Distribución tetraédrica de coeficientes tetranomiales

Enrique R. Acosta R. 2016

Distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio elevado a la m : (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎

Como hemos visto, en el estudio del “Prisma Combinatorio”, cuando elevamos un binomio a la

potencia m : (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒎, sus coeficientes (números binomiales, o combinaciones sencillas de m

números naturales tomados n a n ,con 0≤ n ≤m ), se distribuyen en líneas o filas (una dimensión),

todas paralelas y equidistantes entre sí, en el plano O𝑿+𝒀+, que en conjunto determinan el plano

que las contiene (∆𝟎),o triángulo de Pascal.

Igualmente, cuando consideramos la distribución de los coeficientes correspondientes a un trinomio

elevado a la m : (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑚,que hemos denominado coeficientes trinomiales, esta se puede

concebir como el resultado de multiplicar escalarmente los coeficientes lineales de ∆𝟎 (hasta la fila

m), por los propios valores de la fila m, dando como resultado una distribución plana (dos

dimensiones), que agrupa todos los coeficientes trinomiales así obtenidos, en un mismo plano

(∆𝑇),con todas las características y propiedades ya estudiadas.

Estos resultados, obtenidos previamente, nos permite por analogía, considerar que los coeficientes

resultantes de elevar un tetranomio a la m : (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎, o coeficientes tetranomiales,

pueden concebirse como distribuidos en un volumen (o varios), generado como el producto de un

plano multiplicado escalarmente por una línea, y que en este caso deberá corresponder a un

tetraedro o pirámide regular de caras y base triangular equiláteras.

A continuación, presentamos los resultados de esta supuesta distribución, para los casos de m=1

hasta m=8. Cada tetraedro o grupo de tetraedros, se presentan en forma desplegada, lo que facilita

su representación gráfica de manera sencilla y expedita.

En cada cara desplegada del tetraedro principal, la distribución de coeficientes tetranomiales ,

coincide con la distribución de los coeficientes trinomiales ∆𝑻 para el mismo valor de m, mientras

que la distribución de los coeficientes tetranomiales no contemplados en ∆𝑻, se han ubicado en los

vértices y aristas de un tetraedro adicional, o secundario. Esta distribución en cada caso de m,

resulta congruente con el número de veces en que aparecen dichos coeficientes en el desarrollo del

tetranomio elevado a la m. Para los casos en que m es par y múltiplo de cuatro, aparece un único

valor adicional, o tetraedro singular.

Tetraedro o Pirámide regular Tetraedro desplegado (cuatro triángulos equiláteros)

GRAFICOS DE DISTRIBUCION TETRAEDRICA DE LOS COEFICIENTES DE UN TETRANOMIO

ELEVADO A LA m DESDE m=1 HASTA m=8

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎

m Coef. N⁰V. 1 1 1 4

∑= 4 1 1 1 1 1 1 m Coef. N⁰V. 2 1 4 2 2

2 6 ∑= 10 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 m Cof. N⁰V. 3 1 4 3 3

3 12 6 4 3 6 3 ∑= 20 1 3 3 1 3 3 6 3 3 3 6 3 3 6 3 1 3 3 1 3 3 1

NOTA: El Número de veces (N⁰V.) , se refiere siempre en cada caso de m, al N⁰ de coeficientes

que corresponden al tetraedro reconstruido (sin desplegar)

m Coef. N⁰V. 1 4 1 4 4 12 4 4 6 6 12 12 6 12 6 24 1 ∑= 35 4 12 12 4 Singularidad 1 4 6 4 1 (24) 4 4 12 12 4 4 .

6 12 6 12 6 12 6 4 12 12 4 4 12 12 4 1 4 6 4 1 4 6 4 1

m Coef. N⁰V. 1 * Tetraedro secundario 5 1 4 60 60 60 5 12 5 5 10 12 60 60 20 12 10 20 10 30 12 60 *60 4 10 30 30 10 ∑= 56

5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1 5 5 20 30 20 5 5 10 20 10 30 30 10 20 10 10 30 30 10 20 10 30 30 10 5 20 30 20 5 5 20 30 20 5

1 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1

*Tetraedro Secundario

m Coef. N⁰V. 1 6 1 4 6 12 6 6 15 12 20 6 15 30 15 30 12 60 24 20 60 60 20 90 4 *120 4 15 60 90 60 15 *180 6 ∑= 84 6 30 60 60 30 6

