ガンマ分布と仲間たちガンマ分布と仲間たち

2015/10/10

TokyoR#51

@xiangze750

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最近

● 色々な本が出版されている。

– 機械学習、統計、R、Python...数学

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数学

今日はこれ

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ガンマ関数とは

● 階乗の一般化

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ガンマ関数とは

● 積分表示

負の数、実数、複素数に拡張できる。http://www.askamathematician.com/2015/05/q-is-there-such-a-thing-as-half-a-derivative/

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ガンマ関数とは

● 積分表示

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ガンマ関数とは

● 無限積表示

分子分母に同じのをかける

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ガンマ関数の性質

をつかうと

https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula

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ガンマ分布

Rでは{d,p,q,r}gamma({x,q,p,n},shape,rate=1,scale=1/rate)

z=kx=λxと改めて置く

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ガンマ分布の意味

● 製品寿命の分布

– k個ある製品がどんどん壊れていく

– 1個の寿命の分布は指数分布

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ガンマ分布の特殊例(1)

k=1のとき

詳しくは「ポアソン分布と指数分布のいけない関係」

指数分布

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ガンマ分布の特殊例(1)

k(自然数)を変数としてみるとx=1のとき

詳しくは「ポアソン分布と指数分布のいけない関係」

ポアソン分布

平均寿命λの製品が単位時間あたりにk-1回故障する確率

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ガンマ分布の特殊例(1)

ガンマ分布

指数分布 ポアソン分布

k=1 x=1

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共役事前分布

ガンマ分布は正規分布の分散の共役事前分布

分散σに対して

とおいて

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ベータ分布

● ベータ関数

をつかって

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ディリクレ分布

● ベータ分布をさらに拡張

ディリクレ分布は多項分布の共役事前分布

N=3のとき

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その他

● カイ2乗分布

– k=n+1/2,　λ=1/2● アーラン分布

– k=n– 待ち時間の分布

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まとめ

● ガンマ分布は確率分布理解の十字路

http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html

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参考資料

● Shinyで確率分布いろいろ– https://ksmzn.shinyapps.io/statdist/

● 確率分布曼荼羅– http://leeswijzer.hatenablog.com/entry/2013/06/26/161846

– http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html