UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERIA

INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

FISICA MODERNA FISICA MODERNA

SECCIÓNSECCIÓN : ST-203 : ST-203

TEMA : MUSICOS SIDERALES

PROFESORPROFESOR : : PERCY CAÑOTE FAJARDOPERCY CAÑOTE FAJARDO

2009-I__________________________________________________________________

INDICE

I.-Objetivos-------------------------------------------------------------------------3

II.-Explicación del problema---------------------------------------------------3

III.-Preguntas generales-------------------------------------------------------4

IV.-Conceptos preliminares---------------------------------------------------5

1.-Fundamentos de Mecánica Clásica

2.-Postulados de einstein

3.- Transformaciones de lorentz

4.-Efecto doppler relativistico

V.- Hipótesis y conjeturas---------------------------------------------------12

VI.- Posibles soluciones-----------------------------------------------------12

VII.-Supuestos que se te tienen para el problema-------------------13

VIII.-Preguntas adicionales------------------------------------------------13

IX.- Conclusiones------------------------------------------------------------42

X.- Bibliografía---------------------------------------------------------------44

2

MÚSICOS SIDERALES

I.-OBJETIVOS :

Comprender los postulados de la Relatividad Especial de Albert

Einstein respecto a la indetectabilidad del Movimiento Absoluto

Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz.

comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de

referencia inerciales que se mueven con velocidad constante

unos respecto de otros.

Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la

Relatividad en la medición de los intervalos de tiempo y

espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se

desplaza con una velocidad comparable al de la luz.

II.-EXPLICACION DEL PROBLEMA:

Rocío y Marlon son 2 hermanos gemelos, ambos músicos.

Marlon viaja a un planeta X, que se encuentra a 8 años luz de

la tierra.

Para que Marlon llegue al planeta X el viaja con una velocidad

0.8c y según el personal de vuelo se sabe que su viaje

demorara 6 años.

Rocío debido a su Mecánica Clásica calcula que el viaje

debería durar 10 años.

Marlon le propone a Rocío enviarse señales mutuamente

cuando cumplan años.

El regreso de Brandón al llegar al planeta “x “se realiza de

forma inmediata.

III.-CONCEPTOS PRELIMINARES:

1.-FUNDAMENTOS DE MECANICA CLASICA 3

ECUACIONES:

4

2.-POSTULADOS DE EINSTEIN

PRIMER POSTULADO:

Dos sistemas de coordenadas (sistemas inerciales) cualesquiera

que se muevan el uno respecto al otro con velocidad relativa

constante son equivalentes para la descripción de fenómenos

físicos.5

SEGUNDO POSTULADO:

La velocidad de la luz es independiente del movimiento relativo del

observador y la fuente luminosa.

3.- TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la

relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta

de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física

obtenidas por dos observadores diferentes.

Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de

la relatividad especial de Einstein.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la

velocidad de la luz constante para todos los observadores

inerciales.

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ DE LAS COORDENADAS

Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede

en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un

tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos

sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes

observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes.

Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por

dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido

a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros

observadores son relacionales por reglas fijas: las

transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas

transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas

de referencia inerciales u observadores inerciales: y y se

supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o

punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo 6

y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas

diferentes:

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan

el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables

de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el

sistema está en movimiento uniforme a velocidad a lo largo del

eje X del sistema y en el instante inicial ( ) el origen de

coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las

coordenadas atribuidas por los dos observadores están

relacionadas por las siguientes expresiones:

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

Donde es la velocidad de la luz en el vacío.

Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma

matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de

Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:

7

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el

supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de

referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la

forma concreta de las ecuaciones se complica.

Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa

entre los dos sistemas se de según el eje X y que los ejes de

ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones

de la transformación de Lorentz se complican más aún,

denominándose la expresión general transformación de Poincaré.

4.- EFECTO DOPLER RELATIVISTICO

Cuando una fuente de ondas se acerca o se aleja a un receptor,

ocurre el llamado efecto Doppler. Cuando se acerca el emisor

resulta que las ondas “se aprietan” aumentando la frecuencia de

las ondas por delante de él y disminuyendo por detrás. Y cuando

es el receptor es que se acerca al emisor tenemos que el receptor

va alcanzando las ondas que se le acercan antes de lo previsto. En

ambos casos el acercamiento provoca un aumento de la frecuencia

percibida y el alejamiento una disminución.

Es interesante estudiar como afecta la relatividad especial a este

fenómeno, pues no podemos olvidar que a altas velocidades el

tiempo se vuelve lento en el objeto móvil respecto al sistema de

referencia considerado en reposo.

Supongamos que una nave se aleja de la Tierra hacia otra estrella

(en reposo relativo respecto a la Tierra) a velocidad relativa a la

Tierra “v”.

