Etd 1002102-172438

逢甲大學

自動控制工程研究所

碩士論文

應用奇異值分解於模態分析之研究

A Study of Modal Analysis by Singular Value Decomposition

指導教授：林欽裕

研究生：劉朝安

中華民國九十一年七月二十二日

應用奇異值分析於模態分析之研究

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中文摘要

本研究的目標在於提出新的模態參數估測法則，解決目前對於高阻尼與

高藕合系統模態分析，仍然不精確的問題。延續Zero Order估測法中最具代表

性的CMIF方法，保留其可以指示模所在位置的優點，進而運用頻率響應函數矩

陣做奇異值分解後的資料，透過奇異峰值所在位置與左右鄰近點的資料，利用基

因演算法或聯立方程式組可以直接求得單一振模之自然頻率與阻尼比。數值模擬

的結果顯示出在高耦合情形下，採用本文的方法作參數估測將可以獲得較為精確

的結果，在阻尼比高於5％的情況下，結果也較CMIF精確。然而，在阻尼比低

與振模之奇異值具有藕合的情況下，CIMF的估測結果是較佳的，因此，模態之

分佈情形對估測結果是具有一定的影響性。因應此現象，本研究亦提供判斷模態

分佈情形的初步構想，將可作為未來運用奇異值分解技術發展參數估測法的方

針。

關鍵字：模態參數估測、奇異值分解、基因演算法


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Abstract

The purpose of this paper is to develop two new parameter estimation

algorithms that can improve the inaccurate results for a highly damped and highly

coupled system. Among the zero order algorithms, the most popular one is the

Complex Mode Indication Function (CMIF), which features the direct indication of

the modes. These two new algorithms, Genetic algorithm and Equation formula

algorithm, are developed by preserving the advantage of CMIF and by using the

information around the peak of the singular value plot. A highly damped and highly

coupled lumped system is chosen for numerical simulation. The results show that the

new algorithms can more precisely estimate the highly coupled mode than the CMIF

does. For damping ratio higher than 5%, the new algorithms still do the better results

as well. However, for lightly damped system and closely coupled singular value plot,

the CMIF will have more accurate results than the new algorithms. Under these

circumstances, this paper presents a preliminary concept to direct how to properly

utilize the parameter estimation algorithm by analyzing the mode distribution

situation.

Keywords: modal parameter estimation, singular value decomposition, genetic


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感謝小小的研究成果往往是無數心血的累積，在逢甲的研究生涯裏，有苦亦有

樂。承蒙吾師林欽裕教授悉心的指導與照顧，不論是在學業研究上或是待人處

事的觀念上皆多所提攜，使本人獲益良多，在此謹致上最誠摯的謝意。同時承蒙

黃建立教授與陳孝武教授對論文的斧正，提出許多寶貴的見解，所上所有老師

的懇切教誨與助教們熱心幫忙，在此致上由衷感謝。

感謝所上的同學、學長與學弟們在這段期間的諸多幫助與鼓勵，點點滴滴

的片刻將成為永難忘懷的回憶。

特別感謝父母這麼多年來的栽培與無比的愛護，讓本人能無憂無慮的完成

學業，最後，謹以此論文獻給雙親、恩師與好友。


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目錄中文摘要........................................................................................................................ ii

Abstract .......................................................................................................................... ii

感謝............................................................................................................................... iv

目錄................................................................................................................................ v

圖目錄...........................................................................................................................vii

表目錄........................................................................................................................... ix

第一章緒論..................................................................................................................1

1.1前言 ......................................................................................................................1

1.2文獻回顧 ..............................................................................................................1

1.3 研究動機與目的 .................................................................................................4

第二章理論探討..........................................................................................................5

2.1模態參數估測之基礎理論 ..................................................................................5

2.2 CMIF模態識別方法..........................................................................................17

第三章應用奇異值分解於模態參數估測................................................................23

3.1 應用基因演算法於模態參數之估測 ...............................................................23

3.2 採用聯立方程式求解模態參數 .......................................................................28

第四章數值模擬........................................................................................................32

4.1 二自由度系統 ...................................................................................................32

4.1.1 二自由度系統之自然頻率估測結果比較.................................................35

4.1.2 二自由度系統之阻尼比估測結果比較.....................................................36

4.2 七自由度系統 ...................................................................................................37

4.2.1 七自由度系統之自然頻率估測結果比較(不含外加雜訊) ......................40

4.2.2 七自由度系統之阻尼比估測結果比較(不含外加雜訊) ..........................42

4.2.3 七自由度系統之自然頻率估測結果比較(含 5%外加白雜訊) ................46


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4.2.4 七自由度系統之阻尼比估測結果比較(含 5%外加白雜訊) ....................48

第五章結論與未來方向............................................................................................50

參考文獻......................................................................................................................51

附錄..............................................................................................................................53

附錄一 7自由度系統之MATLAB程式 ..............................................................53

附錄二單一自由度解法之MATLAB程式 ..........................................................70

附錄三聯立方程式解法之MATLAB程式 ..........................................................77


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圖目錄

圖 2.1 二自由度系統....................................................................................................6

圖 2.2 測試件示意圖..................................................................................................17

圖 2.3 頻率響應函數（FRF）圖 ..............................................................................18

圖 2.4 頻率響應函數（FRF）一空間軸取樣表示圖 ..............................................19

圖 2.5 CMIF指示模態圖............................................................................................20

圖 2.6 加強型的頻率響應方程..................................................................................21

圖 3.1 模態與奇異峰值的關係..................................................................................25

圖 3.2 頻譜線解析度對峰值頻率的影響..................................................................25

圖 3.3 參數於物種中的排列方式..............................................................................26

圖 3.4 採取基因演算法則流程圖..............................................................................27

圖 3.5 新的估測演算法流程圖..................................................................................28

圖 4.1 二自由度系統示意圖......................................................................................32

圖 4.2 二自由度系統頻率響應圖(1Hz) ....................................................................33

圖 4.3 二自由度系統頻率響應之奇異值分解圖(1Hz) ............................................33

圖 4.4 二自由度系統頻率響應圖(5Hz) ....................................................................34

圖 4.5 二自由度系統頻率響應之奇異值分解圖(5Hz) ............................................34

圖 4.6 七自由度系統示意圖......................................................................................37

圖 4.7 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 0.1Hz不含外加雜訊) .......................38

圖 4.8 七自由度奇異值分解圖(解析度為 0.1Hz不含外加雜訊) ...........................38

圖 4.9 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 1Hz不含外加雜訊) ..........................39

圖 4.10 七自由度奇異值分解圖(解析度為 1Hz不含外加雜訊) ............................39

圖 4.11 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 0.1Hz含 5%雜訊) ...........................44

圖 4.12 七自由度奇異值分解圖(解析度為 0.1Hz含 5%雜訊) ...............................44


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圖 4.13 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 1Hz含 5%雜訊) ..............................45

圖 4.14 七自由度奇異值分解圖(解析度為 1Hz含 5%雜訊) ..................................45


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表目錄

表 4.1 二自由度系統模態參數理論值......................................................................32

表 4.2 二自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz) ...................35

表 4.3 二自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 5Hz) ...................35

表 4.4 二自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz) .......................36

表 4.5 二自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 5Hz) .......................36

表 4.6 七自由度系統模態參數理論值......................................................................37

表 4.7 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz不含雜訊)40

表 4.8 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz不含雜訊) ..40

表 4.9 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz不含雜訊) ...42

表 4.10 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz不含雜訊) ....42

表 4.11 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz含雜訊) .46

表 4.12 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz含雜訊) ....46

表 4.13 頻率資料含雜訊對自然頻率估測結果變動表(頻率解析度為 0.1Hz) ......47

表 4.14 頻率資料含雜訊對自然頻率估測結果變動表(頻率解析度為 1Hz) .........47

表 4.13 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz含雜訊) .....48

表 4.14 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz含雜訊) ........48

表 4.15 頻率資料含雜訊對阻尼比估測結果變動表(頻率解析度為 0.1Hz) ..........49

表 4.16 頻率資料含雜訊對阻尼比估測結果變動表(頻率解析度為 1Hz) .............49


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第一章緒論

1.1前言

由於科技的發展日新月異，商業產品間之競爭漸趨白熱化，良好的結構設計

將有助於提昇產品的品質，以往較常用於航空、汽車等產業的振動理論被廣泛地

運用於許多日常生活的產品之中。例如：半導體設備的隔振、行動電話的防震設

計、利用振動理論於檢查人工植牙是否牢固等，振動學的運用也因此更加地廣

泛，其重要性亦隨著人們對產品品質的需求而日益提高。

模態參數估測法從 1940 年為了解決飛機機翼的振動問題開始，至今已研究

了數十年，相對地也發展出數百種的演算法,這些方法大致上可以分為三類：時

域、頻域和空間領域，就演算法而言，可說已經發展的相當完備了。不過，由於

模態測試分析需要在實際原型結構上作測試，所以模態測試分析所需的設計週期

較長，測試的成本也相當高，在許多實際的運用上，往往無法做第二次模態測試

資料的擷取。因此，如何以一次的測試擷取資料，估測出相當準確的模態參數，

是模態參數估測法於現今的運用上，所存在的一大問題。

1.2文獻回顧

模態參數估測法是系統鑑別理論中的一個特殊的領域，主要是將待鑑別的系

統透過已定義的模態參數所形成的數學關係式做為該系統的數學模式。因此，不

論測試實驗所量測得到的輸入輸出資料的形式為何，實驗數據將以典型的模態數

學形式呈現，包含時域、頻域和空間領域。過去的數十年來，模態參數估測理論

發展出數百種不同的估測方法，對於不同的結構測試情形之下，往往有許多不同

的估測理論可以被採用，當然也有某些估測法被發展成商業用軟體。



早期的模態參數估測理論多以時域的方法為主，可分為 High Order Time

Domain Algorithms。典型的演算法代表為：Complex Exponential Algorithm (CEA)

