RPG×幾何学RPG 世界の形状と距離について

東工大ロボット技術研究会

　学部三年　カイヤン　

自己紹介

٩( )ᐛ >و 数学さいこ～～～！

カイヤン@chijan_titech

∈𝑅𝑃𝐺王国∩数学の科学

RPG 研究 RPG に関する研究 ゲームバランスの数値解析、マップの縮尺など、ゲーム開発に直接的には関係しないところを考察する 今回は RPG 世界の形状と距離について考察

ワールドマップ・形状は長方形・対辺が互いに順平行に繋がっている・曲面はどんな形状か

球面？津田沼から経線に沿って移動すると極を通るロンドンから本初子午線に沿って移動しても同様 アレ？！

同じところを通らなくね？

球面？・長方形の地図では極が同じ地点とならない・実際地球は距離が正確な地図は作成できない・↑の証明はガウス曲率や基本量を使う・ RPG 世界は球面ではない

世界の繋ぎ方・ワールドマップ上のキャラの移動に注目・長方形の対辺が互いに順平行に繋がっている→ 長方形を丸めて糊付け→ ドーナツ型・よくある話

糊付け　 # とは・イデア界またはゲーム内の長方形をさあ接着してみろ、さあやってみろ！・ここをマジメに書いてるウェブ情報がない・数学的にどう議論するか？→ 点の同一視

商集合・商空間商集合：集合 A を同値関係～で互いに同値な元を同一視した集合 A/ ～。位相を入れて商空間例有向線分集合を「向きと長さが等しい」という同値関係で同一視したものが幾何ベクトルの集合

商集合・商空間ワールドマップの端っこの点を同一視する

商集合・商空間 を頂点とする、平面内の長方形 ABCD をとする。つまり

とする。ここにおいて関係を次で定める :

同値類 集合をの定める同値類といい、と書く。を同値類の代表元という。

つまりと同値であるような元全体の集合。 例 始点 O 向き (1,1) 長さの有向線分と同じ向きと長さを持つベクトル (1,1)

同値類の集合が商集合

同値類 先ほどの長方形の商集合

同値類 先ほどの長方形の商集合

これはトーラスなのか？

世界の形状 商集合　 V.S. 　トーラス

世界の形状 商空間　　トーラス

≅

RPG 世界の形状はトーラスである！

世界の形状～商空間の構成 先ほどの長方形の商集合 このままではただの集合であるが、 位相空間とすることで位相的図形と 見ることができる

世界の形状～商空間の構成～位相 を固定。 写像について 実連続：

距離連続：

世界の形状～商空間の構成～位相 気持ち：距離がない世界で連続性を考えたい

現状：◦ 距離が必要◦ ↑ そマ？◦ 半径 piyo の開球や bar の baz 近傍◦ 開球や近傍は開集合であった

世界の形状～商空間の構成～位相 先ほどの連続の定義を開集合で換言

世界の形状～商空間の構成～位相 先ほどの連続の定義を開集合で換言

距離というよりむしろ開集合があれば連続の抽象化を考えられる

開集合の抽象化が位相

世界の形状～商空間の構成～位相

実関数が各点連続とは

位相空間間の写像が各点連続とは

世界の形状～商空間の構成 RPG に戻ろう

世界の形状～商空間の構成 先ほどの長方形の商集合 どのように位相を入れるか？ → 商集合のつくり方から自然に 定めることができる（商位相）

世界の形状～商空間の構成 商集合に商位相導入

𝑈𝑝−1 (𝑈 )

がの開集合⇔がの開集合が連続になる

世界の形状～同相性の証明𝑝 :𝑅→𝑅 /

𝜋 :𝑅→𝑇 𝑓 :𝑅/ →𝑇

全射連続

全射連続

連続？　全単射？逆写像も連続？

世界の形状～同相性の証明

𝜋 :𝑅→𝑇𝜋 : (𝑢 ,𝑣 )↦ 1

2𝜋 (𝑎𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑎 𝑢 ,𝑎sin 2𝜋𝑎𝑢 ,𝑏cos 2𝜋

𝑏𝑣 ,𝑏sin 2𝜋

𝑏𝑣 )