La estrella emite radiaciones a una frecuencia “f0”, que son

observadas desde la nave y los astronautas miden una frecuencia

"f". 8

Por efecto Doppler galileano tenemos que la frecuencia observada

por la nave será f = f0 (c+v)/c

Pero dado que no podemos olvidar la RE, tenemos que hemos

considerado a la estrella en reposo, y entonces debo aplicar la RE

desde el punto de vista de la estrella, con lo que la nave se mueve

y posee sus relojes más lentos en un factor K = (1-v2/c2)1/2.

Así que la verdadera frecuencia que percibiría la nave al observar a

la estrella sería mayor, pues recibirá más fotones por segundo

propio, y sería:

f = f0 (c+v)/(c K) (1)

Esta es la expresión típica del efecto Doppler relativista que se

puede simplificar a

Si ahora consideramos el problema desde el punto de vista de la

nave, considerándola inercial, tenemos que el efecto Doppler

clásico es diferente f= f0 c/(c-v). Si comparamos los efectos doppler

clásicos resulta que podríamos determinar "quién se mueve".

Podríamos determinar el "movimiento absoluto". Pero estamos

tratando de verlo desde un punto de vista relativista y no hemos

terminado de completar la fórmula. Debemos tener en cuenta que,

desde el punto de vista de la nave y suponiendo que la nave está

en reposo, es la estrella la que se mueve y acerca a una velocidad

“v”. Con lo que ahora es la estrella la que tiene su tiempo

enlentecido en el mismo factor de antes y la nave no.

9

Así resulta que la frecuencia observada entonces debería ser

menor que el doppler esperado, pues la estrella emitirá menos

fotones por segundo, siendo entonces

f = f0 K c/(c-v) (2)

Esta expresión también se puede simplificar y resulta

¡La misma expresión típica del efecto Doppler relativista que antes!

Desde ambos puntos de vista resulta que la medición por parte del

observador será la misma, manifestándose así el principio de

relatividad en todo su esplendor, pues por observación del efecto

Doppler ningún observador podrá determinar si está más en reposo

que otro.

Para terminar observemos en el siguiente gráfico la representación

de los dos efectos doppler clásicos y la del doppler relativista

10

Podemos observar claramente la diferencia entre los tres, y que en

el verdaderamente correcto, el relativista, la relación f/fo tiende a

infinito a medida que la velocidad se acerca a la de la luz (v/c se

acerca a 1).

La corrección relativista al efecto Doppler es una de las principales

pruebas de la dilatación temporal predicha por la teoría de la

relatividad.

IV.-PREGUNTAS GENERALES:

¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que

le corresponde?

La explicación se basa en la dilatación del tiempo predicha por la teoría especial de la relatividad. Esta postula que la medida del tiempo no es absoluta y que dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, no coincide; la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así en la teoría de la relatividad las medidas tanto del tiempo como del espacio son relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador.

11

En caso Marlon decida emprender el retorno de forma inmediata

¿La cantidad de señales entre ambos hasta el momento del

reencuentro serán los mismos?

No, la cantidad de señales que envían cada uno va a ser diferente. Puesto que una de las consecuencias de la TER de Einstein es que los eventos en diferentes posiciones que ocurren de manera simultanea en un marco no son simultáneos en otro marco que se mueve de manera uniforme respecto al primero, a pesar de que la velocidad de las señales de luz es la misma en ambos marcos de referencia (por el segundo postulado de Einstein) las frecuencias cambiaran por consecuencia de la dilatación del tiempo, esto lo explica el efecto Doppler relativista.

V.-HIPOTESIS Y CONJETURAS:

El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a grandes

velocidades, próximas a la velocidad de la luz.

La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos

observadores el tiempo medido por estos observadores, en

general, no coincide sino que la diferente medida de tiempos

depende del estado de movimiento relativo entre ellos

VI.-POSIBLES SOLUCIONES:

Sol 01: El tiempo transcurrido será menor para el viajero si su

velocidad es muy cercana a la velocidad de la luz, pues de este

modo el tiempo transcurre más lentamente en ella.

Sol02: el tiempo puede ser calculado tomando a la nave como un

sistema de reposo y a la tierra y roció en movimiento, en cuyo caso

su valor debe ser igual al que anuncia la compañía de vuelos para

el viaje de Marlon. Aquí es de esperar la existencia de una

asimetría.

Sol03: El número de señales deben ser diferentes, rocío recibe

menos señales luminosas que Marlon, pues este se encuentra en

movimiento y esto afecta a la frecuencia de la luz.12

VII.-SUPUESTOS QUE SE TE TIENEN PARA EL PROBLEMA:

Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de la

tierra.

Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y de la

tierra hacia la nave.

VIII.- PREGUNTAS ADICIONALES :

Las preguntas que se formulan ante este problema son:

1¿De qué tratan los Postulados de Einstein? ¿Tienen estos

postulados alguna conexión con el problema planteado?

Einstein entró en escena en 1905 con su famoso documento

acerca de TER. Redefinió, las transformadas de Lorentz para

poder resolver el problema de la invariabilidad de las ecuaciones

de Maxwell. Pero también estableció dos postulados

POSTULADOS DE EINSTEIN

- Las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de

referencia inercial (principio de relatividad).

