ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστήριο

Ηλεκτρικών

Κυκλωμάτων Ενότητα 4η

Τσόρμπας Νικόλαος

12/1/2015

Άσκηση 1: Τετράπολα

Σκοπός της άσκησης αυτής ήταν η θεωρητική κατανόηση των τετραπόλων. Πιο

συγκεκριµένα η κατασκευή τους στην γενικότερη µορφή τους και η κατανόηση των τύπων

που χαρακτηρίζουν τις διάφορες απλούστερες µορφές τετραπόλων, οι οποίες συνθέτουν τις

πιο σύνθετες µορφές. Σκοπός ήταν επίσης και η πειραµατική εύρεση των παραµέτρων των

τετραπόλων µε δύο διαφορετικούς τρόπους.

Άσκηση 2: Ηθµοί

Σκοπός της άσκησης ήταν η κατανόηση των νόµων που διέπουν τους ηθµούς, καθώς και τις

κατηγορίες των ηθµών: χαµηλοπερατός, υψηλοπερατός, ηθµός ζώνης. Πραγµατοποιήθηκε η

θεωρητική εκµάθηση των εννοιών που είναι χρήσιµες για την µελέτη των ηθµών, και η

πρακτική εφαρµογή τους για τη πειραµατική εφαρµογή τους.

Άσκηση 1: Τετράπολα

Θεωρία

1) Γενικά

Με τον όρο τετράπολο εννοείται ένα γραµµικό κύκλωµα, που έχει δυο ακροδέκτες εισόδου

και δυο ακροδέκτες εξόδου. Στην εργασία αυτά τα τετράπολα αποτελούνται από απλά

στοιχεία δυο ακροδεκτών, που είναι όλα γραµµικά, αντιστρεπτά και παθητικά.

Για κάθε γραµµικό τετράπολο υπάρχει µια γραµµική σχέση ανάµεσα στην τάση και στο

ρεύµα εισόδου, και στην τάση και το ρεύµα εξόδου, που µπορεί να εκφραστεί µε την εξής

µορφή:

1 2 2

1 2 2

V AV BI

I CV DI

= +

= +

και σε µορφή πινάκων

1 2

1 2

V VA B

C DI I

=

όπου οι Α και D αδιάστατες σταθερές. Η Β έχει διαστάσεις αντίστασης, ενώ η C έχει

διαστάσεις αγωγιµότητας. Οι σταθερές αυτές ονοµάζονται γραµµικές παράµετροι του

τετραπόλου. Αντίστοιχα ο πίνακας

A B

C D

ονοµάζεται πίνακας µεταφοράς του τετραπόλου.

Ένα τετράπολο είναι συµµετρικό αν ισχύει A = D. Επίσης ισχύει AD – BC = 1

2) Απλά δικτυώµατα µεταφοράς

Σε πολλές περιπτώσεις ένα δικτύωµα µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας αποτελείται από

αλληλουχία στοιχείων συνδεδεµένων σε σειρά ή σε διακλάδωση. Οι παράµετροι του

δικτυώµατος µπορούν να υπολογιστούν από τις παραµέτρους των επί µέρους στοιχείων.

Κατ’ αυτόν τον τρόπο διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις:

i. Σύνθετη αντίσταση σε σειρά

Έστω το τετράπολο της παρακάτω εικόνας;

Εικόνα 1 Τετράπολο με σύνθετη αντίσταση σε σειρά

Ισχύει ότι:

1 2 2

1 2

V V ZI

I I

= +

=

Και σε µορφή πινάκων:

1 2

1 2

1

0 1

V VZ

I I

=

ii. Τετράπολο µε δύο σύνθετες αντιστάσεις

Στην περίπτωση αυτή το τετράπολο θα έχει την παρακάτω µορφή:

Εικόνα 2 Τετράπολο με δύο σύνθετες αντιστάσεις

ενώ θα ισχύει:

