joseph endminister electromagnetismo-serie-schaum

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ELECTROMAGNETISMO

SERIE SCHAUM

ELECTROMAGNETISMO

Teoría y 310 problemasresueltos

Joseph A. Edminister

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DE I

8'BLlOT[C. .T. N' 11"B. GfJL e.c. [;~ (~AVLORA"

LACA'- tiA 535 F~oeRAlSERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

'TEORIA y PROBLEMAS

ELECTROMAGNETISMOI ..

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JOSEPH A. EDMINISTER, M.S.E~ROHI810A

Por

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Lsu VENTA

de

de de

TRADUCCION

PEDRO ALBARRACIN

de s

REVISION

SANTIAGO PINTO

EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA S.A.

. . . ,

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RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D.R.)

Copyright © 1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMERICANA S.A.

Bogotá, Colombia

Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido

de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia o

grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso

escrito del editor.

Traducido de la primera edición de

SCHAUM'S OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS

OF ELECTROMAGNETICS

Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.

IS BN 968-451-004-7

0987654321 8765432901

Impreso en Colombia Printed in Colombia

Impresión: Italgraf S.A., Bogotá, Colombia

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B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17

un r¡)r I n r ("'AV; ORAfJU._lw,~.L.\"'. '_ L,./-\ L \

LACA;'iR:\ 535 e t». ~EOERAI.

I

Prefacio

El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagne-

tismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación.

Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas.

Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una

serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los

principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromag-

néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y

sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que

tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia.

Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la

abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en

mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui-

dadoso.

Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los

diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias

sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias.

Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi

familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera

escrito.

]OSEPH A. EDMINISTER

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"B. GrJL. D.C. C'.~ ~,\AVLGnAu

L f~A ~"' '\535 ( r!") EOERAl...., 1',,'1''\ .. ~" .•

Contenido

ANALISIS VECTORIAL 1Capitulo 1

1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas

menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales

formaciones

1.4 Volú-

1.6 Trans-

FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ...

2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.3 Distribuciones de carga

2.4 Configuraciones estándar de carga

13Capitulo 2

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS . 27Capitulo 3

3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo

3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico

sianas especiales

3.3 Ley de Gauss

3.5 Superficies gau-

DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA .

4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.3 Divergencia de D

4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia

39Capitulo 4

ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA. 50Capitulo 5

5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos

puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga

5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos

CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES .

6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec-

ción J 6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Co-

rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad

de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico

65Capitulo 6

CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS 81Capitulo 7

7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D Y E de voltaje constante 7.3 D Y

E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-

AEP

AEP

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CONTENIDO

cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos 7.7 Energía almace-

nada en un condensador.

Capitulo 8 96ECUACION DE LAPLACE .

8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la

ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del

valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto

cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico

Capítulo 9 113LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO

9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5

Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial

vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes

Capítulo 10 128FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS .

10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combi-

nados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia

10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar

Capítulo 11 140INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS .

11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar

11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H

11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9

Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos

Capitulo 12 160CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y FEM INDUCIDA .

12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday

12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Con-

ductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo

Capitulo 13 ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES . 172

13.1 Introducción

laminar en el límite

13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente

13.4 Resumen de las condiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell

Capitulo 14 181ONDAS ELECTROMAGNETICAS .

14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesia-

nas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléc-

trico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de

penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia yvector

de Poynting

APENDICE 197

INDICE 199

AEP

AEP

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Capítulo 1

Análisis vectorial

1.1 NOT ACION VECTORIAL

Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tie-

nen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o

magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector

unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:

A ,A

aA = IAI o

donde IAI = A = ~ (ver sección 1.2).

Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes y de un sistema de coordenadas

cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de

A = A"a" + +

1.2 ALGEBRA VECTORIAL

l. Los vectores pueden sumarse y restarse:

A B = a" + + + + )

+ +

2. Las leyes asociativa, distributiva y conmutativa se aplican

A + (B + C) = (A + B) + e

A+B=B+A

3. El de dos vectores es, por definición,

A- B = cos 8 (léase "A punto B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que

A - B = + +

A-A=" y z

En particular,

4. El de dos vectores es, por defi-

nición,

A x B = sen 8}a" (léase" A cruz B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad

normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de '

un punto común. Existen dos vectores normales a este plano,

así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El

vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la

misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es Fig. 1-1

-

AEP

AEP

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AEPAEPAEPAEP

2 ANALISlS VECTORIAL [CAP. 1

rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ley conmutativa no se cumple para el pro-

ducto vectorial. En cambio, se cumple que

AxB=-BxA

Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos

A x B = (Axax + + Aza.) x (Bxax + + B.a.)

= B, - + ( - A~ . + ( - Bx}az

lo que se expresa convenientemente como un determinante:

ax aya.

A x B =

s, s,

1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS

U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar

de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innece-

sariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas carte-

sianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas

conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias.

zz

r P(r, q¡, z)

I

Izk---+-----y

8 J, P(r, 8, 4»

/ I/ I

/ I.x-'--;,---•...y

I

4> 'J

~ P(x,y,z)I

izI •I /I . /

1// X_._-_._--

(a) Cartesianas (b) Cilíndricas (e) Esféricas

Fig.I-2

Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico

(r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1-2. El orden de especificación de las coordena-

das es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y

cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer

lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos

z

z = const.

I----+-

z z

, = const.8 = const.

/----+-I----y

= const,4> = consto

4> = const.

(a) Cartesiano (b) Cilíndrico (e) Esférico

Fig. 1-3AEP

AEP

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-

CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL

cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en

un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El con-

texto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia.

La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la

figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons-

tante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas carte-

sianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto

circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas

esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es

una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el

origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O n.

zz z

-

3<1>

}-----+-y}-----+-y

(b) Cilíndrico (e) Esférico(a) Cartesiano

Fig. 1-4

La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad.

tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas

(excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección

de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:

Las formas de componentes de un vector en los tres sistemas son:

A = + + Azaz

A = Arar + A",a", + Azaz

A = Arar + o o + A",a",

(cartesiano)

(cilíndrico)

(esférico)

Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo

funciones de las coordenadas en el sistema particular.

1.4 VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA

Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + ) ó , , ó

(r + dr, O+ de, + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el

volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema

aparece en la figura 1-5.

En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen

diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es

= dO senO = 2 senO dO

3

AEP

AEP

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4

z

~------------~ y

(a) Cartesiano

ANALISIS VECTORIAL [CAP. 1

.

= do =,2 sen O dñ

(b) Cilíndrico ( e) Esférico

Fig. 1-5

El elemento diferencial de línea, di. es la diagonal a través de P, por lo que

dt2 = 2 + + 2

dt2 = 2 + r2 + 2

dt2 = 2 + r2 + r2sen 2()

1.5 CAMPOS VECTORIALES

(cartesiano)

(cilíndrico)

(esférico)

Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficien-

tes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de

punto a punto, a través de la región de interés.

Considere por ejemplo, el vector

E= -xax + yay

Dando diferentes valores a y a se ob-

tiene E en varios puntos. Después que

varios puntos han sido examinados, el

patrón resulta evidente. La figura 1-6

muestra este campo.

Además, un campo vectorial puede

variar con el tiempo. De esta manera al

campo bidimensional examinado puede

agregársele una variación temporal me-

diante la expresión

E = (-xax + yay)senwt

ó

Los campos magnéticos y eléctricos de los

capítulos posteriores variarán todos con

el tiempo. Como es de esperarse, serán

diferenciados o integrados respecto del

tiempo. Sin embargo, ambas operaciones

tendrán un curso natural y muy raramen-

te causarán gran dificultad.

----------~==~------+_------~~-----------

Fig.l-6

\

AEP

AEP

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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5

1.6 TRANSFORMACIONES

El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema

de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del

sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión

final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un

campo vectorial, de un sistema a otro.

EJEMPLO 1: Considérese

A = 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a.

en coordenadas esféricas. Las variables , 8. q, pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a

la figura 1-2 y aplicando la trigonometría básica. De esta manera

cos (J = -;::::;==;===;::. + l-+ Z2

ytanq, =-

Ahora las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de , y así:

Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la

figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto,

Combinando éstas con las componentes transformadas resulta

Problemas resueltos

1.1. Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z))

a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por

- x¡)a" + ( 2 - + - z1)a:

Lascoordenadas de M y N se utilizan para expre-

sar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_

A = xla.x + Ylay + zla.

B = X2a.x + Y2ay + Z2a.

~------

Entonces

Fig.I-7AEP

AEP

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AEPAEPAEPAEP

6 ANALlSIS VECTORIAL [CAP. 1

1.2. Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas cartesianas y determine elvector unidad a lo largo de A.

A = (O- 2)a" + (- 2 - ( - 4))ay+ (O- 1)a. = - 2a" + 2a, - a.

IAI2 = (_2)2 + (2)2 + (_1)2 = 9

A 221

aA = 1AT = - 3a" + 3a, - 3a•

1.3. Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y

(5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas.

Primero, obténgase los vectores de posición

A y B (ver figura 1-8).

z

(S,1t/2,tO)

A = -5ay B = 5ay + lOa.

\ Entonces B - A = lOa, + 10a.y la distancia buscada

entre los puntos es.

lB-Al =

Las coordenadas cilíndricas de los puntos no

pueden utilizarse para obtener un vector entre los

puntos con el mismo método que se siguió en el pro-

blema 1.1 en coordenadas cartesianas.

<p = 1t/2

Fig. 1-8

1.4. Muestre que B = + +

Exprese el producto escalar en forma de componentes:

B = (A"a" + + + b,«, + .)

= a,,) • + (A"a,,)' ay) + a,,) .

+ ay) . a,,) + ay) • ay}+ ay) • a.)

+ a.) • a,,) + a.) . ay) + a.) . a.)

Sin embargo, al<' a" = ay= a•• a. = 1puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el

ángulo es cero. Cuando 8 = 90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de losvectores unidad son iguales a cero. Así pues:

A • B = + +

1.5. Dados A = 2a" + 4ay - 3a", y B = a" - hallar B Y A x B.

A' B = (2)(1) + (4)( -1) + (-3)(0) = -2

la" a, a. I

A x B = 2 4 - 3 = - 3a" - 3ay - 6a., 1 -1 O

1.6. Demuestre que A = 4a" - 2a)' - a. y B = a" + 4a)' - 4a", son perpendiculares.

Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectorescualesquiera diferentes de cero, implica que (J = 900.

A . B = (4)(1) + (-2)(4) + (-1)( -4) = OAEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP


1.7. Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a) elproducto vectorial, (b) el producto escalar.

(a) A x B = ~ a,o I = -16a" + 8ay + 12a.O 6 -4

IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47

IBI = + (6)2 + (_4)2 = 7.21

lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54

(b)

Entonces, como lA x BI = IAIIBI sen 8,

21.54sene = ( )( ) = 0.668

4.47 7.21

A' B = (2)(0) + (4)(6) + (0)( -4) = 24

=~= 24 =0745cose IAIIBI (4.47)(7.21) Ó

ó

1.8. Dado F = - l)a" + , hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde

B = 5a" - ay + 2a •.

F(2,2, 1) = (2 - l)a" + (2)(2)ay

= a" + 4ay

Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un

segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del

segundo vector y utilizando el producto escalar.\

A BProy. A sobre B= A' B =W

Entences, en (2, 2, 1),

B (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) 1Proy. F sobre B = lBT = =

Proy. A sobre B

Fig.1-9

1.9. Dados A = a" + ay, B = a" + 2az, y e = 2ay + a,; halle (A x B) x e y cornpárelo con

A x (B x C).

la"

(A x B) xC = ~

aya"- 2 - 1 = - 2ay + 4a.

2 1

Entonces

Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que elproducto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial.

En el problema 1.9, B x e = - 4a" - ay + 2a.. Entonces

1.10. Utilizando los vectores A, B Ye del problema 1.9, halle A • B x e y cornpárelo con A x C.

B x e = (1)(-4) + (1)(-1) + (0)(2) = -5

7

AEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP

8 ANALISIS VECTORIAL . l.

También en el problema 1.9, A x B = 2ax- 2ay- a, . Entonces

A x e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1) = -5

Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro-

ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que:

Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos

escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo.

I.lI. Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el

eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas cilíndricas. Ver

figura 1-10.h

El vector R es la diferencia de dos vectores:

R = ra, -

R ra, - hazaR = - = ---..,==~-=-

IRI 2 + h2

El ángulo <jJno aparece explícitamente en estas expresiones.

De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor inter-

medio de a..

Fig. 1-10

1.12. Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde

un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se

muestra en la figura 1-11.

Como el problema está planteado en coordenadas carte-

sianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente

a dos puntos. x

R = - xax - yay + 5az

-xax - yay + 5azaR = --;~=~~:::---=

Fig. 1-11

1.13. Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;; sobre la concha

esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t?

El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)]

dS = r2sen8d8d<jJ

EntoncesP

A = J J a2sen8d8d<jJo •

= 2(cos - cos P)

Cuando e = 9 y P = 1t, A = 47t02, área de toda la esfera.

Fig.I-12

1.14. Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen.

En la figura l-5(c), do = r2_sen 8 dr dO d<jJ. Entonces

h " • 4v = J f J r

2sen8drd8d<jJ = -3 3

o o oAEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP


1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área

de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r = 2 m,

h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13).

El elemento diferencial de superficie es dS = d4J dz. Entonces

S 2Kf3

A = f f 2d4Jdzo ~f6

= 571:m2

1.16. Transforme

, /

de coordenadas cartesianas a cilíndricas,

Recurriendo a la figura 1-2(b),

x = rcos4J = sen4J = +

En consecuencia,

En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az:

a" . a~ = -sen4J

ay . a~ = cos 4J

a.' a4>= O

a,,' a. = O

ay' a. = O

a% • az = 1

a" . ar = cos 4J

a, . a, = sen4J

az' a, = O

Así pues a" = cos 4Ja, - sen4Ja4>

ay = sen4Ja, + cos 4Ja4>

ll:= az

y

Sm

Fig. 1-13

1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figu-

ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas.

En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como

lOa" donde 4J= 71:/4.En consecuencia

71: 10= lOcos-=-.-

" 4 fi71: 10

= lOsen-=-y 4 fi

. = O

así que

Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario.

Problemas suplementarios

1.18. Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a" + 3ay, encuentre la proyección de A sobre B.

Fig. 1-14

esp. 12/,ji3

1.19. Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay+ a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la

dirección de A, sp. 1.50 (a" + a.)

-

9

AEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP

10 [CAP. 1ANALlSIS VECTORIAL

1.20. Halle el ángulo entre A = lOay+ 2a. y 8 = - 4ay + 0.5 a. usando tanto el producto escalar como el producto

vectorial. sp. 161.5°

1.21. Halle el ángulo entre A = 5.8ay + 1.55a. y 8 = - 6.93 ay+ 4.0 a. usando tanto el producto escalar como el

producto vectorial. sp. 135°

1.22. Dado el plano 4x + + 2z = 12, halle el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen.

- . (4a" + 3ay + 2a.)/j2§

1.23. Demuestre que los campos vectoriales A y B son siempre perpendiculares si + + = O.

1.24. Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de A y B si los campos vectoriales son siempre

paralelos.

esp.

1.25. Exprese el vector unidad dirigido hacia el or igen desde un punto arbitrario sobre la línea descrita por = O,

= 3.

esp.-3a - za

a = %

J9+7

1.26. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (XI' YI' ZI) desde un punto arbitrario en el plano = -5.

esp.

1.27. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (O, O h) desde un punto arbitrario en el plano = - 2. Ex-

plique el resultado cuando h se aproxima a - 2.

esp.a= y

1.28. Dados A = 5a" y 8 = 4a" + Byay halle un tal que el ángulo entre A y B sea 45°. Si B tiene también un tér-

mino . a., ¿qué relación debe existir entre y

esp. = ,

1.29. Demuestre que el valor absoluto de A' 8 x e es el volumen del paralelepípedo con aristas A. By C. (Suge-

enc Primero demuestre que 18 x CI es el área de la base.)

1.30. Dados A = 2a" - a., 8 = 3a" + ay, y e = -2a" + 6ay - 4a., demuestre que C es perpendicular a B y a A.

1.31. DadosA = a" - ay, 8 = 2a%yC = -a" + 3ay, halle A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto

escalar. esp. - 4

1.32. Con los vectores del problema 1.31, halle (A x B) x C.

esp. -8a.

/

1.33. Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, - 5, - 2) hacia (14, - 5, 3).

sp.12 5

a=-a +-a13 x 13 z

AEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP

-

[CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL

1.34. Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos

('1' l' ZI) Y 2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas.

1.35. Verifique que la distancia d entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por:

1.36. Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas

esféricas. sp. - 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a,

1.37. Halle la distancia entre (2, ni«, O) y (1, n, 2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas.

3.53

1.38. Halle la distancia entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas.

2.0

1.39. Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;; :<:;; sobre la concha esférica de

radio ¿Cuál es el resultado cuando I = esp. 21 2, = 2

1.40. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio y

radio h. sp. 2

1.41. zUtilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el

volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.

sp. 2h

1.42. Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas

diferenciales de superficie I y 2 y luego integre para

obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la

figura 1-15. sp. n/4, n/6

1.43. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de

una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio

externo 2.02 m. . 0.162 m3

Fig. 1-15

1.44. Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen

definido por 1 :<:;; :<:;;2 m, 0:<:;; O :<:;; n/2, y 0:<:;; :<:;; n/2. esp. 7 Ir ti-m6

1.45. Transforme el vector A = a, + + a, a coordenadas cilíndricas.

A = cos c + AysencJ»a, + (- AxsencJ>+ cos cJ»a4>+ a,

1.46. Transforme el vector A = a, + ao + a4>a coordenadas cartesianas.

.

/

11

-

AEP

AEP

AEPAEPAEPAEP

AEPAEPAEPAEP

12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1]

1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.

F = xax + y + za.2 + + Z2

1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es

normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas.

xax +. 2 + = const., F = y

+

1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a, + sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas.

3xzax + + 2 - 2 -. F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--''

2 + + Z2

1.50. Dibuje el campo vectorial F = ya, + . . Véase figura 1-16.

y

5'1r/8

'lr/8

3'1r/8

1E'------.lr-----Ir-----1>-- 'Ir12

Fig. 1-16

--40:::---f---+-:---r---- ~= 'lr/2

?'lr/8 I ~= plano constante I~ = 3'1r/8

Z = plano constante

O ~ ~ ~ 'lr/2

~=O

Fig. 1-17 Fig. 1-18

1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos q,a, + ral/>' . Véase figura 1-17.

1.52. Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. . Véase figura 1-18.AEP

AEP

.----------------------------~------~~------------------------

Capítulo 2

Fuerzas de Coulombe intensidad del campo eléctricozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2.1 LEY DE COULOMB

Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversa-mente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es lamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAley de C ou lomb , desarrolladamediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así:

A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas. La fuerza está dada en newtons (N), ladistancia en metros (m)\y la unidad (derivada) de carga es el coulomb (C). El sistema se racionaliza con elfactor 41 t, introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell. e es la permi-

tivida d del medio, en unidades C2/ N . m2 o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espaciolibre o vacío,

10-9e = (o = 8.854ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAX 10-12 F/m ~ 361 t F/m

En un medio diferente al espacio libre, e = iO ir ' donde ir es la permitivida d r e la tiva o consta n te d ie léc tr ica .

En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libre y adoptarse el valor aproximado dado de(o', a menos que se establezca lo contrario.

Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresar su dirección. De esta manera,

describe una fuerza ejercida sobre Q (, donde el vector a2( está dirigido de Q2 a Q (.

EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q ., 20ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ 1 ,C , debida a la carga Q2,_ 300 J 1 ,C , sabiendo que Q. se

sitúa en (O, 1, 2) m y Q2 en (2, O, O) m.

Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan más a menudo en microcoulombs ( ¡ lC ) , nanocou-

lombs (nC) o picocoulombs (pC). (Véase apéndice para los prefijos del sistema SI.) Refiriéndonos a la figura 2-1,

R21 = -2a" + ay + 2a.

1a21 = 3" (-2a" + ay + 2a,)

z

Entonces

F, = (20 x 10-6)(-300 x 10-6) (-2a" + ay + 2a,)47t(10 .9j367t)(3)2 3

= 6 ea" - i - 2a,) NQ2

(2, O, O)

x

La magnitud de la fuerza es 6 N Y la dirección es tal que Q . es atraída

hacia Q2.

Fig.2-1

13

y

14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2

En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcampo de fuer za de simetría esférica. Este sepone en evidencia cuando la cargaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T'

se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une lasdos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde- I

nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F = QQT 8

T 4nEo

r 2 ,

•

Q

x

Fig.2-2 Fig.2-3

Debe observarse que, a menos que Q T ~ Q , el campo simétrico alrededor de Q está perturbado por Q T .

En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma

r. = F QT + F Q

Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con QT' Cuando las doscargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por puntode los dos campos. Este es el pr inc ip io de super posic ión para fuerzas de Coulomb y se extiende a un númerocualquiera de cargas.

8 2.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO

Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para noperturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la in tensida d de campo eléc tr ico ,

E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T :

1 QE=-Q F T= - 4 28 ,

T nEo r

Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q [figura 2 - 4 ( 0 ) ] .

Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistemaarbitrario de coordenadas cartesianas,

donde el vector separación R se define en la figura 2 - 4 ( b ) .

Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

z

/--I------I~mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAY

xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( a ) Esférico

Fig.2-4

2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA

E

( b ) Cartesiano

Carga volumétrica

Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye alcampo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración paraobtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o unprotón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir unadensida d de ca r ga por

Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m3 siempre que lasvariables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m3 para v ) . Esta convención seráutilizada a lo largo de todo el libro.

En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencialdQ produce un campo eléctrico diferencial

dQ

dE = 4 R2 aR1tE:o

en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de laregión está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P

se obtiene por integración sobre el volumen:

fpa R

E = 4 R2 d vv 1tE:o

Carga laminar (superficial)

La carga puede estar también distribuida sobre una superficie ouna lámina. Entonces cada carga diferencial dQ que esté sobre lalámina produce un campo eléctrico diferencial

en el punto P (véase figura 2-6). Si la densida d super fic ia l de ca r ga esps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región,entonces el campo eléctrico total en P es

E= f p , a R2dSs 41tE:o R .

Fig.2-5

P /dE

•

sFig.2-6

Carga lineal

Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la líneaproduce un campo eléctrico diferencial

15

IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

16zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2

enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP (véase figura 2- 7). Y si la densida d linea l de ca r ga esP t (Cj m) y no existe ninguna otra carga en la región,entonces el campo eléctrico total en P es

z-,dE .'R

p~

~L

E = f P t aR2 dI

L 47tEo R

Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones decarga anteriormente citadas y en sus correspondientesintegrales para E, el vector unidad aR es variable ydepende de las coordenadas del elemento de carga dQ .

Así pues, 8R no puede ser sacado del integrando.

Fig.2-7

2.4 CONFIGURACIONES ESTANDAR DE CARGA

Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácilcálculo. Respecto de estas configuraciones estándar (y de otras que serán analizadas en este capítulo) debeanotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando un problema establece que la carga estádistribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco concarga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque serequiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en unaconfiguración especial.

Carga puntual

Como se determinó en la sección 2.3, el campo deuna sola carga puntual Q está dado por

+00

QE = ---2 a,

47tEor

y

(coordenadas esféricas)

Véase figura 2 - 4 ( 0 ) . . Este es un campo de simetría esféricaque cumple una ley del inver so del cua d r a do (como lagravitación).

Carga de línea infinita

Si la carga está distribuida con densidad un ifo rme

P t (C I m) a lo largo de una línea recta in fin ita queescogeremos como eje z, entonces el campo está dado por

x

E = ~ a (coordenadas cilíndricas)27tEo r '

Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica yes inversamente proporcional a la pr imer a po tencia de ladistancia desde la línea de carga. Para una derivación deE, véase el problema 2-9.

-00

Fig.2-8

Cargas de plano infinito

Si la carga está distribuida con densidad un ifo rme

P . (C I m-) sobre un plano in fin ito , entonces el campo estádado por

E=~a2Eo "

Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constante ytiene simetría especular con relación al plano de carga.Para una derivación de E, véase el problema 2.12.

Fig.2-9

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO I7

Problemas resueltos

2.1. Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 0 / - l e ymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ2 = 10 / - l e ,

están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O)m res-pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so-

bre QI'

z

R2l = -4a" - 3az

-4a" - 3aza2l = 5

Q lQ 2F 1 = 2 a21

4nEo R21

= (50 X 10-6)(10-5) (-4a" - 3az)

4n(1O 9 j36n)(5 )2 5

= (0.18)( -0.8a" - 0.6az) N

Q ¡ ( - 1 , 1 , - 3 )

Fig.2-10

La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6az• En forma decomponentes

F¡ = -O.l44a" - 0.108az N

2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargasiguales de 20 / - l e están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m.

Considere la fuerza debida a la carga en y = 4 z

(10-4)(20 x 10-6) (-4a, + 3az)

4n(10 9 j36n)(5 )2 5

La componente y se anula por la carga en y = - 4. Enforma similar, las componentes x debidas a las otras doscargas se anulan. Por consiguiente,

x

Fig.2-11

2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql = 300 / - l e , situada en [I, - 1, - 3) experimenta unafuerza

F 1 = Sa, - 8ay + 48% N

debida a la carga puntual Q2 en (3, - 3, - 2) m.Determine Q2

R 21 = -2a" + 2a, - az

Observe que, comoz

la fuerza dada está a lo largo de R21 (véase proble-ma 1.24), como debe ser.

Fig.2-12

Resolviendo. Q2 = - 40 ¡,te.

/


2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ , le queestá distribuida uniformemente sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = O m (véase figura 2-13).

La densidad de carga es

_5? _500nx 10-6

-02 0-4C12P s - - ()2 -. xli m

A n 5

(0, O, 5)

z

En coordenadas cilíndricas,

R = -ra, + Sa,

Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza

diferencial

dF = _(5 -: 0_x~1O -: --r-6--,)(p : -: -s-c ; -r _d r _d_< jJ ..,.)(-ra, + 5a.)

4n(1O 9 /36n)(r 2 + 25) J r 2 + 25 ,

x

Fig.2-13

Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anula y que a, es constante. En consecuencia,

F = f2n f5 (50 x 10-6)(0.2 x 1O -4 )5 r d r d< jJ

o o 4n(1O 9 /36n)(r 2 + 25fl2 a.

,5 r d r [ -1 J s= 90n J (2 2 )312a: = 90n P+2s a: = 16.56.% N

o r + 5 r2 + 25 o

2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m.

Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor

P 2 = (5)2 = 625p ¡ (2)2 .

mientras la integral sobre r se convierte en

2 r d r

fo (r 2 + 25)312 = 0.0143 en lugar des r d r

f (2 2 )312= 0.0586o r + 5

La fuerza resultante es

(0.0143 )

F = (6,25) 0.0586 (16.56a: N) = 25.27.: N

2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual Q en ( X I ' Y I , ZI)' Repita elejercicio con la carga colocada en el origen.

Como se muestra en la figura 2-14,

zEntonces P ( x , y , z )

QE=---a

4n(0 R2R

Q (x - x ¡ ) ax

+ ( y - y ¡ ) ay

+ (z - z¡)az

4n(0 t(x - X ¡ ) 2 + ( y - y ¡ ) 2 + (z - Z ¡ ) 2 ] 3 1 2

..)-----~y

Cuando la carga está en el origen,

E =.J?..- x a x + y a y + za:

4n(0 ( X 2 + y 2 + Z2 )312

pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coordenadas esféricas con Q en el origen,

x

Fig.2-14

y ahora la simetría es evidente.

QE=·--.

4n(0 r 2,

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA19

2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4 nC localizada en (-4, 3, 2) m, en coordena-das cartesianas.

La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ situada en el origen es en coordenadas esféricas:

En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R = 48x-

38ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy - 28e '

64.4 X 10-9

(48 x - 3ay - 2az) (2 )(4ax - 38 y - 2az)E = = 00 - V/m

41 t(10 9 /361 t)(29 ) f o . yl29

2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35 )J.C en (O, 4, O) m y Q2 = -0 .55 )J .C en (3, O, O) m (ver figu-ra 2-15).

y

R1 = -48 y + 58z

R 2 = -38 x + 58z

0.35 X 10-6(-48 y + saz)

El = 41t(1O 9 /361 t)(41 ) J4t= -48.0ay + 6O.0a. V/m

-0.55 x 10-6(-38 x + 58z)

E2

= 41t(1O 9 /361 t)(34 ) fo

= 74 .98 x - 124.98. V/m

E = El + E2 = 74.9ax - 48 .08y r : 64.98z V/m

y

x

Fig.2-15

2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una línea recta infinita, con densidad p ¡ .

Desarrolle la expresión para E en un punto general P .

Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga eleje z (ver figura 2-16). En P ,

ztoo

•

dE = ~ (r 8 r - Z8 i)41ttoR2 ~

Como para cada dQ en Z hay otra carga dQ en-z, las componen-tes z se cancelan. Entonces

P t r [ z ] 00 P t- 8 - a- 41tto r2~ -00 r - 21ttor r +-00

Fig.2-16

2.10. Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente una carga de densidadP t = 20 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4) m.

Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en elproblema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tienecomponente z. Respecto de la figura 2-17,

20 X 10-9 (-4ax + 38 y )

y E = 21t(0(5) 5 = - 57 .68 x + 43.2ay V/m

20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2.11.

2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

FUERZAS DE COULOM B E INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO [C A P . 2mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y

(0,4, z)

/~ x

y p'/E

p /ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( 0 , - 4 , . z )

Fig.2-17 Fig.2-18

Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t = 4 n C I m caen en el

plano x = O en y= ±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m.

Las líneas de carga son ambas paralelas a 8 z; sus campos son radiales y paralelos al plano xy. Para

cualquier carga lineal la magnitud del campo en P es

P t 18E=--=-V/m

21U o r .J2

El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición,

Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito

con densidad P s'

Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con

la carga en el plano z = O como se muestra en la figu-

ra 2-19.

z

d E \

P ( O , 1/1, z)

y

La simetría respecto del eje z produce la cancelación de

las componentes radiales.

P . z [ -1 ]co P .- a - 8

- 2<0 J r2 + Z 2 o % - 2<0 %

x

Fig.2-19

Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por

debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o

vector unidad normal:

P.E= -a.

2(0

El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud es independiente de la distancia al

plano.

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO

2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 3 m se distribuye uniformemente una carga dedensidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos.

Para y> 3 m,

EP .=-a,.2(0 »A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3, z )

lEy para y < 3 m,

E = -30a, V/m z

Fig.2-20

2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada

una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . , se localizan en x == ± 1(figura 2-21). Determine E en todas las regiones. p . p .

xO

E2 E2 E2--- ~~ -- --El El El

1 2

Fig.2-21

En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos

láminas de carga. Ambas láminas producen campos E

que se dirigen a lo largo de x, independiente de ladistancia. Entonces

x < -1

-1<x<lx>l

2.15. Repita el problema 2.14 con P . sobre x = -1 y-P . en x = 1.

x < -1-1<x<l

x > 1

2.16. Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-.forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m.

Las dos configuraciones de carga son paralelas al

eje x. En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando

hacia plano x y desde x positivo. Debido a la cargalaminar,

EP ••=-a,.2(0

z

E. = -6a. V/m

5

Es

En P , a,. = -a. y~::-+~4-----+- y

Debido a la carga lineal,

Fig.2-22

y en P

El campo eléctrico total es la suma

El = 8a, - 6a. V/m

E = El + E. = 8a, - 12a. V1m.

21

22 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2

2.17. Determinar E en (2, O, 2) m debido a las tres distribucionesestán dar de carga siguientes: una carga laminar uniforme enZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx = O m con P . l = (1 I 3 n ) n C IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm -, una carga laminar uniformeen x = 4 m conmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .2 = (-1 1 3 n ) n C I m? y una carga lineal uni-forme en x = 6 m, y =0 m con P t = -2 n C / m .

Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a 8 I ' noexisten componentes z del campo. El punto (2, O, 2) tendrá el mismocampo (2, O, z ) . En la figura 2-23, P está localizado entre las dosláminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia designo.

= 218" V/m

2.18. Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del eje z se dis-tribuye una carga entre z = ± 5 m con una densidad uniformeP t = 20 nC [ t n . Determine E en (2, O, O) m en coordenadas car-tesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilín-dricas.

dE 20 x 10-9

dz (28" - Z 8 z) ( )

= 41[(10 9/361[)(4+ Z2) )4 + Z2 V/m

La simetría con respecto al plano z = O elimina cualquiercomponente z en el resultado.

5 2dz

E = 180 f ( 2)3/28" = 1678" V/m-s 4 + z

En coordenadas cilíndricas E = 1678, V/m.

2.19. A lo largo del eje z se distribuye una carga desde z =5 m hasta00 y desde z= - 5 mhasta - 00 (ver figura 2-25) con la mismadensidad que en el problema 2.18, 20 n Cj m. Halle E en(2, O, O)m.

20 X 10-9 dz (28" - Z 8 z)dE - (V/m)

- 41[(10 9/361[)(4+ z2 ) J4+?

Nuevamente se elimina la componente z.

= 138" V/m

En coordenadas cilíndricas, E = 138, V/m.

Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18 y 2.19se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme.

E = ~ 8, = 1808, V/m2 1 [ ( 0 r

x = 4

x

P ,¡ P .2~~~-E E

O P ( 2 , 0, z ) ¿ "-, P t'

x = o

Fig. 2-23

rs

x

dQ = Pt

dz

(2, O, O)it----yZ

-s

Fig. 2-24

-s

+-00

Fig. 2-25

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23

2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA</> ,1) debido al discouniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr : : : ; ; a , Z =0 (ver figura 2-26).

Si la densidad de carga constante es P . ,

z

dE\( O , r p , h )

La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

p .h 2" G r d r d o

E = 41 tlo fo fo (r 2 + h2)3 /2 a.

. p .h (-1 1)= 21'0 J a 2 + h 2 + h a.

Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J 2 lo}a ., el campodebido a una carga laminar uniforme.

y

a

x

Fig. 2-26

2.21. Hay una carga sobre el disco circular r s; a , Z = O de densidad P . = P o sen- </> • Determine E en

(O, </> ' h ) .

dE = po(sen2tjJ )r d r d tjJ (-r a r + ha.)

41 tlo (r 2 + h2) J r 2 + h2

La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales secancelan.

2.22. Hay una carga sobre el disco circular r : : : ; ;4 m, Z = O de densidad P . = (1O-4/r) (C/m2).Determine E en r = O, Z = 3 m.

dE _ (l0 -4 /r )r d r d tjJ (-r a r + 3a.) (V/m)- 41 tlo (r 2 + 9) P+9

Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría.

2" 4 dr d tjJ

E = (2.7 X 106) f f (2 )312 a. = 1.51 x 106a. V/m o 1.51a. MV/m

o o r + 9

2.23. Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;2 m,- 2 :::;;Y ~ 2 m con densidad de carga P . = 2(x2 + y2 + 9)3 /2 n c¡ m2• Halle E en el origen.

De la figura 2-27

R = -xax - ya y + 3a. (m)

dQ = p .dxdy = 2(x2 + y2 + 9)3/2 X 10-9 dxdy (C)z

y así

2(x2 + y2 + 9)3/2 x 1O -9dxdydE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'-

41 tlo (X2 + y2 + 9)

x ( - xax - ya y + 3a.) (V/m)JX2 + y2 + 9

dE

(~2,-2, -3) \.k----- y

(-2,2, -3)

x

Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E.(2, -2, -3)

f

2 f2 6 x 1O -9 dxdy'

E = a, = 864a. V/m-2 - 2 41 tlo

Fig. 2-27


2.24. Una carga de densidad uniformemlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP s = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2x-3y+ z = 6 m. Halle E en ellado del plano que contiene el origen.

Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = pJ 2éoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy E = (17,O)an V [m. Los vectoresunidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son

Aa x + Be; + Caza = + z

n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj A 2 + B 2 + C2

Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son(O, O, 6)

- + - - - - + - y

De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado delplano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campoeléctrico en el origen es

E = (17.0)( -2ax + ~ y - a,) V/mv'14

x

Fig. 2-28


2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡ =250 ¡,tCy Q2= - 300 } J . C , están localizadas en (5, O,O)m y (O,O, -5) m, respecti-

vamente. Halle la fuerza sobre Q2 ' Resp . F2 = (13.5)( axfia, ) N

2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡ = 30 ¡,tC y Q2= -100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti-

vamente. Halle la fuerza sobre Q ¡ . Resp . F 1 = (0.465)( - 3J is 7.%) N

2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobre Q2 ' Resp . - F ¡

2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 I l C , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobreuna carga puntual de 100 jJ.C situada en (O,O, 3) m. Resp . 1.73 a , N

2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 mEncuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo.Resp . (79.5)(- an) N

2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007rI l C en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida

sobre un disco circular. Resp . 28.3 a, N

2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en elplano z = Oentre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 } J . C , distribuida uniformemente.Resp . 4.66 a, N

2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular dedensidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo.

2.33. Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia d (m). Exprese el campoeléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas.Resp . Si las cargas están en x =0 y x = d . entonces, para O < x < d ,

º [1 1]E = 41U o x2 - ( d _ X)2 a, (V/m)

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25

2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la

fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q2/ 4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1rEo t 2) N.

2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad de carga uniforme P . es el mismo

que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro.

2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para E debido a una configuración de carga recta infinita-

mente larga con densidad uniforme p~ . Resp . E = ~ xa", + ya y

2nio x2 + y2

2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z conZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP ~ = 20 nC/m.

Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín-

dricas. Resp . 21.6a", + 28.8ay V/m, 36a, V/m

2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P t= 4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y = ±4m. Deter-

mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.' Resp . ± 18 ax V/m

2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la

otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m. Resp . 30az V/m

2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, con p ( = 3.30 n C/ m, locali-

zada en x = 3 m, y. =4 m. Resp . -7.13a", - 9.50ay V/m

2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos será igual el valor de E? Resp . (O, O, z)

2.42. A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje z es 1.80 x 104 V/m.Encuentre la densidad de carga uniforme P ~ . Resp . 2.0 J l.C /m

2.43. El plano- x+ 3y-6z = 6 m contiene una distribución uniforme de carga P . = 0.53 nC/m2• Encuentre E enel

lado que contiene el origen. Resp . 30(a", - 3ay + 6az) V/m

J46

2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n) C/m2 están localizadas en z= -5 y y =

- 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en

(4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O. Resp . 0.667 nC/m

2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi-

dad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En

qué puntos de la región será E igual a cero? Resp . (x, - 2.273,2.0) m

2.46. Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3 n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme

de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m.

Resp . 8ay V/m

2.47. Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar

uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo unacomponente z. ¿Cuál será P . de la carga laminar? Resp . 125 p Cj rn?

2.48. Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx = 3 m,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a

2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen.Resp . 5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m.

2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga

uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico Een (O, O, 5) m. Resp . 100.5 nC

2.50. El disco circular r ~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad de carga P . = 10 8/ r (C / m-). Determine el

campo eléctrico E para el punto (O, < p ' h). Resp . 1.13 x 103

a, (V/m)

h ..j4 + h 2


2.51. Examine el resultado del problema 2.50 cuandomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en h queresulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen.

