Apuntes campos electromagnéticos ED1

|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS

UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ

Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica Electrónica

APUNTES DE CAMPOS

ELECTROMAGNÉTICOS

Ed1

AUTOR:

PAUL TERRAZAS L. ARICA – CHILE

2016


I CAMPOS ELECTROMAGETICOS 1.1.- Introduccion al campo electromagnético

1.2.-Ecuaciones de maxwell generalizada

1.3.-Producto punto y cruz

1.4.- Campos

1.5.-Gradiente y divergente

1.6.-Rotor o rotacional

1.7.-Ejercicios resueltos


1.1.-INTRODUCCION AL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

En el curso de ELECTROMAGNETISMO se ha aprendido la Electroestática y

Magnetoestática, considerando el campo electromagnético ( ) y el Campo de Densidad

de Flujo Magnético ( ) como propiedades diferentes y sin relación alguna, sin embargo la

naturaleza nos muestra que esto no es asi, y por ende se hace necesario enfrentar este tipo

de problemas considerando el fenómeno electromagnético unificado, incorporar el tiempo y

ver las variables que fueron omitidias en un fenómeno real. En el curso de CAMPOS

ELECTROMAGNÉTICOS, unificar estas propiedades en ecuaciones simples y prácticas

para solucionar problemas de ingeniería.

1.2.-Ecuaciones de Maxwell

, -

,

-

,

-

,

-

,

-

1.-Ley de Gauss para el campo eléctrico

∮

2.-Ley de Gauss para el campo magnético

∮

3.-Ley de faraday

∮

∮


4.- Ley de Ampere generalizada

∮

∮

Ley de lorentz

1.3.-PRODUCTO PUNTO Y CRUZ

1.3.1.-Producto punto

| || |

| || |

| || | ( )

| | | || | ( )

1.3.2.-Producto cruz Se define el producto cruz o vectorial como

|

|

- Ĵ x -

Ĵ

-

El producto cruz de los vectores unitarios son cíclicos y por ello

podemos saber sus respectivos signos dependiendo de su sentido de dirección ixj=k jxk=i kxi=j y ixk=-j kxj=-i jxi=-k


Propiedades producto cruz:

| | | || |

( ) ( )

( ) ( )

( )

1.4.- Campos

1.4.1.-Campos escalares

( )

( ) ( )

1.4.2.-Campos vectoriales

( ) ( ) ( )

nabla (vector)

Ejemplo:

1.5.-Gradiente y Divergente

1.5.1-Gradiente (vector) Actúa sobre campos escalares y lo

convierte en vector.

Ejemplo:

Sea ( ) ( )

( )


1.5.2- Divergente (escalar) Actúa sobre un campo vectorial

y lo convierte en escalar.

Ejemplo:

Sea ( )

Recordando

( )

1.5.3.- El gradiente de un divergente

( ) 4

5

4

5 4

5 4

5

1.5.4.-El divergente de un gradiente

(

)

( )

1.6.-ROTOR o rotacional

||

||

4

5 (

) 4

5

Ejemplo

( )


1.8.1.-Divergente de un rotor=0

( )

4

5

(

)

4

5

CLASE 3

Rotor de un gradiente es cero

( ) ||

|| 0

.

/

.

/1 0

.

/

.

/1 0

.

/

.

/1 =0










Demostrar ( )

Tomando la definición del Laplaciano a un vector . En Ese contexto será la gradiente de la

divergencia de , menos el rotacional del rotacional de La divergencia del gradiente de carece de sentido ya que no es un escalar.

( )

Despejando y equiparando ambas ecuaciones:

( )

Desarrollo:

||

|| 4

5 (

) 4

5

( ) |

|

4

5 (

) 4

5|

|

6

4

5

(

)7 6

4

5

4

57 6

(

)

4

57

64

5 4

57 64

5 4

57 64

5 4

57

6

7 6

7 6

7

Sea: ( )


4

5 4

5 (

) ( )

Desarrollando

=0

1 0

1 0

1

=0

1 0

1 0

–

1K

Ambos términos son iguales

( )


II ONDAS Y MEDIOS DE PROPAGACIÓN

2.1.-Teorema Stoke

2.2.-Ecuación de onda

2.3.-Ecuacion de maxwell en el vacío

2.4.-Soluciones armónicas

2.5.-Materia resumen.



