Trigonometria banhakeia

TRIGONOMETRIA

Triangulo Rectangulo

sena =hipotenusa

opuesto=

ha

cosa =hipotenusa

adyacente=

hb

tana =adyacente

opuesto=

ba

Teorema del coseno

a2 = b

2 + c2 - 2.b.c.cosA

b2 = a

2 + c2 - 2.a.c.cosB

c2 = a

2 + b2 - 2.a.b.cosC

Este teorema sirve cuando conocemos 3 lados o 2 lados y el angulo comprendidos entre ellos.

Teorema del seno

senAa

=senB

b=

senCc

Este teorema sirve cuando conocemos 2 angulos y un lado o 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos.

Circulo Trigonometrico

recuerda que rrad = 1800

para convertir radianes en grados o viceversa.

la parte coloreada en azul 0 + 2kr,r + 2kr6 @A sena $ 0

sen 0 = senr = 0

la parte coloreada en rojo -2r

+ 2kr,2r

+ 2kr7 AA cosa $ 0

cos2r

= cos2

-r_ i = 0

Aplicando Pitagoras

z2 = a2 + b2( z = a2 + b2

sena =a2 + b2

b; cosa =

a2 + b2a

taga =ab; cotga =

ba

TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

Angulos complementarios y suplementarios

2 angulos son complementarios si la suma de los dos angulos es 90º

2 angulos son suplementarios si la suma de los dos angulos es 180º

Para hallar el seno, coseno del angulo2r! a_ i escogeremos el angulo que se acerca a

2r

que es b o c

y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d2r! a_ i ya visto antes. eje x = coseno , eje y = seno^ h

sen2r

- a_ i = sen2r

- a_ i es 5 pq.2r

- a_ id 0,r6 @8 B

senb =za

eje x?

=a2 + b2

Z= radio circulo=11 2 34444 4444

a= cosa ; luego sen

2r

- a_ i = cosa

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

cos2r

- a_ i = cos2r

- a_ i es 5 pq.2r

- a_ id -2r

,2r7 A8 B

cosb =zb

eje y?

=a

2 + b2

b= sena ; luego cos

2r

- a_ i = sena

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

sen2r

+ a_ i = sen2r

+ a_ i es 5 pq.2r

+ a_ id 0,r6 @8 B

senc =za

=a

2 + b2

a= cosa ; luego sen

2r

+ a_ i = cosa

Z

[

\

]]]]]]]]]]

cos2r

+ a_ i = cos2r

+ a_ i es 6 pq.2r

+ a_ iz -2r

,2r7 A8 B

cosc =zb

=a

2 + b2

b= sena ; luego cos

2r

+ a_ i =- sena

Z

[

\

]]]]]]]]]]

Para hallar el seno, coseno del angulo r ! a^ h escogeremos el angulo que se acerca a r que es b o c

y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d r ! a^ h ya visto antes. eje x = coseno , eje y = seno^ hcos r - a^ h = cos r - a^ h es 6 pq. r - a^ h z -

2r

,2r7 A8 B

cosb =za

=a

2 + b2

a= cosa ; luego cos r - a^ h =- cosa

Z

[

\

]]]]]]]]]]

sen r - a^ h = sen r - a^ h es 5 pq. r - a^ h d 0,r6 @6 @

senb =zb

=a

2 + b2

b= sena ; luego sen r - a^ h = sena

Z

[

\

]]]]]]]]]

sen r + a^ h = sen r + a^ h es 6 pq. r + a^ h z 0,r6 @6 @

senc =zb

=a

2 + b2

b= sena ; luego sen r + a^ h =- sena

Z

[

\

]]]]]]]]]

cos r + a^ h = cos r + a^ h es 6 pq. r + a^ h z -2r

,2r7 A8 B

cosc =za

=a

2 + b2

a= cosa ; luego cos r + a^ h =- cosa

Z

[

\

]]]]]]]]]]

Para hallar el seno, coseno del angulo2

3r! a` j escogeremos el angulo que se acerca a

23r

que es b o c

y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d2

3r! a` j ya visto antes. eje x = coseno , eje y = seno^ h

seguir los mismos pasos hechos anteriormente.


la mejor forma de hallar lo de los angulos complementarios y suplementarios

es imaginar un circulo y aplicando lo anterior mentalmente, teniendo en cuenta que eje x = cos y eje y = sen

** Tabla de valores mas significativos.

** Propiedades

sen a + b^ h = sena cosb + cosa senb

sen a - b^ h = sena cosb - cosa senb

cos a + b^ h = cosa cosb - sena senb

cos a - b^ h = cosa cosb + sena senb

tan a + b^ h =1 - taga tagb

taga + tagb

tan a - b^ h =1 + taga.tagb

taga - tagb

taga = cotga

-1 # sena # 1 ; - 1 # cosa # 1 ; - 3 # taga #+3

sena senb =21

cos a - b^ h - cos a + b^ h6 @

sena cosb =21

sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @

cosa cosb =21

cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @

cosa senb =21

sen a + b^ h - sen a - b^ h6 @

sena + senb = 2sen2

a + bcos

2a - b

sena - senb = 2cos2

a + bsen

2a - b

cosa + cosb = 2cos2

a + bsen

2a - b

cosa - cosb =- 2sen2

a + bsen

2a - b

formulas importantisimas.

sen2a = 2senacosa ; cos2a = cos2a - sen

2a ; tag2a =

1 - tag2a

2taga

sen2a + cos

2a = 1 ; 1 + tag

2a =

cos2a

1; 1 + cot

2a =

sen2a

1

sen2a =

21 - cos2a

; cos2a =

21 + cos2a

, tag2a =

1 + cos2a

1 - cos2a


Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

** Igualdades

sena = senb ,a = b + 2kr k d Z

a = r - b + 2kr k d Z)

cosa = cosb ,a = b + 2kr k d Z

a =- b + 2kr k d Z)

taga = tagb ,

a = b + kr k d Z

a ]2r

+ kr

b ]2r

+ kr

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

cotga = cotgb +

a = b + kr k d Z

a ! kr

b ! kr

Z

[

\

]]]]]]]]]]


*** Ecuaciones Armonicas

Son de la forma : a.sen x^ h + b.cos x^ h = c siendo a.b.c ! 0 I

una de las formas de resolverlo es la seguiente.

