0

MAKALAH

PROGRAM LINEAR

“ METODE SIMPLEKS ”

Disusun Oleh :

Kelompok 4 (Empat)

Anggia Murni (4131230002)

Muhammad Adi Rianta (4131230007)

Muhammad Ridwan Mukti (4133230022)

Nila Aulia (4133230028)

Ria Rahmadita Surbakti (4131230008)

Romanus Relawan Waruwu (4132230017)

Rony Genevent (4133230032)

Vivi Milan Nababan (4132230018)

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

T.A 2015/2016

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan

rahmat-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah “Metode Simpleks”. Kami

ucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah PROGRAM LINEAR

yang telah menuntun kami untuk menyelesaikan makalah ini. Terakhir kami

ucapkan terimakasih kepada teman – teman dan semua pihak yang telah

membantu dalam diskusi untuk menyelesaikan makalah ini. Kami berharap

makalah ini dapat membantu dalam menyelesaikan tugas ataupun pekerjaan yang

kita lakukan.

Medan, Maret 2015

Kelompok 4

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.......................................................................................................... 0

DAFTAR ISI ....................................................................................................................... 2

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................... 3

A. Latar Belakang ............................................................................................................. 3

B. Rumusan Masalah ........................................................................................................ 4

C. Tujuan .......................................................................................................................... 4

BAB II PEMBAHASAN ...................................................................................................... 5

1. Masalah Maksimasi ...................................................................................................... 5

2. Kendala (Syarat) Bertanda “ = ” ................................................................................. 14

3. Masalah Minimumisasi .............................................................................................. 20

4. Masalah Primal dan Dual ........................................................................................... 24

5. Degeneracy ................................................................................................................ 30

BAB III PENUTUP ........................................................................................................... 32

1. Kesimpulan ................................................................................................................ 32

2. Saran .......................................................................................................................... 32

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 33

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan

masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear

merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model

matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang

kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu

dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan

pemrograman linear sebagai alat analisisnya.

Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah

keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala

bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada

penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang

tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan

menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi

saat menggunakan metode simpleks.

Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali

oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada

penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan

bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan

solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier

programming.

Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-

ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart)

sehingga solusi optimal tercapai.

Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan

menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi

sebelumnya.

4

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai

berikut:

1. Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode

simpleks?

2. Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?

3. Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode

simpleks?

4. Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam

program linear?

5. Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?

C. Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :

Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear

Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program

linear

Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear

Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam

program linear

Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program

linear

5

BAB II

PEMBAHASAN

1. Masalah Maksimasi

Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus

lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan

adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi

dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari atau sama dengan (

≤ ) yang menunjukkan keterbatasan sumber daya yang tersedia. Untuk bentuk-

bentuk lain seperti masalah minimisasi maupun penyimpangan–penyimpangan

lain dalam batasan-batasan yang berlaku akan dibicarakan tersendiri.

Berikut merupakan langkah-langkah menggunakan metode simpleks yaitu :

Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

Menyusun persamaan-persamaan di dalam table

Memilih kolom kunci

Memilih baris kunci

Merubah nilai-nilai pada baris kunci

Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Melanjutkan perbaikan/pengulangan/iterasi

Contoh 1:

Maksimumkan 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2

Batasan (constrain) (1) 2𝑥1 ≤ 8

(2) 3𝑥2 ≤ 15

(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30

Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

Fungsi tujuan

6

𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 diubah menjadi 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0

Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel)

(1) 2𝑥1 ≤ 8 menjadi 2𝑥1 + 𝑥3 = 8

(2) 3𝑥2 ≤ 15 menjadi 3𝑥2 + 𝑥4 = 15

(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 menjadi 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30

Fungsi tujuan : Maksimumkan 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0

Fungsi batasan (1) 2𝑥1 + 𝑥3 = 8

(2) 3𝑥2 + 𝑥4 = 15

(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30

Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel

Beberapa istilah dalam Metode Simpleks yaitu :

NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama

dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan

3 sebesar 30.

Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari

persamaan. Pada persamaan 2𝑥1 + 𝑥3 = 8, kalau belum ada kegiatan apa-

apa, berarti nilai𝑥1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka

pengangguran ada 8 satuan, atau nilai 𝑥3 = 8. Pada tabel tersebut nilai

variabel dasar 𝑥3, 𝑥4,𝑥5 pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini

harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif

𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 diubah menjadi 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0.

(1) 2𝑥1 ≤ 8 menjadi 2𝑥1 + 𝑥3 = 8

(2) 3𝑥2 ≤ 15 menjadi 3𝑥2 + 𝑥4 = 15

(3) 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 menjadi 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥5 = 30

7

Maka tabel simpleks yang pertama yaitu sebagai berikut :

Variabel

Dasar

𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8

𝑥4 0 0 3 0 1 0 15

𝑥5 0 6 5 0 0 1 30

Langkah 3: Memilih kolom kunci

Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel

simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang

bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom 𝑥2 dengan nilai

pada baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda segi empat pada kolom 𝑥2, seperti

tabel berikut

Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama

Variabel

Dasar

𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0

8

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8

𝑥4 0 0 3 0 1 0 15

𝑥5 0 6 5 0 0 1 30

Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan,

berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).

Langkah 4: Memilih baris kunci

Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel

simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai

pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

𝑰𝒏𝒅𝒆𝒌𝒔 = (𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑲𝒐𝒍𝒐𝒎 𝑵𝑲)

(𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒖𝒏𝒄𝒊)

Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8

0= ∞, baris batasan 2 =

15

3= 5,

dan baris batasan 3 = 30

5= 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan

angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri

tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga

masuk dalam baris kunci disebut angka kunci.

Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci,

seperti tabel dibawah ini. bagian bawah 0

3= 0 ;

3

3= 1 ;

0

3= 0 ;

1

3=

1

3;

0

3= 0;

15

3=

5 . Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian

atas kolom kunci (𝑥2).

Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci

9

Variabel Dasar Z 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

Keterangan

(indeks)

𝑍 1 -3 -5 0 0 0 0

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8 8/0 = ∞

𝑥4 0 0 3 0 1 0 15 15/3 = 5

𝑥5 0 6 5 0 0 1 30 30/5 = 6

Z

𝑥3

𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 15/3

𝑥5

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Dengan menggunakan rumus berikut

𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

× 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

Baris pertama (Z)

[-3 -5 0 0 0, 0 ]

10

(-5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [-3 0 0 5/3 0, 25]

Baris ke-2 (batasan 1)

[2 0 1 0 0, 8 ]

(0) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [2 0 1 0 0, 8]

Baris ke-4 (batasan 3)

[ 6 5 0 0 1, 30 ]

(5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [ 6 0 0 -5/3 1, 5 ]

Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru

Variabel Dasar 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8

𝑥4 0 0 3 0 1 0 15

11

𝑥5 0 6 5 0 0 1 30

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8

𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 5

𝑥5 0 6 0 0 -5/3 1 5

Langkah 7: Melanjutkan perbaikan

Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk

memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru

berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai

negatif

Variabel

Dasar 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

Keterangan

(Indeks)

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

𝑥3 0 2 0 1 0 0 8 = 8/2 = 4

𝑥4 0 0 1 0 1/3 0 5

𝑥5 0 6 0 0 -5/3 1 5 = 5/6 (minimum)

Z 1

12

𝑥3 0

𝑥2 0

𝑥1 0 6/6 0 0 -5/18 1/6 5/6

Nilai baru

Baris ke-1

[-3 0 0 5/3 0, 25 ]

(-3) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

Nilai baru = [ 0 0 0 5/6 ½, 271/2]

Baris ke-2 (batasan 1)

[ 2 0 1 0 0, 8 ]

(2) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

Nilai baru = 0 0 1 5/9 -1/3, 61/3]