[1]、Least Squares Complex Exponential (LSCE) [2]、Polyreference Time Domain

(PTD) [3]。這些為早期能同時運用多條響應函數資料進行參數估測的方法，然

而，由於待測系統的實際階數不易確定，而且分析時若需要資料不足

(underdetermine)，估測值將有很大的誤差，因此，需要大量的響應資料來進行估

測，大幅提高求解時的困難。所以，Low Order Time Domain Algorithms接著被

提出來，典型的演算法代表為：Eigensystem Realization Algorithm (ERA)[4,5]、

Ibrahim Time Domain(ITD) Algorithms[6]、 Multiple Reference Time Domain

(MRITD)[7]這些方法以 2 階的狀態空間矩陣形式來表示，由於利用空間上的資

訊，因此，在做模態參數估測時所需的時域資料量將比 High Order Time Domain

Algorithms 來得少，只需幾個非常少的時域資料點，即可求解模態參數。然而在

時域分析中所使用的資料，通常是頻域資料經由傅立葉反轉換而得到的，因此，

容易產生截斷誤差(Truncation Error)。而時域分析方法又是以取樣資料為主的分

析方式，若資料本身就具有誤差，則分析的結果將會產生更大的誤差。

頻域分析方法是為改善時域分析的缺點而開始大量地被研究。頻域的參數估

測法可分為 High Order Frequency Domain Algorithms。這些方法除了具有改善時

域分析的缺點外，還具有可在非均勻取樣資料下使用的特性，且在窄頻參數估測

上具有良好的效果等優點，但在頻域分析方法中最常出現的問題就是病態矩陣問

題。為改善數值病態的問題，頻率的正規化(frequency normalization)與正交多項

式(orthogonal polynomials)的技術被採用，所發展出的演算法之典型代表為：

Rational Fraction Polynomial (RFP) [8]、Orthogonal Polynomial (OP) [9]，然而 High

order Frequency Domain Algorithms對於此一數值病態矩陣之解決效果僅止於縮

小病態的情形而未能完全消除，因此 Low Order Frequency Domain Algorithms接

著被提出，演算法的典型代表為：Simultaneous Frequency Domain(SFD)[10]、



Multiple Reference Simultaneous Frequency Domain(MRSFD)[11]、 Polyreference

Frequency Domain (PFD)[12]。Low Order Frequency Domain Algorithms基本上跟

Low Order Time Domain Algorithms 一樣，也以 2階的狀態空間矩陣形式來表示，

這些演算法將比High Order Frequency Domain Algorithms對於消除數值病態的問

題來得有效率許多。然而 Low Order Frequency Domain Algorithms並不像 Low

Order Time Domain Algorithms只需少數幾點的資料數據即可求解模態參數，相

反地，其需要完整頻域範圍內的數據資料才能求解出準確的參數解。因此，Low

Order Frequency Domain Algorithms仍有其需改進之處。

Shih [13]歸納說明High Order的方法通常使用於當結構測試資料由空間領域

擷取所得來，先行預測頻率響應函數所有根的數目，再設計一高階多項特徵方程

式以求解系統的根。Low Order的方法不同於 High Order法的是，它以一次只估

測一個根來設計低階方程式，逐次將方程式代入系統中來求正確的根。Zero Order

法則不必預估根的數目，而直接以奇異值分解的方法來指示根的位置，進而使用

模態向量的正交特性，抽取單一自由度的頻率響應函數 Enhanced FRF(Frequency

Response Function)，再透過該單一自由度的頻率響應函數求取單一模態的自然頻

率及阻尼比。改善了 Low Order Frequency Domain Algorithms需要大量頻域資料

的缺點，僅需幾個少數資料點即可求取模態參數解。Zero Order演算法的典型代

表為：Complex Mode Indication Function(CMIF)[14]。然而對於高藕合系統，模

態向量往往於一開始就會求取錯誤，因此造成在某些特殊的情形下，參數解將十

分的不準確。



1.3 研究動機與目的

由上述的文獻回顧可以看出，各種參數識別演算法研究的目的皆在於能更

準確地估測出物件特性或增加估測演算法的強軔性，各種方法亦有不同的優缺

點，然而對於模態分析這一個領域而言，如何決定受測系統之自由度，可以說是

一件相當困難而且重要的事。自從發展 Zero Order 方法後，這個問題已被簡單

化，而在 Zero Order方法中，又以 CMIF為佳，除能指示系統之實數模以外，重

複模及鄰近模亦可透過 CMIF來識別，所以 Zero Order 方法可以說是目前模態

參數估測理論發展的主流，然而對於高藕合系統，模態向量往往於一開始就會求

取錯誤，因此 Zero Order方法仍有需後人改進的地方。本研究試圖以不同的觀點

切入模態參數估測，透過不同的方式來處理頻域響應函數的資料，以期發展出一

套新的參數估測法來改善目前模態參數估測法長期以來所無法解決的問題，並藉

由此一研究結果，提供後人對於發展新的模態參數估測法時能有所啟發。



第二章理論探討

2.1模態參數估測之基礎理論

模態識別分析的主要目的在於由測試件所量測到的輸入與輸出資料，獲得測

試件的模態參數。大部分的模態參數估測法通常藉由量測所得的頻率響應函數

(Frequency Response Function)或脈衝響應函數(Impulse Response Function：通常

由頻率響應函數的反傅力葉轉換得來)，進而對待測系統之模態參數做一估測，

所欲求取的模態參數包含複數形式的Modal Frequency( rλ )、Modal Vectors( { }rψ )

及Modal Scaling(modal mass or modal A)，比較完整的演算法亦會求取系統的

modal participation vectors({ }rL ) 及 residue vectors({ }rA )，在模態分析領域通常都

將測試結構假設為線性非時變系統，並利用頻率響應函數矩陣來描述多輸入與多

輸出之間的關係。由於 Zero Order方法為目前模態分析的主要趨勢，因此，透過

數值的技巧可以將一個多輸入多輸出的系統之頻率響應函數矩陣，以每一個獨立

的單一模態(mode)之綜合貢獻來表示。所以，一個具有 n自由度系統可以表示成：

( )[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]TNn

nnrnNo

n

r r

NNrn

r r

NNrNN i

ioio

ioL

jj

A

j

AH ×

××

=∗

×∗

=

××

−

Ψ=−

+−

= ∑∑ 222

211

1λωλωλω

ω )1.2(

由於方矩陣具有許多運算上的優點，因此 (2.1)式可以進一步表示為(其中

NNN io == )：

( )[ ] { } { }( )∑

=

××× −

=n

r r

TNrNrr

NN jQ

H2

1

11

λωψψ

ω )2.2(

其中 oN ：響應點數目

iN ：激勵點數目



( )[ ]ωH ：為頻率響應函數矩陣

[ ]rA ：為第 r個殘留(Residue)矩陣

[ ]Ψ ：為振型矩陣(Model Shape Matrix)

[ ]L ：為模態參與矩陣(Modal Participation Matrix)

[ ]rψ ：為歸一正交化後的第 r個振型(Model Shape)

rQ ：第 r個模的刻度因子(Scaling Factor)

rλ ：第 r個模的系統極點

透過對一個簡單的二自由度系統作理論的推導，可以對(2.1)式跟(2.2)式有更

深入的了解，考慮一個二自由度系統，其轉移函數可以由質量(Mass)、勁性

(Stiffness)與阻尼(Damping)矩陣所構成的運動微分方程式來表示：

=

+

+

fxKxCxM

... )3.2(

K 1K 2

C 1 C 2 C 3

K 3

M 1 M 2

f1

x 1 x 2

f2

圖 2.1 二自由度系統

此二自由度系統的運動方程式為：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxKtxKKtxCtxCCtxM 1221212212111 =−++−++⋅⋅⋅⋅

)4.2(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxKtxKKtxCtxCCtxM 2122321223222 =−++−++⋅⋅⋅⋅

)5.2(



將運動方程式表示為矩陣形式：

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

+−

−++

+−

−++

⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅

tftf

tx

txKKK

KKK

tx

txCCC

CCC

tx

txM

M

2

1

2

1

322

221

2

1

322

221

2

1

2

1

00

)6.2(

首先考慮無阻尼、無輸入外力的情形，假設 0321 === CCC ，輸入外力

( ) ( ) 021 == tftf

( ) ( )

=

+

.0..

txKtxM )7.2(

(2.7)式的通解可以表示為：

{ } { } steXx = ，則 x 的一次微分項為 { } sxeXsx st ==

⋅

，x 的二次微分項為

{ } xseXsx st 22 ==

⋅⋅

，其中 ωσ js += 為複數形式

因此，將通解代入(2.7)式可得

[ ] [ ][ ]{ } { }.02 =+ XKMs )8.2(

由(2.8)式可以看出求解此二自由度系統，其實就是求解一組線性代數方程組，為

了使(2.8)式具有有意義的解(非零解)，亦即 { } { }.0≠X ，因此，(2.8)式之係數的行

列式值必須為零，此一行列式值將為 2s 的多項式，亦稱為系統的特徵方程式

(Characteristic Equation)，而特徵方程式的根則稱為特徵值(Eigenvalues)。為了使



(2.8)式成為標準的特徵值─特徵向量之形式，可將(2.8)式除以 2s 並乘上 [ ] 1−K 或

[ ] 1−M ，如下面二式所示：

[ ] [ ] [ ] { } { }.01

21 =

+− XI

sMK )9.2(

[ ][ ] [ ][ ]{ } { }.021 =+− XIsKM )10.2(

由(2.9)式所求得的特徵值為2

1s，而由(2.10)式所求得的特徵值為 2s ，因此，(2.9)

式與(2.10)式兩者事實上互為反函數的關係。

透過實際數值上的運算可以更明確地了解整個問題的來龍去脈，首先給定圖 2.1

系統的各項數值： 51 =M 102 =M 21 =K 22 =K 43 =K

將數值代入(2.7)式得

=

−

−+

⋅⋅

⋅⋅

00

6224

10005

2

1

2

1

xx

x

x )11.2(

考慮(2.9)式的形式得

=

+

−

−−

00

10011

10005

6224

2

12

1

XX

s )12.2(

經過運算得

=

+

+

00

12

21

11

23

2

1

2

2

XX

s

s )13.2(



可得系統的特徵方程式為

0211

21

23

22 =−

+

+

ss )14.2(

求解(2.14)式得特徵值為 j52± 以及 j± ，將特徵值代回(2.13)式即可求得特徵向

量(特徵向量為 1M 與 2M 位移量的比值，因此，可以稱為系統的模態向量(Modal

Vector))

由於特徵值 rrr jωσλ ±= ，因此，系統的自然頻率與對應的模態向量為：

{ }1

1 11

=ψ ，當自然頻率為 52

1 =ω

{ }22

12

1

−

=ψ ，當自然頻率為 12 =ω

仔細觀察上述之計算結果，可以發現模態向量間並未直接成正交狀態，因為模態

向量 { }1ψ 與模態向量 { }2ψ 之內積並不等於零( { } { } 021

21 ≠=⋅ Tψψ )，因此，單純以

向量的內積值是否為零，來判斷向量間的正交特性是不夠充分的。利用權重後的

向量內積值來判斷模態向量間的正交性，為模態向量的正交特性亦稱為權重正交

性(Weighted Orthogonality)，利用下面的推導可以了解模態向量的權重正交性。

假設求解(2.9)式獲得N個自然頻率 rλ 以及N個模態向量{ }rψ (當系統的自由度為

N)，將解 rs λ= 及{ } { }rX ψ= 代回(2.8)式得：

[ ]{ } [ ]{ }rrr KM ψψλ −=2 )15.2(

將(2.15)式左右兩邊同乘另一個不同的模態向量 { }Tsψ ：( sr ≠ ，T表示矩陣的轉置)



{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTsr

Tsr KM ψψψψλ −=2 )16.2(

利用轉置矩陣的特性： [ ][ ][ ] [ ] [ ]TTT CDDC = ，將(2.16)式左右兩邊同取轉置得：

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }sTrs

Trr KM ψψψψλ −=2 )17.2(

其中， [ ] [ ]MM T = 以及 [ ] [ ]KK T = ，因為 [ ]M 、 [ ]K 為對稱矩陣

接著將另一解 ss λ= 及{ } { }sX ψ= 代回(2.8)式可得：

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }sTrs

Trs KM ψψψψλ −=2 )18.2(

將(2.17)式與(2.18)式相減可得：

( ){ } [ ]{ } 022 =− sTrsr M ψψλλ )19.2(

當 sr λλ ≠ 時，可得：

{ } [ ]{ } 0=sTr M ψψ )20.2(

若以(2.10)式做相同的運算可得：

{ } [ ]{ } 0=sTr K ψψ )21.2(



(2.20)式及(2.21)式就是先前所提的模態向量之權重正交特性的表示式。

對於模態的頻率(Modal Frequency rλ )與模態向量( { }rψ )有基本的認識之

後，頻率響應函數與這些模態參數間的關係，就變得十分的重要。因為，就一個

實際的物理結構系統而言，透過結構測試實驗所擷取得到的系統頻率響應函數，

將是未來模態參數估測所需的基本數據資料。在此相同地以圖一之系統來做探

討，考慮無阻尼的系統情況下，對(2.7)式取拉式轉換並假設位移的初始狀況皆為

零，得

[ ] [ ][ ] ( ){ } ( ){ }sFsXKMs =+2 )22.2(

其中 [ ]