1 6 15 20 15 6 1 6 6 30 60 60 30 6 6 15 30 15 60 90 60 15 30 15 20 60 60 20 60 60 20 60 60 20 15 60 90 60 15 30 15 60 90 60 15 6 30 60 60 30 6 6 30 60 60 30 6 1 6 15 20 15 6 1 6 15 20 15 6 1

120 180 120 180 120 180 180 180 180 120 180 120 180 180 120

*Tetraedro Secundario

*Se puede notar que para r=4 y m=7, el coeficiente 210 proviene de dos casos separados(ver tabla I ),que se generan a partir de dos series

Diferentes (ver Tabla II ),una produce 12 coeficientes del tetraedro principal y la otra los 4 restantes del secundario

1 m C0ef. N⁰V 210 420 420 210 420 420 210 7 1 4 7 7 7 12 420 630 420 420 630 420 21 12 21 42 21 35 12 420 420 630 420 420 42 12 35 105 105 35 105 24 210 420 420 210 140 12 35 140 210 140 35 *210 12+*4 420 630 420 *420 12 21 105 210 210 105 21 *630 4 420 420 ∑= 120 7 42 105 140 105 42 7

210

1 7 21 35 35 21 7 1 7 7 42 105 140 105 42 7 7 21 42 21 105 210 210 105 21 42 21 35 105 105 35 140 210 140 35 105 105 35 35 140 210 140 35 105 105 35 140 210 140 35 21 105 210 210 105 21 42 21 105 210 210 105 21 7 42 105 140 105 42 7 7 42 105 140 105 42 7

1 7 21 35 35 21 7 1 7 21 35 35 21 7 1

La Singularidad aparece cuando el N⁰ de veces que se repite el último coeficiente correspondiente a r=4, para un determinado valor de m, coincide con el

primer término de la serie diagonal 𝑺𝟒, que siempre es igual a la unidad. Esto ocurre cuando m es múltiplo de 4.(Ver Tablas I y II )

m Coef. N⁰V 1 8 1 4 8 12 8 8 28 12 56 24 28 56 28 70 6 168 24 56 168 168 56 280 24 *336 4 70 280 420 280 70 420 12 560 12 56 280 560 560 280 56 *840 12 *1120 6 28 168 420 560 420 168 28 *1680 12 2520 1 8 56 168 280 280 168 56 8 ∑= 165 1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 8 56 168 280 280 168 56 8 8 28 56 28 168 420 560 420 168 28 56 28 56 168 168 56 280 560 560 280 56 168 168 56 70 280 420 280 70 280 420 280 70 280 420 280 70 56 280 560 560 280 56 168 168 56 280 560 560 280 56 28 168 420 560 420 168 28 56 28 168 420 560 420 168 28 8 56 168 280 280 168 56 8 8 56 168 280 280 168 56 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

*Tetraedro Secundario para r=4 y m=8

Singularidad

(2520) .

Gráfico : SERIES DIAGONALES PARALELAS DEL TRIANGULO DE PASCAL

𝑺𝟏 Filas

1 𝑺𝟐 0

1 1 𝑺𝟑 1

1 2 1 𝑺𝟒 2

1 3 3 1 𝑺𝟓 3

1 4 6 4 1 𝑺𝟔 4

1 5 10 10 5 1 𝑺𝟕 5

1 6 15 20 15 6 1 𝑺𝟖 6

1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺𝟗 7

1 8 28 56 70 56 28 8 1 𝑺𝟏𝟎 8

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 𝑺𝟏𝟏 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10

. . . . . . . . . . . .

336 840 1120 840 336 840 1120 840 336 840 1680 1680 840 840 1680 1680 840 1120 1680 1120 1680 1120 1680 1120 840 840 1680 1680 840 840 336 840 1120 840 336 840 1680 1680 840 1120 1680 1120 840 840 336