Baris ke-3 tidak berubah karena nilai pada kolom kunci = 0

[ 0 1 0 1/3 0, 5 ]

(0) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

13

Nilai baru = 0 1 0 1/3 0, 5]

Tabel simpleks final hasil perubahan

Variabel

Dasar 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 NK

Z 1 0 0 0 5/6 ½ 271/2

𝑥3 0 0 0 1 5/9 -1/3 61/3

𝑥2 0 0 1 0 1/3 0 5

𝑥1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat

dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal

Dari tabel final didapat

𝑥1 = 5

6

𝑥2 = 5

𝑍𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 271

2

14

2. Kendala (Syarat) Bertanda “ = ”

Kendala berbentuk sama dengan (=) juga tidak memiliki variabel basis.

Oleh karena itu tambahkan satu variabel basis semu, agar table awal simpleks

dapa dibentuk.

Misalkan,2𝑥1 + 4𝑥2 = 20 , dapat diubah menjadi 2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑄 = 20, dimana

Q adalah variabel basis semu.

Meskipun semua kendala telah memiliki variabel basis, tetapi penambahan

variabel semu tersebut bukan penyelesaian yang fisibel bagi masalah aslinya.

Variabel semu harus dikurangi nilainya hingga menjadi nol. Ada dua metode yang

dapat dilakukan untuk mengnolkan variabel semu yaitu :

1. Metode M besar

2. Metode dua fase (dua tahapan)

Metode M Besar

Dalam metode ini, koefisien fungsi tujuan untuk variabel semu diberi nilai

yang sangat besar yaitu negatif M atau – M untuk fungsi tujuan maksimum dan

positif M atau + M untuk fungsi tujuan minimum.

Contoh 2 Masalah variabel semu

Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :

Maksimum 𝑍 = 50𝑥1 + 80𝑥2

d.k 1. 𝑥1 ≤ 40

2. 𝑥2 ≥ 20

3. 𝑥1 + 𝑥2 = 50

4.𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut:

Maksimum 𝑍 = 50𝑥1 + 80𝑥2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 − 𝑀𝑄1 – 𝑀𝑄2

d.k 1. 𝑋1 + 𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑄1 + 0𝑄2 = 40

2. 𝑥2 + 0𝑆1 − 𝑆2 + 𝑄1 + 0𝑄2 = 20

3. 𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑄1 + 𝑄2 = 50

4. 𝑥1, 𝑥2 , 𝑆1, 𝑆2, 𝑄1, 𝑄2 ≥ 0

15

Tabel awal simpleks dapat dibuat seperti berikut ini:

Tabel awal simpleks Metode M besar

CB Vrb. basis

Cj

bj

50 80 0 0 -M -

M Indeks

X1 x2 s1 s2 Q1

Q2

0

-M

-M

S1

Q1

Q2

Zj - Cj

40

20

50

-70M

1 0 1 0 0 0

0 1 0 -1 1 0

1 1 0 0 0 1

-M-50 -2M-80 0 M 0

0

40/0 = ~

20/1 =

20

50/1 =

50

Nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj Tabel di atas diisi dengan menggunakan

cara sebagai berikut:

Z = [0, -M, -M] 402050

- 0 = 0 – 20M – 50M = - 70M

Z1 = [0, -M, -M] 101 - 50 = 0 – M – 50 = - M - 50

Z2 = [0, -M, -M] 011 - 80 = 0 – M – M - 80 = - 2M - 80

Z4 = [0, -M, -M] 0−10 - 0 = 0 + M + 0 = M

Dan seterusnya.

Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks terdahulu,

penyelesaian contoh ke-2 dapat dilihat berikut ini.