=

2221

1211

MMMM

M ， [ ]

=

2221

1211

KKKK

K

令 ( )[ ] [ ] [ ][ ]KMssB += 2 ，可得系統的轉移函數矩陣 ( )[ ]sH (transfer function

matrix)為：

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ntdjoiaAsB

sBsBsH

A

=== − ,1

( )( )

( )( ) ( )( )112

11212

21222

22112

11

112

11212

21

122

12222

22

KsMKsMKsMKsMKsMKsMKsMKsM

++−++

++−+−+

= )23.2(

由 (2.23)式可以觀察到轉移函數矩陣中的每一個元素皆具有相同的分母項



( )sB ，亦即皆與模態頻率 rλ 有直接的關係。進一步將轉移函數矩陣的分母項用

模態頻率表示得

( ) ( )( )( )( )4321 λλλλ −−−−= ssssEsB )24.2(

其中， antstconE = ， 1λ 、 2λ 、 3λ 、 4λ 為分母項即特徵方程式的根，且 ∗= 12 λλ

∗= 34 λλ ，為共軛複數根對

為了對於轉移函數矩陣有進一步的了解，可對 ( )[ ]sH 中的每一個元素加以定義：

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

=

sHsHsHsH

sH2221

1211 )25.2(

矩陣中每一個元素皆可對應到(2.23)式與(2.24)式，以 ( )sH11 為例：

( ) ( )( )( )( )4321

222

2211 λλλλ −−−−

+=

ssssEKsM

sH )26.2(

利用(2.25)式之定義可重寫式(2.22)式：

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

=

sXsX

sFsF

sHsHsHsH

2

1

2

1

2221

1211 )27.2(

將(2.27)式乘開後可得：



( ) ( ) ( ) ( ) ( )sXsFsHsFsH 1212111 =+ )28.2(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sXsFsHsFsH 2222121 =+ )29.2(

令 ( ) 02 =sF ，求解(2.28)式與(2.29)式所構成之聯立方程組，得

( ) ( )( )sFsX

sH1

111 = )30.2(

( ) ( )( )sFsX

sH1

221 = )31.2(

因此，對於轉移函數矩陣中的每一個元素而言，代表於擷取頻率響應函數實驗

時，不同的輸入激勵點所量測的資料與不同的輸入點所量測的資料間的關係，可

以下面的表示式做為通式：

q

ppq F

XH = )32.2(

其中，p為響應輸出點，q為響應輸入激勵點

重新考慮(2.26)式，透過部分分式分解可以將轉移函數矩陣中的每一個元素表示

成每一個單一特徵根之貢獻總和，如下式所式：

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∗∗ −

+−

+−

+−

==2

4

2

3

1

2

1

1

1

111 λλλλ s

cs

cs

cs

csFsX

sH )33.2(



其中 ( )( )( ) 111212111

222122

1 AE

KMc =

−−−+

= ∗∗ λλλλλλλ

( )( )( )∗∗

∗∗∗∗

∗

==−−−

+= 1111

212111

22

2

1222 Ac

EKM

cλλλλλλ

λ

( )( )( ) 112221212

222122

3 AE

KMc =

−−−+

= ∗∗ λλλλλλλ

( )( )( )∗∗

∗∗∗∗

∗

==−−−

+= 1123

221212

22

2

2224 Ac

EKM

cλλλλλλ

λ

1c 、 2c 、 3c 及 4c 又稱為殘留數(residues)，以 pqrA 來表示對轉移函數矩陣中不同

的元素(p及 q的定義如(2.32)式)與不同的模態(mode=r)情況下的殘餘數。進一步

可以將(2.33)式簡化地表示如下：

( ) ∑=

∗

∗

−

+−

=2

1

111111

r r

r

r

r

sA

sA

sHλλ

)34.2(

利用上述部分分式的觀念導入(2.23)式得：

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∗

∗∗

∗∗

∗

∗∗

∗∗

−

+−

+−

+−

=2

222212

122112

2

222212

122112

1

221211

121111

1

221211

121111

λλλλ sAAAA

sAAAA

sAAAA

sAAAA

sH )35.2(

考慮(2.35)式右邊的第一項：

( )

( )( )( )( )( )( )1212111

11211121

2121

12211222

2122

1

221211

121111

λλλλλλλλλλλ

λ −−−−

++−+−+

=−

∗∗ sEKMKMKMKM

sAAAA

)36.2(



為了對模態向量與殘留數矩陣間的關係有所了解，定義

( )( )( )∗∗ −−−=

212111

1λλλλλλE

F )37.2(

因此，(2.36)式可重寫為

( )

( )( )

( )1

11211121

2121

12211222

2122

1

221211

121111

λλλλλ

λ −

++−+−+

=−

sKMKMKMKM

F

sAAAA

)38.2(

仔細注意到(2.38)式右邊的分子項，矩陣的部分等於 ( )[ ]AB 1λ ，根據文獻[15]

( )[ ] { } { }Trrr

Ar QB ψψλ = )39.2(

因此，模態向量與殘留數矩陣間的關係得以建立

( )( )

++−+−+

=

11211121

2121

12211222

2122

12

1

12

11 KMKM

KMKMFQ

T

λλλλ

ψψ

ψψ

)40.2(

其中， 1Q 及 F為常數

整理上面對轉移函數矩陣理論探討的結果，若以部分分式的觀點來解析轉移函數

矩陣，就一個多輸入多輸出的響應擷取實驗、系統自由度為 N 的情況下，轉移

函數矩陣可以表示為下式：



( )[ ] [ ]( )

[ ]( )∑

=∗

∗

−+

−=

N

r r

pqr

r

pqrpq s

A

s

AsH

1 λλ )41.2(

以模態向量的觀點切入轉移函數矩陣，可得

( )[ ] { } { }( )

{ } { }( )∑

=∗

∗∗∗

−+

−=

N

r r

T

rrr

r

Trrr

pq sQ

sQ

sH1 λ

ψψλψψ

)42.2(

由於 ωjs = ，因此，(2.41)式與(2.42)式將分別與一開始所提到的(2.1)式與(2.2)式

互相對照驗證。

實際的物理系統往往存在阻尼，阻尼的加入將使得上述之模態基礎理論的

複雜度大幅的提高，包含特徵根將為複數形式 rrr jωσλ += ，模態向量 { }rψ 亦將

比無阻尼或比例性阻尼的情況下來得複雜許多。然而就實際測試實驗上的觀點而

言，無論實際系統的阻尼為何，系統的頻率響應函數皆可以獲得，並提供參數估

測時所需的資料，因此，(2.41)式與(2.42)式仍被運用於模態參數估測。(相關詳

細的理論請參考文獻[15])



2.2 CMIF模態識別方法

CMIF模態識別法將分為四個步驟加以說明。首先是擷取測試件的頻率響應

函數（FRF），接著計算頻譜線構成之空間矩陣奇異值。將所求得之奇異值以頻

率為橫軸，繪出奇異值分佈圖，藉以指示模態存在的位置。最後利用模態向量

（Modal Vector）的正交性抽取單一模態之強化頻率響應函數，使用 Single Degree

of Freedom方法求得自然頻率和阻尼比。

步驟一：擷取測試件的頻率響應函數

圖 2.2 測試件示意圖

上圖的每一個點皆有加裝感測器。在點 1施以一力 F，分別在點 1、2、3、4、

5、6擷取其振動反應；接著繼續在點 2、點 3‧‧‧到點六以 F的力打擊，同樣

的在所有點擷取其振動反應。將這些資料經由擷取卡擷取至電腦處理後便可得到

一群 FRF，利用所得到的 FRF資料可繪成下圖：



圖 2.3 頻率響應函數（FRF）圖

由輸入和輸出兩軸構成一個領域就是空間領域(spatial domain)，而和頻

率軸構成的就是頻率領域。上圖使用矩陣表示式可以表示成：

( )[ ] [ ] ( ) [ ]H

r

r Lj

QjH

−Φ=

\

\

λωω )43.2(

其中 [ ]Φ 為振型矩陣、 [ ]L 為模態參與因子、 rQ 為第個 r模的刻度因子、為第 r

個模的系統極點。

步驟二：計算頻譜線構成之空間矩陣奇異值分解

首先，一頻譜線的頻率，來求取各個頻率下的空間矩陣（如下圖），再對這

些空間矩陣做奇異值分解。



圖 2.4 頻率響應函數（FRF）一空間軸取樣表示圖

由上圖可知頻率響應矩陣 ( )ωjH ，依照頻譜線解析度之不同，成為一層一

層地，且間隔即是頻率解析度的大小，如下式所示：

利用上式可計算奇異值分解

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]HjVjjUjH ωωωω

∑=

\

\

)44.2(



步驟三：繪製奇異值分佈圖，指示模態存在之位置

利用之前所得到的奇異值，繪出奇異值分佈圖（如下圖所示），由奇異值的

峰值可以指示出有模態的存在。

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40SVD Plot

frequency(Rad/Sec)

ampl

itude

(dB

)

圖 2.5 CMIF指示模態圖

步驟四：抽取單一模態之強化頻率響應函數，求取模態之自然頻率和阻尼比

利用Modal Vector的正交性質

( ) ( ){ } ( )[ ] ( ){ } ( )P

PP

HPP j

QjvjHjujH

λωωωωω

−≡≡

∧ )45.2(

可以將單一模態抽出，得到一個加強型的頻率響應函數（Enhanced FRF），如下

圖所示。由求得的加強型頻率響應方程利用 Single Degree of Freedom方法即可求

得自然頻率和阻尼比。



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

-8

10-6

10-4

enhance frf for mode1

frequency(HZ)

ampl

itude

(log)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-200

-150

-100

-50

0enhance frf for mode1

frequency(HZ)

ange

l

圖 2.6 加強型的頻率響應方程

由於 SDOF演算法有許多不同的求取模態參數的方式，因此，在此僅介紹本研究

所採用的方法。

Least Squares (Local) SDOF Method:

根據(2.45)式，當頻率 1ω 為自然有阻尼頻率 rω 的鄰近點時，下面的關係式成立：

( )r

pqrpq j

AH

λωω

−≈

11 )46.2(

由(2.46)式，得

( )( ) pqrrpq AjH =− λωω 11 )47.2(

乘開後，整理可得

( ) ( ) ( )111 ωωλω pqpqrrpq HjAH =+ )48.2(



若選取自然有阻尼頻率 rω 的鄰近數個點時，可將數個點的資料分別代入(2.48)

式，並以矩陣的方式來表示這幾個資料點所形成的方程組，可獲得下式：

( )( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

44

33

22

11

12

2

4

3

2

1

111111

×

×

×

=

ss Nspqs

pq

pq

pq

pq

pqr

r

Nspq

pq

pq

pq

pq

Hj

HjHjHjHj

A

H

HHHH

ωω

ωωωωωωωω

λ

ω

ωωωω

LL

)49.2(

將(2.49)式進一步簡化地表示為下式：

[ ] { }SA

Tpqr

r =

λ

)50.2(

由於矩陣T並不是一個方矩陣，因此，必須透過擬反矩陣(Pseudo-Inverse)的計算

方式才能求解(2.49)式或(2.50)式，考慮擬反矩陣的算法，將(2.50)式左右兩邊同

乘以矩陣T的轉置矩陣，可得

[ ] [ ] [ ] { }STA

TT T

pqr

rT =

λ

)51.2(

則參數解可由下式求解：

[ ] [ ][ ] [ ] { }STTTA

TT

pqr

r 1−=

λ

)52.2(



第三章應用奇異值分解於模態參數估測

3.1 應用基因演算法於模態參數之估測

本研究方法之主要目的是以 CMIF模態識別法為基礎，利用其指示振模位置

的能力，並透過基因演算法的配合，來改善 CMIF於高阻尼系統或高雜訊影響

下，能夠具有水準以上的正確性與適用性。然而對於應用基因演算法則來作參數

估測通常會面臨到一些問題，如系統的階數如何決定、適應函數(Fitness Function)