2.1.-Teorema Stoke

∫

∮

∫

∮

Sea por definición:

( ) =

. / podemos sacar el valor de t

( ) =

( )

.

/ =

( )

.

/ =

( )

.

/ =

(

)

(

)

(

)

2.2.-Ecuación de onda

(

)

Suponiendo:

[

]


[

]

√

0

1

( ) ( ) ( )

, -

, -

, -

2.2.1.-Caso unidireccional

( ) ( )

4

5 ( )

( )

( )

( )

, -

( )

( )

, -

Sea

( ) * ( ) +

Correspondiente a una transformación fasorial

( ) * ( ) +

Reemplazando en [Eq.2]


( )

( )

{

( ) }

{

( ) }

Ecuación de la onda 1-D

2.3.-ECUACION DE MAXWELL EN EL VACÍO

, -

,

-

,

-

,

-

,

-

2.4.-Soluciones armónicas

( ) * ( ) +

( ) * ( ) +

Vector onda

i) ( )


{ ( ) }

{ ( ) } ( )

2 . ( )/3

( )

ii) ( )

( )

iii) ( )

( )

{ ( ) }

* ( )

+

{ ( ) } *

( )

+

{ ( )} * ( )

+

{ ( )} * ( ) ++

{ ( )} * ( ) ++

{ ( )} * ( ) ++

{ ( )} { ( ) +}

{ ( ( ) ( ) )}

. ( ) ( )/

( ) ( )

iv) ( )

( )

( ) ( )

Al proponer las soluciones armónicas las ecuaciones de Maxwell se

hacen independiente del tiempo.

1) ( )


2) ( )

3) ( ) ( )

4) ( )

Para resolver el nuevo set de ecuaciones.

( ) ( )

( ) ( )

) ( )

( ) ( )

( )

0

1

0 1

,

-

( ) [ ]

( )

2) ( )

3) ( ) ( )

( ) |

|=


( ) |

|=

( ) |

|

( )

( )

) ( ) ( )

( )

Anexo

) ()

( ) ( )

( )

6)

√

7)


2.5.-MATERIA RESUMEN.

Son soluciones armónicas, suponiendo que conocemos como varía t en el

tiempo.

( ) * ( ) +

( ) * ( ) +

Se propuso la siguiente solución particular.

( ) ( )

( ) ( )

Y los vectores

Las ecuaciones de maxwell se reducen

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

K es vector onda que apunta en la dirección que viaja la onda.

Unificando obtenemos

( ) * ( ) +

( ) * ( ) +

( ) 2 ( ) ( )3


( ) 2 ( ) ( )3

, -

,

-

,

-

,

-

,

-

√

2.6.-EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1:

( ) ( )

( ) ( ) * ( ) ( )+

2 ( ) ( )3 { }

Ejemplo 2:

* ( )+

{ ( )} * ( ) ( )+


( )

Ejemplo 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Desarrollo:

( ) * ( ) ( )+

* ( ) ( ) ( ) ( ) +

Ejemplo 4

( ) ( ) ( )

( ) { ( ) }

( ) {,( ) ( ) - }

( ) {( ) ( ) }

( ) {( ) ( ) }

( ) {( ) ( )+ * ( ) ( )}

( ) *( ) ( ) ( ) ( )+

* ,( ) ( ) ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ,( ) ( )-

( ) ( )


III MEDIOS MATERIALES

3.1.-Medios anisotrópicos

3.2.-Medios no lineales

3.3.-Medios no homogeneo

3.4.-Medios dispersivos

3.5.-Resumen medios materiales

3.6.-Ecuaciones de maxwell en medios materiales


MEDIOS

MATERIALES

No lineales ( ) ( )

Anisotrópicos ( ) ( )

No Homogéneos ( ) ( )

Dispersivos ( ) ( )

En el curso sefocalizará en:

-Medios Lineales

-Isotrópicos

-Homogéneos

3.1.-MEDIOS ANISOTRÓPICOS


[

] [

]

Para tomar en cuenta la reacción de la materia se define el vector

desplazamiento eléctrico.

De acuerdo a como polariza el material se distinguen varios casos

3.2.-MEDIOS NO LINEALES

Son medios cuyas características electromagnéticas son función de la

intensidad del campo aplicado. Sin embargo cuando aplica un campo muy

grande obtenemos un campo no lineal

3.3.-MEDIOS NO HOMOGENEO

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-10 -5 0 5 10

B

Columna2

H


Son cuyas características electromagnéticas varían en cada punto del material

( )

( )

3.4.-MEDIOS DISPERSIVOS

Son aquellos que no conservan la energía es decir disipan energía a medida

que la onda viaja a travéz del material.

