Bai toan ve goc

1

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN

TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

I. Kiến thức cần nhớ:

Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau.

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh

(c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g).

Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt

như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác.

Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc

ngoài của tam giác.

Công thức tính diện tích tam giác.

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức tam

giác.

Hiểu được định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Tỉ số của hai đoạn

thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ....

II. Hệ thống bài tập:

Bài 1. (Luyện tập toán 7 – Nguyễn Bá Hòa – NXB Giáo dục) Cho tam

giác ABC có AC > AB. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên đoạn thẳng AD lấy

điểm E.

Ta chứng minh được EC – EB < AC – AB như sau:

Trong AEC ta có EC < AC + AE (1)

Trong ABE ta có EB < AB + AE (2)

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có: EC – EB < AC – AB

Hãy tìm chỗ sai trong bài chứng minh trên.

GIẢI

A

B CD

E

2

Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) đúng hay sai, hai bất đẳng thức

trên không sai, nếu như lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) thì đúng

hay sai, cái sai của bài chứng minh trên nằm ở chổ ta lấy hai bất đẳng thức

trên trừ cho nhau. Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.

Nhận xét: Cần chú ý trong việc biến đổi bất đẳng thức.

Bài 2. Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh

đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy.

GIẢI

GT ABC , AD là phân giác.

KL AB DB

AC DC

Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại E.

AC // BE 2 1A E

mà 1 2A A

nên 1 1A E

ABC cân tại B. AB = BE (1)

Từ EDB và ADC có BE//AC BE DB

AC DC

Kết hợp với (1) ta có AB DB

AC DC . (đpcm)

Bài chứng minh trên ta kẻ đường thẳng qua B song song AC. Vậy nếu

như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có thể chứng

minh được bài toán trên hay không.

Cách 2:

Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F.

BF // AD 1 2F A

, 1 1B A

.

Có 1 2A A

nên 1 1F B ABF

cân tại A. AF AB

BFC có BF // AD AF DB

AC DC do đó

AB DB

AC DC .

1

1

21

F

D

A

B C

2

1

1

E

D

A

B C

3

Cũng với cách vẽ đường phụ với mỗi đường phụ hợp lí ta lại có thêm

một cách chứng minh, ta sẽ xét một cách chứng minh khác.

Cách 3: Vẽ DE // AC; DF // AB ( E AB, F AC )

AFDE là hình bình hành.

Có AD là phân giác AFDE là hình thoi.

AF = DE = DF = AE.

ABC có DE // AC DB EB

DC EA ;

DB AE

DC CF

Suy ra DB EB AE EB AE AB

DC AF CF AF CF AC

(đpcm)

Bài 3. Cho tam giác ABC biết AB < AC. Trên tia BA lấy điểm D sao

cho BC = BD. Nối C với D. Gọi E là giao điểm của AC với phân giác của

góc B.

a) Chứng minh rằng CE = DE

b) Dựng đường cao AH của tam giác ACD. Chứng minh rằng AH //

BE.

Hệ thống câu hỏi:

1. Giả thuyết và kết luận của bài toán trên là gì?

2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)

a) Chứng minh rằng CE = DE

- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường có những cách

nào?

- Tại sao hai tam giác BEC và BED bằng nhau?

- Từ hai tam giác bằng nhau đó ta suy ra được điều gì?

b) Chứng minh rằng AH // BE.

- Ta đã có AH CD vậy muốn chứng minh AH // BE ta cần chứng

minh điều gì?

21

E

F

D

A

B C

4

- Muốn chứng minh BI CD ta phải làm sao?

- Vì sao chúng ta có 090BIC BID

?

- Vậy ta có được điều phải chứng minh chưa?

GIẢI

GT ABC ; AB<BC; BC=BD; ABE CBE

; AH CD

KL a) CE = DE b) AH // BE

a) Xét hai tam giác BEC và BED có:

BE là cạnh chung; ABE CBE

(vì BE là tia phân giác của góc

B)

BC=BD (giả thuyết)

Vậy BEC BED (c.g.c). CE = DE (cạnh tương ứng) (đpcm).

b) Kéo dài BE cắt CD tại I.