1º - dividir la ecuación I entre la a o bién entre la b supongamos que dividamos por a^ hI , sen x^ h +

abcos x^ h =

ac, sen x^ h + taga.cos x^ h =

ac

siendo taga =ab

I , sen x^ h +cosasena

cos x^ h =ac, cosa.sen x^ h + sena.cos x^ h =

ac

cosa

utilizando una de estas formulascos a - b^ h = cosa.cosb + sena.senb

cos a + b^ h = cosa.cosb - sena.senb

sen a - b^ h = sena.cosb - senb.cosa

sen a + b^ h = sena.cosb + senb.cosaZ

[

\

]]]]]]]]]]]]

_

`

a

bbbbbbbbbbbb

A6 7 8444444444444444444444444 444444444444444444444444

I , sen a + x^ h =ac

cosa

Siac

cosa 1- 1 oac

cosa 2 1 ( I no tiene solución imposible de resolver^ hSi - 1 #

ac

cosa # 1ac

cosa la transformaremos en senb

luego sen a + x^ h = senb,a + x = r - b + 2kr

a + x = b + 2kr% con k d Z

*** Ecuaciones Simetrica

son de la forma que cuando sustituimos seno por coseno y viceversa nos queda la misma ecuación.

ejemplo : 1 senx + cosx = 1 si remplazamos sen por cos y viceversa queda de la seguiente

forma cosx + senx = 1 que es exactamente igual que la original & 1 es simetrica

para este tipo de ecuaciones se resuelven haciendo cambio de variable x = y +4r

cosx = cos y +4r_ i =

2

2cosy - seny^ h

senx = sen y +4r_ i =

2

2cosy + seny^ hZ

[

\

]]]]]]]]]]

utilizando formulas A

*** Ecuaciones Homogeneas

Es una ecuación de la forma f senx,cosx^ h = 0 donde f es un polinomio donde los terminos son de

tipo senax cos

bx con a + b^ hes constante para cada termino del polinomio.

Ejemplo: sen2x - 3cos

2x - senx.cosx = 06 @

sen2x^ h A es de grado 2, -3cos

2x^ h A es de grado 2 -senx.cosx^ h A es de grado 1 + 1 = 2

lo que se hace en esta clase de ecuaciones es dividir por el cosa+b

o por el sena+b

en el ejemplo anterior podemos dividir por cos2x ya que cosx = 0,

x =-2r

+ 2kr

x =2r

+ 2kr, x =

2r

+ kr*y resulta que

2r

no es una solucion de la ecuacion por lo seguiente podemos ' por cos2

sen2x - 3cos

2x - senx.cosx = 0 +

cos2x

sen2x - 3cos

2x - senx.cosx

=cos

2x

0,

+ tag2

x^ h - 3 - tag x^ h = 0 + tag2

x^ h - tag x^ h - 3 = 0 haciendo cambio variable y = tag x^ h+ y

2 - y - 3 = 0 ecuacion de 2º grado , facil seguir....

Observación Muy Importante^ h** Donde sirve el teorema de seno,no sirve el teorema de coseno y viceversa.

** Antes de resolver 6 ecuacion trigonometrica tenemos que mirar antes su campo de existencia.

** En ecuaciones trigonometricas nunca se simplifica , se factoriza y despues se resuelve.


*** Inecuaciones Trigonometricas

Para poder resolver esta clase dee inecuaciones se utiliza dos metodos:

1º Metodo

resolver por graficas

Para este metodo es muy obligatorio conocer las graficas de sen, cos, tag, cotag......de memoria.

aqui abajo van las graficas de cada una de ellas

2º Metodo

resolver por circulo trigonometrico

lo unico que hay que recordar es que eje x A coseno y el eje y A seno

para entender mejor como utilizar los dos metodos ve a los ejercicios 31 ,32 y 33.

** si tuvieramos cos ax + b^ h 2 c A hacemos cambio variable y = ax + b( cos y 2 c

si c 2 1( imposible resolverlo ya que - 1 # cos y # 1^ hsi c 1- 1( solucion es R

si -1 # c # 1

cambiamos la desigualdad por igualdad A cos y = c + cos y = cosb +y =-b + 2kr

y = b + 2kr'sabemos que el eje x A coseno asi que en el eje x colocamos el valor de c y tarazamos una ' al eje y

la solución seria todos los valores superiores c que es tan encima del circulo.

** si tuvieramos sen ax + b^ h 2 c A hacemos cambio variable y = ax + b( seny 2 c

es exactamente parecido al anterior lo unico que cambia es colocar el valor de c en el eje y A seno

y hacer una paralela desde este punto al eje x y todos los valores que quedan encima del c

la solución seria todos los valores superiores a c que estan encima del circulo.


