Introducción al Cálculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de varias variables reales.-

5.4.- Extremos condicionados. Método de los multiplicadores de Lagrange.-

Nos proponemos utilizar el Método de los Multiplicadores de Lagrange que es útil para optimizar funciones sometidas a restricciones de las variables.

En general, el método de los multiplicadores de Lagrange dos da una condición necesaria que deben cumplir los puntos de una función f(x1,x2, ... ,xn) sometidos a las condiciones: g1(x1,x2, ... ,xn) = 0 , g2(x1, ... ,xn) = 0, ..... , gm(x1, ... ,xn) = 0.

Teorema.

Si un problema de optimización de una función f con restricciones g1 = 0, ..... ,gm = 0 tiene un máximo o mínimo en un punto P donde las todas las funciones admiten derivadas parciales de primer orden continuas, y los vectores gradientes de las funciones de restricción no se anulan en dicho punto; entonces existen unos números , λ, μ, ...... , γ , llamados multiplicadores de Lagrange, que dan lugar a la función F = f + λ g1+ μ g2 + .... .... + γ gm, función de Lagrange ,tales que P es solución del sistema :

d Fd x1

= 0 ; d Fd x2

= 0 ; ........ ; d Fd xn

= 0 ;

g1(x1,x2, ... ,xn) = 0 , g2(x1, ... ,xn) = 0, ..... , gm(x1, ... ,xn) = 0.

Una vez conocidos los puntos solución del sistema, podemos utilizar las condiciones del problema para distinguir si son máximos o mínimos. Con frecuencia son problemas geométricos y es fácil hacerlo. Si (a,b) es un punto critico, evaluamos f(a,b) y los puntos terminales de la ecuacion de ligadura (condicion), si los tiene y asi distinguimos los valores maximos y minimos.Page 1

Pero si tenemos el caso de dos variables f(x,y) y una sola condicion, g(x,y)=0, la funcion de Lagrange es: ( )F , ,x y λ = + ( )f ,x y λ ( )g ,x y ; los puntos criticos son las soluciones del sistema critico:

= Fx 0 = Fy 0 = Fλ 0

y podemos evaluar el caracter de los puntos criticos mediante el signo del siguiente determinante:

:= Δ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

F ,λ λ Fλ x Fλ y

Fλ x Fxx Fxy

Fλ y Fx y Fyy

Que resulta ser de manera simplificada: := Δ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 gx gy

gx Fxx Fxy

gy Fx y Fyy

de modo que: si < ( )Δ ,a b 0entonces (a,b) es MINIMO. si < 0 ( )Δ ,a b entonces (a,b) es MAXIMO.si = ( )Δ ,a b 0 entonces (a,b) no sabemos lo que es y debemos recurrir a lo descrito con anterioridad, comparar con otros puntos.

Haremos sencillos problemas para comprender lo explicado.

Consideramos una función ( )f ,x y tal que sus puntos han de cumplir la condición = ( )g ,x y 0 y nos emplearemos en determinar los puntos que hacen que ( )f ,x y sea máximo o mínimo sometidos a tal condición.

> with(linalg): Delta:=matrix(3,3,[F[lambda,lambda],F[lambda*x],F[lambda*y], F[x*lambda],F[xx],F[xy],F[y*lambda],F[y*x],F[yy]]); Delta:=matrix(3,3,[0,g[x],g[y], g[x],F[xx],F[xy],g[y],F[y*x],F[yy]]);

:= Δ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

F ,λ λ Fλ x Fλ y

Fλ x Fxx Fxy

Fλ y Fx y Fyy

:= Δ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 gx gy

gx Fxx Fxy

gy Fx y FyyPage 2

EJEMPLO . Calcular los maximos y minimos de = f + x2 y2 con la condicion de que: = + x4 y4 2 > "Funcion a optimizar";f:=(x,y)->x^2+y^2;

"Condicion";g:=(x,y)->x^4+y^4-2; "Funcion de Lagrange";F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);

"Funcion a optimizar"

:= f → ( ),x y + x2 y2

"Condicion"

:= g → ( ),x y + − x4 y4 2"Funcion de Lagrange"

:= F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y> "Sistema

Critico";Fx:=(diff(F(x,y,lambda),x)):(%=0);Fy:=(diff(F(x,y,lambda),y)):(%=0); g(x,y)=0;

