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Pedro V. Gamboa - 2009
Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior
PlacasPlacas
Placas e Cascas – 76413º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica
Plac
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Cas
cas
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• Uma placa é um corpo tridimensional com:– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial é nula.
• Exemplos de placas:– Tampos de mesa;– Tampas de esgoto;– Painéis laterais e telhados de edifícios;– Discos de turbinas;– Fundos de tanques.
1. Teoria de Flexão de Placas1. Teoria de Flexão de Placas
superfície média
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1.1. Introdução1.1. Introdução• As placas podem ser classificadas em 3 grupos:
– Placas finas com deflexões pequenas;– Placas finas com deflexões grandes;– Placas espessas.
• Consideram-se placas finas quando a razão da sua espessura pelo lado menor é inferior a 1/20;
• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos externos com as deformações, tensões e deslocamentos:– Forças da superfície:
• Forças concentradas quando actuam num ponto;• Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita.
– Forças do corpo:• Forças que actuam noselementos volumétricos da placa;• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver
movimento, da inércia da placa.
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1.1. Introdução• O primeiro estudo significativo das placas deu-se nos anos 1800;• Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de
placas:– A teoria fundamental:
• Navier;• Kirchhoff;• Lévy.
– Resoluções numéricas:• Galerkin;• Wahl.
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1.2. Comportamento Geral de Placas1.2. Comportamento Geral de Placas
Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide com o plano médio sendo, assim, a defleção em z igual a zero.As componentes do deslocamento num ponto nas direcções x, y e z são u, v e w, respectivamente.Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem defleção w.Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e finas) baseia-se na geometria das deformações.
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Cas
cas
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1.2. Comportamento Geral de Placas
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1.2. Comportamento Geral de PlacasHipótese de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):
1. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a espessura da placa. O declive da superfície deflectida é, portanto, muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado com a unidade;
2. O plano médio permanece sem extensão após a flexão;3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem
planas e normais à superfície após a flexão. Isto indica que as extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento transversal pode ser omitido.
4. A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as outras componentes e pode ser despresada. Esta suposição torna-se irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.
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1.3. Relações Extensão-Curvatura1.3. Relações Extensão-Curvatura
Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-se a geometria de deformação.Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-deslocamento são
0;; =∂∂
=∂∂
=∂∂
=zw
yv
xu
zyx εεε
onde γyx=γxy, γzx=γxz e γzy=γyz.Integrando a equação de εz, tem-se
( )yxww ,=
0;0; =∂∂
+∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=zv
yw
zu
xw
xv
yu
yzxzxy γγγ
indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da placa.
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1.3. Relações Extensão-Curvatura
Da mesma forma, integrando as expressões de γxz e γyz tem-se
( ) ( )yxvywzvyxu
xwzu ,;, 00 +
∂∂
−=+∂∂
−=
Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-se
Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam, respectivamente, os valores de u e de v na superfície média.Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim,
ywzv
xwzu
∂∂
−=∂∂
−= ;
yxwz
ywz
xwz xyyx ∂∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
−=2
2
2
2
2
2;; γεε
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1.3. Relações Extensão-Curvatura
A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao longo da curva.Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser considerado desprezável e as derivadas parciais das equações anteriores representam as curvaturas da placa.Assim, as curvaturas κ na superfície média em planos paralelos ao plano xz, yz e xy são, respectivamente
Onde κxy=κyx.A última expressão também é conhecida como a torção do plano médio em relação aos eixos x e y.
xyxy
yy
xx y
wxry
wyrx
wxr
κκκ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=1;1;1
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1.3. Relações Extensão-Curvatura
Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem representar-se na seguinte forma
xyxyyyxx zzz κγκεκε 2;; −=−=−=
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1.4. Tensões e Resultantes de Tensões1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada, válida para um material isotrópico homogéneo:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]yxzzzxyyzyxx EEEσσνσεσσνσεσσνσε +−=+−=+−=
1;1;1
onde τyx=τxy, τzx=τxz e τzy=τyz.E é o módulo elástico longitudinal, ν é o coeficiente de Poisson e G é o módulo elástico transversal dado por
( )ν+=
12EG
GGGyz
yzxz
xzxy
xy
τγτγ
τγ === ;;
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1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
( ) ( ) xyxyxyyyxx GEE γτνεεν
σνεεν
σ =−−
=−−
= ;1
;1 22
Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia linearmente ao longo da espessura da placa.
Substituindo εz=γyz=γxz=0, obtém-se as relações tensão-extensão da placa fina:
Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com a forma seguinte
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−−=+
−−= 2
2
2
2
22 11 yw
xwEzEz
yxx νν
νκκν
σ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−−=+
−−= 2
2
2
2
22 11 xw
ywEzEz
xyy νν
νκκν
σ
yxwEzEz
xyxy ∂∂∂
−−=
−−=
2
11 νκ
ντ
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As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem momentos flectores, momentos torsores e forças de corte verticais.Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidas por resultantes de tensões.
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
Da figura, para a tensão σx, tem-se
dyMdzzdydydzz x
t
t x
t
t x == ∫∫ −−
2
2
2
2σσ
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Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes resultantes de tensão
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o efeito das deformações γxz=τxz/G e γyz=τyz/G na flexão, as forças verticais Qx e Qy não são desprezáveis.
∫− ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧2
2
t
t
xy
y
x
xy
y
x
zdzMMM
τσσ
onde Mxy=Myx.Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se
∫− ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ 2
2
t
tyz
xz
y
x dzQQ
ττ
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Substituindo as equações das tensões em função dos deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das curvaturas e deflexões
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
onde D é a rigidez de flexção dada por
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=+−= 2
2
2
2
yw
xwDDM yxx ννκκ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=+−= 2
2
2
2
xw
ywDDM xyy ννκκ
( ) ( )yx
wDDM xyxy ∂∂∂
−−=−−=2
11 νκν
( )2
3
112 ν−=
EtD
As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde.
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A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z=±t/2) da placa.Desta análise pode observar-se que existe um correspondência directa entre os momentos e as tensões.Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões e dos momentos são análogas.A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as tensões também se aplicam aos momentos.A determinação das tensões σz, τxz e τyz através da lei de Hook não é possível porque não se relacionam com as extensões.
Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
333
12;
12;12
tzM
tzM
tzM xy
xyy
yx
x === τσσ
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Das duas primeiras equações as tensões de corte τxz e τyz são, depois de integrar
As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
0
0
0
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
yxz
zxy
zyx
yzxzz
yzxyy
xzxyx
ττσ
ττσ
ττσ
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= ∫ 2
2
2
22
2
2
2
412 yw
xw
xztEdz
yxt
z
xyxxz ν
τστ
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= ∫ 2
2
2
22
2
2
2
412 yw
xw
yztEdz
xyt
z
xyxyz ν
τστ
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A tensão normal σz varia na forma de uma parábola cúbica ao longo da espessura da placa.Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).As tensões de corte na direcção z também são consideradas muito pequenas quando comparadas com as outras tensões.
Pode observar-se que as distribuições de τxz e τyz na espessura da placa variam de acordo com uma lei parabólica.A componente σz pode calcular-se usando a terceira equação de equilíbrio, substituindo para τxz e τyz e integrando
1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−−= 2
2
2
2
2
2
2
2323
2 341212 yw
xw
yxzzttE
z νσ
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cas
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa carregada.Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da estática.O cumprimento destas condições estabelece certas relações conhecidas por equações de equilíbrio.Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um carregamento por unidade de área uniformemente distribuído, p.