*** Ejercicio demostrar quecotagx + tagx

cotag - tagx= 1 - 2sen

2x

cotagx + tagx

cotag - tagx=

senxcosx

+cosxsenx

senxcosx

-cosxsenx

=

senx cosxcos

2x + sen

2x

senx cosxcos

2x - sen

2x

= cos2x - sen

2x = 1 - 2sen

2x

--------------------

*** Ejercicio demostrar quecosx

1 - senx=

1 + senx

cosx

sabemos que cos2x + sen

2x = 1 + 1 - sen

2x = cos

2x + 1 - senx^ h 1 + senx^ h = cosx.cosx

+cosx

1 - senx=

1 + senx

cosxde igual manera se puede demostrar

senx1 - cosx

=1 + cosx

senx

--------------------

*** Ejercicio demuestre1 + tag

2x

1 - tag2x

= cos2x

1 + tag2x

1 - tag2x

=

1 +cos

2x

sen2x

1 -cos

2x

sen2x

=

cos2x

cos2x + sen

2x

cos2x

cos2x - sen

2x

= cos2x - sen

2x = cos2x

--------------------

*** Ejercicio demuestre1 + secx

tagx=

senx1 - cosx

1 + secx

tagx=

1 +cosx1

cosxsenx

=

cosx1 + cosx

cosxsenx

=1 + cosx

senx

1 - cosx

1 - cosx=

1 - cos2x

senx 1 - cosx^ h=

=sen

2x

senx 1 - cosx^ h=

senx1 - cosx

--------------------

*** Ejercicio demuestre tag2x - sen

2x = tag

2x . sen

2x

tag2x - sen

2x =

cos2x

sen2x

- sen2x =

cos2x

sen2x - sen

2x.cos

2x

=cos

2x

sen2x 1 - cos

2x^ h

=cos

2x

sen2x sen

2x

= tag2x . sen

2x

--------------------

*** Ejerciciosecx - tagx^ h2

1 - senx= 1 + senx

secx - tagx^ h21 - senx

=sec

2x - 2.secx.tagx + tag

2x

1 - senx=

cos2x

1-

cos2x

2senx+

cos2x

sen2x

1 - senx=

=sen

2x - 2senx + 1

1 - senx^ hcos2x

=senx - 1^ h2

1 - senx^ h 1 - sen2x^ h

=1 - senx^ h2

1 - senx^ h2 1 + senx^ h

= 1 + senx

--------------------

*** Ejercicio tagx + cotagx =senx.cosx

1

tagx + cotagx =cosxsenx

+senxcosx

=senx.cosx

sen2x + cos

2x

=senx.cosx

1

O bién

senx.cosx1

=senx.cosx

sen2x + cos

2x

=senx.cosx

sen2x

+senx.cosx

cos2x

=cosxsenx

+senxcosx

= tagx + cotagx

--------------------

Observación

Para demostrar igualdades es mejor empezar por la expresión mas desarrollada

suele funcionar al 90%, y tener bién memorizada las formulas trigonometricas


*** Ejercicio 1: Demostración del teorema de coseno.

a2 = b

2 + c2 - 2.b.c.cos a^ h sabemos que

cos a^ h =cx+ x = c.cos a^ h A Tri. Izq.^ h

b = y + x + y = b - c.cos a^ hEn Triangulo derecho

a2 = y

2 + h2 = b - c.cos a^ h6 @2 + h

2

a2 = b

2 + c2.cos

2a^ h - 2.b.c.cos a^ h + h

2

En Triangulo Izquierdo

c2 = x

2 + h2 = c

2.cos

2a^ h + h

2

a2 = b

2 + c2.cos

2a^ h - 2.b.c.cos a^ h + h

2

+ a2 - c

2 = b2 - 2.b.c.cos a^ h + a

2 = b2 - 2.b.c.cos a^ h + c

2

+ a2 = b

2 + c2 - 2.b.c.cos a^ h---------

c2 = a

2 + b2 - 2.a.b.cos b^ h sabemos que

cos b^ h =a

y+ y = a.cos b^ h Tri.Derec.^ h

b = y + x + x = b - a.cos b^ hEn Triangulo Izquierdo

c2 = x

2 + h2 = b - a.cos b^ h6 @2 + h

2 = b2 + a

2.cos

2b^ h - 2.b.a.cos b^ h + h

2

a2 = y

2 + h2 = a

2cos

2b^ h + h

2

+ c2 - a

2 = b2 - 2.a.b.cos b^ h + c

2 = a2 - 2.a.b.cos b^ h + b

2

+ c2 = a

2 + b2 - 2.a.b.cos b^ h---------

b2 = a

2 + c2 - 2.a.c.cos c^ h

para su demostración se dan los mismos pasos cambiando h de posición.ver imagen

-------------------

*** Ejercicio 2: Demostración del teorema de seno.

senaa

=sencb

=senbc

viendo el triangulosenb =

ah+ h = a.senb

sena =ch+ h = c.sena*

+ c.sena = a.senb +senaa

=senbc

1

viendo el triangulo

sena =b

lh+ lh = b.sena

senc =a

lh+ lh = a.senc

Z

[

\

]]]]]]]]]

+ b.sena = a.senc +senaa

=sencb

2

de 1 y 2 se deduce quesenaa

=sencb

=senbc

-------------------

*** Ejercicio 3: resuelve sen 5x^ h =21

sen 5x^ h =21+ sen 5x^ h = sen

6r+

5x = r -6r

+ 2kr

5x =6r

+ 2kr* +

5x =65r

+ 2kr

5x =6r

+ 2kr* +

x =6r

+ 2kr

x =30r

+ 2kr* k d Z

el conjunto de soluciones es S =30r

+ 2kr-,6r

+ 2kr#$ . , k d Z--------------------


*** Ejercicio 4: resuelve sen x^ h = cos 2x^ hsen x^ h = cos 2x^ h + cos

2r

- x_ i = cos 2x^ h +2r

- x =- 2x + 2kr

2r

- x = 2x + 2kr* +

x =2

-r+ 2kr

-3x =2

-r+ 2kr

+

x =2

-r+ 2kr

x =6r

+3

2kr* con k d Z*el conjunto de soluciones es S =

6r

+3

2kr .,2

-r+ 2kr#$ . , k d Z

--------------------

*** Ejercicio 5: resuelve tag 2x^ h = 3

1º miramos el campo de existencia de la ecuación:

tag 2x^ h existe Ssi cos 2x^ h ! 0 + 2x !2r

+ kr + x !4r

+2kr

con k d Z

Ahora resolvamos la ecuacion siendo x !4r

+2kr

con k d Z

tag 2x^ h = 3 + tag 2x^ h = tag3r_ i + 2x =

3r

+ kr + x =6r

+2kr

con k d Z

ahora averiguemos para que valores de k4r

+2kr

=6r

+2kr

para excluirlo de las soluciones.