( )1 2 1 2 2

1 2

V V Z Z I

I I

= + +

=

Και σε µορφή πινάκων:

1 21 2

1 2

1

0 1

V VZ Z

I I

+=

iii. Τετράπολο µε σύνθετη αντίσταση σε διακλάδωση

Το τετράπολο αυτής της κατηγορίας απεικονίζεται παρακάτω:

Εικόνα 3 Τετράπολο με σύνθετη αντίσταση σε διακλάδωση

Και ισχύει ότι:

1 2

1 2

Z

Z

V V V

I I I

= =

= +

όπου VZ είναι η διαφορά δυναµικού στα άκρα της Ζ και ισχύει Z Z

V I Z=

Ο συνδυασµός των παραπάνω εξισώσεων δίνει σαν αποτέλεσµα:

1 2

1 2 2

1

V V

I V IZ

=

= +

και σε µορφή πινάκων:

1 2

1 2

1 0

11

V V

ZI I

=

Τα συνθετότερα τετράπολα µπορούν να προκύψουν από τους πίνακες µεταφοράς των απλών

τετραπόλων.

3) Υπολογισµός των γραµµικών παραµέτρων ενός τετραπόλου – Γενική περίπτωση

Αν ένα τετράπολο έχει τους ακροδέκτες εξόδου ανοιχτούς, τότε προκύπτουν οι εξής τύποι:

11 2

2 0I

VV AV A

V=

= ⇒ =

2

11 2

2 0I

II CV C

V=

= ⇒ =

Βραχυκυκλώνοντας τους ακροδέκτες εξόδου του τετραπόλου προκύπτουν οι παρακάτω

τύποι:

2

11 2

2 0V

VV BI B

I=

= ⇒ =

2

11 2

2 0V

II DI D

I=

= ⇒ =

4) Υπολογισµός των γραµµικών παραµέτρων ενός τετραπόλου – Ωµοµέτρηση

Ο άλλος τρόπος για την εύρεση των παραµέτρων είναι χρησιµοποιώντας τους παρακάτω

τύπους:

( )

( )

( )

( )

1

2 2

12

2 2

1 2 2

2

1 2 2

1

a

a b

ab

a b

a a b

a

a a b

ZA

Z Z

ZB Z

Z Z

CZ Z Z

ZD

Z Z Z

=−

=−

=−

=−

όπου 1aZ η αντίσταση στη θύρα 1 µε ανοιχτούς τους ακροδέκτες Α και Β, 2a

Z η αντίσταση

στη θύρα 2 µε ανοιχτούς τους ακροδέκτες Α και Β και 2bZ η αντίσταση στη θύρα 2 µε

βραχυκυκλωµένους τους ακροδέκτες της θύρας 1.

Άσκηση 2: Συχνοτική απόκριση κυκλωµάτων. Ηθµοί

1) Γενικά

Τα κυκλώµατα ηθµών αποτελούν κυκλώµατα, που επιτρέπουν την διέλευση από την είσοδο

στην έξοδο του κυκλώµατος, σηµάτων από κάποια συγκεκριµένη περιοχή του φάσµατος

συχνοτήτων και παράλληλα εµποδίζουν την διέλευση σηµάτων διαφορετικής συχνότητας. Τα

βασικότερα κυκλώµατα ηθµών είναι: α) χαµηλοπερατοί ηθµοί β) υψηλοπερατοί ηθµοί γ)

ηθµοί διέλευσης ζώνης.