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cas
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, no carregamento p não afecta a precisão do resultado.Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por simplicidade, assume-se que as componentes de força e de momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das faces.Na figura elas estão representadas por um vector único, representando os valores médios, aplicado no centro de cada face.Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a face direita, a componente do momento Mx que actua na face negativa de x varia em valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser representada por uma série de Taylor truncada
dxx
MM xx ∂
∂+
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cas
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y.Trantando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das resultantes de tensão a partir da figura.Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero obtém-se
0=+∂∂
+∂∂ pdxdydxdy
yQ
dxdyx
Q yx
ou seja
0=+∂∂
+∂∂ p
yQ
xQ yx
O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por
0=−∂∂
+∂
∂dxdyQdxdy
yM
dxdyx
My
yxy
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
ou
Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p, foram omitidos.Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y tem-se
0=−∂∂
+∂
∂x
xxy Qx
My
M
Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta em
pyM
yxM
xM yxyx −=
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
2
0=−∂∂
+∂
∂y
yxy Qy
Mx
M
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de placas finas.Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte verticais Qx e Qyem função da deflexão w, usando as equações acima para Qx e Qy juntamente com o resultado dos momentos da secção 1.4:
onde
( )wx
Dyw
xw
xDQx
22
2
2
2
∇∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
( )wy
Dyw
xw
yDQy
22
2
2
2
∇∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
2
2
2
22
yx ∂∂
+∂∂
=∇
é o operador de Laplace.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de placas contém 3 incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter uma solução directamente.Os problemas de placas são, internamente, estaticamente indeterminados.Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as relações momento-deslocamento.
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Cas
cas
Plac
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1.6. A Equação da Placa1.6. A Equação da Placa
A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser facilmente derivada com base nos resultados obtidos anteriormente.Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões para Mx, My e Mxy tem-se
( ) pxw
yw
yD
yxw
yxD
yw
xw
xD −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
− 2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
12 ννν
Agrupando os termos
e, finalmente
Dp
yxw
yxw
yxw
yw
yxw
xw
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
22
4
22
4
22
4
4
4
22
4
4
4
22 ν
0
Dp
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.6. A Equação da Placa
Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange em 1811, pode ser escrita numa forma compacta
Dp
yyxxyxyx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
2κκκ
Dpw =∇4
onde
( )22224 ∇=∇∇=∇
Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas finas.Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as constantes de integração dependentes das condições de fronteira apropriadas (ver secção seguinte).Esta equação também pode ser escrita em função das curvaturas:
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.6. A Equação da Placa
Quando não esxiste carregamento lateral na placa a equação reduz para
04 =∇ wou
Substituindo as equações das forças de corte verticais e a equação diferencial para a deflexão nas equações das tensões τzx, τyx e σz obtém-se para estas tensões
02 4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
yw
yxw
xw
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
32
2
221
23112
412 tz
tQ
EtQztE xx
xzν
ντ
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−−=
3
3
2323
22
312
32
43112
341212 tz
tzp
EtpzzttE
zν
νσ
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
32
2
221
23112
412 tz
tQ
EtQ
ztE yyyz
νν
τ
Plac
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Cas
cas
Plac
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1.6. A Equação da Placa
A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com secção rectangular, ocorre em z=0, e pode ser representado pelas equações
Assim, a chave para determinar as componentes da tensão, usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial da deflexão para w.Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão é igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por unidade de superfície na superfície superior da placa.Assim, com z=t/2 e σz=-p, e usando a equação de σz tem-se
tQ
tQ y
yzx
xz 23
;2
3max,max, == ττ
( ) pwEt=∇
−4
2
3
112 ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.6. A Equação da Placa
É significativo notar que a soma das componentes do momento flector éinvariante.Isto é
Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por
( ) ( ) wDyw
xwDMM yx
22
2
2
2
11 ∇+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+−=+ νν
wDMM
M yx 2
1∇−=
++
=ν
as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na seguinte forma
yMQ
xMQ yx ∂
∂=
∂∂
= ;
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.6. A Equação da Placa
Desta forma pode escrever-se a equação da placa em duas equações.A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e a função momento, é
pyM
xM
−=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais parciais de segunda ordem que é por vezes preferível, dependendo do método de solução usado.Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação fornece w.
A segunda, usando a definição de função momento, é
DM
yw
xw
−=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.6. A Equação da Placa
Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma forma que as equações que descrevem a deflexão de uma membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente.Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.7. Condições de Fronteira1.7. Condições de Fronteira
A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem que ser satisfeita dentro da placa.A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos impostos na fronteira.A solução da equação da placa requer que duas condições de fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade.Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e momento, ou uma combinação.A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas a placas e as das vigas é a existência de momentos torsores ao longo das extremidades da placa.Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.7. Condições de Fronteira
Vamos considerar as condições de fronteira de uma placa rectangular com extremidades a e b paralelas aos eixos x e y, respectivamente.Considerando dois comprimentos elementares sucessivos dy na extremidade x=a, pode ver-se que, no elemento do lado direito actua um momento de torção Mxydy, enquanto no do lado esquerdo actua um momento
. ( )[ ]dydyyMM xyxy ∂∂+
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.7. Condições de Fronteira
Na figura os momentos estão representados como binários de forças estaticamente equivalentes.Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a força para baixo
.A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de corte Qx para produzir uma força transversal efectiva, por unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao eixo y, Vx.Assim
( )dyyMM xyxy ∂∂+
( ) dyyxw
xwD
yM
QV xyxx ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂∂
−+∂∂
−=∂
∂+= 2
3
3
3
2 ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.7. Condições de Fronteira
De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela ao eixo x, que
( ) dyyx
wywD
xM
QV xyyy ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−+
∂∂
−=∂
∂+= 2
3
3
3
2 ν
As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de Mxy ao longo de uma extremidade é estaticamente equivalente a uma dsitribuição de forças de corte.Para além destas forças nas extremidades, também podem existir forças concentradas, Fc, produzidas nos cantos.Considerando, por exemplo, o caso de uma placa rectangular com carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades, a acção dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que Mxy=Myx,
( )yx
wDMF xyc ∂∂∂
−−==2
122 ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.7. Condições de Fronteira
O sinal negativo indica o sentido para cima.Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa.Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita tendem a levantar.As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas extremidades não existe momento torsor.Agora, pode formular-se uma variedade de situações normalmente encontradas.As consições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são descritas em seguida.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.7. Condições de Fronteira
Extremidade embutida ou encastrada:Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na extremidade considerada, isto é
( )axxww ==∂∂
= ;0;0
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.7. Condições de Fronteira
Extremidade com apoio simples:Neste caso, tem-se deflexão e momento flector igual a zero na extremidade em questão. Assim
( )axyw
xwMw x ==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
== ;0;0 2
2
2
2
ν
A primeira destas equações implica que ao longo da extremidade x=a
0;0 2
2
=∂∂
=∂∂
yw
yw
Desta forma as condições de fronteira podem ter a forma equivalente
( )axxww ==
∂∂
= ;0;0 2
2
Plac
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Cas
cas
Plac
as
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1.7. Condições de Fronteira
Extremidade livre:Neste caso, tem-se momento flector e força de corte vertical igual a zero na extremidade em questão. Isto é
( ) ( )axyxw
xw
yw
xw
==∂∂∂
−+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ ;02;0 2
3
3
3
2
2
2
2
νν
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1.7. Condições de Fronteira
Extremidade deslisante:Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente, mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a qualquer força de corte. Logo
( ) ( )axyxw
xw
xw
==∂∂∂
−+∂∂
=∂∂ ;02;0 2
3
3
3
ν
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1.7. Condições de Fronteira
Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de forma idêntica.Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de dois tipos básicos:
-Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão ou declive;-Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou momentos) nas extremidades da placa às forças de corte externas (ou momentos) dadas.
Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as consições são mistas.Em vez de especificar consições de fronteira homogéneas, é possível especificar outros valores de corte, momento, rotação ou deslocamento.Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são representadas substituindo os zeros das condições acima por valores especificados.
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1.8. Solução da Deflexão de Placas1.8. Solução da Deflexão de Placas
Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de placas apenas com dificuldade considerável.É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça a equação fundamental e as condições de fronteira.Alguns casos podem ser analisados com a utilisação de polinómios para w em xe y com coeficientes indeterminados.Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma aceitável.O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal, qualquer outro carregamento pode ser analisado através de séries infinitas.Este método apresenta uma vantagem importante que consiste no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a superfície da placa.
