Introduction to Persistence Theory

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2017/02/25 第 2 回数理生物カフェs.t.@simizut22Introduction to Persistence Theory

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目次

• Persistent Homology/Module # とは• Persistent Homology の表示方法• Stability

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Persistent Homology # とは


距離空間

Def距離空間は次を満たす関数


距離空間

例 1 ( ユークリッド空間 )例 2 ( 文字列の空間 )文字の集合とし、を上の長さの文字列のなす集合とする。　

を次で与える：

これは上の距離になる□


問題設定

さて、を距離空間とし、を有限集合とする (point cloud という ) がどのような空間 / モデルから生成されたデータなのか、何かしらの情報をから知りたい

例： - 次元 - 連結度


問題設定

一つの道具としての Persistent Homology• 一般的に平面上なら簡単だが，入力の次元が高次元になると大変．• Persistent Homology はデータの次元によらない


複体

Def( 複体 ) に対し、

を - 単体の集合として、これは抽象単体複体を与える□これを複体という


複体の例

-ballsPoint cloud data 𝐶𝜖 𝑆1∨𝑆1∨𝑆1


複体の正当性

以下の定理が成立するThmM をコンパクトリーマン多様体とする．このとき、存在し任意に対し、有限集合が存在し

よい性質をあらわしていてくれていることを期待できそう？？


複体の代替

複体は理論的には素晴らしいが、組み合わせ的な構造により計算的には困難が生じる。

Def(Vietoris-Rips 複体 ) に対し、

を - 単体の集合として、これは抽象単体複体を与えるこれを Vietoris-Rips □複体という

こっちは簡単に計算できる (pt cloud に関する距離の matrix だけで可能 )


Vietoris-Rips 複体の例

-ballsPoint cloud data 𝑅𝜖 𝑆1∨𝑆2


Vietoris-Rips 複体の正当性

定義から明らかに

だが、実際には次も成立

Prop

よって、 ( 各 r ではなく ) r “ ”の増大列

に対し、やの系列を考えるのであれば本質的に同じと思える


1. Rips 複体の列


を ( または ) が生成する - ベクトル空間とするこのとき、境界準同型が次で定まる

すなわち

であることが分かるので，この商をとる：

これを k- 次ホモロジー群という


性質 1. Functorial( 関手性 )特に、包含写像により準同型

が誘導され、次の自然性を持つに対し

2. Homotopy 不変 ( または位相不変 )今日は明示的には使わないので略


Persistent Homology/Module 列に対し Vietoris-Rips 複体の列をとる：

これは Homology の関手性から次のベクトル空間の図式を導くi.e.def 上で構成したベクトル空間の図式を Persistent Homology という．

また一般に，上のような図式を -indexed Persistent Module というここで，


Persistent Homology/ModulePersistent Module において何が重要か？？

矢印がどのくらい同型から外れるかその点である homology クラスは死にある homology クラスは生まれると思える

逆に、 ( 有限型の ) Persistent Module はこのデータから (up-to-iso) → で一意に特徴づけられる次章で説明


Persistent Homology の表示


Interval ModuleDef(Interval Module)Persistent Module 次の図式で与える：

これを Interval Module という

これは時刻 b で発生し時刻 d まで生きる homology class に対応する module


分解定理

Thm(Gabriel, Krull-Schmidt)Persistent Module は次のような Interval Module による分解を持つ :

この直和分解は区間の index の付け替えを除いて一意

PH に対し、 Interval Decomposition を行いそれを横棒の形で並べたものを Barcode という


bar-code の例


分解定理の remarkInterval Decomposition 定理は- -indexed tame module- 離散 indexed zigzag persistent moduleでも成立

これは1 変数多項式環が単項イデアル整域 (PID) ■であることによる


Stability Theorem


Barcode の空間の距離構造

を barcode 全体の空間とする。 i.e. 内の点の multiset 全体の集合には次の bottleneck distance “ ” という距離が定まる

ここでは

の全体を渡る

Prop □は距離空間


Hausdorff 距離

一方距離空間に対しその部分集合の間に (Gromov-)Hausdorff 距離が定義される：

Bottleneck distance と pt cloud 間の Hausdorff 距離を比べたには次の不等式がなり

Thm(Stability) とする。このとき


Stabilitybarcode の間の Bottleneck distance と pt cloud 間の Hausdorff 距離を比べると，その間には次の関係がある

Thm(Stability) とする。このとき

特に bar-code をとる操作は Lipschitz □連続

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