Οι χαµηλοπερατοί ηθµοί επιτρέπουν τη διέλευση σηµάτων χαµηλής συχνότητας µέχρι µια

µέγιστη συχνότητα που ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής και καθορίζει τη ζώνη διέλευσης,

ενώ εµποδίζουν την διέλευση κάθε σήµατος συχνότητας µεγαλύτερης της συχνότητας

αποκοπής. Παράδειγµα χαµηλοπερατού ηθµού είναι ένα κύκλωµα RC όπου ο πυκνωτής είναι

στην έξοδο. Πράγµατι όταν το 0ω→ ο πυκνωτής παρουσιάζει πολύ µεγάλη αντίσταση και

συµπεριφέρεται πρακτικά σαν ανοιχτό κύκλωµα µε αποτέλεσµα η τάση του να είναι ίση µε

την τάση εισόδου. Όταν ω→∞ο πυκνωτής έχει πολύ µικρή αντίσταση η οποία πρακτικά

βραχυκυκλώνει τους ακροδέκτες εξόδου. Έτσι η τάση εξόδου θα τείνει στο µηδέν.

Οι υψηλοπερατοί ηθµοί αντίστοιχα επιτρέπουν την διέλευση σηµάτων υψηλής συχνότητας

και εµποδίζουν την διέλευση σηµάτων χαµηλής συχνότητας. Παράδειγµα υψηλοπερατού

ηθµού µπορεί να χαρακτηριστεί το ίδιο κύκλωµα RC µόνο που η αντίσταση θα είναι στην

έξοδο. Σε χαµηλότερες συχνότητες η αντίσταση του πυκνωτή θα είναι πολύ µεγάλη,

εµποδίζοντας οποιοδήποτε σήµα εισόδου να περάσει από την έξοδο του πυκνωτή. Σε υψηλές

συχνότητες ο πυκνωτής λειτουργεί σαν βραχυκύκλωµα διευκολύνοντας την διέλευση

σηµάτων µε υψηλότερες συχνότητες.

Τέλος οι ηθµοί διέλευσης ζώνης επιτρέπουν την διέλευση σηµάτων µε συχνότητα που

βρίσκεται σε µια ζώνη συχνοτήτων και αποκόπτουν οποιοδήποτε άλλο σήµα. Ένας τέτοιος

ηθµός µπορεί να κατασκευαστεί µε την σύνδεση σε σειρά ενός χαµηλοπερατού και ενός

υψηλοπερατού ηθµού.

Για τους ηθµούς είναι χρήσιµες οι παρακάτω έννοιες:

Η ενίσχυση ισχύος ορίζεται ως ο λόγος της ισχύος του σήµατος εξόδου ως προς την ισχύ του

σήµατος εισόδου. Η ενίσχυση τάσης ή µέτρο της συχνοτικής συνάρτησης µεταφοράς ορίζεται

ως ο λόγος των µέτρων της τάσεως εξόδου προς την ένταση της τάσεως εισόδου. Ο λόγος

αυτός είναι µπορεί να είναι είτε πολύ µεγάλος είτε πολύ µικρός. Έτσι εναλλακτικά

χρησιµοποιείται η λογαριθµική κλίµακα bel και εκφράζει την αύξηση ή µείωση της ισχύος

κατά µία τάξη µεγέθους. Επειδή η µονάδα bel είναι πολύ µεγάλη συνήθως χρησιµοποιείται η

µονάδα decibel. Για τα πειράµατα ο τύπος της µονάδας decibel είναι ο παρακάτω:

1020log o

i

VA

V=

Για ένα σύστηµα µε ακροδέκτες εισόδου και εξόδου στο οποίο εφαρµόζεται µια ηµιτονοειδής

τάση ως συνάρτηση µεταφοράς ορίζεται ο λόγος του µιγαδικού ανύσµατος της τάσης εξόδου

προς το µιγαδικό άνυσµα της τάσης εισόδου για κάθε ω. ∆ηλαδή:

( ) o

i

VG f

V=

Τέλος η συχνοτική απόκριση µιας συνάρτησης µεταφοράς ως προς την ενίσχυση τάσης και

την µετατόπιση φάσης σε διάφορες τιµές της κυκλικής συχνότητας γύρω από την συχνότητα

αποκοπής ονοµάζεται συχνοτικό διάγραµµα. Ένα προσεγγιστικό διάγραµµα του συχνοτικού

διαγράµµατος το οποίο και θα χρησιµοποιηθεί και κατά την πειραµατική επεξεργασία των

αποτελεσµάτων ονοµάζεται διάγραµµα Bode.