2.52. Una carga laminar finita de densidad P s = 2 x(x2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ y2 + 4)3 12ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( e l m"), yace en el plano z = Opara O S x S

2 m y O S Y S 2 m. Determine E en (O,O, 2) m.

Resp . (1S x 109)( - 136a" - 4ay + saz) V/m = 1S( - 1: a" - 4ay + saz) GV/m

2.53. Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a una carga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largodel eje x entre x = - 5 m y x = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x = - I m yx = I m. Resp . 2.31 a, V [ ti» , 1.43ax V [ tt:

2.54. El disco circular r S I m, z = Otiene una densidad de carga P s = 2 ( r 2 + 2 5 ) 3 / 2 e - 10. ( e l rnt). Encuentre E en(O, O, 5) m. Resp . 5.66ax GV 1 m

2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniforme-mente cargada.

2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante p a través de un volumen esférico de radio a . Usando losresultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que

l~a3/00 •

E = 3a p--a31'0,2 r

,sa

,¿a

donde, es la distancia desde el centro de la esfera.

Capítulo 3

Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3.1 CARGA NETA EN UNA REGION

A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración,

la carga neta que está contenida en un volumen específico. ComojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d QLKJIHGFEDCBA= pdv (C )

. entonces

Q=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf pdv (C)v

Por supuesto, p no necesita ser constante en todo el volumen v.

3.2 FLUJO ELECTRICO y DENSIDAD DE FLUJO

Por definición, el flu jo e léc tr ico . 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En

ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de

carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia

En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo aban-

donan + Q y terminan en - Q . Esto supo-

ne que las d os cargas son de igual magnitud.

El caso en que hay una carga positiva y

ninguna carga negativa en la región apare-

ce ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las

líneas de flujo están igualmente espaciadas

a través del ángulo sólido y se alejan hacia

el infinito.

Mientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la den sid a d de flu jo e léc tr ico . D, es un campo

vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la

dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es

normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es

'P=Q (C )

~+ Q . . . . . . . . - Q

~

( a )

27

( b )

Fig. 3-1

D

28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3

U na distribución volumétrica de carga de densidadjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la

figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el

flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la

densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la

normal a S. Si, en el elemento de superficie dS, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial

que cruza dS está dado por

d 'l ' = D dS cos ()

= D· d s « ,

= D ·dS

donde dS es el elemento vectorial de superficie, de magnitud dS y dirección 8 n• El vector unidad a, se toma

siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d 'l ' sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte-

rior hasta el exterior de S a través de dS.

3.3 LEY DE GAUSS

La integración de la expresión anterior para d '1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ = Q ,

f D ' dS = e.,

Esta es la ley de Gauss, que establece que e l flu jo to ta l qu e sa le d e una supe r fic ie ce r r a d a es igu a l a la

ca r g a ne ta con ten id a den tr o de la supe r fic ie . Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser

obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración.

3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO

Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO

z

Q = f D . dS = D f dS = D (4n r2)

de donde D = Q /4n r2• Así pues

Q QD = --2 a = 4 '" r 2 a,

4n r n ,.

Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar)

localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super-

ficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de

magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal aella. La ley de Gauss dice entonces que

Fig. 3-4

Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a Q es

Se concluye que D = {o E.

Más en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e ,

D = {E

Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un

factor que es una constante del medio. Mientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es

una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti-

ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de

cada dieléctrico.

3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES

La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por-

que satisface las siguientes condiciones definitorias:

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 29

l. La superficie es cerrada.

2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 . D tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie donde D es normal.

EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, conXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp ( ( c ¡ m).

Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede

tener una componente r , y esta componente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este

problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss,

Q= f D·dS+ f D'dS+ f D·dS1 2 3

D Y dS son ortogonales respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto de 2 , D Y dS

son paralelas (o antiparalelas, si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues

D = -~21 tr

and D=~a21 tr r

Q = D f dS = D (21 tr L)• 2

donde L es la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q = p ( L . Por lo tanto,

Obsérvese la simplicidad de la derivación anterior si se compara con el problema 2.9.

00

D

D

D

-00

-00

Fig. 3-5 Fig. 3-6

La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado

para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones, el método puede pro-

veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble-

ma 3.40.

)

-/

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 330

Problemas resueltos

3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBAy O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp = 30x2 y

(p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m?

Como dQ = pdv, z p (x,y,z)

1 1 1

Q = J J f 30x2ydxdydz

o o o

= 5 J . 1 . C

Para el cambio en los límites de y.

I o 1

Q = J f J 30x2ydxdydz

o -1 o

= - 5 J . 1 . C

x

Fig. 3-7

3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si

Por integración,

3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super-

ficie S.

¿Qué flujo neto cruza por S?

Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega-

tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa.

'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC

3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri-

bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2 r

( C jm 2 ) ?

2 n 4 (sen2cjJ)'1' = Q = J f . _ - r d r d c jJ = 211: C

o o 2r

s

Fig. 3-8 Fig. 3-9

3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S.

¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?

Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo ne to fu e r a d e S será

cero si las cargas son de la misma magnitud.

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS

3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . = 12 sen 1 > p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC I m? está encerrado por una

superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?

2x 4

'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlCo o

Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no

hay un flujo neto que cruce por S.

3.7. Carga en la forma de una hoja plana con

densidad P s = 40p.Cjm 2 está localizada

en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor-

me de P t = - 6 p . C jm yace a lo largo del

eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie

de un cubo de 2 m de arista, centrado en el

origen, tal como se muestra en la figura

3-10?

z

- - . . . . . •~ ~ y

La carga encerrada en el plano es Q = (4 m -)

( 4 0 J lC / m 2 ) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =

(2 m)(- 6 J l C jm ) = - 12 ¡,¡C

Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C

x

Fig. 3-10

3.8. U na carga puntual Q está en el origen

de un sistema de coordenadas esféricas.

Encontrar el flujo que cruza la porción

de una concha esférica descrita por

()(~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re-

sultado si a = O Y P = 1 t j2 ?

z

El flujo total 'P = Q cruza una concha

esférica completa de área 4 n r " . El área de la

franja está dada por

2. P

A = f f r2sen8d8dq,

o •

= 2n r 2 ( - cos fJ + cos IX)

- - - - - - - - - ~ ~ y

Entonces el flujo a través de la franja es

A Q J'f . - - Q = - (- cos f 3 + cos IX)

neto - 4 1 t r 2 2

Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe-

rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f 2 .Fig. 3-11

3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i . C j m , yace a lo largo del eje x . ¿Qué flujo por unidad de

longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m?

El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la

franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12.

IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad

Entonces

! .= 50(1.176) = 9.36 J 1 C f m

L 2n

3 1

32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3

zjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e

"

Fig. 3-12 Fig. 3-13

3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos a una carga

lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga.

La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está locali-

zada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determi-

nado por el ángulo (1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a bcd , la ley de Gauss permite ver que el

flujo que entra aXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está

determinado por el ángulo subtendido (1 . •

3.11. U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen

de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo

eléctrico D en (1, 3, - 4) m.

Refiriéndose a la figura 3~14

Q .

D = 4nR 2 aR

= 30 x 10-9

(a" + 3a, - 4a.)4n (26 ) p

= (9.18 X 10-1 1 )( a" + 3a, - 4a.\ e /m 2

p J

x

(1 ,3 , -4 )

\DFig. 3-14

o, más convenientemente, D = 91.8 pC/m2.

3.12. Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidades de carga

P t = 20 J . l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m.

La distancia desde el punto de observación hasta cualquiera de las cargas lineales es 3 j2 m. Considerán-

dose primero la carga lineal sobre el eje x,

D_ ..!! ! . . .- _ 20 / - le / m (a, + a.)

1 - a1 - ---

2Wl' 2n{3 J 2 m ) .J i

y ahora la carga lineal sobre el eje y,

La densidad total de flujo es la suma vectorial

D = 20 (a" + a, + 2a,) = (1.30)(a" + ay + 2a,) / - lC / m 2

2n{3 J 2 ).J i J 2

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33CAP. 3]

3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA= lüxa, (e/m 2), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x = 3 m.

Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,

3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0

m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = 2 m, tP = 53.20 si

D = 2xa x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2)z

En el punto P (ver figura 3-15),

x = 1Ocos53.2° = 6

Y = 1Osen53.2° = 8

Entonces, en P ,

D = 12a" - 14a, + 8az C/m2

El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa-

rada con las unidades en D, puede aproximarse así:

x

Por lo tanto,Fig. 3-15

d 'l ' = D' dS = (12a" - 14ay + 8az)' 1O-6(0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC

El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que

hacia afuera en la dirección de dS.

3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la

superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los

ejes coordenados.)

'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)· (-dSa,,)x=l x=-l

+ f [Zxa, + 3ay) . (dS ay) + f (2xa" + 3ay) . (-dS ay), = 1 y = - I

+ f (2xa" + 3a~).' (dS az) + f ' (2xa" + 3a,) . (-dS a.)e= 1 :=-1

J

= 2 f dS + 2 f dS + 3 f dS - 3 f dS + O + O,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1

= (2 + 2 + 3 - 3)(22} = 16 C

3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén-

trico de radio 2 m tiene P s = (- 1.5/47t) u C ] m2• Ambas distribuciones son infinitas en el sentido

de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.

Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-

plo 1, sección 3.5,

D - P t- 27tr a, 0<r<2

34

3.18.

FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS

Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB .

e., = f D· jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdS

(P t + 47 tp .)L = D (2Ttr L)

de lo que se desprende que

D _ P t + 47 tP .

- 27 tr Srr > 2

[CAP. 3

z

t

Fig. 3-16

z

too

Jt-

~dZ

Ty

X

t -00

Fig. 3-17

Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sr e : 2 r (C/m3). Utilice

la ley de Gauss para hall~r D. ".

Como P no es una función de ( jJ o z . el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r

constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial

apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de

Gauss es .\

3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad

uniforme de carga p (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.

Para los datos numéricos,

0.477-- Sr (¡ .tC ¡m2 )

r

D = 0.239-- Sr (¡ .tC /m2 )

r

0<r<2m

r>2m

3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua-

les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-

lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo.

Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga

que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente

cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani-

llos. Para la superficie gausiana l.

Qenc = O = D f dS

En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc-

ción radial, se puede tomar una tajada dz del cilindro de carga y el

resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este

anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el

plano del anillo, D y E son cero.

e., = f D· dSsuperficie

lateral'

L 2ft ,

f f f 5 r e - 2r r d r d ( jJ d z = D (2n r L)O O O

5nL[ e -2 r( _ r 2

- r -1 ) + 1 ]= D (2n r L)

Por consiguiente D = 2.5 [1- e - 2r(r2 + r + 1)]Sr (C/m2)r

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 35

De la figura 3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

p (C /m 3)

Q.nc = D (2n r L)

D=O

Para 2 ~. r ~ 4 m,

npL(r 2 - 4) = D (2n r L)

D =.t (r 2- 4)a, (C/m2)

2r

----- -~---/- - - . . . . . . .• . . ,r : ---)

- - - - - - - " "

Para r > 4 m,

12npL = D (2n r L)

D = 6 p a, (C/m2)r

t -00

Fig. 3-18

3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::; a contiene una densidad uniforme de car-

ga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres-

pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el

mismo campo D para, > a ?

Para una superficie gausiana como ~ que aparece en la figura 3-19,

z

y

p rD=-a

3 'r :5: a

+ ---- - l~ Y

Para puntos fuera de la distribución de carga,x

r = a

p a3

de donde D= -2 a,3, Fig. 3-19r > a

Si una carga puntual Q = (4 /3 }1 ta 3p se coloca en el origen, el campo D para r > a será el mismo. Esta

carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen.

3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe-

rior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el

efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas.

Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa

superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior.

La frase desp r ec ie e l e fec to d e bo r d es asegura que todo el flujo

es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial

mostrada en la figura 3-20,

Q.nc = f D· dS + f D . dS + f D . dSarriba abajo lado

+ P ,

= 0+ f D ·dS+ Oabajo

~ -P '

ó

p ,A= D fdS= DA Fig.3-20

36 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3

dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA es el área. Por consiguiente,

y ELKJIHGFEDCBA= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI ! ! . a. (V/m)

(o

Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa.


3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de

carga es

Resp . 84 .9}J .C

3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; < p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga

P = 2z sen-' < p (C/m). Resp . 4.91 C

3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,

halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co.

Resp . 3.97 P o r ~ , 6.24 P o r ~ , 6.28 P o r~

3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga

¿Qué flujo neto cruza la superficie S? Resp . - 2po (C)

3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad

¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m?

Resp . -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C

3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica

en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para

k < a y k > a ? Resp . Q , Q '

3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica

centrada en el origen con, = 3 m? Resp . 18}J.C

, .

3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una

esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; < p :s; p . Resp .{J - IX

-Q2n

CAP. 3) FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 37

3.30. U na carga puntual dejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un

área de 41t m 2 sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m. Resp .XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 19 (C)

3.31. Un área de 40.2 m 2 sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en

dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? Resp . - 50 J .le

3.32. Una carga lineal uniforme con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del

plano y = 6 que contiene -1 ::; z : : ; I? Resp . 5 .26%

3.33. Una carga puntual, Q = 3 rrC, está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo

'JI cruza la porción del plazo z = 2 m para el que -4 ::; x : : ; 4 m y -4 ::; Y : : ; 4 m? Resp . 0.5 nC

3.34. Una carga lineal uniforme con p , = 5 / J C f m yace a lo largo del eje x . Halle D en (3, 2, 1) m.

Resp . (O.356)(2afi a.) J .le /m2

3.35. U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, rodeado por una

distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q .

Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a . Obtenga D en todas las regiones.

Resp . 'fI = 41 t,2 D = 10+ Q r < a

1 ,>a

3.36. Dado que D = 500e -O

' 1x a x (J .le l m-), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y

localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. Resp . 452 J .tC , 303 J .le , 184 J .le

3.37. Dado que D = 5x2a x + l Oza , (e l m 2), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de

arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. Resp . 80 e

3.38. Dado que

en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por, = 2b , z= O , y

z = 5b (m ). Resp . 129b2 (C )

3.39. Dado que

sencjJD = 2,coscjJa.; - 3 r a.

en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a , O ::; c jJ : : ; 1 t/2 .

Repita el ejercicio para 31t I 2 ::; c jJ : : ; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de az'

a aResp.

3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a , z = O contiene carga con densidad no uniforme p ,(r , c jJ ) . Utilice

superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados de D sobre el eje z , ( a ) muy

cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) .

Resp . (a ) p ,(O ,c jJ ); (b ).J L donde Q = r fG p ,(r ,c jJ )r d r d c jJ

2 4nz2 o o

3.41. Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica

concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1m 2• ¿Qué densidad superficial de carga

sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para, > 2 m? Resp . -71.2 pe l m?

3.42. Dada una distribución de carga con densidad P = 5, (e l rn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss

para hallar D. Resp . (5r2 /4}a, (e/m2)

----------------~--~----------------""-~

3 '8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3

3.43. Hay una densidad uniforme de carga de 2 e / m ' en el volumen 2 :$jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx :$ 4 m (coordenadas cartesianas). Utilice

la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. Resp . -2a" e/m 2, 2 (x - 3)a" (e/m2), 2a" e/m2

3.44. Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está comprendida entre los conductores concéntricos de

un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio a . Desprecie el efecto de bordes.

Resp . p s .(a lr ) , p s .(a /(o r )

3.45. Un conductor de espesor determinado tiene una densidad superficial de cargaXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp s : Suponiendo que 'P = Odentro

del conductor. demuestre que D = x: o , apenas fuera del conductor, construyendo una superficie gausianaespecial.

Capítulo 4

DivergenciaFEDCBAy teorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

4.1 DIVERGENCIA

La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos

maneras. La primera de ellas es lajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd iver genc ia , que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la

derivada de una función. La segunda es el r o ta c iona l, vector que se examinará cuando se discutan los campos

magnéticos en el capítulo 9.

Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la región con tienefuen teso

sumider o s; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos

eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica

positivaaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ . El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que

contiene cargas positivas contiene fuen tes de 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será

positiva en esta región. Una correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la

carga eléctrica negativa.

La divergencia del campo vectorial A en el punto P está definida porTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d i A l '~ '_ A - , - - ·d_SIV = = lm -

. & v " 'O L \v

La divergencia puede ser expresada para cualquier campo

vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo

en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo

con aristas L \x , L \y , y L \z paralelas a los ejes x, y y z , como se

muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define

en P , esquina del cubo correspondiente a los valores menores de

x, y y z.

i l l z

p 1

A I1 x

l1y

En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal L \v que se comprime hasta el punto P .

4.2 DIVERGENCIA EN COORDENADAS

CARTESIANAS

z

y

A = Axa x + Aya y + Azaz

Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6 x

caras. Sobre cada cara la dirección de dS es saliente. Como las

caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará Fig.4-1

dos caras paralelas cualesquiera.

En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara 1 tiene vista total. Las componentes x de

A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de 1 aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas,

fA . dS,: ; : ; -A A x )L \y L \z

c a r a

izquierda

dS

1fA ' dS: : : : : A A x + L \x )L \y L \z

c a r a

derechaI1 x

Fig.4-2

39

40 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4

de manera que el total para estas dos caras esjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a Ax; ¡ -AxAyAzvX

El mismo procedimiento se aplica a los restantes pares de caras y se combinan los resultados.TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f A dS (a Ax oAy O Az) A • • A A ~

. ~ - + - + - ilAuyu",oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa y a z

Dividiendo por Ax Ay Az = Av y haciendo Av - + 0, se obtiene

(cartesiano)

El mismo método puede aplicarse para coordenadas cilíndricas (problema 4.1) Y esféricas.

di A _ 1 a ( A) 1 a A< /> a AzIV --- r + - - - + -

r a r ' r a e /> a z

. 1 a (2) 1 a ( ) 1 a A< />dIV A = '2:l r A , + - - ( ) ~ ( )A g s e n ( ) + - - ( ) ~,.¡.,

r o r rsen u rsen v v '

(cilíndrico)

(esférico)

4.3 DIVERGENCIA DE D

De la ley de Gauss (sección 3.3),

§ D· dS Qenc=

Av

En el límite,

lím ~ D • dS d' D u Qenc= IV = 1m -- = p

I ! .V " 'O Av I!.v ..• O Av

Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwell para campos estáticos:

div E = ef

si e es constante en toda la región que se está considerando (si no lo es, div iE = p ) . Así pues, ambos campos

E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región libre de carga ..

div D = p y

EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la región r :$ o contiene una densidad uniforme de carga P . Para r > o la

densidad de carga escero. Del problema 2.56, E = E , 8" donde E , = (p r f3 (o) para r s ; o y E , = (p o 3 / 3 lo r2 ) para r > o .

Entonces para r :$ o ,

. 1 a ( 2 p r ) 1 ( 2 p ) Pdiv E = ~ a r r 3 io = ~ 3r 3(0 = ~

y, para r > o ,

. 1 a (2 p a3

)d lv E = - - r - - = 0

r20 r 3 io r

2

4.4 EL OPERADOR NABLA

El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este

punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en coo r dena da s ca r tesia na s corno

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIATSRQPONMLKJIHGFEDCBA4 1

En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representaraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd i d x . Los símbolos r y fson también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V,

solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin

embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A .

. _(i. i. ~) .(A A A ) _ o A " o A y o A z - diV A -jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa x a" + a y ay + O Z sr "a" + . ,al' + • az - O X + oy + O Z - IV A

De aquí en adelante, escribiremos la divergencia de un campo vectorial como V . A.

[Atenc iá n l El operador nabla sólo está definido para coordenadas cartesianas. Si V . A se utiliza para

expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador

nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas ci-

líndricas se escribe como

1 o 1 0 A .p o A .V 'A = - - ( r A ) + - - + -

r o r r r oq , iJ z

(véase sección 4.2). Esto no imp lica que

1 iJ 1 iJ ( ) iJ ( )V == - - (r lar + - - - a + - - a

r a r r iJ q , .p O Z %

en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r esu lta do fa lso si se utilizara en V V

(el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) ..

