Elettrone quasi liberi tight binding

Fisica dei Solidi 2005/6

Elettroni quasi liberiBenchè l’approssimazione di ignorare l’interazione elettrone-elettrone e considerare il potenziale dei nuclei trascurabile sembri poco realistica, (approssimazione ad elettroni quasi liberi, Peierls 1930) le superfici di Fermi determinate sperimentalmente (1956) coincidevano molto bene con le previsioni del modello.Consideriamo un elettrone in un potenziale debole, come un’onda che “viaggia” nel reticolo. Come già visto sarà soggetta a scattering quando

( )

2

2 22 2 2 0 0 0

1ˆ ˆ 22

1 1 1

2 2 2 2k k K k

Kk k K K riscrivendola come

k K

kk k k K K con elettrone libero

me e e

-

= Þ =

= - + Þ = =r r r

r rg

gr r hg

Questo risultato presenta due aspetti (che saranno derivati nel seguito):

- deriva direttamente dalla teoria delle perturbazioni

- definisce una serie di piani che dividono lo spazio reciproco in una sequenza di zone di Brillouin, eguali in volume ma di forma complessa


Teoria delle perturbazioniApplichiamo la teoria delle perturbazioni all’eq. di Schroedinger

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 1 0 0

0 00

0

0

:

... ; ...

: 0

q KK

K k

q

k

q U q K

essendo U un piccolo potenziale U w con piccolo a piacere

espandendo in funzione di

q q q

q

la simmetria traslazionale impone q

e e y y

y y y e e e

y e e

y

= - + -

= D DￗD

= + D + = + D +ￗￗ

￩ - =￫

￥

Ordine zero

rrr

r r

r

r

rr r

r r r

r

r ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

,

0 0

0 0 0 0

,

.

'

n

n n

ik r

k q k

k

i k K r

nknk K k q nk k K

r e

e quindi

Nello schema a zona ridotta compare l indice di banda n

q r e

d y

e e

y d y e e+

+ +

= =

=

= = =

r rg

r rr

r

r r rg

r r r rr rr

r

r r


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 1 0 0

1 0 1 00 0

0 10,

,1 1

0

... ; ...

:

0

0

:

q KkK

q Kk k k kK

k k q

k q K

Kkk

q U q K

q q q

q w q K q

usando q per q k w solo K sopravvive

per si ha q w

e e y y

y y y e e e

e e y y e y

y d e

dy y

e-

= - + -

= + D + = + D +ￗￗ

￩ - + - - =￫

= = = =

=

￥

￥

Primo ordine

r rrr

r r r r rrr

r r r

r rrr r

r

rr r

r r r

rr r r

rr r

r ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

,0 1

0 0,0

0 0

,

(1)

K K k

k q K

Kk k qK k K k

k K k

q

mettendo insieme e q U q

Questa soluzione è estremamente utile ma fallisce nei casi

esattamente nel caso individuato in p

e

dy y y d

e e

e e

ﾹ +

-

ﾹ +

+

￬￭� -￮

￬D +ﾻ￭� -￮

-

￥

￥

r rr

r rrr r rr

r r rr

r rr

r

r r

.artenza

Teoria delle perturbazioni


1

ˆ

'

ˆ: 0

' . .

ˆ

i ii

i i j jj

ij

Occorre trovare gli estremi del funzionale H

scriviamo le funzioni d onda C e calcolando la

variazione rispetto agli coefficienti C H C

l eq ammetterà soluzione quando il determinante dei coeff

H

y e y

y y

y e y=

-

=

- =

￥

￥

l

l

( )

1 2

00

00

0 00 02 *

0

0 0 00

ˆ .

0

2 4

2

effi j

Kk

K k K

k k Kk k KK K K

gK Kk K k k

H è nullo

Nel caso specifico di k e k K

U U

U U

U U U r reale U U

in si ha U U gap di energia U

y e y

y y

e ee e

e ee ee

e e e e e

-

+

++-

+

= -

= = +

+ -=

+ -

￩ -+ ￫= + + =ﾱ

= = + =ﾱ

r r

r r r

r r rr r rr r r

r r r r rr

r r r

r

Teoria delle perturbazioni: livelli degeneri


( )0 00 0

2 *0

0 0 00

2 4

2

k k Kk k KK K K

gK Kk K k k

U U U r reale U U

in si ha U U gap di energia U

e ee ee

e e e e e

++-

+

￩ -+ ￫= + + =ﾱ

= = + =ﾱ

r r rr r rr r r

r r r r rr

r

Caso unidimensionale


Vista “Geometrica”


Esempio: reticolo quadrato bidimensionale

Reticolo quadrato 2-D con due elettroni per sito.

Reticolo reciproco quadrato di lato 2/a.

no. k in BZ = no. punti reticolo, quindi si possono sistemare esattamente due elettroni: il volume (area) della sfera di Fermi eguaglia quello della BZ.

kF > /a quindi gli elettroni parzialmente fuoriescono dalla I zona.


Superfici di Fermi e zone di Brillouin(caso bidimensionale)

Costruzione delle BZ occupate (A), (B) e (C).

