「宇宙は数字のロックンロール！」 1th

三宅　陽一郎 @miyayouhttp://www.facebook.com/youichiro.miyake

2014.6.21

自己紹介

京都大学（数学） 大阪大学（原子核実験物理） 東京大学（エネルギー工学 / 人工知能）

高エネルギー加速器研究所（半年ぐらい。修士論文）

Works (2006-2012)

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Precomputed Pathfinding for Large and Detailed Worlds on MMO Servers Fabien Gravot, Takanori Yokoyama, and Youichiro Miyake

http://www.crcpress.com/product/isbn/9781466565968

Table of ContentsGeneral Wisdom～Movement and PathfindingPathfinding Architecture Optimizations Steve Rabin and Nathan SturtevantChoosing a Search Space Representation Nathan R. SturtevantCreating High-Order Navigation Meshes through Iterative Wavefront Edge Expansions D. Hunter Hale and G. Michael YoungbloodPrecomputed Pathfinding for Large and Detailed Worlds on MMO Servers Fabien Gravot, Takanori Yokoyama, and Youichiro MiyakeTechniques for Formation Movement using Steering Circles Stephen BjoreCollision Avoidance for Preplanned Locomotion Bobby AnguelovCrowd Pathfinding and Steering Using Flow Field Tiles Elijah EmersonEfficient Crowd Simulation for Mobile Games Graham PenthenyAnimation-Driven Locomotion with Locomotion Planning Jarosław CiupińskiStrategy and TacticsTactical Position Selection: An Architecture and Query Language Matthew JackTactical Pathfinding on a NavMesh Daniel BrewerBeyond the Kung-Fu Circle: A Flexible System for Managing NPC Attacks Michael DaweHierarchical AI for Multiplayer Bots in Killzone 3 Remco Straatman, Tim Verweij, Alex Champandard, Robert Morcus, and Hylke KleveUsing Neural Networks to Control Agent Threat Response Michael Robbins～

「宇宙は数字のロックンロール」 1th

三宅　陽一郎2014.5.16

数学と宇宙編

宇宙の対称性とその破れ第一章

初めに言葉ありき

宇宙の発展　　　　　　　すべては真空から始まる。

真空は何もない状態ではない。真空はエネルギーの「ゆらぎ」を持っている状態。

宇宙の発展　　　　　　　すべては真空から始まる。

生成演算子（ ） * 消滅演算子 ( )

あらゆる瞬間に、宇宙の場では、粒子が生成し消滅している （揺らいでいる）

nana

物理法則＝場の法則• あらゆる物理の基本法則は「場の理論」

として表現される（場の物理学）。• 「場」（ Field ）とは、宇宙のあらゆる点

で連続的に定義されているもの。

＝見えない海のようなもの。海の一点を振動させると、それがどこまでも遠くへ伝播して行く。

（例）地球（＝巨大な磁石）が宇宙に作る磁場

http://orbiterchspacenews.blogspot.jp/2012_10_21_archive.html

( 例 ) 太陽が作る電磁場

http://theextinctionprotocol.wordpress.com/2013/08/06/nasa-confirms-suns-magnetic-field-is-about-to-flip/

http://www.universetoday.com/71872/amazing-image-map-of-magnetic-field-lines-of-the-sun/

( 例 ) 　重力場

http://www2.ifa.hawaii.edu/newsletters/article.cfm?a=536

（例）オーロラ＝地球の磁場と太陽粒子

http://phys.org/news/2014-06-red-dwarf-planets-hostile-space.htmlhttp://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=6226

物理法則＝場の法則• あらゆる物理の基本法則は「場の理論」とし

て表現される。• 「場」（ Field ）とは、宇宙のあらゆる点で連

続的に定義されているもの。

＝見えない海のようなもの。海の一点を振動させると、それがどこまでも遠くへ伝播して行く。宇宙は場で満たされていて、力は波として伝わり、粒子は場の励起（振動）として表現される。

宇宙に満たされる場の種類

http://w3.kcua.ac.jp/~fujiwara/cosmos/cosmology/cosmology.html

あらゆる物理法則は対称性を持つ

円の対称性

円には対称性がある。

円の対称性

円には対称性がある。

＝　円状の全ての点を一斉に　　 任意角度を回転させても、　　 形が変わらない

数学では SO （２）の対称性という。

回転前　

(x, y) → (X, Y)