4.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA

La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . dS es igual a la carga encerrada.

Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede

obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues,

Pero p = V . D, entonces

f D' dS = J (V' D )dv

JI

Este es el teo r ema de d iver genc ia , también conocido como teo r ema de d iver genc ia de G a uss. Es el análogo

tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre

D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.

teorema de la divergencia fA' dS = f (V' A)dvs v

Por supuesto, el volumen v es aquél que está encerrado por la superficie S.FEDCBA

E J E M P L O 2: La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico

Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.

42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4

Para S, escogemos la superficie esféricajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBArTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= b : s ; a .aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f (V, E )dv

2. • pb3

= f f - senf d O d 4 >o o 3 E

47 tpb 3

= - -

3 E

y

V . E = ~ ~ (r 2 p r ) = f ! . .

r2 o r 3 E E

2. ~ b P

f f f - r2

s e n O d rd O d 4 >o o o E

47 tpb 3

3 E

f f (~ :FEDCBAa , ) . (b2

s e n O d 8 d 4 > a,)

El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticos como a campos variablescon el tiempo en

cualquier sistema de coordenadas. El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario

cambiar de una integral de superficie cerrada a una integral de volumen. Pero por eso puede usarse también

para convertir la integral de volumen de una función, que puede ser expresada como la divergencia de un

campo vectorial, en una integral de superficie cerrada.

P r o b l e m a s r e s u e l t o s

4 . 1 . Desarrollar la expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas.

U n volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Sr , r !l.4> , y !l.z. El campo vectorial A está

definido en P , esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r ,4> , y z, como

A = A,a, + AoIJa4> + A.a.

zPor definición,

. , fA ' dSd¡vA= hm ---

6v~O !l.v

y

Para expresar fA ' dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen.

Para la componente radial de A ver la figura 4-4.

En la cara izquierda,

fA' dS ~ -A,r !l.4> !l.z

F i g . 4 - 3

y en la cara derecha,

fA' dS ~ A,(r + !l.r ){r + !l.r )!l.4> !l.z

~ (A, + °o~ '!l.r )(r + !l.r )!l.4> !l.z

(O A,)

~ A,rA4> !l.z + A, + " s !l.r !l.4> !l.z

s-.dS ~~+ Ar )

~

F i g . 4 - 4donde el término en ( !l. r)2 ha sido despreciado. La contribución neta de

este par de caras es entonces

(o A ) o 1 a

A, + r - ' !l.r !l.4> !l.z = - (rA,)!l.r !l.4> !l.z = -;- (rA,)!l.vo r o r r o r

(1)

ya que !l.v = r !l.r !l.4> !l.z.

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 43

En forma similar, las caras normales aTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa q , dan

y

para una contribución neta deaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 0 A q ,- - -L \vr 0 4 >

( 2 )

y las caras normales a a, dan

yjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( A. + °o~z L \Z ) r L \ r .1 4 >

para una contribución neta de

oAz-L \v

oz(3)

Cuando ( l) , (2) Y (3) se combinan para dar § A . d S , la definición de divergencia es:

. 1 o (r A,) 1 oA4> oAzd lv A = - - - + - - + -

r o r r 0 4 > oz

4.2. Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.

Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas,

E=~a21 tE o r '

Entonces

v . E = ~ ~ (r ~) = Or o r 21 tE o r

La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r = O, donde la expre-

sión es indeterminada.

4.3. Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.

Para una carga puntual, en coordenadas esféricas,

QD = - 4 2 a,

1 tr

Entonces, para r > 0,

4.4. Dado A = e - r (c o s x a , - sen x ay), hallar V' A.

4.5. Dado A = x2.x + y z a ) ' + x y a z , hallar V' A.

o o oV ' A = - (X2 ) + - (y z ) + - (x y ) = 2 x+ z

ox a y O Z


4.6. Dado ATSRQPONMLKJIHGFEDCBA= aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2( sen ~x )a"" hallar V· A en x = l.

a ( 1 tX )V . A = - 5x2 sen-a x 2

(

1 tX ) 1 t 1 tX 5 1 tX 1 tX

= 5 X 2 cos - - + lOx sen- = - 1 tX2 cos - + 10x sen-

2 2 2 2 2 2

y V· A l = 10.x=l

4.7. Dado A = (X2 + y2t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).

y V· A l = -8.84 x 10-2

(2.2.0)

4.8. Dado A = r sen 4>FEDCBAa , + 2 r cos 4>a", + 2z2a%, hallar V· A.

1 a 1 a aV ' A = - - (r 2sen tj» + - - (2 r co stj» + - (2z2

)

r a r r a tj> a z

= 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z

4.9. Dado A = r sen tP a , + r2

cos 4>a", + 2 r e - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n /2 , O).

1 a 1 a aV' A = -- (r 2sen tj» + - - (r 2costj» + - (2 r e -S% ) = 2sentj> - r sen tj> - 10 r e -s%

r a r r a tj> a z

y

I

1 t 1 1 t (1) o 7V· A = 2sen- - -sen- - 10 - e = --

(1/2.,,/2.0) 2 2 2 2 2

4.10. Dado A = 10 sen24> a , + ra", + [ (z2 /r )co s2 4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).

V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos2

tj>

ry V .A I = 5

(2 .< 1 > . S )

4.11. Dado A = (5 /r 2 ) sen Ba, + r cot é a, + rsen Bcos4>a"" hallar V· A.

la 1 a 1 aV· A = - - (5senO) + - - - (r senO co tO ) + - - - (r senO costj» = -1 - sentj>

r 2 a r r senO a o r senO a tj>

4.12. Dado A = (5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa"" hallar V· A.

V . A = ~~ ( 5 ) + _ 1 _ ~ (10)+ _ 1 _ ~ (-r 2 tj> senO ) = -r,2 a r r senO a o r senO a tj>

4.13. Dado A = 5 sen O a, + 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n /4 , n /4 ).

1 a 1 a ' cosO costj>V' A = --- (5sen20) + - - - (5sentj» = 10-- + 5--

r sen o a o r senO a tj> r r senO

y V 'A I =24.14(0 .S . , , /4 . , , ¡4 )

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 45FEDCBA

4 . 1 4 . Sea D =jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas cartesianas y D = (P o z/TSRQPONMLKJIHGFEDCBAI z l)a: en las otras

partes. Halle la densidad de carga.

V·D = p

Para - l ~. z ~ 1.

y para z < - l ó z > 1,

L a distribución de carga aparece en la figu-

ra 4-5.F i g . 4 · 5

4 . 1 5 . Sea

en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 0 0P = - - [ b (r 2 + z2 r 3 !2 r 2 ] + - [ b (r 2 + z2 r 3 J 2z]

r o r oz

= ~ f - ~ (r 2 + z2 r S/2 (2 r 3 ) + (r 2 + z2 r 3 /2 (2 r )] + b f - ~ (r 2 + z2 t SI1 (2z2 ) + (r2

+ z2 t3 /2 ]

= b (r 2 + z2 r S/2 [ -3 r 2 + (r 2 + z2 )(2 .) - 3z2 + (r 2 + Z2)] = o

a menos que r = z = O. (El campo dado D corresponde a una carga puntual en el origen.)

4 . 1 6 . SeaD=(lOr3j4)ar( C jm 2)enlaregiónO < r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar

(C j m 2) en cualquier otro sitio. Halle la densidad de carga.

Para O < r ~ 3 m,

y para r > 3 m,

1 op = - - (810/4) = O

r o r

4 . 1 7 . Sea

D = º2'(1-cos3r)arn r

en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.

p =..!.. ~ fr2 J L (1 - cos 3 r )-] = 3Q sen3 r,2 o r n r2 , n r 2

4 . 1 8 . Sea D = 7 r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.

1 o 1 o 56 cos O ·p = - - (7 r 4

) + - - - (28sen2 O ) = 28 r + - -r2 o r rsen () 0 0 r


4.19. En la región OTSRQPONMLKJIHGFEDCBA< aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr :S 1 m, D=(-2 x 1 O -4/r)a, (C !m jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 ) y para r > 1 m, D=(-4 x 1 O -

4/r2)a;

(C/m2), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones.

Para O < r s; l m.

y parar > I m,

4.20. En la región r :S 2, D = (5r2/4)a, y para r > 2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la

densidad de carga.

Para r : : ; ;2,

y para r > 2,

1 oP = 2 - ( 2 0 ) =O

r o r

4.21. Sea D = (lOx3/3)ax (C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de

un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes.

f n- dS = f ( V ' D )dvvol

Como O tiene sólo componentes x, D .dS es cero en todas las

caras excepto x = l m y x = - I m (ver figura 4-6).

1 1 10(1)fO'dS= f f -a x'dydza " ,

- 1 - 1 3

+ fl f l .1 0 ( - I )

a",' dydz (-a",)- 1 - 1 3

40 40 80= - + - = - c

333

y

Fig.4-6

Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O = 10x2, entonces

4.22. Sea A = 30e-'a, - 2zaz en coordenadas cilíndricas.

Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el

volumen encerrado por r = 2, z = OY z = 5 (figura 4- 7).

Cabe anotar que Az = Opara z = Oy, por consiguiente, A ·dS

es cero sobre esa parte de la superficie.

5 2,. 2" 2

fA' dS = f f 30e-2a,' 2 d tj> dza, + f f -2(5)a.· r d r d tj> a .

o o o o

= 6Oe-2 (2n:)(5)"':' 1O(2n:)(2) = 129.4

A,

Fig.4-7


Para el lado derecho del teorema-de la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo a 30e-'V ' A = -- (30 r e - ') + - (-2z) = -- - 30e-' - 2

r o r oz r

y5 2n 2 (30e-' )aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf (V . A)dv = f f f - - - 30e-' - 2 r d r d o dz = 129.4o o o r

4.23. Sea D = (lOr3/4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de diver-

gencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8).

f D . dS = f (V . D )dv

z

Como D no tiene componente z, D 'dS es cero para la parte

superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en

dirección - .,.

10 2n 1 0

+ f f -4 (2)3.,' (2 )d< jJdz e ,o o

x

- 2001 t 2001 t= - - + 16-- = 7501 t C

4 4Fig.4-8

Para el lado derecho del teorema de la divergencia:

y

10 2n 2

f (V' D )dv = f f f (lOr2

) r d r d o dz = 7501 t Co o 1

4.24. Sea D = (5,2/4)ar (C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia

para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9).

f D ' dS = f ( V ' D )dv

Como D sólo tiene componente radial, D· dS tiene valor diferen-

te de cero sólo en la superficie r = 4 m.

z

1 oV· D = - - (5 r 4 /4 ) = 5r

r 20 r

2n tt/4 5(4)2f D ' dS = t fo -4 -.r · (4 )2Sen8d8d< jJ .r = 589.1 C

Fig.4-9

Para el lado derecho del teorema de la divergencia:

y

2n n /4 4

f (V' D )dv = f f f (5 r )r2sen8d r d8d< jJ = 589.1 C

o o o

48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4FEDCBA

P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s

4.25. Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristasaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~ r , r ~ O y r sen O ~ < jJ .

4.26. Muestre que V • E es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme.

4.27. El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± d f 2 sobre el ejejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz es

Q dETSRQPONMLKJIHGFEDCBA= --3 (2cosOa, +senOa9)

4 n (0 r

Demuestre que la divergencia de este campo es cero.

4.28. Dado A = e 5xa x + 2cosyay + 2 senz a ,; halle V· A en el origen. Resp . 7 .0

4.29. Dado A = (3x + y2 )a x + (x - y2)a)" halle V . A. Resp . 3 - 2y

4.30. Dado A = 2xya x + za y + yz2a z, halle V· A en (2, - 1, 3). Resp . - 8.0

4.31. Dado A = 4xya x - xy2a y + 5 sen z a z' halle V . A en (2, 2, O). Resp . 5 .0

4.32. Dado A = 2r cos- <jJa, + 3r2sen z aoj¡+ 4z sen- <jJaz , halle V ' A. Resp . 4 .0

4.33. Dado A = (1 O /r2 )a ,+ 5e-2za

z' halle V 'A en (2,4> 1). Resp . -2 .60

4.34. Dado A = 5 cos ra, + (3ze- 2'/r)a" halle V ' A en (n , 4>,z). Resp . - 1.59

4.35. Dado A = lOa, + 5 sen O a9, halle V • A. Resp . (2 + cos O)(lO/r)

4.36. Dado A = ra, - r2 cot 089 ' halle V . A. Resp . 3 - r

Dado A = [(10 sen- O )fr ]a " halle V . A en (2 ,n /4 ,4 » .4.37. Resp . 1 .25

4.38. Dado A = r2 sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A. Resp . 4r sen O + C ~4» cot e

4.39. Demuestre que la divergencia de E es cero si E = (lOO/r}a.¡, + 4Oaz•

4.40. En la región a ~ r ~ b (coordenadas cilíndricas),

y para r > b ,

Para r < a , D = O. Halle p en las tres regiones. Resp . O, P o , O

4.41. En la región O < r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (4r-1 + 2e-O.5

, + 4 r - 1e- 0.5 ')ar, y para r> 2. D =

(2.057/r)a,. Halle p en ambas regiones. Resp . _e-O.5" O

4.42. En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (lOr + (r2/3)]a" y para r > 2, D = [3/(128r)]a,. Halle p en

ambas regiones. Resp . 20 + r, O


4.43. Sea DTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 10 senaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO FEDCBAa , + 2 cos O as. Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Resp .senO- (18 + 2cot2 O )

r

4.44. Sea

3 rD = - 2 - - a ,

r + 1

en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp . 3 (r 2 + 3 )/(r 2 + 1)2

en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp . 4O e- l,

4.45. Sea

4.46. En la región r ~ 1 (coordenadas esféricas).

D = (4' _ ~)a3 5 r

y para, > l. D = [5/(63,l)]a,. Halle la densidad de carga en ambas regiones. Resp . 4 - ,2. O

4.47. La región r ~ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo E = (5 r x 1O-5/Eo)a, (V 1 m ) . Halle la carga neta

encerrada por la concha, = 2 m. Resp . 5.03 x 10-3 e

4.48. Sea D = (5r2 /4)a, en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-

men encerrado por, = l Y r = 2. Resp . 75n

4.49. Sea D = ( 1 0 r3/ 4 ) a , en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-

men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10. Resp . 800n -

4.50. Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por

la concha, = 2. Resp . 40n2

Capítulo 5

Energía y potencial eléctricode los sistemas de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

5.1 TRABAJO REALIZADO EN

CARGAS PUNTUALES EN MOVIMIENTO

En un campo eléctrico E una carga puntualZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ experimenta una

fuerza que está dada por

F=vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA-QE

Si esta fuerza se desbalancea, se produce una aceleración de la par-

tícula cargadaYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy su movimiento se dirige hacia el campo si Q es

positiva. (Ver figura 5 -1.)

Para poner la carga en equilibrio se requiere una fuerzaaplicada igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza del

campo:Fig.S-l

El trabajo se define como una fuerza que actúa a distancia. Por consiguiente, la fuerza aplicada realiza una

cantidad diferencial de trabajo dW cuando la partícula cargada se mueve (a velocidad constante) a lo largo de

una diferencial de distancia d t. Ahora, el trabajo puede ser positivo o negativo, según la dirección de d i,

vector desplazamiento, con relación a la fuerza aplicada, Fa . Cuando di y F a no están en la misma direc-

ción, la componente de la fuerza en la dirección de d i debe usarse. Todo esto se expresa simplemente por:

·dW = F"dtcos8 = Fa ' di

Así pues, en un campo eléctrico el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es

dW= -QE · dl

Adoptándose esto como expresión definitiva para el trabajo realizado al mover una partícula cargada en un

campo eléctrico, un valor positivo significará que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para ocasio-

nar un cambio de posición y un resultado negativo indicará que el trabajo ha sido realizado por el campo.

En los tres sistemas coordenados las expresiones para di son:

di = dx e; + dya y + dz e;

di = dra , + rdcJ> a~+ dZ8:

di = dra , + rd8as + rsen8dcJ>a4>

(cartesiano)

(cilíndrico).(esférico)

EJEMPLO 1: Halle el trabajo realizado al mover una carga de + 2 e desde (2, O, O) m hasta (0,2, O)m a lo largo de la

línea recta que une los dos puntos, si el campo eléctrico es

E = 2X8x - 4ya , (V/m)El trabajo diferencial es

dW = - 2(2x8x - 4Y8,)' (dX8x + dY8y + dZ8.)

= -4xdx+ 8ydy

La ecuación de la trayectoria es x + y = 2 y, por lo tanto, dy = - di a lo

largo de la trayectoria. Por consiguiente,

dW = -4xdx + 8(2 - x)(-dx) = (4x - 16)dxo

W = f (4x - 16)dx = 2 4 J2

y

50

y

(0,2, O)

Trayec.2

O (2, O, O)

Fig.S-l

x

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 1

(Recuérdese que 1 V/m = 1 N /e = 1 J /e · m.)

El trabajo realizado en una carga puntual en movimientovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ desde el puntoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB hasta el punto A en un

campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo

realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:

(campos estáticos)

Tal campo vectorial se denomina campo conserva tivo.

EJEMPLO 2: Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 e es movida desde (2, O, O) m hasta

(O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y.

La trayectoria se muestra en la figura 5-2. Sobre el primer segmento, y = dy = dz = O, así pues

dW ='-2(Oa" - 4ya y)' [Oa; + dYIl}. + Oa.) = 8ydy

dW = -2(2xa" - Oay)' (dxa" + OBy+ Oa.] = -4.xdx

Sobre el segundo segmento, x = dx = dz = 0, así que:

Por lo tanto,

o 2

W = -4 f xdx + 8 f ydy = 24 J

2 o

este es el mismo valor encontrado para la trayectoria del ejemplo l.

5.2 POTENCIAL ELECTRICO ENTRE DOS PUNTOS

El potencia / del punto A con respecto al punto B se define como el trabajo realizado al mover una carga

positiva unitaria, Q u' desde B hasta A .

W A

VA B = - = - fE' di (J/C ó V)Qu B

Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el

signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza Fa = - QE, que

fue' aplicada para poner la carga en equilibrio.

Puesto que E es un campo conservativo,

VA B = VA C - VB C

de aquí que VA B

se considere como la diferencia de potencia /entre los puntos A y B. Cuando ~B es positivo,

debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde B hasta A y se dice entonces que el

punto A está a un potencial más alto que el punto B . En el ejemplo 1, si el punto B se toma en (2, O, O) m yel

punto A en (O, 2, O) m, entonces

24JVA B=-= 12V

2C

El punto A está a un potencial más alto que el punto B, (lo está en 12 V). Además, el potencial VaA debe ser

-12 V, ya que V B A difiere de ~B sólo por la inversión de los límites superior e inferior en la integral

definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado. """

Pt

EJEMPLO 3: Encuentre el potencial de A , (1, <P , z ), con respecto a B ,

(3,1> ', z"), en coordenadas cilíndricas, donde el campo eléctrico es pro-

ducido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8,

(V 1m ).

Debe anotarse primero que d i tiene componentes en las direcciones'

aro a~, ya; y que E tiene dirección radial. Entonces E . dI = Ei dr , yasí

A 1 50 1

VA B = - fE ' dI = - f - dr = - 50 In -. = 54.9 V8 3 r 3

El punto A está a un potencial más alto que el punto B .

r= 3 m

Fig.5-3

52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5

Como no hay trabajo en movimiento a lo largo deYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA8 4 > o az' todos los puntos sobre el cilindrovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr = constante deben

estar al mismo potencial. En otras palabras, para una línea uniforme de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son

superficies equipotencia les.