Tabla de coeficientes posibles para (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒓)𝒎, en función de m y r*. Desde m=1, hasta m=9 (Tabla I )

m 𝒌𝟏𝒎 𝒑𝒌𝟏𝒎 𝒌𝟐𝒎 𝒑𝒌𝟐

𝒎 𝒌𝟑𝒎 𝒑𝒌𝟑𝒎 𝒌𝟒𝒎 𝒑𝒌𝟒

𝒎 𝒌𝟓𝒎 𝒑𝒌𝟓𝒎 𝒌𝟔𝒎 𝒑𝒌𝟔

𝒎 𝒌𝟕𝒎 𝒑𝒌𝟕𝒎 𝒌𝟖𝒎 𝒑𝒌𝟖

𝒎 𝒌𝟗𝒎 𝒑𝒌𝟗𝒎

1 1 1* r=2

2 2 1 1,1 2* r=3

3 3 1 1,2 3 1,1,1 6* r=4

4 4 1 1,3 2,2

4 6

1,1,2 ------

12 ---

1,1,1,1 ---------

24* ----

r=5

5 5 1 1,4 2,3

5 10

1,1,3 1,2,2

20 30

1,1,1,2 --------

60 ----

1,1,1,1,1 ------------

120* r=6

6 6 1 1,5 2,4 3,3

6 15 20

1,1,4 1,2,3 2,2,2

30 60 90

1,1,1,3 1,1,2,2 ---------

120 180 -----

1,1,1,1,2 ----------- -----------

360 ----- -----

1,1,1,1,1,1 ------------- -------------

720* ----- -----

r=7

7 7 1 1,6 2,5 3,4 ----

7 21 35 ----

1,1,5 1,2,4 1,3,3 2,2,3

42 105 140 210

1,1,1,4 1,1,2,3 1,2,2,2 ---------

210 420 630 -----

1,1,1,1,3 1,1,1,2,2 ----------- -----------

840 1260 ------- -------

1,1,1,1,1,2 -------------- -------------- --------------

2520 -------- -------- --------

1,1,1,1,1,1,1 ----------------- ----------------- -----------------

5040* -------- -------- --------

r=8

8 8 1 1,7 2,6 3,5 4,4 ----

8 28 56 70 ----

1,1,6 1,2,5 1,3,4 2,2,4 2,3,3

56 168 280 420 560

1,1,1,5 1,1,2,4 1,1,3,3 1,2,2,3 2,2,2,2

336 840 1120 1680 2520

1,1,1,1,4 1,1,1.2,3 1,1,2,2,2 ----------- -----------

1680 3360 5040 ------- -------

1,1,1,1,1,3 1,1,1,1,2,2 -------------- -------------- --------------

6720 10080 -------- -------- --------

1,1,1,1,1,1,2 ---------------- ---------------- ---------------- ----------------

20160 -------- -------- -------- --------

1,1,1,1,1,1,1,1 ------------------- ------------------- ------------------- -------------------

40320* --------- --------- --------- ---------

r=9

9 9 1 1,8 2,7 3,6 4,5 ---- ---- ----

9 36 84 126 ----- ----- -----

1,1,7 1,2,6 1,3,5 1,4,4 2,2,5 2,3,4 3,3,3

72 252 504 630 756 1260 1680

1,1,1,6 1,1,2,5 1,1,3,4 1,2,2,4 1,2,3,3 2,2,2,3 ------

504 1512 2520 3780 5040 7560 -------

1,1,1,1,5 1,1,1,2,4 1,1,1,3,3 1,1,2,2,3 1,2,2,2,2 ---------- ----------

3024 7560 10080 15120 22680 -------- --------

1,1,1,1,1,4 1,1,1,1,2,3 1,1,1,2,2,2 -------------- -------------- -------------- --------------

15120 30240 45360 -------- -------- -------- --------

1,1,1,1,1,1,3 1,1,1,1,1,2,2 ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ----------------

60480 90720 -------- -------- -------- -------- --------

1,1,1,1,1,1,1,2 ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- -------------------

181440 ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1,1,1,1,1,1,1,1,1 --------------------- --------------------- --------------------- --------------------- --------------------- ---------------------

362880* ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

*El coeficiente al extremo de cada fila (para cada m), sólo comienza a aparecer (una vez) cuando m=r, y su número de veces para r ≥ m, está determinado por los términos de la serie diagonal

𝑺𝒎+𝟏 . (Ver tabla II). Su valor en cada caso es: m!

Nota: Los valores bajo cada 𝑷𝒌𝒊𝒎 (𝒊 = 𝟏, … , 𝒓) ,a la izquierda de r=i, (i=1,…,9), corresponden a los coeficientes de (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒓)𝒎, Así para r=3 ,serían los Trinomiales, y para r=4,los

Tetranomiales., etc. Así mismo, los coeficientes bajo la columna 𝒑𝒌𝟒𝒎 , son los que corresponden a los tetraedros secundarios y/o singularidades de un Tetranomio elevado a la m .