- La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en

cualquier marco de referencia inercial (principio de la constancia de

la velocidad de la luz).

El primer postulado, este implica que el movimiento en línea recta

y a velocidad constante sólo se puede observar si existe un marco

de referencia contra el cual comparar. Por lo tanto no existe un

marco de referencia absoluto con respecto al cual se pueden

comparar todos los movimientos. Entonces cualquier sistema de

referencia inercial esta apto para describir un fenómeno físico.

El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo

y confirma los resultados del experimento de Michelson y Morley: 13

si la velocidad de la luz es constante no hay diferencia de tiempo

entre dos recorridos de la luz y por consiguiente no puede haber

corrimiento de las franjas de interferencia al girar el interferómetro.

Además, también nos dice que la velocidad de la luz es

independiente del movimiento del observador o de la fuente.

Estos postulados tienen relación con el problema, ya que el primer

postulado se relaciona en cualquier marco de referencia, en el

problema se relaciona a la tierra donde esta Rocío, y el otro sería la

nave donde se va ha transportar Marlon por que el experimenta

unas observaciones distintas aunque no parezca por nuestra física

clásica.

2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo

dilatado a partir de las Transformaciones de Lorentz?

X = x’ + vt’ Y = y’ Z = z’ t = t’

x’ = X – vt

V’x = d(x’)/d(t’) = d(X-vt) / d(t’) = d(X-vt) / d(t) = Vx –V

V’y = Vy V’z = Vz

a’x = ax a’y = ay a’z = az

14

O’

x’

z

y’

Y

Z

XO

v

Estas son las transformaciones de Galileo pero según la relatividad

esto ya no sería adecuado y necesitamos unas nuevas

transformaciones que mantengan la velocidad de la luz constante.

Las transformaciones de Galileo y las de Newton son válidas (las

variaciones en el tiempo y longitud son imperceptibles) cuando los

objetos gobernados por ellas se mueven a velocidades pequeñas

comparadas con la luz. Pero es necesario un ajuste cuando la

velocidad de los objetos es muy grande, o comparable con ella.

Entonces las transformaciones de Galileo se multiplican por un

factor adecuado para obtener unas nuevas transformaciones

adecuadas al problema e imponerle al factor la condición de que

para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz,

sea igual a la unidad.

Esto hace que las nuevas transformaciones sean generales y se

puedan aplicar en cualquier caso.

Entonces:

X = γ (x’ + vt’) x’ = γ (X – vt)

Como : X = ct x’ = c(t’ )

c (t) = γ( c(t’) + vt ) ct = γ( c + v )

t’

c (t’) = γ( ct - vt) ct’ = γ( c - v )

t

c / γ( c - v) = γ( c + v) / c

γ = 1/ ( 1 – (v/c) ²) ^(1/2)

)4.(..............................'´

.(3).................................................. '

(2).................................................. '

.......(1).............................. ''

. c

uxt=t

z=z

y=y

u)t(x=x

2γ

γ

+

+

c

uxt=t

2γ

+ '1́1

c

uxt=t

2γ

+ '2´2

15

De modo que:

t2 – t1 = (t’2 –t’1) γ

El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurre en el mismo lugar

en un sistema de referencia se denomina el tiempo propio tp. En este

caso, el intervalo de tiempo Δt medido en cualquier otro sistema de

referencia es siempre más largo que el propio. Este crecimiento se

denomina dilatación del tiempo:

Δt = γ Δtp

Y para la contracción de la longitud se tiene:

)4.........(

..(3)....................

)2....(....................

)1(..............

c

ux-t=t

z=z

y=y

u) t-(x=x

2γ

γ

′

′′

′

Consideremos una varilla en reposo en el sistema S´ con un extremo

en x’2 y el otro x’1. La longitud de la varilla en este sistema es su

longitud propia Lp = x’2 – x’1. Para hallar la longitud de la varilla en

el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema la varilla

se esta moviendo hacia la derecha con velocidad “u”, que es la

velocidad de S’.

Se define la longitud de la varilla en el sistema S como L = x2 – x1;

en donde x2 es la posición de un extremo en un cierto instante t1, y

x1 es la posición del otro extremo en el mismo instante t1 = t2 ,

medidos en el sistema S. Para calcular x2 – X1.

X’2 = γ (x2 – ut2) X’1 = (x1 – ut1)

Como t2 = t1,

Obtenemos:

X’2 – x’1 = γ (x2 – x1) X2 – x1 = (x’2 – x’1)/ γ

Por lo tanto entonces la longitud del sistema de referencia S es mas

pequeña en comparación con la longitud propia (Contracción del

espacio). 16

L = Lp/ γ

3. Valiéndose solo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro

método podrían aplicar para deducir la misma relación de

tiempo dilatado?

Existe un ejemplo donde se dispara un haz de luz dentro de un

vagón en la posición 1. En esta posición el sostiene velocidad 0. En

la posición 2 el sistema se mueve a una velocidad constante V.

La luz en ambos sistemas y para ambos observadores debe viajar

igual a c pero para los dos observadores se ve que recorren

caminos distintos.

