04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Pertemuan 9

1

Teknik Digital

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Aljabar Boolean Ch.1

2

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Aturan-aturan untuk menentukan logika digital, atau `switching algebra’Terkait dengan nilai-nilai Boolean yaitu 0, 1Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-variabel – {X, Y, DIN, …}

 Perjanjian logika positif

Tegangan (LOW, HIGH) (0, 1) logika negatif – jarang digunakan

 Operator-operator: { · , + , ‘ , }

Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema …Membantu untuk mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih

sederhana dan meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital

3

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Definisi: Ekspresi BooleanLiteral: sebuah variabel atau komplemennya

X′, X, DIN′, TK_L

 Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND,

OR, tanda kurung, komplementasiX+YP · Q · RA + B · C((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′

Persamaan: variabel = ekspresiP = ((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′

4

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

AksiomaAksioma

kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1’-A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching

Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15).

5

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema-teorema variabel tunggal (T1-T5)

(T1) X + 0 = X (T1′) X · 1 = X (Identities)

(T2) X + 1 = 1 (T2′) X · 0 = 0 (Null elements)

(T3) X + X = X (T3′) X · X = X (Idempotency)

(T4) (X′)′ = X (Involution)

(T5) X + X′ = 1 (T5′) X · X′ = 1 (Complements)

6

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Cont’Dibuktikan melalui induksi sempurna

(perfect induction)Karena sebuah variabel switching hanya

dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1

 Contoh: (T1) X + 0 = X

X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4’

X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5’

7

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema-teorema dua dan tiga variabel (T6-T11)

(T6) X + Y = Y + X (T6′) X · Y = Y · X (Commutativity)

(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7′) (X · Y) · Z = X · (Y · Z) (Associativity)

(T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8′) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z (Distributivity)

(T9) X + X · Y = X (T9′) X · (X + Y) = X (Convering)

(T10) X · Y + X · Y′ = X (T10′) (X + Y) · (X + Y′) = X (Combining)

(T11) X · Y + X′ · Z + Y · Z = X · Y + X′ · Z (Consensus)

(T11′) (X + Y) · (X′ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X′ + Z)

8

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Cont’

Dualitas:Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-teorema

tetap benar?Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki

sebuah dual … Hati-hati dengan` urutan operator

(operator precedence ’ dan penggunaan tanda kurung)

9

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema T6, T7

(Commutatif) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X · Y = Y · X (Assosiatif) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z)

10

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Cont’Mirip dengan hukum-hukum komutatif dan

asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-bilangan bulat dan riil

11

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema T8(Distributif)

(T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z

Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS))

V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z)

(bentuk SOP) (bentuk POS)

(V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z)

Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana Yang mana lebih logis menurut anda?

12

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema T9, T10

(Covering) (T9) X + X · Y = X (T9’) X · (X + Y) = X (Kombinasi) (T10) X · Y + X · Y’ = X (T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X

Berguna dalam penyederhanaan fungsi-fungsi logika

13

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema T11(konsensus) (T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z (T11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z)

Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X’·Z: Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1 Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang

14

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Teorema-teorema N-variabel (T12 – T15)

(T12) X + X + ··· + X = X Generalized idempotency (T12’) X · X · ··· · X = X

(T13) (X1 · X2 · ··· · Xn)’ = X1’ + X2’ + ··· + Xn’ DeMorgan’s theorems

(T13’) (X1 + X2 + ··· + Xn)’ = X1’ · X2’ · ··· · Xn’

(T14) [F(X1, X2, ··· ,Xn, + , · ]’ = F(X1’, X2’, ··· ,Xn’, · , +) Generalized DeMorgan’s theorem

(T15) F(X1, X2, ··· ,Xn) = X1 · F(1, X2, ··· ,Xn) + X1’ · F(0, X2, ··· ,Xn) Shannon’s expansion theorems (T15’) F(X1, X2, ··· ,Xn) = [X1+ F(0, X2, ··· ,Xn) ] · [X1’ + F(1, X2, ··· ,Xn) ]

Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction) Paling penting: teorema-teorema DeMorgan (T13 & T13’)

15

04/13/2023Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM

Thank you !!!

16