Πειραµατικές ασκήσεις:

1η άσκηση:

Στην πρώτη άσκηση αρχικά κατασκευάσθηκε το παρακάτω τετράπολο:

Εικόνα 4 Το πρώτο κύκλωμα της 1ης άσκησης

Αρχικά χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος µέτρησης των τάσεων και των ρευµάτων. Έτσι λοιπόν

έγιναν οι παρακάτω µετρήσεις:

• Έχοντας ανοιχτούς τους ακροδέκτες Α και Β µετρήθηκαν οι τάσεις 1aV και 2V και το

ρεύµα 1aI

• Με βραχυκυκλωµένους τους ακροδέκτες Α και Β µετρήθηκε η τάση 1bV και τα

ρεύµατα 2 ABI και 1b

I

Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται παρακάτω:

1

1

2

2

1

1

10

10

5.03

1.23

1.98

2.91

a

b

AB

a

b

V V

V V

V V

I mA

I mA

I mA

=

=

=

=

=

=

Χρησιµοποιώντας τους τύπους της θεωρίας, υπολογίστηκαν οι παράµετροι του τετραπόλου:

3

2.19

11607

0.43 10

2.7

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Για τον θεωρητικό υπολογισµό των παραµέτρων, θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των πινάκων.

Το σύνθετο τετράπολο της εικόνας αποτελείται από πέντε απλούστερα. Έτσι για τον

υπολογισµό των παραµέτρων πρέπει να γίνει η επίλυση του παρακάτω γινοµένου πινάκων:

3 4 6 71

52

111 0 1 0 1

110 1 0 1 01 1 1

R R R RR

RR

+ +⇒

Τα αποτελέσµατα των πράξεων είναι:

3

2.18

10637

0.42 10

2.5

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Οι πειραµατικές τιµές βρίσκονται σε συµφωνία µε τις αναµενόµενες θεωρητικές.

Στη συνέχεια χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος µέτρησης ωµικών αντιστάσεων.

• Αφαιρώντας την πηγή από το κύκλωµα και αφήνοντας ανοιχτούς τους ακροδέκτες Α

και Β µετρήθηκε η αντίσταση 1aZ στη θύρα 1

• Με βραχυκυκλωµένους τους ακροδέκτες µετρήθηκε η αντίσταση 1bZ στη θύρα 1

• Με ανοιχτούς τους ακροδέκτες της θύρας 1 µετρήθηκε η αντίσταση 2aZ στη θύρα 2

• Με βραχυκυκλωµένους τους ακροδέκτες της θύρας 1 µετρήθηκε η αντίσταση 2bZ

στη θύρα 2

Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται παρακάτω:

1

1

2

2

5.04

4.16

6.35

5.30

a

b

a

b

Z

Z

Z

Z

= Ω

= Ω

= Ω

= Ω

Χρησιµοποιώντας τους τύπους της θεωρίας τα αποτελέσµατα για τις παραµέτρους του

τετραπόλου είναι:

3

2.19

11607

0.43 10

2.7

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Κι αυτές οι τιµές είναι συµβατές τόσο µε τις θεωρητικές όσο και µε τις τιµές της

προηγούµενης µεθόδου.

