MENCARI INVERS MATRIKS MELALUI DETERMINAN

Setiap matriks bujursangkar-n A = [aij] selalu memiliki skalar khusus yang disebut determinan yang dinotasi-kan dengan det(A) atau |A| atau

a11 a12 a13 ..... ..... a1n

a21 a22 a23 ..... ..... a2n

..... ..... ..... ..... ..... .....

an1 an2 an3 ..... ..... anm

• Misalkan

• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian minor dan kofaktor.

• Ilustrasi:

• Minor komponen adalah

• Kofaktor komponen adalah

det A = | A | := ad-bc

Minor adalah bagian matrik terkecil dengan dimensi 2x2 dari suatu matrik bujursangkar yang sama atau lebih dari dimensi 3x3

Kofaktor adalah nilai skalar permutasi dari minor

Dengan cara yang sama diperoleh

Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikan skema berikut :

Diperoleh

Definisi determinan matriks 3 x 3:

Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.

Aij* = (-1)i+j.Mij

sehingga determinan matriks A adalah = 36 + 12 + 16 = 64

Mencari determinan matriks A dengan kofaktor

36

-4

3

0= 3 x (-1)1+1 x (6x0 - 3x-4) = 36

21

2

3

0= 2 x (-1)1+2 x (1x0 - 3x2) = 12

-11

2

6

-4= -1 x (-1)1+3 x (1x-4 - 6x2) = 16

i = 1, j = 1

i = 1, j = 2

i = 1, j = 3

Adjoint matriks

• Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor aij adalah Cij maka matriks

• Contoh:

disebut matriks kofaktor dari A, dan transposenya disebut adjoint A, ditulisadj(A).

Kofaktor A :

Mencari kofaktor melalui minor matriks A

i =1, j = 1

Mij = M11 = 6

-4

3

0= (6 x 0) - (3 x -4) = 12

Cij = (-1)i+j x Mij C11 = (-1)1+1 x M11

C11 = 1 x 12C11 = 12

i =1, j = 2

Mij = M12 = 1

2

3

0= (1 x 0) - (3 x 2) = -6

Cij = (-1)i+j x Mij C12 = (-1)1+2 x M12

C12 = -1 x -6C12 = 6

i =1, j =3

Mij = M13 = 1

2

6

-4= (1 x -4) - (6 x 2) = -16

Cij = (-1)i+j x Mij C13 = (-1)1+3 x M13

C13 = 1 x -16C13 = -16

i =2, j = 2

Mij = M22 = 3

2

-1

0= (3 x 0) - (-1 x 2) = 2

Cij = (-1)i+j x Mij C22 = (-1)2+2 x M22

C22 = 1 x 2C22 = 2

i =2, j = 1

Mij = M21 = 2

-4

-1

0= (2 x 0) - (-1 x -4) = -4

Cij = (-1)i+j x Mij C21 = (-1)2+1 x M21

C21 = -1 x -4C21 = 4

i =2, j =3

Mij = M23 = 3

2

2

-4= (3 x -4) - (2 x 2) = -16

Cij = (-1)i+j x Mij C23 = (-1)2+3 x M23

C23 = -1 x -16C23 = 16

i =3, j = 1

Mij = M31 = 2

6

-1

3= (2 x 3) - (-1 x 6) = 12

Cij = (-1)i+j x Mij C31 = (-1)3+1 x M31

C31 = 1 x 12C31 = 12

i =3, j = 3

Mij = M33 = 3

1

2

6= (3 x 6) - (2 x 1) = 16

Cij = (-1)i+j x Mij C33 = (-1)3+3 x M33

C33 = 1 x 16C33 = 16

i =3, j =2

Mij = M32 = 3

1

-1

3= (3 x 3) - (-1 x 1) = 10

Cij = (-1)i+j x Mij C32 = (-1)3+2 x M32

C32 = -1 x 10C32 = -10

Hasil kofaktor dibentuk menjadi matriks

Matriks kofaktor

Matriks kofaktor ditranspose

• Invers matiks A adalah

• Contoh: diperhatikan kembali matriks A sebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64, jadi

Invers matriks