的設計是否恰當、參數收尋範圍之縮減等。由於 CMIF可提供系統階數的資訊，

因此，將基因演算法融入 CMIF中，僅剩適應函數的設計與參數收尋範圍的縮

減，這兩大問題。所以，應用基因演算法於模態參數估測的第一個步驟就是：如

何因應 CMIF的特質設計適應函數使識別模型能夠與實際系統接近，當適應函數

被決定以後，參數的種類便可以確定，接著如何縮減參數的估測範圍將是新參數

估測器計算速度的關鍵，當參數範圍確定之後，便能以基因演算法則來做最佳參

數的收尋，而新的參數估測器之演算法便可以成立，最後新的參數估測器所收尋

出的系統參數將和 CMIF方法所得的結果作一比較驗證。

以下分三個步驟加以詳述：

(一)、因應 CMIF的特質設計適應函數

透過 CMIF的理論得知，當頻率位於空間頻率響應函數矩陣的奇異值分解圖

之峰值位置時，下式成立(等同於(2.54)式)：

( )[ ] { }{ }( )

trrr

r

Hrrr vu

jLQ

jH σλω

ω ≡−

Φ≡ )1.3(



依據矩陣理論，因為 ( ) ( )ωϖ jHjH ∗ 是 Hermition矩陣，所以 { }rru Φ= ，

{ }Hr

Tr Lv =

綜合上面結果，整理之後可得

( )rr

rr j

Qλω

σ−

= )2.3(

因此，要使識別模型能夠接近實際系統，在使用基因演算法收尋最佳參數值

的過程時，必須讓模型與實際系統間的平方誤差愈小愈好，亦即所估測出的模型

參數越正確，因此選取平方誤差作為適應函數的依據，並考慮奇異值峰值附近鄰

近數點資料(m個數據點)做為參數估測之用，所採取的適應函數之形式，如下式

所示：

( ) 2errorfunctionfitness =

( )( )

( )( )( )

2

1

2

1∑∑

==

+−

−=

−

−=m

n rrn

rnr

m

n rn

rnr jbaj

Qj

Qω

ωσλω

ωσ )3.3(

其中a、b代表根的實部與虛部，r則代表目前所欲估測系統的第幾個模態。

由於峰值處之奇異值 rσ 、峰值頻率 rω 皆為以知(由於頻譜線解析度的問題，事實

上峰值位置僅為近似值)，因此，待估測參數將為 rQ 、 ra 及 rb 。在此應注意到基

因演算法運用此一適應函數，一次僅能估測單一模態的參數。

（二）、參數範圍的縮小化

適應函數與參數確立之後，皆下來便是縮小參數的搜尋空間，以提昇新參數

估測器之效能。考慮上面所述的模態與奇異值間之關係，將其繪為幾何座標圖，

可得下圖。



jw

( )jwσ

jw

δ

rjw λ−θ

rλ

rw

圖 3.1 模態與奇異峰值的關係

由上圖可得知峰值頻率等於待測根的虛部部分，如下所示：

rr b=ω )4.3(

然而由於所測得之峰值頻率位置，由於頻譜線解析度的關係，並非系統真正的峰

值頻率的位置，因此待測參數 rb 的範圍便可由最近峰值之左右頻譜線所決定，其

理由如下圖所示：

( )jwσ

jw

頻譜線

真正的峰值頻率估測所得之峰值頻率

b之估測範圍

圖 3.2 頻譜線解析度對峰值頻率的影響



又由系統特徵根之實部與虛部的關係可得:

rr ba η= )5.3(

結合(3.2)式、(3.4)式及(3.5)式，可得

rrr aQ ⋅= σ )6.3(

因此，若能依據奇異值峰值的銳利度，先行預測此一模態之阻尼比的大概範圍將

有助於縮小參數 ra 及 rQ 的搜尋範圍。

（三）、建立新的參數估測器之演算法則

當適應函數與待估測參數的範圍皆確定之後，便可利用基因演算法做最

佳參數的估測，本論文在使用基因法則作最佳參數搜尋時，有以下幾個要點。

1. 複製的方式

複製的方式包含輪盤式選擇與競爭式選擇，基本上兩者皆能達到複製過程

中適者生存的要求，由於競爭式選擇所需的計算量較少，且可以藉由一次選

取物種（字串）個數的多寡來控制競爭的速度，在求取最佳參數時的速度較

快，因此，本論文之基因演算法採取競爭式選擇。

2. 物種的設計方式

將三個欲搜尋的參數歸為同一物種，排列方式如下圖所示，如此在搜尋最

佳參數時將會較有效率。

ra rb rQ

11 1 1 1 1 110 000 00 00 0 00

圖 3.3 參數於物種中的排列方式



3. 字串長度的選擇

編碼時的字串長度愈長，所估測出的參數之精確度愈高，相對地計算時間亦

會增加，因此，本方法將因應欲搜尋參數的範圍、預計之精準度訂定適當的字串

長度。如參數的範圍介於[ x , y ]之間，預計之估測精準度為 p，因為採用二進位

制進行編碼，因此，單一參數的編碼長度l將由下式決定：

pyx

≤−

−

12l )7.3(

4. 交配方式的選擇：

交配方式因應物種的設計方式，對於構成物種的每一點都應有交配的機會，

使得欲搜尋的三個參數能夠同時地變動，同時搜尋三者之最佳解，因此，字罩交

配的方式將會是最佳的選擇。

整個基因演算法的流程，如下圖所示：

因應參數範圍與所需精確度訂定物種長度

隨機產生初始族群

將參數解碼計算適應函數值

是否滿足終止條件

複製過程

交配過程

突變過程

最佳參數解

是

否

圖 3.4 採取基因演算法則流程圖



至此 CMIF參數識別法將可和基因演算法則相結合，產生新的一套參數估測

演算法，這一個參數估測器將具備有 CMIF可以指示模態的優點，另一方面又具

備基因演算法對於最佳參數搜尋上的優勢。整個新的參數估測器的流程如下圖所

示：

圖 3.5 新的估測演算法流程圖

3.2 採用聯立方程式求解模態參數

應用基因演算法做模態參數估測雖然具有許多非線性上的優點，然而，初始

的參數設定往往需要人工來決定，一個不具經驗的設定將造成搜尋上的困難與時

間上的耗費，因此，採用(3.2)式，只要將奇異值峰值附近數點的資料代入(3.2)

式，透過聯立方程式的推導後，即可求解與運用基因演算法相同的模態參數問

題。本方法的理論推導如下所示：

由(3.2)式

( )rr

rr jw

Qλ

σ−

≅ )8.3(


29

考慮峰值與峰值左點、右點的資料，可得三點資料： ( )11

,1 ppP σω→ 、

( )22

,2 ppP σω→ 及 ( )33

,3 ppP σω→ ，將三點的資料分別代入上式，可得：

rrp

rp jbaj

Q−−

=1

1 ωσ )9.3( a

rrp

rp jbaj

Q−−

=2

2 ωσ )9.3( b

rrp

rp jbaj

Q−−

=3

3 ωσ )9.3( c

其中，321 ppp ωωω ⟨⟨ ，

2pω 為奇異值圖中峰值所在的位置。

為了化減此一聯立方程組並直接獲得參數解的形式，首先考慮展開(3.9a)式

rrp

rp jbaj

Q−−

=1

1 ωσ

( )( )

( ) ( ) ( )22222 1

11

1prr

prr

r

prr

prrr bjabaQ

ba

bjaQω

ωω

ω−+−

−+=

−+

−+−= )10.3(

移項並整理後，可得

( )( )2211 prrpr bjaQ ωσ −−= )11.3(

將(3.11)式次方並移項整理後，得：


30

( ) 222222

2

111

1

2 pprrrprrp

r bbabaQ

ωωωσ

+−+=−+= )12.3(

(3.12)式之結果亦適用於(3.9b)式與(3.9c)式，由於頻率響應函數擷取實驗所獲得

的頻率解析度往往是固定值，因此，可以引入新的關係式來簡化(3.12)式的結果

ωωω ∆−=21 pp )13.3( a

ωωω ∆+=23 pp )13.3( b

其中， ω∆ 為頻譜線的解析度

將上述頻率間的關係代回(3.12)式中頻率的一次項，並套用(3.12)式的結果於

(3.9b)式與(3.9c)式後，可得新的聯立方程組：

( ) 2222

2

12

1

2 pprrrp

r bbaQ

ωωωσ

+∆−−+= )14.3( a

2222

2

22

2

2 pprrrp

r bbaQ

ωωσ

+−+= )14.3( b

( ) 2222

2

32

3

2 pprrrp

r bbaQ

ωωωσ

+∆+−+= )14.3( c

將(3.14a)式加上(3.14c)式減掉兩倍的(3.14b)式，可以獲得參數 rQ 的通解形

式：

( ) ( ) ( ) =×−+ bca 14.3214.314.3

( )222222

2323

123

2121

pppppp

rQ ωωωσσσ

+−=

+−⋅ )15.3(


31

移項後得：

( )23

22

23

21

22

23

2

121

2

ppp

ppp

rQ ωωωσσσ

+−

+−

= )16.3(

因為每一點的奇異值與頻率皆為已知的數據，因此，透過(3.16)式即可求解

出參數 rQ ，有了這各參數值，透過(3.14)式中的任兩式即可解出參數 rb ，在這

裡以運用(3.14a)式與(3.14b)式為例，可以獲得下式：

( )( )

12

12

12

2

11 2222

2

pp

pppp

r

r

Q

bωω

ωωσσ

−⋅−

−−

−⋅

= )17.3(

當計算出參數 rQ 與參數 rb 之後，運用聯立方程組(3.14)式中的任何一個式子，將

前兩個已求得的參數值代回去運算，即可求得參數 ra 。


32

第四章數值模擬由於模態間相互地影響將造成在估測上有許多的問題產生，因此，為能夠

確實比較不同的模態參數估測法之性能，本文針對三種不同的模態分佈情況，包

含藕合性較低的振模分佈情形、鄰近振模和高藕合振模，提出兩個例子。4.1 節

為一簡單的二自由度系統僅包含藕合性較低的模態分佈情形；4.2 節為複雜的七

自由度系統，包含以上所提出的三種不同的模態分佈情況。由於在不同的頻率解

析度下所獲得的頻率響應函數資料亦會影響參數估測法之估測效能，因此，文中

同時考慮利用在不同的頻率解析度下所獲得的頻率響應函數資料，採取 CMIF識

別方法、基因演算法與聯立方程式解法來識別系統的模態參數，並將各種方法的

識別結果作一比較。

4.1 二自由度系統

m1 m2

k1 k2

c1 c2

x1f1

x2f2

圖 4.1 二自由度系統示意圖

考慮圖4.1的二自由度系統，系統的設定值為：

( )Kgm 21= ( )Kgm 12 = ( )MsNcc ⋅== 5021 ( )M

Nkk 100000021 ==

f1=f2 為輸入激勵 x1=x2為輸出響應

此一系統的模態參數理論值如表4.1所示，振模一與振模二屬於藕合性較低

的模態分佈情形：

表 4.1 二自由度系統模態參數理論值

模態數特徵根 ( )rr jωσ ± 自然頻率 ( )Hzrnω 阻尼比 ( )%ξ

( )1mod1 er = j126150.86165385.1 ±− 86.13403 1.35299

( )2mod2 er = j834992.207792362.6 ±− 207.94595 3.26641


33

範例 1：考慮頻率響應資料的解析度為 1Hz和 5Hz，在無外加雜訊的情況

下，圖4.1的二自由度系統之頻率響應函數及奇異值分佈圖如下所示：

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

f requency (Hz)

ampl

itude

(log)