Στη συνέχεια κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 5 Το δεύτερο κύκλωμα της 1ης άσκησης

Χρησιµοποιώντας και πάλι την µέθοδο των τάσεων και των ρευµάτων. Οι µετρήσεις

φαίνονται παρακάτω:

1

1

2

2

1

1

9.9

9.8

6.84

4.06

3.11

5.87

a

b

AB

a

b

V V

V V

V V

I mA

I mA

I mA

=

=

=

=

=

=

Χρησιµοποιώντας τους τύπους της θεωρίας, υπολογίστηκαν οι παράµετροι του τετραπόλου:

3

1.45

2413

0.45 10

1.45

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Το τετράπολο είναι συµµετρικο. Για τις θεωρητικές τιµές χρησιµοποιείται η ίδια µέθοδος µε

το προηγούµενο τετράπολο. Οι θεωρητικές τιµές υπολογίστηκαν ίσες µε:

3

1.45

2454

0.45 10

1.45

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Και σ’ αυτήν την περίπτωση οι θεωρητικές τιµές συµφωνούν µε τις πειραµατικές.

Στη συνέχεια τα δύο τετράπολα συνδέθηκαν σε σειρά µεταξύ τους και υπολογίστηκαν στο

νέο τετράπολο που σχηµατίστηκε, µε την µέθοδο των τάσεων και ρευµάτων, οι παράµετροί

του.

Εικόνα 6 Η σύνδεση των δύο προηγούμενων κυκλωμάτων σε ένα

1

1

2

2

1

1

9.9

9.9

1.23

0.47

2.27

2.35

a

b

AB

a

b

V V

V V

V V

I mA

I mA

I mA

=

=

=

=

=

=

Οι παράµετροι του τετραπόλου υπολογίστηκαν:

3

8.05

21063

1.85 10

5

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Με τις τιµές αυτές, καθώς και τις παραµέτρους των δύο προηγούµενων τετραπόλων, έπρεπε

να επαληθευθεί η παρακάτω σχέση:

Χρησιµοποιώντας αρχικά τις τιµές από την µέθοδο των αντιστάσεων για το πρώτο τετράπολο

το γινόµενο των δύο πινάκων βγάζει:

3

8.4

22114

1.84 10

4.95

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Ενώ για τις τιµές µε την µέθοδο των τάσεων:

3

7.95

20684

1.73 10

4.64

A

B

C Siemens

D

−

=

= Ω

= ×

=

Αυτό που παρατηρείται είναι ότι επαληθεύτηκε η ζητούµενη εξίσωση και για τις δύο οµάδες

παραµέτρων που υπήρχαν για το πρώτο τετράπολο, µε τις τιµές να βρίσκονται κοντά µε τις

αναµενόµενες, γεγονός που πιστοποιεί την ορθότητα των µετρήσεών. Οι αποκλίσεις µεταξύ

τους οφείλονται σε σφάλµατα κατά τη διάρκεια των µετρήσεων.

2η άσκηση:

Το κύκλωµα που κατασκευάστηκε αρχικά ήταν το παρακάτω:

Εικόνα 7 Ο χαμηλοπερατός ηθμός 1ης τάξης της δεύτερης άσκησης

Αρχικά έγινε σάρωση στις συχνότητες:

• 1 – 10kHz / 1kHz

• 10 – 50kHz / 5kHz

• 50 – 300 kHz / 50kHz

και µετρήθηκε για κάθε συχνότητα η τάση εξόδου. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται

συγκεντρωµένα στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 1 Τα δεδομένα για τον χαμηλοπερατό ηθμό πρώτης τάξης

f (kHz) V (V) G(f) 20log[G(f)] (dB)

1 4 1 0

2 4 1 0

3 4 1 0

4 4 1 0

5 4 1 0

6 4 1 0

7 4 1 0

8 4 1 0

9 4 1 0

10 4 1 0

15 3.6 0,9 -0,92

20 3.2 0,8 -1,94

25 3.2 0,8 -1,94

30 2.8 0,7 -3,10

35 2.8 0,7 -3,10

40 2.4 0,6 -4,44

45 2.4 0,6 -4,44

50 2 0,5 -6,02

100 1.2 0,3 -10,46

150 0.75 0,1875 -14,54

200 0.6 0,15 -16,48

250 0.5 0,125 -18,06

300 0.35 0,0875 -21,16

Από τα παραπάνω παρατηρείται ότι ο ηθµός είναι χαµηλοπερατός. Παρακάτω εµφανίζεται