"Sistema Critico"

= + 2 x 4 λ x3 0

= + 2 y 4 λ y3 0

= + − x4 y4 2 0Para resolver este sistema podemos hacer: Tomamos las dos primeras ecuaciones y consideramos unica variable λ, con ello podemos considerar que se trata de un sistema lineal y lo reescribimos de la forma siguiente:

= 4 x3 λ −2 x = 4 y3 λ −2 y de modo que para que sea compatible determinado: rang(A) = rang(ab) =1=>

:= Ab⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

4 x3 −2 x4 y3 −2 y

=0 con lo que queda:

= 2 x y ( )− + x2 y2 0 => x = 0; y = 0; y = x; y = -x.

Si x = 0 => = y 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

o = y −2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

. Puntos criticos: = A⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟,0 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

y = B⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟,0 −2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

Si y = 0 => = C⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟,2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

0 , = D⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟,−2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

0 Si y = x => E=(1,1) y F=(-1,-1) Si y =- x => G=(1,-1) y H=(-1,1) Sustituyendo en f(x,y): f(1,1) = f(1,-1) = f(-1,1) = f(-1,-1) = 2 =>Maximos

Los restantes son minimos con valor 2 = 1.41..

Estos resultados se pueden corroborar con el determinante Δ

Page 3

EJERCICIO 1. Calcular los puntos de la curva de ecuación = + + − 5 x2 5 y2 6 x y 8 0 más cercanos y más lejanos del origen de coordenadas.

La distancia entre dos puntos P =(x,y) y Q = (a,b) la mide: = d + ( ) − x a 2 ( ) − y b 2 como en este

caso ( a,b) es el origen de coordenadas, = d + x2 y2

Al punto P =(x,y) no le hemos exigido ninguna condición por lo tanto es un punto cualquiera, si le obligamos a que sea de la función g(x,y) =0 que en nuestro caso es: = + + − 5 x2 5 y2 6 x y 8 0 y ya tenemos organizado el problema: Los extremos de d(x,y) están en los mismos puntos que los de d2 de ahí que para evitar las engorrosas raíces tomemos la función al cuadrado. ( )f ,x y = d2 = + x2 y2 es la función a optimizar y la condición será ( )g ,x y = + + − 5 x2 5 y2 6 x y 8> f:=(x,y)->x^2+y^2;

g:=(x,y)->5*x^2+5*y^2+6*x*y-8;

:= f → ( ),x y + x2 y2

:= g → ( ),x y + + − 5 x2 5 y2 6 x y 8Aplicamos el proceso de optimización por el Método de Lagrange.

> F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);

:= F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y>

:= Eq1 = + 2 x λ ( ) + 10 x 6 y 0 := Eq2 = + 2 y λ ( ) + 10 y 6 x 0

:= Eq3 = + + − 5 x2 5 y2 6 x y 8 0

Sol { }, , = λ-18

= y12

2 = x12

2 { }, , = λ-18

= y −12

2 = x −12

2, ,{ :=

{ }, , = λ-12

= x − 2 = y 2 { }, , = λ-12

= x 2 = y − 2, }

Entresacamos los puntos; es decir los valores del par (x,y). ( λ no interesa).>

:= P , , ,⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

12

212

2⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,−

12

2 −12

2 [ ],− 2 2 [ ],2 − 2

>

Puntos a estudiar |Distancia al cuadrado | [1/2*2^(1/2), 1/2*2^(1/2)] | 1 | [-1/2*2^(1/2), -1/2*2^(1/2)] | 1 | [-2^(1/2), 2^(1/2)] | 4 | [2^(1/2), -2^(1/2)] | 4 |

No olvidemos que a las distancias les tenemos que extraer la raiz cuadrada.Page 4

La Mínima distancia, 1 unidad, la dan los puntos: [ ,2

22

2] y [ ,−

22

−2

2].

La Máxima distancia , 2 unidades, la dan los puntos:[ ,− 2 2 ] y [ ,2

2−

22

] .

>

Como se aprecia, se trata del típico problema de calcular los semiejes de una elipse, en este caso girada respecto de sus ejes.

