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Titel KOMPLEXE ZAHLEN und ihre Anwendung Autor HEINRICH HARTMANN Lehrer Klaus Gornik Schule Willigis Gymnasium Mainz Jahr Januar - August 2002 Besondere Lernleistung in den F¨ achern: Mathematik, Physik, Informatik

Komplexe Zahlen

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Schülerprojekt 2002 Inhalt: * Einführung Komplexe Zahlen * Exponentialfunktion und DeMoiver Formeln * Penningfallen * Rollkurven * Fraktale

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Page 1: Komplexe Zahlen

Titel KOMPLEXE ZAHLEN

und ihre Anwendung

Autor HEINRICH HARTMANN

Lehrer Klaus Gornik

Schule Willigis Gymnasium Mainz

Jahr Januar - August 2002

Besondere Lernleistung in den Fachern:

Mathematik, Physik, Informatik

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Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 4

2 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik 5

2.1 Die Erfindung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 ddt

Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Was sind komplexe Zahlen ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Vektorraumstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.4 C und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.5 i und Summenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Darstellungsformen und die Gaußsche Ebene . . . . . . . . . 11

2.4.1 z, |z|, z > w... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Die Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2 Die Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.3 Die Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.4 Die Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Hohere Rechenarten 16

3.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Moivresche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Riemannsche Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Die Eulerformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Herleitung aus den Potenzreihen . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Beziehung zu den Kreisfunktionen . . . . . . . . . . . 22

3.3.4 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.5 Sonderfalle und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.6 Ganzheitliche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Page 3: Komplexe Zahlen

INHALTSVERZEICHNIS 3

3.4 (−e)x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Anwendungen in der Physik 31

4.1 Die harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.1 Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.1 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2 Addition gleichfrequenter Schwingungen . . . . . . . . 374.2.3 Addition ungleichfrequenter Schwingungen . . . . . . 374.2.4 Wechselstromwiderstande . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Penningfallen 41

5.1 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Die Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Rollkurven 47

6.1 Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Epizykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Hypozykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5 Hartmannkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.5.2 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.5.3 Sonderfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.5.4 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Fraktale 58

7.1 Mandelbrotmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.1 Hauptkorperbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Juliamengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3 Verallgemeinerte Mandel- und Juliamengen . . . . . . . . . . 62

A Ausblick 63

B Quelltexte 64

Page 4: Komplexe Zahlen

Kapitel 1

Vorwort

Jeder hat davon wohl schon irgendwann einmal gehort. Teilweise schon inder Grundschule bei der Einfuhrung der negativen Zahlen wurde auf ihreExistenz hingewiesen. Sie verschwanden jedoch in aller Regel ganz schnellwieder in der Schublade und tauchten spater auch nur als Randbemerkungenab und zu wieder auf: die komplexen Zahlen.

Viele abenteuerliche Vorstellungen uber diesen “Gral der Mathematik”geistern in so manchem Schulerkopf herum. Eben diese waren es auch, diemich bewogen haben dem Ratsel auf den Grund zu gehen und mich mitdiesem geheimnisvollen i naher zu beschaftigen.

In der nun folgenden Arbeit wird zunachst einmal der Umgang mit denkomplexen Zahlen erklart bzw. eine strukturmathematische Einfuhrung ge-liefert. Im nachsten Teil werden dann aus dem Reellen bekannte Funktionenim Komplexen naher erlautert. Der vierte Teil befasst sich mit dem Anwen-dungsgebiet Physik, wo unter anderem die Teilchenbewegungen in Penning-fallen beschrieben werden wird. Darauf folgt ein Kapitel uber Rollkurven,in dem ich auch eine eigene, fraktale Rollkurve vorstelle. Das leitet uber inden nachsten Teil, in dem ich Chaostheorie am Beispiel von Mandel undJuliamengen anschneiden werde. Dort liegt auch der Teil der Arbeit, derin die Informationstechnik hineinragt. Das beigefugte Programm ist in derLage, viele Fraktale graphisch umzusetzen.

Vorausgesetzt werden grundsatzlich Kenntnisse der Mathematik der gym-nasialen Oberstufe. Insbesondere die Begrifflichkeiten: Gruppe, Korper, Vek-torraum, exp, ln, sin, sinh,

∑ca=b,

ddt

werden intensiv gebraucht werden. Daruber-hinaus wird grundlegendes Verstandnis vektoranalytischer Operatoren zumVerstandnis des Kapitels uber Penningfallen von Noten sein.

Page 5: Komplexe Zahlen

Kapitel 2

Grundbegriffe und

Einfuhrung in die Thematik

2.1 Die Erfindung der komplexen Zahlen

Es ist nicht ganz, einfach ein Erfindungsdatum fur die komplexen Zahlenanzugeben. Bis aus unvollstandigen Anmerkungen eine vollstandige Theorieentstanden war, dauerte es mehrere Jahrhunderte. Die grundliegende Pro-blematik, die schließlich zur Einfuhrung und allgemeinen Akzeptanz dieser“quantitas sophistica” gefuhrt hat, liegt sicherlich bei den Polynomen.

Man kann Gleichungen wie z.B.

x2 + 1 = 0 (2.1)

im reellen Zahlenraum nicht losen. Diese Tatsache wurde von einigen Mathe-matikern als Unvollkommenheit gedeutet und sie versuchten dieses Problemin den Griff zu bekommen. Es fanden sich auch noch einige weitere Indizien,die darauf hindeuteten, dass da außer den reellen Zahlen noch etwas seinmuss. So entdeckte zum Beispiel Leibniz um 1674 die Beziehung:

1 +√−3 +

1 −√−3 =

√6 1 (2.2)

Des Weiteren kam man bei allgemeinen Losungsversuchen fur die kubischenGleichungen an Ausdrucken vorbei, die diese “negativen Wurzeln” beinhal-teten. Wahrend die einen die Rechnungen als “absurd” abtaten, nahmeneinige dieses Phanomen ernst und bemuhten sich Licht ins Dunkle zu brin-gen.

Der erste, dem eine umfangreiche mathematische Fundierung der kom-plexen Zahlen gelang, war der Schweizer Mathematiker Leonard Euler. Beiseinen Arbeiten fand er erstaunliche Satze (Eulerformeln), die bisher ver-schieden betrachtete Teilgebiete der Mathematik auf elegante Weise ver-banden. Aber dazu spater mehr.

1Beispiel entnommen aus [10] S.48

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6 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik

2.2 ddt Zahlen

In fruheren Jahrhunderten erlag der Zahlbegriff einem stetem Wandel, manverallgemeinerte ihn, um den gestiegenen Anforderungen gerecht zu wer-den. Von den naturlichen Zahlen kann man sich noch eine sehr anschaulicheVorstellung machen. Wenn man von einem Ding eine gewisse Menge zurVerfugung hat, kann man diese Menge (i.d.R) durch eine naturliche Zahlbeschreiben. Alle Weiterentwicklungen des Zahlbegriffs haben eine Gemein-samkeit, sie bringen immer Neuerungen mit, die zunachst unintuitiv undunnaturlich wirken. Dies hat zur Folge, dass sie von Zeitgenossen nur mitviel Skepsis angenommen werden. So auch bei der 0, sie kann man beispiels-weise so oft zu einer naturlichen Zahl addieren wie man will, das Ergebnisverandert sich nicht. Die negativen Zahlen waren mit die erste Erweiterung,die sich durchsetzte. Sie wurde von Kaufleuten entwickelt, die in irgendei-ner Form mit Schulden umgehen wollten. Die ganzen Zahlen waren geboren.Bruche fand man auch irgendwann sehr praktisch, mit ihnen befasste sichz.B. Pythagoras. Und als man schließlich von Architekten vor das Problemder Umkreis- oder Diagonalenberechnung gestellt wurde, musste man auchdiesen Zahlbegriff erweitern. Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen istnun eine neue Erganzung, die den Zahlen zur algebraischen Abgeschlossen-heit 2 verhilft. Man trennt sich mit dieser Einfuhrung nun endgultig von derZahl als Zahlbegriff und geht zu einer abstrakten Definition uber, die dasHandwerkszeug fur unsere Anwendungen liefert. Es wurde fur die Mathe-matik wichtig mit “negativen Wurzeln” umzugehen, weshalb man sich dasentsprechende “Handwerkszeug” aufgebaut hat. Es hat sich jedoch im Lau-fe der Zeit gezeigt, dass dieser neue Zahlbegriff wesentlich leistungsfahigersein wurde als erwartet. Im Folgenden wird nun Schritt fur Schritt diesesHandwerkszeug erstellt werden.

2.3 Was sind komplexe Zahlen ?

Ziel des folgenden Kapitels wird es sein, einen Calculus aufzubauen, dernur ein paar wenige Bedingungen erfullen muss, namlich uns das Rechnenmit “negativen Wurzeln” zu ermoglichen. Der Rest dieser BLL wird sichim Prinzip darum drehen, die Feinheiten, dieses Systems auszuleuchten, dieKonsequenzen aufzuzeigen, die eine solche Einfuhrung mit sich bringt, undihre Anwendungen und Vorteile darzustellen.Hamilton war einer der ersten Menschen, die erkannten, dass sich ein solcherCalculus nicht sinnvoll in einem eindimensionalen System von linear ange-ordneten Elementen aufbauen lasst. Eine Moglichkeit ist es, einen zweidi-mensionalen Vektorraum als Basis zu verwenden, was unmittelbar zur Folge

2Ein Korper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn in ihm jedes Polynom nten Geradesin n Linearfaktoren zerfallt.

Page 7: Komplexe Zahlen

2.3 Was sind komplexe Zahlen ? 7

hat, dass wir nun mit geordneten Zahlenpaaren rechnen werden. Diesen Vek-torraum wollen wir von nun an C nennen. In ihm werden nun Operationendefiniert und zwar nach folgenden Regeln:

• C soll ein kommutativer Korper sein. 3

• Die reellen Operationen sollen aus der komplexen Definition der Ope-rationen hervorgehen. Daher C ist Oberkorper von R.

• i2 = −1

2.3.1 Vektorraumstruktur

Wir haben schon festgestellt, dass C ein Vektorraum einen soll. Wir brauchenalso eine abelsche Gruppe G deren Elemente wir komplexe Zahlen nennenwerden und wir brauchen einen kommutativen Skalarenkorper S. Wie auchin der Schule bei verwenden wir R x R (mit einer Addition die spater defi-niert wird) als abelsche Gruppe und R als Skalarenkorper. Fur die skalareMultiplikation soll nun gelten:

u · (a|b) = (u · a|u · b) u ∈ R = S (a|b) ∈ R2 = G (2.3)

2.3.2 Addition

Die Addition wird schlichtweg aus der reellen Vektorgeometrie ubernommenund mit

(a|b) + (u|v) = (a+ u|b+ v) (2.4)

definiert. Das neutrale Element der Addition ist der 0-Vektor (0|0). DasKommutativgesetz und das Assoziativgesetz gilt. Beweis durch Zuhilfenah-me der Rechengesetze im reellen Zahlenraum:

(a|b) + (0|0) = (a+ 0|b+ 0) = (a|b) (2.5)

(a|b) + (u|v) = (a+ u|b+ v) = (u+ a|v + b)

= (u|v) + (a|b) (2.6)

(a|b) + ((u|v) + (x|y)) = (a|b) + (u+ x|v + y)

= (a+ u+ x|a+ v + y) = (a+ u|b+ v) + (x|y)= ((a|b) + (u|v)) + (x|y) (2.7)

Das inverse Element der Addition erhalt man durch

(a|b) + (u|v) = (0|0) ⇒ (u|v) = (−a| − b) = −(a|b) (2.8)

3d.h. C besteht aus einer Menge und 2 Operationen (+, ·), die jedem geordneten Paarvon Elementen (a, b) ein c = a · b oder c = a + b, c ∈ C zuordnen. Diese Operationenmussen so gewahlt sein, dass das Assoziativgesetz fur die Multiplikation und die Additionerfullt ist, es ein (je verschiedenes) neutrales Element fur Multiplikation und Additiongibt, jeweils ein inverses Element existiert (bei der Multiplikation ist die 0 ausgenommen)und das Distibutivgesetzt gilt. Vgl. [15] S.19

Page 8: Komplexe Zahlen

8 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik

2.3.3 Multiplikation

In der reellen Vektorgeometrie existieren schon 2 Multiplikationen, die wirin der Oberstufe kennengelernt haben: das Skalarprodukt und das Vektor-produkt. Diese beiden Operationen sind jedoch fur unsere Anwendung un-zulanglich: Das Skalarprodukt ist eine Abbildung aus dem Raum in denSkalarenkorper des Vektorraums (V → S). Das Vektorprodukt ist hingegennur im R3 definiert und scheidet schon daher aus. Wir mussen also einevollig neue Multiplikation von C nach C bzw. von R2 nach R2 erfinden. DieDefinition der komplexen Multiplikation ist wie folgt:

(a|b) · (u|v) = (au− bv|av + bu) (2.9)

Dies scheint zunachst etwas willkurlich, jedoch lasst sich leicht zeigen, dassdie geforderten Bedingungen von dieser Multiplikation erfullt werden. DasEinselement des Korpers ist der Vektor (1|0). Das Kommutativgesetz unddas Assoziativgesetz gelten und die geforderte Distributivitat ist auch erfullt.Beweis:

(a|b)(1|0) = (a1 − b0|a0 + b1) = (a|b) (2.10)

(a|b)(u|v) = (au− bv|av + bu) = (ua− vb|va+ ub)

= (u|v)(a|b) (2.11)

(a|b)((u|v)(x|y)) = (a|b)(ux− vy|uy + vx)

= (a(ux− vy) − b(uy + vx)|a(uy + vx) + b(ux− vy))

= (aux− avy − buy − bvx|auy + avx+ bux− bvy)

= (x(au− bv) − y(av + bu)|x(av + bu) + y(au− bv))

= (au− bv|av + bu)(x|y)= ((a|b)(u|v))(x|y) (2.12)

(a|b)((u|v) + (x|y)) = (a|b)(u+ x|v + y)

= (a(u+ x) − b(v + y)|a(v + y) + b(u+ x))

= (au+ ax− bv − by|av + ay + bu+ bx)

= (au− bv + ax− by|av + bu+ ay + bx)

= (au− bv|av + bu) + (ax− by|ay + bx)

= ((a|b)(u|v)) + ((a|b)(x|y)) (2.13)

Das inverse Element ergibt sich zu

(a|b)−1 = (a

a2 + b2| −ba2 + b2

) (2.14)

denn:

(a|b)( a

a2 + b2| −ba2 + b2

)

Page 9: Komplexe Zahlen

2.3 Was sind komplexe Zahlen ? 9

= (a2

a2 + b2− −b2a2 + b2

| −aba2 + b2

+ab

a2 + b2)

= (1|0) (2.15)

Es gibt außer dieser noch andere Moglichkeiten, eine Multiplikation 4 zuerfinden, die die geforderten Eigenschaften besitzt. Trotz des sonderbarenFormalismus wird sich spater zeigen, dass eine solche Definition der Multi-plikation außerst zweckmassig ist.

2.3.4 C und R

Gesucht ist eine Abbildung (A) von R nach C, die folgende Bedingungenerfullen muss:

A(a+ b) = A(a) +A(b) a, b ∈ R (2.16)

A(a · b) = A(a) · A(b) (2.17)

c ·A(a) = A(c · a) c ∈ R = S (2.18)

Aus 2.16 und 2.18 folgt, dass die Abbildung linear sein muss. Man kann siealso in der Form A : k → (kx|ky) x, y ∈ R schreiben. Setzen wir mit dieserBedingung 2.16 an, so erhalt man:

A(a · b) = A(a) · A(b) (2.19)

⇔ (xab|yab) = (x2ab− y2ab|2xyab) (2.20)

⇔ xab = x2ab− y2ab ∧ 2xyab = yab (2.21)

⇔ y = 0 ∨ (x = x2 − y2 ∧ 2x = 1) (2.22)

⇔ (y = 0 ∧ x = 1) ∨ (1

2=

1

4− y2) (2.23)

⇔ (y = 0 ∧ x = 1) ∨ (y2 = −1

4) (2.24)

Der 2. Teil dieses Ausdrucks widerspricht der Forderung y ∈ R, daher er-halten wir die Abbildung A : k → (k|0) als einzig mogliche. Der Korper derReellen Zahlen findet sich also in C als Vektoren der Form (r|0) wieder.Insbesondere gilt also:

1A(a) = A(1a) = A(a) = (a|0) = 1A(a) = aA(1) (2.25)

Obwohl 1, das neutrale Element der Multiplikation im Skalarenkorper und(1|0), das neutrale Element der Multiplikation im Vektorraum und Teilder naturlichen Basis des Vektorraums nicht dasselbe sind, ist es allgemeinublich, sie beliebig gegeneinander auszutauschen. Daher soll nun gelten:

A(1) = 1 = (1|0) a = aA(1) = A(a) = (a|0) (2.26)

4Hamilton fordert weiterhin die Gultigkeit der sog. Produktregel ( |z · w| = |z| · |w|),deren Hinzunahme diese Definition zwingend macht. Genau nachzulesen ist dies u.a in[10] S. 54.