Como el campo eléctrico producido por una carga puntualZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ tiene dirección radial,

5.3 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

A r A Q 'A dr Q (1 1 )VA B = - fE' di = - f E, dr = - - f 2 = - - - -

B '8 4ltio '8 r 4ltio r A r B

Para una carga positiva Q el punto A está a un potencial más alto que el punto B cuando r A es menor que rn-

Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas.

Si al punto de referencia B se le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces

o

En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en

olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta

infinito.

5.4 POTENCIAL DE UNA D1STRIBUCION DE CARGA

Si hay carga distribuida en algún volumen finito con una densidad de carga conocida p (C I m '),

entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de

carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en la figura 5-4. Entonces en P .

dQdV= --

4ltio R

V= f ~vol 4ltio R

dV

~p

-- RLa integración sobre el volumen da el potencial total en P :

Fig. 5-4

donde dQ está reemplazado por p du. Ahora, no debe confundirse R con r del sistema de coordenadas esfé-

ricas. R no es un vector sino la distancia desde dQ hasta el punto P . Finalmente, R casi siempre varía de lugar

a través del volumen y entonces no puede removerse del integrando. •

Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, la expresión de arriba para Vse cumple, siempre

y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y Ps o P t estén usados en lugar de p . Debe hacerse

hincapié en que todas estas expresiones para el potencial en un punto externo están basadas en una referencia

cero en el infinito.

5.5 GRADlENTE

Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5 (a ) muestra dos

puntos vecinos, M y N . de la región en que está definida una función escalar V. El vector separación de los dos

puntos es

dr = dx e; + dye; + dz s,

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 53ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

M (x,y ,z )vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ dx ; y + dy ; z + dz)

y

x x

(a )

Fig. S-S

Por el cálculo, el cambio en V desde M hasta N está dado por

av av avdV = -dx + -dy + -dz

ax ay az

Ahora, el operador nabla, introducido en la sección 4-4, sobre V da

De lo que se deduce que

dV = VV· dr

z~ V(x,y,,)",

V (x , Y. z) = el

y

(b)

El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gradiente de la función escalar V. Se ve que

para una I d r l fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional a la proyección de VV en esa

dirección. Así pues VV yace en la dirección de máximo incremento de la función V.

Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie

equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = Cl [ver figura 5-5 (b)] . Entonces dV = O lo que implica que

V V es perpendicular a dr . Pero dr es tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización

adecuada de N, éste representa cua lquier tangente a través de M. En consecuencia, VV debe estar a lo largo

de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I

hacia V (x, y, z) = c2, donde C2 >cl• El gradiente de una función potencia l es un campo vector ia l el cua l

es en todo punto norma l a la s superficies equipote.ncia les.

El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en

el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la

distancia en dirección del vector unidad particular.

av av avVV = a ,: a , + r ao a o + rsenO acIJ a 4 >

(cartesiano)

(cilíndrico)

(esférico)

Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier sistema coordenado, debe recordarse que el operador

nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.

54 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5

5.6 RELACION ENTRE E YZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV

A partir de la expresión integral para el potencial de A respecto de B . el diferencial de V puede escribirse

comovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

dV= -E·dl

Por otro lado,

dV = VV ·dr

Como diYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= dr es un pequeño desplazamiento arbitrario, se deduce que

E= -VV

La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida,

tomando simplemente el negativo del gradiente de V . Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las

superficies equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo en V . Con el signo negativo se encuentra que el

campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V .

5.7 ENERGIA EN CAMPOS ELECTRICOS ESTATICOS

Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribución de n = 3 cargas

puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga y con E = O en todas partes.

Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para Q

colocar la primera carga Q ., en la posición l es cero. Por 1

tanto, cuando Q2, se mueve hacia la región, se requiere un

trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de

Q •. El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es

WE=W1+W2+W3

= O + (Q2 V2.1) + (Q3 V3.1 + Q3 V3.2)

0 0

Fig. 5-6

El potencial V2 • debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la carga Q . en la posición 1". (Esta

notación, poco usual, no aparecerá de nuevo en este libro.) El trabajo W E es la energía almacenada en el

campo eléctrico de la distribución de carga. (Ver problema 5.20 para un comentario sobre esta identifica-

ción.)

Ahora, si las tres cargas se trajeran a su sitio en orden inverso, el trabajo total sería

WE=W3+W2+W¡

,;, O + (Q2 V2•3) + (Qt V1•3 + Qt V1.i)

Cuando las dos expresiones arriba se suman, ei resultado es dos veces la ~nergía almacenada:

El término Q. (V 1.2 + V 1.3) era el trabajo hecho contra los campos de Q2 y Q3' únicas otras cargas en la

región. Así que, V i, 2 + V r , 3 = V ., potencial en la posición 1. Entonces

y

para una región que contiene n cargas puntuales. Para una región con densidad de carga p (C I m ') el proceso

sumatorio se convierte en una integración,

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 55

Otras expresiones (ver problema 5.15) para la energía almacenada sonYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2

~= -f-dv2 (.

En un circuito eléctrico, la energía almacenada en un condensador está dada por

1 1 2WE = -QV = -CV

2 2

donde C es la capacitancia (en faradios), Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores que constitu-

yen el condensador y Q es la magnitud de la carga total sobre uno de los conductores.

EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las

placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico.

Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)a n entre las placas y E = O en cualquier otro lugar.

1 f 2W E = 2 a : dv

e (V)2= 2 d f dv

+v.= ..

Fig. 5-7

Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por

medio de la ley de Gauss (sección 3.3).

Entonces

Problemas resueltos

5.1. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = - 20 J1 .C desde el origen hasta (4, O, O) m

en el campo

E = (~ + 2Y~" + 2X8y (V/m)

y

y

dW = -Q E ' di

= (20 x 1O-6)(~ + 2Y)dX

W= (20x 1O-6)((~+ 2Y)dX

= 80pJ

(4.2. O)

Para una trayectoria a lo largo del eje x. di = dx a".

(0,0,0) (4.0,0)

I

x

Fig. 5-8

56 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5

5.2. En el campo del problema 5.1, mueva la carga desde (4, O,O)m hasta (4,2, O)mYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy determine el trabajo

realizado.

Ahora (sección figura 5-8)vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdi = dya y, y así

2 2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAW = (20 x 10-6) f 2xdy = (20 x 10-6)(2)(4) f dy = 320 JÚ

o o

5.3. En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizado al mover la carga desde el origen hasta

(4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos.

La ecuación de la línea es x = 2y. de lo cual dx = 2 dy, dz = O. Entonces

Para integrar respecto de x , y y dy se cambian a x/2 y dx l L.

4 5

W= (20x1O-6)I -xdx= 400JÚo 2

que es la suma de 80 l1J Y 320 f.1J , datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2.

5.4. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 5 p 'e desde el origen hasta (2 m, n/4,1t/2), coordenadas esféricas, en el campo

1 0E = 5e-r /4a + --- a (V/m)

r r sen (J q,

En coordenadas esféricas, z

dI = dr s, + rdeas + rsenedq,a.

Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del

segmento de = dq, = O, y

dW = -QE' dI = (-5 x 1O-6)(5e-'14dr)

A lo largo del segmento 11. dr = de = o, y

dW= -QE' dl=(-5 x 1O-6)(1Odq,)

A lo largo del segmento 111. dr = de/> = O, y

dW = -QE' dI = OFig. 5-9

Por consiguiente,2 _12

W = (-25 x 10-6) f e-r /4dr + (-50 x 10-6) f dq, = -117.9 JÚo o

En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 JÚ.

5.5. Sea el campo E = (k/ r)a" en coordenadas cilíndricas. Demuestre que el trabajo necesario para

mover una carga puntual desde una distancia radial r hasta un punto situado a dos veces esa

distancia radial, es independiente de r .

Como el campo tiene solamente componente radial,

-kQdW = -QE' dI = -QE,dr = -- dr

- r

Para los límites de integración use r I y 2r l.

2" drW = - kQ f - = - kQ In 2

" r

independiente de r.

CAP. 5] ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 57

5.6. Dada una carga lineal deZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp , = (10-YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9 /2) e / m sobre el ejevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes(4 m , n, 5 m ).

A

VAS = - f E·dIS

donde

Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr .

5.7. En el campo del problema 5.6, hállese VBC• donde r , = 4my r C = 10m. Luego, determínese VACY

compárese éste con la suma de VAB y VBC•

VB C = -9[lnr]:: = -9(1n4 -In 10) = 8.25 V

V A C = -9[lnrt = -9(ln2 -In 10) = 14.49 V

V A B + V B C = 6.24 V + 8.25 V = 14.49 V = V A C

5.8. Dado el campo E = ( -16/ r2 )a , (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto

(2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ).

Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r = 2 m sea A y r = 4 m,

sea B . Entonces

2 (-16)VAB = - t 7 dr = - 4 V

5.9. Una carga lineal de p , = 400 pCj m yace a lo largo del

eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O,

5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10).

Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.

z

Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordena-

das x de los dos puntos pueden ignorarse.

rA= J9+ 16= 5m r B = J25 + 144 = 13 m yLínea de

cargaEntonces

V frA P t d p , rA

A B = - -- r = - --In - = 6.88 Vr. 27tE:or 27tE:o rB

Fig. 5-10

5.10. Halle el potencial en rA = 5 m respecto de r» = 15 m producido por una carga puntual Q = 500

pC en el origen y referencia cero en el infinito.

Debido a la carga puntual,

Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero.

500 x 10-12

(1 1)VAB = 47t(10 9/367t) 5 " - 15 = 0.60 V


la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrarZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAsYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy V IS '

V15

= -.JL (~) = 0.30 V47tt:o 15

Entonces

5.11. Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo circular de 2 m de

radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compare el

resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual.

Con la carga en una línea,

v - f p,dt- 41UoR

z

Aquí(40/3) X 10-9 10-8

p , = 2x(2) = ~ e /m

y (ver figura 5-11) R = J29 m, dt = (2 m)dq,.

Si la carga está concentrada en el origen.Fig. 5-11

v = (40/3) X 10-9

= 24.0 V

4Xio(5)

5.12. Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida uniformemente sobre un disco..circular de 2 m

de radio (figura 5-12).

Como la carga está sobre una superficie,

fp.dS

V = 4XioRz

R = J25 + r2 (m)

(40/3) X 10-9 10-8 2

con P . = X(2)2 =~ Cim

10- 8/3x 2" 2 r drdq,V = f f = 23.1 V

4x(10 9/36x) o o J25 + r2

Fig.5-12

5.13. Cinco cargas puntuales iguales, Q = 20 nC, están localizadas en x = 2,3,4,5 y 6 m. Encuentre el

potencial en el origen.

5.14. Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L (figura

5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r¡ y'2 sean peque-

. ños comparados con la longitud, el potencial Vl2

es el mismo que para una línea infinita de carga.

CAP. 5]

5.15.

ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 59

El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, esZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

V IYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 2vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAfL p,dzo 47Uo(Z2 + ri)I/2

= 2p, [1n(z+Jz2+d)]L47tlo o

= ~ [In (L + J13 + d ) - In r¡)27tfo

En forma similar, el potencial en el punto 2 es

Ahora si L ~ rl

y

V I :::; ~ (In2L - ln r.)27tfo

Entonces -L

lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.

Fig. 5-13

Hay una carga distribuida en un volumen v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con

energía almacenada

Demuestre que una expresión equivalente para la energía almacenada es

La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R .

Como p es nula fuera de v,

tf 1· 1fWE= - pVdv= -J pVdv= - (V'O)Vdv2 lo' 2 volumen 2 volumen

esferoidal esferoidal

El vector identidad V' V A = A' VV + V(V' A), aplicado al

integrando, da:

WE = ~ f (V , VO)dv - ~ f (O ' VV)dv2 volumen volumen

esferoidal esferoidal

Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente

grande. Se debe hacer R ....•co.

La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema

de divergencia, a

1 !- j VO·dS2 superficie

esferoidal

Esfera

Fig. 5-14

60 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP.vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAS

Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumen encerrado parece una carga puntual. De esta

manera, en la superficie, D aparece como k ti R2 Y V como k2/ R. Así que el integrando decrece con 1/ R3. Como

el área de la superficie aumenta sólo con R2, se concluye que

límf VD·dS=O~-co superficie

esferoidal

La otra integral da, en el limite,

y como D = (E. la energía almacenada está también dada porYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ó

5.16. Sea la función potencialZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV = 2x + 4y (V) en el espacio libre. Halle la energía almacenada en un

volumen de 1 m3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m '.

(OV oV OV)

E= -VV= - -a +-a +-a = -2a -4a (V/m)ox x ay y oz • '"

Este campo es constante en magnitud (E = .jW V/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la

energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de

placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.)

De todas maneras, es posible hablar de una densidad de energía para éste y otros campos. La expresión

sugiere que cada volumen minúsculo dv tendrá asignado un contenido w dv, donde

Para este campo, la densidad de energía es constante:

1 10-8

W = - (0(20) = -- J/m 3

2 36n

y así cada volumen de 1 m3 contiene (10 8f361t) J de energía.

5.17. Dos semiplanos conductores delgados, en 4J = O Y 4J = 1 tJ6 , están aislados uno del otro a lo largo del

eje z. La función potencial para O ~ 4J ~ nJ6 es V = (-604J/1t) V. Halle la energía almacenada entre

los semi planos para 0.1 ~ r ~ 0.6 m y O ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre.

Para encontrar la energía almacenada, W'E' en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densi-

dad de energía (ver problema 5.16) a través de la región. Entre los semiplanos,

1 a (-601/» 60E= -VV= --- --- a.=-a. (V/m)

r a l/> n ' n r

y así

e 1 ,,/6 0.6 (60)2 300(W É = ~ f f f - rd rd I/> dz = __ o ln6 = 1.51 nJ

2 o o 0.1 nr n

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA6 1

5.18. El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos envutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr = 0.01 m y r = 0.05 m está

dado por E = (105/ r )a , (V / m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada

en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre.

1 e h+ O.S 2" O.OS(105)2WÉ= 2f€OEZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2dv= if

h

fo fo.ol

-r - rdrd< jJdz= 0.224J

5.19. Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las

esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610

dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?

donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema.

Entonces

Q Q Q 4 x ' 10- 9 (1 1 1)V I = 2 + 3 + 4 = _ + _ + _ = 97.5 V

41t(0 R J2 41t(0 R 13 41tEo RI4 41tfo 1 1 J2W E = 2QI V I = 2(4 x 10-9)(97.5) = 780 nJ

Para sólo dos cargas,

o

2WE = QI V I + Q2 V 2 = 2QI V I

-9 (4 x 10-9)

WE = Q I V I = (4 x 10) ¡ ; = 102 nJ41tEoV 2

5.20. ¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·Q I = 3 nC y . Q 2 = - 3 nC, sepa-

radas por una distancia de d = 0.2 m?

2WE = QI V I + Q2 V 2 = QI (4~ :d ) + Q 2(4~ :d )

WE

= Q IQ 2 = _ (3 X 10-9)2 = -405 nJ

41t/:0 d 41t( 10 9/361t )(0.2)por esto

Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2 , y por con-

siguiente

1 f 2WE= - fE dv2 todo el espacio

es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para

ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía

infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo

separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, U i = - 405 nJ, puede tomarse con el signi-

ficado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las

d ife renc ias de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.

5.21. Una concha esférica conductora de radio a , centrada en el origen, tiene un campo potencial

v _ {YoVoa jr

r~a

r> a

con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo

representa.

r< a

r> c.


Obsérvese que la carga total sobre la concha es, según la ley de Gauss,

(

EOvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVoa)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2Q = DA = ~ (47ta )YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 47tEo Voa

mientras que el potencial en la concha es V = ~ . Así pues, WE

= !Q V , resultado familiar para la energía alma--

cenada en un condensador (en este caso, un condensador esférico con la otra placa de radio infinito).


5.22. Halle el trabajo realizado al mover una carga Q = - 20 J lC desde

el origen hasta (4, 2, O) m en el campo

5.23.

5.24.

5.25.

·S.26.

5.27.

, 5.28.

5.29.

E = 2(x + 4Y )8x + 8X 8y (V/m)Z

a lo largo de la trayectoria x2 = 8y. Resp. 1.60 m J

Repita el problema 5.4 utilizando una trayectoria de dirección

radial. Resp. - 117.9 J ll~ ----- ll- - - Y

Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria mostrada en la

figura 5-15. Resp. -117.9 J llx

Fig.5-15

Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 3 J lC desde (4 m, 7t, O) hasta (2 m, 7t/2, 2 m), coorde-

nadas cilíndricas, en el campo E = (105/r)a, + 105z8z (Y/m). Resp. - 0.392 J

Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q = 2 nC desde el

infinito hasta r = 2 m y desde el infinito hasta r = 4 m, en el campo E ,,;,(105/ r)a r (Y / m).

Resp. 1.39 x 10-4 J .

Una carga total de (40/3) nC está distribuida en forma de un disco circular de radio 2 m. Halle el potencial

producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Compare este potencial con el que se

obtiene si toda la carga está en el centro del disco. Resp. 49,7 Y, 60 Y

U na carga lineal uniforme de densidad p( = 1 nC/ m está arreglada

en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra en la

figura 5 -16. Halle el potencial en (O, O, 5) m. Resp. 35.6 Y

Z

(O, O, 5)

Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a d

metros medidos radial mente hacia afuera desde el punto medio de

una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad

uniformePr(C/m). Aplique este resultado, como prueba, al pro-

blema 5.28.

y

x

Resp.~ In L/2 + Jd2

+ 1 3 /4 (V )

27tfo d

Fig.5-16

5.30. Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad superficial uniforme de carga P . sobre el

anillo Z = O, R ~ r ~ R + I es independiente de R.

5.31. Una carga total de 160 nC está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de

intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 63

plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de

intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límitevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP r = (160/61t) nCfm? Resp. 247 Y

5.32. En coordenadas esféricas, el punto A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo EYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( -161 r2 )a , (Y 1m), halle el potencial del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el

punto B. Ahora exprese la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema 5.8.

Resp. VA = 2 V D = - 8 Y

5.33. Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los

potenciales en r= 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r= 5 m,

pero opuesto en signo? Resp. 0.45 Y, 0.15 Y,oo

5.34. U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas cartesianas. Halle la diferencia de

potencial VAB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m. Resp. 2.70 Y

5.35. Halle el potencial en coordenadas esféricas producido por dos cargas puntuales iguales, pero opuestas sobre el

eje y= ±d I2 . Suponga r ~ d . Resp. (Q d sen 8)/(41tt.or2)

5.36. Repita el problema 5.35 con las cargas sobre el eje z. Resp. (Q d cos 8)j(41tt.o r 2)

5.37. Halle las densidades de carga sobre los conductores del problema 5J 7.

Resp.

5.38. Una carga lineal uniforme con P r = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny =3 m. Halle la diferencia

de potencial VAB para los puntos A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O). Resp. -18.4 Y

5.39. Una carga laminar uniforme, con P . = (I/61t) nCfm 2, está en x =0 y una segunda carga laminar, con P . =

(-1/61t) nCfm2, está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O).

Resp. - 36 Y, - 24 Y, - 60 Y

5.40. Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas E = (51 r)a , (Y 1m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1m

para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O). Resp. 8.47 Y

5.41. U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una dife-

rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada, suponiendo que t. = t.o. Resp. 11.1 nJ

5.42. El condensador descrito en el problema 5.41 tiene un voltaje

aplicado de 200 Y.

(a ) Halle la energía almacenada.

(b ) Mantenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en

200 Y, mientras se aumenta d 2 a 2.2 cm. Halle la energía final

almacenada. (Sugerencia : Mtí, = t(i\C)V2)

Resp. (a ) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJ l

1 - o.sm---j

Fig.5-17

5.43. Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales iguales, Q = 2 nC, dispuestas en línea con 0.5

m de separación entre ellas. Resp. 180 nJ

5.44. Repita el problema 5.43 si la carga en 'el centro es -2 nC. Resp. -180 nJ.

6 4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5

5.45. Cuatro cargas puntuales iguales,vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ = 2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de

lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada.