EJERCICIO 2. Calcular la mínima distancia de la recta = + x y 5 a la curva + x2 2 y2=6. > > f:=(x,y)->x^2+2*y^2-6;

g:=(x,y)->x+y-5; Curva:=implicitplot(f(x,y)=0,x=-3..3,y=-3..3,color=magenta,thickness=2,scaling=constrained): Recta:=implicitplot(g(x,y)=0,x=-3..6,y=-3..3,color=magenta,thickness=2,scaling=constrained): dis:=implicitplot(x-y-1=0,x=-1.2..4,y=-3..3,color=black,thickness=2): display({Curva,Recta,dis});

:= f → ( ),x y + − x2 2 y2 6 := g → ( ),x y + − x y 5

Page 5

Nos encontramos con el problema de minimizar la distancia entre dos puntos , uno de la recta y otro de la curva. Lo primero que haremos será llamar P (a,b) al punto de la recta y Q (x,y) al de la curva, con ello, la función que hemos de minimizar es: = d2 + ( ) − x a 2 ( ) − y b 2 , con las condiciones a + b -5 =0, es decir que P sea de la recta y Q de la curva + − x2 2 y2 6 =0.

> Rect:=(a,b)-> a+b-5 ;Cur:=(x,y)-> x^2+2*y^2-6; F:=(x,y,a,b)-> (x-a)^2+(y-b)^2+lambda*Rect(a,b)+mu*Cur(x,y):FLagrange:=F(x,y,a,b);

:= Rect → ( ),a b + − a b 5

:= Cur → ( ),x y + − x2 2 y2 6

:= FLagrange + + + ( ) − x a 2 ( ) − y b 2 λ ( ) + − a b 5 μ ( ) + − x2 2 y2 6>

:= Eq1 = − + 2 x 2 a 2 μ x 0 := Eq2 = − + 2 y 2 b 4 μ y 0 := Eq3 = − + + 2 x 2 a λ 0 := Eq4 = − + + 2 y 2 b λ 0

:= Eq5 = + − a b 5 0

:= Eq6 = + − x2 2 y2 6 0

Sol { }, , , , , = λ -2 = a 3 = y 1 = μ12

= x 2 = b 2 { }, , , , , = λ -8 = y -1 = μ -2 = a 2 = x -2 = b 3, ,{ :=

{ }, , , , , = μ 0 = λ 0 = y + 53

43

I 2 = b + 53

43

I 2 = x − 103

43

I 2 = a − 103

43

I 2 ,

Page 6

{ }, , , , , = μ 0 = λ 0 = y − 53

43

I 2 = b − 53

43

I 2 = x + 103

43

I 2 = a + 103

43

I 2 }

Entonces, podemos ver que hay dos parejas de puntos, los otros no son reales, que marcan situaciones de extremos: 1) El punto ( -2,-1) de la curva con el (2,3) de la recta. 2) El punto (2,1) de la curva con el (3,2) de la recta.

Para distinguir el que da la mínima distancia se sustituye en ella:> D1=subs(x=-2,y=-1,a=2,b=3,sqrt((x-a)^2+(y-b)^2));evalf(%);

D2=subs(x=2,y=1,a=3,b=2,sqrt((x-a)^2+(y-b)^2));evalf(%);

= D1 32 = D1 5.656854249

= D2 2 = D2 1.414213562

Con lo que queda aclarado que la segunda pareja de puntos dan la mínima distancia entre la recta y la curva..

EJERCICIO 3. Calcular los máximos y mínimos de ( )f ,x y = + ( ) − x 1 2 ( ) − y 2 2 sometidos a la condición

= + − x y 1 0.

> >

:= f → ( ),x y + ( ) − x 1 2 ( ) − y 2 2

:= g → ( ),x y + − x y 1

Page 7

>

:= F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y := Eq1 = − + 2 x 2 λ 0 := Eq2 = − + 2 y 4 λ 0 := Eq3 = + − x y 1 0

:= Sol { }{ }, , = y 1 = x 0 = λ 2>

:= P [ ],0 1>

Puntos a estudiar |Valor | [0, 1] | 2 |

Para distinguir si es máximo o mínimo, probamos con otro punto cualquiera de ( )g ,x y =0 y miramos su valor en ( )f ,x y comparandolo con el resultado anterior.> z(0,1)=f(0,1);

z(2,-1)=f(2,-1); z(-3,4)=f(-3,4);

= ( )z ,0 1 2 = ( )z ,2 -1 10 = ( )z ,-3 4 20

Se trata de un mínimo.