Page 10: Komplexe Zahlen

10 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik

2.3.5 i und Summenschreibweise

Letztlich bleibt nur noch die Forderung nach i2 = −1 zu bestatigen. Jedochmussen wir dafur erst einmal wissen, was i uberhaupt ist. Nachdem wir imvorherigen Kapitel (1|0) mit 1 identifiziert haben, definieren wir nun denanderen Teil der naturlichen Basis (0|1) zu i = (0|1). Diesmal ist dies nichtso problematisch, da i selbst kein Element des Skalarenkorpers ist. Es zeigtsich nun sofort, dass auch diese Forderung erfullt ist(0|1) · (0|1) = (−1|0).

Wir haben mit dieser letzten Definition auch die Grundlage fur eine neueSchreibweise gelegt. Es gilt namlich:

(a|b) = (a|0) + (0|b) = a(1|0) + b(0|1) = a1 + bi = a+ bi (2.27)

Nun wird auch ersichtlich, warum es sinnvoll war, die Multiplikation so ob-skur zu definieren. Wir mussen namlich gar keinen neuen Formalismus er-lernen, wenn wir mit komplexen Zahlen umgehen wollen, sondern konnenmit i wie mit einer reellen Unbekannten rechnen. Die einzige Besonderheitist, dass man fur i2 auch −1 schreiben darf.Fur zwei Zahlen z,w ∈ C kann man nun (nach dem reellen Formalismus) sovorgehen:

z · w = (a+ bi)(u + vi)

= au+ avi+ bui+ bvi2

= au− bv + avi+ bui

= au− bv + i(av + bu) (2.28)

Das Ergebnis ist gerade die Definition 2.9.

Page 11: Komplexe Zahlen

2.4 Darstellungsformen und die Gaußsche Ebene 11

2.4 Darstellungsformen und die Gaußsche Ebene

Abbildung 2.1: GaußscheEbene

Auf Gauß geht schließlich die wohl anschau-lichste Darstellung der komplexen Zahlenzuruck. Zusatzlich zu dem reellen “Zah-lenstrahl” kommt nun noch eine imaginareAchse, die senkrecht auf ihm steht, hin-zu. Beide zusammen spannen nun die sog.Gaußsche Zahlenebene auf. Jede (komplexe)Zahl wird nun durch einen Punkt P in derEbene symbolisiert. Die Basis des Vektor-raums ist durch die 2 Vektoren 1 und i gege-ben. Diese werden i.d.R. so angeordnet, dassdie reelle Achse (1) horizontal orientiert ist(X-Achse) und die Achse mit dem Basisvek-tor (i) senkrecht dazu (Y-Achse) gerichtetist.

2.4.1 z, |z|, z > w...

Es gibt einige Operationen, die erst mit Einfuhrung der komplexen ZahlenSinn bekommen oder nun in einem ganz anderem Licht stehen. In C kenntman beispielsweise rein-imaginare und rein-reelle Zahlen, das sind genau dieZahlen, bei denen eine Komponente 0 wird. Geometrisch bilden die beidenZahlenmengen zusammen die Achsen des Koordinatensystems.Aus der Summendarstellung, die wir im vorherigen Abschnitt kennengelernthaben, folgt unter anderem, dass man jede komplexe Zahl(z) in eine Sum-me zweier Zahlen zerlegen kann, bei denen die eine rein imaginar und dieandere rein reell ist ( z = a1 + bi ). Die reelle Zahl nennt man auch Realteil(ℜ(z) = a), dementsprechend spricht man bei der 2. Komponente von demImaginarteil (ℑ(z) = b). Unter der komplex Konjugierten einer Zahl (z) ver-steht man die Zahl, die man erhalt, wenn man ihren Imaginarteil negiert:z = a− bi.−z erhalt man indem man beide Komponenten negiert. Diese Operationentspricht der Multiplikation mit dem Skalar −1 und liefert das additiv In-verse (−z = −a− bi).Die Betragsfunktion einer Zahl gibt ihren Abstand zum 0-Punkt an. Wirkennen diese Funktion schon aus der reellen Vektorgeometrie: in dieser istsie definiert zu

|~v| =√v · v =

n∑

r=0

v2r (2.29)

Page 12: Komplexe Zahlen

12 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik

wobei n hier fur die Dimension des Raumes steht. Der Beweis fur zwei- undhoherdimensionale Raume leitet sich aus dem Satz des Pythagoras her.5 Wieschon erwahnt, ist C nichts anderes als ein Vektorraum der Dimension 2. Esist daher sinnvoll, den Betrag analog zu definieren:

|z| =√

a2 + b2 =√

ℜ(z)2 + ℑ(z)2 (2.30)

Eine weitere Große, die im Zusammenhang mit der Gaußschen Ebene sinn-voll wird, ist das Argument. Das Argument einer Zahl z gibt den Winkelzwischen der reellen Achse und der Halbgeraden von 0 durch z an. Es gilt:

tanϕ = ℑ(z)/ℜ(z), ϕ = Arg(z) (2.31)

Ein fundamentaler Begriff, der in der reellen Algebra haufig verwandt wird,ist der der Anordnung. Jedem reellen Zahlenpaar kann man eine der 3 Bezie-hungen =, >,< eindeutig zuordnen. In C ist das nicht mehr ohne weiteresmoglich. Es ist in der Tat nur noch die Relation = bzw. 6= definiert. DieUnmoglichkeit einer konsistenten <,> Relation lasst sich wie folgt zeigen:6

• Fur jedes Element z aus C gilt entweder z < 0, z = 0, oder z > 0.

• Aus w > 0 und z > 0 folgt stets w + z > 0, wz > 0 und −z < 0.

Fur jedes z 6= 0 gilt demnach z2 > 0. Insbesondere dann auch 12 > 0, i2 > 0und 0 = i2 + 1 > 0 .

2.4.2 Polarkoordinaten

Ein Punkt einer Ebene kann nicht nur eindeutig durch seine Achsenabschnit-te definiert werden, sondern auch durch die Angabe seines Betrages unddes Arguments. Als Polarkoordinaten einer Zahl z bezeichnet man nun ge-rade das Zahlenpaar, bestehend aus Betrag und Argument. Zwischen derDarstellung als Polarkoordinaten und als Achsenabschnitt besteht folgendeBeziehung:

z = a+ bi = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ)), ϕ = Arg(z) (2.32)

2.5 Rechenregeln

Nachdem wir uns den Grundrechenarten schon beim Aufbau des Korpers ge-widmet haben, wollen wir uns nun vor Augen fuhren, was diese Definitionengeometrisch bedeuten.7

5Bemerkung: Die Definition des Betrages wird i.d.R. uber das Skalarprodukt gefuhrt.Die zweite Beziehung setzt die Verwendung des Standardskalarprodukts vorraus.

6Beweis entnommen aus [10], S. 567Bemerkung: Wir werden im Folgenden als komplexe Variablen i.d.R. z und w verwen-

den, fur die Zerlegung in Real- und Imaginarteil soll die Schreibweise z = zr + izi undw = wr + iwi sein. Fur die Polarkoordinaten gilt stets: Arg(z) = ϕ und Arg(w) = ψ.

Page 13: Komplexe Zahlen

2.5 Rechenregeln 13

2.5.1 Die Addition

Die komplexe Addition lasst sich als Aneinanderlegen der Ortsvektoren derPunkte in der Gaußschen Ebene deuten.

Abbildung 2.2: Addition komplexer Zahlen

2.5.2 Die Subtraktion

Die Subtraktion geschieht ebenso wie die Addition. Nur wird nun die (addi-tiv) Inverse Zahl (-z) addiert. Man spiegelt den Subtrahenden am Ursprungund addiert ihn zum Minuenden.

Die Differenz zweier komplexer Zahlen gibt zugleich auch den Abstandzweier Zahlen an.

z − w = z + (−w)

= zr − wr + i(wi − wi) (2.33)

2.5.3 Die Multiplikation

Die Multiplikation wird wohl in der obigen Darstellung die meisten Fragenoffen gelassen haben. Nicht nur, dass sie algebraisch so gut aufgeht, sie lasstsich auch geometrisch sehr anschaulich deuten.

z · w = (zr + izi) · (wr + iwi)

= wrzr + i(wrzi + wizr) + i2(wizi)

mit i2 = −1

= wrzr − wizi + i(wrzi + wizr) (2.34)

Man konnte nun diesen Term analysieren und sein Gehirn verrenken, umversuchen zu verstehen, welcher Sinn in dieser Definition steckt. Jedoch lasst

Page 14: Komplexe Zahlen

14 Grundbegriffe und Einfuhrung in die Thematik

Abbildung 2.3: komplexe Multiplikation

sich das auch umgehen. Wir haben namlich noch eine andere Darstellungkennengelernt, mit der sich das Problem wesentlich eleganter losen lasst: DiePolarkoordinaten.

z = zr + izi

= |z| cosϕ+ i|z| sinϕ= |z|(cosϕ+ i sinϕ) (2.35)

Setzt man nun fur die Multiplikation ein gilt:

z · w = |z|(cosϕ+ i sinϕ) · |w|(cosψ + i sinψ)

= |z||w|[(cos ϕ cosψ − sinϕ sinψ)

+i(cosϕ sinψ + sinϕ cosψ)] (2.36)

Es scheint zunachst so, als waren wir nicht wesentlich weiter gekommen,doch lassen sich nun die Additionstheoreme aus Klasse 10 anwenden. Manerhalt so:

w · z = |z||w|[(cos ϕ cosψ − sinϕ sinψ)

+i(cosϕ sinψ + sinϕ cosψ)]

= |z||w|[cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)] (2.37)

Analysiert man nun das Ergebnis, so erkennt man, dass die komplexeMultiplikation eine Drehstreckung bewirkt. Der Betrag der Ausgangszahlwird um den Betrag des Multiplikators gestreckt und der Winkel des Mul-tiplikators wird addiert.

2.5.4 Die Division

Ahnlich wie bei der Subtraktion wird die Division durch eine Multiplikationmit dem Inversen durchgefuhrt. Um z−1 zu erhalten, ohne die Division vor-

Page 15: Komplexe Zahlen

2.5 Rechenregeln 15

wegzunehmen, bedient man sich eines Tricks. Wenn man eine Zahl an derreellen Achse spiegelt, erhalt man die sogenannte konjugiert-komplexe Zahl.Es gilt:

z · z = (zr + izi)(zr − izi)

= z2r − izrzi + izizr − i2r2i

= z2r + r2i

= |z|2

(2.38)

z−1 erhalt man nun durch Erweitern mit z:

1

z=

z

zz= z

1

|z|2 (2.39)

Die Division ergibt sich also wie folgt:

z

w=

zw

|w|2

=|z||w||w|2 (cosϕ+ i sinϕ)(cosψ − i sinψ)

=|z||w| (cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)) (2.40)

Es wird wiederum gedreht und gestreckt. Der Betrag des Dividenden wirddurch den des Divisors geteilt und das Argument des Quotienten ergibtsich als Differenz der beiden Ausgangszahlen. Man dreht gewissermaßenruckwarts und staucht den erhaltenen Vektor um |w|.

Page 16: Komplexe Zahlen

Kapitel 3

Hohere Rechenarten

3.1 Potenzen

Ein mathematisch praziser Potenzbegriff lasst sich erst mit Zuhilfenahmeder Exponentialfunktion und des Logarithmus definieren, die jedoch nochnicht behandelt wurden. Wir konnen an dieser Stelle aber sehr wohl verste-hen, was eine Potenz einer komplexen Zahl prinzipiell bedeutet.Potenzen sind grundsatzlich auch im Komplexen eine abkurzende Schreib-weise fur eine wiederholte Multiplikation. Sei n eine naturliche Zahl, so sindfolgende Beziehungen einleuchtend.

z = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ))

z1 = z = |z|1(cos(1ϕ) + i sin(1ϕ))

z2 = zz = |z|2(cos(2ϕ) + i sin(2ϕ))

z3 = zzz = |z|3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ))

zn = zz...z = |z|n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)) (3.1)

Die Definition stellt sich auch als sinnvoll fur negative Exponenten heraus.Wir hatten bereits in Kapitel 1 uber 1

z= z−1 gesprochen. Wendet man 3.1

an, so ergibt sich:

z−1 = |z|−1(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) =|z|(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))

|z|2 =z

|z|2

Aus diesen Gleichungen folgt auch unmittelbar die Gultigkeit der Potenzge-setze:

znzm = z(n+m), znwn = (zw)2, (zn)m = znm (3.2)

Fur n aus Q und R ist die Beziehung 3.1 auch erfullt. Es wird jedoch aufdie Grunde hier nicht weiter eingegangen. 1

1Nachzulesen ist die genaue Definition z.B. [4] Bd. 2, S.568

Page 17: Komplexe Zahlen

3.1 Potenzen 17

3.1.1 Moivresche Formeln

Im letzten Absatz haben wir vollig außer Acht gelassen, dass man Poten-zen mit naturlichen Exponenten auch nach dem Binomiallehrsatz entwickelndarf. Es gilt nach wie vor:

((cos(ϕ) + i sin(ϕ))n = cosn(ϕ)

+i

(

n

1

)

cosn−1(ϕ) sin1(ϕ)

−(

n

2

)

cosn−2(ϕ) sin2(ϕ)

−i(

n

3

)

cosn−3(ϕ) sin3(ϕ)...

= cos(nϕ) + i sin(nϕ) (3.3)

Da der Binomialkoeffizient(

nm

)

fur m > n dauerhaft 0 wird, darf man sichdie Reihe bis ins Unendliche fortgesetzt denken. Zu beachten ist weiterhin,dass die entsprechenden Potenzen fur i direkt eingesetzt wurden. Nimmtman die Reihe nun auseinander und trennt nach Real- und Imaginarteil, sokommt man auf die Moivresche Formeln:

sin(nϕ) =

(

n

1

)

cosn−1(ϕ) sin1(ϕ) −(

n

3

)

cosn−3(ϕ) sin3(ϕ) + −...(3.4)

cos(nϕ) =

(

n

0

)

cosn(ϕ) −(

n

2

)

cosn−2(ϕ) sin2(ϕ) + −... (3.5)

3.1.2 Wurzeln

Da wir nun schon die Potenzen kennengelernt haben, liegt es nahe auchdie Umkehrfunktion zu diskutieren. Wir unterscheiden grundsatzlich zweiverschiedene Typen von Wurzeln: die einen kennen wir aus der Mittelstufe,sie sind das Resultat einer Intervallschachtelung und sind nur in R+ definiert.Die andere allgemeinere Form ist die, mit der wir uns hier beschaftigenwollen. Der Definitionsbereich dieser Wurzel ist ganz C.Es wird sich zeigen, dass diese Wurzeln i.d.R. nicht eindeutig sind, so giltz.B. i2 = −1 und (−i)2 = −1. Dieser Widerspruch kommt daher, dass eineZahl sich nicht verandert, wenn man zu ihrem Argument 2π addiert. Einekleine Rechnung illustriert diese Tatsache:

zn = w

⇔ z = n√w

= n√

|w|(cos(ψ + 2kπ) + i sin(ψ + 2kπ)) , k ∈ N

= n√

|w|(cos(ψn

+2kπ

n) + i sin(

ψ

n+

2kπ

n)) (3.6)

Page 18: Komplexe Zahlen

18 Hohere Rechenarten

Abbildung 3.1: Dritte Wurzeln einer Zahl

Wir ziehen also die n-te Wurzel, indem wir das Argument der Ausgangs-zahl durch n teilen und vom Betrag die reelle Wurzel ziehen. Das ist dersogenannte Hauptwert der Wurzel. Die Nebenwerte liegen in symmetrischenAbstanden von diesem Hauptwert entfernt. Der Parameter k durchlauft da-bei die Werte 0 bis n. Alle die so erzeugten Werte erzeugen ein regelmaßigesn-Eck um den Ursprung, wobei die Orientierung durch den Hauptwert schoneindeutig bestimmt ist.Als Einheitswurzeln werden alle Losungen der Gleichung zn = 1 bezeichnet.

