1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Chi-Square disebut juga dengan Kai Kuadrat. Chi Square adalah salah satu

jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana

skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel

dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus

digunakan uji pada derajat yang terendah).

chi-square merupakan uji non parametris yang paling banyak digunakan.

Namun perlu diketahui syarat-syarat uji ini adalah: frekuensi responden atau

sampel yang digunakan besar, sebab ada beberapa syarat di mana chi square dapat

digunakan yaitu:

1. Tidak ada cell dengan nilai frekuensi kenyataan atau disebut juga Actual

Count (F0) sebesar 0 (Nol).

2. Apabila bentuk tabel kontingensi 2 X 2, maka tidak boleh ada 1 cell saja yang

memiliki frekuensi harapan atau disebut juga expected count (“Fh”) kurang

dari 5.

3. Apabila bentuk tabel lebih dari 2 x 2, misak 2 x 3, maka jumlah cell

dengan frekuensi harapan yang kurang dari 5 tidak boleh lebih dari 20%.

4. Diantara sekian banyak jenis distribusi, distribusi t dan f merupakandistribusi

yang paling luas, kedua tabel t dan f tersebut yang banyak di gunakandalam

berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam datahasil

observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi t dan f. Uji t padadasarnya

menunjukkan seberapa jauh pengaruh satu variabel bebas secaraindividual

dalam menerangkan variasi variabel terikat.Distribusi t dan f memodelkan

fenomena kuantitatif pada ilmu alammaupun ilmu sosial. Dalam pengujian

hipotesis secara manual, tidak lepas daritabel distribusi, yaitu dengan cara

melakukan perbandingan antara statistik hitungdengan statistik uji. Untuk

2

membuat perbandingan tersebut, maka yang harusdimiliki oleh seorang

peneliti adalah Beragam skor pengujian psikologi.Distribusi t dan f banyak

juga digunakan dalam berbagai distribusi dalamstatistika, dan kebanyakan

pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

B. Rumusan Masalah

1. Apa pengetian Distribusi Chi-Kuadrat ?

2. Apa Pengertian Distribusi T ?

3. Apa Pengertian Distribusi F ?

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui apa pengertian Distribusi Chi-Kuadrat.

2. Untuk mengetahui apa pengertian Distribusi T.

3. Untuk mengetahui apa pengertian Distribusi F.

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. Distribusi Chi-Kuadrat

Grafik distribusi chi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan ө, yang

umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan. Kemiringan kurva ini

akan semakin berkurang jika derajat kebebasasan ө makin besar. Untuk ө =1 dan

ө =2, bentuk kurvanya berlainan daripada untuk ө ≥ 3.

Distribusi chi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagai berikut :

Rata-rata : μ = E(χ2) = ө

Variansi : σ2 = 2 ө

Jika parameter α pada distribusi gamma adalah v/2, dan β sama dengan 2,

dimana v adalah bilangan bulat positif, maka distribusi gamma tersebut akan

menjadi distribusi khi-kuadrat. Distribusi khi-kuadrat ini memiliki parameter

tunggal yaitu v, atau disebut juga dengan derajat kebebasan.

Rataan dan varian :

µ=v

σ2 = 2v

Ekspresi matematis tentang distribusi chi kuadrat hanya tergantung pada

suatu parameter, yaitu derajat kebebasan (d.f.). Ada distribusi chi kuadrat tertentu

untuk masing-masing nilai derajat kebebasan. Misalnya, distribusi Z² ( kuadrat

standard normal ) merupakan distribusi chi kuadrat dengan d.f. = 1.

Beberapa contoh distribusi probalitas, sehingga luas di bawah kurva bernilai

1. Distribusi chi kuadrat adalah distribusi untuk variabel kontinu, nilai chi kuadrat

mulai dari 0 sampai tak hingga.

4

B. Distribusi T – Student ( Distribusi T )

Untuk sampel nukuran n ≥ 3, taksiran σ 2 dapat diperoleh dengan

menghitung nilai S2. Bila n ≥ 30, maka S2 memberikan taksiran σ 2 yang baik dan

tidak berubah dan distribusi statistik ¿ masih secara hampiran, berdistribusi sama

dengan peubah normal baku z.

Bila ukuran sampel ( n < 30 ), nilai S2 berubah cukup besar dari sampel ke

sampel dan distribusi peubah acak ¿ tidak lagi distribusi normal baku.Dalam hal

ini didapatkan distribusi statistik yang disebut T

Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampel acak berasal dari

populasi normal.

T=¿¿

Dengan ,

Z= X−μσ /√n

Berdistribusi normal baku,dan

V=(n−1 ) S2

σ2

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan

derajat kebebasan v. Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

Diberikan oleh,

Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

T= X−μS/√n

T= Z√V /v

h (t )=Γ [ ( v+1 ) /2 ]Γ (v /2 ) √πv (1+ t 2

v )−( v+1 )/2

5

0

α

tt tt 1

Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran

sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel

n→ ∞ kedua distribusi menjadi sama. Pada gambar dibawah diperlihatkan

hubungan antara distribusi normal baku (v=∞) dan distribusi t untuk derajat

kebebasan 2 dan 5.

