池袋物理学勉強会(2)

@gm3d2July 30, 2014

池袋バイナリ勉強会拠点

準備: 多変数関数の値の変化● xの関数f(x)について、xがある値から微小な値

δxだけ変化したときのf(x)の変化分は、

● では、３つの変数x、y、zによる関数f(x, y, z)について、変数がそれぞれδx、δy、δzだけ変化したときの変化分は…

…偏微分係数● 一次元の場合の拡張● 「関数の変化分は変数の変化分の一次式」● 一変数の場合と同じく、有限のδに対しては高

次の項が存在するが、微少変化に対しては無視できる

fがx,y,zを通して時間に依存する場合

これから、

合成関数の微分の多変数版x、y、zは必ずしも座標である必要はないし、個数も3個に限らない

1.2節のポイント● 運動エネルギー T: (この形で固定）● ポテンシャル V: 力を決定するもの

(一次元) (多次元）– ポテンシャルを与えることが考えている系の状況設

定に相当する– 力はベクトル、ポテンシャルはスカラー量なのでポ

テンシャルの方が若干扱いが楽

1.2節のポイント(2)● 運動方程式

● 変形、移項して

1.2節のポイント(3)● 全エネルギー E = T + V●

● Eは保存する（時間に対して一定）

● 注意：運動方程式からエネルギー保存は出るが、逆は成り立たない

(運動方程式から)

1.2節のポイント(4)● ラグランジアン(Lagrangian) L:

● 運動方程式はLを使って書ける

Lは の関数と考える

各自確認

Lagrange形式の運動方程式

1.3節のポイント● Lagrange形式の運動方程式

● 変数をxに限る必要はない– 例: 極座標

● (x, y, z)と1対1に対応する任意の座標でよい– 一般化座標

1.3節のポイント(2)● 任意の一般化座標 qiで

が成立する。 を別の一般化座標とするとき、

と置くと

が成り立つ。

1.3節のポイント(3)● ある座標系 qiで

が成立していれば、Qiにおいても

が成り立つことを意味する。– 運動方程式は、座標の選び方によらない概念

1.4節のポイント● 運動方程式をさらに違う形式で扱う

– 中間変数pの導入

– これによって運動方程式は、

と書ける。● 2f自由度の一階微分方程式

1.4節のポイント(2)● Lagrange形式の運動方程式

– Lagrangianから導出● pとxによる一階の形の運動方程式

– Hamilton形式– Hamiltonianから導出

● Hamiltonianとは– 全エネルギーEをx、pで表したもの

1.4節のポイント(3)

● 運動方程式は、

と書ける（各自確認）

…だいぶコンパクトに書ける

Hamiltonの運動方程式

(付録）ベクトル解析の記法● なるべくx、y、zと個別に書かずに済ませたい

…だいぶコンパクトに書ける