το διάγραµµα Bode για τον ηθµό αυτό:

Διάγραμμα 1 Το διάγραμμα Bode για τον χαμηλοπερατό ηθμό 1ης τάξης

Για την θεωρητική τιµή της συχνότητας αποκοπής χρησιµοποιήθηκε ο τύπος 1

.2

cf

RCπ= Η

θεωρητική τιµή υπολογίστηκε ίση µε 33.86 .c

f kHz=

y = 0,0002x2 - 0,1249x + 0,6396

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

1 10 100 1000

20

log

[G(f

)](d

B)

f (kHz)

Για την πειραµατική τιµή χρησιµοποιήθηκε η εξίσωση της καµπύλης, ύστερα από το fitting

που έγινε στο διάγραµµα και υπολογίστηκε η συχνότητα που δίνει τα -3dB. Η συχνότητα

αυτή υπολογίστηκε ίση µε 30.64 .c

f kHz= Οι δύο τιµές βρίσκονται κοντά µεταξύ τους.

Στη συνέχεια κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 8 Ο χαμηλοπερατός ηθμός 2ης τάξης της δεύτερης άσκησης

Η σάρωση έγινε στις συχνότητες:

0.5kHz, 0.8kHz, 1 – 10kHz / 1kHz, 15kHz, 20 – 100kHz / 10kHz

Τα δεδοµένα που µετρήθηκαν ήταν ίδια µε το προηγούµενο κύκλωµα. Αυτά παρουσιάζονται

συγκεντρωτικά στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 2 Τα δεδομένα για τον χαμηλοπερατό ηθμό 2ης τάξης

f (kHz) V (V) G(f) 20log[G(f)] (dB)

0,5 4 1 0

0,8 4 1 0

1 4 1 0

2 4 1 0

3 4 1 0

4 4 1 0

5 4 1 0

6 3,6 1 0

7 3,6 1 0

8 3,2 1 0

9 3,2 0,9 -0,92

10 3,2 0,8 -1,94

15 2,8 0,8 -1,94

20 2,2 0,7 -3,10

30 2 0,7 -3,10

40 1,6 0,6 -4,44

50 1,6 0,6 -4,44

60 1,3 0,5 -6,02

70 1,2 0,3 -10,46

80 1,1 0,1875 -14,54

90 1 0,15 -16,48

100 1 0,125 -18,06

Από τα παραπάνω παρατηρείται ότι ο ηθµός είναι επίσης χαµηλοπερατός. Παρακάτω

εµφανίζεται το διάγραµµα Bode για τον ηθµό αυτό:

Διάγραμμα 2 Το διάγραμμα Bode για τον χαμηλοπερατό ηθμό 2ης τάξης

Με τον ίδιο τρόπο όπως µε το προηγούµενο κύκλωµα υπολογίζεται η συχνότητα αποκοπής:

• Η θεωρητική µε τον τύπο: 0.374

12.662

c cf f kHz

RCπ= ⇒ =

• Η πειραµατική µέσω της εξίσωσης του fitting της καµπύλης, λύνοντας το διώνυµο

για y = -3dB. Η πειραµατική υπολογίστηκε 14.96c

f kHz=

Το επόµενο κύκλωµα που κατασκευάστηκε ήταν το παρακάτω:

Εικόνα 9 Ο υψηλοπερατός ηθμός 1ης τάξης της δεύτερης άσκησης

Η σάρωση των συχνοτήτων είχε το παρακάτω εύρος:

• 1 – 10kHz / 1 kHz

• 10 – 50kHz / 5 kHz

• 50 – 300kHz / 50 kHz

Τα δεδοµένα ήταν τα παρακάτω:

y = 0,0012x2 - 0,2452x + 0,399

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0,1 1 10 100

20

log

[G(f

)] (

dB

)

f (kHz)