4r

+2kr

=6r

+2kr+

41+

2k

=61+

2k+

41

=61

absurdo.

por último el conjunto de soluciones es S =6r

+2kr$ ., k d Z

--------------------

*** Ejercicio 6: resuelve 3 tag 2x^ h = sec 2x^ h + 1

recuerda: seca =cosa1

; cosec =sena1

1º calcular campo de existencia de la ecuación

tag 2x^ h existee Ssi cos 2x^ h ! 0 y sec 2x^ h existe Ssi cos 2x^ h ! 0

cos 2x^ h = 0 + cos 2x^ h = cos2r_ i+

2x =-2r

+ 2kr

2x =2r

+ 2kr* +

x =-4r

+ kr

x =4r

+ kr+* x =

4r

+2kr

con k d Z

Ahora resolvamos el ejercicio con x !4r

+2kr

con k d Z

3 tag 2x^ h = sec 2x^ h + 1 + 3cos 2x^ hsen 2x^ h

=cos 2x^ h1

+ 1 + 3 sen 2x^ h = 1 + cos 2x^ h+ 2 3 senx.cosx = cos

2x + sen

2x + cos

2x - sen

2x , cos2x + sen

2x = 1 , sen 2x^ h = 2senx.cosx ,cos 2x^ h = cos

2x - sen

2x

+ 2 3 senx.cosx - 2cos2x = 0 + cosx 2 3 senx - 2cosx^ h = 0 +

+

2 3 senx - 2cosx = 0

cosx = 0' +

2 3 senx = 2cosx

cosx = 0' +

cosxsenx

=3

1cosx = 0* +

tagx =3

1cosx = 0* +

+

tagx =3

1+ tagx = tag

6r+ x =

6r

+ kr con k d Z A6r

+ kr =4r

+2kr+ k =

61b Z & x =

6r

+ kr

cosx = 0 +x =-

2r

+ 2kr

x =2r

+ 2kr+ x =

2r

+ kr

porque va dando saltos der enr6 7 8444444 444444

con k d Z A2r

+ kr =4r

+2kr+ k =

2

-1b Z & x =

2r

+ kr

Z

[

\

]]]]]]]]]]

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

por último el conjunto de soluciones es S =6r

+ kr# -,2r

+ kr# -, k d Z--------------------

*** Ejercicio 7: resuelve senx + cosx^ h2 = 1

senx + cosx^ h2 = 1 + sen2x + cos

2x + 2senx.cosx = 1 + 1 + 2.senx.cosx = 1 + senx.cosx = 0 +

+

cosx = 0 = cos2r+

x =-2r

+ 2kr

x =2r

+ 2kr+ x =

2r

+ kr con k d Z*senx = 0 = sen0 +

x = r - 0 + 2kr

x = 0 + 2kr+

x = r + 2kr

x = 2kr+ x = kr con k d Z$$Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

por último el conjunto de soluciones es S = kr" ,,2r

+ kr# -, k d Z--------------------


--------------------

*** Ejercicio 8: resuelve sen4r

- x_ i+ 2 senx = 0

sen4r

- x_ i+ 2 senx = 0 + sen4r

cosx - cos4r

senx + 2 senx = 0 +2

2cosx -

2

2senx +

2

2 2senx = 0 +

+2

2cosx +

2

2senx = 0 + cosx + senx = 0 + cosx =- senx + tagx =- 1 = tag

4

-r+

+ x =4

-r+ kr con k d Z

por último el conjunto de soluciones es S =4

-r+ kr# -, k d Z

--------------------

*** Ejercicio 9: resuelve - 3.senx + 3 .cosx = 0

1º metodo

- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx -3

3cosx = 0 + senx -

3

1cosx = 0 +

+ senx - tag6r

cosx = 0 + senx -

cos6r

sen6r

cosx = 0 + cos6r

senx - sen6r

cosx = 0 +

+ sen x -6r_ i = 0 + sen x -

6r_ i = sen0 +

x -6r

= r - 0 + 2kr

x -6r

= 0 + 2kr* +

x -6r

= r + 2kr

x -6r

= 2kr* con k d Z

+

x =67r

+ 2kr

x =6r

+ 2kr* + x =6r

+ kr con k d Z poque las soluciones van dando saltos de r en r

luego el conjunto de soluciones es S =6r

+ kr# - , k d Z2º metodo

- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx =3

3cosx +

cosxsenx

=3

3=

3

1+ tagx = tag

6r+ x =

6r

+ kr con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 10: resuelve 3 .senx + cosx = 3

3 .senx + cosx = 3 + senx +3

1cosx = 1 + senx + tag

6r

cosx = 1 +

+ cos6r

senx + sen6r

cosx = cos6r+ sen x +

6r_ i = cos

6r+ sen x +

6r_ i = sen

2r

-6r_ i = sen

3r+

+

x +6r

= r -3r

+ 2kr

x +6r

=3r

+ 2kr* +

x =2r

+ 2kr

x =6r

+ 2kr* con k d Z


+ 2kr# - ,2r

+ 2kr# - con k d Z

*** Ejercicio 11: resuelve cotg 2x^ h + tag x^ h = 0 I

1º campo de existencia de cotg 2x^ h A cos 2x^ h ! 06 @y de tag x^ h A cos x^ h ! 06 @