-En 1 la luz recorre 2D a un tiempo Δt entonces:

Δt = 2D/C (1)

-En 2 se ve que la luz recorre una distancia mayor, pero sabemos

por los postulado de Einstein que la luz no puede variar de

velocidad sin importar donde se encuentre el observador, entonces

el que tiene que variar es el tiempo Δt’

(c Δt’/2) ² = (v Δt’/2) ² + D² (2)

Entonces despejando: 17

D

1 2v

C Δt’/2

v Δt’/2

D

Δt’ = 2D / (c (1-(v/c) ²) ^½)

Reemplazando 1 en 2

Pero como 2D / c = Δt y γ = 1/ (1 – (v/c) ²) ^ (1/2) entonces

Δt’ = γ Δt Dilatación del tiempo Δt’ = γ Δt

4.-Elaboren un análisis relativistico del problema planteado y

formulen una hipótesis de trabajo para resolver la posible

incongruencia de resultados de Rocío.

Lo que sucede en el problema es que los dos observadores están

en distintos sistemas de referencia, tanto Rocío como Marlon.

Rocío se encuentra en la tierra y su sistema de referencia es esta,

todo lo que percibe es respecto a la tierra, ella no ve ni percibe la

contracción de longitudes ni la dilatación del tiempo.

El problema se centra en los postulado de Einstein en el cual para

cualquier sistema las leyes físicas se cumplen, y la velocidad de la

luz es la misma para cualquiera que sea el observador, en el

momento en que Marlon comienza a mandar las luces, este recorre

una distancia, que en un sistema puede ser la distancia menor, y

en el otro sistema de referencia puede verse mayor y en esto es

que ven que sus relojes se diferencian, y cada uno se ven mas

jóvenes.

Como ya hemos comentado antes, el problema de la paradoja

reside en que dependiendo del sistema inercial en que observemos

los sucesos, tanto Marlon como Rocío se ven más jóvenes, pero no

podemos tomara como sistema inercial el caso de Marlon debido a

que su sistema sufre aceleraciones lo que rompe su estado de

observador inercial, pero esta parte se puede solucionar colocando

un reloj que se encuentre sincronizado con la tierra en ese caso

Marlon al llegar al planeta va observar que este se encuentra

adelantado al suyo (6.4 años) mas el tiempo que le ha tomado en

llegar que sería de 3.6 años calcularía el mismo tiempo de 10 años

que tiene Rocío, el mismo caso sucedería cuando Marlon realice el 18

viaje de regreso.

5.-comparar los resultados acerca del tiempo de viaje

eligiendo como sistema de referencia:

a) la tierra:

Tenemos:

Rx = 8años-luz

Siendo la tierra nuestro sistema de referencia tenemos que Roció

calcula en el instante en que Marlon ha recorrido 8 años luz el reloj

de Rocío registra (Según la mecánica clásica):

t = 8 a – c = 10 años

0.8c

Los dos sucesos el momento en que sincronizan Roció y Marlon

sus relojes y el recorrido de Marlon de 8 a-c no están en el mismo

punto en este marco de referencia, por lo que t =10 años. El reloj

de Marlon está en reposo en relación con él, y su reloj mide un

tiempo transcurrido igual a to.

……………………….. (1)

Donde γ

γ = _______1_______ = 5/3

V: Velocidad del cohete que es igual a 0.8c.

C: Velocidad de la luz que es igual a 3x108m/s

De (1):

En este sistema de referencia (tierra) el tiempo propio será el

tiempo medido por Marlon. (to).19

añost

t 63/5

10' ==∆=∆

γ

b)Para la nave en que viaja Marlon:

Debido a la contracción de longitud para Marlon el recorrido que

realiza lo realiza en solamente 6 años. Sin embargo podemos

indicar que para Marlon el que sufre la contracción del tiempo es

Rocío por encontrarse en un sistema que se mueve respecto a él.

Siendo el T de Marlon igual a 6 años. Para este sistema de

referencia el tiempo propio será el tiempo en el reloj de Rocío.

Por lo tanto el tiempo de movimiento de Rocío según Marlon será:

T Rocio = 3/5 T Marlon es igual a 3.6 años

Para detectar los 3.6 años que demora Rocío, Marlon usa en x un

reloj que solo es sincrónico para Rocío, entonces el reloj en x

(perseguidor) adelanta con respecto a Rocío una cantidad igual a:

LpV = 8 a-c x0.8c = 6.4años

C2 C2

Luego lo que debería ver Marlon será 3.6+ LpV = 3.6+6.4años = 10

años que vendría ser el verdadero tiempo. C2

Esto aclara finalmente que:

1. Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercial del

gemelo terrestre como los cálculos según el sistema del gemelo

viajero, ambos concluirán que el gemelo terrestre es quien

envejecerá más, ya que el tiempo medido durante el transcurso del

viaje es mayor para él. 20

2. La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la

relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas

inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la

continuidad de la métrica.

6.-Elabore un juicio de valor acerca de los resultados

obtenidos en la pregunta anterior.