Tabel iterasi 1

16

CB Vrb. basis

Cj

bj

50 80 0 0 -M -

M Indeks

x1 x2 s1 s2 Q1

Q2

0

80

-M

S1

x2

Q2

Zj - Cj

40

20

30

-

30M+1.600

1 0 1 0 0 0

0 1 0 -1 1 0

1 0 0 1 -1 1

-M-50 0 0 -M-80 2M+80

0

40/0 = ~

20/-1=-20

30/1 = 30

Tabel Iterasi 2 (Optimum)

CB Vrb. basis Cj

bj

50 80 0 0 -M -M Indeks

x1 x2 s1 s2 Q1 Q2

0

80

0

S1

x2

s2

Zj - Cj

40

50

30

4000

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 -1 1

30 0 0 0 M M+80

Solusi optimum dicapai apabila 𝑥1 = 0 dan 𝑥2 = 50, dengan nilai Z = 4.000

Metode dua fase

Dalam metode dua fase, penyelesaian dipisahkan menjadi dua tahapan.

Setiap tahapan menggunakan tabel simpleks dan proses kerjanya tetap

menggunakan langkah-langkah metode simpleks.

Fase 1

Tahapan pertama bertujuan untuk mngnolkan/menghilangkan variabel

semu, dengan cara membuat fungsi tujuan semu. Fungsi tujuan semu memiliki

jumlah variabel sama dengan jumlah variabel semuanya. Kemudian fungsi tujuan

semu dimaksimumkan dengan table simpleks. Koefisien fungsi tujuan untuk

variabel semu diberi nilai minus satu atau (-1) jika fungsi tujuan maksimum dan

17

plus satu atau (+1) jika fungsi tujuan minimum. Fase satu berakhir apabila fungsi

tujuan semu memiliki nilai nol. Proses dilanjutkan ke fase ke-dua.

Lihat kembali Contoh 2 di atas. Jumlah variabel semu ada dua yaitu Q1

dan Q2. Oleh karena itu fungsi tujuan semunya adalah maksimum Z= - Q1 - Q2.

Fungsi tujuan semu ini kita maksimumkan , sehingga penyelesaian fase pertama

nampak sebagai berikut.

Tabel Awal

CB Vrb. basis

Cj

bj

0 0 0 0 -1 -1

Indeks x1 x2 s1 s2 Q1 Q2

0

- 1

- 1

S1

Q1

Q2

Zj - Cj

40

20

50

-70

1 0 1 0 0 0

0 1 0 -1 1 0

1 1 0 0 0 1

-1 -2 0 1 0 0

40/0 = ~

20/1 = 20

50/1 = 50

Tabel Iterasi 1 Fase Pertama

CB Vrb. basis

Cj

bj

0 0 0 0 -1 -1

Indeks x1 x2 s1 s2 Q1 Q2

0

0

- 1

S1

x2

Q2

Zj - Cj

40

20

30

-30

1 0 1 0 0 0

0 1 0 -1 1 0

1 0 0 1 -1 1

-1 0 0 -1 2 0

40/0 = ~

20/-1 = -20

30/1 = 30

Tabel Iterasi 2 Fase Pertama (Optimum)

CB Vrb. basis

Cj

0 0 0 0 -1 -1 Indeks

x1 x2 s1 s2 Q1 Q2

18

bj

0

0

0

S1

x2

s2

Zj - Cj

40

50

30

30

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 -1 1

1 0 0 0 1 1

Pada table di atas (optimum) fungsi tujuan semu sudah di optimumkan, dan

variabel semu Q1 dan Q2 sudah keluar dari basis. Proses dapat dilanjutkan ke fase

ke-dua.

Apabila variabel semu masih berada dalam basis dengan nilai positif, maka

persoalan tersebut tidak layak. Mungkin kesalahan dalam proses perhitungan atau

kesalahan dalam formulasi LP. Proses tahap kedua tidak perlu dilanjutkan.

Fase 2

Tabel akhir fase pertama merupakan tabek awal fase kedua. Kemudian

dioptimalkan dengan memasukkan fungsi ujuan aslinya. Karena pada fase

pertama kita telah mengnolkan variabel semu, maka pada fase kedua variabel

semu tidak perlu disertakan lagi dalam table (dihilangkan). Lihat table awal fase

kedua berikut ini.