3.1.3 Beispiele

Mit Kenntnis des Formalismus lasst sich die Beziehung 2.2 ganz einfachnachrechnen:

1 +√−3 +

1 −√−3 =

√6 |()2

(

1 +√−3 +

1 −√−3)2 = 6 |mit i2 = −1

(

1 + i√

3 +

1 − i√

3)2 = 6 |bin. F.

(1 + i√

3) + 2

(1 − i√

3)(1 + i√

3) + (1 − i√

3) = 6 |3. bin. F.

2 + 2

1 − (i√

3)2 = 6

2 + 2√

4 = 6

Wie wichtig die Unterscheidung der Werte der Wurzel ist, illustriert folgendeRechnung.

1 =√

1 =√

(−1)(−1) =√−1

√−1 = i2 = −1 (3.7)

Page 19: Komplexe Zahlen

3.2 Riemannsche Flachen 19

z-Ebene w-Ebene

Abbildung 3.2: Ausgangs- und Bildmenge zu z → z2

Man sollte es vermeiden, die beiden Wurzelsorten durcheinanderzuwerfen,ohne genau darauf zu achten, was man gerade tut. Eine Definition wie√−1 = i liest man zwar nicht selten, ist aber irrefuhrend bzw. falsch.

3.2 Riemannsche Flachen 2

Wir betrachten nun eine Zuordnung der Form

w = z2 (3.8)

Diese Vorschrift ordnet jedem Punkt z der Gaußschen Ebene einen zwei-ten Punkt zu. Dieser wird in der Regel in einem anderem Koordinatensys-tem dargestellt. Man spricht daher von einer z-Ebene, auf der z variiertwird und dementsprechend von einer w-Ebene, auf der sich die abgebilde-ten Punkte befinden. Die w- und z-Ebene sind sind im Prinzip analog zuder X- und Y-Achse eines normalen “Koordinatensystems”, jedoch reichenbei diesem 2 Dimensionen aus, um den Definitionsbereich und den Wertebe-reich darzustellen. Im Komplexen werden die Abbildungen gewissermaßen 4-dimensional, was sich fast immer negativ auf die Ubersichtlichkeit auswirkt.Trotzdem gibt es einige Moglichkeiten komplexwertige Funktionen auch aufeinem Blatt Papier vernunftig wiederzugeben. Neben der Aufteilung auf 2Ebenen lassen sich auch 2 Oberflachen im Raum, farbliche Codierungen oderParametrisierungen als Hilfsmittel verwenden, von denen auch in dieser Ar-beit Gebrauch gemacht werden wird.Wir wollen uns nun anschauen, wie diese Abbildung Punkte der Ebene

transformiert. Betrachten wir zunachst die rechte Halfte der z-Ebene, ge-nauer: wir betrachten alle Zahlen der gesamten Ebene, fur die gilt ℜ(z) > 0oder

arg(z) ∈] − π

2..π

2[ ∧ |z| > 0

2Die Reihenfolge der Darstellung lehnt sich an [4] Bd.2 S. 591 ff

Page 20: Komplexe Zahlen

20 Hohere Rechenarten

Der “Rand” soll also nicht mehr zu der Ebene gehoren. Wir wollen dieseHalbebene von jetzt an auch E0 nennen.

E0 = z|z ∈ C, arg(z) ∈] − π

2..π

2[ ∧ |z| > 0 (3.9)

Wenden wir nun die Zuordnungsvorschrift 3.8 an, so zeigt sich, dass je-der Punkt dieser Ebene einem Punkt der gesamten Ebene zugeordnet wird.Die Bildmenge der E0-Ebene deckt die komplette w-Ebene bis auf den von0 ausgehenden Halbstrahl in negativer x-Richtung (τ) ab. In Formeln:

z2 = |z|2(cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)) = w (3.10)

⇒ arg(w) = 2ϕ (3.11)

⇒ |w| = |z|2 (3.12)

z ∈ E0 ⇒ |z| ∈]0..+ ∞[⇒ |z|2 = |w| ∈]0..+ ∞[ (3.13)

z ∈ E0 ⇒ ϕ ∈] − π

2..π

2[⇒ 2ϕ = ψ ∈] − π..π[ (3.14)

E1 = w|w ∈ C, ψ ∈] − π..π[∧|w| ∈]0..+ ∞[ (3.15)

Diese Abbildung bildet Halbkreise (um den Ursprung) in E0 auf Vollkreisein E1 ab. Der Halbstrahl in positiver X-Richtung wird auf sich selber abge-bildet, was mit der Aussage aquivalent ist, dass das Quadrat einer positivenreellen Zahl auch eine positive reelle Zahl ist.Es zeigt sich weiterhin, dass fur jedes w ∈ E1 ein und nur ein z ∈ E0

existiert, so dass gilt: z2 = w. Diese Aussage macht es uns moglich eineeindeutige Umkehrfunktion zu definieren:

√w. Wir betrachten also jeweils

nur den Hauptwert der Wurzelfunktion. Offensichtlich wird nun durch sieE1 in E0 abgebildet.Betrachten wir nun die linke Halfte der z-Ebene (E0), wobei wir auch hierwieder den Rand ausschließen. Die dort liegenden Zahlen haben einen Real-teil kleiner 0 und somit eine Argument zwischen π

2 und 3π2 . Quadrieren wir

die Elemente dieser Menge, erreichen wir wiederum alle Zahlen der w-Ebenebis auf den Halbstrahl τ :

E′

0 = z|z ∈ C,ℜ(z) < 0

= z|z ∈ C, Arg(z) ∈]π

2..3π

2[ ∧ |z| ∈]0..+ ∞[(3.16)

⇒ Arg(z2) ∈ ] − π..π[und

|z2| ∈ ]0..+ ∞[ (3.17)

⇒ E′

1 = w|w ∈ C, ψ ∈] − π..π[∧|w| ∈]0..+ ∞[ (3.18)

= E1

Page 21: Komplexe Zahlen

3.2 Riemannsche Flachen 21

Abbildung 3.3: zweiblattrigew-Ebene

Bei der Umkehrabbildung√w haben wir

auch wieder kein Problem im Hinblick aufdie Eindeutigkeit, da wir nun die Werte an-schauen, die nicht mit dem Hauptwert zu-sammenfallen.Wurde man nun E0 und E′

0 vereinigen,musste man wieder die Bijektivitat opfern.Um dies zu vermeiden, denkt man sich E′

1

als unter E1 liegend. Die beiden Flachen(oder Blatter) sind dann entlang τ so ver-bunden, dass der obere Rand von E1 mitdem untern von E′

1 und der untere Randvon E1 mit dem oberen von E′

1 zusammenfallen. 3 Die beiden Ebenen sindweiterhin am 0-Punkt zusammengeheftet, da dieser nur einmal vorhandenist. Es besteht keine Verbindung zwischen dem oberen und unteren Rand einund derselben Ebene. Lasst man einen Zeiger fester Lange auf der z-Ebene

1.Blatt

2.Blatt

Abbildung 3.4: Querschnitt durch eine zweiblattrige Riemannflache

um den Ursprung rotieren, so wechselt das Bild dieses Zeigers bei jedem Um-lauf von einem Blatt ins andere. Diese Systeme von Flachen gehen auf dendeutschen Mathematiker Friedrich Riemann zuruck. Man nennt sie daherauch Riemannsche Flachen. In unserem Beispiel haben wir die 2-blattri-ge Riemannsche Flache der Funktion z → z2 untersucht. Die RiemannscheFlache der Abbildung z → z4 sahe dementsprechend so aus.

1.Blatt

4.Blatt

Abbildung 3.5: Querschnitt durch eine vierblattrige Riemannflache

3In Dreidimensionalen ist eine solche Verbindung nicht ohne Uberschneidung darzu-stellen. Dieser kommt mathematisch jedoch keine Bedeutung zu.

Page 22: Komplexe Zahlen

22 Hohere Rechenarten

3.3 Die Exponentialfunktion

3.3.1 Die Eulerformeln

Um 1748 veroffentlichte der osterreichische Mathematiker Leonard Euler

seine “Introductio in Analysin infinitorum”, in der sich unter anderem dieHerleitung der folgenden Formeln findet:

eiz = cos z + i sin z (3.19)

⇒ cos z =eiz + e−iz

2(3.20)

⇒ sin z =eiz − e−iz

2i(3.21)

3.3.2 Herleitung aus den Potenzreihen

Um diese Beziehungen zu beweisen, werden die definierenden Potenzreihenbenutzt, die aus der Mittel- bzw. Oberstufe bekannt sind.

ex =

∞∑

n=0

xn

n!(3.22)

cos x =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!· z2n (3.23)

sinx =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!· z2n+1 (3.24)

Fur 3.19 wurde der Beweis dem folgendem Muster entsprechen (vgl. [12]S.35):

cosϕ = 1 − ϕ2

2!+ϕ4

4!− ϕ6

6!... (3.25)

+ i sinϕ = iϕ− iϕ3

3!+iϕ5

5!... (3.26)

= eiϕ = 1 + iϕ− ϕ2

2!− iϕ3

3!+ϕ4

4!+iϕ5

5!− ϕ6

6!... (3.27)

= 1 + iϕ− (iϕ)2

2!− (iϕ)3

3!+

(iϕ)4

4!+

(iϕ)5

5!− (iϕ)6

6!(3.28)

Dies ist zwar kein strenger Beweis, macht aber deutlich, dass die erste Eu-lerformel (3.19) aus der reellen Definition hervorgeht und wohl richtig ist.

Der folgende Abschnitt lehnt sich an [4] Band 2, S.558:“Man hatte die Exponentialfunktion auch anders definieren konnen, da einePotenz mit komplexen Exponenten von sich aus keine Bedeutung hat. Wirkonnen nur entscheiden, ob eine getroffene Wahl sinnvoll ist. Grunde, diefur die obige Definition sprechen, sind, dass sie sich fur reelle Exponenten

Page 23: Komplexe Zahlen

3.3 Die Exponentialfunktion 23

mit der “normalen” Exponentialfunktion deckt, dass die Additionstheoremeerfullt sind; und vor allem zeigt eine analytische Fortsetzung in der Funk-tionentheorie, dass jede andere Deutung sehr unzweckmaßig ware.”

3.3.3 Beziehung zu den Kreisfunktionen

Diese tiefliegende Verwandtschaft zwischen den trigonometrischen Funktio-nen und der Exponentialfunktion lasst sich sehr gut geometrisch veranschau-lichen:

w = ez = ezr+izi = ezr · eizi

= ezr(cos zi + i sin zi) = |w| · eiψ (3.29)

Abbildung 3.6: ParametrischerPlot der Funktion eit

wobei ψ = zi und |w| = ezr .Es zeigt sich also, dass die Exponenti-alfunktion nun kreisahnliche Eigenschaf-ten hat. Verandert man ψ = zi drehtsich der Bildpunkt auf der Gaußschen-Ebene um den Ursprung. Eine Verande-rung des Betrags bzw. des Realteils desAusgangswertes hat indes Auswirkungauf die Lange des Zeigers.

Die erste Abbildung (3.3.3) zeigteinen (parametrischen) Plot der Expo-nentialfunktion 3.29, wobei |w| = 1 =cost. und ψ variiert wurde. Abbildung

3.3.3 zeigt denselben Sachverhalt, nur dass hier die einzelnen Komponen-ten jede fur sich geplottet wurden (Imaginarteil grun).

Abbildung 3.7: Plot des Real und Imaginarteils der Funktion eit

Page 24: Komplexe Zahlen

24 Hohere Rechenarten

3.3.4 Polarkoordinaten

Auffallig sind des Weiteren die Ahnlichkeiten zu den Polarkoordinaten, beidenen ebenfalls Winkel und Betrage zur Abbildung der Zahlen angegebenwerden.

arg(z) = ϕ; |z| = |z| (3.30)

z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |w| eiϕ (3.31)

Durch bloße Aquivalenzumformung konnen wir die schreibaufwendigen Tri-gonometrischen Funktionen in der Exponentialfunktion verpacken, weshalbvon nun an nur noch die Schreibweise 3.30 fur die Polarkoordinaten verwen-det werden wird.

3.3.5 Sonderfalle und Beispiele

Welche Folgen hat das fur das Verhalten der Exponentialfunktion ? Aus3.29 geht unter anderem hervor, dass die komplexe Exponentialfunktion pe-riodische Eigenschaften hat. Die Periode ist 2πi, das entspricht einem vollenUmlauf um den Ursprung. Daher gilt:

ez = ez+2kπi k ∈ Z (3.32)

Insbesondere ist:

e0iπ = 1; eiπ2 = i; eiπ = −1; ei

3π2 = e−i

π2 = −i;

ei2π = i (3.33)

Die eigentliche Revolution an dieser Entdeckung war, dass es nun moglichwurde die trigonometrischen Additionstheoreme etc. durch die Potenzge-setze zu umschiffen. Diese Tatsache schafft den komplexen Zahlen heuteauch ihre Hauptanwendungsgebiete. So berechnen Elektriker Wechselstrom-widerstande selten mit Zeigerdiagrammen, sondern setzten als Wiederstandekomplexe Zahlen ein. Die Mathematik liefert dann die richtigen Ergebnissequasi automatisch. (Vgl. Kapitel 4)

3.3.6 Ganzheitliche Darstellung

Das ist ein Plot der Exponentialfunktion, wobei der Realteil der Ausgangs-werte auf der Y Achse und der Imaginarteil auf der X Achse variiert werden.Das schwarze Gitter ist der Realteil des Ergebnisses, das grune der imaginareWert. Gut zu erkennen sind die exponentielle Grundstruktur der Funktionund die periodischen Eigenschaften, die sie “vom Sinus geerbt” hat. Schnei-det man eine Ebene bei x=0 durch die Abbildung, so ist die Schnittfigur diereelle e-Funktion in Schwarz und ein bei 0 konstante Imaginarteil.

Page 25: Komplexe Zahlen

3.4 (−e)x 25

Abbildung 3.8: Surfaceplot des Real- und Imaginarteils der Exponential-funktion

3.4 (−e)x

Im Mathematikunterricht bei der Behandlung der Exponentialfunktion stell-te sich mir die Frage, wie sich die Funktion wohl bei Einsetzung negativerBasen verhalten wurde. Eines stand auf jeden Fall fest: Sie verhalt sich ex-trem “komisch”. Man kann zwischen den ganzzahligen Exponenten, fur diesie definiert ist, nicht sinnvoll interpolieren (wie z.B. bei n! mit der Gam-mafunktion), jedoch scheint sich die Einhullende exponentiell zu verhalten.Im Rahmen meiner Nachforschungen uber komplexe Zahlen ließen sich die-se hochst verwirrenden Tatsachen in einen einleuchtenden Zusammenhangbringen. Zunachst habe ich die Exponentialfunktion fur extreme Basiswerteuntersucht:

limk→0

kx = limk→∞

k−x (3.34)

Wenn man sich den zugehorigen Funktionsgraphen (bzw. die Kurvenschar)fur extrem kleine Basen anschaut, wird man als Grenzfigur eine rechtwinklige“Ecke” finden, die den 1. Quadranten begrenzt. Um nun auch negative Basenzu behandeln, formen wir zunachst um:

kx = eln((k)x)

= ex ln(−1·−k)

= ex ln(−1)+x ln(−k)

= eixπex ln(−k) (3.35)

ln(k) wird fur kleine k sehr stark negativ, daher ist wiederum ein Knickbei x = 0 zu erwarten. Zwar wird sich die Funktion infolge des Terms eixπ

Page 26: Komplexe Zahlen

26 Hohere Rechenarten

Schnitt bei x = 0 Schnitt bei y = 0

Schnitt bei x = 0.35π Schnitt bei x = 0, 5π

Abbildung 3.9: Schnitte durch 3.8

Page 27: Komplexe Zahlen

3.4 (−e)x 27

stets spiralformig um die x-Achse winden, jedoch strebt der Radius dieserBewegung gegen unendlich.

ex ln(−k) = eln(−k)x

= (−k)x (3.36)

Dieser Teil der Funktion ist rein reell. Eklatant fallt nun die Ahnlichkeitzur Ausgangsgleichung auf. Es ist einsichtig, dass die Grenzfigur fur kleinek wieder eine den 1.Quadranten begrenzende Ecke sein wird.

eixπ = cos(πx) + i sin(πx) (3.37)

Dieser Teil bringt nun komplexe Zahlen ins Spiel. Die Nullstellen des Ima-ginarteils fallen mit den ganzen Zahlen zusammen, was einsichtig macht,warum man diese im Reellen berechnen kann.