cos 2x^ h = 0 = cos2r+

2x =-2r

+ 2kr

2x =2r

+ 2kr* +

x =-4r

+ kr

x =4r

+ kr+ x =

4r

+2kr* con k d Z

cos x^ h = 0 = cos2r+

x =-2r

+ 2kr

x =2r

+ 2kr* + x =2r

+ kr con k d Z

Ahora resolvamos la ecuación I siendo x b2r

+ kr# - , x =4r

+2kr$ . con k d Z

cotg 2x^ h + tag x^ h = 0 +sen 2x^ hcos 2x^ h

+cos x^ hsen x^ h

= 0 + cos 2x^ hcos x^ h + sen 2x^ hsen x^ h = 0 + cos 2x - x^ h = 0 = cos2r+

cosx = cos2r+ x =

2r

+ kr con k d Z

Pero como hemos demostrado en campo de existencia que x b2r

+ kr# - , x =4r

+2kr$ .( la ecuación I no tiene solución


*** Ejercicio 12: resuelve senx + cosx = 1 i

1º metodo Recordad: 2kr =- 2kr con k d Z

i es una ecuación simetrica ya que sustituindo sen A cos y cos A sen i no varia

asi que hacemos cambio de variable x = y +4r

luego i + senx + cosx = 1 + sen y +4r_ i+ cos y +

4r_ i = 1

+2

2cosy + seny^ h +

2

2cosy - seny^ h = 1 + 2

2

2cosy = 1 + cosy =

2

1=

2

2+ cosy = cos

4r+

+

y =-4r

+ 2kr

y =4r

+ 2kr* +

x -4r

=-4r

+ 2kr

x -4r

=4r

+ 2kr* +

x = 2kr

x =2r

+ 2kr(k d Z


+ 2kr# - , 2kr" , con k d Z

2º metodo Recordad: sena + senb = 2sen2

a + bcos

2a - b

sena - senb = 2sen2

a - bcos

2a + b

cosa + cosb = 2cos2

a + bcos

2a - b

cosa - cosb =- 2sen2

a + bsen

2a - b

senx + cosx = 1 + cos2r

- x_ i+ cosx = 1 + 2.cos2

2r

- x + x_ icos

22r

- x - x_ i= 1 +

+ 2.cos4r

cos4r

- x_ i = 1 + 22

2cos

4r

- x_ i = 1 + cos4r

- x_ i =2

1=

2

2= cos

4r+

+

4r

- x =-4r

+ 2kr

4r

- x =4r

+ 2kr* +

-x =-2r

+ 2kr

-x = 2kr) +

x =2r

+ 2kr

x = 2kr) con k d Z


+ 2kr# - , 2kr" , con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 13: Calcula el dominio de f x^ h =cos3x + cosx

x + 1

f x^ h existe si y sólo si cos3x + cosx ! 0

cos3x + cosx = 0 + cos3x =- cosx = cos r - x^ h +3x =-r + x + 2kr

3x = r - x + 2kr$ +

2x =-r + 2kr

4x = r + 2kr$ +

+

x =2

-r+ kr

x =4r

+2kr* con k d Z luego D f = R -

2

-r+ kr# -,

4r

+2kr$ . siendo k d Z8 B

--------------------

*** Ejercicio 14: resuelve 5.sen2x - 2cos

2x - 3.senx.cosx = 0 a

5.sen2x - 2cos

2x - 3.senx.cosx = 0 es una ecuación homogenea de grado 2 podemos dividir por cos

2x

ya que las soluciones de cosx = 0 + x =2r

+ kr A no es la solucion de la a

comprobando 5.sen2

2r

- 2.cos2

2r

- 3.sen2r

cos2r

= 5 ! 0

a + 5cos

2x

sen2x- 2

cos2x

cos2x- 3

cos2x

senx.cosx=

cos2x

0+ 5 tag

2x - 2 - 3 tagx = 0 +

+ 5 tag2x - 3 tagx - 2 = 0 cambio variable tagx = y

+ 5y2 - 3y - 2 = 0 3= -3^ h2 - 4 5^ h -2^ h = 49( 3 = 7

y =10

3 ! 7=

5

-2

1) (

tagx =5

-2+ x = 21,80º + k.180º

tagx = 1 + x =4r

+ kr* sabemos que r = 180º

+

x -253r

+ kr

x =4r

+ kr* con k d Z , luego el conjunto de soluciones es S =4r

+ kr# - ,253r

+ kr$ . con k d Z

--------------------


*** Ejercicio 15: resuelve sen arccosx^ h =2

3

Recordad:2

-r# arccosx #

2r

,2

-r# arcsenx #

2r

1º buscamos cúal es el angulo de seno que nos da2

3que es sen

3r

asi que sen arccosx^ h = sen3r

sen arccosx^ h = sen3r+

arccosx = r -3r

+ 2kr

arccosx =3r

+ 2kr* +

arccosx =32r

+ 2kr Ab2

-r,2r7 A

arccosx =3r

+ 2kr Ad2

-r,2r7 A*

luego arccosx =3r

+ 2kr + cos arccosx^ h = cos3r

+ 2kr_ i + x = cos3r

=21

--------------------

*** Ejercicio 16:

Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de

depresión de 60º, si dicho edificio tiene una altura de 45 mts.

¿a que distancia se encuentra el perro del edificio?

en esta clase de ejercicios de trigonometria es muy impotante entender el ejercico y hacer un esquema de el.

aplicando el teorema de angulos congruentes ver imag.^ h

viendo la imagen de enfrente podemos concluir que

cos60º =45x+ x = 45.cos60º +

+ x = 4521

= 22,5 mts A que es la distancia entre el edificio y el perro

--------------------

*** Ejercicio 17:

Un observador que se encuentra en lo alto de la torre,a 80 mts de altura,y formando un angulo con

la horizontal respecto del perro de6r

y de3r

respecto a la tortuga.

¿a que distancia se encuentra el perro de la tortuga?

viendo la imagen podemos deducir que

x + y = 80 cos6r

= 802

3= 40 3 mts

y = 80 cos3r

= 8021

= 40 mtsZ

[

\

]]]]]]]]]]

x = 40 3 - 1^ h = 29,28mts A es la distancia que separa el perro de la tortuga.