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1.8. Solução da Deflexão de Placas
Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos gerais.Estes podem ser aplicados para a obtenção de uma solução, muitas vezes na forma de séries infinitas.Estes dois métodos têm duas funções:
-Podem fornecer soluções “exactas” quando as configurações do carregamento e geoemtria são simples;-Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através da análise numérica aplicada a problemas mais reais.
Outro método usado para resolver a equação da placa é o método das diferenças finitas. Neste caso as equações são substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito.As equações, neste caso, só podem ser resolvidas numericamente.
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1.8. Solução da Deflexão de Placas
Exemplo 1.1Determine a deflexão e a tensão numa placa rectangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições:a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por
( )bypyp πsin0=
onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x; b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0.
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1.8. Solução da Deflexão de Placas
Exemplo 1.2Uma placa rectangular de um poço de elevador está sujeita a momentos flectores uniformemente distribuídos Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das suas extremidades.Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos seguintes casos:a) Ma=Mb;b) Ma=-Mb.
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1.9. Métodos de Energia de Extensão1.9. Métodos de Energia de Extensão
Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita através de métodos de energia.Estas duas técnicas são, respectivamente, análises newtoniana e lagrangiana da mecânica.Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da minimização da energia associada àdeformação e ao carregamento.Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções transversais variáveis e materiais anisotrópicos.Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso de placas finas.
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cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico, para um estado de tensão genérico, é dado por
( )∫∫∫ +++++=V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx dxdydzU γτγτγτεσεσεσ21
A integração extende-se a todo o volume do corpo.Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas σz, γxz e γyz podem ser omitidos.Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes elásticas,
( ) ( )∫∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−=
V
xyxyxyyyxx dxdydz
GEEU
ττνσσσνσσσ 11
21
Plac
as e
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cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
ou
Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que relacionam a tensão com a deflexão. Assim,
Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se
( )∫∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−=
Vxyxyxx dxdydz
GEU 222
212
21 τσσνσσ
( )∫∫∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=V
dxdydzzyx
wyw
yw
xw
xwEU 2
222
2
2
2
2
2
22
2
2
2 12212
1 ννν
( )∫∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=A
dxdyyx
wyw
xw
yw
xwDU
22
2
2
2
22
2
22
2
2
12221 νν
onde A representa a área da superfície da placa.
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cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na forma
O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura gaussiana.Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não linear (quadrática) da deformação ou tensão.Desta forma, o princípio da superposição não é válido para a energia de extensão.Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de energia e de vários métodos de elementos finitos.Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de extensão baseados na energia potencial e na variação da deformação dum corpo elástico.
( )∫∫⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=A
dxdyyx
wyw
xw
yw
xwDU
22
2
2
2
22
2
2
2
2
1221 ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Princípio do trabalho virtualSuponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco ser infinitesimal.Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é prática comum, érazoável considerar que o sistema de forças que actua no corpo é constante.O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu estado inicial para o estado de equilíbrio é
Aqui A é a área limite da superfície e δu, δv e δw são os deslocamentos virtuais nas direcções x, y e z, respectivamente.
( )∫ ++=A
zyx dAwTvTuTW δδδδ
Plac
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
A notação δ indica uma variação de um parâmetro.A energia de extensão δU adquirida por um corpo de volume V como resultado da extensão virtual
O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é zero, ou
0=− WU δδ
( )∫ +++++=V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx dVU δγτδγτδγτδεσδεσδεσδ21
Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é
WU δδ =
Plac
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Princípio da energia potencial mínimaDesde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do corpo e que as forças de superfície sejam consideradas constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma:
representa a energia potencial do corpo.A primeira equação representa a condição de energia potencial estacionária do sistema.Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser mínima.Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial assume um valor mínimo.
( ) 0=−=Π WUδδ
Nesta expressão
WU −=Π
Plac
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Cas
cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.A energia potencial guardada numa placa sujeita a um carregamento lateral distribuído p(x,y) é
No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação pode ser escrita
Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima.Como ∂2w/∂x2=κx representa a curvatura da placa no plano xy, o ângulo que corresponde ao momento Mxdy é igual a –(∂2w/∂x2)dx.A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx é então -0.5Mxκxdxdy.
( ) ( )∫∫∫ ∫∫−++=ΠV A
xyxyyyxx dxdypwdxdydzγτεσεσ21
( ) ( )∫∫∫∫ −++−=ΠAA
xyxyyyxx dxdypwdxdyMMM κκκ21
Plac
as e
Cas
cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy são interpretados da mesma forma.O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:
( ) ( )∫∫∫∫ −++−=ΠAA
xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM δδκδκδκδ21
Plac
as e
Cas
cas
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Método de RitzO método de Ritz é um procedimento conveniente para determinar soluções com o princípio da energia potencial mínima.Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de uma série que contém os parâmetros indeterminados amn (m,n=1,2,...).A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de fronteira geométricas.As condições de fronteira estáticas não precisam de ser respeitadas.Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa.Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja quase idêntica àverdadeira superfície deflectida da placa.
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as e
Cas
cas
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as
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
Depois, usando a solução seleccionada, determina-se a energia potencial Π em termos de amn.Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que se ter
0,,011
=∂Π∂
=∂Π∂
mnaaK
Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são resolvidas para os parâmetros amn.Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema.Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por isso, os resultados finais são apenas aproximados.Obviamente, se o w assumido for “exacto”, a solução também será “exacta”.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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1.9. Métodos de Energia de Extensão
As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições de fronteira nas extremidades da placa.Este método, é assim, um dos mais simples para resolver deflexões de placas e cascas através de uma calculadora.
A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas de flexão, de tracção e de instabilidade em placas e cascas serão apresentadas mais tarde.
Plac
as e
Cas
cas
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2.1. Introdução2.1. Introdução• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em placas
rectangulares finas.• Como visto no capítulo anterior o elemento de placa rectangular é
um modelo excelente para desenvolver relações básicas em coordenadas cartesianas.
• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão frequentemente levam a soluções na forma de séries que não são viáveis para cálculos manuais de valores numéricos.
• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos por séries infinitas complicadas.
• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por um computador.
2. Placas Rectangulares2. Placas RectangularesPl
acas
e C
asca
sPl
acas
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2.1. Introdução• As placas rectangulares são, geralmente, classificadas de acordo com
o tipo apoios usados:– Placas com apoios simples;– Placas encastradas ou embutidas;– Pacas com mistura de condições de apoio;– Placas em fundações elásticas;– Placas contínuas:
• Estas placas normalmente consistem em placas isoladas suportadas por vigas ou colunas intermédias.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Considere uma placa rectangular de lados a e b com apoios simples em todas as extremidades e sujeito a um carregamento p(x,y).A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo como mostra a figura.
Plac
as e
Cas
cas
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as
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de Fourier seguintes para a carga e deflexão:
( ) ∑∑∞
=
∞
=
=1 1
sinsin,m n
mn byn
axmpyxp ππ
( ) ∑∑∞
=
∞
=
=1 1
sinsin,m n
mn byn
axmayxw ππ
onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar.Este método foi introduzido por Navier em 1820.As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira
( )
( )byyyww
axxxww
===∂∂
=
===∂∂
=
,000
,000
2
2
2
2
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as e
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão cumpre estes constrangimento e que os coeficientes amn têm que satisfazer a equação diferencial da deflexão.A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim, que se determine pmn e amn.Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície deflectida verdadeira da placa é uma superposição de curvas sinusoidais de m e nconfigurações diferentes nas direcções x e y, respectivamente.Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais máximas das curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas direcções x e y, respectivamente.Por exemplo, o termo a12sin(πx/a)sin(2πy/b) está ilustrado na figura.Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão do resultado.