Fassen wir nun noch einmal zusammen:

• Fur sehr große k entartet die Funktion zu einer den 2.Quadranten begrenzenden Ecke.

• Fur endliche, positive k > 1 hat die Exponentialfunk-tion ihre wohlbekannte Form.

• Fur k=1 ist die Funktion konstant 1

• Fur k < 1 lasst sich der Kehrwert einer Basis > 1als negativer Exponent in den Exponenten ziehen. Alsgeometrische Operation gedeutet, lasst sich das neueVorzeichen als Achsenspiegelung an der y-Achse deu-ten.

• Fur unendlich kleine k mutiert die Kurve zu einer den1.Quadranten begrenzenden Kurve.

• Beim Ubergang ins Negative windet die Kurve unend-lich oft um die x-Achse, wobei wiederum die Grenz-figur fur große (negative) k eine den 1. Quadrantenbegrenzende Ecke darstellt.

Page 28: Komplexe Zahlen

28 Hohere Rechenarten

• Fur k zwischen 0 und −1 ist die Kurve eine Spirale,die fur negative x einen großen, fur positive x einenkleinen Radius hat.

• Fur k = −1 hat sie die Form einer gleichformigen Spi-rale.

• Fur Negative k < −1 ist sie wiederum spiralformig,jedoch steigt der Radius mit wachsendem x.

• lasst man nun k gegen minus unendlich gehen, nahertsich die Figur wieder dem Graphen fur stark positive kan: extrem kleine Betrage fur negative x-Werte, extremgroße Radien fur positive x-Werte. 4

4Es ware mal ganz interessant, eine geeignete Projektion der Kurvenschar auf derRiemannkugel zu betrachten,

Page 29: Komplexe Zahlen

3.5 Hyperbolische Funktionen 29

3.5 Hyperbolische Funktionen

Abbildung 3.10: cosh undsinh

Die sogenannten Hyperbelfunktionen habengroße Ahnlichkeit mit den trigonometrischenFunktionen am Kreis (x2 + y2 = 1). Anders alsder Sinus und der Kosinus beschreiben der Sinus-bzw. Kosinus hyperbolicus (sinh, cosh) die Hy-perbel (x2 − y2 = 1). Definiert sind sie als:

sinh = 1 +z2

2!+z4

4!+ . . .

=ez − e−z

2(3.38)

cosh = z +z3

3!+z5

5!+ . . .

=ez + e−z

2(3.39)

Auffallig ist vor allem die Ahnlichkeit zu 3.20 und 3.21, in der die Kreis-funktionen definiert wurden. Es gilt sogar

sinh(x) = −i sin(ix); cosh(x) = cos(ix) (3.40)

In der Tat sind sie sich so ahnlich, dass man viele Eigenschaften einfachubertragen kann:

1. Die Additionstheoreme sind erfullt:

sinh(z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2 (3.41)

cosh(z1 + z2) = cosh z1 sinh z2 + sinh z1 cosh z2 (3.42)

Zum Vergleich

sin(z1 + z2) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 (3.43)

cos(z1 + z2) = cos z1 sin z2 + sin z1 cos z2 (3.44)

2. Aussinh(x) = − sinh(−x) cosh(x) = cosh(−x) (3.45)

folgt, dass der hyperbolische Cosinus eine gerade und der Sinus eineungerade Funktion ist.

3. Beide Funktionen sind periodisch. Es gilt

sinh(x) = sinh(x+ 2kπi) (3.46)

cosh(x) = cosh(x+ 2kπi) k ∈ Z (3.47)

Page 30: Komplexe Zahlen

30 Hohere Rechenarten

Abbildung 3.11: Surfaceplot des Kosinus Hyperbolicus

Wie die hyperbolischen Funktionen im Reellen erben nun auch die Kreis-funktionen exponentielle Eigenschaften. Diese Grafik zeigt den Kosinus hy-perbolicus. Auf der x-Achse wird der Realteil des Ausgangswertes, auf dery-Achse der Imaginarteil variiert. In der 3. Dimension ist grau der Real- undschwarz der Imaginarteil dargestellt. Betrachtet man eine Schnittebene beix=0, kann man den Verlauf des cosh im grauen Gitter erkennen. Schlechtzu erkennen ist, dass der Imaginarteil auf dieser Ebene konstant 0 ist. EinSchnitt bei y=0 liefert einen bei Null konstanten Realteil und einen sinus-bzw. kosinusformigen Verlauf des Imaginarteils (schwarz).

Abbildung 3.12: Surfaceplot des Kosinus

3.12 zeigt den “normalen” Kosinus. Die Verteilung der Variablen aufdie Achsen ist analog zur obigen Abbildung. Schneidet man nun bei einemImaginarteil von 0(=x) durch die Graphen, so ergibt sich ein konstanterImaginarwert bei 0 und die Kosinusfunktion als reeller Teil (wie auch nicht

Page 31: Komplexe Zahlen

3.5 Hyperbolische Funktionen 31

anders zu erwarten). Setzt man nun den Realteil des Ausgangswertes gleich0, erhalt man den Kosinus hyperbolicus als Verlauf des Imaginarwertes.

Dieses Beispiel veranschaulicht auf verbluffende Weise a) den Zusam-menhang der hyperbolischen Funktionen mit den Kreisfunktionen, b) dieBedeutung einer Multiplikation mit i als Drehung um 90 Grad (vgl. 3.40)und c) die Gemeinsamkeiten mit der Exponentialfunktion(vgl. 3.20,3.21).

Schnitt bei y = 0 Schnitt bei x = 0

Schnitt bei y = 0.35π Schnitt bei x = 0, 35π

Schnitt bei y = 0.5π Schnitt bei x = 0, 5π

Abbildung 3.13: Schnitte durch den cosh

Page 32: Komplexe Zahlen

32 Hohere Rechenarten

3.6 Der Logarithmus

Der Logarithmus ist im Reellen wie im Komplexen als Umkehrfunktion derExponentialfunktion definiert. Im Komplexen hat man mit einigen Proble-men zu kampfen, die im Reellen nicht auftreten. Die Exponentialfunktionist namlich nicht mehr streng monoton, sondern periodisch, was zur Folgehat, dass eine Umkehrabbildung niemals eindeutig sein kann. Man sprichtdaher von der sogenannten Hauptabbildung, deren imaginarer Teil zwischen] − π.. + π]gelegen ist. Die Nebenwerte des Logarithmus unterscheiden sichjeweils nur um additiv hinzukommende Vielfache von 2πi. Es folgt:

ln z = LN(z) + k2πi k ∈ Z (3.48)

wobei LN fur den Hauptwert stehen soll. Um nun konkrete Werte fur denLogarithmus zu erhalten, bringen wir die Zahlen in ihre Darstellungsformals Polarkoordinaten und logarithmieren die Gleichung

w = |w|eix | ln() x ∈ R

ln(w) = ln(|w|eix)= ln(|w|) + ix (3.49)

3.7 Differentialrechnung

Um die physikalischen Anwendungen zu verstehen, ist es notwendig, sichmit der Ableitung komplexer Funktionen etwas naher zu beschaftigen (odersie zumindest kurz anzuschneiden). Die Ableitung d/dx ist durch den Diffe-rentialquotienten definiert, weshalb wir ihn nun mit einer komplexwertigenFunktion ( z(t) = a(t) + i(b(t)))untersuchen:

d

dtz(t) = lim

∆t→0

z(t+ ∆t) − z(t)

∆t

= lim∆t→0

a(t+ ∆t) + ib(t+ ∆t)) − (a(t) + ib(t))

∆t

= lim∆t→0

a(t+ ∆t) − a(t)

∆t+ i

b(t+ ∆t) − ib(t)

∆t

= lim∆t→0

a(t+ ∆t) − a(t)

∆t+ lim

∆t→0ib(t+ ∆t) − ib(t)

∆t

=d

dta(t) + i

d

dtb(t) (3.50)

Es zeigt sich also, dass man Imaginarteil und Realteil getrennt voneinanderdifferenzieren und i wie einen konstanten Faktor behandeln kann. 5 Die nun

5Anmerkung: In der Vektoranalysis differenziert man auch, indem man die einzelnenKomponenten getrennt voneinander ableitet.

Page 33: Komplexe Zahlen

3.7 Differentialrechnung 33

entstandene komplexe Zahl lasst sich als Geschwindigkeitsvektor deuten. Die2. Ableitung liefert dementsprechend den Beschleunigungsvektor.

Wir wollen dies einmal am Beispiel der Exponentialfunktion verdeutli-chen:

z(x) = |z|eiωx

= |z|(cos(ωx) + i sin(ωx))

d

dxz(x) = |z|(−ω sin(ωx) + iω cos(ωx))

= |z|iω(−sin(ωx)

i+ ω cos(ωx))

= |z|iω(cos(ωx) +i2

isin(ωx))

= |z|iω eiωxd2

dx2z(x) = −|z|ω2 eiωx (3.51)

Abbildung 3.14: geometrische Deutung des Beispiels 3.51

Page 34: Komplexe Zahlen

Kapitel 4

Anwendungen in der Physik

4.1 Die harmonische Schwingung

m a

D x

Abbildung 4.1: freieSchwingung

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen ein her-vorragendes Mittel zur Beschreibung von Kreis-bahnen sind. Daher liegt es nahe, die harmoni-sche Schwingung als Funktion komplexer Zahlenaufzufassen. 1 Die Differentialgleichung der har-monischen Schwingung lautet:

m · a = −Dx

wobei m die Masse, a die Beschleunigung, D dieFederkonstante und x die Elongation ist. Da dieBeschleunigung ja bekanntermaßen die 2. Ablei-tung des Ortes ist (vgl. [1]), gilt weiterhin:

m · d2

dt2x = −Dx (4.1)

Im Reellen wird i.a. die Funktion

x0 cos(wt+ ∆) (4.2)

als Losung angegeben. Im Komplexen sind auch noch andere Losungenmoglich.2 Da die komplexe Exponentialfunktion die Eigenschaft f(x) =−kf ′′(x) besitzt, kann auch

x0eiωt+∆ (4.3)

die Gleichung losen. Wir setzen ein und losen nach ω auf. Es ergibt sich:

1Der Einsatz komplexer Zahlen ist hier naturlich ubertrieben, da die reelle Losungwesentlich intuitiver zuganglich ist.

2Man kann beweisen, dass sich alle Losungen dieser Differentialgleichung in der Form4.2 schreiben lassen. Dies wird auch im Komplexen nicht anders, da nur der Realteil derFunktion betrachtet wird und dieser wiederum sinusformig ist.

Page 35: Komplexe Zahlen

4.1 Die harmonische Schwingung 35

md2

dt2x = −Dx

⇒ −mx0ω2 eiωt+∆ = −Dx0e

iωt+∆ | : x0eiωt+∆ (4.4)

⇔ −mω2 = −D

⇔ ω = ±√

D

m(4.5)

Der Vektorraum der Losungen der DGl wird also durch

L(t) = Aeit

Dm +Be

−it

Dm (4.6)

aufgespannt (wobei A undB beliebige reelle Konstanten). Mit 2Re(z) = z+zund 2iIm(z) = z − z und eiϕ = e−iϕ gilt:

L1(t) =A

2(eit

Dm − e

−it√

Dm ) = Re(L(t)) (4.7)

= A cos(t

D

m) (4.8)

L2(t) =B

2i(eit

Dm + e

−it

Dm ) = Im(L(t)) (4.9)

= B sin(t

D

m) (4.10)

Die allgemeine Losung ist wieder eine Linearkombination der neuen Basen.Mit den Additionstheoremen erhalt man:

x(t) = x0 cos(t

D

m+ ∆) (4.11)

Der freie Parameter x0 kann als maximale Elongation der Schwingung ge-deutet werden, ∆ als Phasenverschiebung.

4.1.1 Dampfung

In der Natur wird man nur außerst selten Schwingungen antreffen, die so“sauber” sind, wie die oben beschriebene. Abgesehen davon, dass sie in derRegel nicht nur in einer Dimension stattfinden, sind sie durch Luftwider-stand oder sonstige Reibungskrafte gedampft. Die im Zusammenhang mitSchwingungen am haufigsten auftretende Reibung ist die nach Stokes 3. Esist in diesem Rahmen wohl auch nur sinnvoll, diese Reibung zu behandeln,da z.B. eine Coulomb-Reibung sich nur in den Koeffizienten bemerkbar ma-chen wurde und kompliziertere Reibungsmodelle aus der Stromungslehre denRahmen sprengen wurden.

3George Gabriel Stokes (1819- 1903), u.a. Prasident der Royal Society, in der auchschon I. Newton und jetzt S. Hawking den Vorsitz hatten bzw. haben.

Page 36: Komplexe Zahlen

36 Anwendungen in der Physik

Das Wesentliche an der besagten Stokesschen’ Reibung ist die Proportio-nalitat zur Geschwindigkeit. Die Differentialgleichung der Schwingung ergibtsich somit zu

md2

dt2x+ k

d

dtx = −Dx (4.12)

Die Losungen dieser Gleichung bilden einen zweidimensionalen Funktions-raum. An uns liegt es nun, eine Basis dieses Raumes zu finden. Dies ist genaudann erreicht, wenn wir 2 Funktionen gefunden haben, die beide die Glei-chung losen und zusatzlich linear unabhangig sind 4. Alle weiteren Losungenlassen sich nun als Linearkombination der Basisfunktionen schreiben.Wir setzen zunachst mit der Exponentialfunktion an:

x(t) = x0 eλt (4.13)

Es gilt nun den Parameter λ so zu bestimmen, dass die Gleichung 4.12 erfulltwird. Wir setzen ein:

mλ2x0 eλt + kλx0 e

λt +Dx0 eλt = 0 | : x0 e

λt (4.14)

mλ2 + kλ+D = 0 | : pq − Formel5 (4.15)

λ1,2 = − k

2m±

k2

4m2− D

m(4.16)

Was haben wir nun gemacht ? Nach dem Einsetzen kann man die Expo-nentialfunktion abdividieren, da sie nirgends Null wird. Sollte x0 = 0 sein,erubrigt sich jede Rechnung, da keine Schwingung mehr vorhanden ist. Wirnehmen also x0 > 0 an und konnen wiederum abdividieren. Die Gleichung,die wir erhalten, ist ein Polynom 2. Grades, das wir nach der pq Formelauflosen. Es konnen nun 3 Falle eintreten: Die Diskriminante kann kleiner,gleich oder großer 0 sein. Einsetzen in die Losungsfunktion ergibt:

f(x) = x0 e(− k

2m±

k2

4m2 −Dm

)t(4.17)

Wie unschwer zu erkennen, wird die Rechnung schnell aufwendig und daherauch fehleranfallig. Um dem entgegenzuwirken und die Ubersichtlichkeit zuerhohen, fuhren wir einige Abkurzungen ein:

ω0 =

D

m;

k

2m= δ |δ, ω0 ∈ R (4.18)

Ersteres ist aus der freien Schwingung entnommen, und mit δ wird nun der“Dampfungsfaktor” abgekurzt.

x(t) = x0 e(−δ±

√δ2−ω2

0)t (4.19)

Nun untersuchen wir die oben unterschiedenen Falle, die in dieser Gleichungauftauchen konnen:

4im zweidimensionalen Vektorraum bilden jeweils 2 linearunabhangige Vektoren eineBasis des Raumes vgl. [15]

Page 37: Komplexe Zahlen

4.1 Die harmonische Schwingung 37

• k < 2√Dm⇔ δ2 < ω2

0 Schwingfallist der “Normalfall” . Die Diskriminante wird negativ, was zur Folgehat, dass der Exponent nun eine imaginare Komponente hat. Die pq-Formel liefert uns 2 Gleichungen, die die Differentialgleichung losen:

x1(t) = x0 e(−δ+

√δ2−ω2

0)t (4.20)

x2(t) = x0 e(−δ−

√δ2−ω2

0)t (4.21)