*** Ejercicio 18: Resuelve sen2x =- senx

Recordad: sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx

sen2x =- senx + sen2x = sen -x^ h +2x = r - -x^ h + 2kr

2x =- x + 2kr% +

x = r + 2kr

x =3

2kr)

luego el conjunto de soluciones es S =3

2kr$ . , r + 2kr" , con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 19: Resuelve tag2x = cotagx

Recordad: sen 2r - x_ i = cosx , cos 2

r - x_ i = senx , tag 2r - x_ i = cotagx , cotag 2

r - x_ i = tagx

tag2x = cotagx + tag2x = tag 2r - x_ i + 2x =

2r - x + kr + 3x =

2r + kr + x =

6r +

3kr

con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S =6r +

3kr

$ . con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 20: Resuelve tag2x + 4 tagx + 3 = 0 i

1º campo de existencia de la ecuación i

sabemos que tagx =cosxsenx

existe Ssi cosx ! 0 + x ! 2r + kr con k d Z

sea y = tagx i + y2 + 4y + 3 = 0 3= 16 - 12 = 4 & 3 = 2

y =2

-4 ! 2 =-3-1$ ( tagx =

-3-1$

tagx =- 1, tagx = tag 4-r_ i+ x =

4-r + kr es una solución porque es ! 2

r + kr

tagx =- 3, x = arctag -3^ h + kr con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S =4-r + kr# - , arctag -3^ h + kr" , con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 21: Resuelve 5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen2x

5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen2x + 5cosx + 7 cos2x - sen2x^ h = 2 - 4sen2x + 5cosx + 7cos2x - 3sen2x = 2 +

+ 5cosx + 7cos2x - 3 1 - cos2x^ h - 2 = 0 + 10cos2x + 5cosx - 5 = 0 + 2cos2x + cosx - 1 = 0

haciendo cambio de variable y = cosx A 2y2 + y - 1 = 0 , 3= 1 + 8 = 9 & 3 = 3

y =4

-1 ! 3 =

21-1) ( cosx =

21 = cos 3

r

-1 = cosr) +

cosx = cos 3r+ x =

x =-3r + 2kr

x =3r + 2kr

*

cosx = cosr + x =x =-r + 2krx = r + 2kr$

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

+

+

x =x =-

3r + 2kr

x =3r + 2kr

*

x =x =-r + 2krx = r + 2kr

+ x = 2k + 1^ hr$Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

luego el conjunto de soluciones es S =3-r + 2kr# - , 3

-r + 2kr# - , 2k + 1^ hr" , con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 22: Resuelve senx = tagx

senx = tagx A 1º campo de existencia para que sea posible senx = tagx cosx ] 0

cosx ] 0 + x ! 2r + kr

senx = tagx + senx =cosxsenx

+ senx.cosx = senx cuidado en simplificar^ h + senx.cosx - senx = 0

+ senx cosx - 1^ h = 0 +cosx = 1senx = 0

+

cosx = cos0 +x =- 0 + 2krx = 0 + 2kr

+

x = 2krx = 2kr

+ 2kr$$

senx = sen0 +x = r - 0 + 2krx = 0 + 2kr

+

x = r + 2krx = 2kr

+ x = kr$$Z

[

\

]]]]]]]]]

Z

[

\

]]]]]]]]]


+

x = 2krx = kr$ + x = kr como es distinto de 2

r + kr con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S = kr" , con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 23: Resuelve 1 + 2cosx + cos2x = 0

1 + 2cosx + cos2x = 0 + 1 + 2cosx + cos2x - sen2x = 0 + 1 + 2cosx + cos2x + cos2x - 1 = 0 +

2cos2x + 2cosx = 0 + cosx cosx + 1^ h = 0 +cosx =- 1 = cosr

cosx = 0 = cos 2r

(+

x =-r + 2krx = r + 2kr

+ 2k + 1^ hr$

x =-2r + 2kr

x =2r + 2kr

+ x =2r + kr*

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

luego el conjunto de soluciones es S = 2k + 1^ hr" , , 2r + kr# - con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 24: Resuelve sen4x + cos4x = senx.cosx i

1º metodo

sabemos que sen2x + cos2x = 1 luego sen2x + cos2x^ h2 = sen4x + cos4x + 2sen2xcos2x

y como sen4x + cos4x = senx.cosx asi que 12 = 1 = senx.cosx + 2sen2xcos2x a

haciendo cambio de variable de senx.cosx = y a + 2y2 + y - 1 = 0 , 3= 9( 3 = 3

y =4

-1 ! 3 =

21-13)= senx.cosx

** senx.cosx =- 1, 21sen2x =- 1, sen2x =- 2 imposible porque - 1 # sena # 1

** senx.cosx =21, 2

1sen2x =

21, sen2x = 1 = sen 2

r,

2x = r -2r + 2kr

2x =2r + 2kr

* ,

, 2x =2r + 2kr, x =

4r + kr con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S =4r + kr# - con k d Z

2º metodo

se observa que la ecuación i es simetrica (al cambiar sen por cos y viceversa la i no cambia)

asi que haciendo cambio variable x = y +4r

senx = sen y +4r

_ i = senycos 4r + cosysen 4

r =22

cosy + seny^ h

cosx = cos y +4r

_ i = cosycos 4r - senysen 4

r =22

cosy - seny^ h

sen4x = sen4 y +4r

_ i =22

cosy + seny^ h; E4

=164

cos2y + sen2y + 2seny cosy^ h2 =

41

1 + 2seny cosy^ h2

=41

1 + 4seny cosy + 4sen2y cos2y^ h

cos4x = cos4 y +4r

_ i =22

cosy - seny^ h; E4

=164

cos2y + sen2y - 2seny cosy^ h2 =

41

1 - 2seny cosy^ h2

=41

1 - 4seny cosy + 4sen2y cos2y^ h

luego sen4x + cos4x =41

1 + 4seny cosy + 4sen2y cos2y^ h +41

1 - 4seny cosy + 4sen2y cos2y^ h =21

1 + 4sen2y cos2y^ h

senx.cosx =22

cosy + seny^ h . 22

cosy - seny^ h =21

cos2y - sen2y^ h

asi que 21

1 + 4sen2y cos2y^ h =21

cos2y - sen2y^ h + 1 + 4sen2y cos2y - cos2y + sen2y = 0 +

+ 1 + 4cos2y 1 - cos2y^ h - cos2y + 1 - cos2y = 0 +- 4cos4y + 2cos2y + 2 = 0 +- 2cos4y + cos2y + 1 = 0 c +

haciendo cambio de variable a = cos2y c +- 2a2 + a + 1 = 0 , 3= 9 & 3 = 3


a =-4

-1 ! 3 =

2-1 = cos2y A imposible cos2y 2 0^ h

1 = cos2y + cosy =

-1 = cosr +y =-r + 2kr

y = r + 2kr+ y = 2k + 1^ hr'