Ciertamente tenemos que Marlon bajo las especificaciones

anteriores ha recorrido la trayectoria del viaje en solamente 12

años en comparación de lo experimentado por Rocío para la cual el

trayecto es de 20 años, esto es normal dentro de los parámetros de

la teoría de la relatividad especial. Debido a la contracción de la

longitud y la dilatación del tiempo.

Pero debemos tener en cuenta que la medición de Rocío se realiza

por que se encuentra en un sistema referencial inercial, a diferencia

de Marlon que no podría obtener la misma medición debido a que

se encuentra en un sistema referencial no inercial. Indico que se

encuentra en un sistema referencial no inercial debido a que la

nave podría sufrir aceleración a lo largo de su trayectoria y por lo

tanto la velocidad no sería uniforme.

En caso se considerará la aceleración de la nave entonces

podríamos empezar a hablar sobre los conceptos de la teoría de

relatividad general.

7. En base a uno de los postulados de Einstein se puede elegir

como sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon,

entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su

viaje con la tierra?, despreciar el arranque y el frenado de la

nave.

Se plantearía el mismo problema que el caso anterior en que la

Tierra era un sistema inercial solo que ahora se toma un 21

observador estacionario y en reposo respecto de la nave de Marlon

y aquí sería Rocío quien esté más joven, entonces el viaje de la

tierra de ida y vuelta demora 12 años por lo tanto Rocío demoraría

en volver 12 años

8. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora

los resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7)

¿cuántos años han pasado realmente para los dos

protagonistas de esta historia?

En la pregunta 5 se toma en cuenta el arranque y frenado de la

nave, entonces desde el punto de vista de Marlon o de Rocío

siempre se concluirá que el que viaja en la nave (en este caso

Marlon) será quien permanezca más joven. En cambio en la

pregunta 7 al no considerar el arranque y frenado se estaría

tomando por error a la nave como un sistema inercial y se estaría

originando la paradoja de que ambos piensan que el otro hermano

estará más joven en el momento del reencuentro.

Según Rocío (Ubicada en Tierra)

V = 0,8 c a un planeta distante LP = 8 años luz y debe demorar

en la ida

t = 8 a – c = 10 años

0.8c

Entonces regresará 20 años más tarde.

Según Marlon (Planeta P distante L´P)

Viaje demora:

Entonces regresa 12 años más tarde.22

Realmente han pasado 20 años para Rocío y 12 años para Marlon.

9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia cuando el observador

o la fuente experimentan un movimiento?

Las ondas de luz deben analizarse en forma distinta a como se

analizan las ondas sonoras, ya que no requieren de ningún medio

para propagarse y no existe ningún método para distinguir el

movimiento de la fuente de luz del movimiento del observador. Así,

es de esperar encontrara una formula diferente para el corrimiento

Doppler de ondas de luz, una que solo sea sensible al movimiento

relativo de la fuente y el observador, y que sea valida para

velocidades relativas de la fuente y el observador próximas a c.

fobs : es la frecuencia medida por un observador que se aproxima

a una fuente de luz

ffuente : es la frecuencia según se mide en el sistema de

referencia en que la fuente esta en reposo.

La expresión para el caso de una fuente que se aleja se obtiene al

sustituir v por –v en la ecuación.

10. Explique la conocida expresión: “corrimiento al rojo”.

El corrimiento al rojo es definido como un incremento en la longitud

de onda de radiación electromagnética recibidas por un detector

comparado con la longitud de onda emitida por la fuente. Este

incremento en la longitud de onda se corresponde con un

decremento en la frecuencia de la radiación electromagnética.

El corrimiento gravitacional hacia el rojo, el efecto Doppler de la luz

y el corrimiento cosmológico al rojo por la expansión del universo

forman el conjunto de tres corrimientos hacia el rojo distintos que

se confunden a menudo por producir cambios similares en la

frecuencia de las ondas electromagnéticas.

Los tipos de corrimiento al rojo:23

Un simple fotón propagado a través del vacío puede desplazarse

hacia el rojo de varias maneras distintas.

Cada una de estas maneras produce un desplazamiento de tipo

Doppler, que son descritos mediante transformaciones galileanas,

lorentzianas o relativistas entre un sistema de referencia y otro.

Corrimiento al rojo Doppler Transformaciones de Galileo Distancia

euclidiana

Doppler relativista Transformaciones de Lorentz Métrica Minkowski

Corrimiento al rojo cosmológico Transformaciones relativistas

Corrimiento al rojo gravitacional Transformaciones relativistas

Métrica de Schwarzschild

11) El conteo de las señales de luz que se enviaron los

protagonistas ¿permitirá determinar los años transcurridos

para ambos?

Debido a nuestras limitaciones matemáticas la mejor manera de

entender el paso del tiempo en ambos gemelos es el envío de

señales periódicas. Estas señales viajarán a la velocidad de la luz y

será recibida un cierto tiempo después por el hermano distante.