Die DGL ist des weiteren linear, weswegen auch alle Linearkombina-tionen von Losungen die Gleichung losen. Insbesondere ist hier x2 =x1, weshalb wir auch rein reelle Losungen erhalten. Es gilt namlichz+ z = 2ℜz und z− z = 2iℑz . Somit erhalten wir 2 weitere Losungenunserer Gleichung:

z1(t) = ℜ(x1) =1

2(x1(t) + x1(t)) (4.22)

z2(t) = ℑ(x2) =1

i2(x1(t) − x1(t)) (4.23)

die nun den großen Vorteil haben, dass sie keinen Imaginarteil haben.Daher kommen wir nun nicht in die Verlegenheit, komplexe Wege ge-hen zu mussen. Wir setzen nun weiterhin ω =

ω20 + δ2 und erhalten:

x1(t) = x0 e−δt(cos(ωt) + i sin(ωt)) (4.24)

x2(t) = x0 e−δt(cos(ωt) − i sin(ωt)) (4.25)

z1(t) = x0 e−δt cos(ωt) (4.26)

z2(t) = x0 e−δt sin(ωt) (4.27)

Die Wronski-Determinante liefert uns die Garantie, dass die beidenLosungen linear unabhangig sind:

detW =z1(t) z2(t)ddtz1(t)

ddtz2(t)

= e−2δt cos(ωt) sin(ωt)−δ cos(ωt) − ω sin(ωt) −δ sin(ωt) + ω cos(ωt)

= e−2δt(−δ sin(ωt) cos(ωt) + ω cos2(ωt)

+δ cos(ωt) sin(ωt) − ω sin2(ωt)

= ωe−2δt 6= 0 (4.28)

Die allgemeine Losung lautet also:

x(t) = e−2δt(A cos(ωt) +B sin(ωt)) (4.29)

I.d.R. ist dies die handlichere Form:

x(t) = Ke−2δt sin(ωt+ ϕ) (4.30)

Page 38: Komplexe Zahlen

38 Anwendungen in der Physik

Die Additionstheoreme liefern die Beziehungen zwischen K,ϕ undA,B Es gilt namlich:

x(t) = Ke−2δt sin(ωt+ ϕ)

= e−2δt(−K sin(ϕ) cos(ωt) +K cos(ϕ) sin(ωt))

= e−2δt(A cos(ωt) +B sin(ωt)) (4.31)

wobei A = −K sin(ϕ) undB = K cos(ϕ). k ist demnachK =√A2 +B2

und tanϕ = −AB

. Die Wahl der Parameter ergibt sich aus den Startbe-

dingungen der Schwingung: f(0) := x0 = A und ddtf(0) = v0 = −δB.

• k = 2√Dm⇔ δ2 = ω2

0 aperiodischer GrenzfallBei diesem Grenzfall verschwindet die Schwingung vollstandig. DieDiskriminante ist 0, ξ = − k

2m , daher existiert auch (zunachst) nur

eine Losung der DGL ξ = − k2m :

x(t) = e−k

2m (4.32)

Um an noch eine weitere Losung zu kommen, versuchen wir einfach,unsere jetzige Losung mit t zu multiplizieren 6. Und siehe da:

x2(t) = tx1(t) (4.33)

d

dtx2(t) = x1(t) + t

d

dtx1(t) (4.34)

d2

dt2x2(t) = 2x1(t) + t

d2

dt2x1(t) (4.35)

0 = m(2x1(t) + td2

dt2x1(t)) +

k(x1(t) + td

dtx1(t)) +Dtx1 (4.36)

= t(md2

dt2x1(t) + x1(t)

√Dm+Dx1(t))

+2md

dtx1(t) + 2

√Dmx1(t) (4.37)

Wir sind schon fast am Ziel. Da x1 die DGL lost und der erste Teildieser Gleichung genau x1, eingesetzt in der DGL, entspricht, mussdieser immer 0 sein. Es bleibt nun folgendes ubrig:

0 = 2md

dtx1(t) + 2

√Dmx1(t) (4.38)

= −2mk

2mx1(t) + 2

√Dmx1(t) (4.39)

= x1(t)(2√Dm− k) = 0 (4.40)

6Losung durch Erraten

Page 39: Komplexe Zahlen

4.1 Die harmonische Schwingung 39

Nun zeigen wir wiederum mit der Wronski-Determinante, dass dieLosungen linear unabhangig sind:

detW =x1(t) x2(t)ddtx1(t)

ddtx2(t)

= x21(t) + tx1(t)

d

dtx1(t) − tx1(t)

d

dtx1(t) (4.41)

= x21(t) 6= 0 (4.42)

Die allgemeine Losung ist nun eine Linearkombination der beiden Ba-sisfunktionen:

x(t) = Ax1(t) +Btx1(t) = (A+Bt)e−k

2mt A,B ∈ R (4.43)

Die Konstanten A und B ergeben sich wiederum direkt aus den Start-bedingungen.

• k > 2√Dm⇔ δ2 > ω2

0 KriechfallDie Wurzel ist nun rein reell, was bedeutet, dass beide Losungen derpq-Formel sich direkt umsetzen lassen:

x1(t) = eξ1t x2(t) = eξ2t (4.44)

ξ1,2 = − k

2m±

k2

4m2− D

m(4.45)

Die lineare Unabhangigkeit zeigen wir wieder mit der Wronski-Determinante:

detW =x1(t) x2(t)ddtx1(t)

ddtx2(t)

= e(ξ1+ξ2)t(ξ2 − ξ1) (4.46)

6= 0 da ξ2 6= ξ1 (4.47)

Wir fuhren nun noch die Abkurzung ω =√

k2

4m2 − Dm

ein. Die Linear-

kombination sieht dann folgendermaßen aus:

x(t) = e−k

2mt(Aeωt +Be−ωt) (4.48)

Eigentlich gefallt uns das jetzt schon ganz gut, es geht jedoch nochschoner: Mit C = A+B und S = A−B gilt:

x(t) = e−k

2mt(C

2eωt +

S

2eωt +

C

2e−ωt +

S

2e−ωt) (4.49)

= e−k

2mt(C cosh ωt+ S sinh ωt) (4.50)

Page 40: Komplexe Zahlen

40 Anwendungen in der Physik

4.2 Wechselstrom

4.2.1 Zeigerdiagramme

Um eine harmonische Schwingung zu beschreiben, benutzt man haufig Zei-gerdiagramme. Ein Zeiger bzw. ein Vektor wird sich dabei um den Ursprungrotierend vorgestellt, die Elongation kann man dann als Projektion auf einerder Achsen ablesen. Solche Gebilde lassen sich sehr gut in der GaußschenEbene auffassen, da die Projektion auf die Achsen sich einfach durch denImaginar- bzw. Realteil der betrachteten Zahl bzw. Vektors ergibt. Die kom-plexe e-Funktion ist daruberhinaus geradezu pradestiniert, die Kreisbewe-gung darzustellen.

z(t) = reiωt (4.51)

= r(cos(ωt) + i sin(ωt)) (4.52)

ℜ(z(t)) = r cos(ωt) (4.53)

ℑ(z(t)) = r sin(ωt) (4.54)

4.2.2 Addition gleichfrequenter Schwingungen

Betrachtet man nun Uberlagerungen von Schwingungen gleicher Frequenz,genugt es, die beiden Zeiger vektoriell bzw. komplex zu addieren.

z(t) + w(t) = rzeiωt + rwe

iωt+i∆ (4.55)

= (rz + rwei∆)eiωt (4.56)

Ungleichphasige Schwingungen lassen sich durch die Phasendifferenz ∆ be-handeln. Deutlich zu erkennen ist die Schwingungskomponente eiωt und dieGesamtamplitude mit Phasenverschiebung rz + rwe

i∆.

4.2.3 Addition ungleichfrequenter Schwingungen

Schwebungen treten auf, wenn sich zwei Schwingungen, deren Frequenzenverschieden sind, uberlagern. Zur mathematischen Vereinfachung werden dieAmplituden gleich 1 gesetzt.

z(t) + w(t) = rzeiωzt + rwe

iωwt (4.57)

= (rz + rwei∆)eiωt (4.58)

4.2.4 Wechselstromwiderstande

Wechselstromquellen liefern i.a. eine Spannung, die man durch U = U cosωtdarstellen kann. Als U0 oder U bezeichnet man dabei die Amplitude ω oder fals die Frequenz. Prinzipiell konnen wir alle Aufgabenstellungen mit diesenGleichungen ansetzen, jedoch hat man standig das Problem, die umstand-lichen Additionstheoreme bemuhen zu mussen oder kunstlich Amplituden

Page 41: Komplexe Zahlen

4.2 Wechselstrom 41

und Phasenbeziehungen getrennt zu errechnen. Deutlich vereinfachen kannman das wiederum mit komplexen Zahlen. Es gilt:7

U = U cosωt = U ℜ(eiωt) (4.59)

Ohmscher Wiederstand

Setzt man nun einen Ohmschen Widerstand in den Schaltkreis, so kann maneinen zur Spannung proportionalen Strom I messen. Die Proportionalitaets-konstante bezeichnen wir mit R oder RΩ. Somit gilt:

I =U

RΩ=

U

RΩeiωt (4.60)

Kondensatoren

Wird ein Kondensator von einem Wechselstrom durchflossen, so messen wireinen Strom mit I = C d

dtU . Setzen wir nun ein erhalten wir:

I = Cd

dt(U eiωt) (4.61)

= U C i ω eiωt (4.62)

= (i ω C) U (4.63)

Wir bezeichnen nun wiederrum mit Widerstand den Faktor, mit dem manden Strom multiplizieren muss um die Spannung zu erhalten.8 somit gilt:

RC =1

i ω C(4.64)

Spulen

Die Gleichung die das Verhalten von Spannungen und Stromen durch Spulenbeschreibt lautet: U = L d

dtI. Wir setzen wieder ein:

I =1

L

U eiωtdt (4.65)

= U1

i ω Leiωt (4.66)

=1

i ω LU (4.67)

Die Proportionalitatskonstante RL zwischen sinusformigen Spannung undStromen ist demnach also.

RL = i ω L (4.68)

7Die explizite Angabe, dass man nur den Realteil betrachtet, kann auch weggelassen,wenn aus dem Zusammenhang klar wird, was gemeint ist.

8Naturlich gilt dies nur fur sinusformige Spannungen. Die Definition des ohmschenWiderstands bleibt hingegen immer gultig.

Page 42: Komplexe Zahlen

42 Anwendungen in der Physik

R1 C1

L2

R2

L1

U

Abbildung 4.2: Beispielschaltung

Der große Vorteil an diesen “neuen” Widerstanden ist nun, dass man mitihnen nun jeden Schaltkreis nach den altbekannten Regeln fur Parallel- undGleichschaltungen, wie sie fur ohmsche Widerstander gelten analysieren.

4.2.5 Beispiel

Wir werden nun versuchen, die in 4.2 gezeigte Schaltung zu analysieren. Diebenotigten Parameter sollen sein:

U = 5V ω = 200HzRΩ 1 = 12Ω RΩ2 = 10ΩL1 = 2mH L2 = 4mHC1 = 3µF

Wir bauen nun die Teilwiderstande von innen nach aussen auf. Als erstesfassen wir die Parallelschaltung von R1 und C1 zusammen, den Gesamtwi-derstand dieses Bausteins nennen wir A. Die Reihenschaltung aus A undL1 soll B heißen. C ist von nun an der Widerstand der Reihenschaltungvon R2 und L2. Der Gesamtwiderstand heißt nun D und ergibt sich durchParallelschaltung von C und B. Es gilt demnach:

D−1 = B

−1 + C−1 (4.69)

C = R2 +RL2 (4.70)

B = A +RL1 (4.71)

A−1 = R−11 +R−1

C1 (4.72)

Es bedarf nun etwas Arbeit das alles einzusetzen. Wir konnen entwederMaple bemuhen oder uns selbst in den Kampf sturzen. Wir entscheiden uns

Page 43: Komplexe Zahlen

4.2 Wechselstrom 43

fur letzteres. Wir arbeiten uns nun von A nach D durch (die Genauigkeitbeschranken wir auf 3 gultige Stellen).

A−1 =

1

12Ω+ i200

1

s310−6F = (8, 33 + 610−4i)

1

Ω(4.73)

A = (12, 0 − 0, 0864i)Ω (4.74)

B = (12, 0 − 0, 0864i)Ω + i2001

s210−3H = (12, 0 − 0, 314i)Ω(4.75)

C = 10Ω + i2001

s410−3H = (10 + 0, 8i)Ω (4.76)

D−1 =1

12, 0 − 0, 314i+

1

10 + 0, 8i(4.77)

D = (5, 46 + 0, 172i)Ω (4.78)

Damit ergibt sich die Stromstarke zu

I =U

R=

5

5, 46 + 0, 172iei200

tsA (4.79)

= (0, 913 − 0, 0288i)ei200tsA (4.80)

Der Imaginarteil des “Widerstandes” kann als Phasenverschiebung gedeutetwerden.

Page 44: Komplexe Zahlen

Kapitel 5

Penningfallen

Ich habe in den Sommerferien ein Praktikum in der physikalischen Fakultatder Universitat Mainz ausgefuhrt. Genauer war ich bei der ETAP (Experi-mentelle Teilchen- und Atomphysik) zu Gast, die mit Paul- bzw. Penning-fallen Ionen fangen und an ihnen dann (hoffentlich bald) Laserspektroskopiebzw. Lebensdauermessungen durchfuhren. Speziell schrieb ein Gruppenmit-glied (Stephan Krause) gerade ein Simulationsprogramm, um gemessene Fal-leninstabilitaten auch theoretisch zu fundieren. Dies gab mir die Gelegenheit,mich mit der Mathematik dieser Versuchsaufbauten naher zu befassen.Der eigentlich interessante Teil ist wieder die Losng der DGl. Der Weg dort-hin wird im Folgenden kurz umrissen.Die Grundidee bei den meisten Ionenfallen ist, eine lineare rucktreiben-de Kraft zu ermoglichen, um die Teilchenbahn als Addition moglichst un-abhangiger harmonischer Schwinger beschreiben zu konnen. Speziell bei derPenningfalle haben wir ein hyperbolisches Potential des E-Feldes. Die Teil-chen werden von den oberen Kalotten abgestoßen und durch die Ringelek-trode nach außen gezogen. Das Ausbrechen der Ionen aus der Falle wirddurch ein starkes Magnetfeld verhindert, das sie bei horizontaler Bewegungauf Kreisbahnen zwingt. Im Experiment ist es stets Ziel, die Teilchen auf dieFallenmitte zu konzentrieren. Dies erreicht man durch geschicktes Anpassender Speicherparameter 1.

5.1 Potentialgleichung

Die Anfangsforderung lautet also:

~F ∼ ~r (5.1)

1Auf diesen (sicherlich wichtigen) Aspekt wird hier nicht eingegangen werden, da auchdas einfache Modell der idealen Penningfalle die notigen Umstande (Reibung etc.) nichtberucksichtigt.

Page 45: Komplexe Zahlen

5.1 Potentialgleichung 45

Abbildung 5.1: Penningfalle

wobei ~r der Abstand vom Fallenmittelpunkt ist. Mit E = Fq

und E =−gradΦ = −∇Φ erhalt man die Gleichung:

Φ = αx2 + βy2 + γz2 + Φ0 (5.2)

Und damit

−∇Φ = E = −2

αxβyγz

(5.3)

Der quadratische Ansatz fur das Potential ist uns auch aus der Differential-gleichung der harmonischen Schwingung, die im Physikunterricht der Ober-stufe behandelt wird, bekannt:

F = −Dx (5.4)

⇔ mx = −Dx | · x (5.5)

⇔ mxx = −Dxx |P = F · v (5.6)

⇔ md

dt[(

1

2x)2] = −D d

dt[(

1

2x)2] (5.7)

⇔ 1

2mv2 +

1

2Dx2 = C (5.8)

Also die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie ist kon-stant. Dies ist auch klar, da die Energieerhaltung vorgeschrieben ist und das

Page 46: Komplexe Zahlen

46 Penningfallen

Modell nur kinetische Energie und das Federpotential kennt. Es gilt weiter:

mx = − d

dxEpot = − d

dx

1

2Dx2 = −Dx (5.9)

Die Differentiation des Potentials ist die negative Kraft. Der Differentia-tionsoperator im Rn der Gradient taucht beim elektrischen Potential derPenningfalle genau an der selben Stelle auf. Soviel zur Analogie.