1 = cos0 +y = 2kr

y = 2kr+ y = 2kr%

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

+ y = kr y por último x = y +4r+ x =

4r + kr con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S =4r + kr# - con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 25: Resuelve sen6x + cos6x =167

h

sabemos que sen2x + cos2x = 1 luego sen2x + cos2x^ h3 = sen6x + cos6x + 3sen4xcos2x + 3sen2xcos4x

y como sen6x + cos6x =167

asi que 13 = 1 = sen6x + cos6x + 3sen4xcos2x + 3sen2xcos4x +

+ 1 =167 + 3sen4xcos2x + 3sen2xcos4x + 16

9 = 3sen2x cos2x sen2x + cos2x^ h + 163 = sen2x cos2x

+ sen2x cos2x -163 = 0 + senx cosx -

43

c m senx cosx +43

c m = 0 +

senx cosx -43

= 0

senx cosx -43

= 0Z

[

\

]]]]]]]]]]

+

2senx.cosx =23

2senx.cosx =23Z

[

\

]]]]]]]]]]

+

sen2x = sen 3-r

+

2x = r +3r + 2kr

2x =3-r + 2kr

+

2x =32r + kr

x =6-r + kr

**

sen2x = sen 3r+

2x = r -3r + 2kr

2x =3r + 2kr

+

x =3r + kr

x =6r + kr

**

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

luego el conjunto de soluciones es S =6r + kr# - , 3

r + kr# - , 6-r + kr# - , 3

2r + kr$ . con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 26: Resuelve

cosycosx =

2-1

x + y =34rZ

[

\

]]]]]]]]]

cosycosx =

2-1

x + y =34rZ

[

\

]]]]]]]]]

+

cosy

cos r +3r - y_ i

=2-1

2

x = r +3r - y 1

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

2 , cosy

cos r +3r - y_ i

=cosy

-cos 3r - y_ i

=-21, 2cos 3

r - y_ i = cosy, 2cos 3r - y_ i- cosy = 0,

, 2 cos 3r

cosy + sen 3r

seny7 A- cosy = 0, 2 21cosy +

23seny; E- cosy = 0,

, cosy + 3 seny - cosy = 0, 3 seny = 0, seny = 0 = sen0,y = r + 2kr

y = 2kr, y = kr%

sabemos que x + y =34r, x =

34r - kr, x =

34r + kr con k d Z

luego el conjunto de soluciones es S = x,y^ h =34r + kr, kr` j$ . con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 27: Resuelve

cos x - y^ h =23

sen x + y^ h = 1

*

cos x - y^ h =23

sen x + y^ h = 1

*+

cos x - y^ h = cos 6r+

x - y =-6r + 2 lk r con lk d Z 3

x - y =6r + 2 lk r con lk d Z 2

*

sen x + y^ h = sen 2r+

x + y = r -2r + 2kr

x + y =2r + 2kr

+*x + y =

2r + 2kr

x + y =2r + 2kr

+ x + y =2r + 2kr 1*

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]


\

observación: cuidado en despejar el valor de x e y de las ecuaciones 2 / 3 porque las dos cuentan

como si fuera una sola ecuación con dos incognitas.

1 / 2 +x - y =

6r + 2 lk r

x + y =2r + 2kr

* 1 + 2 + 2x =32r + 2r k + lk

=nEa k

+ x =3r + nr con n d Z

1 + x + y =2r + 2kr + y =

2r-

3r + nr + 2kr

2kr1nr6 7 844444 44444

+ y =6r + nr con n d Z

1 / 3 +x - y =-

6r + 2 lk r

x + y =2r + 2kr

* 1 + 3 + 2x =3r + 2r k + lk

=hEc m

+ x =6r + hr con h d Z

1 + x + y =2r + 2kr + y =

2r-

6r + hr + 2kr

2kr1hr6 7 844444 44444

+ y =3r + hr con h d Z

luego el conjunto de soluciones es S = x,y^ h =6r + hr, 3

r + hr_ i$ . con h d Z

--------------------

*** Ejercicio 28: Resuelvecos x - y^ h =

21

sen x + y^ h =21

*

cos x - y^ h =21

sen x + y^ h =21

* +

cos x - y^ h = cos 3r+

x - y =-3r + 2kr

x - y =3r + 2kr

+

x - y =3-r + 2 lk r 4

x - y =3r + 2 lk r 3

con lk d Z**

sen x + y^ h = sen 6r+

x + y = r -6r + 2kr

x + y =6r + 2kr

+

x + y =65r + 2kr 2

x + y =6r + 2kr 1

con k d Z**

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

asi que tenemos 4 sistemas de ecuaciones: 1 / 3 , 1 / 4 , 2 / 3 , 2 / 4

1 / 3x - y =

3r + 2 lk r 3

x + y =6r + 2kr 1

* (

1 + 3A

2x =2r + 2nr

n=k+ lkC


1 + x + y =6r + 2kr + y =

6r -

4r + 2kr - nr

2kr1nr6 7 844444 44444

+ y =12-r + nr con n d Z

luego una de las soluciones es S1 = x,y^ h =4r + nr, 12

-r + nr_ i$ . con n d Z

1 / 4x - y =

3-r + 2 lk r 4

x + y =6r + 2kr 1

* (

1 + 4A

2x =6-r + 2nr

n=k+ lkC

+ x =12-r + nr con n d Z

1 + x + y =6r + 2kr + y =

6r +

12r + 2kr - nr

2kr1nr6 7 844444 44444


luego una de las soluciones es S2 = x,y^ h =12-r + nr, 4

r + nr_ i$ . con n d Z

2 / 3x - y =

3r + 2 lk r

x + y =65r + 2kr

* (

2 + 3A

2x =67r + 2nr

n=k+ lkC


1 + x + y =65r + 2kr + y =

65r -

127r + 2kr - nr

2kr1nr6 7 844444 44444



r + nr` j$ . con n d Z

2 / 4x - y =

3-r + 2 lk r

x + y =65r + 2kr

* (

2 + 4A

2x =2r + 2nr

n=k+ lkC


1 + x + y =65r + 2kr + y =

65r -

4r + 2kr - nr

2kr1nr6 7 844444 44444




7r + nr` j$ . con n d Z

Por último la solución final es S = S1 , S2 , S3 , S4

--------------------

*** Ejercicio 29: demostrar quesen a - b^ h = sena.cosb - senb.cosa

sen a + b^ h = sena.cosb + senb.cosa

cos a - b^ h = cosa.cosb + sena.senb

cos a + b^ h = cosa.cosb - sena.senbZ

[

\

]]]]]]]]]]]]

