渦度方程式推導首先召喚 Ideal Flow 版本的 Navier Stokes equation:

∂ v∂ t

+ v ∙ ( ∇⊗ v )=−∇Φ−∇Pρ

接著先找出平流項的代換關係：( ∇× v )× v= ξ× v=εijk (∇× v ) j vk e i=εijk(εmnl∂nvl)m= j vk ei=εij k (δil δkn−δ ¿δkl ) (∂nv l )vk e i=εijk ( (∂k v i )v k−(∂i vk ) vk ) ei=v (∇⊗ v )−∇|v|2

2

即∂ v∂ t

+ ξ× v=−∇Φ−∇Pρ

−∇|v|2

2=−∇P

ρ−∇ (Φ+

|v|2

2)

將全式再與 Grad 外積：∇×( ∂ v∂t +ξ ×v )=−∇×(∇P

ρ)

∇×(∇ Pρ )=εijk ∂ j( (∇ P)kρ ) ei=εijk( 1ρ (∂ j (∇P )k )+(∂ j( 1ρ )) (∇P )k) e i=εijk ( 1ρ (∇×∇P)i+(∇ ( 1ρ )×∇P)

i) e i=∇ (1ρ )×∇P=−1ρ2∇ ρ×∇P

→∂ξ∂t

+∇× ( ξ × v )= 1ρ2∇ ρ×∇P=B

有時右項又會寫成B=−∇( 1ρ )×∇P=−∇( RaT

P )×∇P=−Ra

P∇ T ×∇P

現在處理最後最困難的一項∇× ( ξ× v )=εijk ∂ j ( εmnl ξn vl )m=k ei=εijk (δ ¿δ jl−δ ilδ jn )∂ j (ξn v l ) e i

¿ ε ijk ∂ j (ξ i v j−ξ j v i ) ei¿ε ijk(ξ ¿¿ i (∂ j v j )+v j (∂ j ξi )−ξ j (∂ j v i )−v i (∂ j ξ j ))e i ¿

¿ ξ (∇ ∙ v )+ v ∙ (∇ ⊗ ξ )−ξ ∙ ( ∇⊗ v )−v (∇ ∙ ξ )¿ ξ (∇ ∙ v )+ v ∙ (∇⊗ ξ )−ξ ∙ ( ∇⊗ v )

所以渦度方程式就是∂ ξ∂ t

+ξ (∇ ∙ v )+ v ∙ ( ∇⊗ ξ )−ξ ∙ ( ∇⊗ v )= 1ρ2∇ ρ×∇P=B

現在我們考慮一般對流層大氣動力學中的情況（即，只考慮 z 方向角動量，並多受科式效應 f 影響）。

∂ξ z∂ t

+(u ∂∂ x

+v ∂∂ y

+w ∂∂ z )ξ z+v d fd y +(ξ z+f ) ( ∂u∂x + ∂ v

∂ y+ ∂w∂z )

−((ξ x+ f ) ∂∂ x +(ξ y+ f )∂∂ y

+(ξ z+ f )∂∂ z )w

¿∂ ξz∂ t

+(u ∂∂ x

+v ∂∂ y

+w ∂∂ z )ξ z+v d fd y

+( ξ z+f )( ∂u∂x + ∂ v∂ y )−( ∂w∂ x ∂v∂ z− ∂w

∂ y∂u∂ z )= 1ρ2 ( ∂ ρ∂ x ∂P∂ y− ∂ ρ

∂ y∂P∂ x

)

假設正壓流體（壓力僅為密度之函數），最末項可消掉；再進行尺度分析可得到式中較重要的幾項（中緯度綜觀天氣適用）：

∂ξ z∂ t

+(u ∂∂ x

+v ∂∂ y )ξz+v d fd y +f ( ∂u∂x + ∂v

∂ y )=0

當平面輻合散及行星 beta 效應可忽略，則有∂ξ z∂ t

+∇z ξ z ∙ (u , v )=0

此時帶入流線函數（stream function）之觀念，可得到∂∂ t

(∆ψ )=J (∆ψ ,ψ )=det [ ∂∆ψ∂x ∂∆ψ∂ y

∂ψ∂x

∂ψ∂ y ]

（正三角形為 laplace operator）即為一動態系統。