Da wir keine wesentlichen Ladungen in der Falle haben, setzen wir ρ = 0und erhalten mit der Maxwellgleichung:

∇ · ~E =ρ

ǫ0= 0 (5.10)

⇒ ∇ · ∇Φ = Φ = 0 (5.11)

Φ = ∇

2αx2βy2γz

= 2α+ 2β + 2γ = 0 (5.12)

Aus Symmetriegrunden (Rotationssymmetrie zur z-Aches) setzen wir nunα = β und erhalten fur γ = −2α, so dass

Φ(x, y, z) = Φ0 + α(x2 + y2 − 2z2) (5.13)

Die hyperbolische Form der Falle ist bereits jetzt vorherbestimmt, da dieElektroden stets auf Aquipotentialflachen liegen. Die Fallenmitte soll vomseitlichen Elektrodenring den Abstand r0 besitzen. An diesen Punkten nor-mieren wir das Potential, wir erden also die Ringelektrode :

0 = Φ(x2 + y2 = r20, z = 0) (5.14)

= Φ0 + α(r20 − 0) (5.15)

= Φ0 + αr20 (5.16)

Weiterhin soll zwischen den Kalotten und der Ringelektrode eine SpannungU0 anliegen.

Φ(0, 0,±z0) = U0 = Φ0 − 2αz20 (5.17)

Wir bedienen uns nun eines Tricks. Wir opfern einen Freiheitsgrad, um dieGleichungen zu vereinfachen und setzen den Abstand der Kalotten auf z0 =√

r20/2. Addieren wir nun (5.17) und (5.15), erhalten wir:

0 = Φ0 + αr20+ U0 = Φ0 − αr20(= Φ0 − 2αz2

0)= 0 + U0 = Φ0 − αr20 + (Φ0 + αr20)⇒ Φ0 = U0/2

Subtraktion ergibt:

U0 = (Φ0 − αr20) − (Φ0 + αr20) ⇒ α = − U0

2r20(5.18)

Page 47: Komplexe Zahlen

5.2 Die Differentialgleichung 47

Unser Potential sieht nun in der Endfassung so aus:

Φ =U0

2− U0

2r20(x2 + y2 − 2z2) (5.19)

=U0

2r20(r20 + 2z2 − x2 − y2) (5.20)

=U0

2r20(2(z2 + z2

0) − x2 − y2) (5.21)

5.2 Die Differentialgleichung

Wir erhalten aus (5.21) die elektrische Feldstarke zu:

Abbildung 5.2: E-Feld in einerPenningfalle (Schnitt)

~E = −∇Φ = −U0

r20

−x−y2z

(5.22)

Mit F = qE und F = ma gilt weiterhin:

x = − q

m∂xΦ =

qU0

mr20x (5.23)

y = − q

m∂yΦ =

qU0

mr20y (5.24)

z = − q

m∂zΦ = −2qU0

mr20z (5.25)

Um uns etwas Schreibarbeit zu sparen, fuhren wir die Abkurzung ωz =√

2qU0

mr20ein.

x =ω2z

2x (5.26)

y =ω2z

2y (5.27)

z = −ω2zz (5.28)

Ware das schon die vollstandige DGL, wurden alle Teilchen schnell aus derFalle verschwinden. Die Losungen fur die x- und y-Achse sind namlich:ex, e−x, sinh(x), cosh(x). Das Besondere an Penningfallen ist jedoch, dassin z-Richtung ein starkes magnetisches Feld anliegt (i.d.R. > 2 T).

~F = m~a = q~v × ~B (5.29)

= m

xyz

= q

xyz

×B

001

(5.30)

Page 48: Komplexe Zahlen

48 Penningfallen

xyz

=qB

m

y−x0

(5.31)

Nun sind wir schon fast am Ziel. Wir kurzen noch qBm

mit ωc ab und gelangendirekt zu unserem DGl System.

x =ω2z

2x + ωc y (5.32)

y =ω2z

2y − ωc x (5.33)

z = −ω2zz (5.34)

Die Gleichung ist noch nicht ganz vollstandig. Eigentlich fehlen noch Rei-bungsterme, Anteile der Korrekturpotentiale und Terme, die die Storungendurch Locher und Ahnliches beschreiben. Doch dann lasst sich die Gleichungim Allgemeinen nicht mehr explizit losen.

5.3 Losung

Fur die z-Koordinate ist die Losung trivial. Sie beschreibt die ungedampfteharmonische Schwingung.

Acos(ωzt) +B sin(ωzt) (5.35)

Um die beiden anderen Gleichungen zu losen, bedienen wir uns wieder einesTricks: Wir konnen aus 2 Differentialgleichungen in 2 Variablen eine einzi-ge DGl in einer Variablen erhalten, indem wir komplexe Zahlen einsetzen.Addition von (5.32) und i·(5.33) ergibt:

x+ iy =ω2z

2(x+ iy) + ωc(y − ix) (5.36)

⇔ d2

dt2(x+ iy) =

ω2z

2(x+ iy) +

ωci

d

dt(x+ iy) (5.37)

Nun konnen wir x+iy auch in Polarkoordinaten in der Form e−iωt , ω ∈ C(!)angeben.

d2

dt2e−iωt =

ω2z

2e−iωt +

ωci

d

dte−iωt (5.38)

⇔ (−iω)2e−iωt =ω2z

2e−iωt +

ωci

(−iω)e−iωt (5.39)

Wir kurzen zunachst wieder die Exponentialfunktion, weil ungleich 0.

−ω2 =ω2z

2− ωcω (5.40)

⇔ 0 = ω2 − ωcω +ω2z

2(5.41)

Page 49: Komplexe Zahlen

5.3 Losung 49

Das ist nun eine quadratische Gleichung in ω. Es ist ublich, bei der pq-Formelstatt x1,2 an dieser Stelle x± zu verwenden. Es ergibt sich:

ω± =ωc2

±√

ω2c

4− ω2

z

2(5.42)

Um eine stabile Speicherung zu erhalten, ist es notwendig, dass ω± reellbleibt. Ist dies nicht der Fall, entsteht ein Realteil im Exponent der Losung,was das Entweichen des Teilchens aus der Falle impliziert. Dies ist auch derGrund, weshalb ein starkes Magnetfeld zur Speicherung benotigt wird.

Abbildung 5.3: Teilchenbewegung inder Penningfalle

Uns liegen nun 2 linear unabhangi-ge Losungen der DGl vor. Wie beiallen linearen DGls 2. Grades, kannman alle Losungen als Linearkom-bination dieser Basislosungen aus-drucken. Als allgemeine Losung ergibtsich somit:

Aeiω−t +Beiω+t (5.43)

Die x- und y-Komponenten konnennun als Real- und Imaginarteil abgele-sen werden. Die (klassische) Bahn, dieein geladenes Teilchen in einer idea-len Pennigfalle beschreibt, ist also ei-ne Kopplung zweier Kreisbewegungenin der x, y - Ebene und eine harmonische Schwingung in der Z Richtung.

x = Acos(ω−t) +Bcos(ω+t) (5.44)

y = Asin(ω−t) +Bsin(ω+t) (5.45)

z = Ccos(ωzt) +Dsin(ωzt) (5.46)

Wir werden uns mit Kurven, die bei Uberlagerung von Kreisbewegungenentstehen, im nachsten Kapitel befassen, deswegen entfallt an dieser Stelleeine nahere Diskussion.

Page 50: Komplexe Zahlen

Kapitel 6

Rollkurven

Vor etwa 8 Jahen (1994) habe ich einen “Malkasten” mit dem Titel Spiro-graph geschenkt bekommen. Das Kinderspielzeug besteht aus verschiedenenZahnradern und Fuhrungsschienen. Die Zahnrader sind an verschiedenenStellen mit Lochern versehen, so dass man kreisverwandte Figuren auf einuntergelegtes Papier zeichnen kann.

Die mathematische Betrachtung so entstandener Kurven findet sich erst-mals bei Apollonius von Perga ca 200 v. Chr., der mit Epizyklen die Bewe-gung der Planeten am Firmament beschreibt. Ptolemaus griff die Apollo-nischen Ideen wieder auf und schuf eine Beschreibung der Bahnkurven, dieerst 1400 Jahre spater von den Keplerschen Gesetzen abgelost werden sollte.Zwar ist das Sonnensystem nicht gerade verwandt mit einem Malkasten ausKinderzeiten, jedoch ahneln sie sich in der Mathematik, die dahintersteht.

In der Renaissance beschaftigte man sich mit sogenannten Radkurven,dabei handelte es sich wiederum um Kreise, die auf Kreisen oder Gradenoder anderen Kurven abgerollt oder auf irgendeine andere Art und Weisemiteinander in Beziehung gesetzt wurden.

Ich habe nun versucht, einige dieser Kurven als Funktionen mit komple-xen Werten darzustellen und bin dabei zu folgenden Ergebnissen gelangt:

6.1 Zykloide

Die wohl einfachste Rollkurve ist die Zykloide. Hier wird ein Punkt einesKreises betrachtet, der auf einer Geraden abgerollt wird. Die Bewegung, dievon diesem Punkt vollzogen wird, kann man in 2 Komponenten aufteilen:zum einen bewegt sich der Punkt auf dem Kreis und zum andern der Kreisentlang der Linie. Den Mittelpunkt des Kreises wollen wir hier als M, denbetrachteten Punkt mit P bezeichnen. Die 1. Komponente entlang der Linieist mit simpler Addition und Multiplikation zu erreichen:

M(t) = v · t+ i · r (6.1)

Page 51: Komplexe Zahlen

6.1 Zykloide 51

Abbildung 6.1: Zykloide mit den Parametern: r1 = r2 = 2

v ist hier die Geschwindigkeit, mit der sich der Kreis auf der Geraden be-wegt. Die Addition von ir bewirkt, dass der Kreis auf der Geraden aufliegt.Wenn dieses r nicht gleich dem Radius des Kreises ist, ergeben sich weite-re interessante Figuren (Trochoiden), die insbesondere haufig bei dem obengenannten Spirographen auftreten.

Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion fallt es auch nicht schwer,eine Darstellung der Kreisbewegung zu finden:

MP(t) = rei(ωt+∆) (6.2)

Hierbei ist ωt der Winkel, der zwischen x-Achse und der Strecke MP einge-schlossen ist, r der Radius des Kreises und ∆ eine Phasenverschiebung. Dawir in der Regel im Ursprung anfangen wollen, wird i.d.R. ∆ = −π

2 gewahlt.Addition der beiden Komponenten liefert nun die komplette Gleichung:

P(t) = tv + i · r + rei(ωt+∆) (6.3)

Damit nun auch ein tatsachliches Abrollen stattfindet und der Kreis nichtnur “orientierungslos” uber die Gerade stolpert, mussen noch die richtigenBeziehungen insbesondere zwischen ω ↔ v gefunden werden.

Der zuruckgelegte Weg des Kreismittelpunktes muss zu jeder Zeit gleichdem Weg (bzw. der Bogenlange) sein, den ein Punkt auf dem Kreis durchlauft.

vt = rωt

⇔ v

r= ω (6.4)

Nun sind wir fast am Ziel, das einzige, was wir bis jetzt außer Acht gelassenhaben, ist der Drehsinn des Kreises. Im Moment bewegt er sich noch mathe-matisch positiv, ein abrollender Kreis dreht sich in umgekehrter Richtung.Weiter kann v = 1 gesetzt werden, da dieser Faktor nur bei t auftritt undsomit nur eine Umparametrisierung der gleichen Kurve bewirkt. Als fertigeGleichung erhalten wir:

P(t) = t+ i · r + rei(−1rt+∆) (6.5)

Page 52: Komplexe Zahlen

52 Rollkurven

Abbildung 6.2: Trochoide mit r = 2, r = 3

6.2 Epizykel

Den Weg, den ein Punkt (P) beschreibt, der sich auf einem drehendenKreis befindet, dessen Mittelpunkt (M) wiederum um ein anderes Zentrum(O = 0) gedreht wird, nennt man Epizykel. Diese Bewegung lasst sich auchin 2 Komponenten zerlegen. Wir erhalten 2 Kreisbewegungen, die man imKomplexen so darstellen kann:

OM(t) = r0eiω0t (6.6)

MP(t) = r1eiω1t (6.7)

Einfache Addition liefert in diesem Fall die vollstandige Gleichung:

P(t) = r0eiω0t + r1e

iω1t (6.8)

In dieser Form ist die Gleichung am allgemeinsten. Es sind die viefaltigstenFiguren durch Variation der Parameter moglich.

6.3 Epizykloide

In diesem Fall ist die betrachtete Kurve die Bahn eines Punktes eines Kreises,der auf einem anderen Kreis abgerollt wird. Es zeigt sich, dass Epizykloidennur entartete Epizykel sind. Die Kurve, die der Mittelpunkt des abrollendenKreises beschreibt, ist wiederum ein Kreis, von dem ausgehend man dieentsprechende Epizykloide konstruieren kann. Wir nennen den Radius desinneren Kreises, auf dem der 2. abrollen soll r0, dementsprechend soll r1 derdes zweiten Kreises sein, welcher abgerollt wird. Der Radius des Kreises,auf dem sich der 2. Kreis um den Mittelpunkt des ersten bewegt, hat denRadius r0 + r1, entsprechend ergeben sich nun die Gleichungen zu:

OP = P(t) = OM + MPOM = M(t) = (r0 + r1)e

iω0t

MP = r1eiω1t (6.9)

Page 53: Komplexe Zahlen

6.3 Epizykloide 53

Abbildung 6.3: schematische Darstellung, der Epizykloidenkonstruktion

Es gilt nun eine Beziehung zwischen den beiden Rotationsgeschwindigkeitenω0 und ω1 zu finden. Eine solche erhalten wir durch die Abrollbedingung.Bevor wir diese jedoch auswerten konnen, mussen wir uns ein paar Gedankenuber die Geometrie der Figur machen. Wurden wir die beiden Kreise festaneinander koppeln, wurde der Punkt P stets einen konstanten Abstandzum Mittelpunkt wahren. In unserer Gleichung entspricht eben ω0 = ω1.Das Abrollen ist eine zusatzliche Bewegung. Wir erhalten die Beziehung,indem wir die entsprechenden Bogenlangen gleichsetzen (vgl. Abb. 6.3 ).

ω1 = ω0 + β

β · r1 = ω0 · r0⇔ β = ω0

r0r1

(6.10)

⇒ ω1 = ω0(1 +r0r1

) (6.11)

Wir konnen weiter ω0 = 1 setzen, da dieser Faktor nur im Zusammenhangmit t auftaucht. Durch Substitution erhalten wir:

M(t) = (r0 + r1)eit

MP(t) = r1ei(1+

r0r1

)t

⇒ P(t) = (r0 + r1)eit + r1e

i(1+r0r1

)t(6.12)

Page 54: Komplexe Zahlen

54 Rollkurven

Abbildung 6.4: Epizykloide mit den Parametern r0 = 10, r1 = r1 = 2

Man kann die entstandene Gleichung noch verallgemeinern, indem man denAbstand des Punktes vom Kreismittelpunkt des abrollenden Kreises nichtauf dessen Radius festlegt. Weiterhin liefert ein additiv hinzukommendes ∆Freiheit bei der Wahl des Startpunkts:

P(⊔) = (r0 + r1)eit + r1e

i(1+r2r1

)t+i∆(6.13)

An dieser Stelle sind nun einige Beispiele fur die besprochenen Kurven bei-gefugt (Alle Abbildungen wurden mit Maple geplottet).

6.4 Hypozykloide

Bei dieser Kurve betrachtet man einen Punkt eines Kreises, der innerhalbeines anderen abgerollt wird. Es stellt sich heraus, dass eine genauere mathe-matische Behandlung gar nicht von Noten ist, da sie einerseits als Epizykel,andererseits allerdings insbesondere als Epizykloid mit negativem r1 dar-stellbar ist.