Xét hai tam giác BIC và BID có:

BI là cạnh chung; ABE CBE

(vì BE là tia phân giác của góc

B)

BC=BD (giả thuyết)

Vậy BIC BID (c.g.c). BIC BID

.

Hai góc này bù nhau nên 090BIC BID

. Vậy BI là đường cao của

BCD .

Vì AH CD và BI CD suy ra AH // BI hay AH // BE (đpcm).

Nhận xét: Qua bài toán cho ta thấy để chứng minh hai đoạn thẳng

bằng nhau ta có thể gép nó vào hai tam giác và chứng minh hai tam giác đó

bằng nhau; Chứng minh hai đoạn thẳng song song ta có thể chứng minh nó

cùng vuông góc với một đường thẳng khác.

Bài 4. Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC. Trên

L

H

E

A

B C

D

5

cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Chứng minh rằng:

a) ME // CD; b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của

nó.

c) CI = 3DI.


1. Vẽ hình, nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?

2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)

a) Chứng minh: ME // CD

- Để chứng minh ME // CD ta thường có những cách chứng minh

nào?

- Em có nhận xét gì về vị trí của M, E ở lần lược hai cạnh BC và BD?

- Vậy ME là gì của BCD ? . Ta có điều phải chứng minh?

b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của nó.

- Theo giả thuyết ta có D là gì của AE?

- Theo chứng minh ở câu a) thì DI như thế nào so với AM?

- Có D là trung điểm AE, DI // AM vậy DI là gì của AEM ?

- Vậy I là gì của AM, ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?

c) Chứng minh: CI = 3DI.

- ME là đường trung bình của BCD . Vậy ME bằng bao nhiêu lần

DC.

- Tương tự DI bằng bao nhiêu lần ME

- Từ hai điều đó ta có được đẳng thức cần chứng minh chưa?

GIẢI

GT ABC ; BM = MC; AD = DE = EB

KL a) ME // CD. b) I CD AM ; AI IM

I

M

A

B C

D

E

6

c) CI = 3DI

a) Xét BCD có:

M là trung điểm của cạnh BC (giả thuyết)

E nằm giữa B và D và DE = BE E là trung điểm của cạnh BD

ME là đường trung bình của BCD . Do đó ME // CD (đpcm)

b) Xét AEM có:

D là trung điểm của cạnh AE (vì D nằm giữa A và E và AD = DE)

Theo a) ta có: DI // ME. DI là đường trung bình của AEM .

Vậy I là trung điểm của AM (đpcm)

c) Theo chứng minh ở hai câu trên ta có:

ME là đường trung bình của BCD : nên 1

2ME CD hay 2CD ME

(1)

DI là đường trung bình của AEM : nên 1

2DI ME hay 2ME DI

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD = 4DI hay CI + DI = 4DI CI = 3DI

(đpcm)

Nhận xét: Ta có thể áp dụng tính chất đường trung bình để chứng

minh hai đoạn thẳng song song, và cũng có thể chứng minh một điểm là

trung điểm của đoạn thẳng.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC người ta lấy một

điểm D sao cho AB = AD. Gọi AI là tia phân giác xuất phát từ đỉnh A của

tam giác ABC. Chứng minh rằng: AI // BD.


1. Hãy vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?

2. Để chứng minh AI // BD ta thường có những cách chứng minh nào?

7

3. Làm sao để tạo ra đường thẳng mà cả hai đường thẳng trên cùng

vuông với đường thẳng đó.

4. AI là gì của BAC

. Theo em thì đường nào trong tam giác sẽ vuông

góc với đường thẳng AI.

5. Làm sao chứng minh được AE DB.

6. Có được AE DB ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?

GIẢI

GT AB = AD; BAI CAI

KL AI // BD.

Dựng tia phân giác AE của BAD

.

Xét hai tam giác ABE và ADE có:

AE là cạnh chung; BAE DAE

(vì AE là tia phân giác của BAD

)

AB = AD (giả thuyết)

Vậy ABE ADE (c.g.c). Ta suy ra 090AEB AED

.