Coeficientes y su número de veces en (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒓)𝒎 , según valores de m y r

(Tabla II ).Desde m=0, hasta m=8, para r= 1,2,3,4,5,6,7

m Coef N⁰ de veces para r= m Coef N⁰ de veces para r=

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 2 3 4 5 6 7 ∑ →𝑺𝟏 1 1 1 1 1 1 1 6 0 2 6 12 20 30 42

15 0 2 6 12 20 30 42

1 1 1 2 3 4 5 6 7 20 0 1 3 6 10 15 21 ∑ →𝑺𝟐 1 2 3 4 5 6 7 30 0 0 3 12 30 60 105

60 0 0 6 24 60 120 210

2 1 1 2 3 4 5 6 7 90 0 0 1 4 10 20 35

2 0 1 3 6 10 15 21 120 0 0 0 4 20 60 140

∑ →𝑺𝟑 1 3 6 10 15 21 28 180 0 0 0 6 30 90 210

360 0 0 0 0 5 30 105

3 1 1 2 3 4 5 6 7 720 0 0 0 0 0 1 7

3 0 2 6 12 20 30 42 ∑ →𝑺𝟕 1 7 28 84 210 462 924

6 0 0 1 4 10 20 35 ∑ →𝑺𝟒 1 4 10 20 35 56 84 7 1 1 2 3 4 5 6 7

7 0 2 6 12 20 30 42

4 1 1 2 3 4 5 6 7 21 0 2 6 12 20 30 42

4 0 2 6 12 20 30 42 35 0 2 6 12 20 30 42

6 0 1 3 6 10 15 21 42 0 0 3 12 30 60 105

12 0 0 3 12 30 60 105 105 0 0 6 24 60 120 210

24 0 0 0 1 5 15 35 140 0 0 3 12 30 60 105

∑ →𝑺𝟓 1 5 15 35 70 126 210 210 0 0 3 12 30 60 105

* 210 0 0 0 4 20 60 140

5 1 1 2 3 4 5 6 7 420 0 0 0 12 60 180 420

5 0 2 6 12 20 30 42 630 0 0 0 4 20 60 140

10 0 2 6 12 20 30 42 840 0 0 0 0 5 30 105

20 0 0 3 12 30 60 105 1260 0 0 0 0 10 60 210

30 0 0 3 12 30 60 105 2520 0 0 0 0 0 6 42

60 0 0 0 4 20 60 140 5040 0 0 0 0 0 0 1

120 0 0 0 0 1 6 21 ∑ →𝑺𝟖 1 8 36 120 330 792 1716 ∑ →𝑺𝟔 1 6 21 56 126 252 462

*El coeficiente 210 se contabiliza dos veces (dos orígenes diferentes). Ver distribución tetraédrica para el

caso r=4

Tabla II. (Continuación)

m Coef. N⁰ de veces para r= 1 2 3 4 5 6 7

8

∑=

1 1 2 3 4 5 6 7

8 0 2 6 12 20 30 42

28 0 2 6 12 20 30 42

*56 0 2 6 12 20 30 42

56 0 0 3 12 30 60 105

70 0 1 3 6 10 15 21

168 0 0 6 24 60 120 210

280 0 0 6 24 60 120 210

336 0 0 0 4 20 60 140

420 0 0 3 12 30 60 105

560 0 0 3 12 30 60 105

840 0 0 0 12 60 180 420

1120 0 0 0 6 30 90 210

*1680 0 0 0 12 60 180 420

1680 0 0 0 0 5 30 105

2520 0 0 0 1 5 15 35

3360 0 0 0 0 20 120 420

5040 0 0 0 0 10 60 210

6720 0 0 0 0 0 6 42

10080 0 0 0 0 0 15 105

20160 0 0 0 0 0 0 7

40320 0 0 0 0 0 0 0

→ 𝑺𝟗 1 9 45 165 495 1287 3003

*Los coeficientes 56 y 1680, se contabilizan dos veces c/u (dos orígenes diferentes)

Algunas Propiedades:

1. El número total de coeficientes , para cada caso de m y r, coincide con el término correspondiente de la

Serie Diagonal 𝑺𝒎+𝟏 ,constitutiva del Triangulo de Pascal (∆𝟎) . Y vendrá dado por el valor combinatorio:

N⁰TC=(𝒎 + 𝒓 − 𝟏

𝒓 − 𝟏)