2DOF Frequency Response Func t ion p lo t

圖 4.2 二自由度系統頻率響應圖(1Hz)

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 300 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 010

-8

10-7

10-6

10-5

10-4

f r e q u e n c y ( H z )

ampl

itude

(log)

2 D O F S V D p l o t

圖 4.3 二自由度系統頻率響應之奇異值分解圖(1Hz)


34

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

frequency (Hz)

ampl

itude

(log)

2DOF Frequency Response Function plot

圖 4.4 二自由度系統頻率響應圖(5Hz)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

-8

10-7

10-6

10-5

10-4

frequency (Hz)

ampl

itude

(log)

2DOF SVD plot

圖 4.5 二自由度系統頻率響應之奇異值分解圖(5Hz)


35

4.1.1 二自由度系統之自然頻率估測結果比較

由不同的演算法所得之參數估測結果比較，如表4.2及表4.3。

表 4.2 二自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 1Hz

nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 86.13403 86.06311 -0.08235% 86.11934 -0.01706% 86.11937 -0.01702%

Mode2 207.94595 207.88454 -0.02953% 207.88702 -0.02834% 207.89314 -0.02540%

表 4.3 二自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 5Hz)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 5Hz

nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 86.13403 86.09971 -0.03984% 85.98869 -0.16874% 85.98843 -0.16904%

Mode2 207.94595 207.65078 -0.14195% 207.88256 -0.03049% 207.88111 -0.03118%

比較表4.2與表4.3中的數據資料可以得知：

當解析度高時，奇異值峰值資料接近理想值，因此，運用奇異峰值估測所

得的結果將優於運用模態向量估測的結果。然而，當解析度低時，阻尼比低的模

態之峰值資料將有較大的誤差，運用奇異值估測所得結果較差；但就阻尼比較高

的情形下，模態向量與理想值之差異變大，CMIF較差。


36

4.1.2 二自由度系統之阻尼比估測結果比較

由不同的演算法所得之參數估測結果比較，如表4.4及表4.5。

表 4.4 二自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 1Hz η η 誤差百分比 η 誤差百分比 η 誤差百分比

Mode1 1.35299 1.35232 -0.04950% 1.35682 0.28336% 1.35707 0.30121%

Mode2 3.26641 3.26745 0.03199% 3.26182 -0.14034% 3.26568 -0.02236%

表 4.5 二自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 5Hz)


Mode1 1.35299 1.22579 -9.40142% 1.53558 13.49494% 1.53523 13.46930%

Mode2 3.26641 3.26938 0.09110% 3.23784 -0.87454% 3.24100 -0.77773%

比較表4.4與表4.5中的數據資料可以得知：

由於聯立解法與基因演算法在估測阻尼比時，相當依賴奇異值之峰值所分

佈的形狀，就阻尼比較低的振模一而言，由於頻率解析度的關係，奇異值分佈圖

將無法完全顯現奇異峰值的尖銳程度，因此，運用奇異峰值資料所估測出的阻尼

比結果將較大，形成對阻尼比高估的情形，尤其是當頻率資料解析度較低〈解析

度為5Hz〉的情況下，此一現象會更加的明顯。而CMIF則完全依賴所得模態向

量的準確性，因此，對於此一藕合性較低之系統對阻尼比的預測將較聯立解法與

基因演算法好。


37

4.2 七自由度系統

考慮下圖之七自由度系統，此一系統具有高阻尼(highly damp)與高藕合

(highly couple)的情形，應用CMIF、基因演算法與聯立方程式解法識別此一系

統的模態參數，將可發現現行模態參數估測法間的優缺點。

圖 4.6 七自由度系統示意圖

系統的模態參數理論值與頻率響應函數矩陣可以由第二章的方法求得，

所得的結果分別如下表與下圖：

表 4.6 七自由度系統模態參數理論值

模態數特徵根 ( )rr jωσ ± 自然頻率 ( )Hzrnω 阻尼比 ( )%ξ

( )1mod1 er = j 13.395450 0.188175- ± 13.39677 1.40463

( )2mod2 er = j 22.861217 1.155420- ± 22.89040 5.04762

( )3mod3 er = j 28.127417 1.212164- ± 28.15352 4.30555

( )4mod4 er = j 28.851615 1.260301- ± 28.87913 4.36406

( )5mod5 er = j 40.838104 0.903018- ± 40.84809 2.21067

( )6mod6 er = j 41.280566 2.934753- ± 41.38475 7.09139

( )7mod7 er = j 45.951841 1.895466- ± 45.99092 4.12139


38

範例2：考慮頻率響應資料的解析度為0.1Hz和1Hz，在無外加雜訊的情況

下，圖4.6的七自由度系統之頻率響應函數及奇異值分佈圖如下所示：

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF Frequency Response Function Plot of H11~H17

圖 4.7 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 0.1Hz不含外加雜訊)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF SVD Plot

圖 4.8 七自由度奇異值分解圖(解析度為 0.1Hz不含外加雜訊)


39

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF Frequency Response Function Plot of H11~H17

圖 4.9 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 1Hz不含外加雜訊)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF SVD Plot

圖 4.10 七自由度奇異值分解圖(解析度為 1Hz不含外加雜訊)


40

4.2.1 七自由度系統之自然頻率估測結果比較(不含外加雜訊)

由不同的演算法所得之參數估測結果比較，如表4.7與表4.8：

表 4.7 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz不含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度

為 0.1Hz nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 13.39677 13.39189 -0.03643% 13.39509 -0.01254% 13.39509 -0.01254%

Mode2 22.89040 22.86489 -0.11142% 22.86703 -0.10208% 22.86701 -0.10217%

Mode3 28.15352 28.15662 0.01100% 28.16816 0.05199% 28.16801 0.05147%

Mode4 28.87913 28.63127 -0.85828% 28.55704 -1.11529% 28.55712 -1.11504%

Mode5 40.84809 40.84514 -0.00722% 40.85101 0.00714% 40.85102 0.00717%

Mode6 41.38475 41.90048 1.24618% 41.88806 1.21616% 41.88877 1.21790%

Mode7 45.99092 45.63335 -0.77748% 45.65509 -0.73022% 45.65520 -0.72997%

表 4.8 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz不含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 1Hz nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 13.39677 13.36710 -0.22145% 13.37512 -0.16159% 13.37513 -0.16156%

Mode2 22.89040 22.70516 -0.80923% 22.85229 -0.16648% 22.85229 -0.16651%

Mode3 28.15352 27.91284 -0.85488% 28.37192 0.77575% 28.37195 0.77584%

Mode4 28.87913 28.01872 -2.97936% 28.53766 -1.18242% 28.53765 -1.18243%

Mode5 40.84809 40.64911 -0.48713% 40.86556 0.04277% 40.86544 0.04248%

Mode6 41.38475 42.52536 2.75612% 41.79155 0.98298% 41.79129 0.98234%

Mode7 45.99092 45.23009 -1.65430% 45.59224 -0.86686% 45.59218 -0.86701%


41

由表4.7可以得知當頻率響應函數資料之解析度較高時，對於系統之無阻尼

自然頻率的估測結果不論是在振模藕合性較低時(Mode1與 Mode2)、鄰近振模

(Mode3與Mode4)和高藕合振模(Mode5、Mode6與Mode7)這三種情況下，CMIF與

基因演算法及聯立方程式解法所估測出的結果並沒有太大的差異，主要是由於頻

率資料解析度夠高的關係；然而，比較表4.8之結果可以發現，當頻率響應函數

資料解析度低時，CMIF方法對於鄰近振模與高藕合振模的情況下，所估測出的

結果將明顯地較基因演算法與聯立方程式解法來得不準確。


42

4.2.2 七自由度系統之阻尼比估測結果比較(不含外加雜訊)


表 4.9 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz不含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 0.1Hz η η 誤差百分比 η 誤差百分比 η 誤差百分比

Mode1 1.40463 1.40396 -0.04799% 1.40375 -0.06232% 1.40393 -0.04972%

Mode2 5.04762 5.05826 0.21074% 5.07788 0.59954% 5.07797 0.60133%

Mode3 4.30555 4.29087 -0.34099% 4.62222 7.35501% 4.62026 7.30946%

Mode4 4.36406 4.88780 12.00126% 3.29922 -24.40016% 3.30166 -24.34421%

Mode5 2.21067 2.08543 -5.66519% 2.22272 0.54498% 2.22286 0.55146%

Mode6 7.09139 9.03262 27.37451% 7.17627 1.19691% 7.17450 1.17205%

Mode7 4.12139 4.04670 -1.81224% 4.76149 15.53125% 4.76831 15.69656%

表 4.10 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz不含雜訊)


Mode1 1.40463 1.30402 -7.16290% 1.90169 35.38746% 1.90149 35.37319%

Mode2 5.04762 4.92672 -2.39511% 5.03438 -0.26233% 5.03435 -0.26280%

Mode3 4.30555 4.08702 -5.07550% 5.03959 17.04876% 5.04004 17.05909%

Mode4 4.36406 4.16878 -4.47474% 4.03852 -7.45958% 4.03895 -7.44976%

Mode5 2.21067 1.40527 -36.43231% 2.27344 2.83927% 2.27330 2.83298%

Mode6 7.09139 4.52820 -36.14506% 6.28562 -11.36259% 6.28579 -11.36030%

Mode7 4.12139 2.92619 -28.99986% 4.20257 1.96964% 4.20236 1.96456%


43

由表4.9與表4.10可以得知：就振模藕合性較低的Mode1與Mode2而言，

當頻率響應資料解析度夠高時，三種方法對於阻尼比的估測結果與理論值相當地

接近，然而當頻率響應函數資料解析度較低時，基因演算法與聯立方程式解法對

於阻尼比將高估許多，主要是由於奇異值峰值附近的變化量相當地大，資料點取

樣不夠細密，往往無法準確地獲得實際的峰值大小值。比較圖4.8與圖4.10不

難發現兩張奇異值分佈圖的第一個峰值之大小有明顯的差異，解析度低的資料之

峰值尖銳度明顯地降低，因此，運用奇異值分佈情形來估測阻尼比自然會高估許

多。

就鄰近振模的Mode3與Mode4而言，CMIF識別方法明顯的較優於基因演算

法與聯立方程式解法，主要是Mode3與Mode4的奇異值之增益大小級距相當，雖

然兩個振模靠的相當近，但二個振模的模態向量之藕合程度，事實上並不高，也

就是說模態向量的正交性仍然是足夠的，因此，CMIF對此一振模分佈情況下的

預測之準確度是較高的。反觀運用奇異值分佈資料來求解的基因演算法與聯立方

程式解法，由於奇異值在排列時遵循由大排到小的原則，因此，當振模奇異值大

小級距相當，又為鄰近振模時，奇異值分佈圖的奇異峰值分佈情況將與理論的奇

異值分佈情形有較大的差距，由數值模擬所獲得的估測結果可以驗證此一觀點。

考慮高藕合振模的情形，Mode5、Mode6與 Mode7三個振模彼此間靠的相當

地近，而且 Mode6 和 Mode5為鄰近振模，Mode6的阻尼比高達 7%與 Mode5的阻

尼比值 2%相差很大，由圖 4.8與圖 4.10可看出兩者的奇異值峰值大小差了 10

倍以上，因此，Mode6的模態向量將顯得較為弱勢，由 CMIF所估測出的模態向

量將受鄰近振模的模態向量影響，透過數值模擬結果可得知不論頻率資料的解析

度為何，CMIF對於 Mode6之阻尼比皆無法準確地預測。而當解析度低時，CIMF

對此一高藕合振模分布情形的三個模態的阻尼比值之預測結果皆相當地不準

確，然而，此時運用奇異值分佈情形來估測的基因演算法與聯立方程式解法對於

此一高藕合的振模分佈情形，所獲得的估測結果是較為準確的。


44

範例3：考慮頻率響應資料的解析度為0.1Hz和1Hz，對頻率響應函數資料外加

5%白雜訊的情況下，圖 4.6的七自由度系統之頻率響應函數及奇異值分佈圖如下

所示：

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF Frequency Response Funct ion Plot of H11~H17(with 5% noise)