Hai tia AI và AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù nhau nên

vuông góc với nhau, Tức là 090EAI

. Suy ra BD và AI cùng vuông với AE

nên chúng song song với nhau tức là: AI // BD (đpcm)

Nhận xét: Qua bài toán cho ta khả năng nhận xét và vẽ đường phụ,

muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh nó cùng

vuông góc với đường thẳng thứ 3.

Bài 6: Cho tam giác ABC. D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh Bc, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I.

b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

HƯỚNG DẪN GIẢI

E

I

D

A

B C

IF

E

D

A

B C

8

GT ABC ; BD = DC; AE = EC; AF = FB.

KL a) I AD EF b) EI = IF

a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I.

- Ta có AD nằm giữa hai tia AB và AC.

- Nếu chọn AD làm bờ chia mặt phẳng ra làm hai phần thỉ E, F nằm ở

hai mặt phẳng như thế nào?

- Vậy AD có cắt đoạn EF hay không?

b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

- Ta có EF là đường trung bình của ABC vậy ta có thể chứng minh

FI, EI lần lược là đường trung bình của ABD , ACD hay không?

- Khi đó ta sẽ có 1

2FI BD và

1

2IE DC , mà DC như thế nào so với

DB, từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?

Nhận xét: Qua bài toán nhằm khắc sâu thêm kiến thức về đường

trung bình của tam giác và áp dụng nó vào bài toán cụ thể.

Bài 7: Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý ở trong tam giác ấy.

Chứng minh: 1

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA


1. ta có thể chia bài toán thành 2 bài toán nhỏ được không?

2. Trước tiên ta sẽ chứng minh 1

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC .

3. Ta thấy ABC bị chia thành 3 tam giác nhỏ OAB , BOC , COA ,

mỗi tam giác điều có chứa một cạnh của ABC .

4. Trong tam giác thì tổng của 2 cạnh như thế nào so với cạnh thứ 3?

5. Vậy ta có thể áp dụng tính chất đó vào từng tam giác kia hay

không?

6. Khi đó ta cộng theo từng vế của những bất đẳng thức đó thì ta có

9

điều phải chứng minh chưa.

7. Tiếp theo ta sẽ phải chứng minh OA+OB+OC < AB+BC+CA. Ta

có thể chứng minh tương tự.

8. Ta thấy AB+BC+CA chính là gì của ABC , em có thể phát biểu bài

toán trên thành một định lí được không?

GIẢI

Xét OAB có: AB < OA + OB (1)

Tương tự xét BOC và COA , ta có:

BC < OB + OC (2)

CA < OC +OA (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

AB + BC + CA < 2OA + 2OB + 2OC

1

2(AB + BC + CA) < OA + OB + OC (4)

Gọi A’, B’, C’ lần lược là giao điểm của AO, BO, CO với các cạnh BC, CA,

AB. Ta có:

Vì OB < OA’ + A’B nên

OA + OB < OA + OA’ + A’B OA + OB < AA’ +A’B

Mà AA’ < AC +CA’ nên ta có:

OA + OB < AC +CA’ +A’B OA + OB < CA +CB (5)

Tương tự, ta có: OB +OC < AB + AC (6)

và OC +OA < BC + BA (7)

Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta được:

2OA + 2OB + 2OC < 2AB + 2BC + 2CA

OA+OB+OC < AB+BC+CA (8)

Từ (4) và (8) ta có:

A'

B'C'

A

B C

O

10

1

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA (đpcm)

Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể phát biểu định lí: Cho một tam

giác và một điểm O tùy ý trong tam giác. Tổng khoảng cách từ điểm O đến

ba đỉnh của tam giác lớn hơn nữa chu vi và bé hơn chu vi của tam giác đó.

Bài 8: Chứng minh rằng cạnh lớn nhất của một tam giác lớn hơn hoặc

bằng 1

3 chu vi của tam giác đó và nhỏ hơn

1

2chu vi của nó.


1. Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? Ta có được những gì?

2. Nếu giả sữ BC là cạnh lớn nhất thì ta sẽ có điều gì?

3. Từ AB + AC 2BC ta có thể suy ra BC lớn hơn hoặc bằng 1

3 chu

vi?

