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Trabajo final de máster. Máster en física de sistemas complejos (UPM). Extensión del algoritmo de consenso de Olfati y Murray para incluir redes dinámicas. Aplicación al cálculo de precios en redes de exportadores
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Análisis de redes de comercio mediante procesosde consenso
Miguel RebolloDirigida por: Javier Galeano y Rosa M. Benito
Trabajo Final de MásterMáster en Física de Stmas. Complejos
Univ. Politécnica de Madrid
Septiembre, 2013
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Contenidos
1 Introducción
2 Procesos de consenso en redes
3 Consenso en redes dinámicas
4 Caso de estudio: Comtrade
5 Conclusiones
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Consenso
¿qué es el consenso?
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Consenso
¿para qué sirve?
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Algoritmo de consenso
1.cada nodo tiene un valor inicial
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Algoritmo de consenso
2.pasa su valor a sus vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
x1 = 0.4
x1 = 0.4
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Algoritmo de consenso
3.recibe los valores de los vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x2 = 0.2
x4 = 0.9x3 = 0.3
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Algoritmo de consenso
4.calcula el nuevo valor con
x(t+1) = x(t)+ε∑j∈Ni
[xj(t)− xi(t)]
< m«ıni1di
1 2
3 4
x1 = 0.45 x2 = 0.425
x3 = 0.325 x4 = 0.6
x1 = 0.4
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Proceso de consenso
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x = 0.45
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cálculo de valores agregados. Push-Sum
Limitación del algoritmo de consenso: no funciona para valoresagregados
hay una familia de algoritmos (gossip) que lo haceel proceso de convergencia es más lentosuelen introducir un elemento aleatorio
Eliminar aletoriedad + fórmula matricial + combinación conconsenso
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Algoritmo Push-Sum
1 Sean {(sr , wr )} todos los pares enviados a i en el paso t − 12 si(t)←
∑r sr
3 wi(t)←∑
r wr
4 se escoge un destino fi(t) al azar de manera uniforme5 se envía el par
(12si(t), 1
2wi(t))a fi(t) y a i (sí mismo)
6 si (t)wi (t) es el valor estimado para el paso t
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Eliminar componente aleatorio de Push-Sum
Repartir el valor de un nodo entre TODOS los vecinos
si(t + 1) = si(t)di + 1 +
∑j∈Ni
sj(t)dj + 1
La velocidad de convergencia es equivalente al modelo original
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Formulación matricial
La fórmula de Push-Sum es equivalente a
G = (I + A)(I + D)−1
Con lo que puede calcularse como
s(t + 1) = Gs(t)w(t + 1) = Gw(t)
Que converge a
l«ımt→∞
s(t)w(t) =
∑i s(0)N , l«ım
t→∞s(t)w(t) =
∑i
s(0)
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Consenso usando Push-Sum
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
iter
x
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Combinación Push-Sum + consenso. PageRank
Supongamos que queremos usar el valor de PageRank como peso
PRi =1− d
N + d∑j∈Mi
PRjLi
Problema: N es el tamaño de la red ¿cómo se obtiene?