Πίνακας 3 Ο πίνακας των μετρήσεων του υψηλοπερατού ηθμού 1ης τάξης

f (kHz) V (V) G(f) 20log[G(f)] (dB)

1 0,15 0,0375 -28,52

2 0,295 0,07375 -22,64

3 0,45 0,1125 -18,98

4 0,6 0,15 -16,48

5 0,72 0,18 -14,89

6 0,9 0,225 -12,96

7 1 0,25 -12,04

8 1,2 0,3 -10,46

9 1,3 0,325 -9,76

10 1,4 0,35 -9,12

15 2 0,5 -6,02

20 2,3 0,575 -4,81

25 2,6 0,65 -3,74

30 2,8 0,7 -3,10

35 3 0,75 -2,50

40 3,1 0,775 -2,21

45 3,2 0,8 -1,94

50 3,2 0,8 -1,94

100 3,6 0,9 -0,92

150 3,6 0,9 -0,92

200 3,6 0,9 -0,92

250 3,6 0,9 -0,92

300 3,6 0,9 -0,92

Ο ηθµός αυτός είναι υψηλοπερατός. Η γραφική παράσταση των δεδοµένων µαζί µε το

πολυωνυµικό fitting η γραφική παράσταση είναι:

Διάγραμμα 3 Διάγραμμα Bode υψηλοπερατού ηθμού 1ης τάξης

y = -0,0006x2 + 0,2194x - 14,158

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

1 10 100 1000

20

log

[G(f

)] (

dB

)

f (kHz)

Η συχνότητα αποκοπής θα βρεθεί θεωρητικά µέσω του τύπου 1

.2

cf

RCπ= Έτσι η

θεωρητική τιµή είναι ίση µε 56.23c

f kHz=

Η αντίστοιχη πειραµατική θα βρεθεί αν λυθεί η εξίσωση για y = -3.74 αφού δεν φτάνει µέχρι

το 0 η καµπύλη. Η πειραµατική τιµή υπολογίστηκε ίση µε 26.52 .c

f kHz= Η µεγάλη

απόκλιση που παρατηρείται οφείλεται σε τυχόν σφάλµατα κατά την διάρκεια των µετρήσεων.

Το επόµενο κύκλωµα ήταν ένας ηθµός 1ης

τάξης µε µειωµένη στάθµη στη ζώνη λειτουργίας

και ήταν το εξής:

Εικόνα 10 Ο υψηλοπερατός ηθμός 2ης τάξης της δεύτερης άσκησης

Η σάρωση των συχνοτήτων είχε το παρακάτω εύρος:

• 1 – 10kHz / 1 kHz

• 10 – 100kHz / 10 kHz, 15kHz

• 100 – 300kHz / 50 kHz

Τα δεδοµένα ήταν τα παρακάτω:

Πίνακας 4 Μετρήσεις υψηλοπερατού ηθμού 2ης τάξης

f (kHz) V (V) G(f) 20log[G(f)] (dB)

1 0,09 0,0225 -32,96

2 0,16 0,04 -27,96

3 0,24 0,06 -24,44

4 0,32 0,08 -21,94

5 0,4 0,1 -20,00

6 0,48 0,12 -18,42

7 0,56 0,14 -17,08

8 0,64 0,16 -15,92

9 0,7 0,175 -15,14

10 0,76 0,19 -14,42

20 1,4 0,35 -9,12

30 1,8 0,45 -6,94

40 2,1 0,525 -5,60

50 2,3 0,575 -4,81

60 2,4 0,6 -4,44

70 2,4 0,6 -4,44

80 2,5 0,625 -4,08

90 2,5 0,625 -4,08

100 2,6 0,65 -3,74

150 2,6 0,65 -3,74

200 2,6 0,65 -3,74

250 2,6 0,65 -3,74

300 2,6 0,65 -3,74

Ο ηθµός αυτός είναι κι αυτός υψηλοπερατός. Η γραφική παράσταση των δεδοµένων µαζί µε

το πολυωνυµικό fitting η γραφική παράσταση είναι:

Διάγραμμα 4 Διάγραμμα Bode υψηλοπερατού ηθμού 2ης τάξης

Η συχνότητα αποκοπής θα βρεθεί θεωρητικά µέσω του τύπου ( )1 2

1.