4. Theo bất đẳng thức tam giác thì Bc như thế nào so với AB + BC.

5. Từ BC < AB + AC ta có thể suy ra BC nhỏ hơn 1

2chu vi ?

6. Kết hợp hai yếu tố trên ta đã giải quyết được bài toán trên hay

chưa?

GIẢI

Giả sữ ABC có AB AC BC . Ta suy ra:

AB + AC BC + BC

AB + AC 2BC

AB + AC + BC 3BC BC 1

3(AB + AC +BC) (1)

Ta lại có: BC < AB + AC

2BC < AB + AC + BC BC < 1

2(AB + AC +BC) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

A

BC

11

1

3(AB + AC +BC) BC <

1

2(AB + AC +BC) (đpcm)

Nhận xét: Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp chia nhỏ một bài

toán dể chứng minh sẽ dễ dàng hơn.

Bài 9: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân giác

của góc A, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác và H là hình

chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng:

a) BIH CID

b) 0902

ABIC

.


a) Chứng minh BIH CID

- Trong IBH ta có thể tính được BIH

không?

- Vậy bây giờ ta phải chứng minh 0902

BCID

.

- Ta nhận thấy CID

là góc gì của AIC ? Vậy CID

bằng gì?

- Kết hợp với 0902 2 2

A B C

ta có điều phải chứng minh chưa?

b) Chứng minh: 0902

ABIC

.

- Ta nhận thấy BID

, DIC

lần lược là 2 góc gì của hai tam giác AIB ,

AIC . Từ đó ta suy ra được gì?.

- Từ 2 2

A BBID

và 2 2

A CDIC

kết hợp với 0902 2 2

B C A

ta có điều

phải chứng minh không?

GIẢI

a) Trong tam giác vuông IHB ta có: 0902

BBIH

(1)

H

I

D

A

B C

12

CID

là góc ngoài ở đỉnh I của AIC nên: 2 2

A CCID

Vì 0902 2 2

A B C

nên 0902 2 2

A C BCID

(2)

Từ (1) và (2) ta có: BIH CID

(đpcm)

b) BID

là góc ngoài ở đỉnh I của AIB nên 2 2

A BBID

(3)

DIC

là là góc ngoài ở đỉnh I của AIC nên 2 2

A CDIC

(4)

Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được:

2 2

B CBID DIC A

2 2

B CBIC A

(5)

Vì 0902 2 2

B C A

thay vào (5) 0902

ABIC

(đpcm)

Nhận xét: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, kết hợp với

những khả năng biến đổi đẳng thức để giải bài toán.

Bài 10: ABC có 2A B

. Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AB.AC


1. AD là đường phân giác vậy ta có đẳng thức nào?

2. Sao khi biến đổi đẳng thức đó ta được?

3. Vậy so với đề bài ta cần chứng minh điều gì?

4. Muốn có được tỉ số trên ta phải xét sự đồng dạng của 2 tam giác

nào?

5. Từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?

GIẢI

Vẽ phân giác AD của góc A.

D

A

B C

13

Theo tính chất đường phân giác ta có: DB DC

AB AC

Do đó: DC DB DC DC BC

AC AB AC AC AB AC

(1)

Mặt khác 1

2DAC BAC

(vì AD là đường phân giác)

1

2B BAC

(vì 1

2B BAC

) nên ta có Nên DAC B

Xét DAC và ABC có:

C

là góc chung; DAC B

(chứng minh trên)

Suy ra hai tam giác DAC và ABC đồng dạng với nhau. DC AC

AC BC (2)

Từ (1) và (2) ta có: BC AC

AB AC BC

hay BC2 = AC2 + AB.AC (đpcm)

Nhận xét: Bài toán này nhằm nhấn mạnh thêm về tính chất đường

phân giác, kết hợp thêm tính chất đồng dạng của hai tam giác.

Bài 11: Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm

H. Chứng minh hệ thức: ' ' '

1' ' '

HA HB HC

AA BB CC .


1. Nêu giả thuyết , kết luận của bài toán?

2. Dạng của bài toán? (Dạng chứng minh).

3. Hệ thức cần chứng minh liên quan đến những đường nào trong tam

giác? (Đường cao).

4. Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo 3 đường cao?

5. Em có nhận xét như thế nào về điện tích của tam giác ABC và diện

tích của các tam giác HBC, HCA, ABH.

6. Từ những điều trên ta có điều phải chứng minh chưa.

GIẢI

H

C'

B'

A'

A

B C

14

GT ABC ; AA’ BC; BB’ AC

CC’ AB, trực tâm H

KL ' ' '

1' ' '

HA HB HC

AA BB CC

Gọi S là điện tích tam giác ABC.

Ta có: 1 1 1

'. '. '.2 2 2

S AA BC BB AC CC AB

Suy ra 2

'

SBC

AA ;

2

'

SAC

BB ;

2

'

SAB

CC .

Mặt khác ta có: 1 '.

. '2 '

HBC

HA SS BC HA

AA (1)

1 '.. '

2 'HCA

HB SS AC HB

BB (2)

1 '.. '

2 'HAB

HC SS AB HC

CC (3)

Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:

' ' '

' ' '

HA HB HCS S

AA BB CC

' ' '1

' ' '

HA HB HC

AA BB CC (đpcm).

Nhận xét: Bài toán nhấn mạnh việc sữ dụng công thức tính diện tích

để giả bài toán chứng minh đẳng thức, ngoài ra còn rèn luyện khả năng biến

đổi đẳng thức cho người thực hiện.

Bài 12. Cho tam giác ABC. D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB. Trên đường trung tuyến AD người ta lấy điểm G sao cho

G nằm giữa A và D và AG = 2GD. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng.

b) BG = 2GE và CG = 2GF.


1. Giả thuyết, kết luận của bài toán?

a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng.

15

- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có những cách nào?

- Theo những giả thuyết đã cho thì cách nào khả thi nhất?

- Ta sẽ gọi giao điểm BG với AC là E’ và ta sẽ chứng minh E’ E.

- Bài toán bây giờ trở thành chứng minh E’ E.

- Ta sẽ sữ dụng những tính chất nào đã học để chứng minh E’ E.

- Có được E’ E. Vậy ba điểm B, G, E thẳng hàng chưa?

- Có thể chứng minh tương tự ba điểm C, G, F thẳng hàng không?

b) Chứng minh BG = 2GE và CG = 2GF.

- Muốn chứng minh BG = 2GE ta có những cách nào.

- Làm sao chứng minh QG = GE với Q là trung điểm BG.

- Em có nhận xét gì về hai tam giác DGE và IGQ.

- Hai tam giác đó bằng nhau ta suy ra được QG = GE chưa.

- Từ đó ta có BG = 2GE chưa?

- Tương tự như vậy chứng minh CG = 2GF.

GIẢI

GT ABC ; BD=DC; CE=EA

AF=FB; AG=2GD

KL

a) B, G, E thẳng hàng

C, G, F thẳng hàng.

b) BG = 2GE và CG = 2GF.

a) Kéo dài BG cắt AC ở E’. Ta sẽ chứng minh E E’.

Gọi I là trung điểm của AG. Ta có AI = IG = GD.

Từ I và D kẻ các đường thằng song song với BG cắt AC tại K và M.

Trong 'AGE có IK là đường trung bình

nên K là trung điểm AE’ hay AK = KE’.

Trong 'BCE có DM là đường trung bình

nên M là trung điểm CE’ hay CM = ME’.

P

E'

NQ

K

M

I

G

FE

D

A

B C

16

Từ I dựng đường thẳng song song với AC cắt BE’ ở P và DM ở N.

Trong IDN , GP là đường trung bình nên P là trung điểm của IN hay IP =

PN.

IP và KE’ là hai đoạn thẳng song song và bị chắn bởi hai đường thẳng song

song nên IP = KE’

Tương tự PN = E’M. Vì IP = PN nên KE’ = E’M.

Vậy AK = KE’ = E’M = MC nên E’ E. Tức là ba điểm B, G, E thẳng

hàng

Tương tự chứng minh được C, G, F thẳng hàng. (đpcm)

b) Gọi Q là trung điểm của BG. Ta sẽ chứng minh QG = GE.