Page 55: Komplexe Zahlen

6.4 Hypozykloide 55

Abbildung 6.5: Epitrochoide: r0 = 10, r1 = 2, r1 = 3

Abbildung 6.6: Hypozykloide mit r0 = 10, r1 = −2, r1 = 2

Page 56: Komplexe Zahlen

56 Rollkurven

6.5 Hartmannkurve

6.5.1 Definition

Nun mochte ich eine von mir selbst entwickelte Rollkurve vorstellen. DenNamen “Hartmannkurve” habe ich ihr gegeben, da ich bei meinen Nachfor-schungen auf keine vergleichbare Kurve gestoßen bin. Sollte jemand michdahingehend berichtigen wollen, ist das naturlich kein Problem. Die funda-mentale Idee bei dieser Kurve ist, dass man unendlich viele Kreise aufein-ander abrollt. Folgende Funktionen fuhren wir ein, die das Verhalten derKurve bestimmen:rn Radius des nten Kreisesαn Maß fur den Winkel, den der n+ 1te Kreis

um den nten Kreis gerollt wird.Der Mittelpunkt des nten Kreises beschreibt dabei nun folgende Kurve:

Mn(t) =

n−1∑

k=0

(rk + rk+1)eiωkt (6.14)

Wobei sich ωn zu

ωn = αn +

n−1∑

k=0

(1 + rk/rk+1)αk (6.15)

ergibt.α ist also eigentlich eine Winkelgeschwindigkeit. Als Hartmannkurve be-zeichnet man nun den Grenzwert der von den Mittelpunkten beschreibenKurven fur n gegen Unendlich (falls dieser existiert).

6.5.2 Herleitung

Das Ganze ging naturlich jetzt etwas schnell. Wir wollen uns nun anschauen,wie man auf die einzelnen Resultate kommt.Fur den nullten Kreis ist die Sache trivial: Er bewegt sich nicht.

M0(t) = 0 (6.16)

Der Mittelpunkt des ersten Kreises bewegt sich genau mit der Winkelge-schwindigkeit α0 um den 0. Kreis. Er halt dabei stets den Abstand r0 + r1vom Ursprung. Daher gilt:

ω0 = α0 (6.17)

M1(t) = [0+](r0 + r1)eiω0t (6.18)

Der zweite Kreis nun bewegt sich mit α1 um den ersten, jedoch muss nun be-dacht werden, dass dieser nun nicht mehr ruht, es wurde vielmehr der erste

Page 57: Komplexe Zahlen

6.5 Hartmannkurve 57

um den nullten Kreis entlang eines Winkels α0t abgerollt. Die Gesamtrota-tion (ω1) setzt sich also aus der Drehung des ersten Kreises um den nullten,dem Rollwinkel und dem neuen Drehwinkel α1t zusammen (vgl. Abbildung).

ω1 = ω0 +r0r1α0 + α1 (6.19)

= α0 +r0r1α0 + α0 + α1 (6.20)

= (1 +r0r1

)α0 + α1 (6.21)

⇒ M2 = M1 + (r1 + r2)eiω1t (6.22)

= (r0 + r1)eiω0t + (r1 + r2)e

iω1t (6.23)

Die Bewegung des dritten Kreismittelpunkts erhalten wir wieder ahnlich.Die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um den zweiten Kreis setzt sichwieder aus der Gesamtdrehung desselben plus Abrollwinkel plus neuer Dreh-winkel zusammen. Wurden wir nur die Gesamtdrehung addieren, so haftetder Kreis gewissermaßen am letzten, ohne sich zu drehen. Der Abrollwinkelberucksichtigt das Rollen des zweiten auf dem ersten Kreis. Und schließlichder neue Drehwinkel versetzt den Mittelpunkt des dritten Kreises auf diePosition, auf die er “zurollen” soll. Hierbei ist wiederum die Abbildung einwichtiges Hilfsmittel.

ω2 = ω1 +r1r2α1 + α2 (6.24)

= (1 +r0r1

)α0 + α1 +r1r2α1 + α2 (6.25)

= (1 +r0r1

)α0 + (1 +r1r2

)α1 + α2 (6.26)

⇒ M3 = M2 + (r2 + r3)eiω2t (6.27)

= (r0 + r1)eiω0t + (r1 + r2)e

iω1t + (r2 + r3)eiω2t (6.28)

Wir konnen unsere Ergebnisse nun verallgemeinern, da wir alle wesentlichenAspekte bereits gesehen haben. Wir konnen bei ω ausklammern und die ent-sprechenden Terme in Summen ausdrucken. Entsprechende Umformungenergeben 6.14 und 6.15.

6.5.3 Sonderfalle

Der schonste Sonderfall, der mir bisher untergekommen ist, ist zugleich einerder einfachsten:αn = 1 und rn = 1

2n

Die Abrollgeschwindigkeit ist also stets dieselbe und die Radien halbierensich jeweils. Die Summen vereinfachen sich nun auch erheblich:

Page 58: Komplexe Zahlen

58 Rollkurven

ωn = 1 +

n−1∑

k=0

(1 +2k+1

2k) (6.29)

= 1 +

n−1∑

k=0

3 (6.30)

= 1 + 3n (6.31)

rk + rk+1 =1

2k+

1

2k+1=

3

2 · 2k (6.32)

Mn(t) =

n−1∑

k=0

(rk + rk+1)eiωkt (6.33)

=3

2

n−1∑

k=0

ei3kteit

2k(6.34)

=3

2eit

n−1∑

k=0

(ei3t

2)k (6.35)

Abbildung 6.7: Hartmannkur-ve fur αn = 1, rn = 1

2n

Nachdem wir schon so weit gekommen sind,liegt die Vermutung nahe, dass wir auch die-se Summe noch auflosen konnen. In der Tatist diese Summe gerade eine geometrischeReihe. Wir bilden, bevor wir die Summeauflosen, zunachst den Grenzwert fur n ge-gen Unendlich, um nun eine Hartmannkurvezu erhalten.

H(t) = limn→∞

Mn (6.36)

=3

2eit

∞∑

k=0

(ei3t

2)k (6.37)

=3

2eit

1

1 − (ei3t

2 )(6.38)

= 3eit

2 − ei3t(6.39)

Verfahrt man genauso fur den allgemeineren Fall:

αn = 1 (6.40)

rn = m−n m ≥ 2 (6.41)

so erhalt man fur die Hartmannkurve

H(t) = (m+ 1)eit

m− ei(1+m)t(6.42)

Page 59: Komplexe Zahlen

6.5 Hartmannkurve 59

Die Vereinfachung der geometrischen Reihe bleibt gultig, da der Faktor

(ei(1+m)t

m)n fur n → ∞ gegen Null strebt. Ich finde es auf jeden Fall absolut

erstaunlich, dass diese Summe auf so eine einfache Form gebracht werdenkann.

6.5.4 Symmetrie

Weiterhin legt der Graph der Funktion nahe, dass eine Drehsymmetrie exis-tieren konnte. Nahere Untersuchung zeigt, dass dies tatsachlich der Fall ist.Es gilt:

H(t)ei2π

m+1 = (m+ 1)eitei

2πm+1

m− ei(1+m)t(6.43)

= (m+ 1)ei(t+

2πm+1

)

m− ei(1+m)t(6.44)

= (m+ 1)ei(t+

2πm+1

)

m− ei(1+m)t+2πi(6.45)

= (m+ 1)ei(t+

2πm+1

)

m− ei(1+m)(t+ 2π

(1+m))

(6.46)

= H(t+2π

m+ 1) (6.47)

Die Drehsymmetrie ist also erfullt. Insbesondere zeigt sich, dass die Teil-kurven im Abstand l · 2π

m+1 , l ∈ Z jeweils mit der gleichen Geschwindigkeitdurchlaufen werden.

Es existieren sogar noch weitere Symmetrieen, betrachtet Abb. 6.8 oderahnliche Kurven, so erkennt man wiederum einige Drehsymmetrieen. Seinun

rn = x−n , x ∈ Z (6.48)

αn = yn , y ∈ Z, x+ y 6= 0 (6.49)

existiert eine x+y Symmetrie. Wir haben eben sogar einen Sonderfall dieserBehauptung bewiesen: es war y = 1 und x = m es zeigte sich eine m+ 1 =x+ y Symmetrie. Nun zum Beweis: Es zeigt sich, dass der Ansatz

H(t)ei 2π

x+y = H(t+2π

x+ y) (6.50)

wieder ausreicht, um die Vermutung zu beweisen.

Mn(t)ei 2π

x+y = ei2π

x+y

n−1∑

k=0

(rk + rk+1)eiωkt (6.51)

Page 60: Komplexe Zahlen

60 Rollkurven

Abbildung 6.8: Hartmannkurve fur αn = 2n, rn = 2−n; αn = 3n, rn = 2−n;αn = 2n, rn = 3−n

=

n−1∑

k=0

(rk + rk+1)eiωkt+i

2πx+y (6.52)

(6.53)

Obwohl zwei gleiche Summen nicht immer die selben Summanden habenmussen kann man in diesem Beispiel eben dies zeigen (woraus naturlich dieGleichheit der Summen folgt). Es gilt also:

(rk + rk+1)eiωkt+i

2πx+y = (rk + rk+1)e

iωk(t+ 2πx+y

) (6.54)

⇔ eiωkt+i

2πx+y = e

iωk(t+ 2πx+y

)(6.55)

⇔ iωkt+ i2π

x+ y+ l · 2πi = iωk(t+

x+ y) , l ∈ Z (6.56)

⇔ 1

x+ y+ l = ωk

1

x+ y(6.57)

⇔ l(x+ y) = ωk − 1 (6.58)

Wenden wir uns nun ω zu:

ωn = αn +

n−1∑

k=0

(1 + rk/rk+1)αk (6.59)

= yn +

n−1∑

k=0

(1 + x)yk (6.60)

Page 61: Komplexe Zahlen

6.5 Hartmannkurve 61

Abbildung 6.9: Hartmannkurve fur αn = 3n, rn = 2−n

= yn + (1 + x)1 − yn

1 − y, y 6= 1 (6.61)

Den Sonderfall y = 1 haben wir bereits abgedeckt, es reicht also aus, alleubrigen Falle zu betrachten.

l(x+ y) = yk + (1 + x)1 − yk

1 − y− 1 (6.62)

⇔ l(x+ y)(1 − y) = yk − yk+1 + 1 − yk + x(1 − y) − 1 + y (6.63)

⇔ l(x+ y)(1 − y) = y(1 − yk) + x(1 − yk) (6.64)

⇔ l =1 − yk

(1 − y)=

k−1∑

p=0

yp (6.65)

Da nun y ∈ Z ist, gilt dasselbe fur yp und somit auch fur∑k−1

p=0 yp ∈ Z.

Womit die Behauptung bewiesen ware.

Page 62: Komplexe Zahlen

62 Rollkurven

Abbildung 6.10: Konstruktionsskizze zur Hartmannkurve

Page 63: Komplexe Zahlen

Kapitel 7

Fraktale

Eines der “schonsten” und sicherlich auch aktuellsten Gebiete der Mathe-matik ist sicherlich die Lehre der Fraktale: Sonderbare Figuren, deren Kan-ten und Flachen wunderbare Eigenschaften aufweisen. Man spricht von ge-brochenen Dimensionen (daher auch der Name, lat. frangere - brechen),flachenfullenden Kurven (z.B. Peanokurve) oder Punktstaub (z.B. Cantor-staub). Neben den mathematischen Besonderheiten machen sie auch man-ches Mal rein optisch auf sich aufmerksam.

7.1 Mandelbrotmenge

Neben Kochkurven, Mengerteppich und Sierpinskidreieck gehort die Man-delbrotmenge mit zu den bekanntesten Figuren ihrer Gattung. Ihr wird imRahmen dieser Arbeit ein Kapitel gewidmet, da sie durch eine Iteration einerFolge komplexer Zahlen entsteht. Die Folge ist gegeben durch:

Zn+1 = Z2n + Z0 (7.1)

M = Z0 ∈ C|n→ ∞ ⇒ |Zn| → ∞ (7.2)

Als Startwerte sind alle Punkte der Gaußschen Ebene zugelassen. In derDarstellung, die man am haufigsten antrifft, wird je nach Verhalten derFolge fur den entsprechenden Startwert dem Punkt auf der Ebene eine Farbezugewiesen. Man unterscheidet grundsatzlich 2 Falle:

• Die Folge bleibt unter einem bestimmten Grenzbetrag 1 ⇒ P ∈M

• Die Folge uberschreitet diesen ⇒ P /∈M

1Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der idealen Mandelbrotmenge, beider man “unendlich” oft iteriert. Divergiert die Folge fur einen Startwert, so uberschrei-tet der Betrag der Glieder mit großem n auch jede Grenze. Erfahrungsgemaß spielt dieWahl des Parameter keine entscheidende Rolle. Vernunftige Folgenglieder von “konvergie-renden” Folgen haben stets kleine Betrage. Anschaulich illustriert diesen Sachverhalt dasFeigenbaumdiagramm: Alle Fixpunkte konzentrieren sich um die “0-Gerade”.

Page 64: Komplexe Zahlen

64 Fraktale

Abbildung 7.1: Mandelbrotmenge

Oftmals macht man auch die Farbe von der Anzahl der Iterationen abhangig,die zum Uberschreiten des Grenzwerts benotigt werden. Das Erstaunlichedieser Figur ist nun, dass trotz der Einfachheit der Iterationen die Struktu-ren, die am Rand der Menge auftreten, unendlich fein aufgegliedert sind.

Zunachst wollen wir der Frage nachgehen, was die Folge geometrischbedeutet: Wir haben erst einmal einen Ausgangsvektor / Zahl, Z0. Im ers-ten Schritt wird die Zahl quadriert, was einer Verdopplung des Argumentsund einer Quadratur des Betrags entspricht, danach wird Z0 addiert. DieseSchritte werden nun so oft wiederholt, bis der Zeiger einen Kreis um denUrsprung mit Radius des Grenzwertes uberschreitet.

Es gibt im Wesentlichen 5 Verhaltensmuster, die die Folge aufzeigenkonnen:

• Divergenz: die Folge uberschreitet den Grenzwert, z.B. Z0 = 1.

• Konvergenz: die Folge strebt einem Grenzwert zu, z.B. Z0 = 0.2

• Fixpunktartige Konzentration: die Folge springt nach wenigen Schrit-ten auf einen Wert, den sie nicht wieder verlasst, z.B. Z0 = −2

• Periodisches Verhalten: Eine endliche Anzahl von Zahlen wird immerwieder durchlaufen, z.B. Z0 = i

Page 65: Komplexe Zahlen

7.1 Mandelbrotmenge 65

Abbildung 7.2: Mandelrotmenge mit Feigenbaumdiagramm

• Chaotisches Verhalten: die Folge bleibt unter dem Grenzwert, springtjedoch scheinbar willkurlich hin und her, z.B Z0 = −1, 9

Anschaulich illustriert diese Tatsache das Feigenbaumdiagramm. Da inder Regel nur 2 statt 4 Dimensionen zur Verfugung stehen, beschranken wiruns hier auf die Betrachtung einer Geraden in der Ebene. Es entsteht folgen-dermaßen: Zunachst lasst man die Werte eine endliche Zahl an Iterationeneinschwingen, danach tragt man gegen den Startwert endlich viele Folgewer-te auf. 2 In diesem Diagramm lasst sich nun ablesen, um wieviele Fixpunktedie Werte pendeln. 3

7.1.1 Hauptkorperbestimmung

Eine sehr schone Verbindung zwischen Rollkurven und Mandelbrotmengenfallt bei Betrachtung des Hauptkorpers auf. Ich bin auf diesen Zusammen-hang durch [24] gestoßen, mochte ihn dem Leser aber nicht vorenthalten.Alle Punkte der Ebene, fur die die Folge auf genau einen Grenzwert zu-strebt, bezeichnet man als Hauptkorper. Hat die Folge (nach unendlich vie-

2Auch hier gilt wieder, dass die Parameter im Ideal gegen Unendlich gehen, allerdingskommen die wesentlichen Aspekte auch schon bei je 20 Iterationen gut zum Vorschein.

3Vermutung: Jedem großeren zusammenhangenden Gebiet innerhalb der Mandelbrot-menge kann man ein spezielles Schwingungsmuster mit charakteristischen Grenzwertenzuordnen und umgekehrt.