圖 4.11 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 0.1Hz含 5%雜訊)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF SVD Plot(with 5% noise)

圖 4.12 七自由度奇異值分解圖(解析度為 0.1Hz含 5%雜訊)


45

0 20 40 60 80 100 120

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF Frequency Response Function Plot of H11~H17(with 5% noise)

圖 4.13 七自由度頻率響應函數圖(解析度為 1Hz含 5%雜訊)

0 20 40 60 80 100 120

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Frequency(Hz)

Am

plitu

de(lo

g)

7DOF SVD Plot(with 5% noise)

圖 4.14 七自由度奇異值分解圖(解析度為 1Hz含 5%雜訊)


46

4.2.3 七自由度系統之自然頻率估測結果比較(含 5%外加白雜訊)


表 4.11 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度

為 0.1Hz nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 13.39677 13.39189 -0.03643% 13.39510 -0.01245% 13.39510 -0.01245%

Mode2 22.89040 22.86492 -0.11129% 22.85869 -0.13855% 22.85862 -0.13883%

Mode3 28.15352 28.15618 0.00945% 28.16228 0.03112% 28.16253 0.03199%

Mode4 28.87913 28.63045 -0.86110% 28.56146 -1.10000% 28.56333 -1.09353%

Mode5 40.84809 40.84487 -0.00787% 40.84936 0.00312% 40.84939 0.00319%

Mode6 41.38475 41.87671 1.18876% 41.91560 1.28271% 41.91561 1.28275%

Mode7 45.99092 45.63676 -0.77007% 45.69320 -0.64735% 45.69343 -0.64684%

表 4.12 七自由度系統自然頻率之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 1Hz nω nω 誤差百分比 nω 誤差百分比 nω 誤差百分比

Mode1 13.39677 13.36710 -0.22144% 13.37493 -0.16302% 13.37495 -0.16287%

Mode2 22.89040 22.70501 -0.80989% 22.85137 -0.17052% 22.85135 -0.17057%

Mode3 28.15352 27.91397 -0.85087% 28.37334 0.78078% 28.37332 0.78073%

Mode4 28.87913 28.02026 -2.97402% 28.53614 -1.18767% 28.53614 -1.18767%

Mode5 40.84809 40.65078 -0.48303% 40.86703 0.04636% 40.86703 0.04636%

Mode6 41.38475 42.52808 2.76267% 41.78201 0.95991% 41.77982 0.95463%

Mode7 45.99092 45.22869 -1.65735% 45.59569 -0.85936% 45.59572 -0.85930%


47

整理範例 2與範例 3的估測資料，對於頻率響應資料有無外加雜訊下，三

種方法對系統自然頻率的估測結果之變動如下表：

表 4.13 頻率資料含雜訊對自然頻率估測結果變動表(頻率解析度為 0.1Hz)

頻率解析度為

0.1Hz

CMIF估測結果異

動量(百分比)

基因演算法估測結

果異動量(百分比)

聯立解法估測結果

異動量(百分比)

Mode1 -6.22190E-08 8.41481E-05 8.32203E-05

Mode2 1.31043E-04 -3.65104E-02 -3.67002E-02 Mode3 -1.55234E-03 -2.08566E-02 -1.94781E-02 Mode4 -2.84576E-03 1.54602E-02 2.17573E-02 Mode5 -6.56026E-04 -4.02763E-03 -3.98518E-03

Mode6 -5.67145E-02 6.57447E-02 6.40735E-02 Mode7 7.46969E-03 8.34797E-02 8.37458E-02

表 4.14 頻率資料含雜訊對自然頻率估測結果變動表(頻率解析度為 1Hz)

頻率解析度為 1Hz CMIF估測結果異

動量(百分比)





Mode1 2.13541E-06 -1.43167E-03 -1.31343E-03 Mode2 -6.72870E-04 -4.04711E-03 -4.07374E-03

Mode3 4.03577E-03 4.98433E-03 4.85499E-03 Mode4 5.50556E-03 -5.31179E-03 -5.29988E-03 Mode5 4.11374E-03 3.58761E-03 3.87826E-03 Mode6 6.37418E-03 -2.28429E-02 -2.74361E-02

Mode7 -3.09998E-03 7.56821E-03 7.76986E-03

由表4.13與4.14可以得知頻率資料在外加5%白雜訊的情況下，與頻率響

應函數資料未加任何雜訊的理想狀態下，所獲得的結果，三種估測方式對於系統

自然頻率的估測值，基本上並無太大的差異，主要是由於奇異值分解本身就具有

抗拒雜訊的功能，因此，三種參數估測方式皆具有抗拒雜訊的功能。


48

4.2.4 七自由度系統之阻尼比估測結果比較(含 5%外加白雜訊)

表 4.13 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 0.1Hz含雜訊)

理論值 CMIF 基因演算法聯立方程式解法頻率解析度為 0.1Hz η η 誤差百分比 η 誤差百分比 η 誤差百分比

Mode1 1.40463 1.40396 -0.04796% 1.40383 -0.05667% 1.40384 -0.05643%

Mode2 5.04762 5.05846 0.21466% 4.93986 -2.13482% 4.93650 -2.20151%

Mode3 4.30555 4.29115 -0.33455% 4.53297 5.28206% 4.54760 5.62177%

Mode4 4.36406 4.88850 12.01727% 3.30213 -24.33347% 3.34418 -23.37000%

Mode5 2.21067 2.08561 -5.65719% 2.20489 -0.26130% 2.20440 -0.28358%

Mode6 7.09139 9.22032 30.02136% 7.64186 7.76257% 7.64322 7.78166%

Mode7 4.12139 4.04260 -1.91174% 4.66514 13.19338% 4.67084 13.33161%

表 4.14 七自由度系統阻尼比之識別結果比較(頻率解析度為 1Hz含雜訊)


Mode1 1.40463 1.30402 -7.16299% 1.90825 35.85423% 1.90751 35.80195%

Mode2 5.04762 4.92789 -2.37193% 5.02825 -0.38377% 5.02840 -0.38074%

Mode3 4.30555 4.08475 -5.12821% 5.04166 17.09673% 5.04149 17.09274%

Mode4 4.36406 4.16916 -4.46606% 4.05500 -7.08195% 4.05499 -7.08223%

Mode5 2.21067 1.40132 -36.61107% 2.27710 3.00519% 2.27710 3.00518%

Mode6 7.09139 4.52130 -36.24244% 6.43012 -9.32493% 6.43948 -9.19303%

Mode7 4.12139 2.91794 -29.20018% 4.19686 1.83118% 4.19646 1.82152%


49

整理範例 2與範例 3的估測資料，對於頻率響應資料有無外加雜訊下，三

種方法對系統阻尼比的估測結果之變動如下表：

表 4.15 頻率資料含雜訊對阻尼比估測結果變動表(頻率解析度為 0.1Hz)

頻率解析度為

0.1Hz

CMIF估測結果異

動量(百分比)





Mode1 2.61973E-05 5.65862E-03 -6.71530E-03 Mode2 3.91262E-03 -2.71806E+00 -2.78609E+00 Mode3 6.46620E-03 -1.93093E+00 -1.57273E+00 Mode4 1.43008E-02 8.82133E-02 1.28769E+00

Mode5 8.48027E-03 -8.01912E-01 -8.30459E-01 Mode6 2.07801E+00 6.48801E+00 6.53304E+00 Mode7 -1.01332E-01 -2.02359E+00 -2.04409E+00

表 4.16 頻率資料含雜訊對阻尼比估測結果變動表(頻率解析度為 1Hz)

頻率解析度為 1Hz CMIF估測結果異

動量(百分比)





Mode1 -9.53663E-05 3.44761E-01 3.16726E-01

Mode2 2.37500E-02 -1.21756E-01 -1.18251E-01 Mode3 -5.55289E-02 4.09868E-02 2.87520E-02 Mode4 9.08715E-03 4.08067E-01 3.97118E-01 Mode5 -2.81211E-01 1.61344E-01 1.67451E-01

Mode6 -1.52503E-01 2.29888E+00 2.44503E+00 Mode7 -2.82149E-01 -1.35787E-01 -1.40281E-01

由上面二表可看出對於阻尼比的估測，三種估測方法的抗雜訊能力明顯地

比估測自然頻率時較為低，不過估測變動量最高僅為6.53%，因此，三種估測法

對於估測系統阻尼比的抗雜訊能力基本上還是可令人接受的。不過應注意到奇異

峰值因受雜訊的影響，利用奇異峰值分佈情況做為估測依據的基因演算法與聯立

方程式解法相較於運用模態向量正交性的CMIF識別法，其估測變動量是較大的。


50

第五章結論與未來方向頻率響應函數資料的解析度高低、振模之阻尼比高低與相互振模間藕合的

程度將影響不同的參數估測法所獲得之結果，若能依據這些影響因素建立準則來

判斷不同演算法的應用時機，將會是本研究未來最重要的工作。根據論文中之模

擬結果可以先行歸納出下面幾點結論：

考量採用演算法時，振模的藕合情形將是第一優先條件，包含奇異值排列

方式的藕合與模態向量的藕合。在探討藕合情形時，首先應決定振模的相鄰程

度，可以透過鄰近振模之奇異峰值出現位置的阻尼頻率大小來做比較，當兩振模

之峰值頻率比越接近於 1，其相鄰程度越高。相鄰程度高的振模若奇異峰值大小

相當，則會由於奇異值排列方式導致奇異值間的藕合情況。模態向量藕合的判別

主要是依據鄰近振模的阻尼比大小之差異量，振模相鄰甚或重疊時，由於阻尼比

大小與奇異峰值大小成反比，因此，可以透過振模之奇異值峰值大小差距來決定

振模間阻尼比的差異量，當奇異峰值之級距差異較大時，如七自由度系統之振模

5與振模 6的情況，為模態向量藕合之振模分佈情形。因此，當振模為奇異值藕

合時，應採用 CMIF方法可獲得較準確的估測結果；當振模為模態向量藕合情形

時，則應採用聯立方程式解法。

若振模間為一般的分佈情況，藕合情形很低時，則應採用 CMIF 方法通常

可獲得較準確的答案。然而，在某些高阻尼比與解析度低的情況下，採用聯立解

法所獲得的結果卻較精確，因此，正確的以數學形式來對上述的藕合情況、阻尼

比高低與解析度的影響做一描述是有其必要的。未來應往這些方向去探討，相信

對整個模態估測理論會有相當大的助益。


51

參考文獻

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52

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(UC-SDRL),CN-20-263-663/664,June 7,1999


53

附錄

附錄一 7自由度系統之 MATLAB程式

clf;

clear;

format long g

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% 第一步驟：產生頻率響應函數資 %%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

m=1;

c=20;

k1=10000;

k2=20000;

k3=20000;

%建構mkc矩陣

M=[m,0,0,0,0,0,0;0,m,0,0,0,0,0;0,0,m,0,0,0,0;0,0,0,m,0,0,0;...