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cas
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte forma.Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do carregamento émultiplicado por
dxdyb
yna
xm ππ ′′sinsin
e integrado entre os limites 0,a e 0,b:
( )
∑∑ ∫ ∫
∫ ∫∞
=
∞
=
′′=
′′
1 10 0
0 0
sinsinsinsin
sinsin,
m n
b a
mn
b a
dxdyb
yna
xmb
yna
xmp
dxdyb
yna
xmyxp
ππππ
ππ
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Pode mostrar-se por integração directa que
Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são
( )( )( )( )nn
nnb
dyb
ymb
ym
mmmm
adx
axm
axm
b
a
′=
′≠
⎩⎨⎧
=′
′=
′≠
⎩⎨⎧
=′
∫
∫
20
sinsin
20
sinsin
0
0
ππ
ππ
( )∫ ∫=b a
mn dxdyb
yna
xmyxpab
p0 0
sinsin,4 ππ
O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as equações de p e de w na equação diferencial de deflexão da placa, o que dá
∑∑∞
=
∞
=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1 1
4224
0sinsin2m n
mnmn b
yna
xmD
pb
nb
na
ma
ma ππππππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Esta equação tem que ser válida para todos os x e y.Então conclui-se que
ou
Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se
024224
4 =−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Dp
bn
bn
am
ama mn
mnπ
0222
4 =−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Dp
bn
ama mn
mnπ
2224
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
bn
amD
pa mnmn
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
Finalmente, substituindo este resultado na equação do w, obtém-se a equação de superfície de deflexão da placa.
onde pmn já foi obtido anteriormente.Pode observar-se que, sendo |sin(mπx/a)|≤1 e |sin(nπy/b)|≤1 para todos os x e ye m e n, a série é convergente.Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de placas rectangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de carregamento.Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do método de Navier para casos particulares.
∑∑∞
=
∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=1 1
2224 sinsin1m n
mn
byn
axm
bn
am
pD
w πππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Quando uma placa rectangular está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p(x,y)=p0, os resultados da secção anterior são um pouco simplificados.A equação do pmn depois da integração dá
( )( )πππ
nmmnppmn cos1cos14
20 −−=
ou
( )[ ] ( )[ ]nmmn mn
pp 111142
0 −−−−=π
ou aínda
( )K,3,1,162
0 == nmmnppmn π
Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores ímpares.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se
Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que deflectir numa forma simétrica.Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o seu valor é
( )K,3,1,sinsin1162226
0 =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= ∑∑∞ ∞
nmb
yna
xm
bn
ammn
Dpw
m n
πππ
∑∑∞ ∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=m n
nm
bn
ammn
Dpw
2sin
2sin116
22260 ππ
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
ou
As componentes do momento obtém-se substituindo a equação acima nas equações dos momentos.Assim
( ) ( )∑∑∞ ∞
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
m n
nm
bn
ammn
Dpw 222
21
21
60 1116
π
∑∑∞ ∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=m n
x byn
axm
bn
ammn
bn
am
pM ππν
πsinsin16
222
22
40
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Pode observar-se que os momentos flectores Mx e My são zero em (x=0,x=a) e (y=0,y=b), respectivamente.No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas extremidades nem nos cantos da placa.
∑∑∞ ∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=m n
y byn
axm
bn
ammn
bn
am
pM ππν
πsinsin16
222
22
40
( )∑∑∞ ∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
m nxy b
yna
xm
bn
amab
M πππ
ν coscos11162224
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das reacções nos suportes.Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite considerar a distribuição de tensão inalterada em secções distantes das extremidades e cantos.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Exemplo 2.1Um painel de parede quadrado, sujeito a um diferencial de pressão p0, pode considerar-se que tem apoios simples em todas as suas extremidades.Determine:a) A deflexão máxima;b) O momento máximo;c) A tensão máxima.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Exemplo 2.2Um painel do chão de um armazém de lados a e b tem apoios simples em todas as extremidades.Determine as reacções nos apoios assumindo que o material está distribuído pelo chão todo por forma a criar o seguinte caregamento
( )by
axpyxp ππ sinsin, 0=
onde p0 representa a intensidade da carga no centro da placa, como mostra a figura.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
Exemplo 2.3Determine as equações da superfície elástica de uma placa rectangular com apoios simples em duas situações:a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente numa área 4cd;b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos flectores com o método de Navier tem um convergência lenta com o aumento do número de termos da série.Um método importante que resolve este problema foi desenvolvido por Lévy em 1900.Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma série dupla usa-se uma série única.Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries únicas do que com séries duplas.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
O método de Lévy é aplicável à flexão de placas rectangulares com condições de fronteira particulares em duas axtremidades opostas (por exemplo, x=0 e x=a) e condições de fronteira arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
A solução total consiste na solução homogénia wh da equação
e da solução particular wp da equação
02 4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
yw
yxw
xw
Dp
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
com a seguinte forma
ph www +=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Uma vez que
é independente do carregamento, pode derivar-se uma única expressão para whque seja válida para placas rectangulares com duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos.Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter uma solução para wp.A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte
04 =∇ hw
onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima.
( )∑∞
= ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=1 cos
sin
mmh
axm
axm
yfw π
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Vamos descrever o método assumindo que os lados opostos da placa rectangular em x=0 e x=a têm apoios simples como mostra a figura.
Neste caso a equação anterior fica
Esta equação cumpre as condições de fronteira para apoios simples nas extremidades ao longo de x.
( )∑∞
=
=1
sinm
mh axmyfw π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Para completar a solução, temos que aplicar as condições de fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2.Substituíndo a equação de wh em ∇4w=0, tem-se
Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que
A solução geral desta equação é
0sin2,3,1
4
2
22
4
4
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−∑
∞
= Kmm
mm
axmf
am
dyfd
am
dyfd πππ
024
2
22
4
4
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− m
mm fa
mdy
fda
mdy
fd ππ
aym
ma
ym
ma
ym
ma
ym
mm yeDyeCeBeAfππππ
−−′+′+′+′=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Ou usando identidades trigonométricas
A solução homogénea fica, assim,
Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas mais tarde para casos especificados.Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios simples são respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução particular for expressa com a série de Fourier única
aymyD
aymyC
aymB
aymAf mmmmm
ππππ coshsinhcoshsinh +++=
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=
1sincoshsinhcoshsinh
mmmmmh a
xma
ymyDa
ymyCa
ymBa
ymAw πππππ
( )∑∞
=
=1
sinm
mp axmykw π
onde km(y) são funções de y apenas.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier
onde
Substituindo para wp e p(x,y) na equação ∇4w=p(x,y)/D e notando a validade da expressão resultante para todos os valores de x entre 0 e a, obtém-se
( ) ( )∑∞
=
=1
sin,m
m axmypyxp π
( ) ( )∫=a
m dxa
xmyxpa
yp0
sin,2 π
Dpk
am
dykd
am
dykd m
mmm =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
4
2
22
4
4
2 ππ
Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação diferencial ordinária, pode calcular-se wp.O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Placa Rectangular com Apoios Simples e Carregamento UniformeNeste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica
Logo, a equação de km fica
A solução particular desta equação é
( )K,3,14 0 == mmppmπ
Dmpk
am
dykd
am
dykd
mmm
πππ 0
4
2
22
4
4 42 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
A solução para wp fica, então,Dm
apkm 55
404π
=
∑∞
=
=1
55
40 sin14
mp a
xmmD
apw ππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Esta solução representa a deflexão de uma tira com carregamento uniforme com apoios simples e paralela ao eixo x.Também pode ser escrita na seguinte forma
A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser simétrica em relação ao eixo x (tem que ter os mesmos valores para –y e +y) é satisfeita pela equação de wh se Am=Dm=0.Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se
( )xaaxxD
pwp3340 2
24+−=
Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de placas e as condições de apoios simples em x=0 e x=a.
