890

4734

474 1890

,

,

,

г) −

−

382 27

381

127

3 01

127

127

0

,

,

895. а) 395,561; проверка: 395,561 – 54,281 � 341,28. Так как получили второе слагаемое, то сумма найдена правильно. б) 300,652; проверка: 300,652 + 390,4 � 691,052; в) 271,488; проверка: 271,488 : 12,8 � 21,21; г) 322,5; проверка: 322,5 � 18 � 5805.896. а) 0,302; проверка: 0,302 – 0,052 � 0,25; б) 0,0937; проверка: 0,0937 + 0,0088 � 0,1025; в) 28,08; проверка: 28,08 : 0,8 � 35,1; г) 0,1416; проверка: 0,1416 � 2,5 � 0,354.897. 25 � 32; 4,23 � 74,088; 37 � 2187; 5,14 � 676,5201.898. а) 67,111 – 33,048 � 34,063; б) 165,42 + 73,55 � 238,97; в) 166,663 – 102,58 � 64,083; г) 311,5 : 2,8 � 111,25.899. а) 546,31 – 452,8 � 93,51; б) 2,626 + 11,44 � 14,066; в) 74,11 + 85,32 � 159,43; г) 1,8 � 1,3536 � 2,43648.900. �А — ? в 2 раза >, чем �В — ? �С — ? на 20� <, чем

⎫⎬⎪

⎭⎪°180

2

20

xxx

°°− °( )

510 ����������2002–2011 гг.

Решение. 2x + x + x – 20 � 180; 4x � 180 + 20; 4x � 200; x � 50. Итак, �B � 50�, �А � 2 � 50� � 100�; �С � 50� – 20� � 30�. Ответ: �А � 100�; �В � 50�; �С � 30�.901. 1 способ: �ABF � 180� – 158� � 22�; �DBF � 165� – 22� � 143�. 2 способ: �CBD � 180� – 165� � 15�; �DBF � 158� – 15� � 143�. 3 способ: 1) 158� + 165� � 323�; 2) 323� – 180� � 143�. Ответ: �DBF � 143�.902. 1) 6 : 8 � 3 � 0,75 � 3 � 2,25 (сотки) — занято под огурцы; 2) 2,25 : 5 � 2 � 9,45 � 2 � 0,9 (сотки) — занято под огурцы для откры-

того грунта; 3) 2,25 – 0,9 � 1,35 (сотки) — тепличные сорта. Ответ: тепличными сортами занято 1,35 сотки участка.903. Единичный отрезок — 8 клеток.