2. ∑ (Coef.*N⁰veces) = 𝒓𝒎 .Ejemplo: Para m=4 y r=3

Coef N⁰V

1 x 3 = 3

4 x 6 = 24

6 x 3 = 18

12 x 3 = 36

24 x 0 = 0 ∑ 81 =34

Obtención analítica de los coeficientes tetranomiales de las caras del tetraedro secundario en

el caso de la distribución tetraédrica de los coeficientes de (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎

Hemos encontrado que la distribución de los coeficientes tetranomiales en los tetraedros

secundarios en cada fila se corresponde con las siguientes expresiones:

𝑭𝒊,𝒏𝒌 = 𝑭𝒊,𝒏−𝟏

𝒌+𝟏 ∗ (𝑵𝒕𝒇

° −𝒏+𝟏

𝒏−𝒊+𝟏) y , 𝑭𝒏,𝒏

𝒌 = 𝑭𝟎,𝒏𝒌 ,con i = 0,1,…,n

Estas expresiones , nos permiten construir fila por fila los triángulos de coeficientes tetranomiales

secundarios, para cada valor de m.

Donde: 𝑭𝒊,𝒏𝒌 , indica el término del nivel k, en el lugar i de la fila n

𝑭𝒊,𝒏−𝟏𝒌+𝟏 , indica el término del nivel k+1, en el lugar i de la fila n-1

𝑵𝒕𝒇° , representa el número total de filas para el caso m considerado

n, es el número de la fila considerada

i, es el lugar del término en la fila n

Para el caso m=4 sólo aparece una singularidad, que corresponde a 4,1,1,1,1, dada por: 𝟐𝟒 =𝟒!

𝟏𝟒

Caso m=5

𝐹05 = {𝐹0,0

5 }={60}=60

𝐹14 ={𝐹0,1

4 , 𝐹1,14 }={60,60} = 60,60

Obtención de la fila de la fila 1, a partir de la fila 0 (𝐹0,14 , en función de 𝐹0,0

5 , y 𝐹1,14 = 𝐹0,1

4 )

60=60*2/2 y, 60=60

Caso m=6

𝐹06 = {𝐹0,0

6 } = {120} = 120

𝐹15 = {𝐹0,1

5 , 𝐹1,15 } = {180,180} = 180,180

𝐹24 = {𝐹0,2

4 , 𝐹1,24 , 𝐹2,2

4 } = {120,180,120}=120,180,120

Obtención de la fila 1 en función de la fila 0

180=120*3/2 y, 180=180 Obtención de la fila 2 en función de la fila 1 120=180*2/3 180=180*2/2 y, 120=120

n k 𝑵𝒕𝒇° =2

0 5 60

1 4 60 60

n k 𝑵𝒕𝒇°

= 𝟑 0 6 120

1 5 180 180

2 4 120 180 120

Caso m=7

n k 𝑵𝒕𝒇° = 𝟒

0 7 210

1 6 420 420

2 5 420 630 420

3 4 210 420 420 210

𝐹07 = {𝐹0,0

7 } = {210} = 210

𝐹16 = {𝐹0,1

6 , 𝐹1,16 } = {420,420} = 420,420

𝐹25 = {𝐹0,2

5 , 𝐹1,25 , 𝐹2,2

5 } = {420,630,420} = 420,630,420

𝐹34 = {𝐹0,3

4 , 𝐹1,34 , 𝐹2,3

4 , 𝐹3,34 } = {210,420,420,210} = 210,420,420,210

Obtención de la fila 1 en función de la fila 0 420=210*4/2 y, 420=420

Obtención de la fila 2 en función de la fila 1 420=420*3/3 630=420*3/2 y, 420=420

Obtención de la fila 3 en función de la fila 2 210=420*2/4 420=630*2/3 420=420*2/2 y, 210=210

Caso m=8

n k 𝑵𝒕𝒇° = 5

0 8 336 1 7 840 840 2 6 1120 1680 1120 3 5 840 1680 1680 840 4 4 336 840 1120 840 336