Tabel awal fase kedua

CB Vrb. basis Cj

bj

50 80 0 0 Indeks

x1 x2 s1 s2

0

80

0

S1

x2

s2

Zj - Cj

40

50

30

4.000

1 0 1 0

1 1 0 0

1 0 0 1

30 0 0 0

Setelah koefisien fungsi tujuan asli dimasukkan ke dalam table awal fase

kedua, secara langsung table awal tersebut menunjukkan table optimum. Karena

nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj ≥ 0. Solusi optimum adalah x1 = 0 dan x2 =

50.

19

Membandingkan metode M besar dengan metode dua fase, dapat

disimpulkan bahwa kedua metode sama-sama menggunakan variabel semu.

Perbedaan terletak pada tahapan penyelesaian. disamping itu Metode M besar

perhitungannya lebih rumit. Hal ini yang perlu diperhatikan dalam penggunaan

metode M besar dan dua fase adalah :

1. Variabel semu hanya ditambahkan untuk mendapatkan pemecahan awal yang

fisibel. Jika kita menggunakan program komputer seperti QSB (Quantitative

System for Business), maka penambahan variabel semu tidak perlu dilakukan,

karena QSB sudah diprogram sedemikian rupa dalam menghadapi berbagai

macam bentuk kendala.

2. Apabila variabel semu telah keluar dari dalam basis, maka pada abel

berikutnya variabel semu tidak perlu muncul kembali.

3. Pada tabel optimum semua variabel semu harus keluar dari dalam basis. Jika

variabel semu masih terdapat dalam basis dengan nilai positif, maka

persoalan tidak layak.

20

3. Masalah Minimumisasi

Masalah minimisasi sangat mungkin ditemui di dalam formulasi LP

(Linear Program). Bagaimana menyelesaikan masalah LP jika fungsi tujuannya

berbentuk minimisasi? Misalkan fungsi tujuannya adalah : 𝑍 𝑀𝑖𝑛. = 40𝑥1 +

30𝑥2

Untuk menangani masalah ini, ada dua metode yang dapat dilakukan, yaitu:

Meode 1

Mengubah fungsi tujuan minimum menjadi maksimum. Caranya adalah

mengalikan fungsi tujuan minimum dengan minus satu. Misalkan, fungsi tujuan

𝑍 𝑀𝑖𝑛. = 40𝑥1 + 25𝑥2, diubah maksimum menjadi: − 𝑍 ∗ 𝑚𝑎𝑘. = 𝑍 =

40𝑥1 + 25𝑥2.

Jika cara ini dilakukan , maka berlaku ketentuan sebagai berikut ini.

1. Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj

– Cj ≤ 0.

2. Pada table awal, nilai pada baris Zj – Cj yang berkorespondensi dengan

variabel keputusan bertanda positif.

3. Kolom kunci dipilih dari nilai positif terbesar.

4. Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan

negatif.

Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.

Contoh 1. Masalah Minimisasi Produk Mix

Sebuah masalah LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :

Minimum 𝑍 = 40𝑥1 + 25𝑥2

d.k

3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 150

8𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 200

𝑥1 ≥ 0

𝑥2 ≥ 0

Formulasi LP di atas dapat diubah menjadi bentuk standar dengan fungsi

tujuan diubah menjadi bentuk maksimum.

21

𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 – 𝑍 ∗ = 𝑍 = − 40𝑥1 − 25𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2

d.k 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆1 + 0𝑆2 = 150

8𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑆1 + 𝑆2 = 200

u.h 𝑥1,𝑥2, 𝑆1, 𝑆2 ≥ 0

Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks, penyelesaian

masalah minimisasi produk mix adalah sebagai berikut.

Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi

CB

Vrb.

basis

Cj

bj

-40 -25 0 0

Indeks X1 x2 s1 s2

0

0

S1

S2

Zj - Cj

150

200

0

3 2 1 0

8 2 0 1

40 25 0 0

150/3 = 50

200/8 = 25

Tabel Iterasi 1

CB Vrb.

basis

Cj

bj

-40 -25 0 0 Indeks

X1 x2 s1 s2

0

-40

S1

X1

Zj - Cj

75

25

-1000

0 1,25 1 -3/8

1 0,25 0 1/8

0 15 0 -5

75/1,25 = 60

25/0,25 = 100

Tabel Iterasi 2 (Optimum)

CB Vrb.

basis

Cj

bj

-40 -25 0 0 Inde

ks X1 x2 s1 s2

-25

-40

X2

X1

Zj - Cj

60

10

-1.900

0 1 0,8 -0,3

1 0 -0,2 0,2

0 0 -12 -0,5

Hasil tabel iterasi ke-2, menunjukkan bahwa solusi optimum adalah:

22

𝑥1 = 10, dan 𝑥2 = 60.

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑛 𝑍 = −𝑍 ∗ = −40(10) – 25(60)

= −(−1.900) = 1.900

Metode 2

Dalam metode ini, kita tidak melakukan perubahan bentuk fungsi tujuan,

tetapi secara langsung fungsi tujuan minimum dimasukkan dalam table (tetap

seperti aslinya).

Jika cara ini dilakukan, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

1. Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj -

Cj ≥ 0

2. Oleh karena fungsi tujuan berbentuk minimum, maka kolom kunci dipilih

nilai negatif terkecil yang terdapat pada baris Zj - Cj

3. Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan

negatif.

4. Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.

Lihat kembali contoh 1 di atas. Bentuk standar masalah minimisasi produk mix

adalah sebagai berikut:

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑍 = 40𝑥1 + 25𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2

d.k 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆1 + 0𝑆2 = 150

8𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑆1 + 𝑆2 = 200

u.h 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1, 𝑆2 ≥ 0

Jika bentuk standar tersebut diselesaikan menurut metode 2, hasilnya adalah

sebagai berikut:

Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi

CB Vrb. basis Cj

bj

-40 -25 0 0 Indeks

X1 x2 s1 s2

0

0

S1

S2

Zj - Cj

150

200

0

3 2 1 0

8 2 0 1

-40 -25 0 0

150/2 = 75

200/2 = 100

23

Tabel Iterasi 1

CB Vrb. basis Cj

bj

-40 -25 0 0 Indeks

X1 x2 s1 s2

0

0

X2

S2

Zj - Cj

75

50

1.875

1,5 1 0.5 0

5 0 -1 1

-5/2 0 12,5 0

75/1,5 = 50

50/5 = 10

Tabel Iterasi 2 (optimum)

CB Vrb. basis

Cj

bj

-40 -25 0 0

Indeks X1 x2 s1 s2

25

40

X2

X1

Zj - Cj

60

10

1.900

0 1 0,8 -0,3

1 0 -0,2 0,2

0 0 12 0,5

Tabel optimum kedua metode tersebut menunjukkan hasil yang sama, yaitu

𝑥1 = 10 unit dan 𝑥2 = 60 unit dengan total nilai 𝑍 = 𝑅𝑝 1.900,00.

24

4. Masalah Primal dan Dual

Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting

dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang

melatarbelakangi teori ini adalah bahwa setiap persoalan programa linier

mempunyai suatu programa linier lain yang saling berkaitan yang disebut “dual”,

sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut "primal”) juga

memberi solusi pada dualnya.

Pendefinisian dual ini akan tergantung pada jenis pembatas, tanda-tanda

variabel, dan bentuk optimasi dari persoalan primalnya. Akan tetapi, karena setiap

persoalan programa linier harus dibuat dalam bentuk standar lebih dahulu sebelum

modelnya dipecahkan , maka pendefinisian dibawah ini akan secara otomatis

meliputi ketiga hal di atas.