Resp. O, 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ

5.46. Dado el campo eléctrico E = - 5e-ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBArllla r en coordenadas cilíndricas. Halle la energía almacenada en el volumen

descrito por r S; 2a y O S; z S; 5a . Resp. 7.89 x 10-10 a 3

5.47. Dado un potencial V = 3x2 + 4y2 (V). Halle la energía almacenada en el volumen descrito por O S; x S; 1 m

O:S;; Y S; 1 m y O S; z ~ 1 m. resp. 147 pJ

Capítulo 6

Corriente, densidad de corrienteEDCBA

y conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

6.1 INTRODUCCIONonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

C o r r ien te e lé c tr ic a es la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a travésde una superficie determinada. El símbolofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 se usa generalmente para corrientes constantes y el símboloZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi

para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es el a mpe r e (1 A = 1 C I s. En el sistema SI, elampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada).

La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples, 1= VI R.

Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carganegativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insufi-ciente. Por consiguiente, en electromagnetismo, la densidad de corriente J (A l m") recibe más atención que lacorriente l .

6.2 CARGAS EN MOVIMIENTO

Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, comose muestra en la figura 6-1 (a). Esta fuerza, F= + Q E , no es opuesta y produce una aceleración constante. Deesta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partículase halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas, como se muestra en la figura 6-1 (b), seestrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de direcciónal azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan,y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como ve lo c id a d d e co r r im ien to U, a lo largo de ladirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capasmás exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoría e lec tr ó n ica d e

lo s g a se s , estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partículacargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente propor-cional a la intensidad del campo eléctrico,

u = jlE

donde u , la movilid a d , se mide en unidades m2 IV· s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un númerode átomos del orden de 1028• Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo librespara moverse cuando se aplica un campo. La movilidad u varía con la temperatura y la estructura cristalinadel sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la tempe-ratura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad jl sereduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisisde circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinar la r e s is tivid a d para cada material y especificarun aumento de esta resistividad con temperatura creciente.

u

-~+~Q~.====~--------~~ E

--------------------~

(a) Vacío (b) Líquido o gas

Fig.6-1

65

66 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTEZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAY CONDUCTORES [CAP. 6

6.3 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION, J

Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp en un volumen v aparece enla figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Se supone que las partículas mantienen su posi-ción relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de cargapasa una superficie S ello origina una co r r ien te d e convecc ió n , condensidad

Si la sección transversal defedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAv varía o si la densidad p no es constante através de v, entonces J no será constante con el tiempo. Más aún, J serácero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras,el concepto de una densidad de corriente causada por una nube departículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de lateoría de campos electromagnéticos.

6.4 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION, J

U

~

J = p U

S

Fig.6-2

De más interés es la co r r ien te d e condu cc ió n que aparece dentro de los conductores de sección transver-sal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por

donde (1 = PJl es la condu c tivid a d del material en s iemen s po r me tr o (S / m). En conductores metálicos losportadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3).Por consiguiente, para los electrones, tanto P como Jl son negativos, loque produce una conductividad (1, positiva, tal como en el caso deportadores de carga positivos. Se deduce que J y E tienen la mismadirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es conven-cional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargaspositivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a P y jJ comopositivos.

La relación J = (1 E se conoce como fo r ma pun tu a l d e la ley d e

O hm . El factor (1 tiene en cuenta la densidad de electrones libres que semueven (P) y la facilidad relativa con que se mueven a través de la es-tructura cristalina (Jl). Como podría esperarse, es una función de latemperatura.

que, en vista de la relación U = llE , puede escribirse

J = (1E

6.5 CONDUCTIVIDAD (1

s

Fig.6-3

En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativos como positivos, algunos con carga sencillay otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podríaincluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos los iones negativos son iguales y lo mismo todos losiones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura 6-4(a). En un con-ductor metálico, sólo los electrones de valencia están para moverse. En la figura 6-4(b) se muestran en movi-miento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad decarga de los electrones libres para moverse, P e ' por su movilidad, Jle'

Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En laestructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, atemperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moversefuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea un p a r e le c tr ó n -h u eco disponible para

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 67

-e --e ---e --B o-----ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA< D - -eJ J -e --0-- ~~-e J O-E E-- ~ -e :--G

E o--- -e- - -e -= -e -G O-onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o= » .» : fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+P+IJ+ a = PeIJe a = PeIJe + PhIJ"

(o) Liquido o gas (b) Conductor (e) SemiconductorEDCBA

F i g . 6 - 4

conducción. Tales materiales se denominan semiconductores in tr ín seco s . Los pares electrón-hueco tienen untiempo de vida breve y desaparecen por recombinación. Sin embargo, otros se van formando por lo que todoel tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura 6-4(c), la conductividadconsiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos devalencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores tip o p o tip o n . Elcomportamiento intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra enlos materiales del tipo n o de huecos extra en los del tipo p. Así, en la conductividad u , una de las densidades,

P eo P h ' excederá a la otra.

La corriente total 1 (en A) que atraviesa una superficie S está dada por

1= f J·dSs

6 . 6 C O R R I E N T E 1

(ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial desuperficie dS. Así pues, un resultado positivo en 1 indica que la corriente através de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto, J no tienenecesariamente que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que ser unasuperficie plana.

dS

F i g . 6 - 5

EJEMPLO 1: Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra enla figura 6-6 si la densidad de corriente es J = 15(1 - e-1000')az (A/m 2

). El radio del

alambre es 2 mm.Se escoge una sección transversal para S. Entonces

d I = J. dS

= 15(1 - e-1000')az' r d r d r /a z

z

y 2x 0.002I=f f 15(1-e-1000')rdrdcp

o o

= 1.33 X 10-4 A = 0.133 mAdS

Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste a la superficie externa

del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total, 1= 0.133 mA,cruzándola,

6 . 7 R E S I S T E N C I A R

J

F i g . 6 - 6

Si un conductor de sección transversal uniforme A y longitud l , como el que se muestra en la figura 6-7.tiene una diferencia de voltaje V entre sus extremos, entonces

VE=-

ty

J= uV

t

68zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

R= ~oAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(O )

suponiendo que la corriente está uniformemente distri-buida sobre el área A, La corriente total es, entonces,

I= J A= oAV

t

Como la ley de Ohm establece que V = IR , la resistenciaes

(Observe que 1 S-l = 10; el siemens era anteriormenteconocido como el mho .) Esta expresión para la resisten-cia se aplica generalmente a todos los conductores en losque la sección transversal permanece constante sobretoda la longitud t . Sin embargo, si la densidad de corriente es mayor a lo largo del área superficial delconductor que en el centro, entonces la expresión no es válida. Para tal distribución de corriente no unifor-me la resistencia está dada por

~ --+ - lll l- - - -~

V

Fig.6-7fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

v V

R = S J . dS = -= -S (T-E - ' -d= -= -S

Si se conoce E en lugar de la diferencia de voltaje entre las dos caras, la resistencia está dada por

R = .,S,---E _ ._ d .,..,..1

S (TE· dS

El numerador da la caída de voltaje a través de la muestra, mientras el denominador da la corriente total/o

EJEMPLO 2: Encuentre la resistencia presente entre las superficies curvas interna y externa del bloque que apareceen la figura 6-8. El material es plata para, la cual a = 6.17 x 107 Sjm .

Si la misma corriente 1 cruza la superficie interna y la externa, entonces,

kJ = -Sr

ry

kE=-sr

ar

Entonces (5° = 0.0873 rad),

In 15 = 1.01 x 10-5 n = 10.1 na(0.05)(0.0873) _ Jl

5 -,0.05 m

3 .0 k

f -a' d r e .r r

0 .2 ar

R = ,0.05 .0.0873 k

J J - a, . r d4> dz a,° ° r

---rrb

= 3.0 m

Fig.6-8

6.8 DENSIDAD DE LA CORRIENTE LAMINAR, K

Algunas veces la corriente está confinada a una superficie de un conductor, tal como las paredes internasde una guía de onda. Para tal co r r ien te la m in a r es útil definir el vector densidad K (en Al m), que da la rata detransporte de carga por unidad de longitud. (Algunos libros usan la notación J s ,) La figura 6-9 muestra unacorriente total/, en forma de hoja cilíndrica, .de radio r , que fluye en dirección z positiva. En este caso,

1K = -a

2n r z

en cada punto de la hoja. Para otras hojas, K puede variar de un punto a otro (ver problema 6.19). En general,la corriente que fluye a través de una curva e dentro de una corriente laminar se obtiene integrando la


Fig.6-'EDCBA F i g . 6 - 1 0

componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAno r ma l de K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así puesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 = f K"dtc

6.9 C O N T I N U I D A D D E L A C O R R I E N T E

La corriente 1que cruza una superficie general S ha sido examinada para los casos en queZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ en la super-ficie era conocida. Ahora, si la superficie es ce r r a d a , para que salga una corriente neta debe haber una dismi-nución de carga positiva adentro:

l J . dS = 1 = - dQ = - ~ f p dvj d t a t

donde la unidad normal en dS es ta dirección normal hacia afuera. Dividiendo por .1 v,

Cuando .1 v -+ 0, el lado izquierdo por definición tiende a V • J, divergencia de la densidad de corriente,mientras el lado derecho se aproxima a -a p jo t. Así pues

a pV 'J = --

a t

Esta es la ecuación de con tin u id a d d e co r r ien te . En ella p representa la densidad n e ta d e ca r g a y no sólo-ladensidad de carga móvil. Como se verá luego, a p ja t puede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentrode un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V • J = 0, viene a ser el campo equivalente de la ley dela corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores escero.

En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de uncampo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas.Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con la ca r g a n e ta , porque cada electrón de conducciónestá balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que la sarga neta es cero en cada .1 v del material.Supóngase, sin embargo, que en un desbalanceo temporal, una región situada dentro de un conductor sólidopresenta una densidad n e ta de carga Po en el tiempo t = O. Entonces, como J = <TE = (<T/E:)D,

70 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6

La operación de divergencia consiste en las derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales. SifedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(J YonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe son constantes, como deben ser en una muestra homogénea, entonces deben ser removidas de las derivadasparciales.

o

La solución a esta ecuación es

~ (V. D)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= ño

e o t

(J op-P = --e o t

op (J

a ¡ + € ,P = O

Se ve que o . y con ellaP = P o e-(a/E)'

op

o t

(J

--pe

decae exponencialmente con una constante de tiempo ( /(J , también conocida como tiempo de r e la ja c ió n

para el material particular. Para la plata, con (J = 6.17 X 107 S/ m y (~(o, el tiempo de relajación es1.44 x 10 -19 s. De esta manera, si una densidad de carga P o pudiera de alguna manera lograrse en el interiorde un bloque de plata, las cargas se separarían debido a las fuerzas de Coulomb, y después de 1.44 x 10 -19 S

la densidad restante sería el 36.8% de P o . Después de cinco constantes de tiempo, o 7.20 x 10-19 s, sóloO.67%de P o permanecería. Así pues, puede deducirse,' para campos estáticos, que la ca r g a n e ta d en tr o d e un con -

du c to r e s ce r o . Si no hay carga neta presente, debe estar en la superficie externa.

6.10 CONDICIONES LIMITES EN CONDUCTOR-DIELECTRICO

Bajo condiciones estáticas toda la carga neta estará en las superficies externas de un conductor yambosE y D serán por lo tanto cero dentro del conductor. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, laintegral lineal cerrada de E .d l es cero para cualquier trayectoria. Una trayectoria rectangular con esquinasJ" 2, 3, 4 se muestra en la figura 6-11.

2 3 4 1

f E·dl+ f E ·d l+ f E ·d l+ f E ·d l= O1 2 3 4 1 2

~ ~

Dieléctrico

~ ~ '- ..~ ~ ", Conductor

4 3

Fig.6-11

Si la trayectoria de las longitudes 2 a 3 y 4 a 1 se hacen tender a cero, con-servando la interfase entre ellas, entonces la segunda y la cuarta integralson cero. La trayectoria 3 a 4 está dentro del conductor donde E debe sercero. Esto deja

2 2

fE . di = f E , d t = O1 1

donde El es la componente tangencial de E en la superficie del dieléctrico. Como el intervalo de 1 a 2 puedeescogerse arbitrariamente,

E ,= D t= O

en cada punto de la superficie.Para encontrar las condiciones sobre las componentes normales, un cilindro circular recto, pequeño y

cerrado se coloca a través de la interfase como se muestra en la figura 6-12. La ley de Gauss aplicada a estasuperficie da

o

f D· dS = Qcnc

f D ·dS+ f D ·dS+ f D ·dS= f P sdSarriba abajo lado A


La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD, = O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integraltambién es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentrodel conductor, donde D y E son cero. Entonces,

fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD ·dS= f D ndS= f P sdSEDCBAa r r i b a a r r i b a A

lo que sólo se cumple si

y EZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= P .n f

Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero(componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo,una carga superficial no implica una carga n e ta en el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga posi-tiva en el origen de coordenadas esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esféricaconductora d esca r g a d a de espesor infinito, como aparece en la figura 6 -13 (a ) , entonces el campo aún estádado por

+QE = 4 ------Z a ,

Tta

excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. Las fuerzas de Coulomb causadas por + Q

atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una p s I de signo negativo.Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga P s2

positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan la carga puntual + Q, terminan en los electrones de lasuperficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13 (b). Entonces, unas líneas de flujo eléctri-co 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse queel flujo no pasa a través del conductor y la carga n e ta en dicho conductor permanece cero.

I \}tP s2-----< ••.•••.· /

/

(a) (b)

Fig.6-13

P r o b l e m a s r e s u e l t o s

6.1. Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce unacorriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico E, la velocidad de corrimiento U, la caídade voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies.

Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es

[(O.0808PUl)(2.54 X 10-

2 m)]2 -6 2A = 1 t 1 = 3.31 x 10 m

2 pul


EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 20JZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= - = = 6.04 X 106 A/m 2

A 3.31 X 10-6 o

Para el cobre,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAu = 5.8 X 107 S/m. Entonces

J 6.04 X 106

E = - = 7 = 1.04 x 10 - 1 V/mu 5.8 x 10

v = El = (1.04 x 10-1)(50)(12)(0.0254) = 1.59 V

V 1.59

R = T = 20 = 7.95 x 10- 2 n

La movilidad de los electrones en el cobre es Jl ,;, 0.0032 m 2/V . s, y como (J = PJl, la densidad de carga es

u 5.8 x 107

P = - = = 1.81 X 101 0 CjmJ

Jl 0.0032

A partir de J = P U se encuentra la velocidad de corrimiento

U = ~ = 6.05 X 106

= 3.34 X 10-4 misp 1.81 x 101 0

Con esta velocidad de corrimiento un electrón tarda aproximadamente 30 segundos para recorrer una distanciade un centímetro en el conductor de cobre # 12.

6.2. ¿Qué densidad de corriente e intensidad del campo eléctrico corresponden a una velocidad de corri-miento de 5.3 x 10-4 mis en el aluminio?

Para el aluminio, la conductividad es u = 3.82 X 107 S/ril y la movilidad Jl = 0.0014 m2/V.s.

(J 3.82 x 107 ( 4) , 2J = pU = - U = 5.3 x 10- = 1.45 x 10' A/m

Jl 0.0014

J UE = - = - = 3.79 X 10-1 V/m

(J Jl

6.3. Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0 mm y conduceuna corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (paraser reemplazados por otros) una sección de 100 mm de longitud?

El número de Avogadro es N = 6.02 X 1026átomos/ kmol. La gravedad específica del cobre es 8.96 y el pesoatómico es 63.54. Suponiendo un electrón de conducción por átomo, el número de electrones por unidad devolumen es

N. = (6,02 X 102 6 átomOS)( 1 kmol )(8.96 x 103 kg)(1 electrÓn). kmol 63.54 kg rn ' o átomo

= 8.49 x 102 8 electrones/ m3

El número de electrones en 100 mm de longitud es

N= 7 te x;0-3f(0.IOO)(8.49 x 1028)=6.00 x 1022

Una corriente de 10 A requiere que

(C) ( 1 electrÓn) -

10 - 19 = 6.25 X' 1019 electrones/ ss 1.6 x 10 C

pasen un punto fijo. Entonces el porcentaje por segundo que deja los 100 mm de longitud es

625 X 101 9

6:00 x 1022 (100) = 0.104% poros


6.4. ¿Qué corriente se produce si todos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico dealuminio pasaran un punto determinado en 2.0 S? Supóngase un electrón de conducción por átomo.

La densidad del aluminio es 2.70 x 103 kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

N. = (6.02 x 1026)(_1_)(2.70 x 103) = 6.02 X 1028electrones/m!26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L\Q (6.02 x 1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6 x 10-19 C¡electrón)1 = - = = 4.82 kA

~t 2 s

6.5. ¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de 0.0046 m2jV·s y unaconductividad de 29.1 MSjm?

Como a = J1P,

y

P = ~ = 29.1 X 106

= 6.33 X 109 C/m3J1 0.0046

6.33 x 109

N. = 19 = 3.96 X 1028electrones/m!1.6 x 10

6.6. Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente.

A 3000 K hay 2.5 x 1019 pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il. =0.38 m2/V·s y la movilidad de los huecos es Ilh = 0.18 m2¡v . s. Como el material no está contaminado, elnúmero de electrones y huecos es igual.

6.7. Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada108 átomos. La densidad del germanio es 5.32 x 103 kg/m 3

y el peso atómico es 72.6 kgj kmol.

Existen

N = (6.02 x 1026)(_1_)(5.32 x 103) = 4.41 X 1028 átomos/m!72.6

y esto nos da

N.= 10-8(4.41 x 1028)=4.41 x 102°electrones/m3

La concentración intrínseca n ¡ para el germanio a 3000K es 2.5 x 1019 por m '. La ley d e a cc ió n d e ma sa ,

N, N h. = n 2t> da entonces la densidad de huecos así

(2.5 X 1019)2N h = 2 0 = 1.42 X 101 8 lhuecos/ m3

4.41 x 10

Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6,

o = N.ell. + Nhellh

= (4.41 x 102 0)(1.6 x 10-1 9)(0.38) + (1.42 x 1'618)(1.6x 10-19)(0.18)

= 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m

En el germanio tipo n el número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018

huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminantede valencia cinco.

74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6

6.8. Un conductor de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Yuna densidad de corriente de 4.65ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx 105onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAAl m '. ¿Cuál es la conductividad del material en elconductor?

ComofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA'E = V/t y J = uE,

4.65 x lOs = u (.!2 )150

ó u = 5.37 X 107 S/m

6.9. Una tabla de resistividades da 10.4 ohms mil circular por pie de cobre templado. ¿Cuál es la con-ductividad correspondiente en siemens por metro?

Un mil c ir cu la r es el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-3 pul).

[(1O-3PUI)( m)]2

I mil cir = 1t --2- 0.0254p~1 = 5.07 x 10- 10 m2

. La conductividad es el recíproco de la resistividad.

_ (_1 pie )(12 ~)( m)( I mil cir ) _ 7U - lOA n . mil cir pul 0.0254pUI 5.07 x 10 10 m2 - 5.78 x 10 S/m

6.10. Un alambre de aluminio A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc-tividad implica esto?

De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils.

[32 X 10-3 ]2

A = 1t 2 (0.0254) = 5.19 x 10-7 m2

t = (1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)= 3.05 x 102 m

Entonces para R = t/uA,

3.05 X 102

u = (16.7)(5.19 x 10-7) = 35.2 MS/m

6.11. En un conductor cilíndrico de radio 2 mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el ejede acuerdo a

Halle la corriente total l .