( )

( )

3.6.-RESUMEN MEDIOS MATERIALES

C/m2

3.7.-ECUACIONES DE MAXWELL MEDIOS MATERIALES

( ) 2 ( ) ( )3

( ) 2 ( ) ( )3


√

3.8.-Vector de POYNTING

3.9.-Resistencia del medio


RESUMEN GENERAL

______________________________________________________________________

Ecuaciones de Maxwell

Soluciones armónicas

( ) * ( ) +

( ) * ( ) +

Unidades

, -

,

-

[

]

,

-

,

-

,

-

,

-

_________________________________________________________________________

Constantes


MEDIOS VACÍOS

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

_________________________

______________________

MEDIOS MATERIALES

( )

( ) √

( ) ( )

( )

____________________________

√

Velocidad onda

√ C=

√

√

VECTOR POYNTING

( ) ( ) ( )

, ( ) ( )-

,

-

∫ ( )

* ( )

( )+

*

+

Propiedad conjugado

( )

√

√

√

( ) (

)4

5 4

5 ( )


EJERCICIO PRUEBA

En un medio no magnético

( ) ( ) [

]

a) Encontrar y el campo magnético correspondiente

b) Encontrar el vector de Poyting y la densidad de potencia promedio

Solución

a) El campo corresponde a la superposición de 2 ondas, una que viaja en y

otra que viaja en

Onda que viaja en

( ) ( ) [

]

Datos que nos da de forma inmediata

| |

En un medio material la velocidad de propagación no es la luz

√ ,

| |

| |

√

√

√

(

)

De la Ecuación de Maxwell

[

]

( ) ( ) [

]

( )

( ) [

]


En forma alternativa

Si la onda viaja en y el campo tiene componente , debe tener componente

en

( )

( )

La impedancia del medio es √

( )

( ) [

]

( )

( ) [

]

Onda que viaja en

( ) ( ) [

]

Datos que nos da de forma inmediata

| |

De la Ecuación de Maxwell

[

]

( ) ( ) [

]

( )

( ) [

]

Anexamente: Si la onda viaja en y el campo tiene componente , debe tener

componente en

( )

( ) [

]

( )

( ) [

]

( )

( ) [

]


Entonces por superposicion

( )

( ) [

]

( ) [

]

( )

4 ( ) [

] ( )5 [

]

b) Encontrar el vector de Poynting y la densidad de potencia promedio.

Para ello calcularemos primeramente:

( ) ( ) ( )

Y realizaremos un cambio del dominio temporal al dominio fasorial.

( )

4 ( ) [

] ( )5 [

]

[

]

||

||

[(

) (

)]

[(

) (

)]

[(

) (

)]

[(

, ( )- ) (

, ( )- )]

De forma anexa

||

( ) ( )

( )

( )

||

[(

, ( )- ) (

, ( )- )]


Calculando vector de Poynting

* ( )

( )+

Para ello realizaremos el conjugado de :

( )

( )

( ) [

]

[

]

[

]

( ) ( ) ( ) [

]

[

]

||

||

(

)

(

)

2 ( )

( )3

(

) ,

-

,

-


Consulta del autor al profesor

1.- sobre Conjugado

) ( ) ( )

( ) ( )

b) ( )

( )

Debido a que el conjugado de un real es el real y el de un complejo su inverso aditivo,

además: ( )

2.- ¿Cómo hago la expresión sen(wt-kr) y cos(wt-kr) en forma exponencial?

a) ( ) ( )

( )

Recordan que: ( ) * ( ) +

( ) { }

( ) * ( )+

( ) * , ( ) ( )-+

( ) * ( ) ( )-+

( ) * ( ) ( )-+

( ) ( )

) ( ) ( )

( ) Aplicamos el mismo criterio

( ) * ( ) ( )-+

( ) ( )

c) ( ) ( )

( )

d) ( ) ( )

( )

Ejercicio Clave

( ) ( ) ( )

( ) En este caso se puede factorizar

( ) ( )


IV MEDIOS DISPERSIVOS

4.1.-Medios dispersivos

Son aquellos que la onda pierde energía al propagarse

Ecuación de Maxwell para campos que varían armónicamente

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Science

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