𝐹08 = {𝐹0,0

8 } = {336} = 336

𝐹17 = {𝐹0,1

7 , 𝐹1,17 } = {840,840} = 840,840

𝐹26 = {𝐹0,2

6 , 𝐹1,26 , 𝐹2,2

6 } = {1120,1680,1120} = 1120,1680,1120

𝐹35 = {𝐹0,3

5 , 𝐹1,35 , 𝐹2,3

5 , 𝐹3,35 } = {840,1680,1680,840} = 840,1680,1680,840

𝐹44 = {𝐹0,4

4 , 𝐹1,44 , 𝐹2,4

4 , 𝐹3,44 , 𝐹4,4

4 } = {336,840,1120,840,336} = 336,840,1120,840,336

Obtención de la fila 1 en función de la fila 0 840=336*5/2 y, 840=840 Obtención de la fila 2 en función de la fila 1 1120=840*4/3 1680=840*4/2 y, 1120=1120 Obtención de la fila 3 en función de la fila 2 840=1120*3/4 1680=1680*3/3 1680=1120*3/2 y, 840=840 Obtención de la fila 4 en función de la fila 3 336=840*2/5 840=1680*2/4 1120=1680*2/3 840=840*2/2 y, 336=336

La singularidad para m=8, corresponde a 8,2,2,2,2, dada por: 2520 =8!

24

Las singularidades se dan para las m, múltiplos de 4 y responden a la sucesión:{(4𝑛)!

(𝑛!)4}

4!

14,

8!

24,12!

64,

16!

244,

20!

1204, …

Método para la obtención de una expresión que nos de los coeficientes tetranomiales de una fila

genérica n de los triángulos equiláteros, caras de los tetraedros secundarios del desarrollo de

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎

Análogamente al método utilizado en el caso de los coeficientes Trinomiales en el estudio del

“Prisma Combinatorio”, para la obtención de la fórmula correspondiente a una fila genérica n,

utilizaremos los mismos procedimientos del método anterior, pero completando las expresiones para

homogenizar las secuencias, sin alterar los resultados, expresando cada uno de los términos en función

de m. Para ello consideraremos el caso m=7

Fila (n) Nivel (m-n) Denominadores Expresión Factorial

Fila 0 Nivel m

m (m-1)(m-2)/1 1 0!1!

Fila 1 Nivel (m-1)

m(m-1)(m-2)(m-3)/2

m(m-1)(m-2)(m-3)/2

2

2

1!2!

2!1!

Fila 2 Nivel(m-2)

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.2

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3

2.3

2.2

2.3

1!3!

2!2!

3!1!

Fila3 Nivel(m-3)

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.2

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-4)/2.3.2

m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4

2.3.4

2.3.2

2.3.2

2.3.4

1!4!

2!3!

3!2!

4!1!

El numerador (A), en cada caso se puede expresar como:

A=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)]=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)] *[m-(n+3)]!/ [m-(n+3)]!= m!/ [m-(n+3)]!

Y de (𝑚

𝑛 + 3) =

𝑚!

[𝑚−(𝑛+3)]!(𝑛+3)!, obtenemos: A=(

𝑚𝑛 + 3

) ∗ (𝑛 + 3)!

La secuencia de los denominadores, puede obtenerse de : (i+1)!(n-i+1)!.Entonces, la expresión

buscada, estará dada por:

𝑭𝒏𝒎−𝒏 = (

𝒎𝒏 + 𝟑

) (𝒏 + 𝟑)! {𝟏

(𝒊+𝟏)!(𝒏−𝒊+𝟏)!} con i=0,1,2,…,n

𝑚 ≥ 𝑛 + 3 ,luego la expresión es válida sí 𝑚 − 𝑛 ≥ 3

Como comprobación y ejemplo, aplicaremos esta expresión para obtener los coeficientes tetranomiales

del tetraedro secundario del caso m=8

Caso m=8 Fila 0 , Nivel 8, i=0

𝐹08 = (

83

) 3! {1

1! 1!} = 336 {

1

1} = 336

Fila 1, Nivel 7, i=0,1

𝐹17 = (

84

) 4! {1

1!2!,

1

2!1!} =1680{

1

2,

1

2} = 840,840

Fila 2, Nivel 6, i=0,1,2

𝐹26 = (

85

) 5! {1

1!3!,

1

2!2!,

1

3!1!}=6720 {

1

6,

1

4,

1

6} = 1120,1680,1120

Fila 3, Nivel 5, i=0,1,2,3

𝐹35 = (

86

) 6! {1

1! 4!,

1

2! 3!,

1

3! 2!,

1

4! 1!} = 20160 {

1

24,

1

12,

1

12,

1

24} = 840,1680,1680,840

Fila 4, Nivel 4, i=0,1,2,3,4

𝐹44 = (

87

) 7! {1

1! 5!,

1

2! 4!,

1

3! 3!,

1

4! 2!,

1

5! 1!} = 40320 {

1

120,

1

48,

1

36,

1

48,

1

120} = 336,840,1120,840,336

Tetraedro Suma (T.Suma), y otras observaciones importantes

En el desarrollo de un nuevo trabajo denominado “Coeficientes multinomiales y generalización