Recordemos que para hacer más claros los cálculos, normalizamos

las velocidades con respecto a c (c =1), de modo que la conversión

entre distancias en años luz y tiempos en años, se haga de forma

directa. En nuestro caso cada 365 días es decir, cuando cada uno

cumpla años. En las cuales para cada gemelo la información de

que su compañero ha cumplido años le servirá para conocer el

número de años que han pasado para cada uno.

Ahora debido al efecto Doppler relativista la frecuencia de llegada

de las señales no será de un año.

Debemos señalar que para Marlon durante sus seis años de viaje

de ida recibe señales de un tercio por año

f=fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2

f= fo (3)24

f ---- 3 si f = 6 entonces fo = (6*1)/3 = 2

fo ---- 1

Y por lo tanto recibe dos señales.

En su viaje de regreso recibirá tres señales por año:

f=fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2

f= fo (1/3)

f ---- 1 si f = 6 entonces fo = (6*3)/ 1 = 18

fo ---- 3

y durante los seis años que le toma regresar a la Tierra recibe 18

señales que sumadas a las dos anteriores

Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida = 2

Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta = 18

Total…………………………………………………… = 20

Hacen un total de 20 señales que ratifican los 20 años pasados

para Rocío.

Pero para Rocío con un tercio de ritmo de señales por año durante

los primeros 10 años no sabrá si Marlon ya se dirige de regreso

porque ella debería de recibir señales con mayor frecuencia.

Entonces durante 18 años ella recibirá 6 señales,

f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2

f= fo (3)

f ---- 3 si f = 18 entonces fo = (18*1)/3 = 6

fo ---- 1

Es ahora cuando ella recibirá tres señales por año por lo tanto en

estos dos últimos años ella tendrá que recibir 6 señales más. 25

f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2

f= fo (1/3)

f ---- 1 si f = 2 entonces fo = (2*3)/ 1 = 6

fo ---- 3

Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida = 6

Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta = 6

Total…………………………………………………… = 12

Hacen un total de 12 señales que ratifican los 12 años pasados

para Marlon.

La otra forma de resolver sin usar el efecto douppler relativista es

de la siguiente manera:

Sea: O = Roció

O’ = Marlon

Señales de O’

Cuando en O’ transcurra un intervalo t = 1 año, en O transcurrirá

t = o t’ = 5/3

Año. En el sistema de referencia O, O’ habrá recorrido una

distancia x = v t = 0,8 *5/3 = 4/3 ly (años luz). Cada año (en el

tiempo propio de su sistema inercial), O’ enviará una señal. Esa

señal viajará de regreso hacia el punto A a la velocidad de la luz, y

recorrerá esa distancia en un tiempo t = x / c. Utilizamos, por

simplicidad, al punto A como referencia de coordenadas.

Viaje de ida

Al cabo del primer año del tiempo propio de O’, en O habrán

transcurrido 5/3 de año. La distancia recorrida por O’, medida en O,

será de 4/3 ly. Significa que esta señal, viajando a la velocidad de

la luz, tardará 4/3 de año en llegar a A, donde será recibida por su

hermano. La primera señal llega entonces para t = 5/3 + 4/3 = 3

años.26

Al segundo año de O’, en O transcurrieron 10/3 de año, y la

distancia a A será de x = 0,8 *10/3 = 8/3 ly. Consecuentemente, la

segunda señal llegará a A 8/3 de año después, para t = 10/3 + 8/3

= 6 años. Así ocurre durante los 6 años del viaje de O’ (en su

tiempo propio):

Tiempo

transcurrido

en O’ (t’)

Tiempo

transcurrido

en O (t = d t’)

Posición

según O

(x=vt)

Tiempo de arrivo de la

señal según O

(t*=l t’+x/c)

1 5/3 4/3 32 10/3 8/3 63 5 4 94 20/3 16/3 125 25/3 20/3 156 10 8 18Vemos entonces que O’ envió 6 señales, a razón de una por año

(de su tiempo propio), y O recibe 6 señales, una señal cada 3 años

(de su tiempo propio), durante 6

Viaje de regreso

Finalmente, O’ inicia su viaje de regreso a la misma velocidad,

recorriendo las mismas distancias por año. Su posición respecto de

A será ahora x = 8 - v (t - 10), debido a que invierte el sentido de su

viaje cuando t = 10 y x = 8 respecto de O.

Al primer año del viaje de regreso, séptimo del viaje de O’, en O

habrán transcurrido t = 5/3 * 7 = 35/3 de año, y la posición respecto

de A será entonces x = 8 - 0.8 .5/3 = 20/3.

La señal enviada llegará a 20/3 de año después, es decir, para:

t = 35/3 + 20/3 = 55/3 = 18,33 años.

Al segundo año, octavo del viaje, en O habrán transcurrido t

= 40/3 de año, y su posición será x = 16/3. La señal llegará a A

16/3 de año después, cuando sea t = 56/3 = 18,67.

27

De igual modo, al tercer año, noveno del viaje, será x = 12/3 y la

señal transmitida llegará para t = 19 años.