Có: QI là đường trung bình của ABG nên QI // AB và QI 1

2 AB.

DE là đường trung bình của ABC nên DE // AB và DE 1

2 AB.

QI // DE và QI = DE.

Xét hai tam giác DGE và IGQ có:

DGE IGQ

(đối đỉnh); DG = IG (chứng minh trên)

GDE GIQ

(so le trong)

Vậy DGE IGQ (g.c.g). GE = GQ và từ đó ta có BG = 2GE

Tương tự, CG = 2GF (đpcm)

Nhận xét: Cho ta thêm khả năng vẽ đường phụ, sữ dụng kết hợp

nhiều tình chất để có thể giải được bài toán.

Bài 13. Cho tam giác ABC với AB < AC. Trên đường phân giác AD

người ta lấy một điểm E tùy ý.

a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB

b) Trên tia AD lấy O sao cho OB = OC. Chứng tỏ rằng nếu F là một

điểm bất kì trên tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC.

17


1. Đọc đề, tóm tắt, vẽ hình cho bài toán.

a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB

- Em có nhận xét gì về 4 đoạn thẳng trên.

- Lấy K trên AC sao cho AB = AK. Vậy bài toán trở thành?

- Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB.

- Xét trong CEK ta có KC > EC – EK. Vậy kết hợp với điều kiện

trên ta cần phải chứng minh EB = EK.

- Em có nhận xét gì về hai tam giác AEB và AEK .

- Vậy ta có EB = EK. Vậy suy ra điều phải chứng minh chưa?

b) Chứng tỏ rằng nếu F thuộc tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC.

- Trước tiên ta thấy FB như thế nào so với FC.

- Ta có thể chứng minh tương tự như câu a).

GIẢI

a) Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK.

Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK.

Xét hai tam giác AEB và AEK có:

AE là cạnh chung; BAE KAE

(gt)

AB = AK (gt)

AEB AEK (c.g.c), ta suy ra EB = EK

Xét CEK ta có: EC – EK < CK

EC – EB < CK

EC – EB < AC – AB hay AC – AB > EC – EB (đpcm)

b) Có OB = OC O nằm trên đường trung trực của BC.

Mặt khác O CD nên O là giao điểm của AD và đường trung trực của đoạn

BC.

K

O

D

A

B C

E

F

18

Nếu F nằm trên tia đối của tia OA: FB > FC

Chứng minh tương tự như câu a) ta được AC – AB > FB – FC.

(đpcm)

Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ và bất đẳng thức tam giác,

khả năng biến đổi bất đẳng thức để có thể giải bài tập.

Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b và a – b = b –

c. Gọi M là giao điểm các trung tuyến. P là giao điểm các đường phân giác

các góc trong của tam giác. Chứng minh rằng MP // AC. (Đề thi học sinh

giỏi toán cấp II, 1977)


1. Đọc đề, vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán.?

2. Hướng đi của bài toán là gì? Làm sao chứng minh được PH = MN.

3. Ta thấy điện tích tam giác ABC bằng tổng điện tích của những tam

giác nào? Thay công thức tính điện tích vào ta được đẳng thức nào?

4. Kết hợp với điều kiện a – b = b – c thì đẳng thức trên trở thành?

5. Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN.

6. Em có nhận xét gì về điện tích của hai tam giác BAD và MAD, từ

đó có thể suy ra được BE = 3MN hay chưa.

7. Từ những dữ kiện trên ta có thể suy ra được PH = MN từ đó suy ra

được PM // AC hay chưa?

GIẢI

GT a – b = b – c; BM =

2

3BD

PH = PI = PK

KL MP // AC.

Gọi diện tích tam giác ABC là ABCS .

Ta có: ABC APB BPC CPAS S S S (1) NH

I

K

E

P

M

D

B

AC

19

Dựng BE và BD theo thứ tự là đường cao và đường trung tuyến của ABC .