Page 66: Komplexe Zahlen

66 Fraktale

Abbildung 7.3: Mandelbrotmenge und Feigenbaumdiagramm fur die Punkteum 0.354100867801208 − 0.426483147289218i

len Schritten) diesen Wert nun erreicht, wird sie sich von da an nicht mehrandern. Daher ist dieser Grenzwert immer ein Fixpunkt. Fur Fixpunkte gilt:

f(z) = z = z2 + z0 (7.3)

Es ist nicht schwer, fur diese Gleichung Losungen anzugeben, jedoch ist esfur das spatere Vorgehen einfacher, wenn wir zunachst z durch kλ, k ∈ R+

ersetzen.Wir lassen nun das Stabilitatskriterium | d

dxf(x)| < 1 vom Himmel fallen.

Alle Fixpunkte, die diesem Kriterium genugen, sind attraktiv, was bedeutet,dass in der Nahe liegende Werte zu diesem hinstreben. Bei der Mandelbro-titeration liefert Anwendung der Bedingung:

| ddxf(z)| = |2z| = |2kλ| < 1 (7.4)

Nun wird ersichtlich, warum wir z substituiert haben: wir konnen nun 2k = 1setzen und uns hier die Arbeit vereinfachen.

|λ| < 1 (7.5)

Die Punkte fur die gilt |λ| = 1 =√

ℜ(λ)2 + ℑ(λ)2 ⇒ λ = eit begrenzendiesen Bereich. Setzen wir nun in das Fixpunktkriterium ein, so erhalten

Page 67: Komplexe Zahlen

7.2 Juliamengen 67

wir:

kλ = k2λ2 + z0 ⇔ kλ− k2λ2 = z0 (7.6)

z0 =1

2eit − 1

4e2it, t ∈ R (7.7)

Solche Gleichungen kennen wir wiederum aus dem vorhergegangenen Kapi-tel, es handelt sich um eine Epizykloide mit r1 = r2 = 1

2 und ∆ = π. DieserSpezialfall ist auch unter dem Namen Cardioide (Herzkurve) bekannt.

7.2 Juliamengen

Die Folge, die zur Juliamenge fuhrt, ist ebenso simpel wie die der MandelbrotIterationen. Statt Z0 kommt nun als additives Element stets ein festes k ∈ C

hinzu. Entsprechend gibt es daher auch nicht “die” Juliamenge, sondern furjedes k sieht sie anders aus. Jeder Punkt der Ebene steht nun wieder fur einZ0 der Folge und wird entsprechend des Verhaltens der Iteration koloriert.

Es gibt im wesentlichen 2 Grundtypen von Juliamengen. Die einen bildeneine zusammenhangende Flache, die anderen zerfallen in Staub mit Flachen-inhalt 0. Eine interessante Parallele zwischen Mandelbrot- und Juliamengenergibt sich folgendermaßen. Fur jeden Punkt der Gaußschen Ebene lasstsich eine Juliamenge mit der Konstanten (x + iy) konstruieren. Liegt dieKonstante in der Mandelbrotmenge, so ist die zugehorige Juliamenge zu-sammenhangend und umgekehrt. Dass der Mittelpunkt der Juliamenge mitdem entsprechenden Punkt auf der Mandelbrotmenge ubereinstimmt, lasstsich leicht zeigen:

Jn+1 = J2n + C, J0 = 0, J = ((((C2 + C)2 + C)2 + C)2 +C)2...

Mn+1 = M2n +M0, M0 = C, M = ((((M2

0 + C)2 +M0)2 +M0)

2 +M0)2...

M = (((( C2 + C)2 + C)2 + C)2 + C)2... (7.8)

Auffallig ist des Weiteren, dass wenn man einen kleinen Ausschnitt der Man-delbrotmenge mit einer Juliamenge vergleicht, deren Konstante im betrach-teten Ausschnitt liegt, deutliche Parallelen erkennen kann. Dies ist auchplausibel, da stets mit ahnlichen Zahlen iteriert wird (vgl. 7.2).

Historisch gesehen ist man auf die Mandelbrotiteration erst durch dieseBetrachtung an Juliamengen gestoßen.

Eine schone Abrundung der Ergebnisse lasst sich dadurch erreichen, dassman Mandel- und Juliamengen nicht als 2 getrennte Gebilde auffasst, son-dern als eine Menge. Auf je 2 Achsen werden C und Z0 verandert. DieJuliamengen schneiden dann je an ihrem 0-Punkt die Mandelbrotmenge.Das entstandene 4-dim. Konstrukt ist leider wiedermal vergleichsweise un-vorstellbar. 4

4Noch weiter kann man das Spielchen treiben, wenn man z.B. den Exponent der Ite-ration auch auf ein (oder 2 Achsen) variiert.

Page 68: Komplexe Zahlen

68 Fraktale

Mandelbrotmenge an der Stelle: Juliamenge mit ebendieser0.354100867801208 Konstanten, an ebendieser

−0.426483147289218i Stelle.

Abbildung 7.4: Vergleich zweier Ausschnitte aus einer Mandelbrot- und Ju-liamenge

Anbei findet sich ein Pascalprogramm, mit dem u.a. samtliche Abbildun-gen dieses Kapitels erstellt wurden. Es wurde in Bezug auf Geschwindigkeitoptimiert. So ist bspw. die Unit Graph durch Assemblercode ersetzt unddie Iteration durch Umstellung und Zwischenspeicherungen leicht verbes-sert worden. Die rund 1000 Zeilen Code erhalten zahlreiche Features, diedas Navigieren und Wechseln zwischen den Mengen erleichtern sollen (so-weit das in Pascal moglich ist). Es findet sich weiterhin eine Prozedur zum*.bmp Export und zum Speichern der aktuellen Werte in einer externenDatei. Nahere Information liefert der abgedruckte Quelltext bzw. die imple-mentierte Hilfe.

7.3 Verallgemeinerte Mandel- und Juliamengen

Statt einer Quadratur des vorherigen Folgegliedes kann man bspw. auch 3oder 4 als Exponent wahlen, was freilich ahnliche, aber nichtsdestowenigerinteressante Figuren hervorbringt. Es lasst sich zeigen, dass die Mandelbrot-mengen zum Exponent n immer eine Drehsymmetrie zu 2π

n−1 aufweisen und

die Juliamengen zu 2πn

. Weiterhin bleiben die Elemente der Mandelbrot-

menge betragsmaßig immer kleiner als n−1√

2. Der Hauptkorper zu so ver-allgemeinerten Mandelbrotmengen ist nun wieder von Rollkurven begrenzt.Das Verhaltnis der Radien ist jeweils n-1:1, was dazu fuhrt, dass man je n-1Spitzen der Epizykloide erhalt.

Eine nette Spielerei stellt auch noch das Einsetzen von reellen Zahlen alsExponent da. Das Ergebnis ist i.A. jedoch recht unschon. Man erhalt Unste-tigkeiten beim standigen Wechsel der Riemannflachen und evtl. Rollkurven,die sich niemals wieder schließen, als Begrenzung. 5

5Das beigefugte Programm ist in der Lage all diese Mengen zu plotten. Dem interes-

Page 69: Komplexe Zahlen

7.3 Verallgemeinerte Mandel- und Juliamengen 69

sierten Leser sei empfohlen, dies zu tun, um ein Gefuhl dafur zu bekommen, wie sich dieMenge verhalt. Insbesondere sind die Feigenbaumdiagramme der verschiedenen Teilmen-gen hochst interessant.

Page 70: Komplexe Zahlen

Anhang A

Ausblick

Leider kann in dieser Arbeit nicht alles erortert werden, was wesentlich mitden komplexen Zahlen zusammenhangt. Ich habe mir große Muhe gegeben,einen weitreichenden Uberblick uber alle Aspekte der Materie zu geben.Jedoch sind trotz des erheblichen Umfangs der BLL nicht alle Themen, mitdenen ich mich befasst habe, zur Sprache gekommen. Eines dieser Kapitelist beispielsweise die Fundamentalsatzmathematik, die besonders historischeine herausragende Rolle einnimmt. Eng damit verbunden sind Studien uberdas Verhalten der Potenzen komplexer Zahlen, bzw. des Ubergangs zwischenden Exponenten. Es stellen sich faszinierende Gegebenheiten heraus, wennman beispielsweise betrachtet, wie aus der Gleichung z0 , z0.5 =

√z und

weiter z1, z2... wird. Abbildung A.1 verdeutlicht die Problematik.

Sicherlich ware auch das Kapitel uber physikalische Anwendungen nochweiter ausbaubar und auch Mandelbrot lasst noch viel Raum fur Nachfor-schungen, z.B. Verhalten der Begrenzungskurven der Einflussbereiche einzel-ner Fixpunkte oder genauere Untersuchungen an Iterationen hoherer Ord-nung: z3 + z0...

Abbildung A.1: Conturplots der Realteile der Funktionen z−5 bis z4

Page 71: Komplexe Zahlen

71

Gescheitert bin ich bei dem Versuch zu beweisen, dass sich ein Stab ineiner Dreispitz Hypozykloide abrollen lasst. Bekannt ist dieses Problem imZusammenhang mit dem Wankelmotor, es lasst sich sogar zeigen, dass sich ineiner n-Spitz Hypozykloide immer eine (n-1)-Spitz Hypozykloide umdrehenlasst. Generell lassen sich die komplexen Zahlen auch gut als Hilfsmittel zurLosung geometrischer Probleme verwenden, speziell wenn es um Streckungenund Drehungen geht.

Damit verbunden ist die Darstellung komplexer Zahlen als 2×2 Matrizen,die einer Zahl eine Abbildung zuordnet, mit der gerechnet werden kann.

Page 72: Komplexe Zahlen

Anhang B

Quelltexte

Auf der beiliegenden Diskette finden sich die Quelltexte in digitaler Formund 2 vorkompilierte Versionen des Programms (mit SVGA, ohne SVGA).Das Programm darf zu Studienzwecken beliebig vervielfaltigt und verandertwerden. Es ware nur nett, wenn entsprechende Copyrighthinweise bei Uber-nahme großer Programmteile erhalten blieben.

\sectionMandelbrot

\subsectionHaputprogramm

\lstinputlistingD:/bll/mandel/bbl.pas

\subsectionmygraph.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/mygraph.inc

\subsectionfiles.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/files.inc

\subsectionmaus.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/maus.inc

\subsectionfeigenb.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/feigenb.inc

\subsectionfracbmp.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/fracbmp.inc

\subsectionsteuerru.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/steuerru.inc

\subsectionfraccalc.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/fraccalc.inc

\subsectionhelp.inc

\lstinputlistingD:/bll/mandel/help.inc

\sectionHartmannkurve

\lstinputlistingD:/bll/mandel/hez.pas

Page 73: Komplexe Zahlen

Abbildungsverzeichnis

2.1 Gaußsche Ebene (PovRay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Addition (PovRay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Multiplikation (PovRay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Dritte Wurzeln (Pov Ray) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 z- und w-Ebene (PovRay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 zweiblattrige Riemannflache (Povray) . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Querschnitt durch eine zweiblattrige Riemannflache (Dr. Geo) 21

3.5 Querschnitt durch eine vierblattrige Riemannflache (Dr. Geo) 21

3.6 Parametrischer Plot der Funktion eit (Maple) . . . . . . . . . 22

3.7 Plot des Real- und Imaginarteils der Funktion eit (Maple) . . 23

3.8 Surfaceplot des Real- und Imaginarteils der Exponentialfunk-tion (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.9 Schnitte durch 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10 cosh und sinh (Maple und Gimp) . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.11 Surfaceplot des Kosinus Hyperbolicus (Maple) . . . . . . . . . 28

3.12 Surfaceplot des Kosinus (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.13 Schnitte durch den cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.14 Geometrische Deutung des Beispiels 3.51(PovRay) . . . . . . 30

4.1 freie Schwingung (Gimp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Beispielschaltung (DIA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Penningfalle (Maple,Photoshop,Povray) . . . . . . . . . . . . 41

5.2 E-Feld in einer Penningfalle (Schnitt) . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Teilchenbewegung in der Penningfalle . . . . . . . . . . . . . 46

6.1 Zykloide (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Trochoide (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 schematische Darstellung, der Epizykloidenkonstruktion (Mapleund Gimp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4 Epizykloide (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.5 Epitrochoide (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.6 Hypozykloide (Maple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Page 74: Komplexe Zahlen

74 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

6.7 Hartmannkurve fur αn = 1, rn = 12n . . . . . . . . . . . . . . 54

6.8 Hartmannkurve fur αn = 2n, rn = 2−n; αn = 3n, rn = 2−n;αn = 2n, rn = 3−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.9 Hartmannkurve fur αn = 3n, rn = 2−n . . . . . . . . . . . . . 576.10 Konstruktionsskizze zur Hartmannkurve . . . . . . . . . . . . 57

7.1 Mandelbrotmenge (Begleitprogramm und Gimp) . . . . . . . 587.2 Mandelrotmenge mit Feigenbaumdiagramm (Begleitprogramm

und Gimp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Mandelbrotmenge und Feigenbaumdiagramm fur die Punk-

te um 0.354100867801208 − 0.426483147289218i (Begleitpro-gramm und Gimp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Vergleich zweier Ausschnitte aus einer Mandelbrot und Julia-menge (Begleitprogramm und Gimp) . . . . . . . . . . . . . . 61

A.1 Conturplots der Realteile der Funktionen z−5 bis z4 (Mathe-matica 4.0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Page 75: Komplexe Zahlen

Literaturverzeichnis

[1] Mathematikunterricht der Oberstufe, K. Gornik

[2] Physikunterricht der Oberstufe, Gerhard Adam

[3] Erfahrungen und Eindrucke aus einem Praktikum am physikalischenInstitut der Universitat Mainz (ETAP)

[4] v.Mangoldt und Knopp: Einfuhrung in die hohere Mathematik 17.Auf-lage (S.Hirzel - 1990)

[5] Prof. Dr. K. Spallek: Kurven und Karten, 2.Auflage (BI-Wissenschaftsverlag - ?)

[6] Kleine Enzyklopadie Mathematik, 2.Auflage (Harri Deutsch 1980)

[7] Lexikon der Schulmathematik, Band 4 (Aulis Verlag Deubner 1978)

[8] Prof. Dr. K. Knopp: Elemente der Funktionentheorie (SammlungGoschen 1966)

[9] H.Pieper : Die komplexen Zahlen (Harri Deutsch 1988)

[10] Ebbinghaus et. al.: Zahlen, 3.Auflage (Springer 1992)

[11] H. Dittmann: Komplexe Zahlen, 4.Auflage (BSV Mathematik - 1981)

[12] Ilse Rapsch: Komplexe Zahlen und ihre Abbildungen ( Franzbecker -1992)

[13] Gerthsen, Vogel: Physik, 17.Auflage (Springer - 1993)

[14] The Feynman Lectures on Physics, 3.Auflage (Addison Wesley - 1967)

[15] Hans Joachim Kowalsky: Lineare Algebra, 5.Auflage (de Gruyter Lehr-buch - 1970)

[16] Gerd Fischer: Lineare Algebra, 13.Auflage (Vieweg Studium 2002)

[17] Karlheinz Spallek: Kurven und Karten, 2.Auflage (BI Wissenschafts-verlag 1994)

Page 76: Komplexe Zahlen

76 LITERATURVERZEICHNIS

[18] Otto Forster: Analysis 1,2,3, 5.Auflage (Vieweg Studium 1999)

[19] Hahn, Dzewas: Lineare Algebra, Analytische Geometrie, 1. Auflage(Westermann - 1992)

[20] Heinz Bachmann: Vektorgeometrie, 1. Auflage (Diesterweg Salle/Sabe- 1972)

[21] W. Kroll, Grund und Leistungskurs Analysis Band1: Differentialrech-nung 1, (Dummler - 1985)

[22] Heinz Griesel, Helmut Postel: mathematik heute - Leistungskurs Ana-lysis (Schroedel - 1992)

[23] Friedrich Freytag: Das regulare Siebzehneck, DdM 3, 1992 (188-213)

[24] Herbert Zeitler: Was haben Rollkurven und Mandelbrotmengen mitein-ander zu tun ?, Ddm 4, 1995 (276-289)

[25] Fritz Schweiger: Chaotische dynamische Systeme, DdM 4, 1995 (290-309)

[26] Othma Schmid: Mandelbrotmenge zur logistischen Funktion, PM 5/411999 (203-209)

[27] Othma Schmid: Verallgemeinerte Mandelbrot- und Juliamengen, PM2/39 1997 (60-67)

[28] Herbert Zeitler: Miszellen Mandelbrotmengen, PM 3/39 1997 (118-120)