Así sucederá los tres años siguientes:

O recibe un total de 12 señales al cabo de 20 años: 6 los primeros

18 años, a razón de 1 cada 3 años, y 6 los últimos 2 años, a razón

de 3 por año.

Señales de O

Cada año, O enviará una señal. Esta señal viajará con velocidad c

al encuentro de O’, que es un móvil para el sistema de referencia

O. Este móvil huirá de las señales durante su viaje de ida y correrá

a su encuentro durante el viaje de regreso.

El problema principal es un clásico problema de encuentro, en el

que un móvil más rápido sale a perseguir a uno más lento.

Para ver mejor lo que sucede, haremos un gráfico del problema de

encuentro.

Viaje de ida de O’

Al cabo del primer año, O envía una señal. En este momento, O’

recorrió una distancia x = 0,8 ly en el sistema O. La señal recorre 28

un año luz por año, y tarda 4 años en alcanzar a O’, de acuerdo a

la siguiente ecuación: 0,8 t = t - 1 => t = 5. Este momento

corresponde al tiempo t’ = t ( t - x v/c2) = 3 en O’.

Al segundo año, tenemos: 0,8 t = t - 2 => t = 10, entonces t’ = 6.

Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de ida de O’, este

recibe solamente 2 señales de su hermano en O, una cada 3 años.

Viaje de regreso de O’

A partir del tercer año de O, cada señal alcanzará a O’ según la

ecuación:

8 - 0,8 (t -10) = t - t0 para t0 = 3, 4, 5,..., 20.

De donde despejamos el tiempo de encuentro: t*= 5/9 (t0 + 16) y

calculamos entonces t’ = t / .

29

Para mayor claridad, se ha graficado una de cada 3 señales.

Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de regreso de O’,

este recibe

18 señales de su hermano en O, a razón de 3 por año.

12. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes

velocidades y el eventual uso de la dilatación del tiempo.

En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, la

contracción relativista del tiempo puede beneficiar a los tripulantes

de la nave espacial, acortando el tiempo de un trayecto; pero el

transcurrido en la Tierra puede ser de siglos o milenios.

Por todo lo anterior, la imposibilidad de rebasar la velocidad de la

luz parece que nos condena a permanecer eternamente en nuestro 30

pequeño rincón de la Galaxia, separados por enormes distancias

de otros astros —salvo unos cuantos muy cercanos— y, quizás, de

civilizaciones extraterrestres. Por eso, la posibilidad de viajar, o al

menos comunicarse, a una velocidad superior a la luz es una

ilusión muy cara; sin embargo, las dificultades no son simplemente

técnicas, sino que están relacionadas con la misma geometría del

espacio tiempo.

En primer lugar, si bien es cierto que se necesita una energía

infinita para alcanzar la velocidad de la luz, cabe preguntarse si no

existe algún mecanismo desconocido, quizás relacionado con

efectos cuánticos, que permita rebasar esa barrera en alguna

forma no prevista por la física actual. Además podrían existir

partículas que, desde que nació el Universo, posean una velocidad

superior a la luminosa; a tales hipotéticas partículas incluso se les

ha dado un nombre: taquiones (del griego tachys: velocidad). Si

existieran, los taquiones resolverían el problema de las

comunicaciones interestelares, al permitir enviar mensajes más

veloces que las señales luminosas. Por otra parte, en algunos

libros o películas de ciencia ficción los personajes se

"teletransportan", o viajan a través de un supuesto "hiper espacio",

o cualquier cosa que implique su desaparición en un punto y su

aparición en otro muy lejano. Pero veremos a continuación que la

posibilidad de viajar o enviar señales más rápidamente que la luz

equivale a un viaje aparentemente muy distinto, pero más difícil de

concebir: ¡un viaje al pasado!

El tiempo transcurrido entre dos sucesos depende de la velocidad

de quien lo mide. Supongamos que en algún lugar se produce el

suceso A, consistente en la emisión de una partícula material, o de

una señal luminosa; tal partícula o señal es recibida en otro punto

en algún momento: llamemos suceso B a esa recepción distante. El

tiempo transcurrido entre los sucesos A y B depende del sistema

de referencia en el que se observan esos dos sucesos y varía, por 31

lo tanto, de acuerdo con la velocidad del observador. Sin embargo,

se puede denostar que, debido a la estructura geométrica del

espacio tiempo, el tiempo transcurrido entre A y B no puede nunca

invertirse: no existe ningún observador para quien la recepción de

la señal (suceso B) preceda su emisión (suceso B). Éste es, el

principio de causalidad, fundamental en la física: si el suceso A es

la causa de suceso B, entonces A sucede antes que B en cualquier

sistema de referencia: el orden causa-efecto es invariante.