Dựng các đường cao PK, PI, PH của các tam giác APB, BPC, CPA. Từ đẳng

thức (1) ta có: 1 1 1 1

. . . .2 2 2 2

b BE c PK a PI b PH . . . .b BE c PK a PI b PH

(2)

Vì P là giao điểm của ba đường phân giác trong nên: PH = PI = PK

Vậy đẳng thức (2) trở thành .b BE a b c PH

(3)

Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được:

b.BE = 3b.PH BE = 3 PH

(4)

Dựng MNAC. Ta có: 3BAD MADS S (vì BD=3MD, đường cao xuất phát từ

đỉnh A chung của hai tam giác trùng nhau).

Tương tự: 3BDC MDCS S

Ta suy ra: 3 3 3ABC BAD BDC MAD MDC AMCS S S S S S

Từ đây ta suy ra: BE = 3MN (5)

Từ (4) và (5) ta được: PH = MN.

Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm)

Nhận xét: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, khả năng vẽ

đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng song

song.

Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường

cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN BAC

. Chứng

minh rằng AM là tia phân giác của góc NMF

.


1. Mục đích ta sẽ chứng minh cái gì? ( AMF AMN

)

20

2. Ta có AMF

bằng tổng hai góc nào?

3. Vậy ta chỉ cần chứng minh 1 1AMN A D

.

4. Ta có thể chứng minh được AMN AIN

hay không?

5. Ta lại có 2 2AIN A D

.

6. Từ đây ta chỉ việc chứng minh 1 2D D

là bài toán đã được giải

quyết

GIẢI

Xét tứ giác BFHD có:

2BFH HDB v

nên tứ giác BFHD nội tiếp được

trong đường tròn. 1 1B D

(1)

Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp 2 1D C

(2)

Tứ giác BFEC có F và E cùng nhìn đoạn BC

dưới góc vuông nên cũng nội tiếp được. 1 1B C

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có 1 2D D

.

Gọi I là điểm đối xứng của M qua DA ta có I DE . Do đó AD là

trung trực của MI.

Do: MI BC P

Từ đó: NIx NDC

(4)

Xét tứ giác ABDE có E, D cùng nhìn AB dưới góc vuông nên tứ giác

ABDE nội tiếp, nên NDC BAC

(5)

Mà MAN BAC

(giả thuyết) (6)

Từ (4), (5), (6) cho ta NIx MAN

có nghĩa là tứ giác AMIN nội tiếp.

MI AD

AC BC

x

21

21

H

I

N

F

D

E

A

B C

M

21

2 2 1 1AMN AIN A D A D FMA

Vậy AMN FMA

có nghĩa là AM là tia phân giác của NMF

. (đpcm)

Nhận xét: Sữ dụng kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến tứ giác nội

tiếp, tính chất đường trung trực, kết hợp nhiều giả thuyết để chứng minh một

bài toán.

Bài tập tự rèn:

Bài 16: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy

các điểm tương ứng M và L sao cho 0; 90PAC PBC PLC PMC

.

a) Chứng minh: AM.PL = BL.PM

b) Giả sử D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh: DM = DL

`Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H và G lần lược

là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: O, G, H thẳng hàng.

Bài 18: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB

và HC lấy hai điểm M, N sao cho 090AMC ANB

. Chứng minh rằng:

AN=AM.

Bài 19: Từ một đỉnh của một tam giác người ta vẽ các đường vuông

góc xuống bốn đường phân giác trong và ngoài của hai đỉnh kia. Chứng

minh rằng bốn chân đường vuông góc đó thẳng hàng.

Bài 20: Cho ABC , (AB > AC) có A

, trên cạnh AB lấy điểm D

sao cho BD = AC. Lấy điểm E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Tính

BEF

.

Tác dụng qua những bài tập:

Qua những bài tập trên nhằm giúp cho học sinh bước đầu có được một

số kĩ năng cơ bản về các bài toán chứng minh trong tam giác thường.

Ngoài ra còn rèn luyện cách trình bài, lập luận chặc chẽ, chính xác

22

khả năng tư duy hợp lôgic, khả năng sáng tạo qua những bài tập nâng cao,

Thấy được mối quan hệ giữa các bài toán để có thể áp dụng vào

những bài toán khác có dạng tương tự, điển hình như những bài tập tự rèn ở

trên.

Science

Bai toan ve goc