← なのでこの絵は嘘

↑ ほんとは 4 次元空間の曲面

明らかに全射

世界の形状～同相性の証明

𝑓 :𝑅/ →𝑇

𝑓 : [ (𝑢 ,𝑣 ) ]↦ 12𝜋 (𝑎 cos 2𝜋𝑎 𝑢 ,𝑎sin 2𝜋

𝑎𝑢 ,𝑏 cos 2𝜋

𝑏𝑣 ,𝑏sin 2𝜋

𝑏𝑣 )

周囲の同一視と 1周期ぶんだけの定義域なので単射も OK

世界の形状～同相性の証明𝑝 :𝑅→𝑅 /

𝜋 :𝑅→𝑇 𝑓 :𝑅/ →𝑇

全射連続

全射連続

全単射

世界の形状～同相性の証明 定理 ( 報告書 Lem.2.3.2) 連続写像、 は全射でに による商位相が入っているものとする。更に写像があってであるときが連続であることとが連続であることは同値である。

世界の形状～同相性の証明𝑝 :𝑅→𝑅 /

𝜋 :𝑅→𝑇 𝑓 :𝑅/ →𝑇

全射連続

全射連続

定理により連続全単射

Hausdorff

コンパクトコンパクト

世界の形状～同相性の証明 定理 ( 報告書 Lem.2.3.4) コンパクト位相空間と Hausdorff 位相空間との間の写像が連続全単射であるとする . は同相写像となる .

世界の形状～同相性の証明𝑝 :𝑅→𝑅 /

𝜋 :𝑅→𝑇 𝑓 :𝑅/ →𝑇

全射連続

全射連続

連続全単射

Hausdorff

コンパクトコンパクト

定理により f は同相

世界の形状 商空間　　トーラス

≅

RPG 世界の形状はトーラスである！

世界の距離 ゲームでは曲面上というより長方形上を歩く つまり長方形ワールドマップ上の道のりが 実際の曲面の道のりである → ワールドマップは等長地図

世界の距離 すごい定理：２次元多様体トーラスは４次元に埋め込めて、３次元にはめ込める（噛み砕き） ３次元空間のトーラスじゃ RPG 世界にならないのか？

世界の距離 ３次元空間のトーラスじゃ RPG 世界にならないのか？

球面同様に、基本量が等長地図の条件を満たさない (『曲線と曲面』 68-70ページ )

𝜋 ′ : (𝑢 ,𝑣 )↦ 12𝜋 ((𝑎+𝑏cos

2𝜋𝑎𝑢)cos 2𝜋𝑏 𝑣 ,(𝑎+𝑏cos

2𝜋𝑎𝑢)sin 2𝜋𝑏 𝑣 ,𝑏sin

2𝜋𝑎𝑢)

世界の距離 ４次元に埋め込んだトーラスでは可能長方形の曲線の長さと、 RPG 世界上に写した曲線の長さが等しくなることを示せば良い

世界の距離 ワールドマップの曲線の長さ　 # とは 商空間に距離？？ ワールドマップはトーラスと同相 定理： Riemann多様体の距離による位相と元の多様体としての位相は一致（すごく要約） トーラスの距離で OK つまり４次元ユークリッド距離で良い

世界の距離 上の滑らかな曲線の長さ

世界の距離 上の曲線を上に写すと

𝜋∘𝛾 (𝑡 )= 12𝜋 (𝑎cos 2𝜋𝑢𝑎 ,𝑎sin 2𝜋𝑢

𝑎,𝑏cos 2𝜋 𝑣

𝑏,𝑏sin 2𝜋𝑣

𝑏 )

世界の距離 上の曲線の長さ

より

よって等長

世界の形状・距離

≅

RPG 世界の形状は式 π によるトーラスである！距離も矛盾しない！

ゲーム製作における応用 ちゃんと曲面が出たので世界の表面積や体積が計算できる 地球のそれらと比較 地形とかを元にいい感じのスケールを用意 →程よいワールドマップの広さの実現

今後の展望？ 4 次元空間内のトーラスは「平坦」な曲面の１つ 高次元（４以上次元）での平坦さ　 # とは この点が議論できれば他の繋ぎ方で作ったゲーム世界を考えられるかも？ †Riemann 幾何学†