0,0,0,0,m,0,0;0,0,0,0,0,m,0;0,0,0,0,0,0,m];

C=[0,0,0,0,0,0,0;0,c,0,0,0,0,0;0,0,c,0,0,0,-c;0,0,0,0,0,0,0;...

0,0,0,0,c,0,0;0,0,0,0,0,c,-c;0,0,-c,0,0,-c,2*c];

K=[2*k1+k2,0,-k2,0,0,0,-k1;0,k1+k2,-k1,0,0,0,0;-k2,-k1,3*k1+k2,0,0,0,-k1;...

0,0,0,2*k1+k2+k3,-k3,-k1,-k2;0,0,0,-k3,k2+k3,0,0;0,0,0,-k1,0,k1+k2,-k2;...

-k1,0,-k1,-k2,0,-k2,2*k1+2*k2];

%基本參數的設定包含解析度與頻帶寬度

sp=input('Frequency Resolution=? (Hz)(sp=0.1)');if isempty(sp),sp=0.1;end;

f_range=input('Frequency Range=? (ie:1000=1000*sp)(default=1023 )');if

isempty(f_range),f_range=1023;end;

%界定搜尋奇異峰值點時所需的資料典範為大小

range=input('Input The Range For Peak Search=?(Points)(5)');if isempty(range),range=5;end;

f=0;

%產生頻率響應函數與奇異值資料

for w=0:sp*2*pi:sp*f_range*2*pi;

f=f+1;

h=(M*(-w^2)+C*i*w+K);

H=inv(h);

%產生頻率響應函數的資料並對每一個元素做界定，以方便日後使用

H11(1,f)=H(1,1);


54

H12(1,f)=H(1,2);

H13(1,f)=H(1,3);

H14(1,f)=H(1,4);

H15(1,f)=H(1,5);

H16(1,f)=H(1,6);

H17(1,f)=H(1,7);

H21(1,f)=H(2,1);

H22(1,f)=H(2,2);

H23(1,f)=H(2,3);

H24(1,f)=H(2,4);

H25(1,f)=H(2,5);

H26(1,f)=H(2,6);

H27(1,f)=H(2,7);

H31(1,f)=H(3,1);

H32(1,f)=H(3,2);

H33(1,f)=H(3,3);

H34(1,f)=H(3,4);

H35(1,f)=H(3,5);

H36(1,f)=H(3,6);

H37(1,f)=H(3,7);

H41(1,f)=H(4,1);

H42(1,f)=H(4,2);

H43(1,f)=H(4,3);

H44(1,f)=H(4,4);

H45(1,f)=H(4,5);

H46(1,f)=H(4,6);

H47(1,f)=H(4,7);

H51(1,f)=H(5,1);

H52(1,f)=H(5,2);

H53(1,f)=H(5,3);

H54(1,f)=H(5,4);

H55(1,f)=H(5,5);

H56(1,f)=H(5,6);

H57(1,f)=H(5,7);


55

H61(1,f)=H(6,1);

H62(1,f)=H(6,2);

H63(1,f)=H(6,3);

H64(1,f)=H(6,4);

H65(1,f)=H(6,5);

H66(1,f)=H(6,6);

H67(1,f)=H(6,7);

H71(1,f)=H(7,1);

H72(1,f)=H(7,2);

H73(1,f)=H(7,3);

H74(1,f)=H(7,4);

H75(1,f)=H(7,5);

H76(1,f)=H(7,6);

H77(1,f)=H(7,7);

end;

%先行定義矩陣之大小，而後使用於產生脈衝響應資料上

nht11=zeros(1,f_range+1);





















56






























%產生脈衝響應資料並對時域的資料加上所需要的白雜訊，且做20次的線性平均

for ii=1:20;

ht11=ifft(H11).*(1+0.05*randn(1,f_range+1));








57

nht11=nht11+ht11;

nht12=nht12+ht12;

nht13=nht13+ht13;

nht14=nht14+ht14;

nht15=nht15+ht15;

nht16=nht16+ht16;

nht17=nht17+ht17;








nht21=nht21+ht21;

nht22=nht22+ht22;

nht23=nht23+ht23;

nht24=nht24+ht24;

nht25=nht25+ht25;

nht26=nht26+ht26;

nht27=nht27+ht27;








nht31=nht31+ht31;

nht32=nht32+ht32;

nht33=nht33+ht33;

nht34=nht34+ht34;

nht35=nht35+ht35;

nht36=nht36+ht36;

nht37=nht37+ht37;





58





nht41=nht41+ht41;

nht42=nht42+ht42;

nht43=nht43+ht43;

nht44=nht44+ht44;

nht45=nht45+ht45;

nht46=nht46+ht46;

nht47=nht47+ht47;








nht51=nht51+ht51;

nht52=nht52+ht52;

nht53=nht53+ht53;

nht54=nht54+ht54;

nht55=nht55+ht55;

nht56=nht56+ht56;

nht57=nht57+ht57;








nht61=nht61+ht61;

nht62=nht62+ht62;

nht63=nht63+ht63;

nht64=nht64+ht64;

nht65=nht65+ht65;

nht66=nht66+ht66;


59

nht67=nht67+ht67;








nht71=nht71+ht71;

nht72=nht72+ht72;

nht73=nht73+ht73;

nht74=nht74+ht74;

nht75=nht75+ht75;

nht76=nht76+ht76;

nht77=nht77+ht77;

end;

%對脈衝響應資料作反傅力葉轉換以獲得加白雜訊後的頻率響應函數

H11n=fft(nht11);

H12n=fft(nht12);

H13n=fft(nht13);

H14n=fft(nht14);

H15n=fft(nht15);

H16n=fft(nht16);

H17n=fft(nht17);

H21n=fft(nht21);

H22n=fft(nht22);

H23n=fft(nht23);

H24n=fft(nht24);

H25n=fft(nht25);

H26n=fft(nht26);

H27n=fft(nht27);

H31n=fft(nht31);

H32n=fft(nht32);

H33n=fft(nht33);

H34n=fft(nht34);

H35n=fft(nht35);

H36n=fft(nht36);

H37n=fft(nht37);


60

H41n=fft(nht41);

H42n=fft(nht42);

H43n=fft(nht43);

H44n=fft(nht44);

H45n=fft(nht45);

H46n=fft(nht46);

H47n=fft(nht47);

H51n=fft(nht51);

H52n=fft(nht52);

H53n=fft(nht53);

H54n=fft(nht54);

H55n=fft(nht55);

H56n=fft(nht56);

H57n=fft(nht57);

H61n=fft(nht61);

H62n=fft(nht62);

H63n=fft(nht63);

H64n=fft(nht64);

H65n=fft(nht65);

H66n=fft(nht66);

H67n=fft(nht67);

H71n=fft(nht71);

H72n=fft(nht72);

H73n=fft(nht73);

H74n=fft(nht74);

H75n=fft(nht75);

H76n=fft(nht76);

H77n=fft(nht77);

f=0;

%重新建構含雜訊的7自由度系統的頻率響應函數矩陣並做奇異值分解

for w=0:sp*2*pi:sp*f_range*2*pi;

f=f+1;

Hn=[H11n(1,f) H12n(1,f) H13n(1,f) H14n(1,f) H15n(1,f) H16n(1,f) H17n(1,f);...

H21n(1,f) H22n(1,f) H23n(1,f) H24n(1,f) H25n(1,f) H26n(1,f) H27n(1,f);...






61

H71n(1,f) H72n(1,f) H73n(1,f) H74n(1,f) H75n(1,f) H76n(1,f) H77n(1,f)];

[uu,ss,vv]=svd(Hn);

u=uu';%對uu作轉置

U1(f,:)=u(1,:);%紀錄當奇異值峰值出現在第一條奇異值曲線時所應用的向量

V1(:,f)=vv(:,1);

U2(f,:)=u(2,:);%紀錄當奇異值峰值出現在第二條奇異值曲線時所應用的向量

V2(:,f)=vv(:,2);

%對所有奇異值進行紀錄

s11(1,f)=ss(1,1);

s22(1,f)=ss(2,2);

s33(1,f)=ss(3,3);

s44(1,f)=ss(4,4);

s55(1,f)=ss(5,5);

s66(1,f)=ss(6,6);

s77(1,f)=ss(7,7);

end;

%採用拉式解法求解系統的理論值

%The forming of system's characteristic equation by symbolic method

A=[56160000000000000000000000000000 168840000000000000000000000000....

16709520000000000000000000000 42705120000000000000000000....

1771508320000000000000000 3678352000000000000000 91804944000000000000....

148364800000000000 2576100800000000....

3045360000000 39704480000 30680000 314800 120 1];

eigfun=rot90(rot90(A));

mroot=roots(eigfun)/2/pi;

disp('---------- Roots of Damped System ----------');

disp(mroot);

wn=abs(mroot);

iii=1;

for ii=1:7;

damping(1,ii)=abs(cos(atan((imag(mroot(iii,1))/real(mroot(iii,1))))));

iii=iii+2;

end;

Damping=rot90(rot90(damping));

disp('---------- Natural Frequency((Re^2+Im^2)^0.5) ----------');

disp(wn);

disp('---------- Damping Ratio(%) ---------');


62

disp(Damping*100);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% 第二步驟：透過繪圖之呈現，擷取奇異峰值的位置 %%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%繪圖的程式部分

%plot frf and svd

s=0:sp:f_range*sp;

figure(1);

semilogy(s,abs(H11n));

xlabel('Frequency(Hz)');

ylabel('Amplitude(log)');

axis([0 f_range*sp 0 0.1]);

title('7DOF Frequency Response Function Plot of H11~H17(with 5% noise)');

hold on;







hold off;

figure(2);

semilogy(s,s11,'r');

hold on;

semilogy(s,s22,'m');

semilogy(s,s33,'c');

semilogy(s,s44,'y');

semilogy(s,s55,'g');

semilogy(s,s66,'b');

semilogy(s,s77,'k');



title('7DOF SVD Plot(with 5% noise)');

axis([0 f_range*sp 0 0.1]);

hold off;

%擷取第一條奇異值曲線上的峰值大略位置


63

figure(3);




title('7DOF SVD Plot');

[X1,Y1]=ginput(5);

pause;

%擷取第二條奇異值曲線上的峰值大略位置

figure(4);




title('7DOF SVD Plot');

[X2,Y2]=ginput(2);

pause;

x1=round(X1(1,1)/sp);







%透過搜尋範圍找出峰值的實際位置

for jj=-range:1:range

findmax1(1,range+1+jj)=s11(1,x1+jj);







end;

[Y1,i1]=max(findmax1);





64




locat1=(i1+x1-range-2)*sp;







disp('---------- 1 Peak Frequency(Hz) ----------');

disp(locat1);


disp(locat2);


disp(locat3);


disp(locat4);


disp(locat5);


disp(locat6);


disp(locat7);

%xd shows the exactly location of svd peak.........

%...........................................................................

xd(1,1)=i1+x1-range-1;







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 第三步驟：產生單一自由度的頻率響應函數資料，而後將透過SDOF的程式求解出參數值

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


65

%find approximate mode shapes(left singular vectors)........................................

