Realizado por:

Ericsson Bravo

C. I. 24.250.917

Maracaibo, 08 de marzo de 2017

ESQUEMA

1.- Análisis de un circuito RLC serie, un circuito RLC paralelo, y otros circuitos

RLC

2.- Frecuencia de resonancia

3.- Ancho de banda

4.- Factor de calidad Q

5.- Uso de los circuitos resonantes como filtros pasa-banda

DESARROLLO

1.- Análisis de un circuito RLC serie, un circuito RLC paralelo, y otros circuitos RLC Los circuitos eléctricos que contiene n capacitores, inductancias y resistencias, su

comportamiento se puede describir por medio de ecuaciones integro-diferenciales,

las cuales se pueden reducir a solo ecuaciones diferenciales. El orden de la

ecuación diferencial generalmente es igual al número de capacitores más el

número de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un solo

inductor y un solo capacitor junto con resistencias producen al menos un sistema

de segundo orden o ecuación diferencial de segundo orden. En esta unidad

procederemos a determinar la respuesta transitoria y de estado estable para los

circuitos eléctricos que arrojan ecuaciones diferenciales de segundo orden,

excitados con fuentes de valores constantes y variables.

- Ejercicio RLC serie

Ejercicio: hallar la repuesta forzada para el siguiente circuito, el cual es un circuito

RCL serie – paralelo con entrada cero.

R1 = 75Ω

R2 = 50Ω

L = 1/5 mH

C = 8чF

Si para t<0 Vc =30V y IL = 3/5A

R2

Aplicando LKV en la malla i(t): R1i + Ldi/dt + V = 0

75Ω3/5A + 1/5 mH d3/5A /dt + 30V = 0 ecuación

1

LKC en nodo resaltado: -i + iC + v/R2 = 0 pero; iC = Cdv/dt

Resulta: i = 8чFd30V/dt + v/(50Ω)2 = 0 ecuación 2

Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1

R1(CV´ + V/R2) + Ld(CV´ + V/R2) + V = 0

LCV´ + (R1C + L/R2)V´ + (R1/R2 + 1)V = 0

1/LC[LCV´´ + (R1C + L/R)V´+ (R1/R2 +1)V = 0

Así:

2∞ = 75Ω/1/5 mH + 1/50Ω8чF

∞ = 1550

Wn2 = 75Ω + 50Ω/50Ω1/5 mH8чF

Wn2 = 1581.13

∞ = Wn (Críticamente amortiguado)

iL(t) = e-∞(A1t +A2)

iL(0) = e-0(A1(0) +A2)

iL(0) = A2

A2 =3/5

i´L(t) = - ∞e-∞t(A1t +A2) + e-∞t(A1)

i´L(0) = - ∞e0(A1(0) +A2) + e0(A1)

V´´ + 1/LC(R1C + L/R2)V´ + 1/LC(R1/R2 +1)V = 0

2∞ = R1/L + 1/R2C

Wn2 = R1 + R2/R2LC

i´L(0) = - ∞A2 –A1

i´L(0) = -1550(3/5) + A1; pero: vL(t) = Li´ y i´L(t) = 1 vL(t)/L

LKV en i(t)

75i + Li´ + v = 0

i´ = -75 – v /L

i´L(0) = -75 iL(0) – Vc(0)/ L

i´L(0) = -75(3/5) – 30/ 1/8

i´L(0) = -600

Sustituyendo i´L(0) en vL(t)

- 600 = - 930 +A1 A1 = - 600 + 930

A1 = 330

iL(t) = e-1550(330t + 3/5) A Esta es la respuesta forzada de circuito críticamente

amortiguado.

- Circuito RLC en paralelo

En la figura a continuación se presenta un circuito RLC en paralelo cuando es

excitado por una fuente de corriente continua o constante, los voltajes y corrientes

allí indicadas están representados en función del tiempo.

Como el circuito tiene un solo par de nudos, todos los elementos tienen aplicado el

mismo voltaje, o sea,

v= vR = vL = vC

Aplicando las leyes de Ohm, Faraday y de la electrostática (Maxwell), tendremos:

vR= iR * R = v

Vl = L dIL/dt = v

Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo superior, tendremos:

I= iR+ iL+ iC

Reemplazando alguna de las expresiones de las corrientes en función de los

voltajes determinados en la aplicación de los principios o leyes, se encuentra la

ecuación:

I = v/R + iL + cdv/dt

Derivando a ambos lados de la ecuación, resulta:

Di/dt = 1/R(dv/dt) + diL/dt + Cd2v/dt2

Remplazando la expresión encontrada en la aplicación de los principios

L diL/dt = v

Simplificando y reagrupando, la ecuación que presenta al voltaje del circuito o de

cualquiera de los elementos quedará definida por:

d2v/dt2 + 1/RC(dv/dt) + 1/LCv = 0

2.- Frecuencia de resonancia

La resonancia es una condición en un circuito RLC en el cual las reactancias

capacitiva e inductiva son de igual magnitud, por lo cual dan lugar a una

impedancia resistiva.

La principal característica de la respuesta en frecuencia de un circuito quizá sea el

pico pronunciado (o el pico resonante) que se representa por su amplitud

característica. El concepto de resonancia se aplica en varias áreas de la ciencia y

de la ingeniería. La resonancia ocurre en cualquier sistema que tenga un par de

polos complejos conjugados; ésta es la causa de que la energía almacenada

oscile de una forma a otra. Constituye el fenómeno que permite la discriminación

de frecuencia en las redes de comunicaciones. La resonancia se presenta en

cualquier circuito que tiene al menos una bobina (inductor) y un capacitor.

Los circuitos resonantes (en serie o en paralelo) son útiles para construir filtros,

pues sus funciones de transferencia pueden ser altamente selectivas en

frecuencia. Se utilizan en muchas aplicaciones, como las de seleccionar las

estaciones deseadas en los receptores de radio y de televisión.

3.- Ancho de banda

Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y

para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente

por el circuito es máxima.

En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se

llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia

alta de corte o alta de potencia media es F2.

4.- Factor de calidad Q

El factor de calidad de un circuito resonante es la razón entre la frecuencia

resonante y su ancho de banda. En la resonancia, la energía reactiva en el circuito

oscila entre la bobina y el capacitor. El factor de calidad relaciona la energía

máxima o pico almacenada con la energía que se disipa en el circuito por ciclo de

oscilación:

Q = 2ח Pico de la energía almacenada en el circuito

Disipación de energía por el circuito

en un periodo de resonancia

5.- Uso de los circuitos resonantes como filtros pasa-banda

El circuito resonante en serie RLC proporciona un filtro pasa-banda cuando la

salida se toma de la resistencia como se muestra en la figura. La función de

transferencia es

H(w) = Vo/Vi = R÷[R + j(wL – 1/Wc)]

Obsérvese que H(0) = 0, H(∞) = 0. La figura presenta el diagrama de |H(w)|. El

filtro pasa-banda deja pasar una banda de frecuencias (w1< w <w2) centrada,

correspondientes a la frecuencia central, la cual está dada por,

Un filtro pasa-bandas se diseña para dejar pasar todas las frecuencias dentro de

una banda de frecuencias, w1< w <w2.

BIBLIOGRAFÍA

Recursos bibliográficos:

Libro de Robert Boylestad

Libro Thomas L. Floyd

Libro de Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku

Imágenes: explorador Google