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Combinación Push-Sum + consenso. PageRankAlgoritmo
s = 1, w = 0, w1 = 1repetir
s = Gs, w = Gwhasta que N = s/w convergePRi = 1/Nrepetir
PRi =1−d
N + d∑
j∈MiPRjLi
hasta que PR se estabilizarepetir
xi = xi +ε
PRi
∑j∈Ni (xj − xi)
hasta que x converge
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Problemática con el consenso
El proceso de consenso asume que la red permanece invariablemientras se completa
cambios en los valores de los nodoscambios en los pesosinserción/borrado de nodosvalor global del factor de aprendizaje ε
cambios en ε por cambios estructurales
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Idea central
Conservación de la suma
s =∑
ixi(0) =
∑i
xi(t) ∀t
los cambios dinámicos alteran la sumabuscamos correcciones locales a esas desviacionesexpresión como matrices de transformación
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cambio en el valor inicial
Es el caso más simplexi(0) pasa a zi(0)zi(t) = xi(t) + (zi(0)− xi(0))
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cambio en los pesos
El consenso pesado sigue la fórmula
xi(t + 1) = xi(t) +ε
wi
∑j∈Ni
[xj(t)− xi(t)], ε < m«ın widi
No se puede anular la influencia de i en sus vecinos con el pesoanterior wi
zi(t) = xi(t) +(vi − wi) [xi(0)− xi(t)]
vi
O su expresión matricial
Tw = (v − w)(x0 − x)v−1
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Inserción y borrado de nodosLa inserción es trivial: basta con añadir el nuevo nodo y comenzaráa actualizarseProblemaEn el modelo matricial, afecta a la matriz de adyacencia, luego la Ly P también se ven afectadas
Borrado: Para que se conserve la suma hay que devolver a la red elexcedente
xi(0) +∑j∈Ni
xi(t)− xi(0)di
o de forma matricial
Td =xi(t)− xi(0)
diAi
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cambio en el factor de aprendizajeEstimación inicial
ProblemaEl algoritmo de consenso asume la existencia de un ε global
Puede resolverse haciendo previamente un consenso por mínimos
εi(t + 1) = m«ın(
εi(t),m«ınj∈Ni
εj(t))
O en su expresión matricial
E = diag(m«ın
jE (I + A)
)como fase previa al consenso
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios
¿Qué ocurre si cambios estructurales o de peso de los nodos hacenque ε no sea válido?
El algoritmo no converge
Es un problema críticosi no se corrigen las desviaciones anteriores converge a unvalor distinto a la mediasi no se corrige el cambio en ε el algoritmo no acaba nunca
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios
Solución semejante a la usada en los pesos
xi(t + 1) = xi(t) +1wi
∑j∈Ni
ε[xj(t)− xi(t)]
xi(t + 1) = xi(t) + ε∑j∈Ni
1wi(t)
[xj(t)− xi(t)]
Lo que nos lleva a corregirlo como
z(t) = x(t) +
(1ei− 1
εi
)[xi(0)− xi(t)]
1ei
O con mla expresión matricialTe = (I − DE ′D−1
E )(x0 − x)@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cálculo de volumen de exportaciones
¿Que hay en Comtrade?Información sobre transacciones comerciales entre países,desglosadas por tipos de productos.
desde 2010 incluye información mensualdatos: exportación de vino entre 2010 y 2012
ObjetivoUsar consenso para poder obtener la misma información de formadescentralizada
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Características de la red
287 países5.582 transacciones (enlaces)4.519 transacciones útilesdensidad de enlaces del 5,58%grado medio 15,74grado máximo 202
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Características de la red
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Partner
Report
er
Wine Trade Export 2010−2012
5
10
15
20
25
30
35
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cálculo del valor medio
0 20 40 60 80 1000
500
1000
1500
2000
2500Consenso sobre el precio (100 iteraciones)
0 200 400 600 800 10000
500
1000
1500
2000
2500
iter
pre
cio
Consenso sobre el precio (1000 iteraciones)
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Cálculo del valor medio ponderado
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3Consenso sobre el precio pesado (100 iteraciones)
0 200 400 600 800 10000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
iter
pre
cio
Consenso sobre el precio pesado (1000 iteraciones)
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Consenso incremental con corrección
0 20 40 60 80 100 1200
1
2
3
4
5
x 106
pre
cio
iter
Exportaciones 2010−01 a 2010−02
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Consenso sobre los datos globales
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
x 106
pre
cio
iter
Exportaciones 2010−01 a 2010−02
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Interrupción antes de estabilizarse
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
x 106 Exportaciones 2010−01 a 2010−02
iter
pre
cio
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Conclusiones
formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε
aplicación a Comtrade como caso de estudio
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Trabajos futuros
estudio teórico de la convergenciaextensión a redes dirigidasextensión a modelos multivariableaplicación en redes multiplex
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Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Conclusiones
formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε
aplicación a Comtrade como caso de estudio
@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso