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Grupos de Liey
Curvatura
Coloquio de Orientación Matemática
Efraín Vega
¿Qué es una variedad?
Es un espacio que localmente
es como ℝ, ℝ², ℝ³,..., ℝⁿ,..
?
es variedadpara casi todo
valor de c
¿Por qué son importantes las variedades?
Nuestro universo (sin tomar en cuenta el tiempo) es una 3-variedad
Nadie sabe cual...
El espacio-tiempo es una 4-variedad
Una familia de variedades: el conjunto de rectas por el origen en ℝ, ℝ², ℝ³,...,ℝⁿ,..
: el conjunto de rectas por el origen en ℝ⁴
Otra familia de variedades (medios hermanos complejos de los espacios proyectivos): el conjunto de rectas complejas por el origen en
Fibración de Hopf
Fibración de Hopf
¿Qué es un grupo?
Es un conjunto (G,∗) con una operación que satisface las
propiedades:
1. Cerradura2. Asociativa
3. ∃ Elemento neutro4. ∃ Elemento inverso
Grupo
Las rotaciones en el plano, SO(2), son un grupo de Lie, un círculo
Las rotaciones en el espacio, SO(3), forman un grupo de Lie de dimensión 3
¡Y resulta ser !
Además, podemos asociar a cada rotación un marco ortonormal y a este, un elemento
del haz tangente de la esfera .De modo que SO(3) resulta ser también el
haz tangente unitario de la esfera
Usando las simetrías de un grupo de Lie,
podemos construir para cada vector en alguno de sus
espacios tangentes un campo vectorial
especial. Podemos tomar el espacio tangente a la identidad.
Podemos interpretar el conjunto de campos asociados a cada
vector en el espacio tangente a la identidad como el álgebra de Lie
de nuestro grupo de Lie
¿Quién es la operación del álgebra de Lie?
El Corchete de Lie
Daremos una interpretación dinámica
del corchete de Lie
Dados dos flujos, generados por X y Y, podemos fluir un
cierto tiempo por uno y luego por el otro ¿Qué pasa si
lo hacemos al revés?
¿Llegamos al mismo punto?
La cuestión anterior es equivalente a preguntarnos si regresamos al punto inicial después de viajar un cierto tiempo por el flujo X, luego el mismo tiempo por el flujo Y, luego por -X y finalmente por -Y.
Sí regresamos al mismo puntoEjemplo de dos flujos en el plano que conmutan
No regresamos al mismo punto,Ejemplo de dos
flujos en el plano que no conmutan
El corchete de Lie nos da un nuevo campo que
en cada punto representa la mitad de la aceleración
con la cual se “abre” el cuadrilátero
al correr el tiempo t
¿Quién es el corchete de Lie en SO(3)?
¿Suena conocido?¡Es el producto cruz!
¿Y la curvatura?
Conexiones
ConexiónNos da todos los posibles transportes paralelos que contienen la información
del “permanecer constante” al movernos de
una fibra a otra.
Si depende de la trayectoria hay curvatura
Un ejemplo de una conexión
La conexión tiene curvatura porque el transporte paralelo
depende de la trayectoria
Curvatura 0
La conexión no tiene curvatura porque el
transporte paralelo no depende de la
trayectoria
Consideremos ahora el haz tangente unitario de la 2-esfera, ya vimos que es
La curvatura de la conexión de la 2-esfera, se puede obtener como el corchete de lie de ciertos flujos en el haz tangente unitario
La curvatura de la conexión de una variedad se puede obtener como el corchete de lie de
ciertos flujos en el haz tangente (unitario o no)
Referencias e imágenes
● Francisco Villalobos● Debrayes sobre la curvatura, Efraín Vega
● Wolfram Demonstration Project● Wikipedia
● Visual Geometry and Topology, Fomenko● Homotopic Topology, Fomenko● Camino a la Realidad, Penrose
● Gravitation, Misner● Moda fe y fantasía, Penrose● Amor y matemáticas, Frenkel
● Ordinary Differential equations, Arnold● Lie bracket and Curvature Samelson, Hans
● http://xahlee.info/MathGraphicsGallery_dir/sphere_projection/sphere_proj_illus.png
● https://moodle.capilanou.ca/mod/book/view.php?id=328667&chapterid=1396
● http://mathonline.wikidot.com/the-group-of-symmetries-of-the-square
¡Gracias!
