Números Complejos y Formula de Euler.

Por: Camilo Andrés Ortiz Daza.

Introducción

Dada la dificultad de encontrar una solución real para la ecuación 𝑥2 + 1 = 0, los

matemáticos idearon una elegante solución a este problema. A continuación vamos a explicar

por qué dicha ecuación no tiene una solución real, sin embargo, empezaremos explicando

como resolver la siguiente ecuación cuadrática:

Imaginemos por ejemplo que tenemos 𝑥2 − 1 = 0, si factorizamos el miembro izquierdo de

la igualdad se obtiene que

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0

Los factores del miembro izquierdo se conocen como “las raíces de la ecuación”, al

reemplazar dichas raíces la ecuación se hace cero, en este caso ellas satisfacen la proposición

dada. De tal manera que

𝑥 + 1 = 0 ∧ 𝑥 − 1 = 0

Esto implica que

𝑥 = −1 ∧ 𝑥 = 1

Son las soluciones de la ecuación. Como se puede apreciar, al reemplazar −1 y 1 en la

igualdad, el miembro izquierdo de dicha ecuación se hace cero, es decir que las raíces

satisfacen la ecuación, convirtiéndose en la solución. No obstante, para la ecuación 𝑥2 + 1 =

0 la historia es un poco diferente, veamos por qué:

Despejemos a 𝑥 de la igualdad, esto implica pasar la unidad que está sumándose con 𝑥2 del

miembro izquierdo al derecho a restar, de tal manera que:

𝑥2 = −1 ⟶ 𝑥 = ±√−1

Da la impresión de que el resultado carece de sentido puesto que no existe ningún número

real que al elevarlo al cuadrado de −1, es decir, no existe ningún número que pertenezca al

conjunto de los números reales que permita expresar la √−1 como una cantidad real. Por

esta razón, los matemáticos crearon otro conjunto llamado “el conjunto de los números

complejos”, cuyas cantidades son expresadas en términos de la √−1.

Números Complejos.

Consideremos la √−1 como sigue:

𝑗 = √−1 , 𝑗 ∈ ℂ

En los libros de matemáticas la √−1 = 𝑖 pero en los de ingeniería la √−1 = 𝑗. Note que

dicha raíz puede ser escrita como

𝑧 = 0 + 𝑗

Esto indica solo una cosa, cómo 0 ∈ ℝ, entonces el número 𝑧 está compuesto por dos

componentes; uno real y otro imaginario, siendo el último 𝑗 respectivamente. En términos

generales el número z puede ser escrito como:

𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 Ec.1

Donde 𝑧 es conocido como un número complejo, no porque sea de difícil entendimiento sino

por su estructura matemática. La Ec.1 representa la forma rectangular del número, llamada

así porque se deriva de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo. El número complejo

puede ser representado como se indica en la siguiente figura:

Figura 1. Forma rectangular del número complejo. Elaboración Propia.

Otra forma de representar dicho número es hallando la magnitud de 𝑧 y su ángulo de

inclinación, es decir que

𝑧 = |𝑧|∠𝜃; |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 ∧ 𝜃 = tan−1 (𝑏

𝑎) Ec.2

La ecuación 2 se conoce como la forma polar del número complejo y se representa de la

siguiente forma:

Figura 2. Representación en forma polar del número complejo. Elaboración Propia.

Ahora, recuerde que de la trigonometría los catetos del triángulo pueden escribirse como

sigue:

𝑎 = |𝑧|cos 𝜃 Ec.3

𝑏 = |𝑧|sin 𝜃 Ec.4

Reemplazando Ec.3 y Ec.4 en Ec.1 se obtiene que

𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + jsin 𝜃) Ec.5

Para escribir a 𝑧 en su tercera y última forma es necesario recurrir a la famosa Identidad de

Euler.

Identidad de Euler.

La identidad de Euler es de gran utilidad al trabajar con números complejos puesto que

permite simplificar la forma rectangular en otra forma que llamaremos exponencial, la

identidad de Euler se escribe como sigue:

cos 𝜃 + jsin 𝜃 = 𝑒𝑗𝜃 Ec.6

Del mismo modo

cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃 = 𝑒−𝑗𝜃Ec.7

De las dos identidades se obtiene que

cos 𝜃 =𝑒𝑗𝜃+𝑒−𝑗𝜃

2 Ec.8

sin 𝜃 =𝑒𝑗𝜃−𝑒−𝑗𝜃

2𝑗 Ec.9

De esta manera el número 𝑧 puede ser escrito de forma exponencial como

𝑧 = |𝑧|𝑒𝑗𝜃 Ec.10

La representación gráfica del mismo se muestra de la siguiente manera:

Figura 3. Forma Exponencial del número complejo. Elaboración Propia.

Aplicaciones

Ingeniería eléctrica: sobre todo para el análisis de circuitos de potencia, cálculo de

impedancias y admitancias, redes trifásicas, circuitos de filtro, entre otras.

Ingeniería electrónica: para el análisis de circuitos electrónicos que involucren

dispositivos que almacenan energía y tengan respuesta en frecuencia, a su vez son

bastante útiles para el análisis y diseño de sistemas de control puesto que la mayor

parte de su teoría es basada en los números complejos, solo por citar algunas; función

de transferencia, reguladores, criterios de estabilidad, sintonización, entre otras.

Telecomunicaciones: la mayoría de circuitos de radio comunicaciones están

conformados por dispositivos que almacenan energía, de este modo aquí también hay

un lugar bastante amplio para los números complejos, parte de ello son el tratamiento

de señales analógicas y digitales, así como la modulación, transmisión, codificación,

entre otros.