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
K,3,155
40 sin4sinhcosh
mmm a
xmDm
apa
ymyCa
ymBw ππ
ππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
As condições de fronteira em falta são
Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas expressões, que serão satisfeitas para todos os x se
onde
04sinh2
cosh 55
40 =++
DmapbCB mmmm π
αα
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±==
∂∂
=2
00 2
2 byyww
0sinhcosh2 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + mmmmm
mm CCb
B αααα
abm
m 2πα =
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
A solução destas equações dá a seguintes constantes
A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita
m
mm Dm
bapmapBαπ
απcosh
tanh455
30
40 +
=
mm Dm
apCαπ cosh
244
30=
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
=
K,3,15
5
40
sin2sinhcosh2
12coshcosh2
2tanh11
4
m
m
m
m
m
mm
axm
by
aym
by
m
Dapw
παπα
αααα
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0), tomando o valor de
Uma vez que
( )∑∞
=
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−=
K,3,15
21
5
40
max cosh22tanh114
m m
mm
m
mDapw
ααα
π
( )32
519
5
,3,15
21
×=
−∑∞
=
−π
Km
m
m
a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte
( )∑∞
=
−+−
−=K,3,1
5
21
5
40
40
max cosh22tanh14
3845
m m
mm
m
mDap
Dapw
ααα
π
O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de uma tira com apoios simples e carregamento uniforme.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
O segundo termo é uma série de convergência rápida.Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e αm=mπ/2), a deflexão máxima é
Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da série, a solução obtida é precisa até ao terceiro algarismo significativo.Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima
( )Dap
Dap
Dapw
40
5
40
40
max 00406.000025.068562.043845
=+−−= Lπ
pode escrever-se
( )∑∞
=
−+−
−=K,3,1
5
21
51 cosh22tanh14
3845
m m
mm
m
m ααα
πδ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ === 0,
2
40
1max yaxDapw δ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se expressões para os momentos, forças de corte e tensões da placa.Os momentos máximos na placa também se podem escrever na forma
Valores numéricos para os coeficientes δ1, δ2 e δ3 são mostrados na tebela para várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se que, à medida que b/a aumenta, wmax e Mx,max aumentam enquanto My,max diminui.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ==== 0,
22
03max,2
02max, yaxapMapM yx δδ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Exemplo 2.4Uma janela de um prédio alto, é aproximada por uma placa rectangular com 3 extremidades com apoios simples e 1 encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme devido ao vento de intensidade p0.Derive uma expressão para a deflexão da superfície.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Exemplo 2.5Um carregamento uniforme p0 actua numa varanda rectangular com apoios simples nos lados opostos x=0 e x=a, com o lado y=b livre e a extremidade y=0 encastrada.Descreva a derivação da expressão para a deflexão w.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
Exemplo 2.6Derive uma expressão para a superfície deflectida de um painel de chão muito longo e estreito sujeito a um carregamento uniforme p0.Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)
Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas rectangulares com carregamentos não uniformes que são apenas função de x.Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o carregamento é expresso com a série de Fourier
( ) ∑∞
=
=K,2,1
sinm
m axmpxp π
onde
( )∫=a
m dxa
xmxpa
p0
sin2 π
Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se
∑∞
=
=K,2,1
44
4
sinm
mp a
xmmp
Daw ππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)
Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um carregamento p(x) e satisfaz a equação ∇4w=p(x)/D bem como as condições de fronteira de apoios simples em x=0 e x=a.Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também têm apoios simples .A expressão total da deflexão fica
Onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições em y=±b/2: w=0 e ∂2w/∂y2=0.Assim
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
K,2,144
4
sinsinhcoshm
mmm a
xmDm
apa
ymyCa
ymBw ππ
ππ
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−=
K,2,144
4
sinsinhcosh2
1coshcosh2
2tanh1m mm
mmm
axm
bym
aym
bym
mp
Daw πππ
απ
ααα
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)
onde αm=mπb/2, como anteriormente.Introduzindo uma dada distribuição de p(x) pode obter-se pm e depois calcular-se w.Os momentos e tensões são determinadas pela forma usual.Valores de pm para alguns casos de distribução de p(x) estão mostrados na figura.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)
Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa caregada hidrostaticamente:
Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão.Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro da placa (x=a/2,y=0) é
( ) ( )K,2,112sin2 100
0 =−== +∫ mm
pdxa
xma
xpa
p ma
m ππ
Dapw
4000203.0=
Este resultado é metade da deflexão de uma placa rectangular com apoios simples sujeita a um carrgamento uniforme.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Vamos considerar uma placa rectangular com apoios simples em todas as extremidades sujeita a momentos distribuídos simétricos em y=±b/2.Descrevendo os momentos pela série de Fourier
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±==∑
∞
= 2sin
1
bya
xmMxfm
mπ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar
( )∫=a
m dxa
xmxfa
M0
sin2 π
As condições de fronteira são
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±==
∂∂
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±==
===∂∂
=
2
20
,000
2
2
2
2
byxfywD
byw
axxxww
Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que a superficie de deformação tem a forma já obtida anteriormente
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
K,3,155
40 sin4sinhcosh
mmm a
xmDm
apa
ymyCa
ymBw ππ
ππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Com p0=0 e m=1,2,3,..., isto é
Esta equação cumpre a equação ∇4w=p/D e as primeiras condições de fronteira, como já foi visto.As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0.Colocando αm=mπb/2a, como anteriormente, tem-se
de onde se tira
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1sinsinhcosh
mmm a
xma
ymyCa
ymBw πππ
0sinh2
cosh =+ mmmmbCB αα
mmmbCB αtanh2
−=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Agora, a equação da deflexão fica
Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se
Daqui obtém-se
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
1sincoshtanh
2sinh
mmm a
xma
ymba
ymyCw ππαπ
m
mm Dm
aMCαπ cosh2
=
∑∑∞
=
∞
=
=−11
sinsincosh2m
mm
mm axmM
axmC
amD ππαπ
A deflexão fica( )∑
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
1sinhcoshtanh
2coshsin
2 mmm
m aymy
aymbM
maxm
Daw ππα
απ
π
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão.No caso de termos momentos uniformemente distribuídos f(x)=M0, logo
Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se
πmMM m
04=
Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e momentos no centro da placa são
( )∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
12
0 sinhcoshtanh2cosh
sin2m
mm a
ymya
ymbm
axmDaMw ππα
απ
π
00
20 256.0394.00368.0 MMMMD
aMw yx ===
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por
Quando a››b, pode colocar-se tanhαm≈αm e coshαm≈1, e a expressão acima reduz a
É curioso que este resultado é igual ao da deflexão no centro de uma tira de comprimento b sujeita a dois momentos iguais e opostos nas extremidades.No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-(My)y=-b/2, pode derivar-se a expressão da deflexão de forma idêntica modificando a terceira condição de fronteira.
( )0sincoshtanh1
122
0 == ∑∞
=
ya
xmmD
abMwm m
m παα
π
DbM
axm
mDbMw
m
20
,3,1
20
21sin1
2== ∑
∞
=
ππ K
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Neste caso tem-se
O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de situações simétricas e anti-simétricas.As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-simétricos são úteis para resolver problemas com variadas condições de fronteira nas extremidades.