Aplicando la formula de Euler ei.x = cosx + i.senx

ei. a+b^ h = cos a + b^ h + i.sen a + b^ h

ei. a+b^ h = ei.aei.b = cosa + i.sena^ h cosb + i.senb^ h = cosa.cosb - sena.senb + i sena.cosb + cosa.senb^ h = cos a + b^ h + i.sen a + b^ h

luego :sen a + b^ h = sena.cosb + cosa.senb

cos a + b^ h = cosa.cosb - sena.senb(

ei. a-b^ h = cos a - b^ h + i.sen a - b^ h

ei. a-b^ h = ei.ae-i.b = cosa + i.sena^ h cosb - i.senb^ h = cosa.cosb + sena.senb + i sena.cosb - cosa.senb^ h = cos a - b^ h + i.sen a - b^ h

luego :sen a - b^ h = sena.cosb - cosa.senb

cos a - b^ h = cosa.cosb + sena.senb(

--------------------

*** Ejercicio 30:

¿ conocidos los 3 angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo?

No porque existen infinitos triangulos semejantes a uno dado con identicos triangulos.

ver imagen de enfrente

laa =

lbb =

lcc

llala =

llblb =

llclc

--------------------

*** Ejercicio 31: Resuelve 1 - 2cos5x 1 0

1º metodo A utilizando las graficas

1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2 21

haciendo cambio variable a = 5x( cos a^ h 2 21

cos a^ h = 21 = cos 3

r+

a =-3r + 2kr

a =3r + 2kr

* con k d Z

k = 0 &a =-

3r

a =3r

* , k = 1 &a =

35r

a =37r

* .........

ahora en la grafica de coseno colocaremos los puntos hallados y en el eje y colocaremos 21

la solucion es todos los puntos de la grafica que se encuentren por encima de la recta y =21

ver imagen solucion color verde^ h( 3-r + 2kr 1 a 1 3

r + 2kr + 3-r + 2kr 1 5x 1 3

r + 2kr

+ 15-r +

52kr

1 x 1 15r +

52kr


2º metodo A utilizando circulo trigonometrico

1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2 21

haciendo cambio variable a = 5x( cos a^ h 2 21

cos a^ h = 21 = cos 3

r+

a =-3r + 2kr

a =3r + 2kr

* con k d Z + 15-r +

52kr

1 x 1 15r +

52kr

asi que dibujamos el circulo con los ejes x e y colocamos el punto 21

en el eje a "ejex" = cos

y desde este punto trazamos una ' al eje y e todos los valores que se encuentran a su derecha son las soluciones

--------------------

*** Ejercicio 32: Resuelve 1 - 2sen3x 1 0

1º metodo A graficas

1 - 2sen3x 1 0 +- 2sen3x 1- 1 + sen3x 2 21+ sena 2 2

1, siendo a = 3x^ h +

ahora pasemos de desigualdad a igualdad para hallar los puntos de corte con la funcion seno.

sen a^ h = 21 = sen 6

r+

a = r -6r + 2kr

a =6r + 2kr

* +

a =65r + 2kr

a =6r + 2kr

* con k d Z

ahora cogemos la grafica de la función seno el eje x lo representamos como eje a e el eje y tal como es

el valor 21

lo colocamos en el eje y e todos los valores que quedan por encima de la recta y =21

son la solucion de sen a^ h 2 21+ 6r + 2kr 1 a = 3x 1 6

5r + 2kr con k d Z ver la grafica de abajo^ h +

+ 18r +

32kr

1 x 1 185r +

32kr

2º metodo A circulo trigonometrico

Recuerda A es muy impor tan te

haciendo exactamente lo mismo que el 1º metodo hasta llegar aa =

65r + 2kr

a =6r + 2kr

* con k d Z


6

ahora en el circulo el eje x seria eje a en el eje y colocamos y =21

e trazamos una ' al eje a , los puntos de corte entre y =21

y la circonferencia son 6r

y 65r

todo lo que queda encima de 21

,perteneciendo al circulo es la solución.

ver imagen

por último 6r + 2kr 1 a = 3x 1 6

5r + 2kr + 18r +

32kr

1 x 1 185r +

32kr

con k d Z

--------------------

*** Ejercicio 33: Resuelve 3.tag 3x^ h - 3 # 0

1º metodo A graficas

3.tag 3x^ h - 3 # 0 + tag 3x^ h # 33

=3

1+ tag 3x^ h # tag 6

rcambio variable a = 3x

tag a^ h = tag 6r+

a ! 2r + kr

a =6r + kr

* k d Z

en la grafica de tangente ejex A eje a^ h e en el ejey colocaremos y =33

y señalamos los puntos de corte

y todos los datos que se encuentrenpor debajo de y =33

son la solucion de tag a = 3x^ h # tag 6r

ver la grafica

cogeremos un int ervalo donde aparecen todos los datos y le añaderemos el periodo kr

Por último 2r + kr 1 3x # 6

7r + kr + 6r +

3kr1 x # 18

7r +3kr

con k d Z

2º metodo A circulo trigonometrico

Recordad: ver imagen donde tag es + , tag es una funcion creciente


como se ve 2r + kr 1 3x # r +

6r

67r

G

+ kr + 6r +

3kr1 x # 18

7r +3kr

con k d Z


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Trigonometria banhakeia