%find approximate modal participation factor(right singular vectors)

mode_shape_1=U1(xd(1,1),:);







modal_part_1=V1(:,xd(1,1));







%caculate enhance frf............................

for kk=1:f_range+1

enhancefrf1(1,kk)=mode_shape_1*...

[H11(1,kk),H12(1,kk),H13(1,kk),H14(1,kk),H15(1,kk),H16(1,kk),H17(1,kk);...

H21(1,kk),H22(1,kk),H23(1,kk),H24(1,kk),H25(1,kk),H26(1,kk),H27(1,kk);...





H71(1,kk),H72(1,kk),H73(1,kk),H74(1,kk),H75(1,kk),H76(1,kk),H77(1,kk);]...

*modal_part_1;










66

*modal_part_2;









*modal_part_3;









*modal_part_4;









*modal_part_5;








67



*modal_part_6;









*modal_part_7;

end;

%enhance frf plot

figure(5);

subplot(211);

semilogy(s,abs(enhancefrf1));

title('Enhance FRF For Mode1');



subplot(212);

plot(s,angle(enhancefrf1)*180/pi);



ylabel('Angle');

figure(6);

subplot(211);




ylabel('Amplitude(log)')

subplot(212);


title('Enhance FRF of Mode2');



68

ylabel('Angle');

figure(7);

subplot(211);





subplot(212);




ylabel('Angle');

figure(8);

subplot(211);





subplot(212);




ylabel('Angle');

figure(9);

subplot(211);





subplot(212);




ylabel('Angle');


69

figure(10);

subplot(211);





subplot(212);




ylabel('Angle');

figure(11);

subplot(211);





subplot(212);




ylabel('Angle');

%將估測參數時所需的資料存檔

save qqq81 s11 s22 s33 s44 s55 s66 s77 xd sp wn damping enhancefrf1 enhancefrf2 enhancefrf3

enhancefrf4 enhancefrf5 enhancefrf6 enhancefrf7;


70

附錄二單一自由度解法之 MATLAB程式

clear;

format long;

load qqq81;

T1=ones(length(s11),2);







T1(:,1)=enhancefrf1.';







for w=0:1:(length(s11)-1)

ww=w*sp;

S1(w+1,1)=enhancefrf1(1,w+1)*i*ww;







end;

solution1=inv(T1.'*T1)*T1.'*S1;







71


range=3;

for jj=-range:1:range

TT1(range+1+jj,1)=T1(xd(1,1)+jj,1);

TT1(range+1+jj,2)=1;













SS1(range+1+jj,1)=S1(xd(1,1)+jj,1);







end;

solution11=inv(TT1.'*TT1)*TT1.'*SS1;







a1=real(solution11(1,1));

b1=imag(solution11(1,1));


72













result_damping1=(cos(atan(b1/a1)));







result_wn1=(a1^2+b1^2)^0.5;

result_wn2=(a2^2+b2^2)^0.5;

result_wn3=(a3^2+b3^2)^0.5;

result_wn4=(a4^2+b4^2)^0.5;

result_wn5=(a5^2+b5^2)^0.5;

result_wn6=(a6^2+b6^2)^0.5;

result_wn7=(a7^2+b7^2)^0.5;

ddamping=rot90(rot90(damping));

wwn=sort(wn);

real_damping1=ddamping(1,1);






73



real_wn1=wwn(1,1);

real_wn2=wwn(3,1);

real_wn3=wwn(5,1);

real_wn4=wwn(7,1);

real_wn5=wwn(9,1);

real_wn6=wwn(11,1);

real_wn7=wwn(13,1);

%display Wn1 of CMIF

disp('---------- CMIF Wn1(Result) ----------');

disp(result_wn1);

disp('---------- CMIF Damping1(Result) ----------');

disp(result_damping1*100);



disp(result_wn2);





disp(result_wn3);


disp(result_damp ing3*100);



disp(result_wn4);





disp(result_wn5);






74

disp(result_wn6);





disp(result_wn7);



%display result1

error_wn1=100*((result_wn1-real_wn1)/real_wn1);

error_damping1=abs(100*(result_damping1-real_damping1)/real_damping1);

disp('---------- Real Nature Frequency1 ----------');

disp(real_wn1);

disp('---------- Error of Nature Frequency1(%) ----------');

disp(error_wn1);

disp('---------- Real Damping Ratio1 ----------');

disp(real_damping1*100);

disp('---------- Error Of Damping Ratio1(%) ----------');

disp(error_damping1);

%display result2




disp(real_wn2);


disp(error_wn2);



disp('---------- Error of Damping Ratio2(%) ----------');


%display result3




disp(real_wn3);


disp(error_wn3);


75





%display result4




disp(real_wn4);


disp(error_wn4);





%display result5




disp(real_wn5);


disp(error_wn5);





%display result6




disp(real_wn6);


disp(error_wn6);





%display result7


76




disp(real_wn7);


disp(error_wn7);






77

附錄三聯立方程式解法之 MATLAB程式

clear;

format long

load qqq801;

%real answer

ddamping=rot90(rot90(damping));

wwn=sort(wn);








real_wn1=wwn(1,1);

real_wn2=wwn(3,1);

real_wn3=wwn(5,1);

real_wn4=wwn(7,1);

real_wn5=wwn(9,1);

real_wn6=wwn(11,1);

real_wn7=wwn(13,1);

%evaule peak1

L11=(xd(1,1)-1);

L12=xd(1,1);

L13=(xd(1,1)+1);

w11=(L11-1)*sp;

w12=(L12-1)*sp;

w13=(L13-1)*sp;

sim11=s11(1,L11);

sim12=s11(1,L12);

sim13=s11(1,L13);

%evaluate parameters

q1=((w13^2-2*w12^2+w11^2)/(1/sim13^2-2/sim12^2+1/sim11^2))^0.5;

b1=(q1^2*(1/sim12^2-1/sim11^2)-(w12^2-w11^2))/(2*(w11-w12));

a1=-abs(((q1/sim11)^2-(b1-w11)^2)^0.5);


78


result_wn1=(a1^2+b1^2)^0.5;



disp('parameters result 1=');

a1

b1

q1

disp('real nature frequency 1=');

disp(real_wn1);

disp('estimate nature frequency 1=');

disp(result_wn1);

disp('error of nature frequency 1=(%)');

disp(error_wn1);

disp('real damping ratio 1=');

disp(real_damping1);

disp('estimate damping ratio 1=');

disp(result_damping1);

disp('error of damping ratio 1=(%)');


%evaule peak2

L21=(xd(1,2)-1);

L22=xd(1,2);

L23=(xd(1,2)+1);

w21=(L21-1)*sp;

w22=(L22-1)*sp;

w23=(L23-1)*sp;

sim21=s11(1,L21);

sim22=s11(1,L22);

sim23=s11(1,L23);


q2=((w23^2-2*w22^2+w21^2)/(1/sim23^2-2/sim22^2+1/sim21^2))^0.5;

b2=(q2^2*(1/sim22^2-1/sim21^2)-(w22^2-w21^2))/(2*(w21-w22));

a2=-abs(((q2/sim21)^2-(b2-w21)^2)^0.5);


result_wn2=(a2^2+b2^2)^0.5;




79


a2

b2

q2


disp(real_wn2);


disp(result_wn2);


disp(error_wn2);







%evaule peak3

L31=(xd(1,3)-1);

L32=xd(1,3);

L33=(xd(1,3)+1);

w31=(L31-1)*sp;

w32=(L32-1)*sp;

w33=(L33-1)*sp;

sim31=s11(1,L31);

sim32=s11(1,L32);

sim33=s11(1,L33);


q3=((w33^2-2*w32^2+w31^2)/(1/sim33^2-2/sim32^2+1/sim31^2))^0.5;

b3=(q3^2*(1/sim32^2-1/sim31^2)-(w32^2-w31^2))/(2*(w31-w32));

a3=-abs(((q3/sim31)^2-(b3-w31)^2)^0.5);


result_wn3=(a3^2+b3^2)^0.5;




a3

b3

q3


80


disp(real_wn3);


disp(result_wn3);


disp(error_wn3);







%evaule peak4

L41=(xd(1,4)-1);

L42=xd(1,4);

L43=(xd(1,4)+1);

w41=(L41-1)*sp;

w42=(L42-1)*sp;

w43=(L43-1)*sp;

sim41=s22(1,L41);

sim42=s22(1,L42);

sim43=s22(1,L43);


q4=((w43^2-2*w42^2+w41^2)/(1/sim43^2-2/sim42^2+1/sim41^2))^0.5;

b4=(q4^2*(1/sim42^2-1/sim41^2)-(w42^2-w41^2))/(2*(w41-w42));

a4=-abs(((q4/sim41)^2-(b4-w41)^2)^0.5);


result_wn4=(a4^2+b4^2)^0.5;




a4

b4

q4


disp(real_wn4);


disp(result_wn4);


81


disp(error_wn4);







%evaule peak5

L51=(xd(1,5)-1);

L52=xd(1,5);

L53=(xd(1,5)+1);

w51=(L51-1)*sp;

w52=(L52-1)*sp;

w53=(L53-1)*sp;

sim51=s11(1,L51);

sim52=s11(1,L52);

sim53=s11(1,L53);


q5=((w53^2-2*w52^2+w51^2)/(1/sim53^2-2/sim52^2+1/sim51^2))^0.5;

b5=(q5^2*(1/sim52^2-1/sim51^2)-(w52^2-w51^2))/(2*(w51-w52));

a5=-abs(((q5/sim51)^2-(b5-w51)^2)^0.5);


result_wn5=(a5^2+b5^2)^0.5;




a5

b5

q5


disp(real_wn5);


disp(result_wn5);


disp(error_wn5);



82






%evaule peak6

L61=(xd(1,6)-1);

L62=xd(1,6);

L63=(xd(1,6)+1);

w61=(L61-1)*sp;

w62=(L62-1)*sp;

w63=(L63-1)*sp;

sim61=s22(1,L61);

sim62=s22(1,L62);

sim63=s22(1,L63);


q6=((w63^2-2*w62^2+w61^2)/(1/sim63^2-2/sim62^2+1/sim61^2))^0.5;

b6=(q6^2*(1/sim62^2-1/sim61^2)-(w62^2-w61^2))/(2*(w61-w62));

a6=-abs(((q6/sim61)^2-(b6-w61)^2)^0.5);


result_wn6=(a6^2+b6^2)^0.5;




a6

b6

q6


disp(real_wn6);


disp(result_wn6);


disp(error_wn6);







83


%evaule peak7

L71=(xd(1,7)-1);

L72=xd(1,7);

L73=(xd(1,7)+1);

w71=(L71-1)*sp;

w72=(L72-1)*sp;

w73=(L73-1)*sp;

sim71=s11(1,L71);

sim72=s11(1,L72);

sim73=s11(1,L73);


q7=((w73^2-2*w72^2+w71^2)/(1/sim73^2-2/sim72^2+1/sim71^2))^0.5;

b7=(q7^2*(1/sim72^2-1/sim71^2)-(w72^2-w71^2))/(2*(w71-w72));

a7=-abs(((q7/sim71)^2-(b7-w71)^2)^0.5);


result_wn7=(a7^2+b7^2)^0.5;




a7

b7

q7


disp(real_wn7);


disp(result_wn7);


disp(error_wn7);







%quickly result


disp(result_wn1);


84


disp(result_wn2);


disp(result_wn3);


disp(result_wn4);


disp(result_wn5);


disp(result_wn6);


disp(result_wn7);















Technology

Etd 1002102-172438