( ) ( )2/
2/2
2
2/2/
2
2
byyby
byyby
MywDM
ywD
−==
==
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.7. Método da Superposição2.7. Método da Superposição
A deflexão e tensão numa placa rectangular com qualquer condição nas extremidades e carregamento arbitrário podem ser determinadas pelo método da superposição.De acordo com este método, um problema complexo pode ser primeiro substituído por várias situações mais simples em que cada uma pode ser resolvida pelo método de Navier ou pelo método de Lévy.As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois, adicionadas de forma a que a equação fundamental ∇4w=p/D e as condições de fronteira sejam satisfeitas no problema original.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.7. Método da Superposição
Considere-se, por exemplo, a flexão de uma placa sujeita a um carregamentolateral com uma extremidade encastrada e as outras com apoios simples.A solução começa com o pressuposto de que todas as extremidades têm apoios simples.Depois, um momento flector ao longo da aresta y=0 é aplicado com uma magnitude adequada para eliminar as rotações devido ao carregamento lateral.O exemplo seguinte é usado para ilustrar o método.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.7. Método da Superposição
Exemplo 2.7Uma placa rectangular tem as arestas opostas x=0 e x=a com apoios simples e as outras duas y=±b/2 encastradas.A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade p0.Derive uma expressão para a superfície deflectida e para os momentos.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz2.8. Método de Ritz
A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada por
( )∫∫⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=A
dxdyyx
wyw
xw
yw
xwDU
22
2
2
2
22
2
2
2
2
1221 ν
O trabalho realizado pela força lateral na superfície p(x,y) pode ser representado por
∫∫=A
wpdxdyW
onde A é a área da superfície da placa.A energia potencial Π=U-W fica, então,
( )∫∫⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=ΠA
dxdywpDyx
wyw
xw
yw
xwD 212
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão de uma placa rectangular com lados a e b encastrada em todas as extremidades e sujeita a um carregamento uniforme p0.As condições de fronteira são
( )
( )byyyww
axxxww
===∂∂
=
===∂∂
=
,000
,000
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Integrando por partes o último termo da equação da energia de extensão obtém-se
∫∫∫∫∫ ∂∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂∂
∂
AS
A
dxdyyxw
xwdx
xw
yxwdxdy
yxw
yxw
2
3222
∫∫∫∫∫∫ ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂∂
∂
ASS
A
dxdyyw
xwdy
yw
xwdx
xw
yxwdxdy
yxw
yxw
2
2
2
2
2
2222
De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros integrais são idênticos.Assim
022
2
2
2
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
∂∂
∫∫A
dxdyyx
wyw
xw
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Desta forma, a energia de extensão da flexão fica
Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=A
dxdyyw
xwDU
2
2
2
2
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=∑∑
∞
=
∞
= byn
axmaw
m nmn
ππ 2cos12cos11 1
as condições de fronteira são cumpridas.Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se
∫ ∫ ∑∑⎩⎨⎧
⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
∞
=
∞
=
b a
m nmn b
yna
xmamaDU
0 01 1
2
22 2cos12cos4
2πππ
dxdya
xmb
ynbn
2
2
2 2cos12cos⎭⎬⎫⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
ππ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
de onde
que é válida para r≠s.O trabalho realizado por p0 é
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑
∞
=
∞
=1 1
22244
4 2332m n
mnabn
am
bn
amabDU π
⎭⎬⎫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+ ∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
= 1 1 1
4
1 1 1
4
22r s n
smrnm r s
msmr aabnaa
am
dxdyb
yna
xmapWb a
m nmn∫ ∫ ∑∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
∞
=
∞
=0 0
1 10
2cos12cos1 ππ
abpW 0=
ou
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Das condições de minimização ∂Π/∂amn=0, tem-se
que é válida para r≠n e r≠m.Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação dá
0222334 01
4
1
422444 =−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑∑
∞
=
∞
=
pabna
ama
bn
am
bn
amabD
rrn
rmrmnπ
244
40
11
233
14
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
ba
baD
apaπ
Dapw
40
max 00128.0=
No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(32π4D).A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através da substituição de a11 na equação da deflexão.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido usando o método da Secção 2.7 para uma placa encastrada, que é mais elaborado.É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que só foi usado um termo da série.De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não resulta numa precisão tão grande no método de Ritz.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros a11, a12, a21, a22, a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de equações:
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
A solução deste sistema de equações lineares para uma placa quadrada (a=b) dá
4
40
33
4
40
31134
40
22
4
40
21124
40
11
400020.0
400268.0
400189.0
401184.0
411774.0
π
ππ
ππ
Dapa
Dapaa
Dapa
Dapaa
Dapa
=
===
===
Dapw
40
max 00126.0=
Substituindo estes valores na equação da deflexão a deflexão máxima é obtida no centro da placa com o valor
Este valor é exactamente igual ao que seria obtido com o método da Secção 2.7.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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2.8. Método de Ritz
Exemplo 2.8Uma porção rectangular (a×b) do chão de uma oficina tem as suas extremidades encastradas e suporta uma carga P aplicada na posição x=x1, y=y1.Determinar a deflexão máxima da placa.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.1. Introdução3.1. Introdução• Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e de
energia para problemas de flexão de placas.• Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é
necessário recorrer a métodos numéricos aproximados.• Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver
problemas práticos, com formas e carregamentos reais.• Os métodos numéricos mais importantes são:
– O método das diferenças finitas;– O método dos elementos finitos.
3. Métodos Numéricos3. Métodos Numéricos
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas3.2. Diferenças Finitas
O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial da placa e as expressões que definem as condições de fronteira com equações de diferenças equivalentes.A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução simultânea de um conjunto de equações algébricas escritas para todos os nós definidos dentro da placa.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir da definição da primeira derivada da função y=f(x) com respeito a x:
xyy
dxdy nn
xn Δ−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→Δ
10
lim
O índice n representa um ponto arbitrário na curva.Num intervalo Δx=h esta expressão representa uma aproximação à derivada
hyy
hy
dxdy nnn
n
−=
Δ≈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +1
Δyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn,
nnnn dx
dyhyyy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈−=Δ +1
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
A primeira diferença atrasada em n é
As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em relação a xn.Assim, a primeira diferença central é
Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se obterem as derivadas de ordem maior.Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças centrais.
nnnn dx
dyhyyy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈−=∇ −1
( )n
nnn dxdyhyyy ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≈−= −+ 112
1δ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de diferença da primeira derivada:
A segunda diferença central em xn, depois de substituir os resultados das primeiras diferenças na expressão acima, é
( ) ( ) nnnn
yyydx
ydh 22
22 δ=Δ∇=∇Δ≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( )n
nnnnnnnnnn dxydhyyyyyyyyyy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈+−=−−−=Δ−Δ= −+−+− 2
22
111112 2δ
A terceira diferença central é
( ) ( ) 111123 22 −+−+ +−=+−== nnnnnnnn yyyyyyyy δδδδδδδ
( ) ( ) ( ) ( )n
nnnnnnnnnn dxydhyyyyyyyyyy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈−+−=+++−−= −−++−−++ 3
33
21122112 2221
21
21
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
e a quarta diferença central é
( ) ( ) 122
12
112224 22 −+−+ +−=+−== nnnnnnnn yyyyyyyy δδδδδδδ
nnnnnn dx
ydhyyyyy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈+−+−= −−++ 4
44
2112 464
( ) ( ) ( )211112 2222 −−−+++ +−++−−+−= nnnnnnnnn yyyyyyyyy
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas variáveis.Considerando uma placa rectangular e colocando Δx=Δy=h, divide-se a placa numa malha quadrada.