Costruzione di Harrison (D).


Casi tridimensionaliSuperficie di Fermi nel caso di tre elettroni per sito in un cristallo fcc. La sup. non interseca la prima zona ed è ripartita tra la seconda e la terza. Notare la differenza tra schema esteso e quello ridotto.


Casi tridimensionali: reticolo FCC


Casi tridimensionali: reticolo BCC


Casi tridimensionali: reticolo Esagonale


Elettroni fortemente legatiConsideriamo gli elettroni del solido come come appartenenti ai singoli atomi, quindi descritti da funzioni d’onda atomiche: metodo tight-binding

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )* *

,

1, :

1, ,

1

ik r

nk nk

ik Rn nk

k

ik R iR kn m nk mk

k k

ik R iR km n

r R e r allora la funzione di Wannier centrata in R è

r R w R r e r ed è ortonormaleN

dr w R r w R r dr e r rN

eN

y y

y

y y

d d

-

ﾢﾢ- +ﾢ

ﾢ

ﾢﾢ- +

+ =

=ﾺ

ﾢ = =

=

￥

￥￥

r rg

r r

r rg

rr

r rr rg g

r rr r

r rr rg g

r

r rr r

r rr r r

r rr r r r r r

( )

( ) ( )

,, ,

1,

R Rk k k kk k

ik Rnnk

R

la somma su k dà N

per converso le funzioni di Bloch sono date da

r w R r eN

d d

y

ﾢﾢﾢﾢ

=

=

￥

￥

r r r r rr r

r rg

rr

rr r

Funzioni di Wannier: set di funzioni ortonormali costruite da funzioni di Bloch e localizzate sui siti atomici. Supponiamo di avere trovato le autofunzioni dell’Hamiltoniana che soddisfano il teorema di Bloch:


Modello Tight BindingScriviamo l’eq. di Schroedinger per le funzioni di Wannier

L’Hamiltoniana

si può limitare alla n-esima banda, come verrà dimostrato nel seguito.

( ),nR w R r=r r r

L’espressione precedente è utile se la funzione di Wannier in R presenta un’ampiezza trascurabile a distanze maggiori di quella a primi vicini, cioè si possono trascurare elementi di matrice del tipo (a meno che R e R’ siano primi vicini):


Modello Tight Binding

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

*

' .

1ˆ ˆ, ,

10 .

ik R ik Rn m nk mk

k k

ik R ik R

nk mk mkk k

Consideriamo gli elementi di matrice dell Ham tra FW in bande diverse

dr w R r H w R r dr e r He rN

dr e r e r se m n ortonormaliN

Se

y y

y e y y

ﾢﾢ-ﾢ

ﾢ

ﾢﾢ-ﾢﾢ

ﾢ

ﾢ = =

= = ﾹ

￥

￥

r rr rg g

r rr r

r rr rg g

r r rr r

r rr r r r r r

r r r

( )

0,

ˆ ˆ

' '

ik R R

RR RRnkk

nk

m n solo per k k si hanno termini quindi

H e H dipende solo dalla differenza tra R ed RN

è l energia di uno stato di Bloch di vettore d onda k nella banda n

Inoltre quando R ed R sono primi v

e

e

ﾢ-

ﾢﾢ

ﾢ= = ﾹW ﾢ=

ﾢ

￥r r rg

r r r r rr

r

r r

r r

r

r r

ˆ ˆ ˆtRR RR RR

icini la simmetria spesso determina

H singola costante H , mentre per R R H Uﾢﾢﾢﾢ= = =r r r r r rr r

In definitiva


Modello Tight Binding

“hopping term ” energia d’interazione tra elettroni su siti differenti

“on-site term ” energia necessaria per “piazzare” un elettrone su un sito

d insieme di vettori che “puntano” ai primi vicini di R


Modello Tight Binding (semplice soluzione)

( )

1,

1,

1 1ˆ t

ik R

R

ik R

k

ik R ik R ik R ik RTB

RR kk kk

Definiamo k e R per k nella I zona di Brillouin e laN

relazione inversa R e k che sostituita nella HamiltonianaN

H k e k k U e kN N

d

d

-

ﾢ- + + ﾢ- +

ﾢﾢ

=

=

ﾢﾢ= +

￥

￥

￥￥￥￥

r rg

r

r rg

r

r r rr r r rr rg g g g

r rr r rrr

r rr

rr

r r r r

t

,

t , t .

2 2 t " ".

kk

ik

k

k

k k

con U e

Se z è il numero di primi vicini su cui va estesa la somma su

il massimo valore di è U z mentre il minimo è U z

La differenza W z è definita come larghezza di banda

d

d

e

e

de

=

= +

+ -

=

￥

￥

rr

r rg

rr

r

r r

La semplicità della soluzione precedente potrebbe suggerire un metodo molto facile per determinare, approssimativamente, la struttura a bande di solidi reali: basta inserire sufficienti termini in R nella HTB. Tuttavia in presenza di bande degeneri lo sviluppo di Wannier non è esponenzialmente localizzato e non si può troncare lo sviluppo.

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