Karena distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t 1−α=−t α; yaitu,

nilai t yang luas sebelah kanannya 1−α, atau luas sebelah kirinya α , sama dengan

minus nilai t yang luas bagian kanannya α .

Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung pada bagaimana

pentingnya μ. Bila μ ingin ditaksir dengan ketelitian yang tinggi, sebaiknya

digunakan selang yang lebih pendek seperti −t 0,05 sampai t 0,05.

Contoh soal :

1. Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata

– rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji

25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung terletak antara −t 0,05 dan t 0,05 maka

pengusahan pabrik tadi akan mempertahankan kenyakinannya. Kesimpulan apa

yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan x= 518 jam dan

simpangan baku s = 40 jam? Anggap bahwa distribusi waktu menyala, secara

hampiran, noramal.

6

Jawab :

Dari tabel diperoleh t 0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan 24. Jadi pengusaha

tadi akan puas dengan keyakinananya bila sampel 25 bola lampu memberikan

nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila memang μ = 500, maka

t=518−50040 /√25

=2,25

Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan

derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran

adalah 0,02. Bila μ>500, nilai t yang di hitung dari sampel akan lebih wajar.

Jadi pengusaha tali kemungkinan besar akan menyimpilkan bahwa produksinya

lebih nbaik daripada yang diduganya semula.

C. Distribusi F

Statistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang

bebas, masing – masing dibagi dengan derajat kebebasannya.

Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing – masing berdistribusi

khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Maka distribusi peubah acak :

Diberikan oleh

ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan v1 dan v2.

F=

Uv1

Vv2

h ( f )=Γ [ (v1+v2) /2 ] ( v1/v2 )v1 /2

Γ ( v1/2 ) Γ (v2/2 )f

12 ( v1−2)

(1+v1 fv2 )

12 ( v1+ v2)

= 0 , 0 < f < ∞ , untuk f

7

6 dan 24 d. k

6 dan 10 d. k

0 f

0f f

Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada kedua parameter v1 dan v2

tapi juga pada urutan keduanya ditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka

kurvanya menjadi tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F

Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F

Lambang f α nilai f tertentu peubah acak F sehingga disebelah kanannya

terdapat luas sebesar α . Ini digambarkan dengan daerah yang dihitami pada

gambar 2. Pada tabel memberikan nilai f α hanya untuk α=0,05 dan α=0,01

untuk berbagai pasangan derajat kebebasan v1 dan v2 Jadi, nilai f untuk derajat

Gambar 1

Gambar 2

8

kebebasan 6 dan 10 , sehingga luas daerah sebelah kanannya 0,05 adalah

f 0,05=3,22.

Tulislah f α (v1 , v2) untuk f α dengan derajat kebebasan v1 dan v2, maka

Bila S12 dan S2

2 variansi sampel acak ukuran n1 dan n2 yang diambil dari dua

populasi normal, masing-masing dengan variansi σ 12 dan σ 2

2, maka

Berdistribusi F dengan derajat kebebasan v1=n1−1 dan v2=n2−1

Contoh :

Tentukan nilai dari F 0,05 (12,20)

Penyelesaian :

Diketahui :

p = 0,05

V 1=12 , V 2=20

Ditanya : F = . . . . ?

Jawab :

F 0,05 (12,20) = 2,28

P = 1 – 0,05 = 0,95

F 0,95 (20,12) = 1

F 0,05(12,20)= 1

2,28=0,04

Jadi nilai F 0,05 (12,20) adalah 0,04

f 1−α ( v1 , v2 )= 1f α ( v2 , v1 )

F=S1

2/σ12

S22/σ2

2 =σ2

2 S12

σ12 S2

2

9

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara

frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktualdenganfrekuensi

harapan/ekspektas.

frekuensi observasi →nilainya didapat dari hasil percobaan (o)

frekuensi harapan →nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilaiχ²selalu positif.

Distribusi khi-kuadrat (Chi-square distribution)

atau distribusi χ² dengan k derajat bebas  adalah distribusi jumlah

kuadrat k peubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi ini seringkali

digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam

penyusunan selang kepercayaan.Apabila dibandingkan dengan distribusi chi-

kuadrat nonsentral, distribusi ini dapat juga disebut distribusi khi-kuadrat sentral.

Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampel acak berasal dari

populasi normal. Sedangkan Statistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah

acak khi-kuadrat yang bebas, masing – masing dibagi dengan derajat

kebebasannya.

10

DAFTAR PUSTAKA

Dirnaeni, Desti.2011.http://destidirnaeni.blogspot.co.id/2011/04/statistik-

2.html [ Selasa, 26 Januari 2016. Pukul : 19.20 WIB ]

http://blablablalabla.blogspot.co.id/2015/01/distribusi-t-distribusi-f-dan-

uji.html [ Sabtu, 30 Januari 2016. Pukul : 14.22 WIB ]

Dinell, Velozia. 2012. http://veloziadinell.blogspot.co.id/2012/12/uji-

normalitas-chi-kuadrat.html [ Rabu, 3 Februari 2016. Pukul : 20.34 WIB ]

http://entajmtarigan.blogspot.co.id/2012/11/makalah-macam-macam

distribusi.html [ Rabu, 3 Februari 2016. Pukul : 21.15 WIB ]

11