回転後　　

122 yx

122 YX

y

x

Y

X

cossin

sincos

対称性

円には対称性がある。

＝　円状の全ての点を一斉に　　 任意角度を回転させても、　　 形が変わらない

数学では SO （２）の対称性という。

回転前　

(x, y) → (X, Y)

回転後　　

122 yx

122 YX

y

x

Y

X

cossin

sincos

球の対称性

球には対称性がある。

対称性

球には対称性がある。

＝　球内の全ての点を一斉に　　 任意の軸を中心に、　　任意角度を回転させても、　　 形が変わらない

数学では SO （３）の対称性という。

回転前　

(x, y) → (X, Y, Z)

回転後　　

1333 zyx

1333 ZYX

対称性を表す言葉

　 SO(2) … ２次元回転対称性　（円対称性） SO(3) … ３次元回転対称性　（球対称性）　 SU(1) … 複素数空間における回転対称性　 SU(2) … 複素二次元空間における回転対称性 …. 群の言葉によって表現される　 いろいろな対称性がある。

群 (Group)

あらゆる物理法則は対称性を持つ＝あらゆる「場」は対称性を持つ

SU(2) ｘU(1)

SU(3) ｘ SU(2) ｘU(1)

？

ワインバーク＝サラム理論（電弱統一理論）ヤン＝ミルズ場

標準理論（統一理論）

宇宙の発展

http://w3.kcua.ac.jp/~fujiwara/cosmos/cosmology/cosmology.html

宇宙の発展＝場の進化＝場の分岐

SU(2) ｘU(1)

SU(3) ｘ SU(2) ｘU(1)

？

ワインバーク＝サラム理論（電弱統一理論）ヤン＝ミルズ場

標準理論（統一理論）

宇宙の発展

宇宙は発展と共に、高い対称性から低い対称性へと移って来た。現在、宇宙は異なる４つの場で満たされている。

http://w3.kcua.ac.jp/~fujiwara/cosmos/cosmology/cosmology.html

重力場＝大きなスケール電磁場＝小さいスケール

弱い力、強い力＝量子スケール

http://blogs.yahoo.co.jp/hyper_kurakura/16328003.html江尻宏泰「ビックリするほど素粒子のわかる本」からの引用

力によって有効距離がぜんぜん違う。 ( 結合定数の違い )

北海道大学　素粒子論研究室http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~cosmo/member/02.htm

宇宙の発展＝場の進化＝場の分岐

SU(2) ｘU(1)

SU(3) ｘ SU(2) ｘU(1)

？

ワインバーク＝サラム理論（電弱統一理論）ヤン＝ミルズ場

標準理論（統一理論）

宇宙の発展

宇宙の冷却と共に、自然に高い対称性が低い対称性へ移って行く。

これを「自発的対称性の破れ」と言う。 (Spontaneous Symmetry Breaking)

http://w3.kcua.ac.jp/~fujiwara/cosmos/cosmology/cosmology.html

自発的対称性の破れ(Spontaneous Symmetry Breaking)

高い対称性

低い対称性

低い対称性

低い対称性

はじめに言葉ありき。ちょうどバベルの塔のように、最初には一つの高い対称性があった。しかし、それが分岐して、それぞれ違う対称性になって、その対称性は違うそれぞれの対象のスケールでしか観測できない。

ネーターの定理• 対称性があれば保存量がある。

円には対称性がある。

＝　円状の全ての点を一斉に　　 任意角度を回転させても、　　 形が変わらない

＝　半径は変化しない。数学では SO （２）の対称性という。

ネーターの定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/ 対称性 _( 物理学 )

ネーターの定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/ 対称性 _( 物理学 )