Sin embargo, para que los dos sucesos considerados tengan una

relación causal, es decir que A pueda influir sobre B, es necesario

que la acción de A viaje a una velocidad menor o igual que la

velocidad de la luz. Por ejemplo, lo que ocurre en la Tierra a la 1

P.M. puede ser un suceso conectado causalmente con el suceso

que ocurre en la Luna a las 2 P.M. ya que una hora es suficiente

para ir o mandar una señal a la Luna, incluso a velocidades

menores a la de la luz. Por otra parte, lo que sucede en este

instante en la estrella Alfa Centauri no puede tener relación causal

con ningún suceso presente en la Tierra; si Alfa Centauri explotara

en este momento, tendríamos que esperar al menos cuatro años

para enterarnos de ello.

Ahora bien, el principio de causalidad no se aplica a las partículas

que se mueven más rápidamente que la luz. Si el suceso A es la

emisión de un taquión y el suceso B la recepción de ese taquión,

entonces puede existir un sistema de referencia en el cual B

antecede a A , es decir, el receptor parece emitir al taquión y el

emisor recibirlo: se puede demostrar que eso ocurre en cualquier

sistema de referencia que se mueva con respecto al emisor y al

detector con una velocidad superior a c2/vT, donde vT es la

velocidad del taquión (la velocidad del sistema de referencia

mencionado es menor que c porque vT es mayor que c). Dicho de

otro modo, el concepto de pasado y futuro para un taquión es

relativo. Un taquión "viaja" hacia el futuro o hacia el pasado, según

la velocidad de quien lo observa. 32

Así, de existir los taquiones, o cualquier posibilidad de desplazarse

más rápidamente que la luz, sería posible, viajar al pasado. Por

ejemplo, se podría utilizar un dispositivo consistente en dos

emisores-receptores de taquiones que se alejan uno de otro a

velocidad lo suficientemente grande. El primer aparato emite una

señal taquiónica, que el segundo aparato recibe y contesta

inmediatamente con otra emisión de taquiones. ¡La respuesta

llegaría al primer aparato antes de que haya emitido su primera

señal!

Un sistema de emisores y detectores de taquiones podría permitir

que una señal taquiónica regrese antes de salir.

O bien, imaginémonos que en el futuro se inventara un

"teletransportador" tal que permitiera a un viajero espacial

desaparecer en la Tierra y materializarse en algún lugar lejano,

implicando un desplazamiento a mayor velocidad que la luz.

Nuestro viajero podría llevarse un teletransportador consigo para

poder regresar a la Tierra. Pero, en ese caso, cabe la posibilidad

de que el viajero inicie su retorno desde un planeta en movimiento

tal que ¡regrese antes de haber salido!

¿Es posible viajar al pasado? Independientemente de cualquier

restricción impuesta por las leyes de la física, el hecho de regresar

en el tiempo implica una situación sumamente contradictoria. En

efecto, si una señal taquiónica puede regresar antes de ser emitida,

¿qué pasaría si en el lapso de tiempo entre su recepción y su

misión se decide destruir el emisor de taquiones? Más aún, si una

persona pudiera regresar al pasado ¿qué ocurriría si se encontrara

consigo mismo de niño... y decidiera "asesinarse”?

33

Invertir el sentido del tiempo no parece ser factible, más por

razones lógicas que por motivos físicos. Lo que, no es tan evidente,

y queremos subrayarlo, es que, debido a la peculiar geometría del

espacio tiempo, un viaje en el espacio a mayor velocidad que la luz

es enteramente equivalente a un viaje hacia atrás en el tiempo, con

todo y sus contradicciones inherentes. Al parecer, estamos

efectivamente condenados a vivir en una pequeña región periférica

de nuestra Galaxia, y sólo contemplar la inmensidad del Universo a

través de la luz que las galaxias lejanas nos enviaron hace millones

de años.

Recapitulación:

O envía 20 señales, 1 cada año de su tiempo.

O’ recibe 20 señales, 2 los primeros 6 años, a razón de una cada 3

años; y 18 los últimos 6 años, a razón de 3 por año.

IX.- CONCLUSIONES

En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son

relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de

movimiento del observador.

La paradoja de los gemelos nos muestra que la Relatividad puede

llegar a ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de

los límites de la mecánica clásica, que es la que podemos

experimentar en nuestra vida cotidiana.

Es necesario que solo intervengan sistemas de referencia

inerciales para poder aplicar la teoría de la relatividad especial

propuesta por Einsten.

Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el

hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el

razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos

concluirían que es el otro quien envejecería más.

34

La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la

relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas

inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la

continuidad de la métrica.

Hemos observado que la dilatación del tiempo se produce

efectivamente en dos sistemas en movimiento relativo. Si quedaba

alguna duda sobre la no-paradoja de los gemelos, la hemos

disipado.

Vimos además, que la frecuencia de las señales enviadas

aumenta, para el receptor, cuando los sistemas se acercan, y

disminuye (para el receptor) cuando se alejan.

X.-BIBLIOGRAFIA

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• FISICA MODERNA, SERWAY RAYMOND, MÉXICO : MCGRAW-

HILL, 1997

• HTTP://GESALERICO.FT.UAM.ES/PAGINASPERSONALES/BARB

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• FISICA MODERNA ,TIPLER, PAUL A. BARCELONA : REVERTÉ,

1980

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35