FraktaalitArttu Holopainen, Justus Laitinen, Mika Mki, Alpi Tolvanen

YleisestiFraktaali on rekursiivisesti toistuva kuvio tai matemaattinen sarja. Useimmissa fraktaaleissa, varsinkin luonnossa, rekursiivisuus on eptydellist eli siskkiset kopiot eivt ole tysin samanlaisia kuin alkuperinen. Monet matemaattiset fraktaalit ovat kompleksifunktioiden muodostamia joukkoja ja niist tunnetuin on taustalla nkyv Mandelbrotin sarja.MatematiikkaUseimmat matemaattiset fraktaalit saadaan iteroimalla yksinkertaista funktiota. Kaksiulotteisilla fraktaaleilla on tyypillisesti retn piiri, mutta rajallinen pinta-ala.

Hausdorff-dimensio kuvaa kappaleen yksityiskohtaisuutta suhteessa sen kokoon.

Suoralle viivalle se on 1, tasolle 2 ja kolmiulotteiselle kappaleelle 3. Fraktaalisille kappaleille se voi kuitenkin olla muu kuin kokonaisluku, ja esimerkiksi Sierpinskin kolmiolle se on vain
, sill iteroidessa jokaisen kolmion sivuilta (3) poistetaan kolmiot, joissa sivujen pituus on puolitettu (1/2).

Ers fraktaalisuuden ominaisuus on -kohina, joka pienenee taajuuden kasvaessa. Samankaltaisia poikkeamia ilmenee siis mittakaavasta riippumatta eli rekursiivisesti.Kytnnn fraktaalitMonet luonnonilmit noudattavat yksinkertaisia lakeja ollen kuitenkin samalla kaoottisia. Seurauksena niit on klassisten mallien sovittaminen niihin tuottaa eptarkkoja tuloksia, mutta fraktaaliset mallit kuvaavat tllaisia tilanteita hyvinkin tarkasti. Luonnon fraktaaleihin lukeutuvat lumihiutaleet, joet, DNA [3], kasvien johtosolukot (vesisuonet) ja elinten aivot, keuhkot ja verisuonistot. Mys monet ihmisen toimintojen poikkeamat skaalautuvat fraktaalisesti ( -kohina), esimerkkein kvely, sydmen syke ja musiikin tuottaminen [4].

Luonnon fraktaalisuus johtuu usein siit, ett se maksimoi kytettvn pinta-alan suhteessa tilavuuteen ja tst on hyty esimerkiksi keuhkoissa ja verisuonissa. Lisksi se yksinkertaistaa tarvittavaa geneettist informaatiota.

Monet ihmiskunnan luomukset ilmentvt fraktaalisia ominaisuuksia, esimerkiksi internetin pakettiliikenteess on havaittavissa 1/f-kohinaa laajalla aikaskaalalla [5].Hausdorff-dimensioita [1]Kochin lumihiutale1,2619

Sierpinskin kolmio1,5850

Mandelbrotin sarja2

Julia-sarja2

Sierpinskin pyramidi2,5850

Parsakaali [2]2,7

Ihmisaivojen pinta2,79

Kukkakaali[2]2,8

Ihmiskeuhkojen pinta2,97

Lhteet[1] List of fractals by Hausdorff dimension, Wikipedia[2] Fractal dimensions of a green broccoli and a white cauliflower, Sang-Hoon Kim, 2008[3] Fractals and Hidden Symmetries in DNA, Carlo Cattani, 2010[4] Fluctuations of Hi-Hat Timing and Dynamics in a Virtuoso Drum Track of a Popular Music Recording, Esa Rsnen, Otto Pulkkinen, Tuomas Virtanen, Manfred Zollner, Holger Hennig, 2015[5] Self-similar and fractal nature of Internet traffic, D. Chakraborty, A. Ashir, T. Suganuma G. Mansfield Keei, T. K. Roy, N. Shiatori, 2009[6] High resolution bifurcation (orbit) map for the Logistic Equation, Wikipedia

TexMaths32displayc \in M \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} |z_{n+1}| \leq 2: \quadz_{n+1} = z_n^2 + csvg600TRUE

Pisteen ollessa muotoa
iterointikertojen mr lhestyy

Kukkakaalin rakenne on fraktaalinen ja Hausdorff-dimensioltaan noin 2,8 [2]TexMaths28display\dfrac{1}{4} + 10^{-n}svg600TRUE

TexMaths28display\pi \cdot 10^{n-1}svg600TRUE

MandelbrotFraktaaleista tunnetuin on taustalla nkyv Mandlebrotin joukko. Siihen kuuluvat kompleksiluvut c, joilla funktion arvo on iteraatioiden jlkeen alle 2 eli matemaattisessa muodossa:

TexMaths28display\dim_H = \dfrac{\log(jakautumat)}{\log(pienenmiskerroin)}svg600TRUE

TexMaths28display1/fsvg600TRUE

TexMaths28display\log(3) / \log(2) \approx 1,5850svg600TRUE

Sierpinskin pyramidi, jonka sivut ovat Sierpinskin kolmioita

TexMaths28display\dim_H = \log(6) / \log(2) \approx 2,5850svg600TRUE

0,5 ei kuulu Mandelbrotiin:0^2 + 0,5 = 0,50,5^2 + 0,5 = 0,750,75^2 + 0,5 = 1,06251,062^2 + 0,5 = 1,6281,628^2 + 0,5 = 3,153 > 2

0,2 kuuluu Mandelbrotiin:0 + 0,2 = 0,20,2^2 + 0.2 = 0,240,24^2 + 0.2 = 0,2580,258^2 + 0.2 = 0,2570,257^2 + 0.2 = 0,2570,257^2 + 0.2 = 0,257arvo pysyy < 2

-0,9 kuuluu Mandelbrotiin ja lhenee kahta arvoa:(-0,101)^2-0,9 =-0,899(-0,899)^2-0,9 =-0,101

-1,35 kuuluu Mandelbrotiin ja vaihtelee neljn arvon vlill

Vasemmalla on visualisoitu neljn eri reaaliluvun kuulumista Mandelbrotin joukkoon. Luku kuuluu joukkoon, jos iteraatioiden kasvaessa sen itseisarvo pysyy alle kahden.Oikealla on kuvattu vrill, kuinka monen arvon vlill arvo vaihtelee iteroidessa

Oikealla alhaalla on mys yhdistetty janoilla pisteiden sadan ensimmisen iteraation arvoja2

1

3

3

4

Ylhll [6] on Feigenbaumin attraktori, logistinen kartta eli kaaosfunktio:

ja oikealla se on laajennettuna kompleksitasoonlhtarvolla
siten, ett r on kompleksitason piste. Huomataan, ett tietyll tarkennusasteella kuvaaja muistuttaa Mandelbrotin joukkoa.TexMaths28displayx_{n+1} = r \cdot x_n (1-x_n)svg600TRUE

TexMaths28displayx_0 = 0,5svg600TRUE

1

2

4

3

6

TexMaths28display1/fsvg600TRUE