why
wwhx
wyx δδ 11
≈∂∂
≈∂∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
≈∂∂
∂≈
∂∂
≈∂∂
yw
hyxww
hyww
hxw
xyx δδδ 2
22
22
22
22
2 111
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
Aqui, os índices x e y indicam a direcção em que as diferenças são calculadas.Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima podem escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma
e
( ) ( )[ ] ( )3121,,
21 ww
hyhxwyhxw
hxw
−=−−+≈∂∂
( ) ( )[ ] ( )4221,,
21 ww
hhyxwhyxw
hyw
−=−−+≈∂∂
( ) ( ) ( )[ ] ( )301222
2
21,,2,1 wwwh
yhxwyxwyhxwhx
w+−=−+−+≈
∂∂
( ) ( ) ( )876524222
2
41
211 wwww
hww
hw
hyxw
xxyx −+−=−=≈∂∂
∂ δδδδ
( ) ( ) ( )[ ] ( )402222
2
21,,2,1 wwwh
hyxwyxwhyxwhy
w+−=−+−+≈
∂∂
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
As derivadas mistas são
( ) ( ) ( )402340232
32
3
21211 wwwh
wwwh
whyx
wxxxxyx δδδδδδ +−=+−=≈
∂∂∂
( ) ( )78426532
32
3
22211 wwwwwwh
whyx
wxy −−+−+=≈
∂∂∂ δδ
( )7831653 2221 wwwwwwh
−++−−=
( ) ( )4022
422
422
4
211 wwwh
whyx
wxyx +−=≈
∂∂∂ δδδ
( )[ ]4321087654 241 wwwwwwwwwh
+++−++++=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
Tendo à disposição as várias derivadas na forma de aproximações de diferenças, pode facilmente obter-se as equações de diferenças finitas equivalentes às equações da placa.Para referência alguns operadores de diferenças finitas estão representados em esquema na figura seguinte.O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de cada operador.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
Fórmulas similares podem ser derivadas quando os nós não estão espaçados uniformemente.No caso de uma malha rectangular com Δx=h e Δy=k, pode substituir-se o h por k nas derivadas de w em relação a y anteriores.Por exemplo,
( ) ( )4231 21
21 ww
kywww
hxw
−≈∂∂
−≈∂∂
( ) ( )876542
2
21
2111 wwww
hkww
hkw
khyxw
xxyx −+−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
∂∂∂ δδδδ
( ) ( )40222
2
30122
2
2121 wwwky
wwwwhx
w+−≈
∂∂
+−≈∂∂
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
O operador ∇2w fica
( ) ( )402230122 2121 www
kwww
hw +−++−≈∇
A menos que seja especificado, daqui para a frente serão considerados apenas nós equidistantes (Δx=Δy=h).Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y estão bem adaptadas para resolver problemas com domínios rectangulares.Quando a placa tem contornos irregulares são necessários operadores especiais junto à fronteira.Uma das malhas não cartesianas para estas condições são as malhas triangulares.Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e mais preciso usar coordenadas paralelas às arestas da placa.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.2. Diferenças Finitas
A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-simétricas.Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema coordenado são obtidos através da transformação das equações que relacionam as coordenadas x e ynesse sistema.Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões e momentos éo mostrado a seguir.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Podemos, agora, transformar a equação diferencial da placa flectida numa equação algébrica.Vamos escrever esta equação para um nó interior; o ponto 0 por exemplo.
Referindo ao operador ∇4, a equação de diferenças correspondente à equação fundamental da placa é
( ) ( )[ ]Dp
hwwwwwwwwwwwww 0
4043218765121110912082 =++++−+++++++
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da placa.Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser convertidas para a forma de diferenças finitas.O conjunto de equações de diferenças é, depois, resolvido para se obterem as deflexões.Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a equação fundamental da placa pode ser substituída por duas equações de segunda ordem, como já foi visto anteriormente.A aplicação do operador ∇2 a estas equações no ponto 0 dá
( ) 020432114 ph
MMMMM −=−+++
( )D
Mh
wwwww 0204321
14 −=−+++
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro da placa.A solução do problema requer que se determine os valores de M e w de forma a satisfazer as equações algébricas e as condições de fronteira.No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e w são zero nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro grupo de equações independentemente do segundo para determinar todos os valores de M dentro da fronteira.O segundo conjunto é resolvido depois.Para placas com outras condições de fronteira (encastramento, livre, combinações, etc..) é necessário resolver todas as equações em simultâneo.Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M podem ser diferentes nas arestas.A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do primeiro método.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se as expressões dos momentos e forças de corte.No ponto 0, estes são
( )[ ]4203102 22 wwwwwwhDM x −−+−−= ν
( )[ ]3104202 22 wwwwwwhDM y −−+−−= ν
( )( )8765241 wwwwh
DM xy +−+−−
=ν
e
( )3121 MMh
Qx −=
( )4221 MMh
Qy −=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
As tensões são facilmente obtidas como anteriormente.O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de alguns exemplos numéricos.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.1Use a técnica das diferenças finitas para analisar a flexão de uma placa quadrada (a×a) em que todas as arestas têm apoios simples e que está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.2Determine a deflexão e os momentos em vários pontos de uma placa quadrada de lado a com todas as arestas encastradas sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0.Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução:a) Aplicação das duas equações de segunda ordem;b) Aplicação da equação fundamental.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.3Um chão, em que metade suporta um carregaemtno uniforme, é representado por uma placa contínua com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras (x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também tem um apoio simples.Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.4Considere o caso de uma placa rectangular carregada uniformemente com duas arestas contíguas com apoios simples, a terceira livre e a quarta encastrada.Use o método das diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários pontos.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.4
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
Exemplo 3.4
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito3.4. Propriedades do Elemento Finito
O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em simultâneo com os computadores digitais e o aumento do interesse nos métodos numéricos.Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa placa com um grau de facilidade e de precisão nunca antes possível.No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num número finito de elementos (normalmente com forma triangular ou rectangular) ligados nos nós e em fronteiras inter-elemento hipotéticas.Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em cada nó e ao longo das fronteiras entre elementos.Existem vários métodos de elementos finitos.Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos onde o conjunto das equações algébricas fundamentais é expresso em termos dos deslocamentos nodais indeterminados.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para um elemento finito de uma placa isotrópica.As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas deflexões.Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer carregamento.Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de elementos finitos triangulares.As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
Matriz de deslocamentosOs deslocamentos nodais {δ}e estão relacionados com os deslocamentos dentro do elemento através da função de deslocamento {w}e dada por
{ } [ ]{ }ee Pw δ=
onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar posteriormente para um elemento específico.Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma.É conveniente que a função de forma seja escolhida de forma a que o campo de deslocamentos reais seja representado com a maior precisão possível.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidadeFazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de extensão generalizada-deformação da seguinte forma
T
exy
x
x
yxw
yw
xw
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂∂
−∂∂
−∂∂
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧2
2
2
2
2
γεε
ou
{ } [ ]{ }ee B δε =
onde a matriz [B] terá que ser calculada.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é
( )exy
x
x
exy
x
x Ez
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
γεε
νν
ν
ντσσ
21000101
1 2
ou
{ } [ ]{ }ee Dz εσ *=
Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte forma,
{ }∫−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧2
2
t
t
xy
y
x
dzzMMM
σ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a relação momento-extensão generalizada
ou
{ } [ ]{ }ee DM ε=
A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então,
{ } [ ] { }e
t
te dzDzM ε⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= ∫−
2
2
*2
[ ] [ ] ( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
==2100
0101
112*
12 2
33
νν
ν
νEtDtD
As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de elasticidade são diferentes para materiais anisotrópicos.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.4. Propriedades do Elemento Finito
Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura, etc.) podem existir extensões iniciais dentro da placa.No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as matrizes de tensão e momento ficam, respectivamente,
e
onde {ε0}e é a matriz de extensão térmica.
{ } [ ] { } { }( )ee D 0* εεσ −=
{ } [ ] { } { }( )ee DM 0εε −=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos3.5. Método dos Elementos Finitos
Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o elemento finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da energia potencial.A variação da energia potencia ΔΠ da placa completa é
( ) ( ) 011
=Δ−Δ+Δ+Δ=ΔΠ ∑∫∫∑∫∫n
A
n
Axyxyyyxx dxdywpdxdyMMM γεε
onde n é o número de elementos de espessura uniforme que constitúem a placa, A é a área da superfície de um elemento e p a carga lateral por unidade de área.Esta expressão pode reescrever-se da seguinte forma
{ } { }( ) 01
=Δ−Δ∑∫∫n
Ae
Te dxdywpMε
ou
{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ]{ }( ) 01
=Δ−Δ∑∫∫n
Aee
TTe dxdyPpBDB δδδ
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos
ou ainda
Colocando a matriz de rigidez do elemento
ou, se considerarmos extensões iniciais,
{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ]( ) 01
=−Δ∑∫∫n
A
Te
TTe dxdypPBDB δδ
[ ] [ ] [ ][ ]∫∫=A
Te dxdyBDBK
e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga transversal
{ } [ ]∫∫=A
Te pdxdyPQ
{ } [ ] [ ]{ } [ ]∫∫∫∫ +=A
T
A
Te pdxdyPdxdyDBQ 0ε
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos
a equação fica
Uma vez que as mudanças em {δ}e são independentes e arbitrárias esta equação pode reduzir a
para o equilíbrio de forças nodais do elemento.Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições dos elementos e obtém-se
{ } [ ] { } { }( ) 01
=−Δ∑∫∫n
Aeee
Te dxdyQK δδ
[ ] { } { }eee QK =δ
{ } [ ]{ } { }( ) 0=−Δ QKT δδ
Esta equação tem que ser válida para todos os {Δδ}.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos
Daqui, as equações que governam a placa completa são
onde
Pode ver-se que a a matriz de rigidez da placa [K] e a matriz das forças nodais {Q} são obtidas pela superposição de todas a matrizes de rigidez e de forças nodais do elemento, respectivamente.