del triangulo de Pascal” , hemos determinado que para el caso de los coeficientes Tetranomiales ,

los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP), del caso

correspondiente, manteniendo la misma orientación y el paralelismo de sus caras, para ello

deberemos colocar siempre su vértice en el nivel 3 de dicho TP, extendiéndose hasta ubicar su

nivel de base, siempre en el nivel 𝒏 − 𝟏 , del tetraedro principal del caso. Al tetraedro

resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma).

Análogamente, si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4, como CS, y al nivel

de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente

relación:

CS NA

m=4j 3j con j=1,2,3,...

Así para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojará en el nivel 3 del T.Suma

Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma

Y así sucesivamente.

Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vértice, hasta un valor n

correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura:

Nivel Tetraedro principal 0 1 2 Nivel 0 Tetraedro secundario 3…... Singularidad ........................... . . . n-1.. n

Así por ejemplo, sí en la deducción anterior de los coeficientes del tetraedro secundario

correspondiente al caso de m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel

correspondiente del TS, para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal, para conformar

el tetraedro suma, bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro

caso considerado.

m=8 Filas TS Niveles TS Nivel T.Suma

0 0 3

1 1 4

2 2 5

3 3 6

4 4 7

Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso

del tetraedro suma para m=8

Nivel 0 . 1 (Vértice del T.Suma)

Nivel 1 8 Nivel 2 28

8 8 56 56

28 56 28

Nivel 3 56 Nivel 4 70

168 168 280 280

168 336 168 420 840 420

56 168 168 56 280 840 840 280

70 280 420 280 70

Nótese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vértice (nivel 0)

del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la

sección del nivel 1 del TS del caso.

Nivel 5 56

280 280

560 1120 560

560 1680 1 680 560

280 1120 1680 1120 280

56 280 560 560 280 56

Nivel 6 28

168 168

420 840 420

560 1680 1680 560

420 1680 2520 1680 420

168 840 1680 1680 840 168

28 168 420 560 420 168 28

Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520

Nivel 7 8

56 56

168 336 168

280 840 840 280

280 1120 1680 1120 280

168 840 1680 1680 840 168

56 336 840 1120 840 336 56

8 56 168 280 280 168 56 8

Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8

Nivel 8 1

8 8

28 56 28

56 168 168 56

70 280 420 280 70

56 280 560 560 280 56

28 168 420 560 420 168 28

8 56 168 280 280 168 56 8

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Esta sección o base del T.Suma, se corresponde con el triángulo de coeficientes trinomiales ∆𝑇, para

m=8

Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales

Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma Combinatorio” como método gráfico para obtener la distribución de los coeficientes Trinomiales ∆𝑻, correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son aplicables a la determinación de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m. A continuación un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea el caso)

DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4)

Casos de m=3 Diagrama de colmena + Caso de m=4

N:0 N:1 N:1

3 3 3 4 1 1 1

3 3 3 3 3 3 4 4 N:1 N:2 N:2 3 3 3 6

3 3 3 6 6 6 6 6 6 12 12

3 3 3 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 12 6

Caso de m= 3 Diagrama de colmena Caso de m=4

N: 2 N:3 N:3 1 1 1 4 3 3 3 6 6 3 3 3 6 3 3 3 3 3 12 12 3 6 3 1 3 3 1 6 6 6 6 3 6 3 3 6 3 12 24 12 3 6 3 3 6 3 1 3 3 1 1 3 3 1 4 12 12 4

Los niveles de base se corresponden con los ∆𝑇 de ambos casos: N:4

1

N:3 Diagrama de colmena

1 1

4 4

3 3 3 3

6 12 6

3 6 3 3 6 3

4 12 12 4

1 3 3 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1

Consideramos que con esta serie de trabajos, “Prisma combinatorio”, “Distribución tetraédrica de

coeficientes Tetranomiales”, y “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de

Pascal”, hemos abordado en forma exhaustiva, el tema de la determinación de los coeficientes del

desarrollo de un polinomio tal como: (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑟)𝑚, para cualquier valor entero de r

y de la potencia m.

Enrique R.Acosta R. 2016