EJERCICIO 4. Optimizar la función f(x,y) = 3 x2 y para puntos que cumplan + x2 y2 =1.

> >

:= f → ( ),x y 3 x2 y

:= g → ( ),x y + − x2 y2 1 := F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y

:= Eq1 = + 6 x y 2 λ x 0

:= Eq2 = + 3 x2 2 λ y 0

:= Eq3 = + − x2 y2 1 0

Sol { }, , = x 0 = λ 0 = y 1 { }, , = x 0 = λ 0 = y -1 { }, , = x13

6 = y13

3 = λ − 3, , ,{ :=

{ }, , = x −13

6 = y13

3 = λ − 3 { }, , = x13

6 = y −13

3 = λ 3, ,

{ }, , = x −13

6 = y −13

3 = λ 3 }

Page 8

:= P , , , , ,[ ],0 1 [ ],0 -1⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

13

613

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,−

13

613

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

13

6 −13

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,−

13

6 −13

3

>

Puntos a estudiar |Valor | [0, 1] | 0 | [0, -1] | 0 | [1/3*6^(1/2), 1/3*3^(1/2)] | 2/3*3^(1/2) | [-1/3*6^(1/2), 1/3*3^(1/2)] | 2/3*3^(1/2) | [1/3*6^(1/2), -1/3*3^(1/2)] | -2/3*3^(1/2) | [-1/3*6^(1/2), -1/3*3^(1/2)] | -2/3*3^(1/2) |

Los valores máximos lo consigue f en los puntos ( ,6

33

3) y ( ,−

63

33

) y los mínimos en (

,−6

3−

33

) y ( ,6

3−

33

).

Ahora estudiaremos gráficamente lo que analíticamente hemos calculado.La superficie z = f (x,y) la cortamos con la condición g(x,y)=0, que es otra superficie, lo que nos dará una curva en el espacio y en ella buscaremos los puntos que dan la máxima z y la mínima z de f.>

>

Page 9

>

>

Page 10

EJERCICIO 5.-Determinar los valores extremos de la función f(x,y)= − + 2 x2 2 y2 condicionada por la ecuación x-y-1 = 0.> >

:= f → ( ),x y − + 2 x2 2 y2

:= g → ( ),x y − − x y 1 := F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y

:= Eq1 = − + 2 x λ 0 := Eq2 = − 4 y λ 0

:= Eq3 = − − x y 1 0 := Sol { }{ }, , = λ 4 = y 1 = x 2

:= P [ ],2 1

Puntos a estudiar |Valor | [2, 1] | 0 |> z(2,1)=f(2,1);

z(3,2)=f(3,2);

= ( )z ,2 1 0 = ( )z ,3 2 1

Se trata de un mínimo, pero este ejercicio se puede resolver por una simple sustitución que lo convertirá en un problema de extremos de una función de una variable, veámoslo.>

Page 11

Si despejamos una de las incognitas de la condición: y = x -1 ( es un plano paralelo al eje OZ ) y la sustituimos en la función que queremos optimizar: f(x,y) ( es una superficie ) se convierte en una función de una variable: f = = − + 2 x2 2 ( ) − x 1 2 − + 4 4 x x2, ( que está sobre el plano anterior ) de modo que derivando e igualando a cero se obtiene f '= -4+2 x = 0 => x = 2 => y = 2-1 = 1 , luego el extremo lo tiene en ( 2 , 1) como sabíamos.

Ejercicios.Page 12

1.- Determinar los puntos de la elipse de ecuación = + x2 3 y2 3 más cercano y más alejado del segmento que la recta x + y = 3 determina en el primer cuadrante. ( Observa que este ejercicio es muy parecido al ejemplo 2 , pero en este no podemos olvidar que tiene los puntos extremos del segmento: (0,3) y (3,0) que pueden ser los valores máximos y mínimos buscados.)2.- Determinar el rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la región delimitada por la curva y = − 4 x2en el primer cuadrante.3.- Determinar los extremos de la función f (x,y )= + x2 3 y3 con la condición = − + x2 2 x y2 0.

FIN:

Page 13