2~ 0.002

1 = f J. dS = f J dS = f f 1 03 e -4 oo 'r d r d r j>

o o

[

e - 400, ] 0.002

= 21t(103) ( 2 (-4OOr - 1) = 7.51 mA

-400) o

6.12. Halle la corriente que cruza la porción del plano y = O definido por - 0.1 ~ x ~ 0.1 m y _

0.002 ~ z ~ 0.002 m, si

0.002 0.1

I= fJ 'd S= f f 1Q 2 IXIBy·d xd zBy= 4mJ \-0.002 -0.1

CAP. 6] CORRIENTE, DENSl'DAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 75

6.13. Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAxZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= Odefinido por -n /4 ~ y ~ n /4 m y -0.01

~ z ~O.Olm, si

0.01 1 < /4fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1= r J. dS = f f lOOcos2yax' dy dz e¿ = 2.0 A

• -0.01 -,,/4 .

6.14. Dado J = )03 sen ()a- Al m? en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esféri-ca r = 0.02 m.

Como J Y

son radiales,

2" "

I = f f 103(0.02)2 sen' O dO dI/J = 3.95 Ao o

6.15. Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con área A y longitud (está dada por R = ( /( lA, suponiendo una distribución uniforme de corriente.

Una sección transversal constante a lo largo de t produce un E constante, y la caída de voltaje es

v= fE 'dl=Et.

Si la corriente está uniformemente distribuida en el área A,

I = f J . dS = J A = uE A

donde u es la conductividad. Entonces, como R = V/I,

R= ~uA

6.16. Determine la resistencia de aislamiento en una longitud t de cable coaxial, como se muestra en lafigura 6-14.

Suponga una corriente totall desde el conductor interno alexterno. Entonces, a una distancia radial r,

1k-4 -- t---~ ¡

IE=--

21 tu r t

• )y así

I IJ=-=-

A 21 tr t

Fig.6-14

La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces

• I I bV. = - f -- d r = - - In -

.b b 21 tu r t 2 1 tu t a - ,

y la resistencia

V 1 bR = -= -- In -

I 2 1 tu t a


6.17. Una hoja de corriente de 4 m de anchura yace en el planofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAzZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= OYcontiene una corriente total de lOAque se dirige desde el origen hasta (1, 3, O) m. Encuentre una expresión para K.

En cada punto de la hoja, la dirección de K es el vector unidad

y la magnitud de K es (10/4) A/m . De esta manera,

IrK = -a onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Zn r r

y

6.18. Tal como se muestra en la figura 6-15, una corriente 1T

sigue un filamento que baja por el eje z y entra en una hojaconductora delgada en z = O. Exprese K para esta hoja.

Considérese un círculo en el plano z = O. La corriente 1T

sobre la hoja se abre uniformemente sobre la circunferencia Lnr .

la dirección de K es aro Entonces

x

Fig.6-15

6.19. Para la hoja de corriente del problema 6.18 encuentre la corriente en una sección del plano de 300

(figura 6-16).

_ /6 1 11= f K.dt = f --.I.. rd<jJ =.I..

o 2 r r .r 1 2

Sin embargo, la integración no es necesaria, puesto que para una

corriente uniformemente distribuida, un segmento de 300contendrá 30 ° /3 60 ° o 11 12 del total. Fig.6-16

6.20. Una corriente I(A) entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestraen la figura 6-17. Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm.

rEn la parte superior, la corriente está uniformementedistribuida sobre cualquier circunferencia 2 r r .r , de tal manera que

1

IK = -2 a, (A /m )

rr.r

Hacia abajo, la corriente está uniformemente distribuida sobre lacircunferencia 2rr.(0.02 m), de tal manera que

I

K = 0.04rr. (-a%) (A /m )

6.21. En un punto situado sobre la superficie de un conductor, E = 0.70ax - 0.35 a, - 1.00a: V/m.¿Cuál es la densidad superficial de 't:arga en ese punto?

Fig.6-17

En la superficie de un conductor bajo condiciones estáticas la componente tangencial E l es cero. En conse-cuencia, el vector dado debe ser normal al conductor. Suponiendo espacio libre en la superficie,

10-9

P « = D. = (o E. = ±fO IE I = ± 36 r r . J (0 .7 0 )2 + (0.35)2 + (1.00f = ± 11.2 pC/m2

El signo + (más) debería ser escogido si se supiera que E apunta fuera de la superficie.


6.22. Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial decargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= (P o /z) (Crrn"). Escriba una expresión para E en la superficie.

Ya que D n = P .. E n = p J €o . En (0.05, cp , z),

E= E n a, =~a,€ o z

6.23. Un conductor que ocupa la región x ~ 5 tiene una densidad superficial de carga

p _ P o

s - J y2 + Z 2

Escriba expresiones para E y D justo afuera del conductor.

La normal externa es - a x : Entonces, justo afuera del conductor,

y E= P o (-a,.,)€o J y2 + Z2

6.24. Dos conductores cilíndricos concéntricos, r a = 0.01 m y r b = 0.08 m, tienen densidades de cargaP sa =40 pC/ m2 y P sb , tales que D y E existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquier otraparte. Ver figura 6-18. HallefedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP sb , y escriba las expresiones para D y E entre los cilindros.

Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radial y

solamente función de r. Entonces, para ro < r < rb,

1 dV • D = - - (r D ,) = O

r d ró r D , = e

Para evaluar la constante e, utilice el hecho de que D; = D, = P !SO

en r = ro + O.

e = (0.01)(40 x 10-12) = 4 X 10-13 C/mFig. 6-18

y así

4xlO-13D = a, (C/m2)

r

yD 4.52 X 10-2

E = - = a, (V/m]€ o r

La densidad P.b se encuentra ahora a partir de

l l4xlO-13

P&b = D n = - D , = - = - 5 pC/m 2

=,.-0 =,.-0 0.08EDCBA

P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s

6.25. Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad 38.2 MS/m y unadensidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29 m - 3. Resp . 1.40 x 10 - 3 m 2 / V • s

6.26. Repita el problema 6.25 (a ) para el cobre, donde (J = 58.0 MS/m y N, = 1.13 X 1029 m-3; (b) para la plata,donde (J = 61.7 MS/m y N, = 7.44 X 1028 m-3.

Resp . (a ) 3.21 x 10-3 m2/V • s; (b)5.18 x 1O-3m2/V • s.

78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6

6.27. Halle la concentración de huecos,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBANonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh, en germanio tipo p, donde ti =10. S / m y la movilidad de los huecos es

Jlh = 0.18 m2/Y. s. Resp . 3.47 x 1023m-3•

6.28. Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N., si la concentración intrínseca esn i = 2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx 1019m -3. Resp . 1.80 x IOIS m-3

6.29. Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo n para el que ti =10.0 S/m, Jl. = 0.13 m2/Y· s yn i = 1.5 x 1016m-J. Resp . 4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J

6.30. Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8 x IOJk g /m ! y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo.Resp . 1.23 x 1029

6.31. Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si ti =58 MS/m y J.I =3.2 X 10-3

m2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 x 103kg/ mJ. Resp . 1.13 x 1029,1.33

6.32. Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltajede 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidadde corrimiento de los electrones de conducción.Resp . 21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s.

6.33. Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A.Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones deconducción. Resp . 1.12 x 10-2 Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57 x lO-s m] » .

6.34. Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué con-ductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG # z o es 32 mils.Resp . 5.8 x 107 Sl t» .

6.35. Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-3 O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Quéconductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils.Resp . 1.00 x 107 Sl m .

6.36. ¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetrodel AWG # 32 es 8.0 mils. Resp , 17.9 MS/m.

6.37. Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de32 mm y paredes de 6 mm de espesor. Resp . 53.4JtO/m.

6.38. Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado (a) entre bordesopuestos en la misma cara (b) entre las dos caras del cuadrado.Resp . (a ) 1.03 m n ; (b ) 2.66 pn

6.39. Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG#4/0 tiene un diámetro de 460 mils. Resp . 4.91 mn, 7.46 mO

6.40. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo'con una sección transversal circular y un radiode 1mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo. Resp . 2.20 mn

6.41. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1m de largo con una sección transversal cuadrada de 1mmde lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en el otro extremo. Resp . 5.75 mn


6.42. Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la

misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA hasta kA sobre (. Resp . ~ ( In k )

oA k-l

6.43. Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12tiene un diámetro de 81 mils. Resp . 9.09 x 106 A/m 2 .

6.44. Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con r deacuerdo afedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 10 31 r (Al m2). Resp . 4 1tA.

6.45. En coordenadas cilíndricas, J = lOe-100'a~ (A/m 2 ) para la región 0.01 ~ r ~ 0.02m,0< z ~ 1 m. Hallela corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano q , = constante.Resp . 2.33 x 10- 2 A

6.46. Dada la densidad de corriente

en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica e = 1 t,/4 , 0.001 ~ r ~ 0.080 m.Resp . 1.38 x 104 A

6.48. Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A bajapor el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m,yen e = 1 t/2 entra a una hoja plana. Escriba las expresionespara las densidades laminares de corriente K en la concha esfé-rica y en el plano.

Resp . 265 I lg (A/m ), 7.96 a. (A/m )sen é r

6.47. Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a losejes coordenados si J = 2x2alO + 2xy3a y + 2xya . (A/m 2

). Resp . 3.0 A

Fig. 6-19

6.49. Una corriente de filamento de I(A) baja por el eje zhasta z = 5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~ q , ~ 1 t/4

de una concha esférica de radio 5 x. 10-2 m. Halle K para esta corriente laminar.801

Resp . - - I lg (A/m )1tsene

6.52. Un conductor sólido tiene una superficie descrita por x + y = 3 m y se extiende hasta el origen. En la superficiela intensidad del campo eléctrico es 0.35 V [m . Exprese ES D en la superficie y halle P.'

Resp . ± 0.247 (alO + ay) V/m , ±2.19 x 1O-12(alO + ay) C fm .2 , ± 3.10 x 1O-12Cfm2•

6.50. Una corriente laminar de densidad K = 20 a, Al m yace en el plano x = OYhay una densidad de corriente J =

lüa , Al m? en el espacio. (o) Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculo de radio 0.5 m centradoen el origen en el plano z = O.(b) Halle la corriente que cruza el cuadrado Ix l ~ 0.25 m, Iy l ~ 0.25 m, z = O.Resp . (o) 27.9 A; (b) 12.5 A

6.51. Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de10 A en la dirección x positiva. Exprese K. Resp . l67ax A/m

6.53. Un conductor que se extiende dentro de la región z < Otiene una cara en el plano t = Oen el que hay unadensidad superficial de carga

80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

6.54.

6.55.

CORRIENTE. DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6

en coordenadas cilíndricas. Halle la intensidad del campo eléctrico en (0.15 m,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn /3 ,0 ) .

Resp . 9.45 a, V/m.

Un conductor esférico centrado en el origenZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy de radio 3 mm tiene una densidad superficial de carga P .fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

P o cos 2 O . Halle E en la superficie. Resp . P o cos? O Sr

(o

La intensidad del campo eléctrico sobre un punto de un conductor está dada por E= 0.2 a, - 0.3ay -0.2 a.V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de carga en el punto? Resp . ± 3.65 pC¡ m2

Un conductor esférico centrado en el origen tiene una intensidad de campo eléctrico en su superficie E = 0.53(sen? 4 > ) a, V/m, en coordenadas esféricas. ¿Cuál es la densidad de carga donde la esfera se encuentre con eleje y? Resp . 4.69 pC/ m -,

Capítulo 7

Capacitancia y materiales dieléctricoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Los materiales dieléctricos segfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp o la r iza n en un campo eléctrico, produciéndose una densidad de flujo

eléctrico D mayor de la que se tendría bajo condiciones de espacio libre, con la misma intensidad de campo.

U na teoría simplificada, pero satisfactoria, de la polarización, puede obtenerse considerando un átomo del

material dieléctrico como dos regiones de carga positiva y negativa superpuestas, como se muestra en la

figura 7 -1WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( a ) . Cuando se aplica un campo E, la región de carga positiva se mueve en la dirección del campo

aplicado, mientras que la región de carga negativa lo hace en la dirección opuesta. Este desplazamiento puede

ser representado por un m o m en to e lé c tr ic o d ip o la r , p ""' Qd, como se muestra en la figura 7 -1 (c ) .

En la mayoría de los materiales, las

regiones de carga regresan a sus posiciones

originales superpuestas cuando el campo

aplicado es removido. Al igual que en un

resorte, que cumple la ley de Hooke, el

trabajo ejecutado durante la distorsión es

recuperable cuando se permite al sistema

regresar a su posición original. Durante

esta distorsión se lleva a cabo un almacena-

miento de energía en la misma forma que

con el resorte.

Una región 6.. v de un dieléctrico polarizado contiene N momentos dipolares p. La polarización P se

define como el momento dipolar por unidad de volumen:

/--0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA/ \

: - ~ +\ /,'- -

• E

d

G---- G Q

7.1 POLARIZACION P y PERMITIVIDAD RELATIVA 1:,

• E

(o) (b) ( e )

Fig. 7-1

N pP = lím - (e/m2)

t i v ~ O 6 ..v

Esto hace suponer una distribución continua y uniforme de momentos eléctricos dipolares en todo el

volumen, lo que, por supuesto, no se produce. Sin embargo, en una visión macroscópica, la polarización P

puede dar cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según la ecuación

D=l:oE+P

P = Xel:oE (material isotrópico)

Esta ecuación permite a E y P tener direcciones diferentes, como sucede en ciertos dieléctricos cristali-

nos. En un material isotrópico y lineal, E y P son paralelos en cada punto, lo que se expresa por

donde la su s c e p tib i l id a d e lé c tr ic a Xe es una constante adimensional. Entonces,

(material isotrópico)

donde 1:, == 1 + Xe es también un número puro. Dado que D 1: E (sección 3.4),

por lo que e , se denomina p e r m i t i v id a d r e la t iva (compárese con la sección 2.1).

81

82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7

7.2 D Y E DE VOLTAJE CONSTANTE

Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas y voltajegfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV constante, como el que

se muestra en la figura 7-2, tiene una intensidad de campo eléctrico E constante. Despreciando el efecto de

bordes,WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

V

E=-ad "

EOVD=EoE=--a

d "

Ahora, cuando un dieléctrico con permitividad E, llena el espacio entre las dos placas, entonces

D = EoE + P = EoE + Eole E

y las ecuaciones son:

V

E=-;¡a"

D = EoE,E

(como en el espacio libre)

Como D ; = P . = Q / A , la carga y la densidad de carga aumentan por el factor Er respecto de sus

valores en el espacio vacío. Este aumento de carga es suministrado por la fuente de voltaje V .

I

Fig. 7-2

7.3 D Y E DE CARGA CONSTANTE

El condensador de placas paralelas de la figura 7-3 tiene una carga + Q ~n la placa superior y - Q en la

placa inferior. Esta carga puede haber resultado de la conexión de una fuente de voltaje V que fue posterior-

mente removida. Con espacio vacío entre las placas y despreciando efecto de bordes, se tiene:

D " = P s = ~

E = ti = P s aEo EO"

En este arreglo no hay forma de que la carga aumente o dis-

minuya, puesto que no hay una trayectoria conductora

hacia las placas. Ahora, cuando se supone que un material

dieléctrico llena el espacio entre las placas, las ecuaciones

son:

-Q

Fig. 7-3

D " = P s= ~

E=~EoEr

(como en el espacio vacío)

Siendo Q y P . constantes, D debe ser igual que bajo condiciones de espacio vacío, mientras que la magni-

tud de E disminuye por el factor l/E r ' La disminución en Eo E es compensada por la polarización P en la

relación D = E o E + P. Mas generalmente, en un medio homogéneo de permitividad relativa E r' la fuerza

de Coulomb entre cargas se reduce a 1/ e , respecto de su valor en el espacio vacío:

C A P . 7 ] C A P A C IT A N C IA y M A T E R IA LE S O IE LE C T R IC O S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA83

7.4 CONDICIONES LIMITES EN LA ENTRECARA

DE DOS CAPACITANCIAS DIELECTRICAS

Si el conductor de las figuras 6-11 y 6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el

mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites:

(1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBALa c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e E es continua a través de una entrecara de dieléctricos. En símbolos,

y

frl

Enl - fr2 E

n 2= __P .

fo

Generalmente, la entrecara no posee cargas libres (P s = O), por lo que:

y

(2 ) La c o m p o n e n te n o r m a l d eD tie n e u n a d is c o n tin u id a d d e m a g n itu d Ip .1 a tr a vé s d e u n a e n tr e c a r a d e

d ie lé c tr ic o s . Si se escoge el vector unidad normal apuntando hacia el dieléctrico 2, entonces esta

condición puede ser escrita de la siguiente manera:

y

EJEMPLO 1: Dado El = 2ax - 3ay + Saz V/m en la entrecara de los

dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle D 2 y los ángulos 01 yWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO2

,

La entrecara es un plano z = constante. Las componentes x y y son tangen-

ciales y las componentes z son normales. Por continuidad de la componente

tangencial de E y la componente normal de D :

E¡ = 2ax - 3ay + Sa,

E2 = 2ax - 3ay + E%2a%

DI = (o(.¡E¡ = 4(oax - 6100 ay + lOtoa.

D 2 = D x2 a, + D y2 ay + 10100 a.

Las componentes desconocidas se hallan a partir de la relación D 2 = 100 ('2 E2. Fig. 7-4

de lo que se deduce

Los ángulos que se forman con el plano de la entrecara se hallan fácilmente a partir de

E¡ • a, = IE¡I cos (90° - O ¡ )

5 = fosenO¡

01 = 54.2°

E2 ' a, = IE21 cos(90°,- 92)

2 = fosen02

O 2 = 29.0°

Una relación útil puede obtenerse de

E % ¡ Dzdéo lO.!tan é¡ = ----0= = - ,=

J E ~ I + E ; ¡ J E ~ ¡ + E ; !

En vista de las relaciones de continuidad, la división de estas dos ecuaciones da

tan O ¡ ( . 2

tan O 2 ( . 1

84 CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7

Dos cuerpos conductores cualesquiera, separados por el espacioZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAva c ío o por un material dieléctrico

tienengfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc a p a c ita n c ia entre ellos. Si se aplica una diferencia de voltaje se produce una carga + Q sobre un

conductor y -WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ sobre el otro. La relación entre el valor absoluto de la carg~. y el valor absoluto de la

diferencia de voltaje se define como la capacitancia del sistema:

7.5 CAPACITANCIA

e = ~ (F )

donde 1 faradio (F) = l c ¡ V.

La capacitancia depende sólo de la geometría del

sistema y de las propiedades del o de los dieléctricos

involucrados. En la figura 7-5, la carga + Q colocada

sobre el conductor l y - Q sobre el conductor 2 crea un

campo de flujo como el que se muestra en la figura. Por

consiguiente se establecen los campos D y E. Si se

doblaran las cargas se doblarían simplemente D y E, Y

por consiguiente, se doblaría la diferencia de voltaje.

Entonces, la relación Q / V permanecería fija. Fig. 7-S

EJEMPLO 2: .Halle la capacitancia de las placas paralelas de la figura 7-6, despreciando el efecto de bordes.

Con + Q en la placa superior y - Q en la inferior,

Cuando.dos dieléctricos se presentan con la entrecara paralela a E y D, como en la figura 7-7 (a),la capa-

citancia puede encontrarse tratando el arreglo como dos condensadores paralelos:

D . = o , = ~

Como D es uniforme entre las placas,

El voltaje de la placa en z = d con respecto a la placa inferior

es

d Q Q d

V = - f - - ( -a% )' d z n , = --

o (o e , A fO e , A

así

Obsérvese que el resultado no depende de la forma de la placa.