2cf

R R Cπ=

+Έτσι η

θεωρητική τιµή είναι ίση µε 37c

f kHz=

y = -0,0007x2 + 0,2531x - 20,339

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

1 10 100 1000

20

log

[(G

f)]

(dB

)

f (kHz)

Η αντίστοιχη πειραµατική θα βρεθεί αν λυθεί η εξίσωση για y = -6.74 αφού δεν φτάνει µέχρι

το 0 η καµπύλη. Η πειραµατική τιµή υπολογίστηκε ίση µε 65.65 .c

f kHz= Και σ’ αυτήν την

περίπτωση εµφανίζεται µεγάλη απόκλιση µεταξύ της πειραµατικής και της θεωρητικής τιµής,

η οποία οφείλεται σε σφάλµατα που έγιναν κατά την διάρκεια των µετρήσεων, καθώς θα

έπρεπε να υπάρχει συµφωνία µεταξύ των δύο τιµών τόσο σε αυτό το κύκλωµα όσο και στο

προηγούµενο, όπως παρατηρήθηκε στους χαµηλοπερατούς ηθµούς.

Το τρίτο κύκλωµα που κατασκευάσθηκε αποτελεί έναν ηθµό ζώνης και είναι το παρακάτω:

Εικόνα 11 Ηθμός ζώνης

Η σάρωση των συχνοτήτων είχε το παρακάτω εύρος:

• 500Hz – 1kHz / 100Hz

• 1 – 100kHz / 10 kHz

• 100 – 400kHz / 50 kHz

Πίνακας 5 Δεδομένα ηθμού ζώνης

f (kHz) V (V) G(f) 20log[G(f)] (dB)

0,5 0,12 0,03 -30,4576

0,6 0,145 0,03625 -28,8138

0,7 0,165 0,04125 -27,6915

0,8 0,185 0,04625 -26,6978

0,9 0,21 0,0525 -25,5968

1 0,24 0,06 -24,437

10 0,8 0,2 -13,9794

20 0,84 0,21 -13,5556

30 0,85 0,2125 -13,4528

40 0,85 0,2125 -13,4528

50 0,85 0,2125 -13,4528

60 0,85 0,2125 -13,4528

70 0,85 0,2125 -13,4528

80 0,85 0,2125 -13,4528

90 0,85 0,2125 -13,4528

100 0,8 0,2 -13,9794

150 0,7 0,175 -15,1392

200 0,6 0,15 -16,4782

250 0,5 0,125 -18,0618

300 0,44 0,11 -19,1721

350 0,4 0,1 -20

400 0,36 0,09 -20,9151

Η γραφική παράσταση των δεδοµένων µαζί µε το πολυωνυµικό fitting η γραφική παράσταση

είναι:

Διάγραμμα 5 Διάγραμμα Bode ηθμού ζώνης

Οι συχνότητες αποκοπής βρίσκονται µέσα από τους τύπους

2

1

1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2 2 1

1

2

1 1

2

c

c

R C R C R Cf

R C R C

fR C R C R C

π

π

+ += ⋅

= ⋅+ +

Οι δύο τιµές αυτές είναι:

2

1

68.97

1.1

c

c

f kHz

f kHz

=

=

y = -0,0003x2 + 0,1086x - 22,404

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,1 1 10 100 1000

20

log

[G(f

)] (

dB

)

f (kHz)