対称性 保存量

（余談）粒子、反粒子• 粒子に対して、反粒子が存在する。 Dirac

によって予言された。• はじめて版権された粒子とは陽電子で

あった。これは宇宙線の中から、アンダーソンによって観測された。

• 光子の反粒子は光子そのものである。

（余談）宇宙の晴れ上がり• 宇宙の晴れ上がりとは、それまで電子に捕獲されていた光子の平均移動距離が長くなった時点を言う。

http://blog.goo.ne.jp/astro0720/e/6c5fd72ed1b864d7ba9d0dcb3d6d7400

（余談）物理学の体系• 古典力学は特殊相対性理論、量子力学、流体力学、統計力学という大きな枠組みを作り出した。

• そこからは、そのフレームの中で、どんな物理学を構築するか、ということ。

• 例えば、あらゆる物理学は相対論的要請を満たさなければならない、ということは、ローレンツ変換に対して不変であるように、記述せねばならないということ。

数の世界の拡張第二章

数の世界の拡張• 自然数 1,2,3…• 整数 … -3, -2 -1, 0 , 1, 2, 3, …• 無理数 √ 2, √3… 　…－√ 5• 実数　＝　自然数と無理数• 複素数 0.2+ 0.3 i (ii = -1)• 四元数　 0.1 + 3.4 I + 8.3 j + 2.3 k 　• 行列

cossin

sincos

複素数• A+bi のかたちの数 i*i =-1 • (2+3i)* (3+4i) = 2*3+3*3i+ 2*4i+3*4*i*I = 6 +9i +8i+3*4*(-1) = -6+17i

複素数＊複素数　＝　複素数 複素数 / 複素数　 ＝ 複素数複素数＋複素数　＝　複素数

複素数という数のグループがある、実数よりももっと広い。複素数同士は足してもかけても割っても複素数で閉じる。

このグループのことを数学では体といいます。複素数体。

四元数（しげんすう）• A + Bi+Cj+Dk の形。

• 四元数＊四元数　＝　四元数• 四元数 / 四元数 ＝　四元数• 四元数＋四元数　＝　四元数

四元数という数のグループがある、実数よりももっと広い。四元数同士は足してもかけても割っても複素数で閉じる。

１ i j k

1 1 i j k

i i -1 k -j

j j -k -1 i

k k j -i -1

このグループのことを数学では体といいます。四元数体。

数の世界の拡張• 自然数 1,2,3…• 整数 … -3, -2 -1, 0 , 1, 2, 3, …• 無理数 √ 2, √3… 　…－√ 5• 実数　＝　自然数と無理数• 複素数 0.2+ 0.3 i (ii = -1)• 四元数 0.1 + 3.4 i + 8.3 j + 2.3 k• 行列

cossin

sincos

数の世界の拡張• 自然数 1,2,3…• 整数 … -3, -2 -1, 0 , 1, 2, 3, …• 無理数 √ 2, √3… 　…－√ 5• 実数　＝　自然数と無理数• 複素数 0.2+ 0.3 i (ii = -1)• 四元数 0.1 + 3.4 i + 8.3 j + 2.3 k• 行列

可換世界

非可換世界

cossin

sincos

可換世界・非可換世界可換世界＝かけ算の順番を変えても順番が変わらない。　 2*3=3*2=6, (2+3i)* (3+4i)=(3+4i)*(2+3i)=6+17i

非可換世界　 A * B と　 B* A の結果が違う。

可換世界・非可換世界可換世界＝かけ算の順番を変えても順番が変わらない。　 2*3=3*2=6, (2+3i)* (3+4i)=(3+4i)*(2+3i)=6+17i

非可換世界　 A * B と　 B* A の結果が違う。

r

量子力学の世界

スケール

人間（～１ｍ）は極大と極小のだいたい中間にある。

スケール

量子力学

現代化学

古典化学

原子核物理

古典力学

特殊相対性理論

一般相対性理論

スケール

量子力学

現代化学

古典化学

原子核物理

古典力学

特殊相対性理論

一般相対性理論

古典方程式の世界行列力学の世界

非可換世界 可換世界

行列代数

四元数

複素数

実数有理数自然数

数から表現へ

非可換世界

可換世界

数と認識、物理学理論• 数という概念は人間の世界観そのものを変

化させて行く。• 物理学の理論も、数の概念の拡張と共に

あった。• ほとんどの場合、数学が先を行った後に、

　　物理学でそれを用いる。• 数学がその時代の物理学に先んじて用意さ

れているのは、不思議なことだ。

そして、 KAKEXUN へ。数は数だけでない。拡張している。

そして、数の拡張は時間差で物理学と同期する。

数字と数学によって世界を躍動させよう！

次回予告。• 非線形現象• 力学系• 対称性と変換群• 音楽と数学• 経済学と複雑系• 眠りの中のリズム• 言語の発生• 雲の生成• 自動星系生成• 精神の力動と力学系• 群知能• さまざまな数• 知能の予測と暗算• シミュレーションと予測　• 主観的数学