(

7.6 CONDENSADORl<:S DE VARIOS DIELECTRICOS

d

-= -v

( a )

Fig. 7-7

z

td y

T

x

Fig. 7-6

( b )

CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 85

[ver problemaWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA7 . 8 ( a ) ] . Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos

colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAla c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s .

Cuando la entrecara dieléctrica es normal a DZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy E, como en la figura 7 - 7 ( b ) , la capacitancia puede

hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie:

1 1 1-= -+ -<, e l e 2

[ver problema 7 .8 (b )].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados: e l r e c íp r o -

c o d e la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e lo s r e c íp r o c o s d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s .

Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así:

W E = ~ fD ' E d v

7.7 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR

donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes.

Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa e , , entonces

D = (o E + P = (o e , E

y así

Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía

almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P = 0, e , = 1), bien sea a través del término P • E o a

través del factor f r > I

En términos de capacitancia,

y aquí, el efecto del dieléctrico se refleja en e , que es directamente proporcional a fr·

Problemas resueltos

7.1. Halle la polarización P en un material dieléctrico con f r = 2.8 si D = 3.0 x 10- 7a C/m2.

Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico,

P = x.leE

Como D = {o i r E Y Xe = i r - 1,

(

i - 1)P = ~ D = 1.93 X 1O-7a C/m2

7.2. Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5 y P =2.3 x 1O-7a C f m 2 •

Si suponemos que P y E tienen la misma dirección,

x


7.3. Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde e , = 5.2 interactúan con una fuerza de 8.6 x

1 0 -3 N . ¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacío?

La ley de Coulomb, F = Q ¡ Q 2 /(4 1 t(o e, d 2 ) , establece que la fuerza es inversamente proporcional ~ f,. En el

espacio libre la fuerza tendrá su máximo valor.

F = (,(8.6 x 10- 3) = 4.47 x 10- 2 N

7.4. La región 1, definida por x < O, es espacio vacío, mientras la

región 2, x > O, es un material dieléctrico para el cual e , 2 =

2.4. Ver figura 7-8. Dado

D I = 3ax

- 4ay

+ óa,

halle E2

y los ángulos (), y () 2 '

Las componentes x son normales a la entrecara;WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD ; Y E , son

continuos.

óa,

Fig. 7-8

De lo que se deduce que

Para encontrar los ángulos:

D¡'ax= ID¡lcos(900-8¡)

3 = j6isen8¡

8¡ = 22.6°

Similarrnente, 82 = 9.83°.

7.5. En la región de espacio libre x < O, la intensidad de campo eléctrico es E, = 3ax + 5ay - 3a. V/m.

La región x > O es un dieléctrico para el que f.,2 3.6. Halle el ángulo (}2 que forma el campo del

dieléctrico con el plano x = O

El ángulo formado por El se halla a partir de

E¡'ax= IE¡lcos(900-8¡)'

3 = j43sen8¡

8¡ = 27.2°

Entonces, por la fórmula desarrollada en el ejemplo 1, sección 7.4,

Itan 8

2= -tan8¡ = 0.1428

(rl "

7.6. Una entrecara dieléctrico-espacio vacío sigue la ecuación 3 x + 2 y + Z = 12 m. El lado queda al

origen de la entrecaratiene (" = 3.0 Y E, = Za , + 5a, V/m. Halle E2

CAP. 7] .CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES DIELECTRICOS 87

La entrecara se indica en la figura 7-9 por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado

del espacio libre es:

a = 3ax + 2ay + a%

· foz

La proyección de El sobre a. es la componente normal de Ken

la entrecara.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

yEntonces

11Ent = l1 A a. = 2.36 ax + 1.57 ay + 0.79 a,

y " 14

E'1

= El - E.1 = -0.36ax - 1.57 ay + 4.21a% = E'2

D.1 = fOf'lE.l = fo(7·08ax + 4.71 ay + 2.37a%) = D.2

1E.2 = - D.2 = 7.08 a, + 4.71 ay + 2.378%

fo

x

Fil. 7-9

y finalmente

7.7. La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con

espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo cons-

tante E2 dentro del bloque, demuestre que E3 = El.

Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras,

j .1Por continuidad deWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD . a través de las dos entrecaras (no

hay cargas superficiales), Fil. 7-10

y también

Por lo tanto, E ) = E l

7 . 8 . ( a ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( 0 ) tiene una capacitancia

e - fOfrtAt f o f , 2A 2 - e

eq - d + d - 1 + e2

( b ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( b ) tiene una capacitancia

1 1 1 1 1-= + = -+ -c., f O f r t A jd t f

ofr 2

A jd2

et e,

( o ) Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos,

yD 1 D 2 V

- -= --= -8

{o (,1 fOf,2 d '

Donde 8. es la normal que baja hacia la placa superior. Como D . = P s ' las densidades de carga sobre las

dos secciones de la placa superior son:


y la carga total es

De esta manera, la capacitancia del sistema, Ceq = WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ IgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV, tiene la forma propuesta.

(b) Sea + Q la carga sobre la placa superior. Entonces

QD = -a

A •

en cualquier punto situado entre las placas. Por lo tanto,

Las diferencias de voltaje a través de los dos dieléctricos son, entonces:

y

De a q u í se ve que 1/ Ceq = VI Q tiene la forma propuesta.

7.9. Halle la capacitancia de un condensador coaxial de longitud L . donde el conductor interno tiene un

radio a y el externo tiene un radio b . Ver figura 7-11.

Despreciando el efecto de bordes, la ley de Gauss establece que D o ; l l r entre los conductores (ver

problema 6.24). En r = . a . D = P s • donde P s (supuesto positivo) es la densidad superficial de carga sobre el

conductor interno. Por consiguiente,

aD = P s - a,

r

y la diferencia de voltaje entre los conductores es

fa (P s a ) e , « b

V = - --a < d r « = - In -~ r,b (o E, r (o E, a

La carga total enel conductor interno es Q = p s (2 n a L ) , y

así

Q 2 n E o E, LC = - = ,

V In(b la )

Fig. 7-11

7.10. En el condensador que aparece en la figura 7-12, la región entre las placas se llena con un dieléctrico

que tiene e , = 4.5. Halle la capacitancia.

Despreciando el efecto de bordes, el campo D entre las placas, en coordenadas cilíndricas, debe ser de la ,

forma D = D 4 > a 4 > ' donde D 4 >depende sólo de r . Entonces, si el voltaje de la placa tP = (X con respecto a la placacjJ = O es V o ,

De esta manera, D 4 > = . - E o E , " ó ír e x, y la densidad de carga sobre la placa cjJ = a es

CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS

La carga total sobre la placa está dada

entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. h r z i iWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV .

Q = fP sd S = f f ~ d r d zo r l r a

iO ir Vo h r ,-=--:........::-ln-

a r l

Por lo tanto

Cuando se substituyen valores nu-

méricos (con a convertido a radianes), se

obtiene C = 7.76 pF.

7.11. En relación al problema 7.10, halle la

separación d que se produce con la

misma capacitancia cuando las pla-

cas se arreglan en forma paralela con

el mismo dieléctrico en medio.

Con las placas paralelas

así que

z

xa = 5° /

/

/

/

/

Fig. 7-12

iO ir A

C = - -

d

a ( r 2 - r¡)

lnh/r¡)

Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensa-

dor, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del

problema 7.\0, arl

= 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm.

7.12. Halle la capacitancia de una concha esférica aislada de radio a .

El potencial de un conductor de este tipo con referencia cero en el infinito .es (ver. problema 2.35):

Entonces

7.13. Halle la capacitancia entre dos

conchas esféricas de radio a separa-

das por una distancia d ~ a .

El resultado del problema 7.12

para la capacitancia de una concha

esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse

como aproximación. En la figura 7-13

los dos condensadores idénticos pare-

cen estar en serie.

1 1 I-= -+ -C e, C

2

ClC2

C = = 21tio ae, + C2

V= ~

4 1 [ ( 0 a

QC = - = 4 1 t ( o a

V

Fig. 7-13

89

y

90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7

7.14. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 1.5

Y ('2 = 3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura

7.14. AquígfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA = 2 m? y d = 10-3 m.

C = fo frlAI = (8.854 x 10-12

)(1.5)1 = 13.3 nF

1WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd 1 0 - 3

De manera similar, e, = 31.0 nF. Entonces,

Ad

C=CI+C2=44.3nF

T

Fig. 7-14

7.1S. Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos ocupan cada uno la mitad del volumen·

pero tienen la entrecara paralela a las placas.

fo e , A fo e ; A (8.854 x 10-12)(1.5)2CI = T = --;¡¡¡- = 10 3/2 = 53.1 nF

De manera similar, C2 = 124 nF. Entonces

C = CIC2 = 37.2 nFCI + C2

7.16. En el condensador cilíndrico que aparece en la figura

7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen.

Halle la capacitancia.

n io f r lL nfo fr2 L

C = CI + C2 = In ( b / a ) + In ( b / a )

2nfo fr ava L

In ( b / a )

rL

L

La entrecara dieléctrica es paralela a D y E, así que la

configuración puede tratarse como dos condensadores en

paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la

carga que contendría un cilindro completo, el resultado del

problema 7.9 da

donde e , ava = t(irl + (r 2 ) ' Los dos dieléctricos se comportan

como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa

promedio.Fig. 7-15

y

t;rnrn=TIrnrn

7.17. Halle el voltaje a través de cada dieléctrico en el condensador que aparece en la figura 7-16 cuando el

voltaje es 200 V.

iO 5(1)CI=-1O-3 =5000(0

C2 = 1000(0/3

Fig. 7-16

El campo D dentro del condensador se halla ahora a partir de

D = p = g = C V = (2.77 x 10-9

)(200) = 5.54 x 10-7 C/m2n s A A 1

Entonces

D 4

El = -- = 1.25 x 10 V/m(o irl

DE 2 = - = 6.25 X 104 V/m

(o

de lo que se deduce

VI = E ld l = 12.5 V

CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES DIELECTRICOS 9 1

7.18. Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri-

cos de la figura 7-17, dondefrl = 2.0 Y fr2 = 5.0. El

conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5

cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad.

La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un

cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo

IX , tendrá una capacitancia 1X /2 1T . veces la del condensador coaxial

completo. Del problema 7.9,

(F )

100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

V¡ + V2 = V, se deduce que

Fig. 7-17

V¡ = C2V = 4.2 (100) = 74 V

C ¡ + C 2 1 .5 + 4 .2

C¡ 1.5V2 = V = (100) = 26 V

C ¡ + C 2 1.5+ 4.2

7.19. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de

voltaje constante. Determine cómo cambian WE

, D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico

de e r = 2 entre las placas.

Relación

V2 = V¡

E 2 = E ¡

W 2 = 2 W ¡

C2 = 2 C ¡

D 2 = 2 D ¡

P s2 = 2 p s ¡

Q2 = 2 Q ¡

Explicación

La fuente V permanece conectada

como E = V jd

W = 1S (o e , E2

d v

C (o c r A/d

D (o c r E

P . D .

Q p.A

En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen cons-

tantes.

7.20. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a

una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian WE

, D . E . C. Q . P . ' y V

cuando las placas se apartan a una distancia de separación d2

= 2 dl

sin perturbar la carga.

Relación

Q2 = Q¡

P .2 = P .¡

D2

= D ¡

E 2 = E ¡

W 2 = 2 W ¡

C2 = tC¡

V2 = 2 V¡

Explicación

La carga total no cambia

P. Q/A

D . P .

E D j f . o

W t S (o E2

d v , Yel volumen dobla

C = f .o A/d

V Q /C

7.21. Un condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0 cm tiene 29 000 V cuando el espacio

vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm.

Muestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l . r = 6.5) con una resistencia

dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la

figura 7-18.

9 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS

El problema resulta ser el de dos condensadores en serie

Entonces, como en el poblema 7.18,

3250 .Vi = 125 + 3250 (29000) = 27926 V

y así

27933 VEl = = 34907 V/cm

0.80 cm

lo cual excede la resistencia dieléctrica del aire.

o1.0 cm

d

[CAP. 7

7.22. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radioWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa = 2.5 cm y un

plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distanciagfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh = 6.0 de él.

El potencial debido a - P t n o es constante sobre r = a , la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxi-

madamente si a ~ h . Con esta aproximación, entonces, el potencial total del conductor real es .

U na técnica útil en problemas de esta clase es el m é to d o

d e im á g e n e s . Tome "la imagen espejo del conductor en el

plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte

el negativo de la distribución de carga del conductor real.

Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está

claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece

la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por

simetría tiene una superficie equipotencial (sección 5.2)

donde existía el plano de tierra. Por consiguiente, este

campo es el campo que queda en la región comprendida

entre el conductor real y el plano de tierra.

Aproximando las distribuciones de carga real e imagen

a cargas lineales + P t Y - P t respectivamente, en el centro de

los conductores, se obtiene (ver figura 7-19):

potencial en el radio a debido a + P t = - (+ P t) In a27tEo

potencial en el punto P debido a - P t = - (- P t) In (2 h - a )27tEo

Aire. E O

Vidrio. e ,

Fil. 7-18

a

Fig. 7-19

v = - ~lna + ~ In(2h - a ) ~ - ~ ln a + ~ ln 2 h = ~ln 2 ha 27tEo 27tEo / 27tEo 27tEo 27tEo a

Similarmente, el potencial del conductor imagen es - Va . Así pues, la diferencia de potencial entre los dos

conductores es 2 Va , de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es

t(2 V .) = v.. La capacitancia deseada por unidad de longitud es, entonces,

eL

Q /L P t

Va V.

27tEo

In (2 h /a )

Para los valores de a y h , C /L = 9.0 p Fj m ,

CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES DIELECTRICOS 93

La anterior expresión paragfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC ] L no es exacta, pero da una buena aproximación cuando a ~ h (el caso

práctico). Una solución exacta da

Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores

cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh ) es la mitad del valor encontrado arriba (la misma

. carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h .

eL

7tio 7tio

In (d + J ~ :- 4 a2

) ~ In (d ja )


7.23. Halle la magnitud de D en un material die\éctrico para el cual le = 1.6 Y P = 3.05 X 10-7C jm

2•

Re sp . 4.96 X 10-7 c ¡ m2

7.24. Halle las magnitudes de D, P Y i r para un material dieléctrico en el cual E = 0.15 MV/m y le = 4.25.

Re sp . 6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25

7.25. En un material dieléctrico con i r = 3.6, D = 285 nC/m2• Halle las magnitudes de E, P YX • .

Re sp . 8.94 kV/m, 206 nC/m2, 2.6

7.26. Dado E = - 3ax + 4a, - 2a, V/m en la región z < O, donde e, = 2.0. Halle E en la región z > O, para el cual

4i r = 6.5. Re sp . -3ax + 4a, - -a. Vjm

6.5

7.27. Dado que D = 2ax - 4a, + 1.5 a. C jm2 en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O,

que es un dieléctrico con i r = 5.0. Re sp . 1.6ax - 16a, + 6a. C jm2

7.28. La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a. C fm2

• La región 2, O < z ~ 1 m, tiene i r = 2.5.

Y la región 3, z > 1 m, tiene i r = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) .

1( 7)) 2 oRe sp . - 5ay + - a. (V jm , 7.5 ay + 4.2 a. C jm , 2 5 .0 2iO 2 .5

7.29.' El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z = 5. En el lado que incluye el origen, D I

(4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y i r ! = 4.3, mientras en el otro lado, 4 2 = 1.80. Halle E l ' E 2 • D 2 Y ( J 2 '

Re sp . 1.45 X 104 ,3.37 X 10\ 5.37 x 10-7 ,83.060

7.30. Una entrecara dieléctrica está descrita por 4 y + 3 z = 12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con

D I = a, + 3a, + 2a, J J C /m 2 . En el otro lado, i r2 = 3.6. Halle D 2y ( J 2 ' Re sp . 5 .l4 1 lC /m 2 ,4 4 .4 °

7.31. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas con un dleléctrico de i r = 3.0, área 0.92 m? y sepa-

ración 4.5 mm. Re sp . 5.43 n F

7.32. Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué

separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas?

Re sp . 1.67 mm

--

94 CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES D1ELECTRICOS [CAP. 7

7.33. Halle la capacitancia entre las superficies curvas interna y

externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie

el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBARe sp . 6.86 p F

7.34. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un con-

ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro y un plano

paralelo a 28 pies del eje del conductor.

Re sp . 8.99 p F / m (fíjese en las unidades)

7.35. Duplique el diámetro del conductor del problema 7-34 y halle

la capacitancia por unidad de longitud.

Re sp . 10.1 p Fj m

Fig. 7-20

7.36. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5

cm y una separación entre sus centros de 85 cm. Re sp . 6.92WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp F jm

7.37. Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m 2 y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras

normales a E y D, como sigue: frl = 3.0, d , = 1.0 mm; fr2 = 4.0, d 2 = 2.0 mm; 43 = 6.0, d ) = 2.5 mm.

Encuentre la capacitancia. Re sp . 2.12 nF

7.38. Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del problema 7.37, halle la diferencia de potencial y el

gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico.

Re sp . 267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, \33 kVjm

7.39. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno

de 0.5 mm si el dieléctrico tiene e , = 5.2. Re sp . \39 p F jm

7.40. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blinda-

je cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene e , = 2.70. Re sp . \37 p F jm

€r=5.5 ¡o7.41. El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor interno de

radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la

capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que

aparecen. Re sp . 45.9 p Fj m

Fig. 7-21

7.42. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo momentánea-

mente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de e , = 2.0

llenando totalmente el espacio. Compare los valores de Wp D , E , P . , Q . Vy Cantes y después de la inserción del

dieléctrico. Re sp . p a r c ia l V 2 = tVI

7.43. A un condensador de placas paralelas se le cambia el dieléctrico de frl = 2.0 a C r 2 = 6.0. Se nota que la ener-

gía almacenada permanece fija: W 2 = W ¡ . Examine los cambios. en V, C, D , E , Q y P . , si hay alguno.

Re sp . p a r c ia l . P .2 = .j3 P.I

7.44. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de

voltaje constante mientras las placas son acercadas la una a la otra, desde una separación d hasta !d . Examine

los cambios que se producen en Q , P . ' C. D , E Y W E • Re sp . p a r c ia l . D 2 = 2 D ¡

7.45. U n condensador de placas paralelas con espacio libre entre las 'placas permanece conectado a una fuente de

voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta 2 d . Exprese los cambios que se producen en D .

E , Q , P . ' C y Wc Re sp . p a r c ia l . D 2 = t D ¡

7.46. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación d . Sin perturbar la carga

Q , las placas se acercan, hasta d l/ , con un dieléctrico de e , = 3, que llena completamente el espacio entre las

placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en D , E , V, C y W E ' Re sp . p a r c ia l . V 2 = = i V I

CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 95

7.47. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este

espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi r = 5.4 llena 20% de la distancia entre las pla-

cas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. Re sp . 0 .8 4

7.48. Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno con respecto al blindaje cilíndrico.

Hay dos aislantes; el primero tiene i r ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0 cm del conductor interno, mientras

que el segundo tiene i r 2 = 3.0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAY está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm, dentro de la superficie interna del

blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante. Re sp . 0.645 MVWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 m , 1.03 MV 1 m

7.49. Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual i r = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m .

¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor

interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm?

Re sp . 0.376 MV

7.50. Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, i r ! = 2.50, i r 2 = 4.0. Halle E l' E 2 • D I Y

D2 si la diferencia de voltaje es 50 V. Re sp . p a r c ia l . E2 = ±(36.1/r)sr (V/m)

7.51. En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto

del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es

espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0.

Halle el voltaje a través de cada región. Re sp . 91.8 V, 8.2 V

Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del

problema 7.51. Re sp . 59.9 n J /m , 5.30 n J /m

7.52.

e , = 2.0

Fig. 7-22

Science

joseph endminister electromagnetismo-serie-schaum