Criteri di convergenza per una serie geometrica a termini positivi

LICEO STATALE “V. Emanuele III”

Sezione scientificaClasse VA ordinamento

Percorso didatticoModulo: Successioni e Serie

numeriche U.D.1: Successioni U.D.2: Limite di una successione U.D.3: Serie numeriche U.D.4: Serie geometrica e criteri di

convergenza. U.D.5: Proprietà delle serie U.D.6: Criteri di convergenza delle

serie a termini positivi

PREREQUISITI

Definizione di successione numericaLimiti di successioni Operazioni con i limitiTeoremi sulle successioni monotoneSerie convergenti, divergenti e

indeterminate

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

CONOSCENZE ABILITA’

Conoscere il concetto di successione

Saper riconoscere il carattere di una successione

Conoscere la definizione di limite

Saper operare con i limiti

Conoscere la definizione di serie

Saper calcolare la somma di una serie

Conoscere i criteri di convergenza

Saper applicare i criteri di convergenza

Conoscere la definizione di serie geometrica

COMPETENZEQuadro di riferimento PISA 2012

“La competenza matematica è la capacità dell’individuo di formulare, applicare ed interpretare la matematica in una varietà di contesti. Essa include il ragionamento matematico e l’utilizzo di concetti, procedure asserti e strumenti matematici per descrivere, spiegare e prevedere i fenomeni”.

STRUMENTI METODOLOGIA DIDATTICA

Libro di testoMappe concettualiUtilizzo di Excel/Calc

attraverso l’uso della LIM

Apprendimento collaborativo

Lezione frontaleAttività di ricerca

multimediale

SPAZI TEMPI

AULALABORATORIO DI

INFORMATICA1 h di lavoro di

gruppo1 h di lezione frontale1 h esercitazione 1 h correzione esercizi2 h per la verifica

finale

Verifiche e valutazione Attività di recupero

Verifiche in itinere: verifiche orali simultanee durante la lezione

Verifica finale: compito scritto con quesiti aperti e test a scelta multipla

Valutazione: valenza docimologica delle singole prove di verifica (rif Pof)

Pausa didatticaRecupero in

itinereEventuali corsi di

recupero organizzati in orario extracurriculare dalla scuola

Didattica individualizzata e personalizzataAlunni con DSA

(legge 170/2010)

Strumenti dispensativi

Misure compensative

Alunni con BES (DM del 27/12/2012)

Recupero individualePotenziare abilitàAcquisire specifiche

competenzeCalibrazione

dell’offerta didatticaCalibrazione delle

modalità relazionali

Il paradosso di Zenone: Achille e la tartaruga

Quando Achille si trova in Ao, la tartaruga è in To.

Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga

nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà

della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio.

Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e

sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga.

Serie geometrica1+q+q2+q3+……+qn+…

𝑞𝑛∞𝑛=0

Il rapporto tra un generico termine della serie e il precedente è q (ragione della serie)

Nota. Se q=0, la serie converge e ha per somma 1, supponiamo quindi q≠0

La successione dei termini della serie, cioè

q, q1, q2, …,qn,…

è detta progressione geometrica di ragione q

per q=1 la serie diverge

per q=-1 la serie è indeterminata

utilizzando il principio di induzione si arriva all’uguaglianza

1+q+q2+…+qn=𝟏−𝒒𝒏+𝟏𝟏−𝒒

nϵN, qϵR-ሼ1ሽ e si può quindi scrivere

sn=𝟏−𝒒𝒏+𝟏𝟏−𝒒

Successioni monotone- serie a termini positiviSe una successione è crescente o

decrescente si può dimostrare che lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑎𝑛

Quindi se in una serie tutti i termini sono positivi, la successione delle somme parziali sarà crescente 𝑠𝑛+1 = 𝑠𝑛 +𝑎𝑛+1 ≥ 𝑠𝑛

E quindi la serie non può essere indeterminata

Caso A Caso B

Se ȁ�𝑞ȁ�< 1, ossia -1< 𝑞< 1, allora è 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒒𝒏+𝟏=0

pertanto

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒔𝒏= 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝟏−𝒒𝒏+𝟏𝟏−𝒒 = 𝟏𝟏−𝒒

La serie converge è ha per somma 𝟏𝟏−𝒒 :

𝑞𝑛∞𝑛=0 = 1+𝑞+𝑞2+⋯+𝑞𝑛 +⋯= 11−𝑞

Se ȁ�𝑞ȁ�> 1, ossia 𝑞< −1,𝑞> 1

allora è 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒒𝒏+𝟏=∞

pertanto

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒔𝒏= 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝟏−𝒒𝒏+𝟏𝟏−𝒒 = ∞

La serie diverge

Soluzione paradosso

Svolgiamo per. il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velo cità di Achille sia v =1 m/s e ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri. Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi. La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si tratta di tre serie geometriche convergenti, p.es.

Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri.

Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato . t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi.

Dunque dopo venti secondi, dopo aver percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di r itenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito.

APPLICAZIONI INFORMATICHEserie di Mengoli

n an sn1 0,5 0,52 0,166666667 0,6666666673 0,083333333 0,754 0,05 0,85 0,033333333 0,8333333336 0,023809524 0,8571428577 0,017857143 0,8758 0,013888889 0,8888888899 0,011111111 0,9

10 0,009090909 0,90909090911 0,007575758 0,91666666712 0,006410256 0,92307692313 0,005494505 0,92857142914 0,004761905 0,93333333315 0,004166667 0,937516 0,003676471 0,94117647117 0,003267974 0,94444444418 0,002923977 0,94736842119 0,002631579 0,9520 0,002380952 0,952380952

InterdisciplinarietàL’infinito (filosofia, italiano,

disegno, storia…)L’origine dell’universo (fisica,

geografia astronomica, storia dell’arte)

De rerum natura di Lucrezio (Latino- ‘infinità di mondi formati da infiniti atomi’)

Spunti di attualitàIl principio di indeterminazione

In meccanica quantistica l’indeterminazione indica il livello di imprecisione di una misura e si applica non ad una singola grandezza (come la posizione), ma a coppie di grandezze "complementari". Sono complementari, ad esempio, la posizione e la quantità di moto (che corrisponde alla massa per la velocità). Tanto più precisa è la misura di una grandezza, tanto meno lo sarà la misura della grandezza complementare.

Dopo breve tempo la distanza tra Achille e la tartaruga non esiste più, nè ha senso considerare l’intervallo temporale che corrisponde a questa distanza: si può affermare che alla fine l’inseguitore ha raggiunto il suo obbiettivo.