[ ]{ } { }QK =δ
[ ] [ ]∑=n
eKK1
{ } { }∑=n
eQQ1
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos
O procedimento genérico para resolver o problema de flexão da placa com o método dos elementos finitos é:1. Determinar [K]e para cada elemento de acordo com as suas propriedades.
Gerar a matriz global [K].2. Determinar {Q}e para cada elemento de acordo com a carga aplicada.
Gerar a matriz global {Q}.3. Determinar os deslocamentos nodais satisfazendo as condições de fronteira:
{δ}=[K]-1{Q}4. Determinar as extensões no elemento:
{ε}e=[B]{δ}e
4. Determinar os momentos e as tensões no elemento:{M}e=[D]{ε}e
{σ}e=z[D*]{ε}e
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.5. Método dos Elementos Finitos
O procedimento fica mais claro quando as características de um dado elemento forem derivadas.Os elementos mais comuns na flexão de placas, cada um necessitando de tipos diferentes de função de deslocamento, são apresentados em seguida.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular3.6. Elemento Finito Triangular
O elemento triangular pode facilmente acomodar fronteiras irregulares.Também pode ter dimensão variável para permitir elementos pequenos em regiões com concentração de tensão.Por isso, ele é usado extensivamente no método dos elementos finitos.Considere-se um elemento da placa triangular ijm coincidente com o plano xy.Os nós são numerados no sentido anti-horário.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Cada deslocamento nodal do elemento tem três componentes:- uma deflexão na direcção z (w);- uma rotação em torno do eixo x (θx);- uma rotação em torno do eixo y (θy).As rotações estão relacionadas com as derivadas da deflexão da seguinte forma
xw
yw
yx ∂∂
=∂∂
= θθ
O sentido positivo das rotações é determinado pela regra da mão direita.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Função de deslocamentoA matriz de deslocamento nodal para um elemento é
{ } { }Tymxmmyjxjjyixii
m
j
i
e www θθθθθθδδδ
δ =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
A função de deslocamento, que define o deslocamento em qualquer ponto dentro do elemento ijm, é escolhida como sendo um polinómio do terceiro grau modificado com a seguinte forma
( ) 39
228
37
265
24321 yaxyyxaxayaxyaxayaxaawe +++++++++=
o que permite um tratamento teórico relativamente simples.O número de termos é igual ao número de deslocamentos nodais do elemento.Esta função mantém continuidade dos deslocamentos mas não das derivadas.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
No entanto, para casos práticos de engenharia a solução com base nesta função é aceitável na maior parte dos casos.Uma função de deslocamento de décima oitava ordem, corespondente a um triângulo de 6 nós, permite melhores resultados, mas a análise é mais extensa.Quando os coeficientes a são conhecidos, a função dá o deslocamento em todas as posições da placa.Os deslocamentos nodais podem escrever-se:
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
ou
{ } [ ]{ }aCe =δ
Daqui, a solução para as constantes a é
{ } [ ] { }eCa δ1−=
Pode ver-se que a matriz [C] depende do valor das coordenadas dos pontos nodais.A função de deslocamento pode, agora, escrever-se
{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CLPw δδ 1−==
onde
[ ] ( )[ ]322322 ,,,,,,,,1 yxyyxxyxyxyxL +=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se
{ }( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−−
−−−=
9
2
1
040020000620200000026002000
a
aa
yxyx
yx
e Mε
ou
A matriz extensão-deslocamento generalizada fica
{ } [ ]{ }aHe =ε
{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CHB δδε 1−==
sendo que
[ ] [ ][ ] 1−= CHB
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Matriz de rigidezSubstituindo a matriz [B] na equção de [K]e obtém-se
onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o integral para obter a matriz de rigidez do elemento.
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 11 −−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫ CdxdyHDHCK
A
TTe
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Forças nodais externasAs forças nodais resultantes do carregamento transversal na superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e ou usando intuição física.A matriz das forças nodais do elemento é
onde Qz, Qθx e Qθy representam a força lateral na direção z, o momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento por unidade de comprimento em torno de y, respectivamente.A determinação das forças nodais do elemento édemonstrada no exemplo seguinte.
{ } { }Tymxmzmyjxjzjyixizi
m
j
i
e QQQQQQQQQQQQ
Q θθθθθθ=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Exemplo 3.5O elemento 123 representa uma porção de uma placa elástica fina sujeita a uma carga uniforme de intensidade p0.Determine a matriz de forças nodais.Assuma que o peso do elemento é desprezável.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Exemplo 3.5
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectagular3.7. Elemento Finito Rectagular
Vamos ver, agora, o elemento rectangular.Para garantir, pelo menos, o cumprimento aproximado da continuidade das derivadas, são usadas três componentes do deslocamento nodal como anteriormente.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Função de deslocamentoA matriz de deslocamento nodal para um elemento é
{ } { }Tynxnnymxmmyjxjjyixii
n
m
j
i
e wwww θθθθθθθθ
δδδδ
δ =
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
A função de deslocamento, que define o deslocamento em qualquer ponto dentro do elemento ijmn, é escolhida como sendo um polinómio do terceiro grau com a seguinte forma
312
311
310
29
28
37
265
24321
xyayxayaxya
yxaxayaxyaxayaxaawe
++++
+++++++=
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.6. Elemento Finito Triangular
Os deslocamentos nodais são dados por
{ } [ ]{ }aCe =δ
onde [C], uma matriz de 12 x 12, depende das coordenadas nodais e é obtida da mesma forma que para o elemento triangular.Daqui, a solução para as constantes a é
{ } [ ] { }eCa δ1−=
A função de deslocamento pode, como anteriormente, escrever-se
{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CLPw δδ 1−==
onde, agora,
[ ] [ ]33322322 ,,,,,,,,,,,1 xyyxyxyyxxyxyxyxL =
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
−−−−=
9
2
1
22 660440020000606200200000060026002000
a
aa
yxyxxyyx
xyyx
e Mε
ou
A matriz extensão generalizada-deslocamento fica
{ } [ ]{ }aHe =ε
{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CHB δδε 1−==
com
[ ] [ ][ ] 1−= CHB
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Matriz de rigidezSubstituindo a matriz [B] na equção de [K]e obtém-se
onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o integral para obter a matriz de rigidez do elemento.No caso de os lados a e b do elemento serem paralelos aos eixos x e y, respectivamente, o integral pode ser calculado directamente, pois os limites de integração são independentes.Assim, tem-se
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 11 −−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫ CdxdyHDHCK
A
TTe
[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]RkkkkRabEtK e
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
+++−
= 43212
3
21
1180νν
ν
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Os coefficientes [k1], [k2], [k3] e [k4] e a matriz [R] estão mostrados abaixo.
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Forças nodais externasAs forças nodais resultantes do carregamento transversal na superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e.A matriz das forças nodais do elemento é
onde Qz, Qθx e Qθy representam a força lateral na direção z, o momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento por unidade de comprimento em torno de y, respectivamente.Os deslocamentos, as extensões e as tensões são obtidas usando o procedimento descrito em 3.4.
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
n
m
j
i
e
QQQQ
Q
Plac
as e
Cas
cas
Plac
as
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3.7. Elemento Finito Rectangular
Exemplo 3.6Considere uma placa quadrada de lado a com duas arestas opostas (y=0 e y=a) com apoios simples e as outras duas arestas encastradas.Determine o valor máximo de w sabendo que a placa está sujeita a um carregamento uniforme de intensidade p0.Considere a=2m e ν=0,3.