Bentuk umum masalah primal dual adalah sebagai berikut :

25

Kalau kita bandingkan kedua persoalan di atas, ternyata terdapat

korespondensi antara primal dengan dual sebagai berikut :

1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual,

sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi

dual.

2. Untuk tiap pembatas primal ada satu variaebl dual, dan untuk setiap variabel

primal ada satu pembatas dual.

3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.

4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya).

5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada

dual.

6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada

dual.

7. Dual dari dual adalah primal.

Hubungan Primal Dual

Nilai tujuan dalam suatu pasangan masalah primal dan dual harus

memenuhi hubungan berikut ini :

1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dual yang layak

2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah

26

Untuk menjelaskan hubungan antara primal dan dual, perhatikan ilustrasi berikut

ini :

Soal ini kita selesaikan melalui penyelesaian dualnya, yakni :

Karena soal ini hanya terdiri dari dua choice variabel sehingga dapat

diselesaikan dengan metode grafis, namun soal ini kita selesaikan dengan metode

simpleks, sebab dengan cara ini dari tabel akhir dapat kita baca jawaban untuk

persoalan primalnya. Untuk ini bentuk constraint di atas diubah dulu menjadi

persamaan dengan memasukkan slack variable t1, t2, dan t3 (untuk primal

problem ; slack/surplus variable kita pakai lambang S), yakni :

Sedangkan fungsi objectivenya ditulis dalam bentuk :

Dengan demikian penyelesaian dari persoalan diatas adalah sebagai berikut :

27

Karena pada tabek di atas tidak terdapat lagi entry negatif pada baris w, maka

tabel ini merupakan tabel akhir dan fungsi objective telah mencapai nilai optimal,

yakni :

𝑊𝑚𝑎𝑥 = 540 untuk 𝑦1 = 5 unit, 𝑦2 = 3 unit dan 𝑡3 = 17 unit, yakni bahan

yang tidak terpakai dari konstraint ketiga, sedangkan 𝑡1 = 𝑡2 = 0.

Dari tabel ini dapat kita baca nilai 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑑𝑎𝑛 𝑥3 dari primal problem, yakni :

𝑥1 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡1 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥1 = 15

𝑥2 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡2 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥2 = 10

𝑥3 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑦 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑡3 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑤, sehingga 𝑥3 = 0

Nilai shoice variable dari primal ini kalau kita masukkan pada fungsi objective

dari primal harus cocok = 540, yakni :

𝑍 = 16𝑥1 + 30𝑥2 + 36𝑥3

= 16 (5) + 30 (10) + 36 (0) = 540

𝑧𝑚𝑖𝑛 = 𝑤𝑚𝑎𝑥

28

Sifat-sifat primal dua penting untuk dipahami terutama pada saat kita

membicarakan masalah analisis sensitivitas. Dengan menggunakan sifat-sifat ini

kita dapat menentukan nilai variabel-variabel tertentu dengan cara yang sangat

efisien. Ada empat sifat yang perlu diketahui, yaitu :

Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal.

Pada setiap iterasi solusi simpleks, baik primal maupun dual, koefisien fungsi

tujuan variabel-variabel basis awalnya dapat dicari dengan cara :

a. Mengalikan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis pada

iterasi yang bersangkutan dengan matriks di bawah variabel basis awal pada

iterasi yang bersangkutan. Koefisien ini biasa disebut simplex multiplier.

b. Kurangi nilai-nilai simplex multiplier ini dengan fungsi tujuan yang original

dari variabel-variabel basis awal.

Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel nonbasis awal.

Pada setiap iterasi dari persoalan primal, koefisien fungsi tujuannya dapat

ditentukan dengan menyubstitusikan simplex multiplier pada variabel-variabel

pembatas dari dual, kemudian mencari selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari

pembatas dual tersebut.

Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis.

Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, nilai ruas kanan (kolom

solusi) variabel-variabel basis pada iterasi yang bersangkutan dapat ditentukan

dengan cara sebagai berikut :

29

Sifat 4 : Menentukan koefisien pembatas.

Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, koefisien pembatas dari

setiap variabel dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

Contoh : Maksimumkan : 𝑍 = 4𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3

Berdasarkan pembatas : 4𝑥1 − 4𝑥2 ≤ 5

−𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 5

−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 5

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

Salah satu iterasi dari persoalan di atas adalah sebagai berikut :

Tentukanlah harga-harga a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, dan t

dengan menggunakan sifat-sifat primal dual.

30

5. Degeneracy

Suatu pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi jika satu atau

lebih peubah dasarnya memiliki nilai nol. Untuk melihat bagaimana terjadinya

degenerasi pemrograman linear, perhatikan perubahan nilai sisi sebelah kanan dari

kendala waktu perakitan pada masalah PT. Maju Terus. Modifikasi linearnya

diperlihatkan sebagai berikut:

Maksimumkan Z = 50x1 + 40x2

Dengan kendala

3x1 + 5x2 ≤ 175 waktu perakitan

x2 ≤ 20 monitor portable

8x1 + 5x2 ≤ 300 kapasitas gedung

x1, x2 ≥ 0 tak negatif

Tabel 2.7. Tabel simpleks setelah iterasi pertama

Dasar CB

x1 x2 S1 S2 S3 B

50 40 0 0 0

S1 0 0 25/8 1 0 -3/8 125/2

S2 0 0 1 0 1 0 20

x1 50 1 5/8 0 0 1/8 75/2

zj 50 250/8 0 0 0 1875

cj – zj 0 70/8 0 0 0

Entri dalam baris evaluasi bersih menunjukkan bahwa x2 harus memasuki

dasar itu. Maka kita hitung rasio yang tepat untuk menentukan baris pivot,

diperoleh:

1 12 2 22 3 32

125/ 2 75/ 2/ 20, / 20 /1 20, / 60

25/8 5/8 b a b a b a , maka terlihat

hubungan antara baris pertama dan kedua. Ini merupakan indikasi bahwa kita

akan memiliki suatu degenerasi penyelesaian layak dasar pada iterasi berikutnya.

Tabel 2.8. Tabel simpleks setelah iterasi berikutnya

31

Dasar CB

x1 x2 S1 S2 S3

50 40 0 0 0

x2 40 0 1 8/25 0 -3/25 20

S2 0 0 0 -8/25 1 3/25 0

x1 50 1 0 -5/25 0 5/25 25

Zj 50 40 70/25 0 130/25 2050

cj – zj 0 0 -70/25 0 -130/25

Bilamana kita memiliki hubungan dalam rasio minimum /i ijb a , akan

selalu ada peubah dasar yang sama dengan nol dalam tabel berikutnya. Oleh

karena itu, kita tidak merekam endosikan untuk memperkenalkan langkah-

langkah khusus ke dalam metode simpleks guna menghapus kemungkinan

terjadinya degenerasi. Jika saat melakukan iterasi algoritma simpleks muncul

suatu hubungan untuk rasio minimum /i ijb a , maka kita hanya

merekomendasikan untuk memilih baris atas sebagai baris pivot.

32

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa program linier programming

digunakan sebagai alat bantu dalam pengambilan keputusan untuk

memaksimalkan ataupun meminimalkan hasil yang didapat.

2. Saran

Penulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak

kesalahan dan kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya

rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis

banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan

saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan

penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini

berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada

umumnya.

33

DAFTAR PUSTAKA

Fitriani. Metode Simpleks. UPI : Bandung

Hartanto, Eko. Metode Simpleks Dan BIG-M. Universitas Indonesia : Jakarta

Tim Dosen. Modul Program Linear . Universitas Negeri Medan : Medan

Widasari, Dian. Metode Simpleks Dalam Program Linear. STMIK Triguna

Dharma : Medan

http://lambang.files.wordpress.com/2010/03/03_metode-simplex.pdf

http://mathematica.aurino.com/wp-content/uploads/2008/10/simplex.pdf